JEE Main 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के वेग $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{k^2}{R^2}}}$ है।
यहाँ,$h$ नत समतल की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है,$h = L \sin \theta = 60 \times 10^{-2} \times \sin 30^{\circ} = 0.6 \times 0.5 = 0.3\,m$.
ठोस बेलन के लिए,घूर्णन त्रिज्या $k$ का मान $k^2 = \frac{R^2}{2}$ होता है,इसलिए $\frac{k^2}{R^2} = \frac{1}{2}$।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{\frac{2 \times 10 \times 0.3}{1 + 0.5}} = \sqrt{\frac{6}{1.5}} = \sqrt{4} = 2\,ms^{-1}$।

(B) दिया गया है कि गतिज ऊर्जा $(KE)$,स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ से $25\%$ अधिक है:
$KE = PE + 0.25 PE = 1.25 PE = \frac{5}{4} PE$
हम जानते हैं कि $SHM$ में गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के व्यंजक हैं:
$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
$PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$
इन मानों को दी गई शर्त में रखने पर:
$\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{5}{4} \left( \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \right)$
दोनों पक्षों से सामान्य पद $\frac{1}{2} m \omega^2$ को हटाने पर:
$A^2 - x^2 = \frac{5}{4} x^2$
$A^2 = x^2 + \frac{5}{4} x^2 = \frac{9}{4} x^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x = \frac{2}{3} A$
यहाँ आयाम $A = 3\,cm$ दिया गया है:
$x = \frac{2}{3} \times 3\,cm = 2\,cm$
अतः,विस्थापन $2\,cm$ है।

(D) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $T_H = 99^{\circ} C = 99 + 273 = 372 K$.
पहली स्थिति के लिए,$\eta_1 = \frac{1}{3} = 1 - \frac{T_C}{372}$.
$\frac{T_C}{372} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
$T_C = \frac{2}{3} \times 372 = 248 K$.
दूसरी स्थिति के लिए,ठंडे जलाशय का तापमान $x$ से बढ़ाया जाता है,इसलिए $T_C' = T_C + x = 248 + x$.
नई दक्षता $\eta_2 = \frac{1}{6} = 1 - \frac{248 + x}{372}$ है।
$\frac{248 + x}{372} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
$248 + x = \frac{5}{6} \times 372 = 5 \times 62 = 310$.
$x = 310 - 248 = 62 K$.

(A) प्रक्षेप्य गति में,उच्चतम बिंदु पर:
$1$. वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $V_{y} = 0$ होता है।
$2$. वेग का क्षैतिज घटक $V_{x} = u_{x} = u \cos \theta$ होता है,जो पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है।
$3$. गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_{g} = mgh$ अधिकतम ऊंचाई $H_{\max}$ पर अधिकतम होती है क्योंकि ऊंचाई $h$ का मान अधिकतम होता है।
$4$. उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा शून्य नहीं होती है क्योंकि क्षैतिज वेग घटक $V_{x}$ शून्य नहीं होता है।
अतः,सही कथन यह है कि गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा उच्चतम बिंदु पर अधिकतम होती है।

(C) दिया गया है:
लंबाई $L = 6\,m$
क्षेत्रफल $A = 3\,mm^2 = 3 \times 10^{-6}\,m^2$
यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$
द्रव्यमान $m = 4\,kg$
पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $g_e = 10\,m/s^2$
ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $g_p = \frac{1}{4} g_e = \frac{10}{4} = 2.5\,m/s^2$
तार में तनाव $F$ ग्रह पर ब्लॉक के भार के बराबर होता है:
$F = m \times g_p = 4 \times 2.5 = 10\,N$
तार में विस्तार $\Delta L$ का सूत्र है:
$\Delta L = \frac{FL}{AY}$
मान रखने पर:
$\Delta L = \frac{10 \times 6}{3 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{11}}$
$\Delta L = \frac{60}{6 \times 10^5} = 10 \times 10^{-5} = 10^{-4}\,m$
मिलीमीटर में बदलने पर:
$\Delta L = 10^{-4} \times 10^3\,mm = 0.1\,mm$

(C) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $(T)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T^2 = \frac{4\pi^2}{g} \times L$
यह समीकरण $y = mx$ के रूप में है,जहाँ $y = T^2$,$x = L$,और ढाल $m = \frac{4\pi^2}{g}$ है।
चूँकि $m$ एक धनात्मक नियतांक है,इसलिए $T^2$ बनाम $L$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होगी।
अतः,सही ग्राफ विकल्प $(C)$ द्वारा दर्शाया गया है।

(D) पलायन वेग का सूत्र $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
चूंकि $M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$,इसलिए $V_e = \sqrt{\frac{2G \rho \frac{4}{3}\pi R^3}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3}G\pi\rho} \cdot R$ होता है।
अतः,$V_e \propto \rho^{1/2} R$ है।
दिया गया है कि $\frac{V_{eA}}{V_{eB}} = \frac{1}{2}$ और $\frac{R_A}{R_B} = \frac{1}{3}$ है।
$\frac{V_{eA}}{V_{eB}} = \sqrt{\frac{\rho_A}{\rho_B}} \cdot \frac{R_A}{R_B}$ से,$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{\rho_A}{\rho_B}} \cdot \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sqrt{\frac{\rho_A}{\rho_B}} = \frac{3}{2}$,इसलिए $\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{9}{4}$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2} = \frac{G(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3)}{R^2} = \frac{4}{3}G\pi\rho R$ होता है।
इसलिए,$\frac{g_A}{g_B} = \frac{\rho_A R_A}{\rho_B R_B} = \left(\frac{\rho_A}{\rho_B}\right) \left(\frac{R_A}{R_B}\right) = \left(\frac{9}{4}\right) \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{3}{4}$।

(B) आवेग (impulse) को बल-समय $(F-t)$ वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$(a)$ क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 1.0 \times 0.5 = 0.25 \, N \cdot s$
$(b)$ क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 2.0 \times 0.5 = 1.0 \, N \cdot s$
$(c)$ क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 1.0 \times 0.75 = 0.375 \, N \cdot s$
$(d)$ क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 0.5 = 0.5 \, N \cdot s$
मानों की तुलना करने पर, आकृति $(b)$ में आवेग सबसे अधिक है।

(A) माना द्रव्यमान का विमीय सूत्र $M = h^x c^y G^z$ है।
विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$h = [ML^2T^{-1}]$
$c = [LT^{-1}]$
$G = [M^{-1}L^3T^{-2}]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[M^1 L^0 T^0] = [ML^2T^{-1}]^x [LT^{-1}]^y [M^{-1}L^3T^{-2}]^z$
$[M^1 L^0 T^0] = M^{x-z} L^{2x+y+3z} T^{-x-y-2z}$
दोनों पक्षों की घातों की तुलना करने पर:
$1$) $x - z = 1$
$2$) $2x + y + 3z = 0$
$3$) $-x - y - 2z = 0$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(2x + y + 3z) + (-x - y - 2z) = 0 + 0$
$x + z = 0 \implies x = -z$
$x = -z$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$-z - z = 1 \implies -2z = 1 \implies z = -1/2$
अतः $x = 1/2$ प्राप्त होता है।
$x = 1/2$ और $z = -1/2$ को समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$-1/2 - y - 2(-1/2) = 0$
$-1/2 - y + 1 = 0 \implies y = 1/2$
इस प्रकार,द्रव्यमान की विमाएँ $[h^{1/2} c^{1/2} G^{-1/2}]$ हैं।

(A) समआयतनिक प्रक्रिया (स्थिर आयतन) के लिए,आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है,जिसे $P = (\frac{nR}{V})T$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।
यहाँ,$T$ केल्विन में परम तापमान है,जो सेल्सियस में तापमान $t$ से $T = t + 273.15$ द्वारा संबंधित है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P = (\frac{nR}{V})(t + 273.15)$ प्राप्त होता है।
यह $y = mx + c$ के रूप में एक सीधी रेखा का समीकरण दर्शाता है,जहाँ तापमान अक्ष पर अंतःखंड तब प्राप्त होता है जब दाब $P = 0$ हो।
$P = 0$ रखने पर,हमें $0 = (\frac{nR}{V})(t + 273.15)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t + 273.15 = 0$,या $t = -273.15^{\circ}\,C$।
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,बिंदु '$K$' पर तापमान $-273^{\circ}\,C$ है,जो परम शून्य तापमान को दर्शाता है।

(D) प्रारंभिक वेग $u = 20 \; m/s$. अंतिम वेग $v = 0$. दूरी $S_1 = 500 \; m$.
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^2 = u^2 - 2aS_1$:
$0 = (20)^2 - 2 \cdot a \cdot 500$
$1000a = 400 \Rightarrow a = 0.4 \; m/s^2$.
अब,यदि ब्रेक आधी दूरी पर लगाए जाते हैं,तो $S_2 = 250 \; m$:
$v^2 = u^2 - 2aS_2$
$v^2 = (20)^2 - 2 \cdot 0.4 \cdot 250$
$v^2 = 400 - 200 = 200$
$v = \sqrt{200} \; m/s$.
$\sqrt{x} \; m/s$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 200$ प्राप्त होता है।

(B) परिवर्ती बल $F(y)$ द्वारा किया गया कार्य $W$,समाकलन $W = \int_{y_1}^{y_2} F(y) \, dy$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $F(y) = 5 + 3y^2$,$y_1 = 2 \, m$,और $y_2 = 5 \, m$ दिया गया है।
$W = \int_{2}^{5} (5 + 3y^2) \, dy$
$W = [5y + y^3]_{2}^{5}$
$W = (5(5) + 5^3) - (5(2) + 2^3)$
$W = (25 + 125) - (10 + 8)$
$W = 150 - 18 = 132 \, J$.

(D) डिस्क का उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{MR^2}{2}$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,डिस्क के किनारे पर स्थित एक बिंदु से गुजरने वाली और डिस्क के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + Md^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d = R$ दो समांतर अक्षों के बीच की दूरी है।
मान रखने पर,हमें $I = \frac{MR^2}{2} + MR^2 = \frac{3}{2} MR^2$ प्राप्त होता है।
इसे दिए गए व्यंजक $\frac{x}{2} MR^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\frac{x}{2} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है,जिससे $x = 3$ मिलता है।

(D) चूंकि सतह घर्षण रहित है,इसलिए निकाय की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k A^2$,जहाँ $A = 10 \, cm = 0.1 \, m$ है।
किसी भी स्थिति $x$ पर,कुल ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग होती है: $E = \frac{1}{2} k x^2 + K(x)$।
यहाँ $x = 5 \, cm = 0.05 \, m$ पर गतिज ऊर्जा $0.25 \, J$ लेने पर:
कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2} k (0.1)^2 = \frac{1}{2} k (0.05)^2 + 0.25$।
$\frac{1}{2} k (0.01 - 0.0025) = 0.25$
$\frac{1}{2} k (0.0075) = 0.25$
$k = \frac{0.5}{0.0075} = 66.67 \, N/m \approx 67 \, N/m$।

(A) जब गेंद एक स्थिर टर्मिनल वेग से नीचे गिरती है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है।
गेंद पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गेंद का भार नीचे की ओर: $W = Mg = \rho Vg$ (जहाँ $V$ गेंद का आयतन है)।
$2$. उत्प्लावन बल ऊपर की ओर: $F_B = \rho_0 Vg$।
$3$. श्यान बल ऊपर की ओर: $F_{vis}$।
संतुलन के लिए,नीचे की ओर लगने वाला बल ऊपर की ओर लगने वाले बलों के योग के बराबर होना चाहिए:
$Mg = F_{vis} + F_B$
$F_{vis} = Mg - F_B$
$F_{vis} = \rho Vg - \rho_0 Vg$
$F_{vis} = \rho Vg \left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right)$
चूंकि $M = \rho V$,इसलिए हम समीकरण में $M$ को प्रतिस्थापित करते हैं:
$F_{vis} = Mg \left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right)$

(B) गैस के अणुओं की टक्कर आवृत्ति $f$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$f = \sqrt{2} \pi d^2 v n_v$
जहाँ $d$ अणु का व्यास है,$v$ औसत गति है,और $n_v$ संख्या घनत्व (प्रति इकाई आयतन अणुओं की संख्या) है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि टक्कर आवृत्ति संख्या घनत्व के सीधे आनुपातिक है: $f \propto n_v$.
प्रारंभिक संख्या घनत्व $n_{v1} = 3 \times 10^{19} \text{ molecules/cm}^3$ और अंतिम संख्या घनत्व $n_{v2} = 12 \times 10^{19} \text{ molecules/cm}^3$ दिया गया है।
टक्कर आवृत्तियों का अनुपात है:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{n_{v1}}{n_{v2}} = \frac{3 \times 10^{19}}{12 \times 10^{19}} = \frac{3}{12} = 0.25$.

