JEE Main 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ है।
अतः,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = \Delta Q - \Delta W$ है।
यहाँ,$\Delta Q = mL_v = (1\,kg) \times (2257\,kJ/kg) = 2257\,kJ = 2257 \times 10^3\,J$ है।
प्रसार के दौरान निकाय द्वारा किया गया कार्य $\Delta W = P \Delta V = P(V_f - V_i)$ है।
$\Delta W = (1 \times 10^5\,Pa) \times (1.671\,m^3 - 1.00 \times 10^{-3}\,m^3) = 10^5 \times (1.671 - 0.001) = 10^5 \times 1.670 = 167000\,J = 167\,kJ$ है।
अब,$\Delta U = 2257\,kJ - 167\,kJ = 2090\,kJ$ है।

(D) सरल आवर्त गति $(SHM)$ कर रहे एक कण के लिए,विस्थापन $(x)$ के फलन के रूप में गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
जहाँ $m$ कण का द्रव्यमान है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,और $A$ आयाम है।
$1$. माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर,गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है: $KE_{max} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$।
$2$. चरम स्थिति ($x = A$ या $x = -A$) पर,गतिज ऊर्जा शून्य होती है: $KE = 0$।
$3$. समीकरण $KE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 - \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ विस्थापन $x$ के सापेक्ष एक नीचे की ओर खुलने वाले परवलय (parabola) को दर्शाता है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,वह ग्राफ जो $x = 0$ पर अधिकतम $KE$ और $x = A$ पर शून्य $KE$ दर्शाता है और परवलयाकार है,वह विकल्प $(D)$ द्वारा दर्शाया गया है।

(D) किसी भी रैखिक तापमान पैमाने और फारेनहाइट पैमाने के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{X - X_{\text{freezing}}}{X_{\text{boiling}} - X_{\text{freezing}}} = \frac{F - 32}{212 - 32}$
दिया गया है:
$X_{\text{boiling}} = 65^{\circ} X$
$X_{\text{freezing}} = -15^{\circ} X$
$X = -95^{\circ} X$
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{-95 - (-15)}{65 - (-15)} = \frac{F - 32}{180}$
$\frac{-95 + 15}{65 + 15} = \frac{F - 32}{180}$
$\frac{-80}{80} = \frac{F - 32}{180}$
$-1 = \frac{F - 32}{180}$
$-180 = F - 32$
$F = -180 + 32 = -148^{\circ} F$

(B) दी गई इकाइयों के मीटर में मान इस प्रकार हैं:
$1 \text{ AU} = 1.496 \times 10^{11} \text{ m}$
$1 \text{ ly} = 9.46 \times 10^{15} \text{ m}$
$1 \text{ pc} = 3.08 \times 10^{16} \text{ m}$
इन मानों की तुलना करने पर,हमें $1 \text{ AU} < 1 \text{ ly} < 1 \text{ pc}$ प्राप्त होता है।
कथन $I$ सही है क्योंकि ये दूरी की इकाइयाँ हैं।
कथन $II$ गलत है क्योंकि सही क्रम $AU < ly < pc$ है।

(B) गैस की रूट मीन स्क्वायर गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि तीनों पात्रों के लिए $T$ समान है,इसलिए $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होगा।
मोलर द्रव्यमान इस प्रकार हैं:
नियॉन (एकपरमाणुक): $M_1 \approx 20 \text{ g/mol}$.
क्लोरीन (द्विपरमाणुक): $M_2 \approx 71 \text{ g/mol}$.
यूरेनियम हेक्साफ्लोराइड (बहुपरमाणुक): $M_3 \approx 352 \text{ g/mol}$.
यहाँ $M_1 < M_2 < M_3$ है,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{M_1}} > \frac{1}{\sqrt{M_2}} > \frac{1}{\sqrt{M_3}}$ होगा।
अतः,सही संबंध $v_{rms}(\text{mono}) > v_{rms}(\text{dia}) > v_{rms}(\text{poly})$ है।

(B) मशीन गन द्वारा लगाया गया बल गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
$F = \frac{dp}{dt} = n \cdot m \cdot v$
जहाँ $n$ प्रति सेकंड दागी गई गोलियों की संख्या है,$m$ प्रत्येक गोली का द्रव्यमान है,और $v$ गोलियों का वेग है।
दिया गया है:
बल $F = 125\,N$
द्रव्यमान $m = 10\,g = 10 \times 10^{-3}\,kg = 0.01\,kg$
वेग $v = 250\,m/s$
सूत्र में मान रखने पर:
$125 = n \times 0.01 \times 250$
$125 = n \times 2.5$
$n = \frac{125}{2.5} = 50$
अतः,प्रति सेकंड दागी गई गोलियों की संख्या $50$ है।

(B) तरंग का मानक समीकरण $Y = A \sin (\omega t - kx + \phi)$ है।
दिए गए समीकरण $Y = 10^{-2} \sin 2 \pi (160 t - 0.5 x + \frac{\pi}{4})$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\omega = 2 \pi \times 160 \, rad/s$
$k = 2 \pi \times 0.5 \, m^{-1}$
तरंग की गति $v$ का मान $v = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi \times 160}{2 \pi \times 0.5} = \frac{160}{0.5} = 320 \, m/s$ है।
गति को $m/s$ से $km/h$ में बदलने के लिए,हम $\frac{18}{5}$ से गुणा करते हैं:
$v = 320 \times \frac{18}{5} = 64 \times 18 = 1152 \, km/h$.

(B) परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य विस्थापन के सापेक्ष बल के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है: $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$.
यहाँ $F(x) = 2 + 3x$,$x_1 = 0$,और $x_2 = 4$ दिया गया है।
$W = \int_{0}^{4} (2 + 3x) dx$.
व्यंजक का समाकलन करने पर: $W = [2x + \frac{3x^2}{2}]_{0}^{4}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $W = (2(4) + \frac{3(4)^2}{2}) - (2(0) + \frac{3(0)^2}{2})$.
$W = (8 + \frac{3 \times 16}{2}) - 0$.
$W = 8 + 3 \times 8 = 8 + 24 = 32 \, J$.

(B) एक ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_d = \frac{2}{5}mR^2$ होता है।
व्यास के परितः गोले का कोणीय संवेग $L = I_d \omega = \frac{2}{5}mR^2 \omega$ है।
समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार स्पर्शरेखा के परितः गोले का जड़त्व आघूर्ण: $I_t = I_{cm} + mR^2 = \frac{2}{5}mR^2 + mR^2 = \frac{7}{5}mR^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,$I_t = (x \times 10^{-2}) \times L$.
मान रखने पर: $\frac{7}{5}mR^2 = (x \times 10^{-2}) \times (\frac{2}{5}mR^2 \omega)$.
दोनों पक्षों से $\frac{1}{5}mR^2$ को काटने पर: $7 = (x \times 10^{-2}) \times 2 \omega$.
यहाँ $\omega = 10\,rad\,s^{-1}$ दिया गया है,इसलिए: $7 = (x \times 10^{-2}) \times 2 \times 10$.
$7 = x \times 10^{-2} \times 20$.
$7 = x \times 0.2$.
$x = \frac{7}{0.2} = 35$.

(B) माना तार की प्राकृतिक लंबाई $\ell_0$ है और बल नियतांक $K$ है।
हुक के नियम के अनुसार,$T = K(\ell - \ell_0)$।
प्रथम स्थिति के लिए: $100 = K(l_1 - \ell_0)$ --- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $120 = K(l_2 - \ell_0)$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{100}{120} = \frac{l_1 - \ell_0}{l_2 - \ell_0} \Rightarrow \frac{5}{6} = \frac{l_1 - \ell_0}{l_2 - \ell_0}$
$5(l_2 - \ell_0) = 6(l_1 - \ell_0)$
$5l_2 - 5\ell_0 = 6l_1 - 6\ell_0$
$\ell_0 = 6l_1 - 5l_2$
दिया गया है कि $10l_2 = 11l_1$,इसलिए $l_2 = \frac{11}{10}l_1$।
$\ell_0$ के समीकरण में $l_2$ का मान रखने पर:
$\ell_0 = 6l_1 - 5(\frac{11}{10}l_1)$
$\ell_0 = 6l_1 - \frac{11}{2}l_1$
$\ell_0 = \frac{12l_1 - 11l_1}{2} = \frac{1}{2}l_1$
इसकी तुलना $\frac{1}{x}l_1$ से करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(B) एक प्रक्षेप्य के लिए,उड़ान का समय $T$ जमीन पर वापस आने में लिया गया कुल समय है। यदि कोई प्रक्षेप्य दो अलग-अलग समय $t_1$ और $t_2$ पर समान ऊंचाई $h$ पर है,तो कुल उड़ान का समय $T = t_1 + t_2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $t_1 = 3 \, s$ और $t_2 = 5 \, s$,इसलिए कुल उड़ान का समय $T = 3 + 5 = 8 \, s$ है।
उड़ान के समय का सूत्र $T = \frac{2 u \sin \theta}{g}$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक गति है,$\theta$ प्रक्षेपण का कोण है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $8 = \frac{2 u \sin 30^{\circ}}{10}$.
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए $8 = \frac{2 u (0.5)}{10}$.
$8 = \frac{u}{10}$.
अतः,$u = 80 \, m \, s^{-1}$।

(B) श्यान माध्यम में टर्मिनल वेग से गिरती हुई छोटी बूंद के लिए,टर्मिनल वेग $v$ का मान $v = \frac{2}{9} \frac{r^2 (\rho - \sigma) g}{\eta}$ होता है,जिसका अर्थ है कि $v \propto r^2$ है।
माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और $8$ छोटी बूंदों के मिलने से बनी बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
आयतन के संरक्षण के कारण,$8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$,जिससे $R^3 = 8r^3$ प्राप्त होता है,अतः $R = 2r$ है।
समानुपातिकता $v \propto r^2$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{v_1}{v_2} = (\frac{r}{R})^2$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\frac{10}{v_2} = (\frac{r}{2r})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$।
अतः,$v_2 = 10 \times 4 = 40\,cm/s$।

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,प्रेक्षित आवृत्ति $f$ का सूत्र है:
$f = f_0 \left( \frac{c + v_o}{c + v_s} \right)$
जहाँ:
$f_0 = 400\,Hz$ (स्रोत की आवृत्ति)
$c = 360\,ms^{-1}$ (ध्वनि का वेग)
$v_o = 40\,ms^{-1}$ (प्रेक्षक,कार $Q$ का वेग,जो स्रोत की ओर गति कर रही है)
$v_s = 20\,ms^{-1}$ (स्रोत,कार $P$ का वेग,जो प्रेक्षक से दूर जा रही है)
मान रखने पर:
$f = 400 \left( \frac{360 + 40}{360 + 20} \right)$
$f = 400 \left( \frac{400}{380} \right)$
$f = 400 \times 1.0526$
$f \approx 421.05\,Hz$
अतः,यात्री द्वारा सुनी गई आवृत्ति लगभग $421\,Hz$ है।

