JEE Main 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
पहली वस्तु के लिए जिसे $\alpha$ कोण पर प्रक्षेपित किया गया है,परास $R_1 = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}$ है।
दूसरी वस्तु के लिए जिसे $\beta$ कोण पर प्रक्षेपित किया गया है,परास $R_2 = \frac{u^2 \sin 2\beta}{g}$ है।
दिया गया है कि $\alpha + \beta = 90^{\circ}$,इसलिए $\beta = 90^{\circ} - \alpha$ है।
$R_2$ के व्यंजक में $\beta$ का मान रखने पर:
$R_2 = \frac{u^2 \sin 2(90^{\circ} - \alpha)}{g} = \frac{u^2 \sin(180^{\circ} - 2\alpha)}{g}$।
चूंकि $\sin(180^{\circ} - \theta) = \sin \theta$,इसलिए $R_2 = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}}{\frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}} = \frac{1}{1}$ होगा।

(A) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,सूर्य और ग्रह के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{GMm}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. कथन $A$ सही है क्योंकि $F \propto \frac{1}{r^2}$।
$2$. कथन $B$ गलत है क्योंकि बल द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती होता है $(F \propto Mm)$,न कि व्युत्क्रमानुपाती।
$3$. कथन $C$ गलत है क्योंकि अभिकेंद्री बल (गुरुत्वाकर्षण बल) सूर्य की ओर निर्देशित होता है,न कि सूर्य से दूर।
$4$. कथन $D$ सही है क्योंकि यह केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम को दर्शाता है,जिसके अनुसार $T^2 \propto a^3$,जहाँ $T$ आवर्तकाल है और $a$ अर्ध-दीर्घ अक्ष है।
अतः,कथन $A$ और $D$ सही हैं।

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर गति कर रहा हो,तो प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $f'$ इस प्रकार दी जाती है:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
जहाँ:
$f = 320\,Hz$ (स्रोत की आवृत्ति)
$v = 330\,m/s$ (ध्वनि की गति)
$v_s = 66\,m/s$ (स्रोत की गति)
मान रखने पर:
$f' = 320 \left( \frac{330}{330 - 66} \right)$
$f' = 320 \left( \frac{330}{264} \right)$
$f' = 320 \times 1.25$
$f' = 400\,Hz$
अतः,प्रेक्षक द्वारा प्रेक्षित आवृत्ति $400\,Hz$ है।

(B) माना द्रव का पृष्ठ तनाव $T$ है।
माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
विभाजन प्रक्रिया के दौरान आयतन समान रहता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3 \implies R = 10r$.
मूल बूंद की पृष्ठीय ऊर्जा $u_i = T \times 4 \pi R^2$ है।
$1000$ छोटी बूंदों की कुल पृष्ठीय ऊर्जा $u_f = 1000 \times (T \times 4 \pi r^2)$ है।
अनुपात लेने पर:
$\frac{u_f}{u_i} = \frac{1000 \times 4 \pi r^2}{4 \pi R^2} = 1000 \times \left(\frac{r}{R}\right)^2$.
$R = 10r$ रखने पर:
$\frac{u_f}{u_i} = 1000 \times \left(\frac{r}{10r}\right)^2 = 1000 \times \frac{1}{100} = 10$.
दिया गया है कि $\frac{u_f}{u_i} = \frac{10}{x}$,इसलिए $10 = \frac{10}{x}$,जिसका अर्थ है कि $x = 1$।

(B) मान लीजिए $m_1 = 1\,kg$,$m_2 = 3\,kg$,$u_1$ $1\,kg$ द्रव्यमान का प्रारंभिक वेग है,और $u_2 = 0$ $3\,kg$ द्रव्यमान का प्रारंभिक वेग है।
टक्कर के बाद,$1\,kg$ द्रव्यमान का वेग $v_1 = -2\,m/s$ है (क्योंकि यह दिशा उलट देता है)।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$1(u_1) + 3(0) = 1(-2) + 3(v_2)$
$u_1 = -2 + 3v_2 \quad \dots(1)$
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$ होता है:
$e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = 1$
$1 = \frac{v_2 - (-2)}{u_1 - 0} \Rightarrow u_1 = v_2 + 2 \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ से $v_2 = u_1 - 2$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$u_1 = -2 + 3(u_1 - 2)$
$u_1 = -2 + 3u_1 - 6$
$2u_1 = 8$
$u_1 = 4\,m/s$.

(B) $m_1$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ठोस गोले का उसकी स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय द्वारा दिया जाता है: $I_{\text{sphere}} = I_{\text{cm}} + m_1 R^2 = \frac{2}{5} m_1 R^2 + m_1 R^2 = \frac{7}{5} m_1 R^2$। $m_1 = 5 \, kg$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_{\text{sphere}} = \frac{7}{5} \times 5 \times R^2 = 7 R^2$ प्राप्त होता है।
$m_2$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली डिस्क का उसके तल में स्थित स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण समांतर अक्ष प्रमेय द्वारा दिया जाता है: $I_{\text{disc}} = I_{\text{cm}} + m_2 R^2 = \frac{1}{4} m_2 R^2 + m_2 R^2 = \frac{5}{4} m_2 R^2$। $m_2 = 4 \, kg$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_{\text{disc}} = \frac{5}{4} \times 4 \times R^2 = 5 R^2$ प्राप्त होता है।
डिस्क के जड़त्व आघूर्ण और गोले के जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_{\text{disc}}}{I_{\text{sphere}}} = \frac{5 R^2}{7 R^2} = \frac{5}{7}$ है।
इसकी तुलना $\frac{x}{7}$ से करने पर,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।

(C) दाब प्रवणता $= \frac{dp}{dx} = \frac{[ML^{-1}T^{-2}]}{[L]} = [M^1 L^{-2} T^{-2}]$. अतः,$(A)-(III)$.
ऊर्जा घनत्व $= \frac{\text{Energy}}{\text{Volume}} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$. अतः,$(B)-(II)$.
विद्युत क्षेत्र $= \frac{\text{Force}}{\text{Charge}} = \frac{[MLT^{-2}]}{[AT]} = [M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}]$. अतः,$(C)-(IV)$.
गुप्त ऊष्मा $= \frac{\text{Heat}}{\text{Mass}} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[M]} = [M^0 L^2 T^{-2}]$. अतः,$(D)-(I)$.

(D) मान लीजिए पत्थर का प्रारंभिक वेग $u$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
प्रक्षेपण बिंदु पर,गतिज ऊर्जा $KE_{POP} = \frac{1}{2} m u^2$ है।
प्रक्षेप्य पथ के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है,और वेग केवल क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ के बराबर होता है।
अतः,उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $KE_{top} = \frac{1}{2} m (u \cos 30^{\circ})^2 = \frac{1}{2} m u^2 \cos^2 30^{\circ}$ है।
अनुपात $\frac{KE_{POP}}{KE_{top}} = \frac{\frac{1}{2} m u^2}{\frac{1}{2} m u^2 \cos^2 30^{\circ}} = \frac{1}{\cos^2 30^{\circ}}$ है।
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\cos^2 30^{\circ} = \frac{3}{4}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) झुके हुए समतल पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin 30^{\circ}$ नीचे की ओर और गतिज घर्षण बल $f_k = \mu N = \mu mg \cos 30^{\circ}$ ऊपर की ओर है।
नत समतल पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$mg \sin 30^{\circ} - \mu mg \cos 30^{\circ} = ma$
दिया गया है $a = \frac{g}{4}$,मान रखने पर:
$mg \sin 30^{\circ} - \mu mg \cos 30^{\circ} = m \left( \frac{g}{4} \right)$
$mg$ से विभाजित करने पर:
$\sin 30^{\circ} - \mu \cos 30^{\circ} = \frac{1}{4}$
$\frac{1}{2} - \mu \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{4}$
$\mu \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
$\mu = \frac{1}{4} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2 \sqrt{3}}$

(C) क्षैतिज घुमावदार सड़क पर चल रही कार के लिए,मुड़ने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल टायरों और सड़क के बीच स्थित घर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है।
फिसले बिना सुरक्षित रूप से मुड़ने की शर्त $f_s \leq \mu N$ है,जहाँ $N = mg$ है।
अधिकतम गति $v_{\max}$ तब प्राप्त होती है जब घर्षण बल अपने अधिकतम मान पर होता है:
$\frac{mv_{\max}^2}{r} = \mu mg$
$v_{\max}$ के लिए सरल करने पर:
$v_{\max} = \sqrt{\mu rg}$
दिए गए मान $\mu = 0.34$,$r = 50\,m$,और $g = 10\,ms^{-2}$ हैं।
इन मानों को रखने पर:
$v_{\max} = \sqrt{0.34 \times 50 \times 10}$
$v_{\max} = \sqrt{0.34 \times 500}$
$v_{\max} = \sqrt{170}$
$v_{\max} \approx 13.038\,ms^{-1}$
अतः,अनुमानित अधिकतम गति $13\,ms^{-1}$ है।

(D) दो कणों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है।
दोनों कणों के बीच की दूरी $2r$ है।
गुरुत्वाकर्षण बल $F = \frac{G \cdot m \cdot m}{(2r)^2} = \frac{Gm^2}{4r^2}$ है।
'$m$' द्रव्यमान वाले कण के लिए जो '$r$' त्रिज्या के वृत्त में '$v$' चाल से गति कर रहा है,आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{r}$ है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $\frac{Gm^2}{4r^2} = \frac{mv^2}{r}$.
'$v$' के लिए हल करने पर: $v^2 = \frac{Gm^2}{4r^2} \cdot \frac{r}{m} = \frac{Gm}{4r}$.
अतः,$v = \sqrt{\frac{Gm}{4r}}$.

(C) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2 \times (4 \pi R^2) = 8 \pi R^2$ होता है।
त्रिज्या को $R_1$ से $R_2$ तक बढ़ाने में किया गया कार्य $W$,पृष्ठीय ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = T \times \Delta A = T \times (A_2 - A_1) = T \times 8 \pi (R_2^2 - R_1^2)$.
दिया गया है:
$T = 2.0 \times 10^{-2} \; N m^{-1}$
$R_1 = 3.5 \; cm = 3.5 \times 10^{-2} \; m$
$R_2 = 7.0 \; cm = 7.0 \times 10^{-2} \; m$
मान रखने पर:
$W = 2.0 \times 10^{-2} \times 8 \times \frac{22}{7} \times [(7.0 \times 10^{-2})^2 - (3.5 \times 10^{-2})^2]$
$W = 16 \times 10^{-2} \times \frac{22}{7} \times (49 - 12.25) \times 10^{-4}$
$W = 16 \times 10^{-2} \times \frac{22}{7} \times 36.75 \times 10^{-4}$
$W = 16 \times 10^{-2} \times 22 \times 5.25 \times 10^{-4}$
$W = 18.48 \times 10^{-4} \; J$.

