मान लीजिए a, b, c इस प्रकार हैं कि (b+c) neq | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए $D_1 = \begin{vmatrix} a & a+1 & a-1 \ -b & b+1 & b-1 \ c & c-1 & c+1 \end{vmatrix}$ और $D_2 = \begin{vmatrix} a+1 & b+1 & c-1 \ a-1

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कोई भी विषम पूर्णांक

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(C) मान लीजिए $D_1 = \begin{vmatrix} a & a+1 & a-1 \ -b & b+1 & b-1 \ c & c-1 & c+1 \end{vmatrix}$ और $D_2 = \begin{vmatrix} a+1 & b+1 & c-1 \ a-1 & b-1 & c+1 \ (-1)^{n+2} a & (-1)^{n-1} b & (-1)^n c \end{vmatrix}$.हमें $D_1 + D_2 = 0$ दिया गया है।$D_2$ में,तीसरी पंक्ति से $(-1)^n$ उभयनिष्ठ लेने पर: $D_2 = (-1)^n \begin{vmatrix} a+1 & b+1 & c-1 \ a-1 & b-1 & c+1 \ a & -b & c \end{vmatrix}$.अब,$D_2$ पर स्तंभ संक्रियाएँ करने पर: $C_1$ और $C_2$ को आपस में बदलें,फिर $C_2$ और $C_3$ को आपस में बदलें। दो बार बदलने से चिह्न में कोई परिवर्तन नहीं होता है।$D_2 = (-1)^n \begin{vmatrix} a & a+1 & a-1 \ -b & b+1 & b-1 \ c & c-1 & c+1 \end{vmatrix} = (-1)^n D_1$.अतः,$D_1 + (-1)^n D_1 = 0 \Rightarrow (1 + (-1)^n) D_1 = 0$.यह किसी भी $a, b, c$ के लिए सत्य होने हेतु,$1 + (-1)^n = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $(-1)^n = -1$.यह तब सत्य है जब $n$ एक विषम पूर्णांक हो।

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