(B) घनत्व $(\rho)$ का विमीय सूत्र $[M L^{-3}]$ है।
माना विमीय सूत्र $[\rho] = [F]^a [V]^b [T]^c$ है।
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $[M L^{-3}] = [M L T^{-2}]^a [L T^{-1}]^b [T]^c$.
$[M L^{-3}] = [M^a L^{a+b} T^{-2a-b+c}]$.
दोनों पक्षों में $M$,$L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $a = 1$.
$L$ के लिए: $a + b = -3 \Rightarrow 1 + b = -3 \Rightarrow b = -4$.
$T$ के लिए: $-2a - b + c = 0 \Rightarrow -2(1) - (-4) + c = 0 \Rightarrow -2 + 4 + c = 0 \Rightarrow 2 + c = 0 \Rightarrow c = -2$.
अतः,विमीय सूत्र $[F^1 V^{-4} T^{-2}]$ होगा।

(A) एक समान घनत्व वाले ठोस गोले के अंदर केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण विभव $V(r) = \frac{GM}{2R^3}(3R^2 - r^2)$ द्वारा दिया जाता है।
सतह पर,$r = R$,इसलिए $V_{surface} = \frac{GM}{2R^3}(3R^2 - R^2) = \frac{GM}{2R^3}(2R^2) = \frac{GM}{R} = V$।
केंद्र पर,$r = 0$,इसलिए $V_{center} = \frac{GM}{2R^3}(3R^2 - 0) = \frac{3GM}{2R}$।
$V = \frac{GM}{R}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V_{center} = \frac{3}{2} V$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया द्रव्यमान $m = 500\,g = 0.5\,kg$ है।
वेग $v = 10\sqrt{x}$ द्वारा दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v^2 = 100x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2v \frac{dv}{dx} = 100$ प्राप्त होता है।
चूंकि त्वरण $a = v \frac{dv}{dx}$ है,हम $2a = 100$ लिख सकते हैं,जिससे $a = 50\,m/s^2$ प्राप्त होता है।
पिंड पर कार्य करने वाला बल $F = ma$ है।
मान रखने पर,$F = 0.5\,kg \times 50\,m/s^2 = 25\,N$ प्राप्त होता है।

(A) प्रारंभिक वेग के घटक इस प्रकार हैं:
$u_x = u \cos 30^{\circ} = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}\,m/s$
$u_y = u \sin 30^{\circ} = 40 \times \frac{1}{2} = 20\,m/s$
समय $t = 2\,s$ पर,वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है:
$v_x = u_x = 20\sqrt{3}\,m/s$
वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = u_y - gt$ द्वारा प्राप्त होता है:
$v_y = 20 - (10 \times 2) = 20 - 20 = 0\,m/s$
चूंकि ऊर्ध्वाधर घटक शून्य है,इसलिए परिणामी वेग $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(20\sqrt{3})^2 + 0^2} = 20\sqrt{3}\,m/s$ होगा।

(C) पृथ्वी की सतह के निकट उपग्रह का कक्षीय वेग $v_{\text{orbit}} = \sqrt{gR}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v_{\text{orbit}} = \sqrt{10 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{64 \times 10^6} = 8000 \, m/s = 8 \, km/s$.
पृथ्वी की सतह से पलायन वेग $v_{\text{escape}} = \sqrt{2gR} = \sqrt{2} \times v_{\text{orbit}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v_{\text{escape}} = 8\sqrt{2} \, km/s$.
गुरुत्वाकर्षण खिंचाव को दूर करने के लिए आवश्यक अतिरिक्त वेग $\Delta v = v_{\text{escape}} - v_{\text{orbit}}$ है।
$\Delta v = 8\sqrt{2} - 8 = 8(\sqrt{2}-1) \, km/s$.

(B) आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $(U)$ केवल तापमान $(T)$ का फलन है,जिसे $U = f(T)$ द्वारा दिया जाता है।
यदि आंतरिक ऊर्जा स्थिर रहती है,तो आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
चूंकि $\Delta U = nC_v\Delta T$,इसका अर्थ है कि $\Delta T = 0$,जिसका अर्थ है कि तापमान स्थिर रहता है।
वह प्रक्रिया जिसमें निकाय का तापमान स्थिर रहता है,समतापीय प्रक्रिया कहलाती है।

(A) गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल $(V_{rms})$ का सूत्र है: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3 k_{B} T}{m}}$.
दिया गया है:
तापमान $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \, K$.
नाइट्रोजन के एक अणु का द्रव्यमान $m = 4.6 \times 10^{-26} \, kg$.
बोल्ट्ज़मैन नियतांक $k_{B} = 1.4 \times 10^{-23} \, J K^{-1}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 1.4 \times 10^{-23} \times 300}{4.6 \times 10^{-26}}}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1260 \times 10^{-23}}{4.6 \times 10^{-26}}}$
$V_{rms} = \sqrt{273.91 \times 10^{3}} \approx \sqrt{273910} \approx 523.36 \, m/s$.
अतः,अनुमानित चाल $523 \, m/s$ है।

(B) दिया गया है कि $\vec{B} - \overrightarrow{A} = 2\hat{j}$।
समीकरण में $\overrightarrow{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ का मान रखने पर:
$\vec{B} - (2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}) = 2\hat{j}$
$\vec{B} = 2\hat{j} + (2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k})$
$\vec{B} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$
सदिश $\vec{B}$ का परिमाण $|\vec{B}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec{B}| = \sqrt{2^2 + 5^2 + 2^2}$
$|\vec{B}| = \sqrt{4 + 25 + 4}$
$|\vec{B}| = \sqrt{33}$

(A) घूर्णी गतिज ऊर्जा $K = \frac{L^2}{2I}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है और $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग $L$ स्थिर रहता है।
अतः,गतिज ऊर्जा जड़त्व आघूर्ण के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $K \propto \frac{1}{I}$.
मान लीजिए $I_i$ और $K_i = E$ क्रमशः प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा हैं।
मान लीजिए $I_f$ और $K_f$ क्रमशः अंतिम जड़त्व आघूर्ण और अंतिम गतिज ऊर्जा हैं।
दिया गया है कि $I_f = 3I_i$,इसलिए:
$\frac{K_f}{K_i} = \frac{I_i}{I_f} = \frac{I_i}{3I_i} = \frac{1}{3}$.
इस प्रकार,$K_f = \frac{K_i}{3} = \frac{E}{3}$.
इसकी तुलना $\frac{E}{x}$ से करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5\,kg$,त्वरण $a = 1\,m/s^2$,कोण $\theta = 30^{\circ}$,समय $t = 10\,s$,$g = 10\,m/s^2$.
नत समतल पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$F - mg \sin 30^{\circ} = ma$
$F - 5 \times 10 \times 0.5 = 5 \times 1$
$F - 25 = 5 \Rightarrow F = 30\,N$.
$v = u + at$ का उपयोग करके $t = 10\,s$ पर वेग की गणना करने पर:
$v = 0 + 1 \times 10 = 10\,m/s$.
शक्ति $P = F \times v$ की गणना करने पर:
$P = 30 \times 10 = 300\,W$.

(A) एक खींचे हुए तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
हम जानते हैं कि $T = Y A \frac{\Delta L}{L}$ और $\mu = \rho A$,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
इन मानों को आवृत्ति के सूत्र में रखने पर:
$f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y A \Delta L / L}{\rho A}} = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{Y \Delta L}{\rho L}}$.
दिए गए मान: $L = 0.5\,m$,$\Delta L = 3.2 \times 10^{-4}\,m$,$Y = 8 \times 10^{10}\,N/m^2$,$\rho = 8 \times 10^3\,kg/m^3$.
$f = \frac{1}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{8 \times 10^{10} \times 3.2 \times 10^{-4}}{8 \times 10^3 \times 0.5}}$.
$f = 1 \times \sqrt{\frac{25.6 \times 10^6}{4 \times 10^3}} = \sqrt{6.4 \times 10^3} = \sqrt{6400} = 80\,Hz$.

(A) पृष्ठ तनाव $T = 3.5 \times 10^{-2} \, N m^{-1}$ है।
प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = 10 \, cm = 0.1 \, m$.
अंतिम त्रिज्या $r_2 = 20 \, cm = 0.2 \, m$.
साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times (4 \pi r_2^2 - 4 \pi r_1^2) = 8 \pi (r_2^2 - r_1^2)$ है।
किया गया कार्य $W = T \times \Delta A = T \times 8 \pi (r_2^2 - r_1^2)$ है।
मान रखने पर: $W = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14159 \times (0.2^2 - 0.1^2)$.
$W = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14159 \times (0.04 - 0.01) = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14159 \times 0.03$.
$W = 0.28 \times 3.14159 \times 0.03 = 0.026389 \, J$.
आवश्यक प्रारूप में बदलने पर: $W \approx 264 \times 10^{-4} \, J$.

(D) मान लीजिए $M_p$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,$m$ उपग्रह का द्रव्यमान है और $R$ कक्षा की त्रिज्या है।
स्थितिज ऊर्जा $(U)$ $= -\frac{G M_p m}{R}$। चूंकि $m_A = 2m_B$,इसलिए $U_A \neq U_B$।
गतिज ऊर्जा $(K)$ $= \frac{G M_p m}{2R}$। चूंकि $m_A = 2m_B$,इसलिए $K_A \neq K_B$।
कुल ऊर्जा $(E)$ $= U + K = -\frac{G M_p m}{2R}$। चूंकि $m_A = 2m_B$,इसलिए $E_A \neq E_B$।
कक्षीय चाल $(v)$ $= \sqrt{\frac{G M_p}{R}}$।
सूत्र से देखा जा सकता है कि कक्षीय चाल उपग्रह के द्रव्यमान $(m)$ पर निर्भर नहीं करती है। इसलिए,दोनों उपग्रहों की चाल समान होगी।

(C) गैस अणु की r.m.s. चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ परम तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है,इसलिए $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ होगा।
अतः,r.m.s. चाल का अनुपात $\frac{v_{Ar}}{v_{Cl}} = \sqrt{\frac{M_{Cl}}{M_{Ar}}}$ होगा।
यहाँ $v_{Cl} = 490\,m/s$,$M_{Cl} = 70.9\,u$,और $M_{Ar} = 39.9\,u$ दिया गया है।
मान रखने पर: $v_{Ar} = 490 \times \sqrt{\frac{70.9}{39.9}}$.
$v_{Ar} = 490 \times \sqrt{1.7769} \approx 490 \times 1.333 = 653.17\,m/s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $651.7\,m/s$ है।

(A) $1$. स्प्रिंग नियतांक $(k)$: $F = kx \implies [k] = [F]/[x] = (MLT^{-2}) / L = MT^{-2}$. अतः,$A-II$.
$2$. कोणीय चाल $(\omega)$: $\omega = \Delta\theta / \Delta t \implies [\omega] = [1] / T = T^{-1}$. अतः,$B-I$.
$3$. कोणीय संवेग $(L)$: $L = mvr \implies [L] = M(LT^{-1})L = ML^2T^{-1}$. अतः,$C-IV$.
$4$. जड़त्व आघूर्ण $(I)$: $I = mr^2 \implies [I] = ML^2$. अतः,$D-III$.
अतः,सही मिलान $(A)-(II), (B)-(I), (C)-(IV), (D)-(III)$ है।

