JEE Main 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) बेलनाकार तार का घनत्व $\rho$ सूत्र $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi r^2 l}$ द्वारा दिया जाता है।
सापेक्ष त्रुटि लेने पर,$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta l}{l}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $m = 0.4 \, g, \Delta m = 0.01 \, g$,$l = 8 \, cm, \Delta l = 0.04 \, cm$,और $r = 6 \, mm, \Delta r = 0.03 \, mm$ हैं।
इन मानों को त्रुटि सूत्र में रखने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{0.01}{0.4} + 2 \left( \frac{0.03}{6} \right) + \frac{0.04}{8}$.
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.025 + 0.01 + 0.005 = 0.04$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,$100 \%$ से गुणा करने पर:
$\text{प्रतिशत त्रुटि} = 0.04 \times 100 \% = 4 \%$.

(B) पिंड की गतिज ऊर्जा $(KE)$ और उसके संवेग $(p)$ के बीच संबंध है: $KE = \frac{p^2}{2m}$।
माना प्रारंभिक संवेग $p_i$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = \frac{p_i^2}{2m}$ है।
संवेग में $50 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए अंतिम संवेग $p_f = p_i + 0.50 p_i = 1.5 p_i$ होगा।
अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_f = \frac{p_f^2}{2m} = \frac{(1.5 p_i)^2}{2m} = \frac{2.25 p_i^2}{2m} = 2.25 KE_i$ होगी।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत वृद्धि $\frac{KE_f - KE_i}{KE_i} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{2.25 KE_i - KE_i}{KE_i} \times 100 = 1.25 \times 100 = 125 \%$।

(B) $M_{total}$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक पूर्ण वलय का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = M_{total}R^2$ होता है।
$M$ द्रव्यमान वाली अर्धवृत्ताकार वलय के लिए,द्रव्यमान इस प्रकार वितरित होता है कि प्रत्येक द्रव्यमान अवयव की केंद्र से दूरी ठीक $R$ होती है।
जड़त्व आघूर्ण $I$ को $\int r^2 dm$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि अर्धवृत्ताकार वलय का प्रत्येक द्रव्यमान अवयव $dm$ केंद्र से $R$ की स्थिर दूरी पर है,इसलिए हमें $I = \int R^2 dm = R^2 \int dm = MR^2$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए व्यंजक $\frac{1}{x} MR^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\frac{1}{x} = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x = 1$।

(B) $L$ लंबाई वाली खुली ऑर्गन पाइप के लिए,अनुनाद आवृत्तियाँ $f_n = \frac{n V}{2L}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ हार्मोनिक संख्या है।
दिया गया है: लंबाई $L = 40\,cm = 0.4\,m$,ध्वनि की गति $V = 360\,ms^{-1}$।
दूसरे हार्मोनिक के लिए,$n = 2$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$f_2 = \frac{2 \times 360}{2 \times 0.4} = \frac{360}{0.4} = 900\,Hz$.

(B) चूंकि बुलबुला एक स्थिर टर्मिनल वेग से ऊपर की ओर बढ़ रहा है,इसलिए उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है।
ऊपर की ओर लगने वाला उत्प्लावन बल $B$,नीचे की ओर लगने वाले श्यान बल $F_v$ द्वारा संतुलित होता है।
$B = F_v$
उत्प्लावन बल के लिए आर्किमिडीज के सिद्धांत और श्यान बल के लिए स्टोक्स के नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{4}{3} \pi R^3 \rho g = 6 \pi \eta R v$
जहाँ $R$ बुलबुले की त्रिज्या है,$\rho$ घोल का घनत्व है,$\eta$ श्यानता गुणांक है,और $v$ टर्मिनल वेग है।
दिया गया है:
व्यास $d = 6\,mm \implies R = 3\,mm = 3 \times 10^{-3}\,m$
घनत्व $\rho = 1750\,kg/m^3$
वेग $v = 0.35\,cm/s = 0.35 \times 10^{-2}\,m/s$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$
$\eta$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\eta = \frac{2 R^2 \rho g}{9 v}$
मान रखने पर:
$\eta = \frac{2 \times (3 \times 10^{-3})^2 \times 1750 \times 10}{9 \times 0.35 \times 10^{-2}}$
$\eta = \frac{2 \times 9 \times 10^{-6} \times 17500}{9 \times 0.35 \times 10^{-2}}$
$\eta = \frac{2 \times 10^{-6} \times 17500}{0.35 \times 10^{-2}}$
$\eta = \frac{0.035}{0.0035} = 10\,Pa\cdot s$

(A) कण $P$ एकसमान वृत्तीय गति कर रहा है। $t=0$ पर,स्थिति सदिश $OP$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ (या $\pi/6$ रेडियन) का कोण बनाता है।
किसी भी समय $t$ पर,कण वामावर्त दिशा में $\omega t$ कोण से घूमता है।
इसलिए,समय $t$ पर स्थिति सदिश $OP$ द्वारा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कुल कोण $\theta = \omega t + 30^{\circ} = \omega t + \frac{\pi}{6}$ है।
$x$-अक्ष पर स्थिति सदिश $OP$ का प्रक्षेप $x(t) = r \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta$ का मान रखने पर,हमें $x(t) = r \cos \left(\omega t + \frac{\pi}{6}\right)$ प्राप्त होता है।

(C) बल आघूर्ण $\tau = r \times F$. विमीय सूत्र: $[L] \times [MLT^{-2}] = [ML^2T^{-2}]$। यह $(II)$ से मेल खाता है।
$(B)$ प्रतिबल $= F/A$। विमीय सूत्र: $[MLT^{-2}] / [L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$। यह $(IV)$ से मेल खाता है।
$(C)$ दाब प्रवणता $= \Delta P / \Delta x$। विमीय सूत्र: $[ML^{-1}T^{-2}] / [L] = [ML^{-2}T^{-2}]$। यह $(I)$ से मेल खाता है।
$(D)$ श्यानता गुणांक $\eta$,$F = 6\pi \eta r v$ से। विमीय सूत्र: $[MLT^{-2}] = [\eta] [L] [LT^{-1}] \Rightarrow [\eta] = [ML^{-1}T^{-1}]$। यह $(III)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(A)-(II), (B)-(IV), (C)-(I), (D)-(III)$ है।

(A) प्रक्षेप पथ का समीकरण $y = x - \frac{x^2}{20}$ है।
अधिकतम ऊँचाई ज्ञात करने के लिए,हमें $y$ का वह मान ज्ञात करना होगा जब प्रक्षेप पथ की ढाल शून्य हो,अर्थात $\frac{dy}{dx} = 0$ हो।
समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x - \frac{x^2}{20}) = 1 - \frac{2x}{20} = 1 - \frac{x}{10}$.
अवकलन को शून्य के बराबर रखने पर:
$1 - \frac{x}{10} = 0 \Rightarrow x = 10\,m$.
अब,अधिकतम ऊँचाई $y_{\max}$ ज्ञात करने के लिए $x = 10$ का मान प्रक्षेप पथ के समीकरण में रखने पर:
$y_{\max} = 10 - \frac{(10)^2}{20} = 10 - \frac{100}{20} = 10 - 5 = 5\,m$.

(C) भार द्वारा लगाया गया बल $F = mg$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $m = 5000\,kg$ और $g = 10\,m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $F = 5000 \times 10 = 50000\,N$ है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 250\,cm^2 = 250 \times 10^{-4}\,m^2 = 2.5 \times 10^{-2}\,m^2$ है।
पास्कल के नियम के अनुसार,द्रव पर लगाया गया दबाव पूरे पात्र में समान रूप से संचरित होता है। भार द्वारा लगाया गया दबाव $P = \frac{F}{A}$ है।
$P = \frac{50000}{250 \times 10^{-4}} = \frac{5 \times 10^4}{2.5 \times 10^{-2}} = 2 \times 10^6\,Pa$.

(D) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में घूम रहे $m$ द्रव्यमान के उपग्रह का कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है।
कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM_e}{r}}$ है,जहाँ $M_e$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
$L$ के व्यंजक में $v$ का मान रखने पर:
$L = m \sqrt{\frac{GM_e}{r}} \cdot r = m \sqrt{GM_e} \cdot r^{1/2}$.
यह दर्शाता है कि $L \propto r^{1/2}$.
मान लीजिए कि पृथ्वी के केंद्र से प्रारंभिक दूरी $r_1 = r$ है। पृथ्वी के केंद्र से नई दूरी को उसके प्रारंभिक मान से आठ गुना बढ़ा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि नई दूरी $r_2 = r + 8r = 9r$ है।
अब,नए कोणीय संवेग $L'$ और प्रारंभिक कोणीय संवेग $L$ का अनुपात:
$\frac{L'}{L} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{1/2} = \left( \frac{9r}{r} \right)^{1/2} = (9)^{1/2} = 3$.
अतः,नया कोणीय संवेग $L' = 3L$ होगा।

(C) गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा $K = \frac{f}{2} kT$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है,$k$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ केल्विन में परम तापमान है।
चूंकि $f$ और $k$ नियतांक हैं,इसलिए गतिज ऊर्जा परम तापमान के सीधे आनुपातिक होती है: $K \propto T$.
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}\,C = 27 + 273 = 300\,K$ दिया गया है।
मान लीजिए $K_1$,$T_1$ पर गतिज ऊर्जा है और $K_2$,$T_2$ तापमान पर गतिज ऊर्जा है।
प्रश्न के अनुसार,$K_2 = 2K_1$.
आनुपातिकता $K_1 / K_2 = T_1 / T_2$ का उपयोग करने पर:
$1 / 2 = 300 / T_2$
$T_2 = 600\,K$.
तापमान को वापस सेल्सियस में बदलने पर: $T_2 = 600 - 273 = 327^{\circ}\,C$.

(A) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर स्थित बिंदु के लिए,गुरुत्वीय त्वरण इस प्रकार दिया जाता है:
$g(h) = \frac{GM}{(R+h)^2}$
जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
हम इस व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$g(h) = \frac{GM}{R^2(1 + \frac{h}{R})^2}$
$g(h) = \frac{GM}{R^2} (1 + \frac{h}{R})^{-2}$
चूँकि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है,इसलिए:
$g(h) = g (1 + \frac{h}{R})^{-2}$
दी गई शर्त $h \ll R$ के लिए,हम द्विपद सन्निकटन (binomial approximation) $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ का उपयोग कर सकते हैं,जहाँ $|x| \ll 1$:
$(1 + \frac{h}{R})^{-2} \approx 1 - \frac{2h}{R}$
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$g(h) \approx g (1 - \frac{2h}{R})$
अतः,$h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g^{\prime} = g(1 - \frac{2h}{R})$ होता है।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ को $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
दिए गए तापमान $T_1 = 127^{\circ}C = 127 + 273 = 400\,K$ और $T_2 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300\,K$ हैं।
दक्षता $\eta = 1 - \frac{300}{400} = 1 - 0.75 = 0.25$ है।
साथ ही,दक्षता को $\eta = \frac{W}{Q_1}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $W$ किया गया कार्य है और $Q_1$ स्रोत से अवशोषित ऊष्मा है।
दिया गया है $W = 2\,kJ$,इसलिए $0.25 = \frac{2\,kJ}{Q_1}$ है।
अतः,$Q_1 = \frac{2}{0.25} = 8\,kJ$।

(C) वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल वस्तु का विस्थापन दर्शाता है,न कि दूरी (दूरी चाल-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल होती है)। इसलिए,कथन $I$ असत्य है क्योंकि इसमें 'दूरी' शब्द का उल्लेख है।
त्वरण-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल $\int a \, dt = \int \frac{dv}{dt} \, dt = \Delta v$ द्वारा दिया जाता है। यह वेग में परिवर्तन को दर्शाता है। इसलिए,कथन $II$ सत्य है।
अतः,कथन $I$ असत्य है और कथन $II$ सत्य है।

(D) चरण $1$: टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण के नियम को लागू करें।
$P_i = P_f$
$(0.1)(400) = (0.1 + 3.9)v$
$40 = 4v$
$v = 10\,m/s$
चरण $2$: खुरदरी सतह पर गुटका-गोली निकाय की गति का विश्लेषण करें।
घर्षण बल $f = \mu N = \mu (M+m)g$ है।
मंदक त्वरण $a = \frac{f}{M+m} = \mu g$ है।
चरण $3$: घर्षण गुणांक $\mu$ ज्ञात करने के लिए गति के समीकरण का उपयोग करें।
$v_f^2 = v_i^2 + 2as$
$0 = (10)^2 - 2(\mu g)(20)$
$0 = 100 - 40 \mu (10)$
$400 \mu = 100$
$\mu = \frac{100}{400} = 0.25$

(A) दोनों सिरों पर बंधी हुई डोरी के लिए,मूल आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{v}{2\ell}$ है,जहाँ $v$ तरंग की गति है और $\ell$ तार की लंबाई है।
चूंकि $v$ तार के तनाव और रैखिक घनत्व पर निर्भर करता है,जो स्थिर रहते हैं,इसलिए $f \propto \frac{1}{\ell}$ होता है।
अतः,$f_1 \ell_1 = f_2 \ell_2$.
यहाँ $f_1 = 120\,Hz$,$\ell_1 = 90\,cm$,और $f_2 = 180\,Hz$ दिया गया है।
मान रखने पर: $120 \times 90 = 180 \times \ell_2$.
$\ell_2 = \frac{120 \times 90}{180} = \frac{10800}{180} = 60\,cm$.