(D) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,निकाय को दी गई ऊष्मा $(dQ)$,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(dU)$ और निकाय द्वारा किए गए कार्य $(dW)$ के योग के बराबर होती है: $dQ = dU + dW$.
समय अंतराल $(dt)$ से विभाजित करने पर,हमें दर का समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dQ}{dt} = \frac{dU}{dt} + \frac{dW}{dt}$.
दिया गया है:
ऊष्मा आपूर्ति की दर,$\frac{dQ}{dt} = 1000 \, W$.
कार्य करने की दर,$\frac{dW}{dt} = 200 \, W$.
आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि की दर ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dU}{dt} = \frac{dQ}{dt} - \frac{dW}{dt}$.
मान रखने पर:
$\frac{dU}{dt} = 1000 \, W - 200 \, W = 800 \, W$.

(A) माना कण की स्थिर चाल $v$ है और वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R$ है।
जब कण $90^{\circ}$ (या $\pi/2$ रेडियन) के कोण से मुड़ता है,तो चाप के अनुदिश तय की गई दूरी $s = R \theta = R(\pi/2) = \pi R / 2$ होती है।
इस गति के लिए लिया गया समय $t = s / v = (\pi R / 2) / v = \pi R / (2v)$ है।
विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच की सीधी दूरी है,जो जीवा की लंबाई $AB = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ है।
औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है:
$\langle v \rangle = \frac{\text{विस्थापन}}{\text{समय}} = \frac{R\sqrt{2}}{\pi R / (2v)} = \frac{R\sqrt{2} \cdot 2v}{\pi R} = \frac{2\sqrt{2}v}{\pi}$.
तात्क्षणिक वेग $v$ और औसत वेग $\langle v \rangle$ का अनुपात है:
$\frac{v}{\langle v \rangle} = \frac{v}{2\sqrt{2}v / \pi} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$.
दिए गए अनुपात $\pi : x\sqrt{2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\pi}{2\sqrt{2}} = \frac{\pi}{x\sqrt{2}}$.
अतः,$x = 2$.

(B) माना स्प्रिंग की लंबाई में विस्तार $x$ है।
वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = 0.2 + x$ है।
वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल स्प्रिंग बल (तनाव) द्वारा प्रदान किया जाता है।
$T = m \omega^2 r$
$kx = m \omega^2 (0.2 + x)$
यहाँ $m = 100\,g = 0.1\,kg$,$k = 7.5\,N/m$,$\omega = 5\,rad/s$,और प्राकृतिक लंबाई $l_0 = 0.2\,m$ दी गई है।
$7.5x = 0.1 \times (5)^2 \times (0.2 + x)$
$7.5x = 0.1 \times 25 \times (0.2 + x)$
$7.5x = 2.5 \times (0.2 + x)$
$7.5x = 0.5 + 2.5x$
$5x = 0.5$
$x = 0.1\,m$
स्प्रिंग में तनाव $T = kx = 7.5 \times 0.1 = 0.75\,N$ है।

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
परास को अधिकतम होने के लिए,$\sin 2\theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए,जो कि $1$ है।
यह तब होता है जब $2\theta = 90^{\circ}$,जिसका अर्थ है $\theta = 45^{\circ}$।
अतः,अभिकथन $A$ सही है क्योंकि $45^{\circ}$ पर परास अधिकतम होती है।
कारण $R$ भी सही है क्योंकि यह अधिकतम परास के लिए $\sin 2\theta = 1$ की स्थिति की सही पहचान करता है,जो सीधे तौर पर अभिकथन $A$ के निष्कर्ष की ओर ले जाता है।

(C) समानांतर क्रम में जुड़े प्रतिरोधों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R$ का सूत्र $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ है।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{\Delta R}{R^2} = \frac{\Delta R_1}{R_1^2} + \frac{\Delta R_2}{R_2^2}$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,तुल्य प्रतिरोध $R$ की गणना करें:
$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{10 \times 15}{10 + 15} = \frac{150}{25} = 6 \ \Omega$.
अब,त्रुटि समीकरण में मान रखने पर:
$\Delta R = R^2 \left( \frac{\Delta R_1}{R_1^2} + \frac{\Delta R_2}{R_2^2} \right) = 6^2 \left( \frac{0.5}{10^2} + \frac{0.5}{15^2} \right) = 36 \left( \frac{0.5}{100} + \frac{0.5}{225} \right)$.
$\Delta R = 36 \left( 0.005 + 0.00222 \right) = 36 \times 0.00722 = 0.26 \ \Omega$.
प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = \frac{0.26}{6} \times 100 = 4.33 \%$ है।

(C) ग्रह का द्रव्यमान $M = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है और $R$ त्रिज्या है।
चूंकि घनत्व $\rho$ स्थिर है,$M \propto R^3$,जिसका अर्थ है $R \propto M^{1/3}$।
वस्तु का वजन $W = mg$ है,जहाँ गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है।
$g$ के व्यंजक में $R \propto M^{1/3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $g \propto \frac{M}{(M^{1/3})^2} = \frac{M}{M^{2/3}} = M^{1/3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि वजन $W \propto g$,इसलिए $W \propto M^{1/3}$ है।
यह दिया गया है कि ग्रह का द्रव्यमान पृथ्वी के द्रव्यमान का दोगुना है $(M_p = 2M_e)$,इसलिए नया वजन $W' = (2)^{1/3} W$ होगा।

(D) किसी ग्रह का पलायन वेग $v_e = \sqrt{2gR}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की तुलना में चंद्रमा का द्रव्यमान और त्रिज्या बहुत कम होने के कारण,इसका पलायन वेग पृथ्वी (लगभग $11.2 \ km/s$) की तुलना में काफी कम (लगभग $2.38 \ km/s$) है।
चूंकि चंद्रमा पर पलायन वेग कम है,इसलिए चंद्रमा की सतह के तापमान पर गैस के अणुओं का तापीय वेग (rms वेग) पलायन वेग से अधिक हो जाता है।
परिणामस्वरूप,गैस के अणु चंद्रमा के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से बाहर निकल जाते हैं,जिससे वहां वायुमंडल का निर्माण नहीं हो पाता है।
इसलिए,अभिकथन $A$ और कारण $R$ दोनों सही हैं,और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(C) जब द्रव्यमान $m$ को दाईं ओर $x$ दूरी तक विस्थापित किया जाता है,तो $K_1$ नियतांक वाली स्प्रिंग $x$ से दब जाती है,और $K_2$ नियतांक वाली स्प्रिंग $x$ से खिंच जाती है।
दोनों स्प्रिंगें बाईं दिशा में एक प्रत्यानयन बल लगाती हैं।
कुल प्रत्यानयन बल $F$ इस प्रकार है:
$F = -(K_1 x + K_2 x) = -(K_1 + K_2)x$
इसे सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $F = -K_{eff} x$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्रभावी स्प्रिंग नियतांक $K_{eff} = K_1 + K_2$ प्राप्त होता है।
द्रव्यमान का त्वरण $a$ है:
$a = \frac{F}{m} = -\left(\frac{K_1 + K_2}{m}\right)x$
चूंकि $a = -\omega^2 x$,कोणीय आवृत्ति $\omega$ है:
$\omega = \sqrt{\frac{K_1 + K_2}{m}}$
आवर्तकाल $T$ इस प्रकार है:
$T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K_1 + K_2}}$

(D) गतिज ऊर्जा में हानि,मंदक बल के विरुद्ध किए गए कार्य के बराबर होती है।
मंदक बल $F = m \cdot a = m \cdot (2x)$ है।
मंदक बल के विरुद्ध किया गया कार्य $W = \int_{0}^{x} F \, dx = \int_{0}^{x} m(2x) \, dx = m \cdot x^2$ है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 10\,g = 10^{-2}\,kg$ है।
अतः,गतिज ऊर्जा में हानि $= 10^{-2} \cdot x^2 = \frac{x^2}{100} = \left(\frac{10}{x}\right)^{-2}\,J$ है।
इसे दिए गए व्यंजक $\left(\frac{10}{x}\right)^{-n}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 2$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि हॉर्न की आवृत्ति $f_0$ है। कार की गति $v_c = 15\,m/s$ है और ध्वनि की गति $v = 330\,m/s$ है।
जब कार दीवार की ओर बढ़ती है,तो दीवार एक स्थिर प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है जो ध्वनि प्राप्त करती है,और फिर ध्वनि को चालक की ओर परावर्तित करती है।
दीवार द्वारा सुनी गई ध्वनि की आवृत्ति $f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_c} \right)$ है।
यह परावर्तित ध्वनि चालक द्वारा सुनी जाती है जो $v_c$ गति से दीवार की ओर बढ़ रहा है,इसलिए प्रेक्षित आवृत्ति $f = f' \left( \frac{v + v_c}{v} \right) = f_0 \left( \frac{v + v_c}{v - v_c} \right)$ है।
आवृत्ति में परिवर्तन $\Delta f = f - f_0 = 40\,Hz$ दिया गया है।
मान रखने पर: $f = f_0 \left( \frac{330 + 15}{330 - 15} \right) = f_0 \left( \frac{345}{315} \right)$.
$\Delta f = f_0 \left( \frac{345}{315} - 1 \right) = f_0 \left( \frac{30}{315} \right) = 40$.
$f_0 = \frac{40 \times 315}{30} = 4 \times 105 = 420\,Hz$.

(D) दिया गया है: त्रिज्या $r = 20\,mm = 0.02\,m$,बल $F = 62.8\,kN = 62.8 \times 10^3\,N$,यंग मापांक $Y = 2.0 \times 10^{11}\,N/m^2$.
प्रतिबल (Stress) को $\text{Stress} = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi r^2}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान रखने पर: $\text{Stress} = \frac{62.8 \times 10^3}{\pi \times (0.02)^2} = \frac{62.8 \times 10^3}{3.14 \times 4 \times 10^{-4}} = \frac{62.8 \times 10^3}{12.56 \times 10^{-4}} = 5 \times 10^7\,N/m^2$.
अनुदैर्ध्य विकृति (Strain) $\text{Strain} = \frac{\text{Stress}}{Y}$ द्वारा दी जाती है।
$\text{Strain} = \frac{5 \times 10^7}{2.0 \times 10^{11}} = 2.5 \times 10^{-4}$.
आवश्यक प्रारूप में बदलने पर: $2.5 \times 10^{-4} = 25 \times 10^{-5}$.