(A) दिया गया है कि कण तीन बलों $F_1$,$F_2$ और $F_3$ के प्रभाव में संतुलन में है।
चूंकि $F_2$ और $F_3$ लंबवत हैं,उनका परिणामी बल $F_{23} = \sqrt{F_2^2 + F_3^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\,N$ है।
कण के स्थिर रहने के लिए,सभी बलों का परिणामी शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $F_1$,$F_2$ और $F_3$ के परिणामी बल के बराबर और विपरीत होना चाहिए।
जब $F_1$ को हटा दिया जाता है,तो कण पर केवल $F_2$ और $F_3$ बल कार्य करते हैं।
कण पर कार्य करने वाला कुल बल $F_2$ और $F_3$ का परिणामी बल है,जो $10\,N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F_{net} = ma$,हमारे पास $10\,N = 5\,kg \times a$ है।
अतः,$a = \frac{10}{5} = 2\,m/s^2$।

(A) न्यूटन के शीतलन नियम के अनुसार,ठंडा होने की दर वस्तु और परिवेश के तापमान के अंतर के समानुपाती होती है: $\frac{dT}{dt} = k(T - T_s)$.
प्रथम अंतराल के लिए ($80^{\circ} C$ से $60^{\circ} C$):
$\frac{80 - 60}{5} = k \left( \frac{80 + 60}{2} - 20 \right)$
$\frac{20}{5} = k(70 - 20)$
$4 = 50k \Rightarrow k = \frac{4}{50} = 0.08 \text{ min}^{-1}$.
दूसरे अंतराल के लिए ($60^{\circ} C$ से $40^{\circ} C$):
$\frac{60 - 40}{t} = k \left( \frac{60 + 40}{2} - 20 \right)$
$\frac{20}{t} = k(50 - 20)$
$\frac{20}{t} = 30k$.
$k = \frac{4}{50}$ रखने पर:
$\frac{20}{t} = 30 \times \frac{4}{50}$
$\frac{20}{t} = \frac{120}{50} = 2.4$
$t = \frac{20}{2.4} = \frac{200}{24} = \frac{25}{3} \text{ मिनट}$.
सेकंड में बदलने पर:
$t = \frac{25}{3} \times 60 = 25 \times 20 = 500 \text{ सेकंड}$.

(A) तापमान $T_1 = 373 \text{ K}$ (क्वथनांक) और $T_2 = 273 \text{ K}$ (हिमांक) हैं।
कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{273}{373} \approx 0.268$ या $26.8 \%$ है।
इन दो तापमानों के बीच कार्य करने वाले किसी भी वास्तविक इंजन की दक्षता कार्नोट दक्षता से कम होनी चाहिए $(\eta < 26.8 \%)$।
अतः,दक्षता $26.8 \%$ से कम है,जिसका अर्थ है कि यह $27 \%$ से कम है।
इस प्रकार,कथन $2$ और $4$ सही हैं।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, मंदक बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta KE$
चूंकि अंतिम गतिज ऊर्जा $0$ है और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K$ है, इसलिए किया गया कार्य $W = -F \cdot S = 0 - K$ है, जहां $F$ मंदक बल है और $S$ रुकने की दूरी है।
अतः, $S = \frac{K}{F}$।
चूंकि ट्रक और कार दोनों की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K$ समान है और दोनों पर समान मंदक बल $F$ लगाया जाता है, इसलिए वे समान दूरी $S$ तय करके रुक जाएंगे। अतः, कथन $I$ सही है।
कथन $II$ के लिए, यद्यपि चाल (वेग का परिमाण) अपरिवर्तित रहती है, लेकिन जैसे ही कार पूर्व से उत्तर की ओर मुड़ती है, वेग की दिशा बदल जाती है।
त्वरण को वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है $(\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt})$। चूंकि वेग की दिशा बदल रही है, इसलिए वेग सदिश बदलता है, जिसका अर्थ है कि त्वरण शून्य नहीं हो सकता।
अतः, कथन $II$ गलत है।

(D) $SHM$ में एक कण की विस्थापन $x$ पर स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ का सूत्र $P.E. = \frac{1}{2} kx^2$ है।
विस्थापन $x$ पर कण की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$ है,जहाँ $A$ आयाम है।
दिया गया है कि विस्थापन $x = \frac{A}{2}$ है।
स्थितिज ऊर्जा के सूत्र में $x$ का मान रखने पर: $P.E. = \frac{1}{2} k(\frac{A}{2})^2 = \frac{1}{2} k(\frac{A^2}{4}) = \frac{1}{8} kA^2$.
गतिज ऊर्जा के सूत्र में $x$ का मान रखने पर: $K.E. = \frac{1}{2} k(A^2 - (\frac{A}{2})^2) = \frac{1}{2} k(A^2 - \frac{A^2}{4}) = \frac{1}{2} k(\frac{3A^2}{4}) = \frac{3}{8} kA^2$.
स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{P.E.}{K.E.} = \frac{\frac{1}{8} kA^2}{\frac{3}{8} kA^2} = \frac{1}{3}$ है।

(B) गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए,$v = u + at$।
यहाँ,प्रारंभिक वेग $u = 150\,m/s$,त्वरण $a = -g = -10\,m/s^2$,और $t$ सेकंड में समय है।
अतः,$v(t) = 150 - 10t$।
$3\,s$ के बाद वेग $v(3) = 150 - 10(3) = 150 - 30 = 120\,m/s$ है।
$5\,s$ के बाद वेग $v(5) = 150 - 10(5) = 150 - 50 = 100\,m/s$ है।
वेगों का अनुपात $\frac{v(3)}{v(5)} = \frac{120}{100} = \frac{6}{5}$ है।
दिया गया है कि अनुपात $\frac{x+1}{x}$ है,इसलिए $\frac{x+1}{x} = \frac{6}{5}$।
पदों की तुलना करने पर,$x = 5$ प्राप्त होता है।

(B) पलायन वेग का सूत्र $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
मान लीजिए कि $M_E$ और $R_E$ पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं,और $M_P$ और $R_P$ ग्रह का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं।
दिया गया है: $M_P = 16 M_E$ और $R_P = 4 R_E$।
ग्रह का पलायन वेग $V_P = \sqrt{\frac{2GM_P}{R_P}} = \sqrt{\frac{2G(16M_E)}{4R_E}} = \sqrt{4 \times \frac{2GM_E}{R_E}} = 2 \sqrt{\frac{2GM_E}{R_E}}$ है।
चूंकि $V_E = \sqrt{\frac{2GM_E}{R_E}}$,इसलिए $V_P = 2 V_E$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{V_P}{V_E} = \frac{2}{1}$ अर्थात $2:1$ होगा।

(D) अनुनाद आवृत्तियों का अनुपात $1:3:5$ यह दर्शाता है कि ऑर्गन पाइप एक सिरे पर बंद है।
बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n V}{4 \ell}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ एक विषम पूर्णांक होना चाहिए $(n = 1, 3, 5, ...)$।
पाँचवाँ हार्मोनिक $n = 5$ के अनुरूप है।
दिया गया है: $f_5 = 405 \, Hz$,$V = 324 \, ms^{-1}$,और $n = 5$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $405 = \frac{5 \times 324}{4 \ell}$।
$\ell$ के लिए हल करने पर: $\ell = \frac{5 \times 324}{4 \times 405}$।
$\ell = \frac{1620}{1620} = 1 \, m$।

(D) किसी पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय वेग है।
गोलीय कोश के लिए,उसके केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{3} mR^2$ होता है।
शुद्ध लोटनिक गति के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$,इसलिए $K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} mR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{3} mv^2$।
कुल गतिज ऊर्जा $K_{\text{total}} = K_{\text{trans}} + K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{3} mv^2 = \frac{5}{6} mv^2$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा और कुल गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K_{\text{rot}}}{K_{\text{total}}} = \frac{\frac{1}{3} mv^2}{\frac{5}{6} mv^2} = \frac{1}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{2}{5}$ है।
यह दिया गया है कि अनुपात $\frac{x}{5}$ है,इसलिए $\frac{x}{5} = \frac{2}{5}$,जिसका अर्थ है कि $x = 2$।

(D) चूंकि बस एक समान गति से चल रही है,कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार बस पर किया गया कुल कार्य शून्य है।
$W_{\text{net}} = W_{\text{engine}} + W_{\text{friction}} = 0$
इसलिए,$W_{\text{engine}} = -W_{\text{friction}}$.
घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_{\text{friction}} = -f_k \cdot d = -(\mu mg) \cdot d$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\mu = 0.04$,$m = 500\,kg$,$g = 9.8\,m/s^2$,और $d = 4\,km = 4000\,m$.
$W_{\text{engine}} = \mu mgd = 0.04 \times 500 \times 9.8 \times 4000$.
$W_{\text{engine}} = 20 \times 9.8 \times 4000 = 196 \times 4000 = 784000\,J$.
$kJ$ में बदलने पर,$W_{\text{engine}} = 784\,kJ$.

(D) दिया गया है: घनत्व $\rho = 1.25 \times 10^3 \, kg \, m^{-3}$, $A_1 = 10 \, cm^2 = 10 \times 10^{-4} \, m^2$, $A_2 = 5 \, cm^2 = 5 \times 10^{-4} \, m^2$, $\Delta P = P_1 - P_2 = 3 \, N \, m^{-2}$.
सांतत्य समीकरण (continuity equation) के अनुसार, $A_1 v_1 = A_2 v_2$.
इसलिए, $v_1 = \frac{A_2}{A_1} v_2 = \frac{5}{10} v_2 = 0.5 v_2$.
क्षैतिज प्रवाह के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करने पर: $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$.
$\Delta P = P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2)$.
$v_1 = 0.5 v_2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3 = \frac{1}{2} \times (1.25 \times 10^3) \times (v_2^2 - (0.5 v_2)^2)$.
$3 = 0.625 \times 10^3 \times (v_2^2 - 0.25 v_2^2) = 0.625 \times 10^3 \times 0.75 v_2^2$.
$3 = 468.75 v_2^2$.
$v_2^2 = \frac{3}{468.75} = 0.0064$.
$v_2 = \sqrt{0.0064} = 0.08 \, m \, s^{-1}$.
प्रवाह की दर (डिस्चार्ज) $Q = A_2 v_2 = (5 \times 10^{-4} \, m^2) \times (0.08 \, m \, s^{-1}) = 40 \times 10^{-6} \, m^3 \, s^{-1} = 4 \times 10^{-5} \, m^3 \, s^{-1}$.
$x \times 10^{-5} \, m^3 \, s^{-1}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $x = 4$ प्राप्त होता है।

(C) सबसे पहले,वेग को $km/h$ से $m/s$ में बदलें:
$v_A = 108 \times \frac{5}{18} = 30\,m/s$
$v_B = 72 \times \frac{5}{18} = 20\,m/s$
सुरंग को पार करने के लिए,प्रत्येक ट्रेन को सुरंग की लंबाई और अपनी लंबाई के योग के बराबर दूरी तय करनी होगी।
ट्रेन '$A$' द्वारा लिया गया समय: $t_A = \frac{L + l}{v_A} = \frac{60l + l}{30} = \frac{61l}{30}$
ट्रेन '$B$' द्वारा लिया गया समय: $t_B = \frac{L + 4l}{v_B} = \frac{60l + 4l}{20} = \frac{64l}{20} = \frac{16l}{5}$
दिया गया है कि $t_B - t_A = 35\,s$:
$\frac{16l}{5} - \frac{61l}{30} = 35$
$\frac{96l - 61l}{30} = 35$
$\frac{35l}{30} = 35$
$l = 30\,m$
अतः,$L = 60l = 60 \times 30 = 1800\,m$.