(C) ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम बताता है कि किसी निकाय की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(dU)$,निकाय को दी गई ऊष्मा $(dQ)$ और निकाय पर किए गए कार्य $(dW)$ के योग के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,इसे $dU = dQ + dW$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
यदि हम इसे $dQ$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करें,तो हमें $dQ = dU - dW$ प्राप्त होता है।
इसलिए,अभिकथन $A$ सही है।
ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम वास्तव में ऊर्जा संरक्षण के नियम का एक कथन है,जो यह बताता है कि ऊर्जा को न तो बनाया जा सकता है और न ही नष्ट किया जा सकता है,केवल रूपांतरित किया जा सकता है। अतः,कारण $R$ सही है।
चूंकि अभिकथन $A$ में गणितीय व्यंजक सीधे कारण $R$ में उल्लिखित ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत से प्राप्त होता है,इसलिए $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(C) यह मानते हुए कि टायर का आयतन स्थिर रहता है,हम गे-लुसाक के नियम का उपयोग करते हैं: $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
दिया गया है:
$P_1 = 270\,kPa$
$T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300\,K$
$T_2 = 36^{\circ}C = 36 + 273 = 309\,K$
मान रखने पर:
$P_2 = \frac{P_1 \times T_2}{T_1} = \frac{270 \times 309}{300}$.
$P_2 = 0.9 \times 309 = 278.1\,kPa$.
निकटतम पूर्णांक में,दाब $278\,kPa$ है।

(B) डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $f' = f_0 \left( \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s} \right)$ है।
यहाँ,$v = 330\,m/s$ (ध्वनि की गति),$v_o = 0$ (प्रेक्षक स्थिर है),$v_s = 30\,m/s$ (स्रोत की गति),और $f_0 = 300\,Hz$ है।
ट्रेन $A$ के लिए (स्टेशन/प्रेक्षक की ओर आती हुई),स्रोत प्रेक्षक की ओर गति कर रहा है: $f_A = 300 \left( \frac{330}{330 - 30} \right) = 300 \left( \frac{330}{300} \right) = 330\,Hz$.
ट्रेन $B$ के लिए (स्टेशन/प्रेक्षक से दूर जाती हुई),स्रोत प्रेक्षक से दूर गति कर रहा है: $f_B = 300 \left( \frac{330}{330 + 30} \right) = 300 \left( \frac{330}{360} \right) = 300 \left( \frac{11}{12} \right) = 275\,Hz$.
सुनी गई आवृत्तियों का अंतर $\Delta f = f_A - f_B = 330 - 275 = 55\,Hz$ है।

(A) समान आयाम $A$ और कलांतर $\Delta \phi$ वाली दो तरंगों का परिणामी आयाम $R$ सूत्र $R = 2A \cos \left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A = 8\,cm$ और $R = 8\,cm$ दिया गया है।
मान रखने पर: $8 = 2(8) \cos \left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)$.
इसे सरल करने पर: $1 = 2 \cos \left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)$,जिसका अर्थ है कि $\cos \left(\frac{\Delta \phi}{2}\right) = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{\Delta \phi}{2} = 60^{\circ}$.
अतः,कलांतर $\Delta \phi = 120^{\circ}$ है।

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,शीतलन की दर पिंड और परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$।
प्रथम $6$ मिनट के अंतराल के लिए:
$\frac{60 - 40}{6} = k \left( \frac{60 + 40}{2} - 10 \right)$
$\frac{20}{6} = k(50 - 10) = 40k$ --- $(i)$
अगले $6$ मिनट के लिए,मान लीजिए अंतिम तापमान $T$ है:
$\frac{40 - T}{6} = k \left( \frac{40 + T}{2} - 10 \right)$
$\frac{40 - T}{6} = k \left( \frac{40 + T - 20}{2} \right) = k \left( \frac{20 + T}{2} \right)$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{20 / 6}{(40 - T) / 6} = \frac{40k}{k(20 + T) / 2}$
$\frac{20}{40 - T} = \frac{80}{20 + T}$
$20(20 + T) = 80(40 - T)$
$400 + 20T = 3200 - 80T$
$100T = 2800$
$T = 28^{\circ} C$।

(A) शुद्ध लोटनिक गति में किसी पिंड की कुल गतिज ऊर्जा $(KE)$ उसकी स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग होती है।
$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
एक ठोस गोले के लिए,उसके द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}mR^2$ होता है।
शुद्ध लोटनिक गति के लिए,रैखिक वेग $(v)$ और कोणीय वेग $(\omega)$ के बीच संबंध $v = R\omega$ है,अर्थात $\omega = \frac{v}{R}$।
इन मानों को गतिज ऊर्जा के समीकरण में रखने पर:
$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}mR^2)(\frac{v}{R})^2$
$KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$
यहाँ $m = 2\,kg$ और $KE = 2240\,J$ दिया गया है:
$2240 = \frac{7}{10} \times 2 \times v^2$
$2240 = \frac{7}{5}v^2$
$v^2 = \frac{2240 \times 5}{7} = 320 \times 5 = 1600$
$v = \sqrt{1600} = 40\,m/s$.

(A) वस्तु को विराम अवस्था से गिराया जाता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
$n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_n = u + \frac{g}{2}(2n - 1)$ द्वारा दी जाती है।
$8^{th}$ सेकंड के लिए $(n = 8)$:
$S_8 = 0 + \frac{10}{2}(2 \times 8 - 1) = 5 \times 15 = 75\,m$.
स्थितिज ऊर्जा में हानि $\Delta U = mgh$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी है।
$\Delta U = 0.4 \times 10 \times 75 = 4 \times 75 = 300\,J$.

(A) फर्श से टकराने से ठीक पहले गेंद का वेग $v_i = \sqrt{2gh_i} = \sqrt{2 \times 10 \times 9.8} = \sqrt{196} = 14\,m/s$ (नीचे की ओर) है।
नीचे की दिशा को ऋणात्मक लेने पर,$v_i = -14\,m/s$।
उछलने के ठीक बाद गेंद का वेग $v_f = \sqrt{2gh_f} = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = \sqrt{100} = 10\,m/s$ (ऊपर की ओर) है।
ऊपर की दिशा को धनात्मक लेने पर,$v_f = +10\,m/s$।
वेग में परिवर्तन $\Delta v = v_f - v_i = 10 - (-14) = 24\,m/s$ है।
औसत त्वरण $a_{\text{avg}} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{24}{0.2} = 120\,m/s^2$ है।

(B) गैस के अणुओं की rms चाल $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
गैस के अणुओं की औसत चाल $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रश्न के अनुसार,$v_{rms} = \sqrt{\frac{\alpha+5}{\alpha}} \times v_{avg}$.
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{\alpha+5}{\alpha}} \times \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{3RT}{M} = \left(\frac{\alpha+5}{\alpha}\right) \times \frac{8RT}{\pi M}$.
दोनों पक्षों से $\frac{RT}{M}$ को हटाने पर: $3 = \left(\frac{\alpha+5}{\alpha}\right) \times \frac{8}{\pi}$.
दिया गया है $\pi = \frac{22}{7}$,इसलिए $\frac{8}{\pi} = \frac{8 \times 7}{22} = \frac{56}{22} = \frac{28}{11}$.
अतः,$3 = \left(\frac{\alpha+5}{\alpha}\right) \times \frac{28}{11}$.
$33\alpha = 28(\alpha + 5)$.
$33\alpha = 28\alpha + 140$.
$5\alpha = 140$.
$\alpha = 28$.

(B) माना बल $F$ है और द्रव्यमान $m = 20\,kg$ है। प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
पहले $20\,s$ के दौरान,वस्तु $a = F/m$ के त्वरण से गति करती है।
$20\,s$ के अंत में वेग $v = u + at = 0 + (F/20) \times 20 = F$ होता है।
बल हटने के बाद,वस्तु $10\,s$ तक $v = F$ के नियत वेग से चलती है।
इस अंतराल में तय की गई दूरी $d = v \times t = F \times 10 = 50\,m$ है।
अतः,$10F = 50$,जिससे $F = 5\,N$ प्राप्त होता है।

(D) लिफ्ट बल $F_L$ को विमान के वजन को संतुलित करना चाहिए: $F_L = mg = (5.4 \times 10^5 \, kg) \times (10 \, m/s^2) = 5.4 \times 10^6 \, N$.
निचली और ऊपरी सतहों के बीच दबाव का अंतर $\Delta P = P_2 - P_1$ है: $\Delta P = \frac{F_L}{A} = \frac{5.4 \times 10^6 \, N}{500 \, m^2} = 1.08 \times 10^4 \, Pa$.
बर्नौली के समीकरण का उपयोग करते हुए: $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$,जहाँ $v_1$ निचली सतह पर गति है और $v_2$ ऊपरी सतह पर गति है।
$P_2 - P_1 = \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2) = \frac{1}{2} \rho (v_1 - v_2)(v_1 + v_2)$.
विमान की गति $v = 1080 \, km/h = 1080 \times \frac{5}{18} \, m/s = 300 \, m/s$ है। मान लें कि $v_1 + v_2 \approx 2v = 600 \, m/s$.
$1.08 \times 10^4 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times (v_2 - v_1) \times 600$.
$1.08 \times 10^4 = 360 \times (v_2 - v_1) \implies v_2 - v_1 = \frac{10800}{360} = 30 \, m/s$.
भिन्नात्मक वृद्धि $\frac{v_2 - v_1}{v} \times 100 = \frac{30}{300} \times 100 = 10 \%$ है।

(A) कथनों का विश्लेषण:
$(A)$ जब कोई व्यक्ति बाल्टी उठाता है,तो उसके द्वारा लगाया गया बल विस्थापन की दिशा (ऊपर की ओर) में होता है। अतः,किया गया कार्य धनात्मक है। कथन $(A)$ गलत है।
$(B)$ गुरुत्वाकर्षण बल नीचे की ओर कार्य करता है जबकि विस्थापन ऊपर की ओर होता है। चूंकि बल और विस्थापन के बीच का कोण $180^{\circ}$ है,इसलिए किया गया कार्य ऋणात्मक है। कथन $(B)$ सही है।
$(C)$ घर्षण हमेशा गति की दिशा के विपरीत कार्य करता है। नीचे फिसलती वस्तु के लिए,घर्षण समतल के अनुदिश ऊपर की ओर कार्य करता है,जबकि विस्थापन नीचे की ओर होता है। अतः,किया गया कार्य ऋणात्मक है। कथन $(C)$ गलत है।
$(D)$ खुरदरे क्षैतिज समतल पर एकसमान वेग से गतिमान वस्तु के लिए,लगाया गया बल गतिज घर्षण को संतुलित करता है। चूंकि बल विस्थापन की दिशा में है,इसलिए किया गया कार्य धनात्मक है। कथन $(D)$ गलत है।
$(E)$ वायु प्रतिरोध हमेशा लोलक के गोलक की गति की दिशा के विपरीत कार्य करता है। अतः,किया गया कार्य ऋणात्मक है। कथन $(E)$ सही है।
इसलिए,कथन $(B)$ और $(E)$ सही हैं।

(B) वस्तु $r = 2\,m$ त्रिज्या और $v = 4\,m/s$ की अचर चाल से वृत्ताकार पथ पर गति करती है।
अभिकेंद्र त्वरण का परिमाण $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8\,m/s^2$ है।
$x = +2\,m$ पर,वेग $-4 \hat{j}\,m/s$ है,जिसका अर्थ है कि वस्तु दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में गति कर रही है।
$x = -2\,m$ पर,वस्तु व्यास के विपरीत बिंदु पर होगी।
चूंकि यह दक्षिणावर्त गति कर रही है,$x = -2\,m$ पर,वेग सदिश ऊपर की ओर निर्देशित होगा,इसलिए $v = 4 \hat{j}\,m/s$ होगा।
अभिकेंद्र त्वरण हमेशा केंद्र $(0,0)$ की ओर निर्देशित होता है। $x = -2\,m$ पर,केंद्र दाईं ओर है,इसलिए त्वरण धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में होगा,अर्थात $a = 8 \hat{i}\,m/s^2$।

(A) दिया गया है: ऊष्मा $\Delta Q = 184 \times 10^3\,J$,द्रव्यमान $m = 0.6\,kg$,प्रारंभिक तापमान $T_i = -12^{\circ}C$,विशिष्ट ऊष्मा $c_{ice} = 2222.3\,J\,kg^{-1\circ}C^{-1}$,गुप्त ऊष्मा $L = 336 \times 10^3\,J\,kg^{-1}$.
चरण $1$: बर्फ का तापमान $-12^{\circ}C$ से $0^{\circ}C$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा:
$Q_1 = m \cdot c_{ice} \cdot \Delta T = 0.6 \times 2222.3 \times 12 = 16000.56\,J$.
चरण $2$: पिघलने के लिए उपलब्ध शेष ऊष्मा:
$Q_{rem} = \Delta Q - Q_1 = 184000 - 16000.56 = 167999.44\,J$.
चरण $3$: $0^{\circ}C$ पर बर्फ के पूरे द्रव्यमान को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा:
$Q_{melt} = m \cdot L = 0.6 \times 336000 = 201600\,J$.
चूंकि $Q_{rem} < Q_{melt}$,बर्फ पूरी तरह से नहीं पिघलेगी और अंतिम तापमान $0^{\circ}C$ होगा। अतः,कथन $(A)$ सही है।
चरण $4$: पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान $(m_w)$ ज्ञात करें:
$m_w = \frac{Q_{rem}}{L} = \frac{167999.44}{336000} \approx 0.5\,kg$.
चरण $5$: शेष बर्फ का द्रव्यमान $(m_i)$ ज्ञात करें:
$m_i = m - m_w = 0.6 - 0.5 = 0.1\,kg$.
चरण $6$: बर्फ और पानी का अनुपात:
अनुपात $= \frac{m_i}{m_w} = \frac{0.1}{0.5} = 1:5$. अतः,कथन $(D)$ सही है।
इसलिए,$(A)$ और $(D)$ सही हैं।

(D) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल का वर्ग $(T^2)$ कक्षीय त्रिज्या के घन $(R^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto R^3$.
दिया गया है कि प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = 24 \ hours$ और प्रारंभिक त्रिज्या $R_1 = R$ है।
नई त्रिज्या $R_2 = \frac{R}{4}$ है।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{R_1^3}{R_2^3}$.
मान रखने पर: $\left(\frac{24}{T_2}\right)^2 = \left(\frac{R}{R/4}\right)^3 = (4)^3 = 64$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{24}{T_2} = \sqrt{64} = 8$.
अतः,$T_2 = \frac{24}{8} = 3 \ hours$.