(D) एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{2}{5}mr^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,छड़ के मध्य बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के परितः एक गोले का जड़त्व आघूर्ण (गोले के केंद्र से $d = 20\,cm = 0.2\,m$ की दूरी पर) $I = I_{cm} + md^2$ होगा।
चूंकि दो समान गोले हैं,इसलिए कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = 2(I_{cm} + md^2) = 2\left(\frac{2}{5}mr^2 + md^2\right)$ होगा।
दिया गया है $m = 2\,kg$,$r = 10\,cm = 0.1\,m$,और $d = 20\,cm = 0.2\,m$:
$I_{total} = 2 \left[ \frac{2}{5} \times 2 \times (0.1)^2 + 2 \times (0.2)^2 \right]$
$I_{total} = 2 \left[ \frac{4}{5} \times 0.01 + 2 \times 0.04 \right]$
$I_{total} = 2 \left[ 0.8 \times 0.01 + 0.08 \right]$
$I_{total} = 2 \left[ 0.008 + 0.08 \right] = 2 \times 0.088 = 0.176\,kg\,m^2$।
आवश्यक रूप में बदलने पर: $0.176\,kg\,m^2 = 176 \times 10^{-3}\,kg\,m^2$।

(C) अभिकथन $A$ सही है क्योंकि टूथपेस्ट की ट्यूब को दबाना पास्कल के सिद्धांत का एक व्यावहारिक अनुप्रयोग है,जहाँ एक बिंदु पर लगाया गया दबाव तरल के माध्यम से खुले सिरे तक प्रसारित होता है।
कारण $R$ पास्कल के सिद्धांत की औपचारिक परिभाषा है,जो बताती है कि एक बंद असंपीड्य तरल पर लगाए गए दबाव में परिवर्तन तरल के प्रत्येक भाग में और पात्र की दीवारों पर बिना किसी कमी के प्रसारित होता है।
चूंकि $A$ में वर्णित घटना $R$ में वर्णित भौतिक नियम के कारण ही होती है,इसलिए $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(D) औसत वेग का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $|\vec{v}_{avg}| = \frac{|\vec{r}_B - \vec{r}_A|}{\Delta t}$.
विस्थापन $|\vec{r}_B - \vec{r}_A|$ जीवा $AB$ की लंबाई है। $R$ त्रिज्या वाले वृत्त में,$\theta = 120^{\circ}$ कोण के लिए जीवा की लंबाई $2R \sin(\theta/2) = 2R \sin(60^{\circ}) = 2R(\sqrt{3}/2) = R\sqrt{3}$ होती है।
लिया गया समय $\Delta t$ चाप की लंबाई और चाल $v$ का अनुपात है। चाप की लंबाई $s = R\theta = R(2\pi/3)$ है।
अतः,$\Delta t = s/v = (2\pi R / 3) / \pi = 2R/3$.
इसलिए,$|\vec{v}_{avg}| = \frac{R\sqrt{3}}{2R/3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} = 1.5\sqrt{3} \, m/s$.

(A) आदर्श गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $C = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि तापमान $T$ और एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma$ ($H_2$ और $O_2$ जैसी द्वि-परमाणुक गैसों के लिए) समान हैं,इसलिए ध्वनि की गति मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $C \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
हाइड्रोजन $(H_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M_{H_2} = 2 \text{ g/mol}$ है।
ऑक्सीजन $(O_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M_{O_2} = 32 \text{ g/mol}$ है।
इसलिए,हाइड्रोजन और ऑक्सीजन में ध्वनि की गति का अनुपात $\frac{C_{H_2}}{C_{O_2}} = \sqrt{\frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$ है।
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(D) कोणीय वेग $\omega$ का मान $\omega = \frac{2\pi}{T}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $T = 3.14\,s$ और $\pi \approx 3.14$ दिया गया है,इसलिए $\omega = \frac{2 \times 3.14}{3.14} = 2\,rad/s$.
अपकेंद्री बल $F_c$ का सूत्र $F_c = m\omega^2R$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $m = 5\,kg$,$\omega = 2\,rad/s$,और $R = 2\,m$.
$F_c = 5 \times (2)^2 \times 2 = 5 \times 4 \times 2 = 40\,N$.
अतः,बच्चे पर लगने वाला अपकेंद्री बल $40\,N$ है।

(D) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 10.0 \, m/s$
अंतिम वेग $v = 60.0 \, m/s$
त्वरण $a = 2.0 \, m/s^2$
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए:
$v = u + at$
मान रखने पर:
$60.0 = 10.0 + (2.0)t$
$60.0 - 10.0 = 2.0t$
$50.0 = 2.0t$
$t = \frac{50.0}{2.0} = 25.0 \, s$
अतः,लगा समय $25 \, s$ है।

(D) केप्लर के ग्रहों की गति के दूसरे नियम के अनुसार,जब कोई ग्रह सूर्य के करीब होता है तो वह तेजी से चलता है और जब वह दूर होता है तो धीमा हो जाता है।
इसलिए,दीर्घवृत्ताकार कक्षा में सूर्य के चारों ओर परिक्रमा करने वाले ग्रह की रैखिक चाल स्थिर नहीं रहती है।
विकल्प $A$ सही है क्योंकि वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह की चाल $v = \sqrt{GM/r}$ द्वारा दी जाती है,जो एक निश्चित त्रिज्या $r$ के लिए स्थिर है।
विकल्प $B$ सही है क्योंकि दीर्घवृत्ताकार कक्षा में ग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
विकल्प $C$ सही है क्योंकि पृथ्वी का द्रव्यमान किसी भी गिरते हुए पिंड की तुलना में बहुत अधिक है,जिससे इसका त्वरण और विस्थापन नगण्य हो जाता है।
अतः,गलत कथन $D$ है।

(D) आदर्श गैस की रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) चाल का सूत्र: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $V_{rms} \propto \sqrt{T}$.
माना $T_1 = 200 \ K$ और $T_2 = 800 \ K$ है।
दिया गया है कि $V_{rms,1} = v_0$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{V_{rms,2}}{V_{rms,1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
मान रखने पर: $\frac{V_{rms,2}}{v_0} = \sqrt{\frac{800}{200}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$V_{rms,2} = 2 v_0$.

(D) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,ठंडा होने की दर पिंड और उसके परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है:
$\frac{T_1 - T_2}{t} = K \left( \frac{T_1 + T_2}{2} - T_s \right)$
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 60^{\circ}\,C$,अंतिम तापमान $T_2 = 40^{\circ}\,C$,समय $t = 7$ मिनट,और परिवेश का तापमान $T_s = 10^{\circ}\,C$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{60 - 40}{7} = K \left( \frac{60 + 40}{2} - 10 \right)$
$\frac{20}{7} = K(50 - 10) = 40K$
$K = \frac{20}{7 \times 40} = \frac{1}{14} \ldots (i)$
अब,अगले $7$ मिनट के लिए,मान लीजिए अंतिम तापमान $T$ है:
$\frac{40 - T}{7} = K \left( \frac{40 + T}{2} - 10 \right)$
$K = \frac{1}{14}$ रखने पर:
$\frac{40 - T}{7} = \frac{1}{14} \left( \frac{40 + T - 20}{2} \right)$
$\frac{40 - T}{7} = \frac{1}{14} \left( \frac{20 + T}{2} \right)$
$2(40 - T) = \frac{20 + T}{4}$
$8(40 - T) = 20 + T$
$320 - 8T = 20 + T$
$9T = 300$
$T = \frac{300}{9} = 33.33^{\circ}\,C \approx 34^{\circ}\,C$ (दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान)।

(B) पृथ्वी की सतह पर वस्तु का भार $W = mg = 100\,N$ है।
पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ है।
यहाँ $h = \frac{R}{4}$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$g' = g \left( \frac{R}{R + R/4} \right)^2 = g \left( \frac{R}{5R/4} \right)^2 = g \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25}g$.
$h$ ऊँचाई पर भार $W' = mg' = m \left( \frac{16}{25}g \right) = \frac{16}{25} \times W$ होगा।
$W = 100\,N$ रखने पर:
$W' = \frac{16}{25} \times 100 = 16 \times 4 = 64\,N$.

(C) तन्य प्रतिबल $\sigma$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल $A$ पर लगने वाले बल $F$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $F = mg$ और $A = \pi r^2 = \pi (D/2)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$ है।
दिया गया है: $\sigma = 7 \times 10^5\,N m^{-2}$,$D = 14\,mm = 14 \times 10^{-3}\,m$,$g = 9.8\,m s^{-2}$,और $\pi = \frac{22}{7}$।
इन मानों को सूत्र $\sigma = \frac{4mg}{\pi D^2}$ में रखने पर:
$m = \frac{\sigma \pi D^2}{4g}$
$m = \frac{(7 \times 10^5) \times (22/7) \times (14 \times 10^{-3})^2}{4 \times 9.8}$
$m = \frac{(7 \times 10^5) \times (22/7) \times (196 \times 10^{-6})}{39.2}$
$m = \frac{22 \times 10^5 \times 28 \times 10^{-6}}{39.2} = \frac{616 \times 10^{-1}}{39.2} = \frac{61.6}{39.2} = 11\,kg$.

(C) एक वलय के लिए जो अपने केंद्र से गुजरने वाली और अपने तल के लंबवत अक्ष के परितः घूम रही है,जड़त्व आघूर्ण $I = M_1 R_1^2$ है। चूँकि $I = M_1 K_1^2$,इसलिए घूर्णन त्रिज्या $K_1 = R_1$ है।
एक ठोस गोले के लिए जो अपने केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः घूम रहा है,जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{2}{5} M_2 R_2^2$ है। चूँकि $I' = M_2 K_2^2$,इसलिए घूर्णन त्रिज्या $K_2 = \sqrt{\frac{2}{5}} R_2$ है।
यह दिया गया है कि घूर्णन त्रिज्याएँ समान हैं,इसलिए $K_1 = K_2$.
अतः,$R_1 = \sqrt{\frac{2}{5}} R_2$.
इसका अर्थ है कि $\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{2}{5}}$.
दिए गए अनुपात $\sqrt{\frac{2}{x}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।

(C) एक सरल लोलक में अधिकतम तनाव माध्य स्थिति पर होता है,जो $T_{max} = mg + \frac{mv^2}{l}$ द्वारा दिया जाता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा चरम स्थिति पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है: $\frac{1}{2}mv^2 = mgl(1 - \cos \theta_0)$,जहाँ $\sin \theta_0 = \frac{A}{l} = \frac{10}{100} = 0.1$ है।
अतः,$\frac{mv^2}{l} = 2mg(1 - \cos \theta_0)$.
इसे तनाव के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $T_{max} = mg + 2mg(1 - \cos \theta_0) = mg(3 - 2\cos \theta_0)$.
चूँकि $\cos \theta_0 = \sqrt{1 - \sin^2 \theta_0} = \sqrt{1 - (0.1)^2} = \sqrt{0.99} \approx 1 - \frac{0.01}{2} = 0.995$.
$T_{max} = 0.25 \times 9.8 \times (3 - 2 \times 0.995) = 2.45 \times (3 - 1.99) = 2.45 \times 1.01 = 2.4745$.
दिया गया है कि $T_{max} = \frac{x}{40}$,इसलिए $x = 40 \times 2.4745 = 98.98 \approx 99$.