(A) छड़ को फैलने से रोकने पर उत्पन्न तापीय प्रतिबल (thermal stress) $\sigma = Y \alpha \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
संपीड़ित बल $F = \text{प्रतिबल} \times A = Y A \alpha \Delta T$ है।
दिए गए मान:
$Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$
$A = 10^{-4}\,m^2$
$\alpha = 10^{-5}\,K^{-1}$
$\Delta T = 200^{\circ}C - 0^{\circ}C = 200\,K$
मान रखने पर:
$F = (2 \times 10^{11}) \times (10^{-4}) \times (10^{-5}) \times (200)$
$F = 2 \times 10^{11} \times 10^{-9} \times 200$
$F = 2 \times 10^2 \times 200 = 400 \times 100 = 4 \times 10^4\,N$.
अतः,उत्पन्न संपीड़ित बल $4 \times 10^4\,N$ है।

(A) उच्चतम बिंदु पर,अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_f = 0$ होती है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i$ स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है:
$KE_i = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
एक खोखली गोलाकार गेंद के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{3} mR^2$ होता है। शुद्ध लोटनिक गति के मामले में,$v = R\omega$,इसलिए $\omega = \frac{v}{R}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$KE_i = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} \times (\frac{2}{3} mR^2) \times (\frac{v}{R})^2$
$KE_i = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{3} mv^2 = \frac{5}{6} mv^2$
ऊर्जा संरक्षण के नियम को लागू करने पर,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$KE_i = PE_f$
$\frac{5}{6} mv^2 = mgh$
$h = \frac{5v^2}{6g}$
यहाँ $v = 3\, m/s$ और $g = 10\, m/s^2$ लेने पर:
$h = \frac{5 \times (3)^2}{6 \times 10} = \frac{5 \times 9}{60} = \frac{45}{60} = 0.75\, m$
सेंटीमीटर में बदलने पर: $0.75\, m = 75\, cm$।

(A) दिया गया है:
द्रव्यमान $M = 5\,kg$
प्रारंभिक संवेग $P_i = 10\,kg\,m/s$
बल $F = 2\,N$
समय अंतराल $\Delta t = 5\,s$
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,संवेग में परिवर्तन लगाए गए आवेग के बराबर होता है:
$\Delta P = F \times \Delta t = P_f - P_i$
$2\,N \times 5\,s = P_f - 10\,kg\,m/s$
$10 = P_f - 10$
अंतिम संवेग $P_f = 20\,kg\,m/s$
गतिज ऊर्जा $KE$ और संवेग $P$ के बीच संबंध $KE = \frac{P^2}{2M}$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = \frac{P_i^2}{2M} = \frac{10^2}{2 \times 5} = \frac{100}{10} = 10\,J$
अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_f = \frac{P_f^2}{2M} = \frac{20^2}{2 \times 5} = \frac{400}{10} = 40\,J$
गतिज ऊर्जा में वृद्धि = $KE_f - KE_i = 40\,J - 10\,J = 30\,J$.

(A) भौतिक राशि के लिए सूत्र $P = \frac{a^2 b^3}{c \sqrt{d}}$ है।
त्रुटियों के प्रसार के नियमों का उपयोग करते हुए,$P$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta P}{P} = 2 \frac{\Delta a}{a} + 3 \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{1}{2} \frac{\Delta d}{d}$.
प्रतिशत त्रुटि ज्ञात करने के लिए,हम $100 \%$ से गुणा करते हैं:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 \% = \left( 2 \frac{\Delta a}{a} + 3 \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{1}{2} \frac{\Delta d}{d} \right) \times 100 \%$.
दी गई प्रतिशत त्रुटियाँ $\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 1 \%$,$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 2 \%$,$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 3 \%$ और $\frac{\Delta d}{d} \times 100 = 4 \%$ हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 \% = 2(1 \%) + 3(2 \%) + 3 \% + \frac{1}{2}(4 \%)$.
$= 2 \% + 6 \% + 3 \% + 2 \% = 13 \%$.

(D) पृथ्वी की सतह पर पिंड का भार $W = mg = 200 \, N$ है।
पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g' = g(1 - d/R)$ होता है,जहाँ $g$ सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
दी गई गहराई $d = R/2$ को सूत्र में रखने पर:
$g' = g(1 - (R/2)/R) = g(1 - 1/2) = g/2$ प्राप्त होता है।
गहराई $d$ पर पिंड का भार $W' = mg' = m(g/2) = (mg)/2$ होगा।
चूंकि $mg = 200 \, N$ है,इसलिए $W' = 200/2 = 100 \, N$ होगा।

(C) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$ है,जहाँ $v$ प्रारंभिक वेग है,$\theta$ प्रक्षेपण कोण है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि वेग $v$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ स्थिर हैं,इसलिए परास $\sin(2\theta)$ के समानुपाती है,अर्थात $R \propto \sin(2\theta)$।
दिया गया है कि $\theta_1 = 15^{\circ}$ और $R_1 = 50\,m$। $\theta_2 = 45^{\circ}$ के लिए हमें $R_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\sin(2\theta_1)}{\sin(2\theta_2)} = \frac{\sin(2 \times 15^{\circ})}{\sin(2 \times 45^{\circ})} = \frac{\sin(30^{\circ})}{\sin(90^{\circ})}$।
मान रखने पर: $\frac{50}{R_2} = \frac{0.5}{1} = \frac{1}{2}$।
अतः,$R_2 = 50 \times 2 = 100\,m$।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का कुल प्रारंभिक संवेग उसके कुल अंतिम संवेग के बराबर होना चाहिए।
निकाय का प्रारंभिक संवेग: $P_i = m \cdot v + 2m \cdot 0 = mv$
टक्कर के बाद,दोनों कण एक साथ चिपक जाते हैं,जिससे कुल द्रव्यमान $(m + 2m) = 3m$ हो जाता है।
मान लीजिए कि संयुक्त द्रव्यमान का अंतिम वेग $v'$ है।
निकाय का अंतिम संवेग: $P_f = (3m) \cdot v'$
प्रारंभिक और अंतिम संवेग की तुलना करने पर: $mv = 3m \cdot v'$
$v'$ के लिए हल करने पर: $v' = \frac{mv}{3m} = \frac{v}{3}$

(C) विभिन्न प्रकार की गैसों के लिए स्वतंत्रता की कोटि $(f)$ इस प्रकार है:
$1$. एकपरमाणुक गैसें: इनमें केवल $3$ स्थानांतरणीय स्वतंत्रता की कोटि होती है। अतः,$(A) - (I)$।
$2$. दृढ़ द्विपरमाणुक गैसें: इनमें $3$ स्थानांतरणीय और $2$ घूर्णी स्वतंत्रता की कोटि होती है। अतः,$(B) - (III)$।
$3$. अदृढ़ द्विपरमाणुक गैसें: इनमें $3$ स्थानांतरणीय,$2$ घूर्णी और $1$ कंपन स्वतंत्रता की कोटि होती है। अतः,$(C) - (IV)$।
$4$. बहुपरमाणुक गैसें: इनमें $3$ स्थानांतरणीय,$3$ घूर्णी और एक से अधिक कंपन स्वतंत्रता की कोटि होती है। अतः,$(D) - (II)$।
अतः,सही मिलान $(A) - (I), (B) - (III), (C) - (IV), (D) - (II)$ है।

(D) पात्र $A$ में समतापीय प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ स्थिर रहता है।
बॉयल के नियम का उपयोग करते हुए: $P_1 V_1 = P_2 V_2$।
दिया गया है कि $P_1 = P$,$V_1 = V$,और $V_2 = V/8$।
$P \cdot V = P_A \cdot (V/8) \implies P_A = 8P$।
पात्र $B$ में रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,संबंध $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ है,जहाँ एकपरमाणुक गैस के लिए $\gamma = 5/3$ है।
$P \cdot V^{5/3} = P_B \cdot (V/8)^{5/3}$।
$P_B = P \cdot (V / (V/8))^{5/3} = P \cdot (8)^{5/3}$।
चूंकि $8 = 2^3$,इसलिए $8^{5/3} = (2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$।
अतः,$P_B = 32P$।
गैस $B$ के अंतिम दाब और गैस $A$ के अंतिम दाब का अनुपात $\frac{P_B}{P_A} = \frac{32P}{8P} = 4$ है।

(C) पृथ्वी के चारों ओर $r$ दूरी पर घूमने वाले उपग्रह की कक्षीय चाल $v$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है और $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि कक्षीय चाल उपग्रह के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है और यह कक्षीय त्रिज्या के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$
दिया गया है:
पहले उपग्रह की त्रिज्या,$r_1 = r$
दूसरे उपग्रह की त्रिज्या,$r_2 = 3r$
कक्षीय चालों $v_1$ और $v_2$ का अनुपात:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}}$
मान रखने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{3r}{r}} = \sqrt{3}$
अतः,कक्षीय चालों का अनुपात $\sqrt{3}: 1$ है।

(B) स्थिर तरल के लिए,समान क्षैतिज गहराई $h$ पर किसी भी बिंदु पर दबाव $P = P_{atm} + \rho gh$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि दिए गए क्षैतिज स्तर के लिए $P_{atm}$,$\rho$,$g$,और $h$ स्थिर हैं,इसलिए समान स्तर पर सभी बिंदुओं पर दबाव समान होता है। अतः,कथन $I$ सही है।
पास्कल के नियम के अनुसार,एक बंद असंपीड्य तरल पर लगाया गया दबाव का परिवर्तन तरल के प्रत्येक भाग में और पात्र की दीवारों पर बिना किसी कमी के समान रूप से प्रसारित होता है। अतः,कथन $II$ सही है।

(A) विस्थापन समीकरण $x(t) = A \sin(\omega t + \delta)$ है।
$t = 0$ पर,स्थिति $x = \frac{A}{2}$ है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{A}{2} = A \sin(\omega(0) + \delta) \Rightarrow \sin \delta = \frac{1}{2}$.
यह $[0, 2\pi)$ अंतराल में $\delta$ के लिए दो संभावित मान देता है: $\delta = \frac{\pi}{6}$ या $\delta = \frac{5\pi}{6}$।
कण का वेग $v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \delta)$ है।
$t = 0$ पर,$v(0) = A\omega \cos \delta$।
चूंकि कण धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में गति करता है,इसलिए वेग धनात्मक $(v > 0)$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $\cos \delta > 0$।
$\delta = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ (मान्य)।
$\delta = \frac{5\pi}{6}$ के लिए,$\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ (अमान्य)।
अतः,सही मान $\delta = \frac{\pi}{6}$ है।