(B) दिया गया समीकरण $(x-At)^2+(y-\frac{t}{B})^2=a^2$ है।
आयामों की समांगता के सिद्धांत के अनुसार,$x$ और $y$ से घटाए गए पदों के आयाम लंबाई $[L]$ के समान होने चाहिए।
पद $At$ के लिए:
$[At] = [L]$
$[A][T^{-1}] = [L]$
$[A] = [LT]$
पद $\frac{t}{B}$ के लिए:
$[\frac{t}{B}] = [L]$
$\frac{[T^{-1}]}{[B]} = [L]$
$[B] = [L^{-1}T^{-1}]$
अतः,$A$ और $B$ के आयाम $[LT]$ और $[L^{-1}T^{-1}]$ हैं।

(B) मूल बिंदु के परितः कण का कोणीय संवेग $L = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ द्वारा दिया जाता है।
वैकल्पिक रूप से,मूल बिंदु के परितः बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{r} \times (m\vec{g})$ है।
चूंकि $\vec{g}$ नीचे की ओर ($-y$ दिशा) कार्य करता है,इसलिए $\vec{\tau} = (x\hat{i} + y\hat{j}) \times (-mg\hat{j}) = -xmg\hat{k}$.
बल आघूर्ण का परिमाण $\tau = xmg = (v_x t)mg$ है।
कोणीय संवेग ज्ञात करने के लिए बल आघूर्ण का समाकलन करने पर: $L = \int_0^t \tau dt = \int_0^t (v_x t)mg dt = mg v_x \frac{t^2}{2}$.
दिया गया है: $m = 100\,g = 0.1\,kg$,$v = 20\,ms^{-1}$,$\theta = 45^{\circ}$,$t = 2\,s$,$g = 10\,ms^{-2}$.
$v_x = v \cos 45^{\circ} = 20 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}\,ms^{-1}$.
$L = (0.1)(10)(10\sqrt{2}) \frac{2^2}{2} = 10 \times 10\sqrt{2} \times 2 = 20\sqrt{2} = \sqrt{400 \times 2} = \sqrt{800}$.
अतः,$K = 800$.

(B) अपवर्तनांक $\mu = \frac{h}{h'}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h = 5.25\,mm$ और $h' = 5.00\,mm$ है।
मुख्य पैमाना भाग $(MSD)$ $= \frac{1}{20}\,cm = 0.5\,mm$ है।
ट्रैवलिंग माइक्रोस्कोप का अल्पतमांक $(LC)$ $= 1\,MSD - 1\,VSD = 1\,MSD - \frac{49}{50}\,MSD = \frac{1}{50}\,MSD = \frac{0.5\,mm}{50} = 0.01\,mm$ है।
अपवर्तनांक सूत्र का लघुगणक लेने पर: $\ln \mu = \ln h - \ln h'$.
अवकलन करने पर,सापेक्ष अनिश्चितता प्राप्त होती है: $\frac{d\mu}{\mu} = \frac{dh}{h} + \frac{dh'}{h'}$.
यहाँ,$dh = dh' = LC = 0.01\,mm$ है।
मान रखने पर:
$d\mu = \mu \left( \frac{dh}{h} + \frac{dh'}{h'} \right) = \left( \frac{5.25}{5.00} \right) \left( \frac{0.01}{5.25} + \frac{0.01}{5.00} \right)$.
$d\mu = \frac{0.01}{5.00} + \frac{0.01}{5.25} = 0.002 + 0.00190476 = 0.00390476$.
$d\mu \approx 3.90476 \times 10^{-3} = \frac{39.0476}{10} \times 10^{-3} \approx \frac{41}{10} \times 10^{-3}$.
अतः,$x = 41$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: त्रिज्या $R = 600\,m$,प्रारंभिक गति $u = 54\,km/h = 15\,m/s$.
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \frac{dv}{dt} = v\frac{dv}{ds}$.
अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{R}$.
दिया गया है $a_t = a_c$,इसलिए $v\frac{dv}{ds} = \frac{v^2}{R} \Rightarrow \frac{dv}{v} = \frac{ds}{R}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int_{15}^{v} \frac{dv}{v} = \int_{0}^{s} \frac{ds}{R} \Rightarrow \ln(\frac{v}{15}) = \frac{s}{R} \Rightarrow v = 15e^{s/R}$.
चूंकि $v = \frac{ds}{dt}$,हमारे पास $\frac{ds}{dt} = 15e^{s/R} \Rightarrow e^{-s/R} ds = 15 dt$ है।
पहले चौथाई चक्कर के लिए समय $T$ ज्ञात करने हेतु,$s$ का मान $0$ से $\frac{\pi R}{2}$ तक लें।
$\int_{0}^{\pi R/2} e^{-s/R} ds = \int_{0}^{T} 15 dt$.
$[-R e^{-s/R}]_{0}^{\pi R/2} = 15T$.
$-R(e^{-\pi/2} - 1) = 15T \Rightarrow R(1 - e^{-\pi/2}) = 15T$.
$T = \frac{600}{15}(1 - e^{-\pi/2}) = 40(1 - e^{-\pi/2})$.
$t(1 - e^{-\pi/2})$ के साथ तुलना करने पर,हमें $t = 40$ प्राप्त होता है।

(B) न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार,श्यान बल $F$ इस प्रकार दिया जाता है:
$F = \eta A \frac{dv}{dx}$
जहाँ:
$F = 0.1 \,N$ (प्रयुक्त बल)
$\eta = 5.0 \times 10^{-3} \,Pa-s$ (श्यानता)
$A = 0.20 \,m^2$ (आधार क्षेत्रफल)
$dx = 0.25 \,mm = 0.25 \times 10^{-3} \,m$ (फिल्म की मोटाई)
चूंकि ब्लॉक स्थिर गति से चलता है,इसलिए प्रयुक्त बल श्यान बल के बराबर होता है:
$0.1 = (5.0 \times 10^{-3}) \times 0.20 \times \frac{v}{0.25 \times 10^{-3}}$
$0.1 = \frac{1.0 \times 10^{-3} \times v}{0.25 \times 10^{-3}}$
$0.1 = 4v$
$v = \frac{0.1}{4} = 0.025 \,m/s$
$v = 25 \times 10^{-3} \,m/s$
अतः,ब्लॉक की गति $25 \times 10^{-3} \,m/s$ है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 250\,g = 0.25\,kg$,बल $F = -25x$,और अधिकतम चाल $v_{max} = 4\,m/s$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $ma = -25x$,जिससे $a = -\frac{25}{0.25}x = -100x$ प्राप्त होता है।
इसे सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $a = -\omega^2 x$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = 100$ प्राप्त होता है,इसलिए $\omega = 10\,rad/s$ है।
सरल आवर्त गति में अधिकतम चाल $v_{max} = \omega A$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $4 = 10 \times A$।
अतः,$A = 0.4\,m$ है।
सेंटीमीटर में बदलने पर: $A = 0.4 \times 100 = 40\,cm$।

(D) दिया गया संबंध $PT^2 = C$ है (जहाँ $C$ एक नियतांक है)।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं $P = \frac{nRT}{V}$।
इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $\left(\frac{nRT}{V}\right)T^2 = C$।
यह सरल होकर $\frac{nRT^3}{V} = C$ हो जाता है, जिसका अर्थ है $V = \left(\frac{nR}{C}\right)T^3$।
माना $K = \frac{nR}{C}$, इसलिए $V = KT^3$।
आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ को $\gamma = \frac{1}{V} \frac{dV}{dT}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$V$ का $T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dT} = 3KT^2$।
अब, $\gamma$ के सूत्र में मान रखने पर: $\gamma = \frac{1}{KT^3} \times (3KT^2) = \frac{3}{T}$।

(C) $1$. गेंद $P$ ऊंचाई $h = 20\,cm = 0.2\,m$ से नीचे फिसलती है।
$2$. ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर से ठीक पहले गेंद $P$ का वेग $v_P = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है।
$3$. मान रखने पर: $v_P = \sqrt{2 \times 10 \times 0.2} = \sqrt{4} = 2\,m/s$।
$4$. चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है और दोनों गेंदों का द्रव्यमान समान है,इसलिए टक्कर के बाद वेग आपस में बदल जाते हैं।
$5$. टक्कर से पहले,गेंद $P$ का वेग $v_P = 2\,m/s$ है और गेंद $Q$ स्थिर है $(v_Q = 0)$।
$6$. टक्कर के बाद,गेंद $P$ स्थिर हो जाती है $(v_P' = 0)$ और गेंद $Q$ उस वेग के साथ चलती है जो टक्कर से पहले गेंद $P$ का था $(v_Q' = v_P = 2\,m/s)$।

(A) यंग मापांक $(Y)$,आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $(K)$,दृढ़ता गुणांक $(\eta)$ और पॉइसन अनुपात $(\sigma)$ के बीच संबंध इस प्रकार हैं:
$Y = 2\eta(1+\sigma)$ --- $(1)$
$Y = 3K(1-2\sigma)$ --- $(2)$
$Y$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$2\eta(1+\sigma) = 3K(1-2\sigma)$
$2\eta + 2\eta\sigma = 3K - 6K\sigma$
$2\eta\sigma + 6K\sigma = 3K - 2\eta$
$\sigma(6K + 2\eta) = 3K - 2\eta$
$\sigma = \frac{3K - 2\eta}{6K + 2\eta}$

(D) एक आदर्श गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ केवल तापमान $T$ का फलन है,जिसे $dU = nC_{V}dT$ द्वारा दिया जाता है।
समतापीय प्रक्रिया में,तापमान स्थिर रहता है,इसलिए $dT = 0$,जिसका अर्थ है $dU = 0$। अतः,गैस की आंतरिक ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है ($C$ सही है)।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$dQ = dU + dW$।
चूंकि $dU = 0$,इसलिए $dQ = dW$।
यह दिया गया है कि गैस को ऊष्मा दी जाती है,इसलिए $dQ > 0$। अतः,$dW > 0$,जिसका अर्थ है कि गैस धनात्मक कार्य करती है ($D$ सही है)।
इस प्रकार,सही कथन $C$ और $D$ हैं।

(C) केशिका नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2S \cos \theta}{r \rho g}$ है।
यह मानते हुए कि संपर्क कोण $\theta$ और त्रिज्या $r$ स्थिर रहते हैं,हमारे पास $h \propto \frac{S}{\rho}$ है।
द्रव $A$ के लिए: $h_1 = 5 \ cm$,पृष्ठ तनाव $= S_1$,घनत्व $= \rho_1$.
द्रव $B$ के लिए: पृष्ठ तनाव $S_2 = 2S_1$,घनत्व $\rho_2 = 2\rho_1$.
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{S_1}{S_2} \times \frac{\rho_2}{\rho_1}$.
मान रखने पर: $\frac{5}{h_2} = \frac{S_1}{2S_1} \times \frac{2\rho_1}{\rho_1} = \frac{1}{2} \times 2 = 1$.
अतः,$h_2 = 5 \ cm = 0.05 \ m$ होगा।

(B) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $E$ और विभव $V$ के बीच संबंध $E = -\frac{dV}{dr}$ है।
दिया गया है $E = -\frac{K}{r^2}$,इसलिए $-\frac{dV}{dr} = -\frac{K}{r^2}$,जिसका अर्थ है $dV = \frac{K}{r^2} dr$.
संदर्भ बिंदु $(r_1 = 2\,cm, V_1 = 10\,J/kg)$ से लक्ष्य बिंदु $(r_2 = 3\,cm, V_2 = V)$ तक दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_{10}^{V} dV = \int_{2}^{3} \frac{K}{r^2} dr$.
$V - 10 = K \left[ -\frac{1}{r} \right]_{2}^{3} = K \left( -\frac{1}{3} - (-\frac{1}{2}) \right) = K \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = K \left( \frac{1}{6} \right)$.
$K = 6\,J\cdot cm/kg$ रखने पर:
$V - 10 = 6 \times \frac{1}{6} = 1$.
$V = 10 + 1 = 11\,J/kg$.