(C) मान लीजिए $V_1$ जमीन से टकराने से ठीक पहले का वेग है और $V_2$ जमीन से टकराने के ठीक बाद का वेग है।
दिया गया है कि वेगों का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = 4$ है,जिसका अर्थ है $V_1 = 4V_2$।
जमीन से टकराने से ठीक पहले गतिज ऊर्जा $KE_{before} = \frac{1}{2}mV_1^2$ है।
जमीन से टकराने के ठीक बाद गतिज ऊर्जा $KE_{after} = \frac{1}{2}mV_2^2 = \frac{1}{2}m\left(\frac{V_1}{4}\right)^2 = \frac{1}{2}mV_1^2 \times \frac{1}{16}$ है।
गतिज ऊर्जा में हानि $\Delta KE = KE_{before} - KE_{after} = \frac{1}{2}mV_1^2 \left(1 - \frac{1}{16}\right) = \frac{15}{32}mV_1^2$ है।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत हानि $\frac{\Delta KE}{KE_{before}} \times 100 = \left(1 - \frac{1}{16}\right) \times 100 = \frac{15}{16} \times 100 = \frac{1500}{16} = \frac{375}{4} \%$ है।
इसे $\frac{x}{4} \%$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 375$ प्राप्त होता है।

(A) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ होता है।
प्रक्षेप्य $A$ के लिए: $u_1 = 40\,m/s$,$\theta_1 = 30^{\circ}$।
$R_A = \frac{40^2 \sin(2 \times 30^{\circ})}{g} = \frac{1600 \sin(60^{\circ})}{g} = \frac{1600 \times \sqrt{3}}{2g} = \frac{800\sqrt{3}}{g}$।
प्रक्षेप्य $B$ के लिए: $u_2 = 60\,m/s$,$\theta_2 = 60^{\circ}$।
$R_B = \frac{60^2 \sin(2 \times 60^{\circ})}{g} = \frac{3600 \sin(120^{\circ})}{g} = \frac{3600 \times \sqrt{3}}{2g} = \frac{1800\sqrt{3}}{g}$।
उनकी परास का अनुपात $\frac{R_A}{R_B} = \frac{800\sqrt{3}/g}{1800\sqrt{3}/g} = \frac{800}{1800} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$ है।

(D) कथन $I:$ $\Delta Q > 0$. ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + W$। यदि किसी निकाय में ऊष्मा जोड़ी जाती है,तो निकाय द्वारा ऐसा कार्य $W$ किया जा सकता है कि $W > \Delta Q$ हो,जिसके परिणामस्वरूप $\Delta U < 0$ (आंतरिक ऊर्जा और तापमान में कमी) हो सकती है। अतः,कथन $I$ असत्य है।
कथन $II:$ निकाय द्वारा किया गया कार्य $W = \int P \, dV$ द्वारा दिया जाता है। यदि $W > 0$ है,तो $\int P \, dV > 0$ होगा। गैस के लिए दाब $P$ हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए आयतन में परिवर्तन $dV$ धनात्मक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि निकाय का आयतन बढ़ना चाहिए। अतः,कथन $II$ सत्य है।

(D) पृथ्वी की सतह पर पिंड का भार $W = mg = 400\,N$ है।
पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का सूत्र $g' = g(1 - \frac{d}{R})$ होता है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यहाँ गहराई $d = \frac{R}{2}$ दी गई है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$g' = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$ प्राप्त होता है।
इस गहराई पर पिंड का नया भार $W' = mg' = m(\frac{g}{2}) = \frac{mg}{2}$ होगा।
चूँकि $mg = 400\,N$ है,इसलिए $W' = \frac{400}{2} = 200\,N$ होगा।

(A) एक खींचे गए तार में प्रति इकाई आयतन $(u)$ संचित ऊर्जा का सूत्र इस प्रकार है:
$u = \frac{1}{2} \times \text{यंग मापांक} \times (\text{विकृति})^2$
दिया गया है:
$Y = 7.0 \times 10^{10} \ N/m^2$
$\text{विकृति} = 0.04 \% = \frac{0.04}{100} = 4 \times 10^{-4}$
सूत्र में मान रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \times (7.0 \times 10^{10}) \times (4 \times 10^{-4})^2$
$u = \frac{1}{2} \times 7.0 \times 10^{10} \times 16 \times 10^{-8}$
$u = 3.5 \times 16 \times 10^2$
$u = 56 \times 10^2 = 5600 \ J/m^3$
अतः,प्रति इकाई आयतन संचित ऊर्जा $5600 \ J/m^3$ है।

(A) दिया गया द्रव्यमान $m = 500 \, g = 0.5 \, kg$ है।
वेग सदिश $\vec{v} = 2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}$ है।
त्वरण $\vec{a}$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(2t \hat{i} + 3t^2 \hat{j}) = 2 \hat{i} + 6t \hat{j}$।
$t = 1 \, s$ पर,त्वरण $\vec{a} = 2 \hat{i} + 6(1) \hat{j} = 2 \hat{i} + 6 \hat{j} \, ms^{-2}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$\vec{F} = m\vec{a} = 0.5(2 \hat{i} + 6 \hat{j}) = 1 \hat{i} + 3 \hat{j} \, N$।
इसे दिए गए बल $(\hat{i} + x \hat{j}) \, N$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(B) $R$ त्रिज्या की कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा $E = -\frac{GMm}{2R}$ द्वारा दी जाती है।
उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{R}$ द्वारा दी जाती है।
इनकी तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $U = 2E$ है। अतः,कथन $I$ गलत है।
उपग्रह की गतिज ऊर्जा $K = \frac{GMm}{2R}$ द्वारा दी जाती है।
इसकी तुलना कुल ऊर्जा $E$ से करने पर,हम देखते हैं कि $K = -E$ है,जिसका अर्थ है कि गतिज ऊर्जा का परिमाण $|K|$ कुल ऊर्जा के परिमाण $|E|$ के बराबर है।
इस प्रकार,कथन $II$ भी गलत है।

(D) मान लीजिए कि दो बल $\vec{F}_1$ और $\vec{F}_2$ हैं,जहाँ $|\vec{F}_1| = A$ और $|\vec{F}_2| = \frac{A}{2}$ है।
चूंकि बल एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।
परिणामी बल $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ का परिमाण इस प्रकार दिया जाता है:
$|\vec{F}| = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos 90^{\circ}}$
चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0$ है,इसलिए व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है:
$|\vec{F}| = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$|\vec{F}| = \sqrt{A^2 + \left(\frac{A}{2}\right)^2} = \sqrt{A^2 + \frac{A^2}{4}}$
$|\vec{F}| = \sqrt{\frac{4A^2 + A^2}{4}} = \sqrt{\frac{5A^2}{4}}$
$|\vec{F}| = \frac{\sqrt{5}A}{2}$

(B) डॉप्लर प्रभाव ध्वनि के स्रोत और प्रेक्षक के बीच सापेक्ष गति के कारण उत्पन्न होता है।
इस मामले में,यात्री ट्रेन के अंदर है और इंजन (ध्वनि का स्रोत) भी उसी ट्रेन का हिस्सा है।
चूंकि स्रोत और प्रेक्षक दोनों एक ही वेग से एक साथ गति कर रहे हैं,इसलिए उनका सापेक्ष वेग $0\,ms^{-1}$ है।
चूंकि स्रोत और प्रेक्षक के बीच कोई सापेक्ष गति नहीं है,इसलिए आवृत्ति में कोई बदलाव नहीं होता है।
अतः,यात्री द्वारा सुनी गई आवृत्ति वही होगी जो सीटी द्वारा उत्पन्न की गई है,यानी $400\,Hz$।

(A) दिया गया है:
प्रारंभिक आयतन $V_1 = 1\,cm^3$
गहराई $h = 40\,m$
वायुमंडलीय दबाव $P_0 = 1 \times 10^5\,Pa$
पानी का घनत्व $\rho = 1000\,kg/m^3$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$
तापमान स्थिर है।
झील की तली पर दबाव इस प्रकार है:
$P_1 = P_0 + \rho gh$
$P_1 = 1 \times 10^5 + (1000 \times 10 \times 40) = 1 \times 10^5 + 4 \times 10^5 = 5 \times 10^5\,Pa$
चूंकि तापमान स्थिर है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं:
$P_1 V_1 = P_0 V_2$
$5 \times 10^5 \times 1 = 1 \times 10^5 \times V_2$
$V_2 = 5\,cm^3$
अतः,जब हवा का बुलबुला सतह पर पहुँचता है तो उसका आयतन $5\,cm^3$ होगा।

(D) मूविंग कॉइल गैल्वेनोमीटर की धारा सुग्राहिता $(I_s)$ का सूत्र $I_s = \frac{NBA}{k}$ है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र है,$A$ क्षेत्रफल है,और $k$ मरोड़ी नियतांक है।
चूंकि $I_s \propto N$,यदि $I_s$ में $50 \%$ की वृद्धि होती है,तो फेरों की नई संख्या $N' = 1.5N$ होगी।
वोल्टेज सुग्राहिता $(V_s)$ का सूत्र $V_s = \frac{I_s}{R}$ है,जहाँ $R$ कुंडली का प्रतिरोध है।
प्रतिरोध $R$ तार की लंबाई के समानुपाती होता है और लंबाई फेरों की संख्या के समानुपाती होती है $(R \propto N)$।
इसलिए,$V_s = \frac{I_s}{R} \propto \frac{N}{N} = \text{नियतांक}$.
चूंकि $V_s$ फेरों की संख्या $N$ पर निर्भर नहीं करता है,इसलिए वोल्टेज सुग्राहिता अपरिवर्तित रहती है।
अतः,वोल्टेज सुग्राहिता में प्रतिशत परिवर्तन $0 \%$ है।

(D) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
$hc = 1240 \, eV \cdot nm$ और $\lambda = 350 \, nm$ का उपयोग करने पर,हमें $E = \frac{1240}{350} \approx 3.54 \, eV$ प्राप्त होता है।
फोटो-इलेक्ट्रिक उत्सर्जन केवल तभी होता है जब आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन से अधिक हो $(E > \Phi)$।
धातु $A$ के लिए: $\Phi_A = 4.8 \, eV$। चूंकि $3.54 \, eV < 4.8 \, eV$,धातु $A$ फोटो-इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं करेगी।
धातु $B$ के लिए: $\Phi_B = 2.2 \, eV$। चूंकि $3.54 \, eV > 2.2 \, eV$,धातु $B$ फोटो-इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करेगी।
अतः,धातु $A$ फोटो-इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं करेगी।

(A) दिया गया प्रत्यावर्ती वोल्टेज समीकरण $V = V_m \sin(\omega t)$ है।
इसकी तुलना $V = 260 \sin(628t)$ से करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 628\,rad/s$ प्राप्त होती है।
प्रेरक का प्रेरकत्व $L = 5\,mH = 5 \times 10^{-3}\,H$ है।
प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ का सूत्र $X_L = \omega L$ होता है।
मान रखने पर,$X_L = 628 \times 5 \times 10^{-3} = 3140 \times 10^{-3} = 3.14\,\Omega$।
अतः,प्रेरणिक प्रतिघात $3.14\,\Omega$ है।

(C) सही मिलान इस प्रकार है:
$1$. सूक्ष्म तरंगों $(A)$ का उपयोग विमान नेविगेशन $(IV)$ के लिए रडार सिस्टम में किया जाता है।
$2$. $UV$ किरणों $(B)$ का उपयोग लासिक नेत्र शल्य चिकित्सा $(III)$ में किया जाता है।
$3$. अवरक्त किरणों $(C)$ का उपयोग फिजियोथेरेपी $(I)$ में ऊष्मा उपचार प्रदान करने के लिए किया जाता है।
$4$. $X$-किरणों $(D)$ का उपयोग कैंसर के उपचार $(II)$ (रेडियोथेरेपी) में किया जाता है।
अतः,सही मिलान $A-IV, B-III, C-I, D-II$ है।