(A) $1$. स्थिति-समय ग्राफ $x$-अक्ष पर स्कूल से दूरी और $t$-अक्ष पर समय दर्शाता है। स्कूल मूल बिंदु $(x=0)$ पर है।
$2$. ग्राफ को देखने पर,$A$ का $x$-अन्तःखंड $B$ के $x$-अन्तःखंड से कम है। अतः,$A$ स्कूल के करीब रहता है। कथन $(A)$ सही है।
$3$. स्थिति-समय ग्राफ का ढलान वेग $(v = dx/dt)$ को दर्शाता है। चूंकि रेखा $B$ का ढलान रेखा $A$ के ढलान से अधिक है,इसलिए $B$,$A$ की तुलना में तेज यात्रा करता है। कथन $(E)$ सही है।
$4$. इसलिए,कथन $(A)$ और $(E)$ सही हैं।

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्लॉक पर किया गया कुल कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{\text{total}} = \Delta KE = KE_f - KE_i$
यहाँ,$W_{\text{total}} = W_{\text{friction}} + W_{\text{gravity}}$ है।
ब्लॉक शीर्ष से शुरू होता है और नीचे रुक जाता है,इसलिए ऊंचाई में शुद्ध परिवर्तन $h = 2r = 2 \times 0.15\,m = 0.3\,m$ है।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = mg \times h = 1 \times 10 \times 0.3 = 3\,J$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (22)^2 = \frac{484}{2} = 242\,J$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_f = 0\,J$ है (क्योंकि यह रुक जाता है)।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करने पर:
$W_f + W_g = KE_f - KE_i$
$W_f + 3 = 0 - 242$
$W_f = -242 - 3 = -245\,J$ है।
अतः,नली (घर्षण) द्वारा ब्लॉक पर किया गया कार्य $-245\,J$ है।

(D) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ द्वारा दिया जाता है। यदि आयतन मूल आयतन का $\frac{1}{64}$ हो जाता है,तो $\frac{V'}{V} = \frac{1}{64} = \left(\frac{R'}{R}\right)^3$. इस प्रकार,$\frac{R'}{R} = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है कि $R' = \frac{R}{4}$.
चूंकि पृथ्वी पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है,इसलिए इसका कोणीय संवेग $L = I\omega$ संरक्षित रहता है। ठोस गोले का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ होता है।
कोणीय संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर: $I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$
$\frac{2}{5} M R^2 \omega_1 = \frac{2}{5} M (R')^2 \omega_2$
$R^2 \omega_1 = \left(\frac{R}{4}\right)^2 \omega_2$
$R^2 \omega_1 = \frac{R^2}{16} \omega_2$
$\omega_2 = 16 \omega_1$
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $\frac{2\pi}{T_2} = 16 \left(\frac{2\pi}{T_1}\right)$,जिसका अर्थ है $T_2 = \frac{T_1}{16}$.
$T_1 = 24 \text{ h}$ दिया गया है,इसलिए हमें $T_2 = \frac{24}{16} \text{ h}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\frac{24}{x} \text{ h}$ से करने पर,हमें $x = 16$ प्राप्त होता है।

(D) अनुप्रस्थ हार्मोनिक तरंग का मानक समीकरण $y(x, t) = A \sin(\omega t + kx)$ है।
दिए गए समीकरण $y(x, t) = 5 \sin(6t + 0.003x)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 6\,rad/s$.
तरंग संख्या $k = 0.003\,cm^{-1}$.
$k$ को $m^{-1}$ में बदलने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं क्योंकि $1\,cm^{-1} = 100\,m^{-1}$ होता है।
अतः,$k = 0.003 \times 100 = 0.3\,m^{-1}$.
तरंग का वेग $v$ सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$v = \frac{6}{0.3} = 20\,ms^{-1}$।

(D) पीतल के तार में तनाव $(T_1)$, $1.14\,kg$ द्रव्यमान को सहारा देता है:
$T_1 = 1.14 \times g = 1.14 \times 10 = 11.4\,N$.
स्टील के तार में तनाव $(T_2)$, $2\,kg$ और $1.14\,kg$ दोनों द्रव्यमानों को सहारा देता है:
$T_2 = (2 + 1.14) \times g = 3.14 \times 10 = 31.4\,N$.
स्टील के तार में विस्तार $(\Delta L)$ इस प्रकार है:
$\Delta L = \frac{T_2 L}{A Y} = \frac{T_2 L}{(\pi r^2) Y}$.
दिया गया है: $T_2 = 31.4\,N$, $L = 1.6\,m$, $r = 0.2\,cm = 0.2 \times 10^{-2}\,m$, $Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$.
$\Delta L = \frac{31.4 \times 1.6}{\pi \times (0.2 \times 10^{-2})^2 \times 2 \times 10^{11}} = \frac{50.24}{3.14 \times 0.04 \times 10^{-4} \times 2 \times 10^{11}} = \frac{50.24}{2.512 \times 10^7} \approx 20 \times 10^{-6}\,m$.
अतः, विस्तार $20 \times 10^{-6}\,m$ है।

(C) औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
कुल दूरी $= x + x = 2x$.
यात्रा के पहले भाग के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{x}{v_1}$.
यात्रा के दूसरे भाग के लिए लिया गया समय $t_2 = \frac{x}{v_2}$.
कुल समय $T = t_1 + t_2 = \frac{x}{v_1} + \frac{x}{v_2} = x \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)$.
औसत वेग $v = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2x}{x \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)}$.
अंश और हर से $x$ को काटने पर,हमें $v = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$ प्राप्त होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac{2}{v} = \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}$ प्राप्त होता है।

(D) निकाय की कुल आंतरिक ऊर्जा $U$ उसके घटकों की आंतरिक ऊर्जा का योग होती है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ के लिए,जो एक द्वि-परमाणुक गैस है,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f_1 = 5$ है (कंपन मोड की उपेक्षा करते हुए)।
नियॉन $(Ne)$ के लिए,जो एक एक-परमाणुक गैस है,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 3$ है।
$n_1$ मोल गैस $1$ की आंतरिक ऊर्जा $U_1 = n_1 \frac{f_1}{2} RT$ है।
$n_2$ मोल गैस $2$ की आंतरिक ऊर्जा $U_2 = n_2 \frac{f_2}{2} RT$ है।
कुल आंतरिक ऊर्जा $U = U_1 + U_2 = (n_1 \frac{f_1}{2} + n_2 \frac{f_2}{2}) RT$ है।
यहाँ $n_1 = 2$ (ऑक्सीजन) और $n_2 = 4$ (नियॉन) दिया गया है।
$U = (2 \times \frac{5}{2} + 4 \times \frac{3}{2}) RT$ है।
$U = (5 + 6) RT = 11 RT$ है।
अतः,कुल आंतरिक ऊर्जा $11 RT$ है।

(A) वर्नियर कैलिपर्स का अल्पतमांक $(LC)$ $0.1\,mm = 0.01\,cm$ है।
शून्य त्रुटि धनात्मक है क्योंकि वर्नियर स्केल का शून्य मुख्य स्केल के शून्य के दाईं ओर है।
$\text{शून्य त्रुटि} = + (6 \times LC) = + (6 \times 0.1\,mm) = + 0.6\,mm = + 0.06\,cm$.
प्रेक्षित रीडिंग इस प्रकार है: $\text{प्रेक्षित रीडिंग} = MSR + (VSR \times LC)$.
यहाँ,$MSR = 3.2\,cm$ और $VSR = 4$ है।
$\text{प्रेक्षित रीडिंग} = 3.2\,cm + (4 \times 0.01\,cm) = 3.2\,cm + 0.04\,cm = 3.24\,cm$.
संशोधित व्यास है: $\text{व्यास} = \text{प्रेक्षित रीडिंग} - \text{शून्य त्रुटि}$.
$\text{व्यास} = 3.24\,cm - 0.06\,cm = 3.18\,cm$.

(B) अक्षांश $\lambda$ पर प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = g - R\omega^2 \cos^2 \lambda$ है।
कथन $I$ सही है क्योंकि पृथ्वी का घूर्णन एक अभिकेंद्री बल (अपकेंद्री बल) उत्पन्न करता है,जो गुरुत्वीय त्वरण के प्रभावी मान को संशोधित करता है।
कथन $II$ गलत है। ध्रुवों पर,$\lambda = 90^{\circ}$ होता है,इसलिए $\cos 90^{\circ} = 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि प्रभाव शून्य (न्यूनतम) है। भूमध्य रेखा पर,$\lambda = 0^{\circ}$ होता है,इसलिए $\cos 0^{\circ} = 1$ होता है,जिसका अर्थ है कि प्रभाव $R\omega^2$ है,जो $g$ में अधिकतम कमी है।
अतः,कथन $I$ सही है और कथन $II$ गलत है।

(C) उपग्रह की कक्षीय त्रिज्या $r = R + h = R + R = 2R$ है।
कक्षीय वेग $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$ है।
हम जानते हैं कि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$। इस मान को वेग के समीकरण में रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{gR^2}{2R}} = \sqrt{\frac{gR}{2}}$।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi r}{v}$ है।
$r = 2R$ और $v = \sqrt{\frac{gR}{2}}$ रखने पर:
$T = \frac{2\pi(2R)}{\sqrt{\frac{gR}{2}}} = \frac{4\pi R}{\sqrt{\frac{gR}{2}}} = 4\pi R \sqrt{\frac{2}{gR}} = 4\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$।
दिया गया है कि $g = \pi^2 \ m/s^2$,इसलिए $\pi = \sqrt{g}$ रखने पर:
$T = 4\sqrt{g} \sqrt{\frac{2R}{g}} = 4\sqrt{2R} = \sqrt{16 \times 2R} = \sqrt{32R}$।

(B) अभिकथन $A$ सही है क्योंकि एक इलेक्ट्रिक पंखे में घूर्णी जड़त्व (rotational inertia) होता है। जब बिजली बंद कर दी जाती है,तो पंखा अपनी गति के जड़त्व के कारण तुरंत नहीं रुकता है,जो उसकी घूर्णन की स्थिति में परिवर्तन का विरोध करता है।
कारण $R$ भी सही है क्योंकि किसी पिंड की अपनी गति की स्थिति को बनाए रखने की प्रवृत्ति को गति का जड़त्व कहा जाता है। इसलिए,पंखा इस गुण के कारण घूमता रहता है।
चूंकि $R$ सही ढंग से बताता है कि बिजली कटने के बाद पंखा क्यों घूमता रहता है,इसलिए $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,ऊष्मा विनिमय $\Delta Q = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,जहाँ $\Delta U$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है और $\Delta W$ गैस द्वारा किया गया कार्य है।
चूंकि $\Delta Q = 0$,इसलिए $\Delta U = -\Delta W$ होता है।
रुद्धोष्म संपीड़न में,आयतन घटता है $(V \downarrow)$,इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य $\Delta W$ ऋणात्मक $(-ve)$ होता है।
अतः,$\Delta U = -(-ve) = +ve$,जिसका अर्थ है कि आंतरिक ऊर्जा बढ़ती है।
चूंकि आंतरिक ऊर्जा तापमान का फलन है,आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि का अर्थ है कि तापमान में वृद्धि होती है $(T \uparrow)$।
अतः,'आंतरिक ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है' कथन सत्य नहीं है।