(D) सबसे पहले,$h = 20\,m$ की ऊँचाई से जमीन तक पहुँचने के लिए दोनों वस्तुओं द्वारा लिए गए समय की गणना $h = \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करके करें:
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 20}{10}} = \sqrt{4} = 2\,s$.
मान लीजिए कि टक्कर के बाद गेंद का वेग $v_1$ और गोली का वेग $v_2$ है।
गेंद के लिए: $v_1 = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{30}{2} = 15\,m/s$.
गोली के लिए: $v_2 = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{120}{2} = 60\,m/s$.
क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$m_{bullet} u = m_{ball} v_1 + m_{bullet} v_2$
$(0.01) u = (0.2)(15) + (0.01)(60)$
$0.01 u = 3 + 0.6 = 3.6$
$u = \frac{3.6}{0.01} = 360\,m/s$.

(A) वेग $v$,$x-t$ ग्राफ के ढाल (slope) द्वारा दिया जाता है,अर्थात $v = \frac{dx}{dt}$।
$(A)$ $x-t$ ग्राफ ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है,जो बढ़ते ढाल को दर्शाता है। अतः,$v$ समय के साथ बढ़ता है। यह ग्राफ $II$ से मेल खाता है।
$(B)$ $x-t$ ग्राफ घटती स्थिति और घटता हुआ ढाल (परिमाण) दर्शाता है,जो शून्य के करीब पहुंचता है। यह एक ऋणात्मक वेग के अनुरूप है जिसका परिमाण शून्य की ओर घटता है। यह ग्राफ $IV$ से मेल खाता है।
$(C)$ $x-t$ ग्राफ एक स्थिर धनात्मक ढाल और उसके बाद एक स्थिर ऋणात्मक ढाल दर्शाता है। यह एक स्थिर धनात्मक वेग और उसके बाद एक स्थिर ऋणात्मक वेग के अनुरूप है। यह ग्राफ $III$ से मेल खाता है।
$(D)$ $x-t$ ग्राफ एक स्थिर धनात्मक ढाल वाली सीधी रेखा है,जो स्थिर धनात्मक वेग को दर्शाती है। यह ग्राफ $I$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(A)-(II), (B)-(IV), (C)-(III), (D)-(I)$ है।

(C) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी कण पर कार्य करने वाला बल $\vec{F}$ समय के सापेक्ष संवेग में परिवर्तन की दर के बराबर होता है: $\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$.
इसका तात्पर्य यह है कि बल का परिमाण $|\vec{F}|$,$p-t$ ग्राफ के ढाल (slope) के परिमाण के बराबर होता है: $|\vec{F}| = |p-t \text{ वक्र का ढाल}|$.
$1$. क्षेत्र $a$ में,ढाल धनात्मक और मध्यम है।
$2$. क्षेत्र $b$ में,ढाल धनात्मक और छोटा है (रेखा लगभग क्षैतिज है)।
$3$. क्षेत्र $c$ में,ढाल ऋणात्मक है और इसका परिमाण बहुत बड़ा है (रेखा बहुत तीव्र है)।
ढाल के परिमाणों की तुलना करने पर,क्षेत्र $c$ में ढाल अधिकतम है और क्षेत्र $b$ में न्यूनतम है।
अतः,बल का परिमाण क्षेत्र $c$ में अधिकतम और क्षेत्र $b$ में न्यूनतम है।

(D) विस्थापन $x = A \sin \omega t$ द्वारा दिया गया है।
स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} k A^2 \sin^2 \omega t$ है।
स्थितिज ऊर्जा-समय वक्र की ढाल $\frac{dU}{dt}$ है।
$\frac{dU}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{1}{2} k A^2 \sin^2 \omega t) = \frac{1}{2} k A^2 (2 \sin \omega t \cos \omega t) \cdot \omega = \frac{1}{2} k A^2 \omega \sin(2 \omega t)$.
ढाल को अधिकतम होने के लिए,$\sin(2 \omega t)$ को अधिकतम होना चाहिए,अर्थात $\sin(2 \omega t) = 1$.
यह तब होता है जब $2 \omega t = \frac{\pi}{2}$.
$\omega = \frac{2 \pi}{T}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 (\frac{2 \pi}{T}) t = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{4 \pi t}{T} = \frac{\pi}{2} \implies t = \frac{T}{8}$.
इसे $t = \frac{T}{\beta}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\beta = 8$ प्राप्त होता है।

(D) माना कुल दूरी $2D$ है। सवार $D$ दूरी $v_1 = 5\,m/s$ की गति से तय करता है। लिया गया समय $t_1 = \frac{D}{5}$ है।
शेष $D$ दूरी के लिए,सवार $t_2$ समय तक यात्रा करता है जिसमें पहले आधे समय $t_2/2$ के लिए गति $v_2 = 10\,m/s$ है और दूसरे आधे समय $t_2/2$ के लिए गति $v_3 = 15\,m/s$ है।
दूरी $D = (v_2 \cdot \frac{t_2}{2}) + (v_3 \cdot \frac{t_2}{2}) = (10 \cdot \frac{t_2}{2}) + (15 \cdot \frac{t_2}{2}) = 5t_2 + 7.5t_2 = 12.5t_2$.
अतः,$t_2 = \frac{D}{12.5} = \frac{D}{25/2} = \frac{2D}{25}$.
औसत गति $\langle v \rangle = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2D}{t_1 + t_2} = \frac{2D}{\frac{D}{5} + \frac{2D}{25}} = \frac{2D}{\frac{5D + 2D}{25}} = \frac{2D \cdot 25}{7D} = \frac{50}{7}\,m/s$.
इसकी तुलना $\frac{x}{7}\,m/s$ से करने पर,हमें $x = 50$ प्राप्त होता है।

(D) स्क्रू गेज का पिच $0.5\,mm$ है और वृत्ताकार विभाजनों की संख्या $100$ है।
$\text{अल्पतमांक (LC)} = \frac{\text{पिच}}{\text{कुल वृत्ताकार विभाजन}} = \frac{0.5\,mm}{100} = 5 \times 10^{-3\,mm}$.
चूंकि वृत्ताकार पैमाने का शून्य संदर्भ रेखा से $6$ विभाजन नीचे है,इसलिए शून्य त्रुटि धनात्मक है।
$\text{शून्य त्रुटि} = +6 \times \text{LC} = 6 \times 5 \times 10^{-3}\,mm = 30 \times 10^{-3}\,mm$.
प्रेक्षित पाठ्यांक $MSR + (CSR \times LC) = 4 \times 0.5\,mm + 46 \times 5 \times 10^{-3}\,mm = 2.0\,mm + 0.23\,mm = 2.23\,mm$.
संशोधित व्यास = $\text{प्रेक्षित पाठ्यांक} - \text{शून्य त्रुटि} = 2.23\,mm - 0.03\,mm = 2.20\,mm$.
अतः,$2.20\,mm = 220 \times 10^{-2}\,mm$।

(D) घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
केंद्र से गुजरने वाली और लंबाई के लंबवत अक्ष के परितः घूमने वाली $\ell$ लंबाई की एक पतली एकसमान छड़ के लिए जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{m \ell^2}{12}$ होता है।
छड़ का द्रव्यमान $m = \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = d \times (A \ell) = d A \ell$ है।
$I$ के व्यंजक में $m$ का मान रखने पर,$I = \frac{(d A \ell) \ell^2}{12} = \frac{d A \ell^3}{12}$ प्राप्त होता है।
अब,गतिज ऊर्जा के सूत्र में $I$ का मान रखने पर: $E = \frac{1}{2} \left( \frac{d A \ell^3}{12} \right) \omega^2 = \frac{d A \ell^3}{24} \omega^2$।
यहाँ $\ell = 2 \ m$ दिया गया है,इसलिए $E = \frac{d A (2)^3}{24} \omega^2 = \frac{8 d A}{24} \omega^2 = \frac{d A}{3} \omega^2$।
$\omega$ के लिए हल करने पर,$\omega^2 = \frac{3 E}{d A}$,जिसका अर्थ है $\omega = \sqrt{\frac{3 E}{d A}}$।
दिए गए समीकरण $\omega = \sqrt{\frac{\alpha E}{Ad}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 3$ प्राप्त होता है।

(A) माना ब्लॉक का द्रव्यमान $m = \sqrt{3} \, kg$ है। ब्लॉक का भार नीचे की ओर $W = mg = \sqrt{3} \times 10 = 10\sqrt{3} \, N$ कार्य करता है।
उस बिंदु के संतुलन पर विचार करें जहाँ डोरी,बल $F$ और भार जुड़े हुए हैं। डोरी में तनाव $T$,ऊर्ध्वाधर दीवार के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाता है।
तनाव $T$ को घटकों में वियोजित करने पर:
ऊर्ध्वाधर घटक: $T \cos 30^{\circ}$ (ऊपर की ओर)
क्षैतिज घटक: $T \sin 30^{\circ}$ (दीवार की ओर)
निकाय के संतुलन में होने के लिए:
$1$. ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित होना चाहिए: $T \cos 30^{\circ} = mg$
$T \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$
$T = 10 \times 2 = 20 \, N$
अतः,तनाव $T$ का मान $20 \, N$ है।

(B) आदर्श गैस के प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $K_{av} = \frac{3}{2} kT$ है,जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
चूँकि हाइड्रोजन और ऑक्सीजन दोनों एक ही फ्लास्क में हैं,इसलिए वे समान तापमान $T = 27^{\circ} C = 300 \ K$ पर हैं।
प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा केवल तापमान $T$ पर निर्भर करती है और यह गैस के अणुओं के द्रव्यमान या प्रकृति पर निर्भर नहीं करती है।
इसलिए,हाइड्रोजन और ऑक्सीजन की प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_{H_2}}{K_{O_2}} = \frac{\frac{3}{2} kT}{\frac{3}{2} kT} = 1: 1$ है।

(D) औसत चाल कुल तय की गई दूरी और कुल लिए गए समय का अनुपात होती है।
कुल दूरी $d_{total} = 4\,km + 4\,km = 8\,km$.
पहले भाग के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{d_1}{v_1} = \frac{4}{3}\,h$.
दूसरे भाग के लिए लिया गया समय $t_2 = \frac{d_2}{v_2} = \frac{4}{5}\,h$.
कुल समय $t_{total} = t_1 + t_2 = \frac{4}{3} + \frac{4}{5} = \frac{20 + 12}{15} = \frac{32}{15}\,h$.
औसत चाल $V_{av} = \frac{d_{total}}{t_{total}} = \frac{8}{32/15} = \frac{8 \times 15}{32} = \frac{15}{4} = 3.75\,km/h$.

