यदि f(x) एक ऐसा फलन है कि f^{prime}(x)=sqrt{f | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $f^{\prime}(x) = \sqrt{f^2(x)-1}$.इसे हम $\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f^2(x)-1}} = 1$ के रूप में लिख सकते हैं।दोनों पक्षों का $x$ के

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$\frac{e^2+1}{2 e}$

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(B) दिया गया है कि $f^{\prime}(x) = \sqrt{f^2(x)-1}$.इसे हम $\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f^2(x)-1}} = 1$ के रूप में लिख सकते हैं।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\int \frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f^2(x)-1}} dx = \int 1 dx$ प्राप्त होता है।मानक समाकलन $\int \frac{1}{\sqrt{t^2-1}} dt = \log |t + \sqrt{t^2-1}| + C$ का उपयोग करते हुए,हमें $\log |f(x) + \sqrt{f^2(x)-1}| = x + C$ मिलता है।चूंकि $f(0) = 1$ दिया गया है,$x=0$ रखने पर $\log |f(0) + \sqrt{f^2(0)-1}| = 0 + C$ प्राप्त होता है।$\log |1 + \sqrt{1-1}| = C \Rightarrow \log(1) = C \Rightarrow C = 0$।अतः,$\log |f(x) + \sqrt{f^2(x)-1}| = x$।$x=1$ पर,$\log |f(1) + \sqrt{f^2(1)-1}| = 1$।दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,$f(1) + \sqrt{f^2(1)-1} = e^1 = e$।$\sqrt{f^2(1)-1} = e - f(1)$।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$f^2(1) - 1 = e^2 + f^2(1) - 2ef(1)$।$-1 = e^2 - 2ef(1) \Rightarrow 2ef(1) = e^2 + 1$।इस प्रकार,$f(1) = \frac{e^2+1}{2e}$।

यदि $f(x)$ एक ऐसा फलन है कि $f^{\prime}(x)=\sqrt{f^2(x)-1}$ और $f(0)=1$,तो $f(1)=$

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