(B) दिया गया समीकरण $Y = \sin \omega t + \cos \omega t$ है।
हम $\cos \omega t$ को $\sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$Y = \sin \omega t + \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$.
यह दो सरल आवर्त गतियों के अध्यारोपण को दर्शाता है,जिनका आयाम $A_1 = 1$ और $A_2 = 1$ है,और कलांतर $\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$ है।
परिणामी आयाम $A_{\text{net}}$ सूत्र $A_{\text{net}} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\Delta \phi)}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $A_{\text{net}} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos(\frac{\pi}{2})}$.
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,इसलिए हमें $A_{\text{net}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(B) तार में विस्तार $\Delta L$ का सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ है,जहाँ $F$ भार है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
यह दिया गया है कि दोनों तारों के लिए भार $F$ और लंबाई $L$ समान हैं,इसलिए $\Delta L \propto \frac{1}{AY}$ होगा।
अतः,विस्तार का अनुपात $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{A_B}{A_A} \times \frac{Y_B}{Y_A}$ होगा।
यहाँ $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{1}{4}$ और $\frac{A_A}{A_B} = \frac{1}{3}$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{3}{1} \times \frac{4}{1} = \frac{12}{1}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,अनुपात $12: 1$ है।

(C) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
चूंकि दोनों प्रक्षेप्यों को समान चाल $u$ से प्रक्षेपित किया गया है,इसलिए उनकी अधिकतम ऊंचाइयों $H_1$ और $H_2$ का अनुपात $\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 \theta_1}{\sin^2 \theta_2}$ होगा।
यहाँ $\theta_1 = 30^{\circ}$ और $\theta_2 = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ और $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है।
इन मानों को रखने पर,$\frac{H_1}{H_2} = \frac{(\sin 30^{\circ})^2}{(\sin 60^{\circ})^2} = \frac{(1/2)^2}{(\sqrt{3}/2)^2} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $1:3$ है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5\,kg$,आयाम $A = 1\,m$,आवर्तकाल $T = 3.14\,s = \pi\,s$.
कोणीय आवृत्ति $\omega$ इस प्रकार है: $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2\,rad/s$.
स्प्रिंग द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अधिकतम बल $F_{\max}$ द्रव्यमान और अधिकतम त्वरण $a_{\max}$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$F_{\max} = m \cdot a_{\max} = m \cdot (A\omega^2)$.
मान रखने पर: $F_{\max} = 5 \times 1 \times (2)^2$.
$F_{\max} = 5 \times 4 = 20\,N$.

(C) असंपीड्य द्रव के लिए सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,ट्यूब के सभी बिंदुओं पर अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और द्रव के वेग का गुणनफल स्थिर रहता है।
$A_1 V_1 = A_2 V_2$
दिया गया है:
$A_1 = 2.0\,cm^2 = 2.0 \times 10^2\,mm^2 = 200\,mm^2$
$V_1 = 4\,cm/s$
$A_2 = 10\,mm^2$
समीकरण में मान रखने पर:
$200\,mm^2 \times 4\,cm/s = 10\,mm^2 \times V_2$
$800 = 10 \times V_2$
$V_2 = 80\,cm/s$
अतः,बाहर निकलने वाले द्रव की गति $80\,cm/s$ है।

(C) किसी बिंदु के परितः टॉर्क $\vec{\tau}$ का सूत्र $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ है।
यहाँ,बल $\vec{F} = -P \hat{k}$ मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ पर कार्य करता है।
बिंदु $(2, -3)$ के सापेक्ष मूल बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{r} = (0 - 2)\hat{i} + (0 - (-3))\hat{j} = -2\hat{i} + 3\hat{j}$ है।
अब,सदिश गुणनफल की गणना करते हैं:
$\vec{\tau} = (-2\hat{i} + 3\hat{j}) \times (-P\hat{k})$
$\vec{\tau} = -P [(-2)(\hat{i} \times \hat{k}) + 3(\hat{j} \times \hat{k})]$
चूंकि $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ और $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,इसलिए:
$\vec{\tau} = -P [(-2)(-\hat{j}) + 3(\hat{i})]$
$\vec{\tau} = -P [2\hat{j} + 3\hat{i}] = P(-3\hat{i} - 2\hat{j})$.
इसे $P(a\hat{i} + b\hat{j})$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = -3$ और $b = -2$ प्राप्त होता है।
अनुपात $\frac{a}{b} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$.
दिया गया है कि $\frac{a}{b} = \frac{x}{2}$,इसलिए $\frac{3}{2} = \frac{x}{2}$,जिसका अर्थ है कि $x = 3$।

(C) लिफ्ट प्रणाली का कुल द्रव्यमान $M = 1400\,kg$ है।
लिफ्ट $v = 3\,m/s$ की एकसमान गति से ऊपर की ओर बढ़ रही है। चूंकि गति एकसमान है,इसलिए त्वरण शून्य है।
मोटर को गुरुत्वाकर्षण बल और घर्षण बल दोनों को दूर करने के लिए बल $F$ प्रदान करना होगा।
गुरुत्वाकर्षण बल $F_g = M \times g = 1400\,kg \times 10\,m/s^2 = 14000\,N$ है।
घर्षण बल $f = 2000\,N$ है।
इसलिए,मोटर द्वारा आवश्यक कुल बल $F = F_g + f = 14000\,N + 2000\,N = 16000\,N$ है।
मोटर द्वारा उपयोग की जाने वाली शक्ति $P$,$P = F \times v$ द्वारा दी जाती है।
$P = 16000\,N \times 3\,m/s = 48000\,W$।
किलोवाट में बदलने पर,$P = 48\,kW$।

(C) दूरी $v-t$ ग्राफ के अंतर्गत कुल क्षेत्रफल है (सभी क्षेत्रफलों को धनात्मक लेते हुए),और विस्थापन कुल क्षेत्रफल है (समय अक्ष के नीचे के क्षेत्रफलों को ऋणात्मक लेते हुए)।
$1$. $t=0$ से $t=5\,s$ तक का क्षेत्रफल (त्रिभुज): $\frac{1}{2} \times 5 \times 10 = 25\,m$.
$2$. $t=5$ से $t=10\,s$ तक का क्षेत्रफल (आयत): $5 \times 10 = 50\,m$.
$3$. $t=10$ से $t=15\,s$ तक का क्षेत्रफल (समलंब): $\frac{1}{2} \times (10 + 20) \times 5 = 75\,m$.
$4$. $t=15$ से $t=20\,s$ तक का क्षेत्रफल (त्रिभुज): $\frac{1}{2} \times 5 \times 20 = 50\,m$.
$5$. $t=20$ से $t=25\,s$ तक का क्षेत्रफल (अक्ष के नीचे त्रिभुज): $\frac{1}{2} \times 5 \times (-20) = -50\,m$.
कुल दूरी $= 25 + 50 + 75 + 50 + |-50| = 250\,m$.
कुल विस्थापन $= 25 + 50 + 75 + 50 - 50 = 150\,m$.
दूरी और विस्थापन का अनुपात $= \frac{250}{150} = \frac{5}{3}$.

(C) किसी ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ होता है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$g = \frac{G}{R^2} \times \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3 = \left( \frac{4}{3} \pi G \right) \rho R$.
अतः,$g \propto \rho R$.
ग्रह $A$ के लिए: $g_A \propto \rho \times R$.
ग्रह $B$ के लिए: $g_B \propto \frac{\rho}{3} \times 4R = \frac{4}{3} \rho R$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{g_A}{g_B} = \frac{\rho R}{\frac{4}{3} \rho R} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$.
इस प्रकार,अनुपात $(g_A : g_B)$ का मान $3:4$ है।

(D) घूमती हुई मेज पर सिक्के के फिसलने की स्थिति यह है कि आवश्यक अभिकेंद्र बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
$f_{s,max} = m \omega^2 R$
चूंकि $f_{s,max} = \mu mg$,इसलिए:
$\mu mg = m \omega^2 R$
$R = \frac{\mu g}{\omega^2}$
यह दर्शाता है कि दूरी $R$ कोणीय वेग के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $R \propto \frac{1}{\omega^2}$.
दी गई प्रारंभिक स्थितियाँ: $R_1 = 1\,cm$ और $\omega_1 = \omega$.
नई स्थितियाँ: $\omega_2 = \frac{\omega}{2}$ और $R_2 = ?$.
समानुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{\omega_1}{\omega_2} \right)^2$
$\frac{R_2}{1} = \left( \frac{\omega}{\omega/2} \right)^2 = (2)^2 = 4$
$R_2 = 4\,cm$.
अतः,सिक्का केंद्र से $4\,cm$ की दूरी पर रखे जाने पर फिसल जाएगा।

(C) $h$ ऊँचाई वाले $TV$ टावर की प्रसारण सीमा $d$ का सूत्र $d = \sqrt{2Rh}$ है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
मान लीजिए प्रारंभिक ऊँचाई $h_1$ है और प्रारंभिक सीमा $d_1 = \sqrt{2Rh_1}$ है।
नई ऊँचाई $h_2$ में $21 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $h_2 = h_1 + 0.21h_1 = 1.21h_1$ है।
नई सीमा $d_2 = \sqrt{2Rh_2} = \sqrt{2R(1.21h_1)} = \sqrt{1.21} \times \sqrt{2Rh_1} = 1.1 \times d_1$ प्राप्त होती है।
सीमा में प्रतिशत वृद्धि $\frac{d_2 - d_1}{d_1} \times 100 \%$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{1.1d_1 - d_1}{d_1} \times 100 \% = (1.1 - 1) \times 100 \% = 0.1 \times 100 \% = 10 \%$।

(D) संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लैंक नियतांक है,$c$ प्रकाश की गति है,और $\lambda$ तरंग दैर्ध्य है।
इस संबंध से,हमारे पास $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$ है,जिसका अर्थ है कि $\lambda \propto \frac{1}{\Delta E}$।
सबसे छोटी तरंग दैर्ध्य के लिए,ऊर्जा का अंतर $\Delta E$ अधिकतम होना चाहिए।
दिए गए ऊर्जा स्तर आरेख को देखने पर:
संक्रमण $A$,$n=4$ से $n=3$ तक है।
संक्रमण $B$,$n=4$ से $n=2$ तक है।
संक्रमण $C$,$n=3$ से $n=2$ तक है।
संक्रमण $D$,$n=3$ से $n=1$ तक है।
$n=3$ से $n=1$ तक के संक्रमण के लिए ऊर्जा का अंतर सबसे अधिक है,जो संक्रमण $D$ के अनुरूप है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(D) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,जब भी कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स समय के साथ बदलता है,तो कुंडली में प्रेरित $emf$ उत्पन्न होता है $(\varepsilon = -d\Phi_B / dt)$।
$A.$ एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के भीतर कुंडली को एकसमान गति से चलाने पर चुंबकीय फ्लक्स $(\Phi_B = B \cdot A \cdot \cos \theta)$ नहीं बदलता है,इसलिए कोई $emf$ प्रेरित नहीं होता है।
$B.$ एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के भीतर कुंडली को असमान गति से चलाने पर भी चुंबकीय फ्लक्स नहीं बदलता है,इसलिए कोई $emf$ प्रेरित नहीं होता है।
$C.$ एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के भीतर कुंडली को घुमाने से क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta$ बदल जाता है,जिससे चुंबकीय फ्लक्स बदलता है और $emf$ प्रेरित होता है।
$D.$ एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के भीतर कुंडली का क्षेत्रफल बदलने से चुंबकीय फ्लक्स बदलता है,जिससे $emf$ प्रेरित होता है।
अतः,$C$ और $D$ दोनों के परिणामस्वरूप प्रेरित $emf$ उत्पन्न होता है।