(B) बोहर के मॉडल के अनुसार,$n$वीं कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है,$n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
किसी दिए गए परमाणु के लिए $a_0$ और $Z$ स्थिर हैं,इसलिए $r_n \propto n^2$ होता है।
दिया गया है कि $2$री कक्षा $(n=2)$ की त्रिज्या $R$ है,तो हम लिख सकते हैं $R = k(2)^2 = 4k$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
$3$री कक्षा $(n=3)$ के लिए,त्रिज्या $r_3 = k(3)^2 = 9k$ होगी।
अब,अनुपात ज्ञात करने पर: $\frac{r_3}{R} = \frac{9k}{4k} = \frac{9}{4} = 2.25$.
अतः,$3$री कक्षा की त्रिज्या $2.25R$ होगी।

(A) $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $q$ के कारण विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि निकाय में सभी आवेश धनात्मक हैं,इसलिए विभव $V = \sum \frac{kq_i}{r_i}$ हमेशा धनात्मक पदों का योग होगा,जो अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर (अनंत को छोड़कर) कभी शून्य नहीं हो सकता है।
हालाँकि,विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \sum \frac{kq_i}{r_i^2} \hat{r}_i$ एक सदिश राशि है। आवेशों के समूह के लिए,अंतरिक्ष में ऐसे बिंदु हो सकते हैं जहाँ व्यक्तिगत आवेशों के विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग शून्य हो जाता है,जिसके परिणामस्वरूप कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
इसलिए,धनात्मक आवेशों के निकाय के लिए,कुल विभव शून्य नहीं हो सकता है,लेकिन किसी बिंदु पर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य हो सकता है।

(C) कथन $I$ गलत है क्योंकि एक ट्रांजिस्टर में,तीनों क्षेत्रों में डोपिंग का स्तर अलग-अलग होता है। उत्सर्जक (emitter) भारी डोप्ड होता है,आधार (base) हल्का डोप्ड होता है और संग्राहक (collector) मध्यम डोप्ड होता है।
कथन $II$ सही है क्योंकि संग्राहक को सबसे बड़ा (मोटा) बनाया जाता है ताकि संचालन के दौरान उत्पन्न गर्मी को नष्ट किया जा सके,और आधार को बहुत पतला बनाया जाता है ताकि उत्सर्जक से आने वाले अधिकांश आवेश वाहक (charge carriers) संग्राहक तक पहुँच सकें।
इसलिए,कथन $I$ गलत है और कथन $II$ सही है।

(C) दिए गए पैरामीटर $R = 80\,\Omega$,$X_{L} = 100\,\Omega$ और $X_{C} = 40\,\Omega$ हैं।
पीक वोल्टेज (आयाम) $V_{0} = 2500\,V$ है।
श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ को $Z = \sqrt{R^2 + (X_{L} - X_{C})^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $Z = \sqrt{80^2 + (100 - 40)^2} = \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100\,\Omega$।
धारा का आयाम $I_{0}$ को $I_{0} = \frac{V_{0}}{Z}$ द्वारा दिया जाता है।
$I_{0} = \frac{2500}{100} = 25\,A$।

(C) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए फ्रिंज चौड़ाई $\omega = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $\lambda_1 = 800 \, nm = 8 \times 10^{-7} \, m$,$\lambda_2 = 600 \, nm = 6 \times 10^{-7} \, m$,$D = 7 \, m$,और $d = 0.35 \, mm = 3.5 \times 10^{-4} \, m$.
फ्रिंज चौड़ाई की गणना:
$\omega_1 = \frac{8 \times 10^{-7} \times 7}{3.5 \times 10^{-4}} = 16 \times 10^{-3} \, m = 16 \, mm$.
$\omega_2 = \frac{6 \times 10^{-7} \times 7}{3.5 \times 10^{-4}} = 12 \times 10^{-3} \, m = 12 \, mm$.
दीप्त फ्रिंज केंद्रीय उच्चिष्ठ से $y$ दूरी पर संपाती होती हैं जहाँ $y = n_1 \omega_1 = n_2 \omega_2$,जहाँ $n_1$ और $n_2$ पूर्णांक हैं।
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $\omega_1$ और $\omega_2$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ निकालते हैं।
$LCM(16, 12) = 48 \, mm$.
अतः,न्यूनतम दूरी $48 \, mm$ है।

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2}\,eV$ द्वारा दी जाती है।
$Li^{2+}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
दूसरी उत्तेजित अवस्था $n = 3$ के अनुरूप है।
इसलिए,दूसरी उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_3 = -13.6 \times \frac{3^2}{3^2} = -13.6\,eV$ है।
इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा (बंधन ऊर्जा) इस ऊर्जा का परिमाण है,जो $13.6\,eV$ है।
हमें दिया गया है कि यह ऊर्जा $x \times 10^{-1}\,eV$ है।
इसलिए,$13.6 = x \times 10^{-1} \implies x = 136$.

(C) स्थायी अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ (open circuit) की तरह व्यवहार करता है। इसलिए,संधारित्र वाली शाखाओं से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
परिपथ $6 \ V$ की बैटरी से जुड़ी दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है।
शाखा $ABC$ में श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोध हैं: $2 \ \Omega$ और $1 \ \Omega$। इस शाखा का कुल प्रतिरोध $R_{ABC} = 2 + 1 = 3 \ \Omega$ है।
इस शाखा में धारा $i_{ABC} = \frac{6 \ V}{3 \ \Omega} = 2 \ A$ है।
बिंदु $A$ के सापेक्ष बिंदु $B$ पर विभव $V_A - V_B = i_{ABC} \times 2 \ \Omega = 2 \ A \times 2 \ \Omega = 4 \ V$ है। यदि $V_A = 6 \ V$ और $V_C = 0 \ V$ मान लें,तो $V_B = 6 - 4 = 2 \ V$ होगा।
शाखा $ADC$ में श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोध हैं: $10 \ \Omega$ और $2 \ \Omega$। इस शाखा का कुल प्रतिरोध $R_{ADC} = 10 + 2 = 12 \ \Omega$ है।
इस शाखा में धारा $i_{ADC} = \frac{6 \ V}{12 \ \Omega} = 0.5 \ A$ है।
बिंदु $A$ के सापेक्ष बिंदु $D$ पर विभव $V_A - V_D = i_{ADC} \times 10 \ \Omega = 0.5 \ A \times 10 \ \Omega = 5 \ V$ है। अतः,$V_D = 6 - 5 = 1 \ V$ होगा।
विभवांतर $\left| V_{B}-V_{D}\right| = |2 \ V - 1 \ V| = 1 \ V$ है।

(C) प्रारंभिक स्थिति: दोनों संधारित्रों की धारिता $C = 10 \mu F$ है और वे $V_0 = 100 \, V$ तक आवेशित हैं।
$C_1$ के लिए: यह स्रोत से जुड़ा रहता है। जब $K = 10$ का परावैद्युत डाला जाता है,तो नई धारिता $C_1' = K \cdot C = 10 \times 10 \mu F = 100 \mu F$ हो जाती है। चूंकि यह स्रोत से जुड़ा है,विभव $V_1 = 100 \, V$ रहता है। $C_1$ पर आवेश $Q_1 = C_1' \cdot V_1 = 100 \mu F \times 100 \, V = 10000 \mu C$ है।
$C_2$ के लिए: इसे स्रोत से अलग कर दिया जाता है,इसलिए इसका आवेश स्थिर रहता है। $Q_2 = C \cdot V_0 = 10 \mu F \times 100 \, V = 1000 \mu C$। जब परावैद्युत डाला जाता है,तो नई धारिता $C_2' = K \cdot C = 100 \mu F$ हो जाती है। $C_2$ पर विभव $V_2 = Q_2 / C_2' = 1000 \mu C / 100 \mu F = 10 \, V$ हो जाता है।
अंतिम स्थिति: संधारित्रों को समानांतर में जोड़ा जाता है। कुल आवेश $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 10000 \mu C + 1000 \mu C = 11000 \mu C$। कुल धारिता $C_{eq} = C_1' + C_2' = 100 \mu F + 100 \mu F = 200 \mu F$।
सामान्य विभव $V = Q_{total} / C_{eq} = 11000 \mu C / 200 \mu F = 55 \, V$।

(B) $1$. नैज (Intrinsic) अर्धचालक: एक नैज अर्धचालक में,चालन बैंड में इलेक्ट्रॉनों की संख्या संयोजी बैंड में छिद्रों (holes) की संख्या के बराबर होती है। इसलिए,फर्मी स्तर वर्जित ऊर्जा अंतराल (forbidden energy gap) के ठीक मध्य में स्थित होता है। अतः,$A \rightarrow II$ है।
$2$. $n$-प्रकार का अर्धचालक: $n$-प्रकार के अर्धचालक में,दाता ऊर्जा स्तर चालन बैंड के ठीक नीचे पेश किए जाते हैं। परिणामस्वरूप,फर्मी स्तर चालन बैंड की ओर ऊपर की ओर स्थानांतरित हो जाता है। अतः,$B \rightarrow I$ है।
$3$. $p$-प्रकार का अर्धचालक: $p$-प्रकार के अर्धचालक में,ग्राही ऊर्जा स्तर संयोजी बैंड के ठीक ऊपर पेश किए जाते हैं। परिणामस्वरूप,फर्मी स्तर संयोजी बैंड की ओर नीचे की ओर स्थानांतरित हो जाता है। अतः,$C \rightarrow III$ है।
$4$. धातुएं: धातुओं में,संयोजी बैंड और चालन बैंड एक-दूसरे पर अतिव्याप्त (overlap) होते हैं,और फर्मी स्तर चालन बैंड के अंदर स्थित होता है। अतः,$D \rightarrow IV$ है।
इसलिए,सही मिलान $(A \rightarrow II, B \rightarrow I, C \rightarrow III, D \rightarrow IV)$ है।

(C) $AC$ जनरेटर का कार्य सिद्धांत विद्युतचुंबकीय प्रेरण पर आधारित है $(A-II)$.
ट्रांसफॉर्मर का कार्य सिद्धांत अन्योन्य प्रेरण (Mutual Inductance) पर आधारित है $(B-IV)$.
$AC$ सर्किट में अनुनाद तब होता है जब इंडक्टर $(L)$ और कैपेसिटर $(C)$ दोनों मौजूद होते हैं,जिससे इंडक्टिव रिएक्टेंस को कैपेसिटिव रिएक्टेंस के साथ रद्द करने की अनुमति मिलती है $(C-I)$.
अनुनाद की तीक्ष्णता को सर्किट के क्वालिटी फैक्टर ($Q$-फैक्टर) द्वारा मापा जाता है $(D-III)$.
अतः,सही मिलान $A-II, B-IV, C-I, D-III$ है।

(B) सही मिलान इस प्रकार है:
$1$. सूक्ष्म तरंगें (Microwaves) क्लाइस्ट्रॉन वाल्व या मैग्नेट्रॉन वाल्व द्वारा उत्पन्न होती हैं $(A-IV)$।
$2$. गामा किरणें नाभिक के रेडियोधर्मी क्षय द्वारा उत्पन्न होती हैं $(B-I)$।
$3$. रेडियो तरंगें एरियल में इलेक्ट्रॉनों के त्वरित और मंदित होने से उत्पन्न होती हैं $(C-II)$।
$4$. $X$-किरणें तब उत्पन्न होती हैं जब उच्च ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन धातु के लक्ष्य से टकराते हैं,जिससे आंतरिक कोश के इलेक्ट्रॉनों का संक्रमण होता है $(D-III)$।
अतः,सही मिलान $A-IV, B-I, C-II, D-III$ है।