(D) औसत शक्ति कुल कार्य और कुल समय का अनुपात होती है।
$P = \frac{W}{t} = \frac{mgh}{t}$
दिया गया शक्ति का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$ है।
पहली मोटर के लिए: $m_1 = 300 \ kg$,$t_1 = 5 \ minute = 300 \ s$,$h = 100 \ m$.
दूसरी मोटर के लिए: $m_2 = 50 \ kg$,$t_2 = 2 \ minute = 120 \ s$,$h = 100 \ m$.
शक्ति का अनुपात ज्ञात करने पर:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{m_1 g h / t_1}{m_2 g h / t_2} = \frac{m_1}{t_1} \times \frac{t_2}{m_2}$
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{300}{5} \times \frac{2}{50} = 60 \times 0.04 = 2.4$
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} = 2.4$
$3 \sqrt{x} = 2.4 \sqrt{x} + 2.4$
$0.6 \sqrt{x} = 2.4$
$\sqrt{x} = 4$
$x = 16$

(B) पलायन वेग का सूत्र $V = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
पृथ्वी के लिए,$V_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}} = 11.2 \, km/s$ है।
ग्रह के लिए,$V_p = \sqrt{\frac{2G(9M_e)}{4R_e}} = \sqrt{\frac{9}{4}} \times \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$ है।
$V_p = \frac{3}{2} \times V_e$ है।
$V_e = 11.2 \, km/s$ का मान रखने पर:
$V_p = 1.5 \times 11.2 \, km/s = 16.8 \, km/s$।

(B) बंदूक को दिया गया आवेग गोली के संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
दिया गया है:
गोली का द्रव्यमान,$m = 10\,g = 0.01\,kg$
गोली का वेग,$v = 600\,m/s$
बंदूक का द्रव्यमान,$M = 3\,kg$
आवेग $J = \Delta p = m \times v$
$J = 0.01\,kg \times 600\,m/s = 6\,Ns$
चूंकि निकाय शुरू में स्थिर है,इसलिए बंदूक को प्राप्त आवेग का परिमाण गोली द्वारा प्राप्त संवेग के बराबर होता है।

(A) जब डिस्क बिना फिसले लुढ़कती है,तो डिस्क का केंद्र तय की गई चाप की लंबाई के बराबर दूरी आगे बढ़ता है। आधे चक्कर के लिए,केंद्र $\pi R$ की क्षैतिज दूरी तय करता है।
बिंदु $A$,जो शुरू में सबसे ऊपर था,आधे चक्कर के बाद डिस्क के निचले हिस्से पर आ जाता है। बिंदु $A$ का ऊर्ध्वाधर विस्थापन डिस्क के व्यास के बराबर यानी $2R$ होता है।
बिंदु $A$ का क्षैतिज विस्थापन केंद्र द्वारा तय की गई दूरी के बराबर यानी $\pi R$ होता है।
कुल विस्थापन $d$ क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर विस्थापन का सदिश योग है:
$d = \sqrt{(\text{क्षैतिज विस्थापन})^2 + (\text{ऊर्ध्वाधर विस्थापन})^2}$
$d = \sqrt{(\pi R)^2 + (2R)^2}$
$d = \sqrt{\pi^2 R^2 + 4R^2}$
$d = R \sqrt{\pi^2 + 4}$

(A) गैस अणु की rms गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
गैस अणु की औसत गति का सूत्र $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$v_{rms} = \left(1+\frac{5}{x}\right)^{\frac{1}{2}} v_{avg}$ है।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $\sqrt{\frac{3RT}{M}} = \left(1+\frac{5}{x}\right)^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{3RT}{M} = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{8RT}{\pi M}$.
दोनों पक्षों से $\frac{RT}{M}$ को हटाने पर: $3 = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{8}{\pi}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर,$3 = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{8}{22/7} = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{8 \times 7}{22} = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{56}{22} = \left(1+\frac{5}{x}\right) \frac{28}{11}$.
$\Rightarrow 1+\frac{5}{x} = 3 \times \frac{11}{28} = \frac{33}{28}$.
$\Rightarrow \frac{5}{x} = \frac{33}{28} - 1 = \frac{5}{28}$.
$\Rightarrow x = 28$.

(A) गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
सबसे पहले,गतिज ऊर्जा का माध्य मान ज्ञात करें:
$K = \frac{1}{2} \times 5 \times (20)^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 400 = 1000 \ J$.
अब,त्रुटि के प्रसार के नियम का उपयोग करके सापेक्ष त्रुटि ज्ञात करें:
$\frac{\Delta K}{K} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta v}{v}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:
$\frac{\Delta K}{1000} = \frac{0.5}{5} + 2 \times \frac{0.4}{20} = 0.1 + 0.04 = 0.14$.
निरपेक्ष त्रुटि $\Delta K$ की गणना करें:
$\Delta K = 1000 \times 0.14 = 140 \ J$.
अतः,गतिज ऊर्जा $(1000 \pm 140) \ J$ होगी।

(D) $m$ द्रव्यमान और $p$ रैखिक संवेग वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ दिया गया है कि रैखिक संवेग समान हैं,अर्थात $p_1 = p_2 = p$ है।
इसलिए,गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \frac{p^2 / 2m_1}{p^2 / 2m_2} = \frac{m_2}{m_1}$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{K_1}{K_2} = \frac{16}{9}$,इसलिए $\frac{m_2}{m_1} = \frac{16}{9}$ है।
अतः,उनके द्रव्यमानों का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{9}{16}$ होगा।

(A) दिया गया है:
$A$ पर क्षेत्रफल,$A_A = 1.5 \, cm^2 = 1.5 \times 10^{-4} \, m^2$
$B$ पर क्षेत्रफल,$A_B = 25 \, mm^2 = 25 \times 10^{-6} \, m^2$
$B$ पर वेग,$v_B = 60 \, cm/s = 0.6 \, m/s$
घनत्व,$\rho = 1000 \, kg/m^3$
सांतत्य समीकरण का उपयोग करते हुए,$A_A v_A = A_B v_B$:
$1.5 \times 10^{-4} \times v_A = 25 \times 10^{-6} \times 0.6$
$v_A = \frac{25 \times 10^{-6} \times 0.6}{1.5 \times 10^{-4}} = \frac{15 \times 10^{-6}}{1.5 \times 10^{-4}} = 10 \times 10^{-2} = 0.1 \, m/s$
क्षैतिज नली के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करते हुए $(h_A = h_B)$:
$P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2$
$P_A - P_B = \frac{1}{2} \rho (v_B^2 - v_A^2)$
$P_A - P_B = \frac{1}{2} \times 1000 \times ((0.6)^2 - (0.1)^2)$
$P_A - P_B = 500 \times (0.36 - 0.01)$
$P_A - P_B = 500 \times 0.35 = 175 \, Pa$

(B) बल्क मापांक $B$ को $B = -V \frac{dP}{dV}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिया गया संबंध $P = aV^{-3}$ है।
$V$ के सापेक्ष $P$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dP}{dV} = a(-3)V^{-4} = -3 \frac{aV^{-3}}{V} = -3 \frac{P}{V}$.
इस मान को बल्क मापांक के सूत्र में रखने पर:
$B = -V \left( -3 \frac{P}{V} \right) = 3P$.
अतः,बल्क मापांक $3P$ है।

(D) $SHM$ कर रहे कण की कुल ऊर्जा $(TE)$ स्थिर होती है,जो $TE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ द्वारा दी जाती है।
माध्य स्थिति से $x$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $(PE)$,$PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ द्वारा दी जाती है।
कुल ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के बीच का अंतर गतिज ऊर्जा $(KE)$ है:
$KE = TE - PE$
$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 - \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$
$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$
यह समीकरण नीचे की ओर खुलने वाले परवलय को दर्शाता है,जिसका शीर्ष $x = 0$ पर है और मूल बिंदु $x = \pm A$ पर हैं। यह ग्राफ $D$ में दिखाए गए आकार से मेल खाता है।

(A) $1$. प्रकाश-विद्युत धारा आपतित विकिरण की तीव्रता के सीधे समानुपाती होती है क्योंकि तीव्रता आपतित फोटॉनों की संख्या के समानुपाती होती है,जो बदले में उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या के समानुपाती होती है। अतः,कथन $A$ सही है।
$2$. आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$KE_{\max} = h\nu - \phi$,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,और $\phi$ धातु का कार्य फलन (work function) है। यह समीकरण दर्शाता है कि $KE_{\max}$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति पर निर्भर करता है,न कि उसकी तीव्रता पर। अतः,कथन $C$ सही है,जबकि कथन $B$ और $E$ गलत हैं।
$3$. फोटोइलेक्ट्रॉन के उत्सर्जन के लिए न्यूनतम देहली आवृत्ति (threshold frequency) की आवश्यकता होती है,न कि न्यूनतम देहली तीव्रता की। अतः,कथन $D$ गलत है।
इसलिए,कथन $A$ और $C$ सही हैं।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले चालक में प्रेरित गतिक $emf$ का सूत्र इस प्रकार है:
$e = Blv$
दिया गया है:
$e = 0.08\,V$
$l = 10\,cm = 0.1\,m$
$B = 0.4\,T$
सूत्र में मान रखने पर:
$0.08 = 0.4 \times 0.1 \times v$
$0.08 = 0.04 \times v$
$v = \frac{0.08}{0.04} = 2\,m/s$
अतः,वेग $2\,m/s$ है।

(D) $l$ लंबाई के एक छोटे रैखिक एंटीना द्वारा विकिरित शक्ति $P$,$P \propto \left(\frac{l}{\lambda}\right)^2$ संबंध द्वारा दी जाती है।
यह दर्शाता है कि विकिरित शक्ति,एंटीना की लंबाई और विद्युत चुम्बकीय तरंग की तरंगदैर्ध्य के अनुपात के वर्ग के सीधे समानुपाती होती है।

(A) अनुनाद (resonance) पर श्रेणी $LCR$ परिपथ का गुणवत्ता कारक $(Q)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$
दिए गए मान:
प्रतिरोध $R = 100\,\Omega$
प्रेरकत्व $L = 1\,H$
धारिता $C = 6.25 \times 10^{-6}\,F$
सूत्र में मान रखने पर:
$Q = \frac{1}{100} \sqrt{\frac{1}{6.25 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{100} \sqrt{\frac{10^6}{6.25}}$
$Q = \frac{1}{100} \times \frac{1000}{2.5}$
$Q = \frac{10}{2.5} = 4$
अतः,परिपथ का गुणवत्ता कारक $4$ है।