(D) दिया गया है:
बंदूक का द्रव्यमान,$M = 10\,kg$
प्रत्येक गोली का द्रव्यमान,$m = 20\,g = 0.02\,kg$
प्रति मिनट दागी गई गोलियों की संख्या,$n = 180$
प्रत्येक गोली का वेग,$v = 100\,m s^{-1}$
प्रति सेकंड दागी गई गोलियों की दर,$n' = \frac{180}{60} = 3\,bullets/s$
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,बंदूक और गोलियों का कुल संवेग शून्य होना चाहिए।
$M \times V + n' \times (m \times v) = 0$
$10 \times V + 3 \times (0.02 \times 100) = 0$
$10 \times V + 3 \times 2 = 0$
$10 \times V = -6$
$V = -0.6\,m/s$
प्रतिक्षेप वेग का परिमाण $0.6\,m/s$ है।

(B) मूविंग कॉइल गैल्वेनोमीटर की कॉइल पर लगने वाला टॉर्क $\tau = NiAB$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$i$ धारा है,$A$ क्षेत्रफल है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
सस्पेंशन तार द्वारा प्रदान किया गया प्रत्यानयन टॉर्क (restoring torque) $\tau = K\theta$ है,जहाँ $K$ मरोड़ नियतांक है और $\theta$ विक्षेप है।
दोनों टॉर्क को बराबर करने पर: $NiAB = K\theta$.
क्षेत्रफल $A$ के लिए सूत्र: $A = \frac{K\theta}{NiB}$.
दिए गए मान:
$K = 4.0 \times 10^{-5}\,Nm\,rad^{-1}$
$\theta = 0.05\,rad$
$N = 200$
$i = 10\,mA = 10 \times 10^{-3}\,A = 0.01\,A$
$B = 0.01\,T$
मान रखने पर:
$A = \frac{4.0 \times 10^{-5} \times 0.05}{200 \times 0.01 \times 0.01}$
$A = \frac{2.0 \times 10^{-6}}{0.02} = 1.0 \times 10^{-4}\,m^2$.
चूंकि $1\,m^2 = 10^4\,cm^2$,इसलिए:
$A = 1.0 \times 10^{-4} \times 10^4\,cm^2 = 1\,cm^2$.

(A) मैक्सवेल के चार समीकरण इस प्रकार हैं:
$1$. स्थिर वैद्युतकी में गॉस का नियम: $\oint \vec{E} \cdot d \vec{s} = \frac{q}{\epsilon_0}$ $(A-IV)$
$2$. फैराडे का प्रेरण नियम: $\oint \vec{E} \cdot d \vec{l} = -\frac{d \phi_B}{d t}$ $(B-I)$
$3$. चुंबकत्व में गॉस का नियम: $\oint \vec{B} \cdot d \vec{A} = 0$ $(C-II)$
$4$. एम्पियर-मैक्सवेल नियम: $\oint \vec{B} \cdot d \vec{l} = \mu_0 i_C + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d \phi_E}{d t}$ $(D-III)$
अतः,सही मिलान $A-IV, B-I, C-II, D-III$ है।

(D) कथन-$I$ सही है: $Si$ (समूह $14$) में बोरॉन (समूह $13$) मिलाने से $P$-प्रकार का अर्धचालक बनता है जिसमें होल्स की अधिकता होती है। $Si$ में आर्सेनिक (समूह $15$) मिलाने से $N$-प्रकार का अर्धचालक बनता है जिसमें इलेक्ट्रॉनों की अधिकता होती है।
कथन-$II$ गलत है: जब $P-N$ जंक्शन बनाया जाता है,तो एक अवक्षय परत (depletion region) और अवरोध विभव (barrier potential) उत्पन्न होता है। यह अवरोध विभव बहुसंख्यक आवेश वाहकों को जंक्शन पार करने से रोकता है। इसलिए,बाहरी बायस वोल्टेज की अनुपस्थिति में जंक्शन से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। बिना बायस वाले $P-N$ जंक्शन से जुड़ा एमीटर $zero$ धारा दर्शाएगा।

(A) मान लीजिए कि आवेश $q_1 = 10\,\mu C$,$x_1 = 0$ पर है और आवेश $q_2 = 40\,\mu C$,$x_0$ पर है।
बिंदु $P$ $(x = 2\,cm)$ पर $q_1$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{K q_1}{r_1^2} = \frac{K \times 10}{(2)^2}$ (दाहिनी ओर की दिशा में) है।
बिंदु $P$ पर $q_2$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{K q_2}{r_2^2} = \frac{K \times 40}{(x_0 - 2)^2}$ (बाईं ओर की दिशा में) है।
$P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होने के लिए,$E_1 = E_2$ होना चाहिए।
$\frac{K \times 10}{2^2} = \frac{K \times 40}{(x_0 - 2)^2}$
$\frac{10}{4} = \frac{40}{(x_0 - 2)^2}$
$(x_0 - 2)^2 = \frac{40 \times 4}{10} = 16$
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर,$x_0 - 2 = 4$ (क्योंकि विद्युत क्षेत्रों को एक-दूसरे को निरस्त करने के लिए आवेश को $P$ के दाईं ओर होना चाहिए)।
$x_0 = 6\,cm$.

(D) संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\lambda = 124.1 \, nm = 124.1 \times 10^{-9} \, m$।
$hc \approx 1241 \, eV \cdot nm$ का उपयोग करते हुए,आवश्यक ऊर्जा अंतर $\Delta E = \frac{1241 \, eV \cdot nm}{124.1 \, nm} = 10 \, eV$ है।
चित्र से:
संक्रमण $A$: $\Delta E = 0 - (-2.2) = 2.2 \, eV$।
संक्रमण $B$: $\Delta E = 0 - (-5.2) = 5.2 \, eV$।
संक्रमण $C$: $\Delta E = -2.2 - (-5.2) = 3.0 \, eV$।
संक्रमण $D$: $\Delta E = 0 - (-10.0) = 10.0 \, eV$।
चूंकि संक्रमण $D$ ऊर्जा अंतर $10 \, eV$ के अनुरूप है,इसलिए यह $124.1 \, nm$ तरंगदैर्ध्य के फोटॉन के उत्सर्जन का कारण बनेगा।

(A) वायुमंडलीय परतें और उनकी अनुमानित ऊँचाई इस प्रकार है:
$1$. क्षोभमंडल: पृथ्वी की सतह से लगभग $10 \ km$ तक फैला है $(A-III)$.
$2$. आयनमंडल का $D$-भाग: लगभग $65-75 \ km$ की ऊँचाई पर स्थित है $(D-I)$.
$3$. आयनमंडल का $E$-भाग: लगभग $100 \ km$ की ऊँचाई पर स्थित है $(B-IV)$.
$4$. आयनमंडल का $F_2$-भाग: लगभग $300 \ km$ की ऊँचाई पर स्थित है $(C-II)$.
अतः,सही मिलान $A-III, B-IV, C-II, D-I$ है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक के सिरों के बीच प्रेरित इलेक्ट्रोमोटिव बल (emf) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$e = Bv\ell$
जहाँ:
$B = 2\,T$ (चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता)
$v = 8\,m/s$ (तार का वेग)
$\ell = 1\,m$ (तार की लंबाई)
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$e = 2 \times 8 \times 1 = 16\,V$
अतः,प्रेरित emf का परिमाण $16\,V$ है।

(C) प्रारंभिक प्रतिरोध $R_{\text{initial}} = \frac{\rho \ell}{A} = 5 \Omega$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि खींचने के दौरान तार का आयतन स्थिर रहता है:
$V_i = V_f$
$A_i \ell_i = A_f \ell_f$
यहाँ $\ell_f = 5 \ell_i$ दिया गया है,इसलिए $A_i \ell_i = A_f (5 \ell_i)$,जिसका अर्थ है $A_f = \frac{A_i}{5}$।
नया प्रतिरोध $R_f$ इस प्रकार है:
$R_f = \frac{\rho \ell_f}{A_f} = \frac{\rho (5 \ell_i)}{\left(\frac{A_i}{5}\right)}$
$R_f = 25 \left(\frac{\rho \ell_i}{A_i}\right)$
$R_f = 25 \times 5 = 125 \Omega$।

(D) निरोधी विभव $V_S$,अधिकतम गतिज ऊर्जा $KE_{\max}$ से $V_S = \frac{KE_{\max}}{e}$ समीकरण द्वारा संबंधित है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$KE_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,जहाँ $\lambda$ आपतित प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है और $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है।
अतः,$V_S = \frac{\frac{hc}{\lambda} - \phi}{e}$।
कथन $I$ सही है क्योंकि निरोधी विभव केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति (या तरंगदैर्घ्य) पर निर्भर करता है और प्रकाश स्रोत की तीव्रता या शक्ति से स्वतंत्र होता है।
कथन $II$ सही है क्योंकि किसी दी गई धातु के लिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $KE_{\max}$,आपतित तरंगदैर्घ्य $\lambda$ का एक फलन है।
अतः,दोनों कथन सही हैं।

(B) वायु वाले समानांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 5 \mu F$ है।
जब $t = \frac{d}{2}$ मोटाई और $K = 1.5$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C_{\text{new}}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$C_{\text{new}} = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$C_{\text{new}} = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{d}{2} + \frac{d/2}{1.5}}$
$C_{\text{new}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{d}{2} + \frac{d}{3}}$
$C_{\text{new}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{3d + 2d}{6}} = \frac{6 \epsilon_0 A}{5 d}$
चूंकि $\frac{\epsilon_0 A}{d} = 5 \mu F$,इसलिए:
$C_{\text{new}} = \frac{6}{5} \times 5 \mu F = 6 \mu F$.

(B) दिया गया है: उत्तल लेंस की फोकस दूरी $f = 10\,cm$। लेंस से दर्पण की दूरी $= 20\,cm$। अंतिम प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $5\,cm$ पर बनता है।
दर्पण द्वारा निर्मित प्रतिबिंब दर्पण के पीछे $5\,cm$ की दूरी पर है। इसका अर्थ है कि दर्पण के लिए वस्तु (जो लेंस द्वारा निर्मित प्रतिबिंब $I_1$ है) दर्पण के सामने $5\,cm$ की दूरी पर होनी चाहिए।
चूंकि दर्पण लेंस से $20\,cm$ की दूरी पर है,इसलिए लेंस द्वारा निर्मित प्रतिबिंब $I_1$,लेंस से $v = 20\,cm - 5\,cm = 15\,cm$ की दूरी पर है।
लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$
मान रखने पर: $\frac{1}{15} - \frac{1}{-u} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{15} + \frac{1}{u} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{u} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 2}{30} = \frac{1}{30}$
अतः,$u = 30\,cm$। वस्तु लेंस से $30\,cm$ की दूरी पर रखी गई है।

(B) माना बिंदु $P$ से प्रत्येक तार की दूरी $d$ है। चूंकि $P$ को तारों से जोड़ने वाली रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए दोनों तारों के बीच की दूरी $d$ और $d$ भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण है। अतः,$d^2 + d^2 = (7\,cm)^2$,जिससे $2d^2 = 49$ प्राप्त होता है,इसलिए $d = \frac{7}{\sqrt{2}}\,cm = \frac{7}{1.4} \times 10^{-2}\,m = 5 \times 10^{-2}\,m$.
लंबे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi d}$ होता है।
तार $1$ $(i_1 = 8\,A)$ के लिए,$B_1 = \frac{\mu_0 \times 8}{2\pi d}$.
तार $2$ $(i_2 = 15\,A)$ के लिए,$B_2 = \frac{\mu_0 \times 15}{2\pi d}$.
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ और $B_2$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{net}} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \frac{\mu_0}{2\pi d} \sqrt{i_1^2 + i_2^2}$ है।
मान रखने पर:
$B_{\text{net}} = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2\pi \times 5 \times 10^{-2}} \sqrt{8^2 + 15^2} = \frac{2 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-2}} \sqrt{64 + 225} = \frac{2 \times 10^{-5}}{5} \times 17 = 68 \times 10^{-6}\,T$.

