यदि [a, b] पर परिभाषित एक फलन f(x),x=alpha in | vedclass

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Question

(B) एक फलन $f(x)$,$x=\alpha$ पर संतत (continuous) होता है यदि और केवल यदि $\lim _{x \rightarrow \alpha^{-}} f(x) = \lim _{x \rightarrow \alpha^{+}} f(

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$\lim _{x ightarrow \alpha} f(x) 
eq f(\alpha)$

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(B) एक फलन $f(x)$,$x=\alpha$ पर संतत (continuous) होता है यदि और केवल यदि $\lim _{x ightarrow \alpha^{-}} f(x) = \lim _{x ightarrow \alpha^{+}} f(x) = f(\alpha)$ हो।चूंकि फलन $f(x)$ को $x=\alpha \in(a, b)$ पर असंतत दिया गया है,इसलिए संततता की शर्त का उल्लंघन होता है।इसका अर्थ है कि या तो सीमा (limit) का अस्तित्व नहीं है,या सीमा का अस्तित्व है लेकिन वह $f(\alpha)$ के बराबर नहीं है।इसलिए,फलन के उस बिंदु पर असंतत होने के लिए $\lim _{x ightarrow \alpha} f(x) 
eq f(\alpha)$ शर्त का पालन होना चाहिए।विकल्प $(A)$ संततता की शर्त को दर्शाता है,जो यहाँ गलत है।विकल्प $(B)$ $x=\alpha$ पर असंततता की शर्त को सही ढंग से पहचानता है।विकल्प $(C)$ और $(D)$ में डोमेन $[a, b]$ के बाहर की सीमाओं की बात की गई है,जहाँ फलन परिभाषित नहीं है,इसलिए वे अप्रासंगिक या गलत हैं।

यदि $[a, b]$ पर परिभाषित एक फलन $f(x)$,$x=\alpha \in(a, b)$ पर असंतत (discontinuous) है,तो

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यदि $f(x) = \begin{cases} \sin^{-1}|x|, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ है,तो

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