(A) $H$-परमाणु में स्पेक्ट्रमी रेखाओं की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ है।
$H_\alpha$ रेखा के लिए,$n_2 = 3$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_{H_\alpha}} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = \frac{5R}{36}$ होता है।
$H_\beta$ रेखा के लिए,$n_2 = 4$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_{H_\beta}} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = \frac{3R}{16}$ होता है।
तरंगदैर्ध्य का अनुपात लेने पर: $\frac{\lambda_{H_\alpha}}{\lambda_{H_\beta}} = \frac{\lambda_{H_\beta}^{-1}}{\lambda_{H_\alpha}^{-1}} = \frac{3R/16}{5R/36} = \frac{3}{16} \times \frac{36}{5} = \frac{3 \times 9}{4 \times 5} = \frac{27}{20}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\frac{x}{20}$ से करने पर,हमें $x = 27$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है:
इलेक्ट्रॉनों का संख्या घनत्व,$n = 8 \times 10^{28} \ m^{-3}$
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल,$A = 2 \times 10^{-6} \ m^2$
विद्युत धारा,$I = 3.2 \ A$
इलेक्ट्रॉन का आवेश,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
अपवाह वेग $(v_d)$ का सूत्र है:
$I = n e A v_d$
$v_d$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$v_d = \frac{I}{n e A}$
मान रखने पर:
$v_d = \frac{3.2}{(8 \times 10^{28}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (2 \times 10^{-6})}$
$v_d = \frac{3.2}{25.6 \times 10^3}$
$v_d = 0.125 \times 10^{-3} \ m/s$
$v_d = 125 \times 10^{-6} \ m/s$
अतः,अपवाह वेग $125 \times 10^{-6} \ m/s$ है।

(A) संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश: $Q = CV = 600 \times 10^{-12} \, F \times 200 \, V = 12 \times 10^{-8} \, C$.
संचित प्रारंभिक स्थिर-विद्युत ऊर्जा: $U_i = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} \times 600 \times 10^{-12} \times (200)^2 = 12 \times 10^{-6} \, J = 12 \, \mu J$.
जब आवेशित संधारित्र को एक समान अनावेशित संधारित्र से जोड़ा जाता है,तो आवेश $Q$ उनके बीच समान रूप से वितरित हो जाता है क्योंकि संधारित्र समानांतर क्रम में हैं और उनकी धारिता समान है।
प्रत्येक संधारित्र पर नया आवेश: $Q' = \frac{Q}{2} = 6 \times 10^{-8} \, C$.
निकाय में संचित अंतिम स्थिर-विद्युत ऊर्जा: $U_f = 2 \times \left( \frac{Q'^2}{2C} \right) = \frac{Q'^2}{C} = \frac{(6 \times 10^{-8})^2}{600 \times 10^{-12}} = \frac{36 \times 10^{-16}}{600 \times 10^{-12}} = 6 \times 10^{-6} \, J = 6 \, \mu J$.
इस प्रक्रिया में नष्ट हुई ऊर्जा: $\Delta U = U_i - U_f = 12 \, \mu J - 6 \, \mu J = 6 \, \mu J$.

(A) दिया गया है: विरल माध्यम का अपवर्तनांक $\mu_1 = 1.0$,सघन माध्यम का अपवर्तनांक $\mu_2 = 1.5$। वक्रता त्रिज्या $R = +30\,cm$ (क्योंकि वक्रता केंद्र प्रकाश के संचरण की दिशा में है)। वस्तु की दूरी $u = -15\,cm$ (प्रकाश की दिशा के विपरीत मापी गई)।
गोलीय सतह पर अपवर्तन के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$
मान रखने पर:
$\frac{1.5}{v} - \frac{1.0}{-15} = \frac{1.5 - 1.0}{30}$
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{15} = \frac{0.5}{30}$
$\frac{1.5}{v} + \frac{1}{15} = \frac{1}{60}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1}{60} - \frac{1}{15}$
$\frac{1.5}{v} = \frac{1 - 4}{60} = \frac{-3}{60} = -\frac{1}{20}$
$v = 1.5 \times (-20) = -30\,cm$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि प्रतिबिंब वस्तु की ओर ही ध्रुव से $30\,cm$ की दूरी पर बनता है।

(A) कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
कुंडली की अक्ष पर $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + d^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $d = r$ दिया गया है,इसलिए $B_2$ के सूत्र में मान रखने पर:
$B_2 = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2^{3/2} r^3)} = \frac{\mu_0 I}{2(2\sqrt{2})r} = \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}$.
अब,अनुपात $\frac{B_1}{B_2}$ की गणना करने पर:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I}{2r} \times \frac{4\sqrt{2}r}{\mu_0 I} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{8}$.
इसे $\sqrt{x}: 1$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\sqrt{x} = \sqrt{8}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x = 8$।

(C) जेनर डायोड की पावर रेटिंग $P = 1.6\,W$ है और ब्रेकडाउन वोल्टेज $V_z = 8\,V$ है。
जेनर डायोड से प्रवाहित होने वाली अधिकतम धारा $I_{z,max} = \frac{P}{V_z} = \frac{1.6\,W}{8\,V} = 0.2\,A$ है。
जेनर डायोड के वोल्टेज रेगुलेटर के रूप में कार्य करने के लिए, इनपुट वोल्टेज $V_{in}$ का मान ब्रेकडाउन वोल्टेज $V_z$ से अधिक होना चाहिए। यहाँ, इनपुट वोल्टेज $3\,V$ से $10\,V$ के बीच बदलता है। जेनर डायोड केवल तभी रेगुलेट करेगा जब $V_{in} \geq 8\,V$ हो। इसलिए, यह सुनिश्चित करने के लिए कि डायोड अपनी पावर रेटिंग से अधिक न हो, हम अधिकतम इनपुट वोल्टेज $V_{in,max} = 10\,V$ पर विचार करते हैं。
अधिकतम इनपुट वोल्टेज पर श्रेणी प्रतिरोध $R_s$ के सिरों पर वोल्टेज ड्रॉप $V_{R_s} = V_{in,max} - V_z = 10\,V - 8\,V = 2\,V$ है。
सुरक्षित संचालन सुनिश्चित करने के लिए, श्रेणी प्रतिरोध $R_s$ से प्रवाहित धारा उस अधिकतम धारा के बराबर होनी चाहिए जिसे जेनर डायोड सहन कर सकता है (यह मानते हुए कि कोई लोड करंट नहीं जुड़ा है, जो डायोड के लिए सबसे खराब स्थिति है)。
अतः, $R_s = \frac{V_{R_s}}{I_{z,max}} = \frac{2\,V}{0.2\,A} = 10\,\Omega$。

(B) दिया गया है,वाहक तरंग का आयाम $A_c = 15\,V$ है।
बेसबैंड सिग्नल का आयाम $A_m = 3\,V$ है।
आयाम मॉड्युलेटेड तरंग का अधिकतम आयाम $A_{\max} = A_c + A_m = 15 + 3 = 18\,V$ होता है।
आयाम मॉड्युलेटेड तरंग का न्यूनतम आयाम $A_{\min} = A_c - A_m = 15 - 3 = 12\,V$ होता है।
अतः,अधिकतम आयाम और न्यूनतम आयाम का अनुपात $\frac{A_{\max}}{A_{\min}} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ है।

(C) बोहर के अभिधारणा के अनुसार,$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L_n = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
पहली कक्षा $(n=1)$ के लिए,कोणीय संवेग $L_1 = L = \frac{1 \cdot h}{2\pi}$ है।
दूसरी कक्षा $(n=2)$ के लिए,कोणीय संवेग $L_2 = \frac{2h}{2\pi} = 2 \left( \frac{h}{2\pi} \right) = 2L$ है।
कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L = L_2 - L_1 = 2L - L = L$ होगा।

(D) मूविंग कॉइल गैल्वेनोमीटर के लिए,टॉर्क $\tau = NIAB \sin \theta = k \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है,$A$ क्षेत्रफल है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र है और $k$ मरोड़ नियतांक है।
धारा सुग्राहिता को $S_i = \frac{\phi}{I} = \frac{NBA}{k}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
यदि $N$ को दोगुना किया जाता है,तो $S_i$ का मान $2 \times \frac{NBA}{k}$ हो जाता है,इसलिए कथन $I$ सही है।
वोल्टेज सुग्राहिता को $S_v = \frac{\phi}{V} = \frac{\phi}{IR} = \frac{S_i}{R} = \frac{NBA}{kR}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
जब फेरों की संख्या $N$ दोगुनी की जाती है,तो कुंडली में तार की लंबाई भी दोगुनी हो जाती है,जिसका अर्थ है कि कुंडली का प्रतिरोध $R$ भी दोगुना हो जाता है $(R \propto N)$।
इसलिए,$S_v = \frac{(2N)BA}{k(2R)} = \frac{NBA}{kR}$।
चूंकि $S_v$ में कोई परिवर्तन नहीं होता है,इसलिए कथन $II$ गलत है।

(B) परिपथ में एक केंद्रीय नोड है जो बिंदुओं $a$,$b$ और शीर्ष बिंदु से जुड़ा है।
मान लीजिए शीर्ष बिंदु $c$ है। $c$ से जुड़े प्रतिरोधक $a$ और $b$ से जुड़े प्रतिरोधकों के साथ श्रेणीक्रम में हैं।
विशेष रूप से,$a$ से $c$ तक की शाखा में दो $4\,\Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,जिससे $4+4=8\,\Omega$ प्राप्त होता है।
$b$ से $c$ तक की शाखा में दो $4\,\Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,जिससे $4+4=8\,\Omega$ प्राप्त होता है।
ये दोनों शाखाएं एक-दूसरे के समांतर हैं,और उनका तुल्य प्रतिरोध $\frac{8 \times 8}{8+8} = 4\,\Omega$ है।
अंत में,यह $4\,\Omega$ का तुल्य प्रतिरोध $a$ और $b$ के बीच सीधे जुड़े $16\,\Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समांतर है।
$R_{eq} = \frac{4 \times 16}{4+16} = \frac{64}{20} = 3.2\,\Omega$.