(B) दिया गया है कि वेग का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{2}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$m_1 v_1 = m_2 v_2$। इसलिए,उनके द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि नाभिकीय द्रव्यमान घनत्व स्थिर होता है,इसलिए नाभिक का द्रव्यमान उसके आयतन के समानुपाती होता है,अर्थात $m \propto r^3$,जहाँ $r$ नाभिकीय त्रिज्या है।
अतः,$\frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$।
द्रव्यमान का अनुपात रखने पर: $\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \frac{2}{3}$।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\frac{r_1}{r_2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}}$।
इसकी तुलना दिए गए व्यंजक $\left(\frac{x}{3}\right)^{\frac{1}{3}}$ से करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(B) बाहरी प्रतिरोध $R$ से बहने वाली धारा ज्ञात करने के लिए,हम पहले समानांतर में जुड़े दो सेलों का तुल्य emf $(E_{eq})$ और तुल्य आंतरिक प्रतिरोध $(r_{eq})$ ज्ञात करते हैं।
समानांतर में जुड़े सेलों के लिए तुल्य emf का सूत्र है:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}}$
यहाँ $E_1 = 12 \, V$,$r_1 = 3 \, \Omega$ और $E_2 = 6 \, V$,$r_2 = 6 \, \Omega$ दिया गया है। ध्यान दें कि सेल इस तरह जुड़े हैं कि उनकी ध्रुवता एक-दूसरे के विपरीत है,इसलिए:
$E_{eq} = \frac{\frac{12}{3} - \frac{6}{6}}{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = \frac{4 - 1}{\frac{2+1}{6}} = \frac{3}{\frac{3}{6}} = \frac{3}{0.5} = 6 \, V$
तुल्य आंतरिक प्रतिरोध:
$\frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies r_{eq} = 2 \, \Omega$
अब,परिपथ एक $6 \, V$ और $2 \, \Omega$ के सेल और $4 \, \Omega$ के बाहरी प्रतिरोध $R$ के श्रेणी संयोजन में सरल हो जाता है।
धारा $i$ इस प्रकार है:
$i = \frac{E_{eq}}{r_{eq} + R} = \frac{6}{2 + 4} = \frac{6}{6} = 1 \, A$

(B) $LCR$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2}$ सूत्र का उपयोग करके परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ की गणना करें।
यहाँ $R = 80\,\Omega$,$X_L = 70\,\Omega$,और $X_C = 130\,\Omega$ दिया गया है,इसलिए:
$Z = \sqrt{80^2 + (130 - 70)^2}$
$Z = \sqrt{80^2 + 60^2}$
$Z = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100\,\Omega$.
अब,शक्ति गुणांक की गणना करें:
$\cos \phi = \frac{80}{100} = \frac{8}{10}$.
इसकी तुलना दिए गए शक्ति गुणांक $\frac{x}{10}$ से करने पर,हमें $x = 8$ प्राप्त होता है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,आवेश $q$ को घेरने वाली एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ होता है।
किसी विशिष्ट सतह से गुजरने वाले फ्लक्स की गणना करने के लिए,हम समरूपता (symmetry) की विधि का उपयोग कर सकते हैं। दिए गए घनाभ के ऊपर $2 L \times 2 L \times L$ आयाम का एक समान घनाभ इस प्रकार रखें कि आवेश $q$ दोनों घनाभों की उभयनिष्ठ सतह पर स्थित हो।
अब,आवेश $q$ एक बड़े घनाभ द्वारा घिरा हुआ है जिसके आयाम $2 L \times 2 L \times 2 L$ हैं,जो वास्तव में $2 L$ भुजा वाला एक घन है।
इस बड़ी बंद सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\frac{q}{\varepsilon_0}$ है।
समरूपता के कारण,इस बड़े घन की $6$ सतहों में से प्रत्येक से गुजरने वाला फ्लक्स समान होता है।
इसलिए,बड़े घन की एक सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_{face} = \frac{1}{6} \left( \frac{q}{\varepsilon_0} \right) = \frac{q}{6 \varepsilon_0}$ है।
चूंकि सतह '$S$' और उसकी विपरीत सतह इस बड़े घन की सतहों का हिस्सा हैं,इसलिए विपरीत सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\frac{q}{6 \varepsilon_0}$ होगा।

(A) जब प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं,तो प्रत्येक प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $V$ समान होता है।
प्रतिरोधक में मुक्त ऊष्मीय ऊर्जा $H$ का सूत्र $H = \frac{V^2}{R} \times t$ है,जहाँ $t$ समय है।
प्रथम प्रतिरोधक $R_1 = R$ के लिए,मुक्त ऊर्जा $H_1 = \frac{V^2 t}{R}$ है।
दूसरे प्रतिरोधक $R_2 = 3R$ के लिए,मुक्त ऊर्जा $H_2 = \frac{V^2 t}{3R}$ है।
मुक्त ऊष्मीय ऊर्जा का अनुपात $\frac{H_1}{H_2} = \frac{\frac{V^2 t}{R}}{\frac{V^2 t}{3R}} = \frac{3R}{R} = 3:1$ है।

(C) $xy$ तल में स्थित एक धारा लूप के कारण चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं $z$-अक्ष के अनुदिश लूप के केंद्र से होकर गुजरती हैं।
$xy$ तल (कुंडली का तल) में किसी भी बिंदु पर,चुंबकीय क्षेत्र सदिश तल के लंबवत होता है,जिसका अर्थ है कि इसका केवल $z$-घटक होता है। अतः,$z = 0$ पर $B_y = 0$ होता है।
जैसे-जैसे हम $z$-अक्ष से $a$ की निश्चित दूरी पर ($yz$ तल में) $z$-अक्ष के अनुदिश चलते हैं,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं मुड़ जाती हैं। $z > 0$ के लिए,चुंबकीय क्षेत्र का $y$-घटक $(B_y)$ धनात्मक है,और $z < 0$ के लिए,लूप की समरूपता और धारा की दिशा के कारण चुंबकीय क्षेत्र का $y$-घटक $(B_y)$ ऋणात्मक है।
इसलिए,$B_y$ बनाम $z$ का ग्राफ मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरना चाहिए और एक असममित (antisymmetric) व्यवहार दिखाना चाहिए,जो विकल्प $C$ में दिखाए गए आलेख के अनुरूप है।

(A) धारा विन्यास दो मुड़े हुए तारों से बना है। बिंदु $O$,खंड $BC$ और $ET$ से $a$ लंबवत दूरी पर है।
एक अर्ध-अनंत तार के लिए,सिरे से $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
खंड $AB$ और $ED$ क्रमशः कोनों $B$ और $E$ की ओर निर्देशित हैं,और $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र में उनका योगदान शून्य है क्योंकि बिंदु $O$ इन खंडों की रेखा पर स्थित है।
खंड $BC$ और $ET$ बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र में योगदान करते हैं। दाहिने हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,बिंदु $O$ पर $BC$ में धारा के कारण चुंबकीय क्षेत्र बाहर की ओर (तल के लंबवत) निर्देशित है।
बिंदु $O$ पर $ET$ में धारा के कारण चुंबकीय क्षेत्र भी बाहर की ओर निर्देशित है।
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_0$ है:
$B_0 = B_{BC} + B_{ET} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} + \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} = \frac{2 \mu_0 I}{4 \pi a} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a}$.

(C) $i$ धारा ले जाने वाले $L$ भुजा वाले वर्गाकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ इसकी चार भुजाओं के कारण उत्पन्न क्षेत्रों के योग के बराबर होता है।
एक भुजा के लिए,केंद्र पर क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (L/2)} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ) = \frac{\mu_0 i}{2 \pi L} (2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{2 \pi L} = \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi L}$ है।
चूंकि चार भुजाएं हैं,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \cdot \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi L} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 i}{\pi L}$ है।
चूंकि $L \gg R$,हम मानते हैं कि छोटे वृत्ताकार लूप के क्षेत्रफल पर चुंबकीय क्षेत्र एकसमान है।
$A = \pi R^2$ क्षेत्रफल वाले वृत्ताकार लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \left( \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 i}{\pi L} \right) (\pi R^2) = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 R^2 i}{L}$ है।
परिभाषा के अनुसार,$\phi = Mi$,इसलिए $M = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 R^2}{L}$ प्राप्त होता है।

(D) $1$. निर्वात में प्रकाश की गति एक सार्वभौमिक स्थिरांक $(c \approx 3 \times 10^8 \ m/s)$ है और यह संचरण की दिशा पर निर्भर नहीं करती है,इसलिए कथन $A$ गलत है।
$2$. माध्यम में प्रकाश की गति अपवर्तनांक पर निर्भर करती है,जो प्रकाश की तरंग दैर्ध्य के साथ बदलता है (विक्षेपण की घटना),इसलिए कथन $B$ गलत है।
$3$. विशेष सापेक्षता के सिद्धांतों के अनुसार,प्रकाश की गति स्रोत की गति से स्वतंत्र है,इसलिए कथन $C$ सत्य है।
$4$. माध्यम में प्रकाश की गति माध्यम के गुणों (परावैद्युतांक और पारगम्यता) द्वारा निर्धारित होती है और यह प्रकाश की तीव्रता से स्वतंत्र है,इसलिए कथन $D$ सत्य है।
$5$. अतः,कथन $C$ और $D$ सही हैं।

(C) $P$ बिंदु पर पहले निम्निष्ठ के लिए शर्त पथ अंतर $\Delta x = A_2 P - A_1 P = \frac{\lambda}{2}$ द्वारा दी जाती है।
चित्र की ज्यामिति से,$A_1 P = D$ और $A_2 P = \sqrt{D^2 + a^2}$ है।
अतः,$\sqrt{D^2 + a^2} - D = \frac{\lambda}{2}$।
$a \ll D$ के लिए द्विपद सन्निकटन का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sqrt{D^2 + a^2} = D(1 + \frac{a^2}{D^2})^{1/2} \approx D(1 + \frac{a^2}{2D^2}) = D + \frac{a^2}{2D}$।
इसे पथ अंतर समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(D + \frac{a^2}{2D}) - D = \frac{\lambda}{2}$।
यह सरल होकर $\frac{a^2}{2D} = \frac{\lambda}{2}$ देता है,जिससे $a = \sqrt{\lambda D}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\lambda = 800 \, nm = 800 \times 10^{-9} \, m = 8 \times 10^{-7} \, m$ और $D = 5 \, cm = 0.05 \, m$ है।
$a = \sqrt{8 \times 10^{-7} \times 0.05} = \sqrt{40 \times 10^{-9}} = \sqrt{400 \times 10^{-10}} = 20 \times 10^{-5} \, m = 0.2 \times 10^{-3} \, m = 0.2 \, mm$।

(D) ट्रांसमिटिंग एंटेना की ऊंचाई $h_T$ और रिसीविंग एंटेना की ऊंचाई $h_R$ के बीच अधिकतम लाइन ऑफ साइट दूरी $(d_M)$ का सूत्र है: $d_M = \sqrt{2Rh_T} + \sqrt{2Rh_R}$.
दिया गया है: $h_T = 80\,m$,$h_R = 80\,m$ और $R = 6.4 \times 10^6\,m$.
मान रखने पर: $d_M = \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \times 80} + \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \times 80}$.
$d_M = 2 \times \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \times 80} = 2 \times \sqrt{1024 \times 10^6} = 2 \times 32 \times 10^3\,m$.
$d_M = 64 \times 10^3\,m = 64\,km$.

(D) फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन होने के लिए,आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ से कम या उसके बराबर होनी चाहिए।
यहाँ $\lambda_0 = 5500\,\mathring A$ दिया गया है।
इन्फ्रारेड विकिरण की तरंगदैर्ध्य $7000\,\mathring A$ से अधिक होती है,जो $5500\,\mathring A$ से बड़ी है। इसलिए,यह फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन का कारण नहीं बन सकता है।
अल्ट्रा-वायलेट विकिरण की तरंगदैर्ध्य आमतौर पर $100\,\mathring A$ से $4000\,\mathring A$ के बीच होती है,जो $5500\,\mathring A$ से कम है। इसलिए,लैंप की शक्ति पर ध्यान दिए बिना यह फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जन का कारण बन सकता है।
अतः,$75\,W$ और $10\,W$ दोनों अल्ट्रा-वायलेट लैंप उत्सर्जन का कारण बनेंगे।
सही विकल्प $D$ (केवल $C$ और $D$) है।

(A) समय $t$ के बाद शेष रेडियोधर्मी पदार्थ का अंश ज्ञात करने का सूत्र $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ है।
यहाँ,अर्ध-आयु $T_{1/2} = 30 \ min$ और कुल समय $t = 90 \ min$ दिया गया है।
बीते हुए अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{90}{30} = 3$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.
अतः,अविघटित रेडियोधर्मी तत्व का अंश $\frac{1}{8}$ है।

(C) लाइट एमिटिंग डायोड $(LED)$ एक भारी डोप किया गया $p-n$ जंक्शन डायोड है।
यह केवल तभी प्रकाश उत्सर्जित करता है जब यह फॉरवर्ड बायस में होता है,क्योंकि इलेक्ट्रॉनों और होल्स का पुनर्संयोजन फोटॉन के रूप में ऊर्जा मुक्त करता है।
यह रिवर्स बायस में होने पर प्रकाश उत्सर्जित नहीं करता है।
उत्सर्जित प्रकाश की ऊर्जा $(E = h
u)$ उपयोग किए गए अर्धचालक पदार्थ के ऊर्जा बैंड गैप $(E_g)$ के बराबर या उससे थोड़ी कम होती है।
इसलिए,कथन $C$ गलत है।

(A) प्रारंभिक नाभिक ${}_{92}^{242}X$ है।
$\alpha$-कण ${}_{2}^{4}He$ है,इलेक्ट्रॉन $(\beta^-)$ ${}_{-1}^{0}e$ है,और पॉज़िट्रॉन $(\beta^+)$ ${}_{+1}^{0}e$ है।
उत्सर्जन प्रक्रिया: ${}_{92}^{242}X \rightarrow 2({}_{2}^{4}He) + 1({}_{-1}^{0}e) + 2({}_{+1}^{0}e) + {}_{P}^{234}Y$.
परमाणु क्रमांक $(Z)$ का संरक्षण: $92 = 2(2) + 1(-1) + 2(1) + P$.
$92 = 4 - 1 + 2 + P$.
$92 = 5 + P$.
$P = 92 - 5 = 87$.

