माना z = cos theta + i sin theta है। तब,theta | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $z = \cos 	heta + i \sin 	heta = e^{i 	heta}$।डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^{2m-1} = \cos((2m-1)	heta) + i \sin((2m-1)	het

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$\frac{1}{4 \sin 2^{\circ}}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $z = \cos 	heta + i \sin 	heta = e^{i 	heta}$।डी मॉइवर प्रमेय का उपयोग करते हुए,$z^{2m-1} = \cos((2m-1)	heta) + i \sin((2m-1)	heta)$।अतः,$	ext{Im}(z^{2m-1}) = \sin((2m-1)	heta)$।हमें $S = \sum_{m=1}^{15} \sin((2m-1)	heta) = \sin 	heta + \sin 3	heta + \sin 5	heta + \dots + \sin 29	heta$ की गणना करनी है।यह समांतर श्रेणी में साइन का योग है जहाँ प्रथम पद $a = 	heta$,सार्व अंतर $d = 2	heta$,और पदों की संख्या $n = 15$ है।योग के लिए सूत्र $S = \frac{\sin(n d / 2)}{\sin(d / 2)} \sin(a + (n-1)d / 2)$ है।मान रखने पर: $S = \frac{\sin(15 \cdot 2	heta / 2)}{\sin(2	heta / 2)} \sin(	heta + (15-1)2	heta / 2) = \frac{\sin(15	heta)}{\sin 	heta} \sin(	heta + 14	heta) = \frac{\sin^2(15	heta)}{\sin 	heta}$।$	heta = 2^{\circ}$ पर,$15	heta = 30^{\circ}$।$S = \frac{\sin^2(30^{\circ})}{\sin 2^{\circ}} = \frac{(1/2)^2}{\sin 2^{\circ}} = \frac{1/4}{\sin 2^{\circ}} = \frac{1}{4 \sin 2^{\circ}}$।

माना $z = \cos \theta + i \sin \theta$ है। तब,$\theta = 2^{\circ}$ पर $\sum_{m=1}^{15} \text{Im}(z^{2m-1})$ का मान क्या है?

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