(C) $AC$ परिपथ में क्षयित शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\cos \phi$ पावर फैक्टर है।
श्रेणी $LCR$ परिपथ के लिए, प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ होती है।
अनुनाद पर, $X_L = X_C$ होता है, जो प्रतिबाधा $Z$ को न्यूनतम $(Z = R)$ बनाता है और कलांतर $\phi = 0$ होता है। इस प्रकार, $\cos \phi = 1$ होता है, और शक्ति का क्षय अधिकतम होता है। अतः, कथन $I$ सही है।
शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ में, धारा और वोल्टेज समान कला में होते हैं $(\phi = 0)$, इसलिए $\cos \phi = 1$ होता है। इसके परिणामस्वरूप दिए गए वोल्टेज के लिए अधिकतम शक्ति का क्षय होता है। अतः, कथन $II$ सही है।
इसलिए, दोनों कथन सही हैं।

(NONE) यह परिपथ समानांतर में जुड़ी दो शाखाओं से बना है।
$1$. ऊपरी शाखा में $C$ धारिता वाले दो संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_1$ का मान $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $C_1 = \frac{C}{2}$।
$2$. निचली शाखा में भी $C$ धारिता वाले दो संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_2$ का मान $\frac{1}{C_2} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $C_2 = \frac{C}{2}$।
$3$. ये दोनों शाखाएं समानांतर में जुड़ी हुई हैं। अतः,कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ का मान $C_{eq} = C_1 + C_2 = \frac{C}{2} + \frac{C}{2} = C$ होगा।

(C) विद्युतचुंबकीय तरंग का विद्युत क्षेत्र $E = E_0 \sin(\omega t - kx)$ द्वारा दिया जाता है।
ऊर्जा घनत्व $u$,विद्युत क्षेत्र के वर्ग के समानुपाती होता है,अर्थात $u \propto E^2$।
अतः,$u \propto \sin^2(\omega t - kx)$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $u \propto \frac{1 - \cos(2(\omega t - kx))}{2}$ प्राप्त होता है।
ऊर्जा घनत्व के दोलन की आवृत्ति $2\omega t$ पद द्वारा निर्धारित होती है।
चूंकि तरंग की कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f$ है,इसलिए ऊर्जा दोलन की कोणीय आवृत्ति $2\omega = 2(2\pi f) = 2\pi(2f)$ होती है।
अतः,ऊर्जा दोलन की आवृत्ति $2f$ है,जो तरंग की आवृत्ति की दोगुनी है।

(B) प्रारंभ में,वस्तु $x = -12\,cm$ पर है और दर्पण $x = 0$ पर है। प्रतिबिंब $x = +12\,cm$ पर बनता है।
जब दर्पण को वस्तु की ओर $4\,cm$ खिसकाया जाता है,तो दर्पण की नई स्थिति $x = -4\,cm$ होती है।
नई दर्पण स्थिति से वस्तु की दूरी $u = |-12 - (-4)| = 8\,cm$ है।
चूंकि प्रतिबिंब दर्पण के पीछे समान दूरी पर बनता है,इसलिए प्रतिबिंब की नई स्थिति $x_i$ समीकरण $|x_i - (-4)| = 8\,cm$ को संतुष्ट करती है,जिससे $x_i = 4\,cm$ प्राप्त होता है।
प्रतिबिंब की प्रारंभिक स्थिति $12\,cm$ थी और अंतिम स्थिति $4\,cm$ है।
अतः,प्रतिबिंब की स्थिति में विस्थापन $12\,cm - 4\,cm = 8\,cm$ दर्पण की ओर होगा।

(A) गैसों के गतिज सिद्धांत ($K$.$T$.$G$.) के अनुसार,गैस के अणु का वर्ग माध्य मूल वेग $v_{RMS} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि $v_{RMS} \propto \sqrt{T}$।
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v_{RMS}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $v_{RMS} \propto \sqrt{T}$,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$।
अतः,तरंगदैर्ध्य का अनुपात $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$ होगा।
यहाँ $T_1 = 300 \ K$ और $T_2 = 600 \ K$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{300}{600}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इस प्रकार,नई तरंगदैर्ध्य $\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{\sqrt{2}}$ होगी।

(D) मान लीजिए कि अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I_0 = 32 \, W m^{-2}$ है।
पहले पोलेरॉइड से गुजरने के बाद,तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2} = 16 \, W m^{-2}$ हो जाती है।
मान लीजिए कि पहले और दूसरे पोलेरॉइड की पास अक्ष के बीच का कोण $\theta$ है।
दूसरे पोलेरॉइड के बाद तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2 \theta = \frac{I_0}{2} \cos^2 \theta$ है।
दूसरे और तीसरे पोलेरॉइड के बीच का कोण $(90^{\circ} - \theta)$ है क्योंकि पहला और तीसरा पोलेरॉइड एक-दूसरे के लंबवत हैं।
तीसरे पोलेरॉइड के बाद तीव्रता $I_3 = I_2 \cos^2(90^{\circ} - \theta) = I_2 \sin^2 \theta$ है।
$I_2$ का मान रखने पर,हमें $I_3 = \frac{I_0}{2} \cos^2 \theta \sin^2 \theta = \frac{I_0}{8} (2 \sin \theta \cos \theta)^2 = \frac{I_0}{8} \sin^2(2 \theta)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $I_3 = 3 \, W m^{-2}$ और $I_0 = 32 \, W m^{-2}$,इसलिए $3 = \frac{32}{8} \sin^2(2 \theta) = 4 \sin^2(2 \theta)$ है।
$\sin^2(2 \theta) = \frac{3}{4} \implies \sin(2 \theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
अतः,$2 \theta = 60^{\circ}$ या $120^{\circ}$,जिससे $\theta = 30^{\circ}$ या $60^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(D) परिनालिका के भीतर चुंबकीय तीव्रता $H$ का सूत्र $H = ni$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $i$ विद्युत धारा है।
दिया गया है:
परिनालिका की लंबाई $\ell = 15\,cm = 0.15\,m$
फेरों की संख्या $N = 60$
चुंबकीय तीव्रता $H = 2.4 \times 10^3\,A/m$
सबसे पहले,प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $n$ की गणना करें:
$n = \frac{N}{\ell} = \frac{60}{0.15} = 400\,turns/m$
अब,धारा $i$ ज्ञात करने के लिए $H = ni$ सूत्र का उपयोग करें:
$2.4 \times 10^3 = 400 \times i$
$i = \frac{2400}{400} = 6\,A$
अतः,आवश्यक धारा $6\,A$ है।

(D) छड़ में प्रेरित गतिक विद्युत वाहक बल $(EMF)$ $\varepsilon = B \ell v$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $B = 0.15\,T$,$\ell = 1\,m$,$v = 4\,m/s$,और $R = 5\,\Omega$.
परिपथ में प्रेरित धारा $i = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B \ell v}{R}$ है।
छड़ पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F = i \ell B$ है।
$i$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $F = \left( \frac{B \ell v}{R} \right) \ell B = \frac{B^2 \ell^2 v}{R}$.
मान रखने पर: $F = \frac{(0.15)^2 \times (1)^2 \times 4}{5}$.
$F = \frac{0.0225 \times 4}{5} = \frac{0.09}{5} = 0.018\,N$.
आवश्यक इकाइयों में परिवर्तित करने पर: $0.018\,N = 18 \times 10^{-3}\,N$.

(D) दिया गया है: क्षय नियतांक $\lambda = 1.5 \times 10^{-5} \, s^{-1}$।
पदार्थ का द्रव्यमान $m = 1.0 \, \mu g = 1.0 \times 10^{-6} \, g$।
मोलर द्रव्यमान $M = 60 \, g \, mol^{-1}$।
मोलों की संख्या $n = \frac{m}{M} = \frac{1.0 \times 10^{-6}}{60} = \frac{1}{6} \times 10^{-7} \, mol$।
परमाणुओं की संख्या $N = n \times N_A = (\frac{1}{6} \times 10^{-7}) \times (6 \times 10^{23}) = 10^{16}$ परमाणु।
सक्रियता $A = N \lambda = 10^{16} \times 1.5 \times 10^{-5} \, Bq$।
$A = 1.5 \times 10^{11} \, Bq = 15 \times 10^{10} \, Bq$।
अतः,मान $15$ है।

(D) कोशों पर आवेश इस प्रकार हैं:
$q_x = \sigma(4\pi a^2)$
$q_y = -\sigma(4\pi b^2)$
$q_z = \sigma(4\pi c^2)$
चूंकि कोश $X$ और $Z$ समान विभव पर हैं $(V_x = V_z)$:
$V_x = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_x}{a} + \frac{q_y}{b} + \frac{q_z}{c} \right)$
$V_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_x}{c} + \frac{q_y}{c} + \frac{q_z}{c} \right)$
$V_x$ और $V_z$ को बराबर करने पर:
$\frac{\sigma 4\pi a^2}{a} - \frac{\sigma 4\pi b^2}{b} + \frac{\sigma 4\pi c^2}{c} = \frac{\sigma 4\pi a^2}{c} - \frac{\sigma 4\pi b^2}{c} + \frac{\sigma 4\pi c^2}{c}$
समीकरण को सरल करने पर:
$a - b + c = \frac{a^2 - b^2 + c^2}{c}$
$c(a - b + c) = a^2 - b^2 + c^2$
$c(a - b) + c^2 = a^2 - b^2 + c^2$
$c(a - b) = a^2 - b^2$
$c(a - b) = (a - b)(a + b)$
$c = a + b$
यहाँ $a = 2\,cm$ और $b = 3\,cm$ दिया गया है:
$c = 2 + 3 = 5\,cm$.

(D) अधिकतम प्रतिरोध तब प्राप्त होता है जब सभी प्रतिरोधकों को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है।
$R_{\max} = n \times R$,जहाँ $n = 10$ और $R = 10\,\Omega$ है।
$R_{\max} = 10 \times 10 = 100\,\Omega$।
न्यूनतम प्रतिरोध तब प्राप्त होता है जब सभी प्रतिरोधकों को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है।
$R_{\min} = \frac{R}{n}$,जहाँ $n = 10$ और $R = 10\,\Omega$ है।
$R_{\min} = \frac{10}{10} = 1\,\Omega$।
अधिकतम और न्यूनतम तुल्य प्रतिरोध का अनुपात है:
$\frac{R_{\max}}{R_{\min}} = \frac{100}{1} = 100$।

(A) पदार्थ की अर्ध-आयु $t_{1/2} = T$ दी गई है।
यदि मूल द्रव्यमान $N_0$ है,तो इसके $\frac{7}{8}$ भाग के विघटित होने के बाद शेष द्रव्यमान $N$ होगा:
$N = N_0 - \frac{7}{8}N_0 = \frac{1}{8}N_0$.
हम जानते हैं कि $n$ अर्ध-आयु के बाद शेष द्रव्यमान $N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{8}N_0 = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^n$,जिसका अर्थ है $n = 3$.
कुल लगा समय $t = n \times T = 3T$ होगा।

(B) कथन $I$ सही है: प्रतिचुंबकीय पदार्थों के लिए,चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ ऋणात्मक होती है और यह $-1 \leq \chi < 0$ की सीमा में होती है। यह दर्शाता है कि पदार्थ आरोपित चुंबकीय क्षेत्र की विपरीत दिशा में एक दुर्बल चुंबकत्व विकसित करता है।
कथन $II$ सही है: ऋणात्मक प्रवृत्ति के कारण,प्रतिचुंबकीय पदार्थ चुंबकों द्वारा दुर्बल रूप से प्रतिकर्षित होते हैं। जब उन्हें एक असमान चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो वे एक ऐसे बल का अनुभव करते हैं जो उन्हें प्रबल चुंबकीय क्षेत्र वाले क्षेत्र से दुर्बल चुंबकीय क्षेत्र वाले क्षेत्र की ओर धकेलता है।