(A) मान लीजिए कि प्रोटॉन को मूल बिंदु से $r$ दूरी पर रखा गया है। मूल बिंदु पर स्थित $q_1$ के कारण बल $F_1 = \frac{k (4q_0) q_0}{r^2}$ (प्रतिकर्षण,दाईं ओर) है।
$x = 12 \, cm$ पर स्थित $q_2$ के कारण बल $F_2 = \frac{k q_0 q_0}{(r - 12)^2}$ (आकर्षण,बाईं ओर) है।
कुल बल शून्य होने के लिए,$F_1 = F_2$ होना चाहिए:
$\frac{4 k q_0^2}{r^2} = \frac{k q_0^2}{(r - 12)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{2}{r} = \frac{1}{r - 12}$
$2(r - 12) = r$
$2r - 24 = r$
$r = 24 \, cm$.
अतः,प्रोटॉन मूल बिंदु से $24 \, cm$ की दूरी पर है।

(A) मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,$P = 2\,\Omega$ और $Q = 3\,\Omega$ है। मान लीजिए संतुलन लंबाई $l_1$ है। तब $\frac{2}{3} = \frac{l_1}{100-l_1}$।
इसे हल करने पर,$200 - 2l_1 = 3l_1 \Rightarrow 5l_1 = 200 \Rightarrow l_1 = 40\,cm$ प्राप्त होता है।
जब $3\,\Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर में $x\,\Omega$ का शंट जोड़ा जाता है,तो नया प्रतिरोध $Q' = \frac{3x}{3+x}$ हो जाता है।
नई संतुलन लंबाई $l_2 = l_1 + 22.5 = 40 + 22.5 = 62.5\,cm$ है।
नई संतुलन स्थिति $\frac{2}{Q'} = \frac{62.5}{100-62.5} = \frac{62.5}{37.5} = \frac{5}{3}$ है।
अतः,$Q' = 2 \times \frac{3}{5} = 1.2\,\Omega$।
$Q'$ के लिए व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{3x}{3+x} = 1.2$ प्राप्त होता है।
$3x = 1.2(3+x) \Rightarrow 3x = 3.6 + 1.2x \Rightarrow 1.8x = 3.6$।
इसलिए,$x = 2\,\Omega$।

(A) लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\Phi = B \cdot A = B \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
फैराडे के नियम के अनुसार,प्रेरित emf $\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$ होता है।
इसका परिमाण लेने पर,$\varepsilon = \left| \frac{d}{dt} (B \pi r^2) \right| = B \pi (2r) \frac{dr}{dt}$।
दिए गए मान: $B = 0.8 \, T$,$r = 10 \, cm = 0.1 \, m$,और $\frac{dr}{dt} = -2 \, cm/s = -0.02 \, m/s$।
मान रखने पर:
$\varepsilon = 0.8 \times \pi \times 2 \times 0.1 \times 0.02$।
$\varepsilon = 0.8 \times \pi \times 0.004 = 0.0032 \pi \, V$।
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर,$\varepsilon \approx 0.0032 \times 3.14159 \approx 0.010053 \, V$।
मिलीवोल्ट $(mV)$ में बदलने पर: $\varepsilon \approx 10.053 \, mV$।
निकटतम पूर्णांक में राउंड ऑफ करने पर,हमें $10 \, mV$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि स्रोत $S$ से आने वाले अध्रुवित प्रकाश की प्रारंभिक तीव्रता $I_0 = 256 \text{ W/m}^2$ है।
जब अध्रुवित प्रकाश पहले पोलेरॉइड $P_1$ से गुजरता है,तो तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2} = \frac{256}{2} = 128 \text{ W/m}^2$ हो जाती है।
मेलस के नियम के अनुसार,जब ध्रुवित प्रकाश एक दूसरे पोलेरॉइड से गुजरता है जिसकी पास अक्ष आपतित प्रकाश की ध्रुवण दिशा के साथ $\theta$ कोण पर होती है,तो संचरित तीव्रता $I = I_{incident} \cos^2(\theta)$ होती है।
$P_2$ के लिए,$P_1$ के साथ कोण $\theta_1 = 60^{\circ}$ है। इसलिए,$I_2 = I_1 \cos^2(60^{\circ}) = 128 \times (\frac{1}{2})^2 = 128 \times \frac{1}{4} = 32 \text{ W/m}^2$.
$P_3$ के लिए,$P_2$ के साथ कोण $\theta_2 = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है। इसलिए,$I_3 = I_2 \cos^2(30^{\circ}) = 32 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 32 \times \frac{3}{4} = 24 \text{ W/m}^2$.
इस प्रकार,बिंदु $O$ पर तीव्रता $24 \text{ W/m}^2$ है।

(A) के प्रारंभिक मोल: $(n_0)_A = \frac{320}{16} = 20 \text{ मोल}$.
$B$ के प्रारंभिक मोल: $(n_0)_B = \frac{320}{32} = 10 \text{ मोल}$.
$2$ दिनों के बाद $A$ के शेष मोल ($T_{1/2} = 1$ दिन): $n_A = \frac{20}{2^{2/1}} = \frac{20}{4} = 5 \text{ मोल}$.
$2$ दिनों के बाद $B$ के शेष मोल ($T_{1/2} = 0.5$ दिन): $n_B = \frac{10}{2^{2/0.5}} = \frac{10}{2^4} = \frac{10}{16} = 0.625 \text{ मोल}$.
कुल शेष मोल: $n_{total} = 5 + 0.625 = 5.625 \text{ मोल}$.
परमाणुओं की कुल संख्या: $N = 5.625 \times 6.023 \times 10^{23} \approx 3.388 \times 10^{24}$.
अतः,उत्तर लगभग $3.38$ है।

(C) $V$ विभव द्वारा त्वरित $M$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2MqV}}$ द्वारा दी जाती है।
$\alpha$-कण के लिए,$M_{\alpha} = 4M_p$ और $q_{\alpha} = 2e$ है। प्रोटॉन के लिए,$M_p = M_p$ और $q_p = e$ है।
अनुपात $\frac{\lambda_{\alpha}}{\lambda_p} = \sqrt{\frac{M_p q_p}{M_{\alpha} q_{\alpha}}} = \sqrt{\frac{M_p \cdot e}{4M_p \cdot 2e}} = \sqrt{\frac{1}{8}}$ है।
इसे $\frac{1}{\sqrt{m}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $m = 8$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए परिपथ में दो $NOT$ गेट,दो $AND$ गेट और एक $OR$ गेट शामिल हैं। मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$1$. ऊपरी $AND$ गेट को $\bar{A}$ और $B$ इनपुट मिलते हैं। इसका आउटपुट $Y_1 = \bar{A} \cdot B$ है।
$2$. निचले $AND$ गेट को $A$ और $\bar{B}$ इनपुट मिलते हैं। इसका आउटपुट $Y_2 = A \cdot \bar{B}$ है।
$3$. अंतिम $OR$ गेट इन आउटपुट को जोड़ता है: $X = Y_1 + Y_2 = \bar{A}B + A\bar{B}$।
यह एक $XOR$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
$XOR$ गेट के लिए सत्यता सारणी इस प्रकार है:
- यदि $A=0, B=0$ है,तो $X = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$।
- यदि $A=0, B=1$ है,तो $X = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$।
- यदि $A=1, B=0$ है,तो $X = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1$।
- यदि $A=1, B=1$ है,तो $X = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0$।
अतः,सही सत्यता सारणी वह है जिसमें $X=1$ केवल तब होता है जब $A$ और $B$ अलग-अलग होते हैं,जो विकल्प $C$ के अनुरूप है।

(C) विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W_E = q \vec{E} \cdot \vec{d}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{d}$ विस्थापन सदिश है।
दिया गया है: $q = 2 \times 10^{-2} \, C$,$\vec{E} = 30 \hat{i} \, N C^{-1}$.
विस्थापन सदिश $\vec{d} = \vec{S} - \vec{P} = (0 - 1)\hat{i} + (0 - 2)\hat{j} + (0 - 0)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} \, m$.
अब,$W_E = (2 \times 10^{-2}) \times (30 \hat{i}) \cdot (-\hat{i} - 2\hat{j})$.
$W_E = (2 \times 10^{-2}) \times (-30) \, J$.
$W_E = -60 \times 10^{-2} \, J = -0.6 \, J$.
चूँकि $1 \, J = 1000 \, mJ$,इसलिए $W_E = -0.6 \times 1000 \, mJ = -600 \, mJ$.

(B) मॉड्यूलेशन इंडेक्स $\mu$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$\mu = \frac{V_{\max} - V_{\min}}{V_{\max} + V_{\min}}$
दिया गया है,$V_{\max} = 14\,mV$ और $V_{\min} = 6\,mV$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\mu = \frac{14 - 6}{14 + 6}$
$\mu = \frac{8}{20}$
$\mu = 0.4$
अतः,मॉड्यूलेशन इंडेक्स $0.4$ है।

(C) $N$ फेरों और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N i}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
पहली कुंडली के लिए,$N_1 = 4$ और $B_1 = 32 \ T$ है। अतः,$32 = \frac{\mu_0 \cdot 4 \cdot i}{2R_1} \implies 32 = \frac{2 \mu_0 i}{R_1}$।
जब $L$ लंबाई के तार को खोलकर एक फेरे $(N_2 = 1)$ में फिर से लपेटा जाता है,तो परिधि समान रहती है: $L = 2\pi R_1 \cdot N_1 = 2\pi R_2 \cdot N_2$।
चूंकि $N_1 = 4$ और $N_2 = 1$ है,इसलिए $4(2\pi R_1) = 1(2\pi R_2)$,जिससे $R_2 = 4R_1$ प्राप्त होता है।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 N_2 i}{2R_2} = \frac{\mu_0 \cdot 1 \cdot i}{2(4R_1)} = \frac{\mu_0 i}{8R_1}$ है।
$B_1$ और $B_2$ की तुलना करने पर: $\frac{B_2}{B_1} = \frac{\mu_0 i / 8R_1}{2 \mu_0 i / R_1} = \frac{1}{16}$।
अतः,$B_2 = \frac{B_1}{16} = \frac{32}{16} = 2 \ T$।

(B) पोटेंशियोमीटर की संवेदनशीलता को उसके द्वारा मापे जा सकने वाले सबसे छोटे विभवांतर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
विभव प्रवणता $(k)$ को तार की प्रति इकाई लंबाई में विभव पतन के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $k = V/L$ द्वारा दिया जाता है।
संवेदनशीलता विभव प्रवणता $(k)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है। इसलिए,जैसे-जैसे $k$ घटता है,संवेदनशीलता बढ़ती है।
चूंकि $k = V/L$,$k$ को कम करने का अर्थ है एक निश्चित विभवांतर $(V)$ के लिए पोटेंशियोमीटर तार की लंबाई $(L)$ को बढ़ाना।
इस प्रकार,संवेदनशीलता तार की लंबाई $(L)$ के सीधे आनुपातिक और विभव प्रवणता $(k)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
कथन $(A)$ और $(C)$ सही हैं।