(B) जब $I$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहली ध्रुवण शीट से गुजरता है,तो तीव्रता $I_1 = \frac{I}{2}$ हो जाती है।
बाद की शीटों के लिए,हम मैलस के नियम का उपयोग करते हैं: $I_{k} = I_{k-1} \cos^2(\theta)$,जहाँ $\theta = 45^{\circ}$ है।
चूँकि $\cos^2(45^{\circ}) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$,प्रत्येक शीट के बाद तीव्रता आधी हो जाती है।
पहली शीट के बाद,तीव्रता $I_1 = \frac{I}{2}$ है।
दूसरी शीट के बाद,$I_2 = I_1 \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{I}{2^2}$ है।
$n$-वीं शीट के बाद,तीव्रता $I_n = \frac{I}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{I}{2^n}$ होती है।
दिया गया है कि $I_n = \frac{I}{64}$,इसलिए $\frac{I}{2^n} = \frac{I}{64}$ है।
$2^n = 64 = 2^6$ है।
अतः,$n = 6$।

(C) बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र दो सीधे तार के टुकड़ों और अर्धवृत्ताकार चाप के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का योग है।
$1$. अर्ध-अनंत सीधे तार के लिए,$r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{straight} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r}$ होता है। ऐसे दो टुकड़ों के लिए,कुल क्षेत्र $B_1 = 2 \times \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ होगा।
$2$. $r$ त्रिज्या वाले अर्धवृत्त के लिए,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{arc} = \frac{1}{2} \times \frac{\mu_0 i}{2 r} = \frac{\mu_0 i}{4 r}$ होता है।
$3$. कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_P = B_1 + B_{arc} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 i}{4 r}$ है।
$4$. $\frac{\mu_0 i}{2 r}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$B_P = \frac{\mu_0 i}{2 r} \left( \frac{1}{\pi} + \frac{1}{2} \right)$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $C$ के अनुरूप है।

(B) $FM$ (फ्रीक्वेंसी मॉड्यूलेशन) रेडियो प्रसारण के लिए मानक आवृत्ति सीमा $88\,MHz$ से $108\,MHz$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर:
$A) 106\,MHz$ इस सीमा के भीतर है।
$B) 64\,MHz$ इस सीमा से बाहर है।
$C) 99\,MHz$ इस सीमा के भीतर है।
$D) 89\,MHz$ इस सीमा के भीतर है।
अतः,$64\,MHz$ $FM$ प्रसारण बैंड से संबंधित नहीं है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $p$ संवेग है।
गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
$p = \frac{h}{\lambda}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों कणों की तरंगदैर्घ्य $\lambda$ समान है,इसलिए गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती है: $K \propto \frac{1}{m}$।
अतः,प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा $(K_p)$ और अल्फा कण की गतिज ऊर्जा $(K_\alpha)$ का अनुपात $\frac{K_p}{K_\alpha} = \frac{m_\alpha}{m_p}$ होगा।
चूंकि अल्फा कण का द्रव्यमान प्रोटॉन के द्रव्यमान का लगभग $4$ गुना होता है $(m_\alpha \approx 4m_p)$,इसलिए $\frac{K_p}{K_\alpha} = \frac{4m_p}{m_p} = 4:1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। मान लीजिए कि नोड्स को इस प्रकार लेबल किया गया है कि प्रतिरोधक $R$,$3R$,$2R$ और $6R$ ब्रिज की चार भुजाएँ बनाते हैं।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए स्थिति की जाँच करना: $\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}$।
यहाँ,$\frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$ और $\frac{3R}{6R} = \frac{1}{2}$ है।
चूँकि अनुपात समान हैं,ब्रिज संतुलित है और केंद्रीय प्रतिरोधक $(9R)$ में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इस प्रकार,परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है: एक $(R + 3R) = 4R$ के साथ और दूसरी $(2R + 6R) = 8R$ के साथ।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार दिया गया है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4R} + \frac{1}{8R} = \frac{2+1}{8R} = \frac{3}{8R}$।
इसलिए,$R_{eq} = \frac{8R}{3}$।

(D) पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ वाली एक अनंत पतली शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\hat{n}$ शीट के लंबवत और उससे दूर जाने वाला इकाई सदिश है।
मान लीजिए कि दाईं ओर की दिशा धनात्मक दिशा $\hat{n}$ है।
क्षेत्र $I$ में (दोनों शीटों के बाईं ओर),दोनों शीटें बाईं ओर $(-\hat{n})$ इंगित विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करती हैं:
$\vec{E}_{ I } = -\frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} - \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} = -\frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{n}$.
क्षेत्र $II$ में (दो शीटों के बीच),बाईं शीट दाईं ओर $(+\hat{n})$ और दाईं शीट बाईं ओर $(-\hat{n})$ क्षेत्र उत्पन्न करती है:
$\vec{E}_{ II } = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} - \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} = 0$.
क्षेत्र $III$ में (दोनों शीटों के दाईं ओर),दोनों शीटें दाईं ओर $(+\hat{n})$ इंगित विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करती हैं:
$\vec{E}_{ III } = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} + \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \hat{n} = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \hat{n}$.

(B) हीलियम नाभिक $(_{2}^{4}He)$ में $2$ प्रोटॉन और $2$ न्यूट्रॉन होते हैं।
द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ इस प्रकार है: $\Delta m = (2 m_p + 2 m_n) - m_{He}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta m = [2(1.0073) + 2(1.0087)] - 4.0015$.
$\Delta m = [2.0146 + 2.0174] - 4.0015 = 4.0320 - 4.0015 = 0.0305\,u$.
चूंकि $1\,u = 931.5\,MeV/c^2$, इसलिए बंधन ऊर्जा $(B.E.)$ है:
$B.E. = \Delta m \times 931.5\,MeV$.
$B.E. = 0.0305 \times 931.5 \approx 28.4\,MeV$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ है।
जब कण $V$ विभवांतर से त्वरित होता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा $K = qV = \frac{1}{2}mv^2$ होती है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
त्रिज्या के सूत्र में $v$ का मान रखने पर: $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $r^2 = \frac{2mV}{B^2 q} \implies m = \frac{r^2 q B^2}{2V}$.
दिया गया है: $q = 2 \times 10^{-6}\,C$,$V = 100\,V$,$B = 4 \times 10^{-3}\,T$,$r = 3 \times 10^{-2}\,m$.
मान रखने पर: $m = \frac{(3 \times 10^{-2})^2 \times (2 \times 10^{-6}) \times (4 \times 10^{-3})^2}{2 \times 100}$.
$m = \frac{(9 \times 10^{-4}) \times (2 \times 10^{-6}) \times (16 \times 10^{-6})}{200} = \frac{288 \times 10^{-16}}{200} = 1.44 \times 10^{-16}\,kg = 144 \times 10^{-18}\,kg$.

(B) पोटेंशियोमीटर के लिए,सेल का $emf$ संतुलन लंबाई $(l)$ के सीधे आनुपातिक होता है: $E \propto l$,जिसका अर्थ है $\frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_2}$.
दिया गया है $E_1 = 1.5 \ V$ और $l_1 = 60 \ cm$.
नई लंबाई $l_2 = l_1 + 40 \ cm = 60 + 40 = 100 \ cm$.
मान रखने पर: $\frac{1.5}{E} = \frac{60}{100}$.
$\frac{1.5}{E} = \frac{6}{10} = 0.6$.
$E = \frac{1.5}{0.6} = \frac{15}{6} = 2.5 \ V$.
दिया गया है $E = \frac{x}{10} \ V$,इसलिए $\frac{x}{10} = 2.5$.
$x = 25$.

(B) मूल अवस्था $(n=1)$ में हाइड्रोजन परमाणु की ऊर्जा $E_1 = -13.6 \; eV$ होती है।
जब परमाणु $12.75 \; eV$ ऊर्जा के फोटॉन को अवशोषित करता है,तो उसकी नई ऊर्जा $E_n$ इस प्रकार होती है:
$E_n = E_1 + 12.75 = -13.6 + 12.75 = -0.85 \; eV$.
सूत्र $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \; eV$ का उपयोग करने पर:
$\frac{-13.6}{n^2} = -0.85$
$n^2 = \frac{13.6}{0.85} = 16$
$n = 4$.
$n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L$,बोहर के अभिगृहीत के अनुसार:
$L = \frac{nh}{2\pi} = \frac{4h}{2\pi} = \frac{2h}{\pi}$.
$h = 4.14 \times 10^{-15} \; eVs$ रखने पर:
$L = \frac{2 \times 4.14 \times 10^{-15}}{\pi} = \frac{8.28 \times 10^{-15}}{\pi} = \frac{828 \times 10^{-17}}{\pi} \; eVs$.
इसकी तुलना $\frac{x}{\pi} \times 10^{-17} \; eVs$ से करने पर,हमें $x = 828$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि दो आवेश $q$ को $(0, a)$ और $(0, -a)$ पर रखा गया है। एक परीक्षण आवेश $q_0$ को $(x, 0)$ पर रखा गया है।
प्रत्येक आवेश द्वारा $q_0$ पर लगाया गया बल $F' = \frac{K q q_0}{x^2 + a^2}$ है।
इन बलों के $y$-अक्ष पर घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जबकि $x$-अक्ष पर घटक जुड़ जाते हैं।
परिणामी बल $F = 2 F' \cos \theta = 2 \left( \frac{K q q_0}{x^2 + a^2} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \right) = \frac{2 K q q_0 x}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$ है।
अधिकतम बल ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{dF}{dx} = 0$ रखते हैं।
$\frac{d}{dx} [x(x^2 + a^2)^{-3/2}] = (x^2 + a^2)^{-3/2} + x \cdot (-\frac{3}{2}) (x^2 + a^2)^{-5/2} \cdot 2x = 0$.
$(x^2 + a^2)^{-3/2} = 3x^2 (x^2 + a^2)^{-5/2}$.
$x^2 + a^2 = 3x^2 \implies 2x^2 = a^2 \implies x = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
इसकी तुलना $\frac{a}{\sqrt{x}}$ से करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: फोकस दूरी $f = -20\,cm$। छड़ का मध्य बिंदु ध्रुव से $40\,cm$ की दूरी पर है। चूंकि छड़ की लंबाई $10\,cm$ है,इसलिए सिरे $A$ और $B$ ध्रुव से क्रमशः $u_A = -(40 + 5) = -45\,cm$ और $u_B = -(40 - 5) = -35\,cm$ की दूरी पर हैं।
दर्पण सूत्र $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ का उपयोग करने पर,$v = \frac{uf}{u-f}$ प्राप्त होता है।
सिरे $A$ के लिए: $v_A = \frac{(-45)(-20)}{-45 - (-20)} = \frac{900}{-25} = -36\,cm$।
सिरे $B$ के लिए: $v_B = \frac{(-35)(-20)}{-35 - (-20)} = \frac{700}{-15} = -\frac{140}{3}\,cm$।
प्रतिबिंब की लंबाई $|v_A - v_B| = |-36 - (-140/3)| = |-108/3 + 140/3| = |32/3|\,cm$ है।
इसे $\frac{x}{3}\,cm$ के साथ तुलना करने पर,$x = 32$ प्राप्त होता है।

(B) ऊर्जा आपूर्ति की औसत दर को अधिकतम करने के लिए,परिपथ में शक्ति अधिकतम होनी चाहिए।
एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,अनुनाद (resonance) की स्थिति में शक्ति अधिकतम होती है।
अनुनाद की स्थिति में,प्रेरणिक प्रतिघात,धारितीय प्रतिघात के बराबर होता है,अर्थात $X_L = X_C$.
दिया गया है $X_L = 79.6\,\Omega$ और आवृत्ति $f = 50\,Hz$.
धारितीय प्रतिघात का सूत्र $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ है।
$X_L$ और $X_C$ को बराबर रखने पर: $79.6 = \frac{1}{2 \times 3.1416 \times 50 \times C}$.
$C = \frac{1}{314.16 \times 79.6} \approx \frac{1}{25007} \approx 3.998 \times 10^{-5}\,F$.
$C \approx 40 \times 10^{-6}\,F = 40\,\mu F$.