(C) समान धारा वितरण वाले एक लंबे सीधे तार के लिए:
$1$. तार के अंदर $(r < a)$: एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करते हुए,$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$। चूंकि धारा समान है,$I_{enclosed} = I \cdot (\frac{\pi r^2}{\pi a^2}) = I \frac{r^2}{a^2}$। अतः,$B(2\pi r) = \mu_0 I \frac{r^2}{a^2}$,जिससे $B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2}$ प्राप्त होता है। इसलिए,$B \propto r$।
$2$. तार के बाहर $(r > a)$: एम्पीयर के परिपथीय नियम का उपयोग करते हुए,$B(2\pi r) = \mu_0 I$,जिससे $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ प्राप्त होता है। इसलिए,$B \propto \frac{1}{r}$।

(D) माना पानी की सतह के ऊपर खंभे की ऊंचाई $x$ है।
अभिलंब के साथ आपतन कोण $i = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ होगा।
स्नेल के नियम के अनुसार,$1 \cdot \sin 60^{\circ} = \mu_W \cdot \sin r$,जहाँ $r$ अपवर्तन कोण है।
$\sin r = \frac{\sin 60^{\circ}}{\mu_W} = \frac{\sqrt{3}/2}{4/3} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$.
अतः,$\cos r = \sqrt{1 - \sin^2 r} = \sqrt{1 - \frac{27}{64}} = \sqrt{\frac{37}{64}} = \frac{\sqrt{37}}{8}$.
$\tan r = \frac{\sin r}{\cos r} = \frac{3\sqrt{3}/8}{\sqrt{37}/8} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$.
ज्यामिति के अनुसार,कुल छाया की लंबाई $L = x \tan i + h \tan r$ है,जहाँ $h = 1.5 \, m$ पानी की गहराई है।
यहाँ,$\tan i = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$.
अतः,$2.15 = x \sqrt{3} + 1.5 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$.
$x \sqrt{3} = 2.15 - \frac{4.5 \sqrt{3}}{\sqrt{37}} \approx 2.15 - 1.281 = 0.869$.
$x = \frac{0.869}{\sqrt{3}} \approx 0.5016 \, m$.
इस प्रकार,$x \approx 50 \, cm$.

(D) तार का प्रारंभिक प्रतिरोध $R = \rho \frac{\ell}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है,$\ell$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
जब लंबाई $20 \%$ बढ़ाई जाती है,तो नई लंबाई $\ell' = \ell + 0.20\ell = 1.2\ell$ हो जाती है।
जब अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $4 \%$ कम किया जाता है,तो नया क्षेत्रफल $A' = A - 0.04A = 0.96A$ हो जाता है।
नया प्रतिरोध $R'$ इस प्रकार है: $R' = \rho \frac{\ell'}{A'} = \rho \frac{1.2\ell}{0.96A}$।
व्यंजक को सरल करने पर: $R' = \left( \frac{1.2}{0.96} \right) \rho \frac{\ell}{A} = 1.25 R$।
प्रतिरोध में प्रतिशत परिवर्तन की गणना $\frac{R' - R}{R} \times 100$ के रूप में की जाती है।
प्रतिशत परिवर्तन $= \frac{1.25R - R}{R} \times 100 = 0.25 \times 100 = 25 \%$।

(D) $r$ त्रिज्या और $i$ विद्युत धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$r = 20\,cm = 0.2\,m$ और $i = \sqrt{2}\,A$ है।
चूंकि दोनों कुंडलियाँ समान हैं और लंबवत तलों में रखी गई हैं,प्रत्येक कुंडली द्वारा केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B_C$ समान होगा लेकिन वे लंबवत अक्षों (जैसे $x$ और $y$ अक्ष) के अनुदिश होंगे।
$B_C = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times \sqrt{2}}{2 \times 0.2} = \pi \times \sqrt{2} \times 10^{-6}\,T$.
केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net}$ दोनों क्षेत्रों का सदिश योग है:
$B_{net} = \sqrt{B_C^2 + B_C^2} = B_C \sqrt{2}$.
$B_C$ का मान रखने पर:
$B_{net} = (\pi \times \sqrt{2} \times 10^{-6}) \times \sqrt{2} = 2\pi \times 10^{-6}\,T$.
$B_{net} = 2 \times 3.14 \times 10^{-6}\,T = 6.28 \times 10^{-6}\,T$.
$B_{net} = 628 \times 10^{-8}\,T$.
अतः,मान $628$ है।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र है: $r_n = r_0 \times \frac{n^2}{Z}$, जहाँ $r_0$ बोहर त्रिज्या $(0.51 \ \mathring{A})$ है, $n$ कक्षा की संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$Li^{++}$ (लिथियम आयन) के लिए, परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
कक्षा की संख्या $n = 5$ है।
मान रखने पर: $r_5 = 0.51 \ \mathring{A} \times \frac{5^2}{3} = 0.51 \times \frac{25}{3} \ \mathring{A}$.
$r_5 = 0.51 \times 8.333 = 4.25 \ \mathring{A}$.
चूँकि $1 \ \mathring{A} = 10^{-10} \ m$, इसलिए $r_5 = 4.25 \times 10^{-10} \ m$ है।
इसे $10^{-12} \ m$ के रूप में व्यक्त करने के लिए, हम $100/100$ से गुणा करते हैं: $r_5 = 425 \times 10^{-12} \ m$।
अतः, लुप्त मान $425$ है।

(D) दिया गया है:
प्राथमिक वोल्टेज,$V_p = 12\,kV = 12 \times 10^3\,V$
द्वितीयक वोल्टेज,$V_s = 120\,V$
ऊर्जा खपत,$P_s = 60\,kW = 60 \times 10^3\,W$
एक आदर्श ट्रांसफार्मर के लिए,द्वितीयक परिपथ में शक्ति $P_s = V_s \times I_s$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,द्वितीयक धारा $I_s = \frac{P_s}{V_s} = \frac{60 \times 10^3}{120} = 500\,A$.
द्वितीयक प्रतिरोधक भार $R_s$ के लिए ओम के नियम का उपयोग करते हुए:
$R_s = \frac{V_s}{I_s} = \frac{120}{500} = 0.24\,\Omega$.
$m\Omega$ में परिवर्तित करने पर:
$R_s = 0.24 \times 10^3\,m\Omega = 240\,m\Omega$.

(D) $x$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाले परावैद्युत स्लैब के साथ समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता इस प्रकार दी जाती है:
$C = \frac{\epsilon_0 A}{d - x + \frac{x}{K}}$
यहाँ $K = 4$ दिया गया है,इसलिए सूत्र:
$C = \frac{\epsilon_0 A}{d - x + \frac{x}{4}} = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{3x}{4}}$
$x = \frac{d}{3}$ के लिए:
$C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{3}{4}(\frac{d}{3})} = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{d}{4}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{3d}{4}} = \frac{4}{3} \frac{\epsilon_0 A}{d}$
चूंकि $C_1 = 2 \mu F$ दिया गया है,हमें मिलता है $\frac{4}{3} \frac{\epsilon_0 A}{d} = 2 \mu F \implies \frac{\epsilon_0 A}{d} = \frac{6}{4} = 1.5 \mu F$.
$x = \frac{2d}{3}$ के लिए:
$C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{3}{4}(\frac{2d}{3})} = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{d}{2}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{d}{2}} = 2 \frac{\epsilon_0 A}{d}$
$\frac{\epsilon_0 A}{d} = 1.5 \mu F$ रखने पर:
$C_2 = 2 \times 1.5 \mu F = 3 \mu F$.

(C) अल्पतमांक $\Delta x = 0.2\,cm$.
वस्तु दूरी $u = (100 \pm 0.2) - (80 \pm 0.2) = (20 \pm 0.4)\,cm$.
प्रतिबिंब दूरी $v = (180 \pm 0.2) - (100 \pm 0.2) = (80 \pm 0.4)\,cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर, $\frac{1}{f} = \frac{1}{80} - \frac{1}{-20} = \frac{1+4}{80} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16}$.
अतः, $f = 16\,cm$.
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का अवकलन करने पर, हमें $\frac{\Delta f}{f^2} = \frac{\Delta v}{v^2} + \frac{\Delta u}{u^2}$ प्राप्त होता है।
फोकस दूरी में प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta f}{f} \times 100 = \left( \frac{\Delta v}{v^2} + \frac{\Delta u}{u^2} \right) \times f \times 100$ है।
मान रखने पर: $\% \text{त्रुटि} = \left( \frac{0.4}{80^2} + \frac{0.4}{20^2} \right) \times 16 \times 100$.
$\% \text{त्रुटि} = \left( \frac{0.4}{6400} + \frac{0.4}{400} \right) \times 1600 = \left( \frac{0.4}{4} + \frac{0.4}{64} \right) \times 16 = (0.1 + 0.00625) \times 16 = 1.6 + 0.1 = 1.70\%$.

(A) दिया गया $emf$ $E = E_0 \sin(\omega t)$ है,जहाँ $E_0 = 36 \, V$ और $\omega = 120 \pi \, rad/s$ है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है।
अधिकतम धारा $I_0$ का मान $I_0 = \frac{E_0}{X_C} = E_0 \omega C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $I_0 = 36 \times 120 \pi \times 150 \times 10^{-6} \, A$.
$I_0 = 36 \times 120 \times 3.1416 \times 150 \times 10^{-6} \, A$.
$I_0 = 648000 \times 3.1416 \times 10^{-6} \, A \approx 2.035 \, A$.
अतः,अधिकतम धारा लगभग $2 \, A$ है।

(C) $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम से गुजरने वाली तरंग का प्रकाशीय पथ $\Delta = \mu t$ द्वारा दिया जाता है।
जब दो तरंगें समान मोटाई $t$ लेकिन अलग-अलग अपवर्तनांक $\mu_1$ और $\mu_2$ वाले माध्यमों से गुजरती हैं,तो उनके प्रकाशीय पथ क्रमशः $\mu_1 t$ और $\mu_2 t$ होते हैं।
कलांतर $\Delta \phi$ का पथ अंतर $\Delta x$ के साथ संबंध $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda_0} \Delta x$ है,जहाँ $\lambda_0$ निर्वात में तरंगदैर्ध्य है।
चूंकि अपवर्तनांक $\mu = \frac{\lambda_0}{\lambda_m}$ (जहाँ $\lambda_m$ माध्यम में तरंगदैर्ध्य है),इसलिए माध्यम में तरंगदैर्ध्य $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{\mu}$ होती है।
अलग-अलग अपवर्तनांक के कारण माध्यमों में तरंगदैर्ध्य अलग-अलग होती है,जिससे प्रकाशीय पथ भिन्न हो जाते हैं,जो कलांतर में परिवर्तन का कारण बनते हैं।
अतः,अभिकथन $A$ और कारण $R$ दोनों सही हैं,और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(A) माना कि जंक्शन बिंदु पर विभव $x$ है।
जंक्शन बिंदु पर किरचॉफ का धारा नियम $(KCL)$ लागू करने पर,जंक्शन से बाहर जाने वाली धाराओं का योग शून्य होना चाहिए:
$\frac{x-30}{10} + \frac{x-12}{20} + \frac{x-2}{30} = 0$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $60$ से गुणा करने पर:
$6(x-30) + 3(x-12) + 2(x-2) = 0$
$6x - 180 + 3x - 36 + 2x - 4 = 0$
$11x - 220 = 0$
$11x = 220$
$x = 20\,V$
अब,$20\,\Omega$ के प्रतिरोधक से होकर बहने वाली धारा:
$I = \frac{x - 12}{20}$
$I = \frac{20 - 12}{20} = \frac{8}{20} = 0.4\,A$.