(B) संयुक्त सूक्ष्मदर्शी की विभेदन क्षमता $(RP)$ का सूत्र है: $RP = \frac{2 \mu \sin \theta}{1.22 \lambda}$,जहाँ $\mu$ वस्तु और अभिदृश्यक लेंस के बीच के माध्यम का अपवर्तनांक है,$\theta$ वस्तु से आने वाले प्रकाश के शंकु का आधा कोण है,और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंग दैर्ध्य है।
विभेदन क्षमता को सुधारने के लिए,अंश $(2 \mu \sin \theta)$ को बढ़ाना चाहिए या हर $(1.22 \lambda)$ को कम करना चाहिए।
माध्यम का अपवर्तनांक $(\mu)$ बढ़ाने से (उदाहरण के लिए,तेल विसर्जन या 'oil immersion' का उपयोग करके) विभेदन क्षमता सीधे बढ़ जाती है। अतः,विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(A) कथन $I$ सही है क्योंकि विद्युतचुंबकीय तरंगें उदासीन होती हैं और उन पर कोई आवेश नहीं होता है; इसलिए,वे विद्युत या चुंबकीय क्षेत्रों द्वारा विक्षेपित नहीं होती हैं।
कथन $II$ गलत है। विद्युतचुंबकीय तरंग में विद्युत क्षेत्र $(E_0)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B_0)$ के आयामों के बीच सही संबंध $E_0 = c B_0$ है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है। चूँकि $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$,इसलिए सही संबंध $E_0 = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} B_0$ है।

(A) परिपथ $(a)$ में,प्रतिबाधा $Z_a = R = 40\,\Omega$ है। rms धारा $I_a = \frac{V}{Z_a} = \frac{220}{40} = 5.5\,A$ है।
परिपथ $(b)$ में,प्रतिबाधा $Z_b = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
चूंकि $Z_b = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \geq R$ है,इसलिए $Z_b \geq Z_a$ होता है।
अतः,धारा $I_b = \frac{V}{Z_b} \leq \frac{V}{Z_a} = I_a$ होती है।
इसका अर्थ है कि परिपथ $(b)$ में rms धारा कभी भी परिपथ $(a)$ की rms धारा से अधिक नहीं हो सकती।

(B) वर्गाकार लूप का क्षेत्रफल $A = 25\,cm^2 = 25 \times 10^{-4}\,m^2$ है। इसकी भुजा की लंबाई $\ell = \sqrt{A} = 5 \times 10^{-2}\,m = 0.05\,m$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $B = 40.0\,T$ है और प्रतिरोध $R = 10\,\Omega$ है।
जब लूप को $t = 1.0\,s$ समय में चुंबकीय क्षेत्र से बाहर खींचा जाता है,तो प्रेरित $EMF$ $\varepsilon = B\ell v$ होता है,जहाँ $v = \frac{\ell}{t} = \frac{0.05\,m}{1.0\,s} = 0.05\,m/s$ है।
प्रेरित धारा $i = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B\ell v}{R} = \frac{40 \times 0.05 \times 0.05}{10} = 0.01\,A$ है।
लूप पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F = Bi\ell = 40 \times 0.01 \times 0.05 = 0.02\,N$ है।
किया गया कार्य $W = F \times \ell = 0.02 \times 0.05 = 0.001\,J = 1 \times 10^{-3\,J}$ है।

(B) मीटर सेतु के लिए,संतुलन की स्थिति $\frac{P}{Q} = \frac{l}{100-l}$ होती है,जहाँ $P$ बाएं अंतराल में प्रतिरोध है और $Q$ दाएं अंतराल में प्रतिरोध है।
स्थिति $1$: $R_1$ और $R_2$ श्रेणीक्रम में हैं। $P = R_1 + R_2$,$Q = 10 \ \Omega$,$l = 60 \ cm$.
$\frac{R_1 + R_2}{10} = \frac{60}{100-60} = \frac{60}{40} = \frac{3}{2}$.
$R_1 + R_2 = 10 \times \frac{3}{2} = 15 \ \Omega$.
स्थिति $2$: $R_1$ और $R_2$ समांतर क्रम में हैं। $P = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$,$Q = 3 \ \Omega$,$l = 40 \ cm$.
$\frac{R_1 R_2 / (R_1 + R_2)}{3} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.
$\frac{R_1 R_2}{3(R_1 + R_2)} = \frac{2}{3} \Rightarrow R_1 R_2 = 2(R_1 + R_2)$.
$R_1 + R_2 = 15 \ \Omega$ का मान रखने पर:
$R_1 R_2 = 2 \times 15 = 30 \ \Omega^2$.

(B) विद्युत क्षेत्र $E$ और विभव $V$ के बीच संबंध $E = -\frac{dV}{dr}$ है।
दिए गए $V = 2ar^2 + b$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$E = -\frac{d}{dr}(2ar^2 + b) = -4ar$ प्राप्त होता है।
समान रूप से आवेशित गोले के लिए गॉस के नियम के अनुसार,अंदर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\rho r}{3\varepsilon}$ होता है,जहाँ $\rho$ आयतन आवेश घनत्व है।
$E$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $-4ar = \frac{\rho r}{3\varepsilon}$।
$\rho$ के लिए हल करने पर: $\rho = -12a\varepsilon$।
इसे दिए गए रूप $\rho = -\lambda a\varepsilon$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\lambda = 12$ प्राप्त होता है।

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ में अधिकतम धारा के लिए,परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होना चाहिए।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) के बराबर होता है: $X_L = X_C$.
$2\pi fL = \frac{1}{2\pi fC}$.
धारिता $C$ के लिए सूत्र: $C = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L}$.
दिया गया है: $L = 2\,\mu\text{H} = 2 \times 10^{-6}\text{ H}$,$f = 7\,\text{kHz} = 7 \times 10^3\text{ Hz}$,और $\pi = \frac{22}{7}$.
मान रखने पर: $C = \frac{1}{4 \times (\frac{22}{7})^2 \times (7 \times 10^3)^2 \times 2 \times 10^{-6}}$.
$C = \frac{1}{4 \times \frac{484}{49} \times 49 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-6}}$.
$C = \frac{1}{4 \times 484 \times 2} = \frac{1}{3872}\text{ F}$.
इसे $\frac{1}{x}\text{ F}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 3872$ प्राप्त होता है।

(B) परावैद्युत माध्यमों के लिए,अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ द्वारा दिया जाता है। $\mu_r = 1$ दिया गया है,इसलिए $\mu_1 = \sqrt{2.8}$ और $\mu_2 = \sqrt{6.8}$ है।
जब परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत होती हैं,तो आपतन कोण $i$ ब्रूस्टर कोण होता है,जो $\tan i = \frac{\mu_2}{\mu_1}$ को संतुष्ट करता है।
मान रखने पर,$\tan i = \sqrt{\frac{6.8}{2.8}}$ प्राप्त होता है।
हम भिन्न को $\frac{6.8}{2.8} = \frac{2.8 + 4}{2.8} = 1 + \frac{4}{2.8} = 1 + \frac{40}{28} = 1 + \frac{10}{7}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\tan i = \sqrt{1 + \frac{10}{7}}$।
इसे दिए गए व्यंजक $\tan i = \sqrt{1 + \frac{10}{\theta}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\theta = 7$ प्राप्त होता है।

(B) माना $\varepsilon$ सेल का $EMF$ है और $r$ इसका आंतरिक प्रतिरोध है। माना $x$ पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब सेल को $R_1 = 5\,\Omega$ के प्रतिरोध से शंट किया जाता है,तो टर्मिनल विभवांतर $V_1 = \frac{\varepsilon R_1}{r + R_1} = \frac{5\varepsilon}{r + 5}$ होता है।
शून्य विक्षेप बिंदु $l_1 = 200\,cm$ पर है,इसलिए $V_1 = x l_1 = 200x$ है।
अतः,$\frac{5\varepsilon}{r + 5} = 200x$ --- (समीकरण $1$)
जब सेल को $R_2 = 15\,\Omega$ के प्रतिरोध से शंट किया जाता है,तो टर्मिनल विभवांतर $V_2 = \frac{\varepsilon R_2}{r + R_2} = \frac{15\varepsilon}{r + 15}$ होता है।
शून्य विक्षेप बिंदु $l_2 = 300\,cm$ पर है,इसलिए $V_2 = x l_2 = 300x$ है।
अतः,$\frac{15\varepsilon}{r + 15} = 300x$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5\varepsilon / (r + 5)}{15\varepsilon / (r + 15)} = \frac{200x}{300x}$
$\frac{5}{r + 5} \times \frac{r + 15}{15} = \frac{2}{3}$
$\frac{r + 15}{3(r + 5)} = \frac{2}{3}$
$\frac{r + 15}{r + 5} = 2$
$r + 15 = 2r + 10$
$r = 5\,\Omega$.

(D) आवेश $Q(t) = \alpha t - \beta t^2 + \gamma t^3$ द्वारा दिया गया है।
विद्युत धारा $i$ आवेश के परिवर्तन की समय के सापेक्ष दर है: $i = \frac{dQ}{dt} = \alpha - 2\beta t + 3\gamma t^2$.
न्यूनतम धारा ज्ञात करने के लिए,हम धारा का समय के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{di}{dt} = -2\beta + 6\gamma t = 0$.
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \frac{2\beta}{6\gamma} = \frac{\beta}{3\gamma}$ प्राप्त होता है।
अब,$t = \frac{\beta}{3\gamma}$ का मान धारा के समीकरण में रखने पर:
$i_{min} = \alpha - 2\beta \left(\frac{\beta}{3\gamma}\right) + 3\gamma \left(\frac{\beta}{3\gamma}\right)^2$
$i_{min} = \alpha - \frac{2\beta^2}{3\gamma} + 3\gamma \left(\frac{\beta^2}{9\gamma^2}\right)$
$i_{min} = \alpha - \frac{2\beta^2}{3\gamma} + \frac{\beta^2}{3\gamma}$
$i_{min} = \alpha - \frac{\beta^2}{3\gamma}$.

(D) पढ़ने वाले चश्मे का उपयोग आँख के निकट बिंदु को मानक निकट बिंदु $25 \, cm$ पर ठीक करने के लिए किया जाता है।
पढ़ने वाले चश्मे के लिए,वस्तु को मानक निकट बिंदु $u = -25 \, cm$ पर रखा जाता है,और प्रतिबिंब व्यक्ति के वास्तविक निकट बिंदु $v$ पर बनता है।
पढ़ने वाले चश्मे की शक्ति $P = +2.0 \, D$ है।
फोकस दूरी $f = \frac{1}{P} = \frac{1}{2} \, m = 50 \, cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{v} - \frac{1}{-25} = \frac{1}{50}$
$\frac{1}{v} + \frac{1}{25} = \frac{1}{50}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{50} - \frac{1}{25} = \frac{1-2}{50} = -\frac{1}{50}$
$v = -50 \, cm$.
इस व्यक्ति के लिए स्पष्ट दृष्टि की न्यूनतम दूरी $50 \, cm$ है।

(C) वृत्ताकार कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M$ सूत्र $M = NIA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है,और $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
यह दिया गया है कि कुंडलियों $A$ और $B$ के चुंबकीय आघूर्ण समान हैं,इसलिए $M_A = M_B$ है।
सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $N_A I_A A_A = N_B I_B A_B$ प्राप्त होता है।
वृत्ताकार कुंडली का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है। अतः,$A_A = \pi (r_A)^2$ और $A_B = \pi (r_B)^2$ है।
मान $r_A = 10 \ cm = 0.1 \ m$ और $r_B = 20 \ cm = 0.2 \ m$ रखने पर:
$N_A I_A \pi (0.1)^2 = N_B I_B \pi (0.2)^2$
$N_A I_A (0.01) = N_B I_B (0.04)$
दोनों पक्षों को $0.01$ से विभाजित करने पर,हमें $N_A I_A = 4 N_B I_B$ प्राप्त होता है।