(A) $Q$ आवेश वाले $R$ त्रिज्या के एक चालक गोले का विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यह सूत्र ठोस और खोखले दोनों चालक गोलों पर लागू होता है क्योंकि आवेश पूरी तरह से बाहरी सतह पर रहता है।
यह देखते हुए कि दोनों गोलों की त्रिज्या $R$ समान है और वे समान विभव $V$ पर आवेशित हैं,हमारे पास $V = \frac{Q_1}{4\pi\epsilon_0 R}$ और $V = \frac{Q_2}{4\pi\epsilon_0 R}$ है।
इनकी तुलना करने पर,हमें $Q_1 = Q_2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,ठोस गोले और खोखले गोले पर समान आवेश होगा,जिससे अभिकथन $A$ गलत हो जाता है।
कारण $R$ बताता है कि धात्विक गोले की धारिता उसकी त्रिज्या $(C = 4\pi\epsilon_0 R)$ पर निर्भर करती है,जो एक सही कथन है।
अतः,$A$ गलत है लेकिन $R$ सही है।

(D) $I$ धारा ले जाने वाले और केंद्र पर $\theta$ कोण बनाने वाले $R$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ द्वारा दिया जाता है।
अर्धवृत्ताकार चाप के लिए,केंद्र पर बना कोण $\theta = \pi$ रेडियन है।
चालक के सीधे हिस्से केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र में कोई योगदान नहीं देते हैं क्योंकि बिंदु $O$ इन सीधे तारों की अक्ष पर स्थित है।
अतः,केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र केवल अर्धवृत्ताकार चाप के कारण है:
$B = \frac{\mu_0 I \pi}{4 \pi R} = \frac{\mu_0 I}{4 R}$.
यहाँ $I = 3 \, A$,$R = \frac{\pi}{10} \, m$,और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$ दिया गया है:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 3}{4 \times (\frac{\pi}{10})} = \frac{12 \pi \times 10^{-7}}{\frac{4 \pi}{10}} = \frac{12 \pi \times 10^{-7} \times 10}{4 \pi} = 3 \times 10^{-6} \, T$.
चूंकि $1 \, \mu T = 10^{-6} \, T$,इसलिए $B = 3 \, \mu T$ प्राप्त होता है।

(D) कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ सूत्र $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण है,$A$ कुंडली का क्षेत्रफल है,और $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश और क्षेत्रफल सदिश के बीच का कोण है।
$1$. चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $(B)$ बदलकर,फ्लक्स $\phi$ बदल जाता है। (कथन $A$ सही है)।
$2$. चुंबकीय क्षेत्र के भीतर कुंडली का क्षेत्रफल $(A)$ बदलकर,फ्लक्स $\phi$ बदल जाता है। (कथन $B$ सही है)।
$3$. चुंबकीय क्षेत्र की दिशा और कुंडली के तल के बीच का कोण $(\theta)$ बदलकर,फ्लक्स $\phi$ बदल जाता है। (कथन $C$ सही है)।
$4$. चुंबकीय क्षेत्र की दिशा को अचानक उलटकर,कोण $\theta$ बदल जाता है (उदाहरण के लिए $0^\circ$ से $180^\circ$),जिससे फ्लक्स $\phi$ बदल जाता है। (कथन $D$ सही है)।
अतः,चारों विधियों द्वारा कुंडली से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स को बदला जा सकता है।

(C) मॉड्यूलेशन इंडेक्स $\mu$ को मॉड्यूलेटिंग सिग्नल के एम्प्लिट्यूड $(A_m)$ और कैरियर सिग्नल के एम्प्लिट्यूड $(A_c)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\mu = \frac{A_m}{A_c}$।
पहले मामले में,मॉड्यूलेटिंग सिग्नल का एम्प्लिट्यूड $A_m = X$ है और कैरियर सिग्नल का एम्प्लिट्यूड $A_c = Y$ है। अतः,$\mu_1 = \frac{X}{Y}$।
दूसरे मामले में,मॉड्यूलेटिंग सिग्नल का एम्प्लिट्यूड $A_m = X$ है और कैरियर सिग्नल का एम्प्लिट्यूड $A_c = 2Y$ है। अतः,$\mu_2 = \frac{X}{2Y}$।
मॉड्यूलेशन इंडेक्स का अनुपात $\frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{X/Y}{X/2Y} = \frac{2}{1}$ होगा।
इसलिए,अनुपात $2:1$ है।

(C) दिया गया है: वक्रता त्रिज्या $R = -40\,cm$ (अवतल दर्पण के लिए)। फोकस दूरी $f = R/2 = -20\,cm$.
दर्पण सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
वस्तु $A$ के लिए $u_1 = -15\,cm$:
$\frac{1}{v_1} + \frac{1}{-15} = \frac{1}{-20} \implies \frac{1}{v_1} = -\frac{1}{20} + \frac{1}{15} = \frac{-3 + 4}{60} = \frac{1}{60}$.
अतः,$v_1 = 60\,cm$ (प्रतिबिंब आभासी और दर्पण के पीछे है)।
वस्तु $B$ के लिए $u_2 = -25\,cm$:
$\frac{1}{v_2} + \frac{1}{-25} = \frac{1}{-20} \implies \frac{1}{v_2} = -\frac{1}{20} + \frac{1}{25} = \frac{-5 + 4}{100} = -\frac{1}{100}$.
अतः,$v_2 = -100\,cm$ (प्रतिबिंब वास्तविक और दर्पण के सामने है)।
प्रतिबिंबों के बीच की दूरी $d = |v_1 - v_2| = |60 - (-100)| = 160\,cm$.

(A) मान लीजिए कि बहुभुज का कुल प्रतिरोध $R$ है। चूंकि यह $n$-भुजा वाला बहुभुज है,इसलिए प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $r = \frac{R}{n}$ होगा।
जब हम दो आसन्न कोनों,मान लीजिए $A$ और $B$ पर विचार करते हैं,तो परिपथ दो समानांतर पथों में विभाजित हो जाता है:
$1$. सीधी भुजा $AB$ जिसका प्रतिरोध $r$ है।
$2$. शेष $(n-1)$ भुजाएँ जो श्रेणीक्रम में जुड़ी हैं और जिनका कुल प्रतिरोध $(n-1)r$ है।
$A$ और $B$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इन दो पथों के समानांतर संयोजन द्वारा दिया जाता है:
$R_{eq} = \frac{r \cdot (n-1)r}{r + (n-1)r}$
$R_{eq} = \frac{(n-1)r^2}{nr} = \frac{(n-1)r}{n}$
समीकरण में $r = \frac{R}{n}$ रखने पर:
$R_{eq} = \frac{(n-1)}{n} \cdot \frac{R}{n} = \frac{(n-1)R}{n^2}$

(A) वोल्टमीटर को उस घटक के समानांतर जोड़ा जाता है जिसके सिरों पर विभवांतर मापा जाना है।
लोडिंग प्रभाव को कम करने और यह सुनिश्चित करने के लिए कि मापा गया वोल्टेज वास्तविक वोल्टेज के जितना संभव हो उतना करीब हो,वोल्टमीटर का प्रतिरोध यथासंभव उच्च होना चाहिए।
अभिकथन $A$ गलत है क्योंकि $4000\,\Omega$ प्रतिरोध वाले वोल्टमीटर को $1000\,\Omega$ प्रतिरोध वाले वोल्टमीटर की तुलना में प्राथमिकता दी जाती है,क्योंकि उच्च प्रतिरोध सर्किट से कम धारा खींचता है,जिससे माप में त्रुटि कम हो जाती है।
कारण $R$ सही है क्योंकि,ओम के नियम $(I = V/R)$ के अनुसार,दिए गए वोल्टेज $V$ के लिए,उच्च प्रतिरोध $R$ के परिणामस्वरूप वोल्टमीटर द्वारा कम धारा $I$ खींची जाती है।
इसलिए,$A$ गलत है लेकिन $R$ सही है।

(A) $Zener$ डायोड को विशेष रूप से रिवर्स ब्रेकडाउन क्षेत्र में काम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
जब इसे रिवर्स बायस में जोड़ा जाता है,तो यह इनपुट वोल्टेज या लोड करंट में बदलाव के बावजूद अपने टर्मिनलों पर एक स्थिर वोल्टेज बनाए रखता है,इस प्रकार यह एक वोल्टेज रेगुलेटर के रूप में कार्य करता है।
फॉरवर्ड बायस में,यह बिल्कुल एक साधारण $P-n$ जंक्शन डायोड की तरह व्यवहार करता है,जो फॉरवर्ड वोल्टेज के बैरियर पोटेंशियल से अधिक होने पर करंट का संचालन करता है।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n^{\text{th}}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
जब एक इलेक्ट्रॉन प्रारंभिक अवस्था $n_i$ से अंतिम अवस्था $n_f$ में कूदता है,तो मुक्त ऊर्जा $\Delta E = E_{n_i} - E_{n_f} = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ होती है।
यहाँ $Z = 4$,$n_i = 4$,और $n_f = 2$ दिया गया है:
$\Delta E = 13.6 \times (4)^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right) \text{ eV}$.
$\Delta E = 13.6 \times 16 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) \text{ eV}$.
$\Delta E = 13.6 \times 16 \left( \frac{4-1}{16} \right) \text{ eV}$.
$\Delta E = 13.6 \times 3 \text{ eV} = 40.8 \text{ eV}$.

(D) एक विद्युतचुंबकीय तरंग में,औसत विद्युत ऊर्जा घनत्व $\langle u_E \rangle$ और औसत चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $\langle u_B \rangle$ समान होते हैं।
$\langle u_E \rangle = \langle u_B \rangle$
कुल औसत ऊर्जा घनत्व $\langle u_{\text{total}} \rangle$ औसत विद्युत और चुंबकीय ऊर्जा घनत्व का योग है:
$\langle u_{\text{total}} \rangle = \langle u_E \rangle + \langle u_B \rangle = 2 \langle u_E \rangle$
इसलिए,औसत विद्युत ऊर्जा घनत्व और कुल औसत ऊर्जा घनत्व का अनुपात है:
$\frac{\langle u_E \rangle}{\langle u_{\text{total}} \rangle} = \frac{\langle u_E \rangle}{2 \langle u_E \rangle} = \frac{1}{2}$

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = hf - \phi$ होती है,जहाँ $\phi = hf_0$ कार्य फलन (work function) है।
आपतित आवृत्ति $f = 2f_0$ के लिए:
$\frac{1}{2}mv_1^2 = h(2f_0) - hf_0 = hf_0$ --- $(1)$
आपतित आवृत्ति $f = 5f_0$ के लिए:
$\frac{1}{2}mv_2^2 = h(5f_0) - hf_0 = 4hf_0$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{hf_0}{4hf_0}$
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{2}$

(D) नाभिक $A$ के लिए, परमाणु क्रमांक $Z = 17$ है। चूँकि प्रोटॉन और न्यूट्रॉन की संख्या समान है, इसलिए न्यूट्रॉन की संख्या $N = 17$ है। अतः, द्रव्यमान संख्या $A_{mass} = Z + N = 17 + 17 = 34$ होगी।
$A$ की कुल बंधन ऊर्जा: $BE_A = (\text{प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा}) \times (\text{द्रव्यमान संख्या}) = 1.2 \, MeV \times 34 = 40.8 \, MeV$.
नाभिक $B$ के लिए, द्रव्यमान संख्या $A_{mass} = 26$ है और प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $1.8 \, MeV$ है।
$B$ की कुल बंधन ऊर्जा: $BE_B = 1.8 \, MeV \times 26 = 46.8 \, MeV$.
बंधन ऊर्जा का अंतर: $\Delta BE = BE_B - BE_A = 46.8 \, MeV - 40.8 \, MeV = 6 \, MeV$.