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = hf - \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$f$ आपतित विकिरण की आवृत्ति है और $\phi$ धातु का कार्य फलन है।
चूँकि $K_{\max} = eV_s$,जहाँ $V_s$ निरोधी विभव है,हम लिख सकते हैं: $eV_s = hf - \phi$.
निरोधी विभव के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है: $V_s = (h/e)f - (\phi/e)$.
यह समीकरण एक सीधी रेखा $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ ढाल $m = h/e$ है।
चूँकि $h$ (प्लांक नियतांक) और $e$ (इलेक्ट्रॉन का आवेश) सार्वभौमिक नियतांक हैं,निरोधी विभव बनाम आवृत्ति ग्राफ का ढाल धातु की प्रकृति से स्वतंत्र है।
इसलिए,गोल्ड और एल्युमीनियम के लिए ढाल समान है।
ढाल का अनुपात $1:1$ है,जो $1$ है।

(C) $p-n$ जंक्शन में,विसरण धारा बहुसंख्यक आवेश वाहकों (होल्स $p$ से $n$ की ओर और इलेक्ट्रॉन $n$ से $p$ की ओर) की गति के कारण होती है।
जब जंक्शन फॉरवर्ड बायस्ड होता है,तो विभव प्राचीर (बैरियर) की ऊंचाई कम हो जाती है,जिससे विसरण धारा में काफी वृद्धि होती है,जो ड्रिफ्ट धारा से बहुत अधिक हो जाती है।
इसलिए,अभिकथन $A$ सही है।
विसरण धारा $p$-साइड से $n$-साइड की ओर बहती है क्योंकि होल्स $p$ से $n$ की ओर जाते हैं और इलेक्ट्रॉन $n$ से $p$ की ओर जाते हैं (पारंपरिक धारा की दिशा धनात्मक आवेश के प्रवाह की दिशा होती है)।
कारण $R$ कहता है कि विसरण धारा $n$-साइड से $p$-साइड की ओर है,जो गलत है।
अतः,$A$ सही है लेकिन $R$ गलत है।

(C) द्विध्रुव अपने द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ के परितः दोलन करेगा।
माना धनावेश का द्रव्यमान $m$ है और ऋणावेश का द्रव्यमान $2m$ है।
$CM$ से धनावेश की दूरी $r_1 = \frac{2m}{m+2m} \cdot l = \frac{2l}{3}$ है।
$CM$ से ऋणावेश की दूरी $r_2 = \frac{m}{m+2m} \cdot l = \frac{l}{3}$ है।
$CM$ के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = m r_1^2 + (2m) r_2^2 = m(\frac{2l}{3})^2 + 2m(\frac{l}{3})^2 = m(\frac{4l^2}{9}) + 2m(\frac{l^2}{9}) = \frac{6ml^2}{9} = \frac{2ml^2}{3}$ है।
छोटे $\theta$ के लिए,प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = -pE \sin \theta \approx -q l E \theta$ है।
$\tau = I \alpha$ का उपयोग करने पर,हमें $I \alpha = -qlE \theta$ प्राप्त होता है।
$\frac{2ml^2}{3} \alpha = -qlE \theta \Rightarrow \alpha = -\frac{3qE}{2ml} \theta$.
$\alpha = -\omega^2 \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega = \sqrt{\frac{3qE}{2ml}}$ प्राप्त होता है।

(D) मुक्त आकाश में विद्युत क्षेत्र $E$ से जुड़ी ऊर्जा घनत्व $U_E$ का सूत्र $U_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ है।
मुक्त आकाश में चुंबकीय क्षेत्र $B$ से जुड़ी ऊर्जा घनत्व $U_B$ का सूत्र $U_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$ है।
अतः,ऊर्जा घनत्व के लिए सही व्यंजक $U_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ और $U_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$ हैं।

(C) ओम के नियम $(V=IR)$ को सत्यापित करने के लिए,हमें परीक्षण प्रतिरोध $R_T$ के सिरों पर वोल्टेज और उससे प्रवाहित होने वाली धारा को मापने की आवश्यकता है।
$1$. वोल्टमीटर को प्रतिरोध के समानांतर जोड़ा जाता है। गैल्वेनोमीटर को वोल्टमीटर में बदलने के लिए,इसके साथ श्रेणीक्रम में एक बहुत उच्च प्रतिरोध जोड़ा जाना चाहिए। यहाँ,$R_1=10\,M\,\Omega$ एक बहुत उच्च प्रतिरोध है,इसलिए $R_1$ के साथ श्रेणीक्रम में $G_1$ एक वोल्टमीटर के रूप में कार्य करता है।
$2$. एमीटर को प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है। गैल्वेनोमीटर को एमीटर में बदलने के लिए,इसके साथ समानांतर क्रम में एक बहुत कम प्रतिरोध जोड़ा जाना चाहिए। यहाँ,$R_2=0.001\,\Omega$ एक बहुत कम प्रतिरोध है,इसलिए $R_2$ के साथ समानांतर क्रम में $G_2$ एक एमीटर के रूप में कार्य करता है।
$3$. परिपथ $C$ में,$G_1$ को $R_1$ के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है (वोल्टमीटर बनाना) और यह संयोजन $R_T$ के समानांतर है। $G_2$ को $R_2$ के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा गया है (एमीटर बनाना) और यह संयोजन $R_T$ के साथ श्रेणीक्रम में है। ओम के नियम को सत्यापित करने के लिए यह सही विन्यास है।

(A) स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} m \omega^2 r^2$ द्वारा दी गई है।
कण पर कार्य करने वाला बल $F = -\frac{dU}{dr} = -m \omega^2 r$ है। इस बल का परिमाण वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$m \omega^2 r = \frac{m v^2}{r} \implies v^2 = \omega^2 r^2 \implies v = \omega r$ --- $(i)$
कोणीय संवेग के बोहर के क्वांटमीकरण की शर्त के अनुसार:
$mvr = \frac{nh}{2\pi}$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ से $v$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$m(\omega r)r = \frac{nh}{2\pi}$
$m \omega r^2 = \frac{nh}{2\pi}$
$r^2$ के लिए हल करने पर:
$r^2 = \frac{nh}{2\pi m \omega}$
चूंकि $h, m, \omega$ स्थिरांक हैं,इसलिए:
$r^2 \propto n \implies r \propto \sqrt{n}$.

(B) मॉडुलन सूचकांक $\mu$ को $\mu = \frac{A_m}{A_c} = 0.6$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A_m$ मॉडुलन सिग्नल का आयाम है और $A_c$ वाहक तरंग (carrier wave) का आयाम है।
मॉडुलित तरंग का न्यूनतम आयाम $A_{min} = A_c - A_m = 3\,V$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण में $A_m = 0.6 A_c$ रखने पर: $A_c - 0.6 A_c = 3\,V$.
$0.4 A_c = 3\,V \Rightarrow A_c = \frac{3}{0.4} = 7.5\,V$.
अब,$A_m$ की गणना करें: $A_m = 0.6 \times 7.5 = 4.5\,V$.
मॉडुलित तरंग का अधिकतम आयाम $A_{max} = A_c + A_m$ द्वारा दिया जाता है।
$A_{max} = 7.5 + 4.5 = 12\,V$.

(C) माना वोल्टमीटर का प्रतिरोध $R$ है। वोल्टमीटर $5\,\Omega$ प्रतिरोधक के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा है। इस समानांतर संयोजन के सिरों पर वोल्टेज $V_{p} = 2\,V$ है।
$5\,\Omega$ प्रतिरोधक से होकर बहने वाली धारा $i_1 = \frac{V_{p}}{5\,\Omega} = \frac{2\,V}{5\,\Omega} = 0.4\,A$ है।
$2\,\Omega$ प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज $V_{2\Omega} = E - V_{p} = 3\,V - 2\,V = 1\,V$ है।
परिपथ में कुल धारा $i = \frac{V_{2\Omega}}{2\,\Omega} = \frac{1\,V}{2\,\Omega} = 0.5\,A$ है।
वोल्टमीटर से होकर बहने वाली धारा $i_{v} = i - i_1 = 0.5\,A - 0.4\,A = 0.1\,A$ है।
चूंकि वोल्टमीटर $5\,\Omega$ प्रतिरोधक के समानांतर है,इसलिए इसके सिरों पर वोल्टेज भी $2\,V$ है। अतः,$R = \frac{V_{p}}{i_{v}} = \frac{2\,V}{0.1\,A} = 20\,\Omega$।

(C) चित्र से,कुल दूरी $d = 5 \, mm$,$a + c + b$ से बनी है,जहाँ $c = 1 \, mm$ दो संधारित्रों के बीच रखी गई चालक प्लेट की मोटाई है।
अतः,$a + b = d - c = 5 \, mm - 1 \, mm = 4 \, mm = 4 \times 10^{-3} \, m$.
ये दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,जिनकी प्रभावी दूरी $d_{eff} = a + b = 4 \times 10^{-3} \, m$ है।
समतुल्य धारिता $C_{eq}$ का सूत्र $C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{d_{eff}}$ है।
यहाँ $A = 200 \, cm^2 = 200 \times 10^{-4} \, m^2$ दिया गया है।
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 \times 200 \times 10^{-4}}{4 \times 10^{-3}} = \frac{200 \times 10^{-1}}{4} \varepsilon_0 = 5 \varepsilon_0 \, F$.
इसकी तुलना $x \varepsilon_0 \, F$ से करने पर,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है:
आंतरिक कुंडली की त्रिज्या,$r_1 = 1\,cm = 0.01\,m$
आंतरिक कुंडली में फेरों की संख्या,$N_1 = 10$
बाहरी कुंडली की त्रिज्या,$r_2 = 1000\,cm = 10\,m$
बाहरी कुंडली में फेरों की संख्या,$N_2 = 200$
बाहरी कुंडली द्वारा उसके केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 N_2 I_2}{2 r_2}$ है।
बाहरी कुंडली के कारण आंतरिक कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi_1 = N_1 B_2 A_1$ है,जहाँ $A_1 = \pi r_1^2$ है।
अतः,$\phi_1 = N_1 \left( \frac{\mu_0 N_2 I_2}{2 r_2} \right) (\pi r_1^2) = M I_2$।
इसलिए,अन्योन्य प्रेरकत्व $M = \frac{\mu_0 N_1 N_2 \pi r_1^2}{2 r_2}$ है।
मान रखने पर:
$M = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 10 \times 200 \times \pi \times (0.01)^2}{2 \times 10}$
$M = \frac{4 \pi^2 \times 10^{-7} \times 2000 \times 10^{-4}}{20}$
$\pi^2 = 10$ का उपयोग करने पर:
$M = \frac{4 \times 10 \times 10^{-7} \times 2000 \times 10^{-4}}{20} = 4 \times 10^{-8}\,H$।
अतः,मान $4$ है।

(C) दिया गया है: $\lambda_1 = 7000 \; \mathring{A} = 7000 \times 10^{-10} \; m$,$\lambda_2 = 5500 \; \mathring{A} = 5500 \times 10^{-10} \; m$,$d = 2.5 \; mm = 2.5 \times 10^{-3} \; m$,$D = 150 \; cm = 1.5 \; m$.
चमकीली फ्रिंजों के संपाती होने की शर्त $y_n = y_m$ है,जहाँ $y_n = \frac{n \lambda_1 D}{d}$ और $y_m = \frac{m \lambda_2 D}{d}$ है।
दोनों को बराबर करने पर,$n \lambda_1 = m \lambda_2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{n}{m} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{5500}{7000} = \frac{11}{14}$।
न्यूनतम दूरी के लिए,हम सबसे छोटे पूर्णांक मान $n = 11$ और $m = 14$ लेते हैं।
दूरी $y = \frac{n \lambda_1 D}{d} = \frac{11 \times 7000 \times 10^{-10} \times 1.5}{2.5 \times 10^{-3}}$ द्वारा दी जाती है।
$y = \frac{11 \times 7000 \times 1.5}{2.5} \times 10^{-7} = \frac{115500}{2.5} \times 10^{-7} = 46200 \times 10^{-7} = 462 \times 10^{-5} \; m$।
इसे $n \times 10^{-5} \; m$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 462$ प्राप्त होता है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु प्रणाली की बंधन ऊर्जा $U = \frac{k e^2}{2r}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ है।
दी गई बंधन ऊर्जा $= 12.8 \, eV = 12.8 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{2r} = 12.8 \times 1.6 \times 10^{-19}$.
$r$ के लिए सरल करने पर:
$r = \frac{9 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 12.8} = \frac{9 \times 1.6 \times 10^{-10}}{25.6} = \frac{9 \times 10^{-10}}{16} \, m$.
इसे दिए गए रूप $\frac{9}{x} \times 10^{-10} \, m$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 16$ प्राप्त होता है।

(C) गतिज ऊर्जा $K = 2.0 \, eV = 2.0 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 3.2 \times 10^{-19} \, J$.
वेग $v$ का मान $K = \frac{1}{2}mv^2$ से प्राप्त होता है,इसलिए $v = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 3.2 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-27}}} = \sqrt{4 \times 10^8} = 2 \times 10^4 \, m/s$.
हेलिकल पथ की पिच $p$ को $p = (v \cos \theta) \times T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T = \frac{2\pi m}{qB}$ आवर्तकाल है।
मान रखने पर: $p = v \cos 60^{\circ} \times \frac{2\pi m}{qB}$.
$p = (2 \times 10^4) \times \frac{1}{2} \times \frac{2\pi \times 1.6 \times 10^{-27}}{1.6 \times 10^{-19} \times (\frac{\pi}{2} \times 10^{-3})}$.
$p = 10^4 \times \frac{2 \times 10^{-27}}{10^{-19} \times 0.5 \times 10^{-3}} = 10^4 \times 4 \times 10^{-5} = 0.4 \, m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $p = 0.4 \times 100 = 40 \, cm$.