(C) हवा माध्यम वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब प्लेटों के बीच $t = \frac{2d}{3}$ मोटाई की धातु की शीट रखी जाती है,तो प्लेटों के बीच की प्रभावी दूरी कम हो जाती है।
$t$ मोटाई वाली परावैद्युत स्लैब (या धातु की शीट) वाले संधारित्र की धारिता $C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
धातु की शीट के लिए,परावैद्युतांक $K = \infty$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{2d}{3} + \frac{2d/3}{\infty}} = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{2d}{3} + 0} = \frac{\epsilon_0 A}{d/3} = 3 \frac{\epsilon_0 A}{d}$.
चूंकि $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$,इसलिए $C_2 = 3C_1$.
अतः,अनुपात $\frac{C_2}{C_1} = 3:1$ है।

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग में विद्युत क्षेत्र $(E_0)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B_0)$ के आयाम के बीच का संबंध इस समीकरण द्वारा दिया जाता है: $E_0 = B_0 c$,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की चाल है।
दिया गया है:
$B_0 = 6.0 \times 10^{-7} \, T$
$c = 3.0 \times 10^8 \, ms^{-1}$
मान रखने पर:
$E_0 = (6.0 \times 10^{-7} \, T) \times (3.0 \times 10^8 \, ms^{-1})$
$E_0 = 18 \times 10^1 \, Vm^{-1}$
$E_0 = 180 \, Vm^{-1}$

(C) समान तीव्रता $I_0$ वाली दो तरंगों के लिए कलांतर $\phi$ होने पर परिणामी तीव्रता $I$ का सूत्र: $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \phi = 2I_0(1 + \cos \phi) = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ है।
बिंदु $P$ के लिए,कलांतर $\phi_1 = \pi/3$ है। अतः तीव्रता $I_P$:
$I_P = 2I_0(1 + \cos(\pi/3)) = 2I_0(1 + 0.5) = 3I_0$.
बिंदु $Q$ के लिए,कलांतर $\phi_2 = \pi/2$ है। अतः तीव्रता $I_Q$:
$I_Q = 2I_0(1 + \cos(\pi/2)) = 2I_0(1 + 0) = 2I_0$.
बिंदु $P$ और $Q$ पर तीव्रताओं का अनुपात:
$\frac{I_P}{I_Q} = \frac{3I_0}{2I_0} = \frac{3}{2}$ अर्थात $3:2$ है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_0$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$eV_0 = h\nu - \phi$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आवृत्ति है,और $\phi$ कार्य फलन है।
ग्राफ से,देहली आवृत्ति $\nu_0$ (जहाँ $V_0 = 0$) $5 \times 10^{14} \ Hz$ है।
देहली आवृत्ति पर,$h\nu_0 = \phi$ होता है।
$h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ का उपयोग करते हुए:
$\phi = (6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s) \times (5 \times 10^{14} \ Hz)$
$\phi = 33.15 \times 10^{-20} \ J$
इसे इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए,इलेक्ट्रॉन के आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \ C)$ से विभाजित करने पर:
$\phi = \frac{33.15 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV \approx 2.07 \ eV$.

(B) जब एक धात्विक चालक पर विद्युत क्षेत्र $E$ आरोपित किया जाता है,तो मुक्त इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में एक स्थिर-वैद्युत बल $F = -eE$ का अनुभव करते हैं।
चूंकि विद्युत क्षेत्र उच्च विभव से निम्न विभव की ओर होता है,इसलिए इलेक्ट्रॉन उच्च विभव की ओर त्वरित होते हैं।
हालाँकि,धात्विक जालक के धनात्मक आयनों के साथ निरंतर टक्करों के कारण,इलेक्ट्रॉन सीधी रेखाओं में गति नहीं करते हैं बल्कि क्रमिक टक्करों के बीच यादृच्छिक,वक्र पथों का अनुसरण करते हैं।
औसतन,वे उच्च विभव वाले क्षेत्र की ओर एक नेट अपवाह वेग (drift velocity) प्रदर्शित करते हैं।
इस प्रकार,टक्करों के बीच मुक्त इलेक्ट्रॉनों की गति वक्र पथों में होती है।

(D) आयाम मॉड्युलेटेड $(AM)$ तरंग की बैंडविड्थ का सूत्र निम्नलिखित है:
बैंडविड्थ $= 2 f_{m}$
जहाँ $f_{m}$ संदेश सिग्नल की आवृत्ति है।
दिया गया है,$f_{m} = 3\,kHz$.
अतः,बैंडविड्थ $= 2 \times 3\,kHz = 6\,kHz$.

(B) परिपथ में तीन समानांतर शाखाएं हैं,जिनमें से प्रत्येक में एक डायोड $(25\,\Omega)$ और एक प्रतिरोधक $(125\,\Omega)$ है।
प्रत्येक शाखा का कुल प्रतिरोध $R_{branch} = 25\,\Omega + 125\,\Omega = 150\,\Omega$ है।
चूंकि तीनों शाखाएं समानांतर में हैं,उनका तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{150}{3} = 50\,\Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_p + 25\,\Omega = 50\,\Omega + 25\,\Omega = 75\,\Omega$ है।
कुल धारा $I_1 = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{5\,V}{75\,\Omega} = \frac{1}{15}\,A$ है।
चूंकि तीनों समानांतर शाखाओं का प्रतिरोध समान है,इसलिए धारा $I_1$ उनमें समान रूप से विभाजित हो जाती है।
अतः,$I_2 = I_3 = I_4 = \frac{I_1}{3} = \frac{1}{45}\,A$ है।
इस प्रकार,$I_2 = I_3 = I_4$ होने के कारण,$\frac{I_3}{I_4} = 1$ और $\frac{I_2}{I_3} = 1$ दोनों सही हैं।

(A) जब छड़ चुंबक तांबे की नली से होकर गिरता है,तो नली से गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन के कारण फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार तांबे की दीवारों में भंवर धाराएं (eddy currents) उत्पन्न होती हैं।
लेंज के नियम के अनुसार,ये भंवर धाराएं एक चुंबकीय क्षेत्र बनाती हैं जो चुंबक की गति का विरोध करता है।
यह विरोधी बल ऊपर की ओर कार्य करता है,जो नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ का विरोध करता है।
जैसे-जैसे चुंबक की गति बढ़ती है,प्रेरित भंवर धाराएं और परिणामी विरोधी चुंबकीय बल भी बढ़ते हैं।
अंततः,ऊपर की ओर लगने वाला चुंबकीय बल नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर हो जाता है,जिसके परिणामस्वरूप कुल बल शून्य हो जाता है।
इस बिंदु पर,चुंबक एक सीमांत वेग (terminal velocity) प्राप्त कर लेता है और लगभग स्थिर गति से नीचे की ओर बढ़ता है।

(C) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
दिया गया है: $n = 50\,turns/cm = 5000\,turns/m$,$I = I_0 \sin(\omega t)$,जहाँ $I_0 = 2.5\,A$ और $\omega = 700\,rad\,s^{-1}$ है।
वर्गाकार लूप का क्षेत्रफल $A = (2.0\,cm)^2 = (0.02\,m)^2 = 4 \times 10^{-4}\,m^2$ है।
लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\Phi = B \cdot A = \mu_0 n I A$ है।
प्रेरित emf $\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -\mu_0 n A \frac{dI}{dt} = -\mu_0 n A I_0 \omega \cos(\omega t)$ है।
प्रेरित emf का आयाम $\varepsilon_0 = \mu_0 n A I_0 \omega$ है।
मान रखने पर:
$\varepsilon_0 = (4\pi \times 10^{-7}) \times (5000) \times (4 \times 10^{-4}) \times (2.5) \times (700)$.
$\varepsilon_0 = 4 \times \frac{22}{7} \times 10^{-7} \times 5 \times 10^3 \times 4 \times 10^{-4} \times 2.5 \times 700$.
$\varepsilon_0 = 4 \times 22 \times 10^{-7} \times 5 \times 10^3 \times 4 \times 10^{-4} \times 2.5 \times 100$.
$\varepsilon_0 = 44 \times 10^{-4}\,V$.
अतः,$x = 44$.

(C) स्पेक्ट्रल रेखाओं की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$ है।
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (श्रेणी सीमा) के लिए,$n_2 = \infty$ लें।
लायमन श्रेणी के लिए,$n_1 = 1$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_L} = R Z^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = R Z^2$।
दिया गया है $\lambda_L = 917 \mathring A$,इसलिए $R Z^2 = \frac{1}{917}$।
बामर श्रेणी के लिए,$n_1 = 2$ है। अतः,$\frac{1}{\lambda_B} = R Z^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] = \frac{R Z^2}{4}$।
$R Z^2 = \frac{1}{917}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{\lambda_B} = \frac{1}{4 \times 917}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda_B = 4 \times 917 = 3668 \mathring A$।

(C) $I$ धारा ले जाने वाले अर्धवृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I}{4R}$
दिया गया है:
$I = 14\,A$
$R = 2.2\,cm = 2.2 \times 10^{-2}\,m$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,T\cdot m/A$
मान रखने पर:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 14}{4 \times 2.2 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{\pi \times 10^{-7} \times 14}{2.2 \times 10^{-2}}$
$\pi \approx \frac{22}{7}$ लेने पर:
$B = \frac{(22/7) \times 14 \times 10^{-7}}{2.2 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{22 \times 2 \times 10^{-7}}{2.2 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{44 \times 10^{-7}}{2.2 \times 10^{-2}} = 20 \times 10^{-5}\,T = 2 \times 10^{-4}\,T$
अतः,मान $2$ है।

(C) प्रथम लेंस $L_1$ के लिए,वस्तु दूरी $u_1 = -6\,cm$ और फोकस दूरी $f_1 = +24\,cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{u_1} = \frac{1}{f_1}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-6} = \frac{1}{24}$
$\frac{1}{v_1} = \frac{1}{24} - \frac{1}{6} = \frac{1-4}{24} = -\frac{3}{24} = -\frac{1}{8}$
अतः,$v_1 = -8\,cm$। इसका अर्थ है कि एक आभासी प्रतिबिंब $I_1$,$L_1$ के बाईं ओर $8\,cm$ की दूरी पर बनता है।
दूसरे लेंस $L_2$ के लिए,वस्तु दूरी $u_2$,$L_2$ से $I_1$ की दूरी है। चूँकि $I_1$,$L_1$ के बाईं ओर $8\,cm$ पर है और $L_1$,$L_2$ के बाईं ओर $10\,cm$ पर है,इसलिए $u_2 = -(8 + 10) = -18\,cm$। फोकस दूरी $f_2 = +9\,cm$ है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{v_2} - \frac{1}{u_2} = \frac{1}{f_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{v_2} - \frac{1}{-18} = \frac{1}{9}$
$\frac{1}{v_2} = \frac{1}{9} - \frac{1}{18} = \frac{2-1}{18} = \frac{1}{18}$
अतः,$v_2 = +18\,cm$। इसका अर्थ है कि अंतिम प्रतिबिंब $L_2$ के दाईं ओर $18\,cm$ की दूरी पर बनता है।
वस्तु $L_1$ के बाईं ओर $6\,cm$ पर है। अंतिम प्रतिबिंब $L_2$ के दाईं ओर $18\,cm$ पर है। लेंसों के बीच की दूरी $10\,cm$ है।
वस्तु और अंतिम प्रतिबिंब के बीच की कुल दूरी $6\,cm + 10\,cm + 18\,cm = 34\,cm$ है।

