k (k 0) का वह मान,जिसके लिए फलन f(x) = frac | vedclass

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Question

(C) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0) = 8$ होना चाहिए। सीमा का मूल्यांकन करने पर: $\lim_{x 	o 0} \frac{(e^x - 1)^

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$2$

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(C) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0) = 8$ होना चाहिए। सीमा का मूल्यांकन करने पर: $\lim_{x 	o 0} \frac{(e^x - 1)^4}{\sin(\frac{x^2}{k^2}) \log(1 + \frac{x^2}{2})} = 8$। अंश और हर को $x^4$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\lim_{x 	o 0} \frac{(\frac{e^x - 1}{x})^4}{\frac{\sin(\frac{x^2}{k^2})}{x^2} \cdot \frac{\log(1 + \frac{x^2}{2})}{x^2}} = 8$। मानक सीमाओं $\lim_{u 	o 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$,$\lim_{u 	o 0} \frac{\sin u}{u} = 1$,और $\lim_{u 	o 0} \frac{\log(1 + u)}{u} = 1$ का उपयोग करने पर: $\lim_{x 	o 0} \frac{(\frac{e^x - 1}{x})^4}{\frac{\sin(\frac{x^2}{k^2})}{\frac{x^2}{k^2}} \cdot \frac{1}{k^2} \cdot \frac{\log(1 + \frac{x^2}{2})}{\frac{x^2}{2}} \cdot \frac{1}{2}} = 8$। सीमाओं का मान रखने पर: $\frac{1^4}{1 \cdot \frac{1}{k^2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}} = 8$। $\frac{1}{\frac{1}{2k^2}} = 2k^2 = 8$। $k^2 = 4$,जिससे $k = 2$ प्राप्त होता है (चूंकि $k > 0$)।

$k$ $(k > 0)$ का वह मान,जिसके लिए फलन $f(x) = \frac{(e^x - 1)^4}{\sin(\frac{x^2}{k^2}) \log(1 + \frac{x^2}{2})}$,जहाँ $x \neq 0$ और $f(0) = 8$,$x = 0$ पर संतत है,है

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यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{x^4 - 16}{x - 2}, & x \neq 2 \\ 16, & x = 2 \end{cases}$,तो:

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos Kx}{x \sin x}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ \frac{1}{2}, & \text{यदि } x=0 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

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