(C) मान लीजिए $v_1$ चुंबकीय क्षेत्र $B$ के समानांतर वेग का घटक है और $v_2$ $B$ के लंबवत घटक है।
$1$. समानांतर घटक $v_1$ के कारण,चुंबकीय बल $F = q(v_1 \times B) = q v_1 B \sin(0^{\circ}) = 0$ होता है। इस प्रकार,कण $B$ की दिशा में निरंतर वेग $v_1$ के साथ गति करना जारी रखता है।
$2$. लंबवत घटक $v_2$ के कारण,चुंबकीय बल $F = q(v_2 \times B)$ $v_2$ और $B$ दोनों के लंबवत कार्य करता है,जो $B$ के लंबवत तल में वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
$3$. $B$ की दिशा में एकसमान रेखीय गति और $B$ के लंबवत तल में एकसमान वृत्ताकार गति के संयोजन के परिणामस्वरूप एक हेलिकल पथ बनता है,जहाँ हेलिक्स की अक्ष चुंबकीय क्षेत्र $B$ के समानांतर होती है।

(B) जब गैल्वेनोमीटर की कुंडली चुंबकीय क्षेत्र में गति करती है,तो गैर-चुंबकीय धात्विक कोर से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होता है।
चुंबकीय फ्लक्स में इस परिवर्तन के कारण धात्विक कोर में भंवर धाराएं (eddy currents) प्रेरित होती हैं।
लेंज के नियम के अनुसार,ये भंवर धाराएं कुंडली की गति का विरोध करती हैं।
परिणामस्वरूप,कुंडली जल्दी से स्थिर हो जाती है,जो विद्युत चुंबकीय अवमंदन (electromagnetic damping) प्रदान करती है।

(B) दिया गया है: ट्रांसमिटिंग एंटीना की ऊँचाई $h_T = 98\,m = 0.098\,km$। रिसीविंग एंटीना की ऊँचाई $h_R = 0\,m$। पृथ्वी की त्रिज्या $R = 6400\,km$।
अधिकतम दृष्टि-रेखा दूरी $d$ का सूत्र $d = \sqrt{2 R h_T} + \sqrt{2 R h_R}$ है।
चूंकि $h_R = 0$ है,इसलिए सूत्र $d = \sqrt{2 R h_T}$ हो जाता है।
मान रखने पर: $d = \sqrt{2 \times 6400 \times 0.098} = \sqrt{12800 \times 0.098} = \sqrt{1254.4} \approx 35.417\,km$।
एंटीना द्वारा कवर किया गया सतह क्षेत्र $A = \pi d^2$ द्वारा दिया जाता है।
$A = 3.14159 \times (35.417)^2 \approx 3.14159 \times 1254.4 \approx 3941.07\,km^2$।
निकटतम पूर्णांक में,क्षेत्रफल लगभग $3942\,km^2$ है।

(D) एक परावर्तक दूरदर्शी में,प्राथमिक अभिदृश्यक (objective) एक बड़ा अवतल दर्पण होता है। यदि नेत्रिका को इस प्राथमिक दर्पण के फोकस पर रखा जाए,तो यह आने वाले प्रकाश को अवरुद्ध कर देगी। इस समस्या को हल करने के लिए,एक द्वितीयक दर्पण का उपयोग प्रकाश किरणों को दूरदर्शी की नली के किनारे या पीछे की ओर परावर्तित करने के लिए किया जाता है,जिससे नेत्रिका को आने वाले प्रकाश के मुख्य पथ के बाहर रखा जा सके। यह डिज़ाइन एक छोटी दूरदर्शी नली में बड़ी फोकस दूरी प्राप्त करने की सुविधा प्रदान करता है।

(D) दिए गए सर्किट में इनपुट पर दो $NAND$ गेट हैं और उसके बाद एक और $NAND$ गेट है। मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं। पहले दो $NAND$ गेट का आउटपुट क्रमशः $\overline{A}$ और $\overline{B}$ है (क्योंकि वे $NOT$ गेट के रूप में कार्य करते हैं)। अंतिम $NAND$ गेट $\overline{A}$ और $\overline{B}$ को इनपुट के रूप में लेता है। आउटपुट $Y$,$Y = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}}$ द्वारा दिया जाता है। डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार,$Y = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$। इस प्रकार,यह सर्किट $OR$ गेट के रूप में कार्य करता है।
वेवफॉर्म का विश्लेषण:
$t=0$ से $1$ के लिए: $A=0, B=0 \implies Y = 0+0 = 0$।
$t=1$ से $2$ के लिए: $A=0, B=1 \implies Y = 0+1 = 1$।
$t=2$ से $3$ के लिए: $A=1, B=0 \implies Y = 1+0 = 1$।
$t=3$ से $4$ के लिए: $A=1, B=1 \implies Y = 1+1 = 1$।
अतः,आउटपुट $Y$,$t=0$ से $1$ तक $0$ है और $t=1$ से $4$ तक $1$ है।

(A) अर्ध-अनुभवजन्य द्रव्यमान सूत्र के अनुसार:
$1$. सतह ऊर्जा पद $E_s = -a_s A^{2/3}$ है। प्रति न्यूक्लियॉन सतह ऊर्जा $b_s = E_s/A = -a_s A^{-1/3}$ है। अतः,कथन $A$ गलत है।
$2$. कूलम्ब ऊर्जा पद $E_c = -a_c \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}$ है। अतः,कथन $B$ गलत है क्योंकि हर में $A^{1/3}$ है,$A^{4/3}$ नहीं।
$3$. आयतन ऊर्जा पद $E_v = a_v A$ है। प्रति न्यूक्लियॉन आयतन ऊर्जा $b_v = E_v/A = a_v$ है। कथन $C$ सही है क्योंकि आयतन ऊर्जा $A$ के समानुपाती होती है।
$4$. सतह ऊर्जा इसलिए उत्पन्न होती है क्योंकि सतह पर मौजूद न्यूक्लियॉनों के पास आंतरिक भाग की तुलना में कम पड़ोसी होते हैं। सतह पर न्यूक्लियॉनों की संख्या सतह के क्षेत्रफल $(4\pi R^2 \propto A^{2/3})$ के समानुपाती होती है। अतः,बंधन ऊर्जा में कमी सतह के क्षेत्रफल के समानुपाती होती है। कथन $D$ सही है।
$5$. लिक्विड ड्रॉप मॉडल में,यह माना जाता है कि प्रत्येक न्यूक्लियॉन सीमित संख्या में पड़ोसियों के साथ परस्पर क्रिया करता है (आमतौर पर क्लोज-पैक्ड संरचना में $12$),लेकिन सतह ऊर्जा सुधार सतह पर गायब होने वाली अंतःक्रियाओं के लिए जिम्मेदार है। कथन $E$ इस मॉडल में एक मानक धारणा है।

(C) निर्वात में प्रकाश की चाल $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ संबंध द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।
चाल $c$ की विमा $[L T^{-1}]$ है।
अतः,$\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ की विमा $[c^2] = [L T^{-1}]^2 = [L^2 T^{-2}] = L^2 / T^2$ होगी।

(B) स्थिर अवस्था में,संधारित्र ओपन सर्किट के रूप में कार्य करते हैं। इसलिए,संधारित्र वाली शाखाओं से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
धारा $i$,$6\,\Omega$ प्रतिरोधक,गैल्वेनोमीटर प्रतिरोध $(2\,\Omega)$ और $8\,\Omega$ प्रतिरोधक के श्रेणी संयोजन से होकर बहती है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 6\,\Omega + 2\,\Omega + 8\,\Omega = 16\,\Omega$ है।
परिपथ में धारा $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{4\,V}{16\,\Omega} = 0.25\,A = \frac{1}{4}\,A$ है।
$C_1$ के सिरों पर विभवांतर शाखा $AC$ के सिरों पर वोल्टेज है। चूंकि $C_1$,$6\,\Omega$ प्रतिरोधक और गैल्वेनोमीटर के साथ श्रेणीक्रम में है,इसलिए $C_1$ के सिरों पर वोल्टेज बिंदु $A$ और $C$ के बीच का विभवांतर है। $V_1 = V_{AC} = i \times (6\,\Omega + 2\,\Omega) = \frac{1}{4} \times 8 = 2\,V$.
$C_2$ के सिरों पर विभवांतर शाखा $BD$ के सिरों पर वोल्टेज है। चूंकि $C_2$,गैल्वेनोमीटर और $8\,\Omega$ प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में है,इसलिए $C_2$ के सिरों पर वोल्टेज बिंदु $B$ और $D$ के बीच का विभवांतर है। $V_2 = V_{BD} = i \times (2\,\Omega + 8\,\Omega) = \frac{1}{4} \times 10 = 2.5\,V$.
$C_1$ और $C_2$ के सिरों पर विभवांतर का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{2}{2.5} = \frac{4}{5}$ है।

(A) $R$ त्रिज्या और कुल आवेश $Q$ वाले एक समान रूप से आवेशित कुचालक ठोस गोले के लिए,केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ इस प्रकार है:
$1$. गोले के अंदर $(r \leq R)$: गॉस के नियम का उपयोग करने पर,विद्युत क्षेत्र $E = \frac{Qr}{4\pi\epsilon_0 R^3}$ प्राप्त होता है। यह दर्शाता है कि $E \propto r$,जो एक रैखिक संबंध है।
$2$. गोले के बाहर $(r \geq R)$: गोला केंद्र पर एक बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$ होता है। यह दर्शाता है कि $E \propto 1/r^2$,जो एक व्युत्क्रम-वर्ग संबंध है।
अतः,आलेख मूल बिंदु ($r=0$ पर $E=0$) से शुरू होता है,$r=R$ तक रैखिक रूप से बढ़ता है,और फिर $r > R$ के लिए व्युत्क्रम-वर्ग वक्र के अनुसार घटता है। यह विकल्प $A$ में दिखाए गए आलेख के अनुरूप है।

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p}$ है,जहाँ $h$ प्लैंक नियतांक है और $p$ कण का संवेग है।
चूंकि प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य समान दी गई है,इसलिए $\lambda_{p} = \lambda_{e}$ होगा।
तरंगदैर्ध्य का सूत्र रखने पर,हमें $\frac{h}{p_{p}} = \frac{h}{p_{e}}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $p_{p} = p_{e}$ हो जाता है,जिसका अर्थ है कि उनके संवेग का अनुपात $p_{p} : p_{e} = 1: 1$ है।