(C) आयताकार समानांतर षट्फलक के आयाम $1\,cm \times 1\,cm \times 100\,cm$ हैं। विद्युत धारा $1\,cm \times 100\,cm$ आकार के दो विपरीत आयताकार फलकों के बीच प्रवाहित होती है।
अतः,धारा के पथ की लंबाई $\ell = 1\,cm = 10^{-2}\,m$ है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल जिससे धारा प्रवाहित होती है,वह $A = 1\,cm \times 100\,cm = 10^{-2}\,m \times 1\,m = 10^{-2}\,m^2$ है।
विशिष्ट प्रतिरोध (प्रतिरोधकता) $\rho = 3 \times 10^{-7}\,\Omega\,m$ है।
प्रतिरोध $R$ का सूत्र $R = \rho \frac{\ell}{A}$ है।
मान रखने पर: $R = (3 \times 10^{-7}) \times \frac{10^{-2}}{10^{-2}} = 3 \times 10^{-7}\,\Omega$।
अतः,प्रतिरोध $3 \times 10^{-7}\,\Omega$ होगा।

(C) स्थिर-वैद्युत बल इलेक्ट्रॉन की वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$F_e = F_c$
$eE = \frac{mV^2}{r}$
अनंत रेखीय आवेश के लिए,$r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{2k\lambda}{r}$ होता है।
इस मान को बल समीकरण में रखने पर:
$e \left( \frac{2k\lambda}{r} \right) = \frac{mV^2}{r}$
$V^2 = \frac{e \cdot 2k\lambda}{m}$
$V = \sqrt{\frac{e \cdot 2k\lambda}{m}}$
दिया गया है: $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2 \cdot C^{-2}$,$\lambda = 2 \times 10^{-8} \, C \cdot m^{-1}$,$m = 9 \times 10^{-31} \, kg$.
$V = \sqrt{\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-8}}{9 \times 10^{-31}}}$
$V = \sqrt{\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 36 \times 10^1}{9 \times 10^{-31}}}$
$V = \sqrt{6.4 \times 10^{13} \times 10^{-18} \times 10^{31}}$
$V = \sqrt{64 \times 10^{12}} = 8 \times 10^6 \, m \cdot s^{-1}$.
अतः,वेग $8 \times 10^6 \, m \cdot s^{-1}$ है।

(C) विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = E_0 \sin \omega (t - \frac{x}{c}) \hat{j}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E_0 = 20 \text{ V/m}$ है।
विद्युतचुंबकीय तरंग का औसत ऊर्जा घनत्व $(u_{avg})$ $u_{avg} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन $(V)$ में संचित कुल ऊर्जा $(U)$ $U = u_{avg} \times V$ है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2/\text{Nm}^2) \times (20 \text{ V/m})^2 \times (5 \times 10^{-4} \text{ m}^3)$.
$U = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times 400 \times 5 \times 10^{-4} \text{ J}$.
$U = 8.85 \times 10^{-12} \times 200 \times 5 \times 10^{-4} \text{ J}$.
$U = 8.85 \times 10^{-12} \times 1000 \times 10^{-4} \text{ J}$.
$U = 8.85 \times 10^{-12} \times 10^{-1} \text{ J} = 8.85 \times 10^{-13} \text{ J}$.
अतः,मान $8.85 \times 10^{-13} \text{ J}$ है।

(A) इस परिपथ में इनपुट पर $NOT$ गेट के रूप में उपयोग किए गए दो $NOR$ गेट हैं,जिसके बाद आउटपुट पर एक $NOR$ गेट है।
इनपुट $a$ को एक $NOR$ गेट में दिया जाता है जिसके दोनों इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं,जिसके परिणामस्वरूप आउटपुट $\bar{a}$ प्राप्त होता है।
इनपुट $b$ को एक $NOR$ गेट में दिया जाता है जिसके दोनों इनपुट एक साथ जुड़े हुए हैं,जिसके परिणामस्वरूप आउटपुट $\bar{b}$ प्राप्त होता है।
इन आउटपुट $\bar{a}$ और $\bar{b}$ को फिर एक अंतिम $NOR$ गेट में दिया जाता है।
अंतिम आउटपुट $Y = \overline{\bar{a} + \bar{b}}$ द्वारा दिया जाता है।
डी मॉर्गन के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\overline{\bar{a} + \bar{b}} = \overline{\bar{a}} \cdot \overline{\bar{b}} = a \cdot b$।
यह $AND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
अतः,यह परिपथ $AND$ गेट के समतुल्य है।

(B) प्रारंभ में,$C = 2\; F$ धारिता वाले संधारित्र में $V$ विभव पर संचित ऊर्जा:
$E_1 = \frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} (2) V^2 = V^2$
जब इस आवेशित संधारित्र को समांतर संयोजन में एक समान अनावेशित संधारित्र से जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q = CV = 2V$ दोनों संधारित्रों के बीच समान रूप से पुनर्वितरित हो जाता है क्योंकि वे समान हैं।
प्रत्येक संधारित्र पर नया विभव $V'$:
$V' = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{2V}{2C} = \frac{2V}{4} = \frac{V}{2}$
संयोजन में संचित कुल ऊर्जा $E_2$:
$E_2 = 2 \times \left( \frac{1}{2} C (V')^2 \right) = C \left( \frac{V}{2} \right)^2 = 2 \times \frac{V^2}{4} = \frac{V^2}{2}$
अतः,अनुपात $E_2 / E_1$ है:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{V^2 / 2}{V^2} = \frac{1}{2}$

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक हीटर फिलामेंट का प्रतिरोध $R$ है और लागू वोल्टेज $V$ है। $t$ समय में उत्पन्न ऊष्मा $H = \frac{V^2}{R_{eq}} t$ द्वारा दी जाती है।
समानांतर संयोजन के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ है।
अतः,उत्पन्न ऊष्मा $H_p = \frac{V^2}{R_p} t = \frac{V^2}{R/2} t = \frac{2V^2 t}{R}$ है।
श्रेणी संयोजन के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_s = R + R = 2R$ है।
अतः,उत्पन्न ऊष्मा $H_s = \frac{V^2}{R_s} t = \frac{V^2}{2R} t$ है।
समानांतर और श्रेणी संयोजन के लिए उत्पन्न ऊष्मा का अनुपात $\frac{H_p}{H_s} = \frac{2V^2 t / R}{V^2 t / 2R} = 2 \times 2 = 4$ है।
इसलिए,अनुपात $4:1$ है।

(A) ट्रांसमिटिंग एंटीना की ऊंचाई $h_T$ और रिसीविंग एंटीना की ऊंचाई $h_R$ के बीच लाइन-ऑफ-साइट संचार के लिए दूरी $d = \sqrt{2 R h_T} + \sqrt{2 R h_R}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि ट्रांसमिटिंग एंटीना पृथ्वी की सतह पर है,इसलिए $h_T = 0$ है।
अतः,सूत्र $d = \sqrt{2 R h_R}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$d^2 = 2 R h_R$ प्राप्त होता है।
$h_R$ के लिए हल करने पर,$h_R = \frac{d^2}{2 R}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $d = 4\,km = 4000\,m$ और $R = 6400\,km = 6400000\,m$ है।
मान रखने पर: $h_R = \frac{(4000)^2}{2 \times 6400000} = \frac{16000000}{12800000} = \frac{160}{128} = 1.25\,m$ है।
हमें $h_R = x \times 10^{-2}\,m$ दिया गया है।
इसलिए,$1.25 = x \times 10^{-2} \implies x = 1.25 \times 10^2 = 125$।

(A) शुद्ध कैपेसिटिव परिपथ का रिएक्टेंस $X_{C} = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है $X_{C} \propto \frac{1}{f}$,जो एक आयताकार हाइपरबोला को दर्शाता है। अतः,वक्र $A$,$X_{C}$ के अनुरूप है।
शुद्ध इंडक्टिव परिपथ का रिएक्टेंस $X_{L} = \omega L = 2 \pi f L$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है $X_{L} \propto f$,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है। अतः,वक्र $B$,$X_{L}$ के अनुरूप है।
इसलिए,सही निरूपण $A = X_{C}$ और $B = X_{L}$ है।

(B) क्रांतिक कोण $i_C$,अपवर्तनांक $\mu$ और दोनों माध्यमों में प्रकाश की चाल के बीच संबंध $\sin i_C = \frac{1}{\mu} = \frac{v_d}{v_r}$ है,जहाँ $v_d$ सघन माध्यम में प्रकाश की चाल है और $v_r$ विरल माध्यम में प्रकाश की चाल है।
दिया गया है: $i_C = 45^{\circ}$ और $v_r = 3 \times 10^8 \, m/s$.
मान रखने पर: $\sin 45^{\circ} = \frac{v_d}{3 \times 10^8}$.
चूँकि $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{v_d}{3 \times 10^8}$.
अतः,$v_d = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{2}} \approx 2.12 \times 10^8 \, m/s$.

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,निरोधी विभव $V_0$ इस प्रकार दिया जाता है:
$eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(1)$
जब तरंगदैर्ध्य को बदलकर $2\lambda$ किया जाता है,तो निरोधी विभव $\frac{V_0}{4}$ हो जाता है:
$e\left(\frac{V_0}{4}\right) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,हमारे पास $eV_0 = hc(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0})$ है। इस मान को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$\frac{hc}{4}(\frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}) = \frac{hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
दोनों पक्षों को $hc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{4\lambda} - \frac{1}{4\lambda_0} = \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{\lambda_0}$
$\lambda_0$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{\lambda_0} - \frac{1}{4\lambda_0} = \frac{1}{2\lambda} - \frac{1}{4\lambda}$
$\frac{3}{4\lambda_0} = \frac{1}{4\lambda}$
अतः,$\lambda_0 = 3\lambda$.

(A) पदार्थ से भरे टोरोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_r B_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $B_0$ मुक्त स्थान में चुंबकीय क्षेत्र है और $\mu_r$ पदार्थ की सापेक्ष पारगम्यता (relative permeability) है।
दिया गया है कि चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi_m = 2 \times 10^{-2}$ है।
सापेक्ष पारगम्यता $\mu_r = 1 + \chi_m = 1 + 0.02 = 1.02$ है।
इसलिए,नया चुंबकीय क्षेत्र $B = 1.02 B_0$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में प्रतिशत वृद्धि $\frac{B - B_0}{B_0} \times 100\%$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{1.02 B_0 - B_0}{B_0} \times 100\% = 0.02 \times 100\% = 2\%$.