(D) दिया गया है: $N = 600$,$A = 70 \times 10^{-4} \, m^2$,$B = 0.4 \, T$,$f = \frac{500}{60} \, Hz$.
कोणीय वेग $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times \frac{500}{60} = \frac{50 \pi}{3} \, rad/s$.
तात्क्षणिक emf का सूत्र $e = N A B \omega \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$ क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
चूंकि कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के साथ $60^{\circ}$ पर झुका है,इसलिए तल के अभिलंब (क्षेत्रफल सदिश) और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ होगा।
$e = 600 \times (70 \times 10^{-4}) \times 0.4 \times (\frac{50 \pi}{3}) \times \sin(30^{\circ})$.
$e = 600 \times 0.007 \times 0.4 \times \frac{50}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.5$.
$e = 4.2 \times 0.4 \times \frac{50}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.5$.
$e = 1.68 \times \frac{50}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.5 = 44 \, V$.

(D) मान लीजिए कि $10\,V$ और $20\,V$ की बैटरी के बीच के नोड पर विभव $V_x = 20\,V$ है। बाईं ओर के जंक्शन पर विभव $10\,V$ है और निचले प्रतिरोध के दाहिने सिरे पर विभव $0\,V$ है।
दो समानांतर $10\,\Omega$ प्रतिरोधों के लिए,प्रत्येक पर विभवांतर $V_x - 10\,V = 20\,V - 10\,V = 10\,V$ है।
अतः,$I_1 = \frac{10\,V}{10\,\Omega} = 1\,A$ और $I_2 = \frac{10\,V}{10\,\Omega} = 1\,A$ है।
निचली शाखा के लिए,$10\,\Omega$ प्रतिरोध पर विभवांतर $10\,V - 0\,V = 10\,V$ है।
अतः,$I_3 = \frac{10\,V}{10\,\Omega} = 1\,A$ है।
अब,आवश्यक मान की गणना करते हुए:
$\left|\frac{I_1+I_3}{I_2}\right| = \left|\frac{1\,A + 1\,A}{1\,A}\right| = \left|\frac{2}{1}\right| = 2$.

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में जब एक स्लिट के सामने $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाली एक पतली प्लेट रखी जाती है,तो केंद्रीय उच्चिष्ठ में होने वाला विस्थापन निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta y = \frac{t(\mu - 1)D}{d}$
चूंकि फ्रिंज-चौड़ाई $\beta_0 = \frac{\lambda D}{d}$ होती है,इसलिए हम विस्थापन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\Delta y = \frac{t(\mu - 1)}{\lambda} \cdot \frac{\lambda D}{d} = \frac{t(\mu - 1)}{\lambda} \beta_0$
यहाँ विस्थापन $x\beta_0$ दिया गया है,इसलिए $x = \frac{t(\mu - 1)}{\lambda}$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$t = 10\,\mu m = 10 \times 10^{-6}\,m$
$\mu = 1.2$
$\lambda = 500\,nm = 500 \times 10^{-9}\,m = 5 \times 10^{-7}\,m$
$x = \frac{10 \times 10^{-6} \times (1.2 - 1)}{5 \times 10^{-7}}$
$x = \frac{10^{-5} \times 0.2}{5 \times 10^{-7}}$
$x = \frac{2 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{20}{5} = 4$
अतः,$x$ का मान $4$ है।

(D) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = E_0 x \hat{i}$ द्वारा दिया गया है।
घन से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स केवल $x$-अक्ष के लंबवत सतहों से गुजरता है।
$x = 0$ पर,फ्लक्स $\phi_1 = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A} = (E_0 \cdot 0) \cdot (a^2 \hat{i}) = 0$.
$x = a$ पर,फ्लक्स $\phi_2 = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A} = (E_0 a \hat{i}) \cdot (a^2 \hat{i}) = E_0 a^3$.
कुल फ्लक्स $\phi_{\text{net}} = \phi_2 - \phi_1 = E_0 a^3$.
गॉस के नियम के अनुसार,$\phi_{\text{net}} = \frac{q_{\text{en}}}{\varepsilon_0}$,इसलिए $q_{\text{en}} = \varepsilon_0 E_0 a^3$.
यहाँ $E_0 = 4 \times 10^4 \text{ N C}^{-1} \text{m}^{-1}$,$a = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$,और $\varepsilon_0 = 9 \times 10^{-12} \text{ C}^2 \text{ N}^{-1} \text{m}^{-2}$ दिया गया है।
$q_{\text{en}} = (9 \times 10^{-12}) \times (4 \times 10^4) \times (2 \times 10^{-2})^3$.
$q_{\text{en}} = 36 \times 10^{-8} \times 8 \times 10^{-6} = 288 \times 10^{-14} \text{ C}$.
$Q \times 10^{-14} \text{ C}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $Q = 288$ प्राप्त होता है।

(A) औसत विद्युत ऊर्जा घनत्व $u_E = \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2 = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_{rms}^2$ द्वारा दिया जाता है।
औसत चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $u_B = \frac{1}{4} \frac{B_0^2}{\mu_0} = \frac{1}{2} \frac{B_{rms}^2}{\mu_0}$ द्वारा दिया जाता है।
विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,आयामों के बीच संबंध $E_0 = c B_0$ है,जहाँ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ है।
$u_E$ के व्यंजक में $E_0 = c B_0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$u_E = \frac{1}{4} \epsilon_0 (c B_0)^2 = \frac{1}{4} \epsilon_0 \left(\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}\right) B_0^2 = \frac{1}{4} \frac{B_0^2}{\mu_0} = u_B$.
अतः,अनुपात $\frac{u_E}{u_B} = 1$ है।

(B) दिए गए परिपथ में,स्विच $A$ और $B$ को एक प्रतिरोधक $R$ के माध्यम से ग्राउंड के साथ समानांतर में जोड़ा गया है। आउटपुट $Y$ को प्रतिरोधक $R$ के सिरों पर लिया जाता है।
जब दोनों स्विच $A$ और $B$ खुले होते हैं (लॉजिक $0$),तो $+5 \text{V}$ स्रोत से धारा प्रतिरोधक $R$ से होकर बहती है,जिससे $LED$ जलती है (लॉजिक $1$)।
जब स्विच $A$ या स्विच $B$ (या दोनों) बंद होते हैं (लॉजिक $1$),तो धारा सीधे ग्राउंड हो जाती है और प्रतिरोधक $R$ से कोई धारा नहीं बहती है,इसलिए $LED$ नहीं जलती है (लॉजिक $0$)।
सत्यता सारणी (Truth Table) इस प्रकार है:
$A=0, B=0 \Rightarrow Y=1$
$A=0, B=1 \Rightarrow Y=0$
$A=1, B=0 \Rightarrow Y=0$
$A=1, B=1 \Rightarrow Y=0$
यह सत्यता सारणी $NOR$ गेट के अनुरूप है।

(B) प्रकाश तरंग की आवृत्ति केवल स्रोत पर निर्भर करती है और जब यह एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है तो यह स्थिर रहती है। इसलिए,$v_2 = v_1$ होगा।
स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r$,जहाँ $\mu_1$ और $\mu_2$ क्रमशः हवा और माध्यम के अपवर्तनांक हैं।
दिया गया है $i = 45^{\circ}$ और $r = 30^{\circ}$,और हवा के लिए $\mu_1 \approx 1$ होता है:
$1 \cdot \sin 45^{\circ} = \mu_2 \cdot \sin 30^{\circ}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \mu_2 \cdot \frac{1}{2}$
$\mu_2 = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि अपवर्तनांक $\mu = \frac{c}{v} = \frac{\lambda_1 f}{\lambda_2 f} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ होता है,इसलिए $\mu_2 = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ होगा।
$\mu_2 = \sqrt{2}$ रखने पर,$\sqrt{2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$,जिसका अर्थ है कि $\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{\sqrt{2}}$।

(A) $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाले एक समान रूप से आवेशित पतले गोलीय कोश के लिए:
$1$. कोश के अंदर $(r < R)$,विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि विद्युत विभव स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है,अर्थात $V_{\text{inside}} = \frac{kQ}{R}$।
$2$. कोश के बाहर $(r \ge R)$,कोश अपने केंद्र पर रखे बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है,इसलिए विभव व्युत्क्रम संबंध $V_{\text{outside}} = \frac{kQ}{r}$ का पालन करता है,जहाँ $r$ केंद्र से दूरी है।
$3$. इस प्रकार,$V$ बनाम $r$ का ग्राफ़ $r \le R$ के लिए एक क्षैतिज रेखा है और $r > R$ के लिए एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) है।

(B) पदार्थ की प्रतिरोधकता का सूत्र $\rho = \frac{m}{ne^2\tau}$ है,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,$n$ आवेश वाहकों का संख्या घनत्व है,$e$ इलेक्ट्रॉनिक आवेश है और $\tau$ विश्रांति काल (relaxation time) है।
अर्धचालकों में,जैसे-जैसे तापमान $(T)$ बढ़ता है,बैंड गैप में आवेश वाहकों के तापीय उत्तेजन के कारण इलेक्ट्रॉनों और होल्स का संख्या घनत्व $(n)$ तेजी से (घातांकीय रूप से) बढ़ता है।
चूंकि $m$ और $e$ स्थिरांक हैं,और उच्च तापमान पर $\tau$ में होने वाली मामूली कमी की तुलना में $n$ में होने वाली वृद्धि अधिक प्रभावी होती है,इसलिए तापमान $T$ बढ़ने पर प्रतिरोधकता $\rho$ में काफी कमी आती है।
यह संबंध एक घातांकीय क्षय वक्र द्वारा दर्शाया जाता है,जो एक अरेखीय कमी है। इसलिए,विकल्प $B$ में दिया गया वक्र अर्धचालक के लिए तापमान के साथ प्रतिरोधकता के व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है।
इलेक्ट्रॉन के लिए: $m_e \approx \frac{m_p}{1840}$,$K_e = 4K$. अतः,$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2(m_p/1840)(4K)}} = \frac{h}{\sqrt{2m_pK/230}}$.
प्रोटॉन के लिए: $m_p = m$,$K_p = K$. अतः,$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$.
$\alpha$-कण के लिए: $m_\alpha = 4m_p$,$K_\alpha = 2K$. अतः,$\lambda_\alpha = \frac{h}{\sqrt{2(4m_p)(2K)}} = \frac{h}{\sqrt{16m_pK}} = \frac{h}{4\sqrt{m_pK}}$.
मानों की तुलना करने पर:
$\lambda_e = \sqrt{230} \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}} \approx 15.16 \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}}$
$\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_pK}}$
$\lambda_\alpha = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}} \approx 0.35 \cdot \frac{h}{\sqrt{2m_pK}}$
अतः,$\lambda_\alpha < \lambda_p < \lambda_e$.