(B) एकसमान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta U = U_f - U_i$.
द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -pE \cos \theta$ होती है।
प्रारंभ में,द्विध्रुव विद्युत क्षेत्र की दिशा में है,इसलिए $\theta_i = 0^{\circ}$। अतः,$U_i = -pE \cos(0^{\circ}) = -pE$।
अंत में,द्विध्रुव को $180^{\circ}$ घुमाया जाता है,इसलिए $\theta_f = 180^{\circ}$। अतः,$U_f = -pE \cos(180^{\circ}) = pE$।
किया गया कार्य $W = pE - (-pE) = 2pE$ है।
यहाँ $p = 6.0 \times 10^{-6} \, Cm$ और $E = 1.5 \times 10^3 \, NC^{-1}$ दिया गया है।
$W = 2 \times (6.0 \times 10^{-6}) \times (1.5 \times 10^3) = 18 \times 10^{-3} \, J = 18 \, mJ$।

(B) मान लीजिए कि दर्पणों के बीच की दूरी $d = 10\,cm$ है। वस्तु $O$,दर्पण $A$ से $x_A = 2\,cm$ और दर्पण $B$ से $x_B = 8\,cm$ की दूरी पर है।
$1$. दर्पण $A$ द्वारा बनाया गया पहला प्रतिबिंब $I_1$,दर्पण $A$ के पीछे $2\,cm$ की दूरी पर है।
$2$. दर्पण $B$ द्वारा बनाया गया पहला प्रतिबिंब $I_2$,दर्पण $B$ के पीछे $8\,cm$ की दूरी पर है।
$3$. दर्पण $A$ द्वारा बनाया गया दूसरा प्रतिबिंब $(I_3)$,दर्पण $A$ द्वारा $I_2$ का प्रतिबिंब है। दर्पण $A$ से $I_2$ की दूरी $10\,cm + 8\,cm = 18\,cm$ है। इसलिए,$I_3$,दर्पण $A$ के पीछे $18\,cm$ की दूरी पर बनता है।
दर्पण $A$ के पीछे के प्रतिबिंब $2\,cm$ $(I_1)$ और $18\,cm$ $(I_3)$ की दूरी पर हैं। दर्पण $A$ के पीछे दूसरा सबसे निकटतम प्रतिबिंब दर्पण $A$ से $18\,cm$ की दूरी पर है।

(B) एक दोलनशील $LC$ परिपथ में,कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है,जो संधारित्र के विद्युत क्षेत्र और प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र के बीच दोलन करती है।
संधारित्र में संचित अधिकतम ऊर्जा,प्रेरक में संचित अधिकतम ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{2} L I_{\max}^2 = \frac{1}{2} \frac{Q_{\max}^2}{C}$
अधिकतम धारा $I_{\max}$ के लिए सूत्र:
$I_{\max} = Q_{\max} \sqrt{\frac{1}{LC}}$
दिए गए मान:
$L = 75 \times 10^{-3} \, H$
$C = 1.2 \times 10^{-6} \, F$
$Q_{\max} = 2.7 \times 10^{-6} \, C$
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ की गणना:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{75 \times 10^{-3} \times 1.2 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{90 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{9 \times 10^{-8}}} = \frac{1}{3 \times 10^{-4}} = \frac{10^4}{3} \, rad/s$
अब,$I_{\max} = Q_{\max} \times \omega$:
$I_{\max} = (2.7 \times 10^{-6}) \times \frac{10^4}{3} = 0.9 \times 10^{-2} \, A = 9 \times 10^{-3} \, A = 9 \, mA$.

(B) एक लंबी परिनालिका के केंद्र पर चुंबकीय तीव्रता $H$ का सूत्र $H = ni$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $i$ विद्युत धारा है।
दिया गया है:
$H = 1.6 \times 10^3 \text{ A m}^{-1}$
$n = 8 \text{ turns/cm} = 8 \times 10^2 \text{ turns/m} = 800 \text{ m}^{-1}$
सूत्र $i = H / n$ का उपयोग करने पर:
$i = \frac{1.6 \times 10^3}{800} = \frac{1600}{800} = 2 \text{ A}$.
अतः,परिनालिका से प्रवाहित होने वाली धारा $2 \text{ A}$ है।

(B) अनुगमन वेग का सूत्र $v_d = \frac{I}{neA}$ है।
यहाँ,$I = 2\,A$,$n = 2.0 \times 10^{28}\,m^{-3}$,$e = 1.6 \times 10^{-19}\,C$,और $A = 25.0\,mm^2 = 25.0 \times 10^{-6}\,m^2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v_d = \frac{2}{(2.0 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (25.0 \times 10^{-6})}$
$v_d = \frac{2}{80 \times 10^3 \times 10^{-6}}$
$v_d = \frac{2}{80 \times 10^{-3}}$
$v_d = \frac{2}{0.08} = 25\,ms^{-1}$.
चूंकि प्रश्न में $\times 10^{-6}\,ms^{-1}$ के रूप में मान पूछा गया है,गणना के अनुसार उत्तर $25$ प्राप्त होता है।

(B) नाभिक की प्रारंभिक बंधन ऊर्जा की गणना इस प्रकार की जाती है: $E_{i} = 242 \times 7.6\,MeV = 1839.2\,MeV$.
अंतिम अवस्था में दो टुकड़े होते हैं,जिनमें से प्रत्येक की द्रव्यमान संख्या $121$ है। प्रत्येक खंड के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $8.1\,MeV$ है।
कुल अंतिम बंधन ऊर्जा है: $E_{f} = (121 \times 8.1\,MeV) + (121 \times 8.1\,MeV) = 242 \times 8.1\,MeV = 1960.2\,MeV$.
बंधन ऊर्जा में कुल लाभ अंतिम और प्रारंभिक बंधन ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$\Delta E = E_{f} - E_{i} = 242 \times (8.1 - 7.6)\,MeV$.
$\Delta E = 242 \times 0.5\,MeV = 121\,MeV$.

(C) बिंदु आवेश $Q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r}$ है।
दिया गया है: $V = 50 \; V$,$Q = 5 \times 10^{-9} \; C$,और $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \; N m^2 C^{-2}$.
सूत्र में मान रखने पर: $50 = \frac{9 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-9}}{r}$.
अंश को सरल करने पर: $50 = \frac{45}{r}$.
$r$ के लिए हल करने पर: $r = \frac{45}{50} = 0.9 \; m$.
मीटर को सेंटीमीटर में बदलने पर: $r = 0.9 \times 100 \; cm = 90 \; cm$.

(D) इनपुट सर्किट में,बेस-एमिटर लूप के लिए किरचॉफ के वोल्टेज नियम $(KVL)$ को लागू करने पर:
$V_{BB} - I_b R_b - V_{BE} = 0$
मान लीजिए कि ट्रांजिस्टर सक्रिय क्षेत्र (active region) में है और $V_{BE} \approx 0.7 \text{ V}$ है। यदि हम संतृप्ति (saturation) स्थिति के लिए गणना करते हैं,तो $V_{CE} = 0 \text{ V}$ लेने पर:
आउटपुट लूप के लिए $KVL$ लागू करने पर:
$V_{CC} - I_c R_c - V_{CE} = 0$
$1 \text{ V} - I_c (1 \times 10^3 \text{ } \Omega) - 0 = 0$
$I_c = \frac{1}{1000} \text{ A} = 1 \text{ mA} = 1000 \text{ } \mu\text{A}$.
चूँकि $\beta = \frac{I_c}{I_b}$,इसलिए संतृप्ति के लिए आवश्यक आधार धारा:
$I_b = \frac{I_c}{\beta} = \frac{1000 \text{ } \mu\text{A}}{100} = 10 \text{ } \mu\text{A}$.

(D) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
दिया गया है कि पदार्थ $3$ दिनों में अपनी मूल मात्रा का $1/8$ भाग रह जाता है:
$\frac{N_0}{8} = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n \implies \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^n \implies n = 3$.
चूंकि $3$ अर्ध-आयु $3$ दिनों के बराबर है,इसलिए अर्ध-आयु $T_{1/2} = 1$ दिन है।
$5$ दिनों के बाद,व्यतीत अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{5 \text{ दिन}}{1 \text{ दिन}} = 5$ है।
शेष मात्रा $N = 8 \times 10^{-3} \, kg = 8 \, g$ है।
क्षय सूत्र का उपयोग करते हुए: $8 = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^5$.
$8 = N_0 \left(\frac{1}{32}\right)$.
$N_0 = 8 \times 32 = 256 \, g$.

(A) परिपथ आरेख से,हम देख सकते हैं कि बिंदु $A$,एक तार द्वारा बिंदु $D$ से जुड़ा है,इसलिए $V_A = V_D$ है।
इसी प्रकार,बिंदु $C$,एक तार द्वारा बिंदु $B$ से जुड़ा है,इसलिए $V_C = V_B$ है।
इन दो सामान्य विभव बिंदुओं $(A, D)$ और $(B, C)$ के बीच तीन प्रतिरोधक जुड़े हुए हैं:
$1$. $D$ और $B$ के बीच $10\,k\Omega$ का प्रतिरोधक।
$2$. $A$ और $C$ के बीच $20\,k\Omega$ का प्रतिरोधक।
$3$. $C$ और $D$ के बीच $20\,k\Omega$ का प्रतिरोधक।
चूंकि तीनों प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होगा:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{20} + \frac{1}{20}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{2 + 1 + 1}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$
अतः,$R_{eq} = 5\,k\Omega$।

(B) जब किसी धातु के लक्ष्य पर उच्च ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉनों की बौछार की जाती है,तो लक्ष्य के परमाणुओं के साथ अंतःक्रिया करने पर इलेक्ट्रॉन तेजी से मंदित (decelerate) होते हैं। गतिज ऊर्जा में हुई यह हानि $X$-किरणों के रूप में विद्युत चुम्बकीय विकिरण के रूप में उत्सर्जित होती है। अतः,सही उत्तर $X$-किरणें है।

(C) यंग के डबल-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $(\beta)$ का सूत्र $\beta = \frac{D\lambda}{d}$ है,जहाँ $D$ स्लिट और पर्दे के बीच की दूरी है,$\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
चूँकि $D$ और $d$ स्थिर रहते हैं,इसलिए फ्रिंज की चौड़ाई तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक होती है: $\beta \propto \lambda$.
अतः,हम अनुपात लिख सकते हैं: $\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$.
दिया गया है: $\beta_1 = 2\,mm$,$\lambda_1 = 400\,nm$,और $\lambda_2 = 600\,nm$.
इन मानों को रखने पर: $\frac{\beta_2}{2\,mm} = \frac{600\,nm}{400\,nm} = \frac{3}{2}$.
$\beta_2$ के लिए हल करने पर: $\beta_2 = 2\,mm \times 1.5 = 3\,mm$.

(B) विद्युत चुंबकों के लिए ऐसी सामग्रियों की आवश्यकता होती है जिन्हें आसानी से चुम्बकित और विचुम्बकित किया जा सके।
नरम लोहा विद्युत चुंबकों के लिए एक आदर्श सामग्री है क्योंकि इसमें उच्च चुंबकीय पारगम्यता होती है,जो इसे आसानी से चुम्बकित होने देती है,और कम प्रतिधारण (retentivity) होती है,जो धारा बंद होने पर इसे आसानी से विचुम्बकित होने देती है।
चूंकि अभिकथन $A$ बताता है कि विद्युत चुंबक नरम लोहे से बने होते हैं और कारण $R$ सही ढंग से बताता है कि यह इसकी उच्च पारगम्यता और कम प्रतिधारण के कारण है,इसलिए $A$ और $R$ दोनों सही हैं और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।