f(x) = sin x + cos x, g(x) = x^2 - 1 है,तो g( | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $f(x) = \sin x + \cos x$ और $g(x) = x^2 - 1$ है। $g(f(x)) = g(\sin x + \cos x) = (\sin x + \cos x)^2 - 1$. $= \sin^2 x + \cos^2 x +

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$-\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $f(x) = \sin x + \cos x$ और $g(x) = x^2 - 1$ है। $g(f(x)) = g(\sin x + \cos x) = (\sin x + \cos x)^2 - 1$. $= \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x - 1$. $= 1 + \sin 2x - 1 = \sin 2x$. किसी फलन के व्युत्क्रमणीय होने के लिए,उसे दिए गए प्रांत में एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) होना चाहिए। फलन $h(x) = \sin 2x$ उस अंतराल में एकैकी है जहाँ उसका कोण $2x$,$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ के बीच स्थित हो। अतः,$-\frac{\pi}{2} \leq 2x \leq \frac{\pi}{2}$. $2$ से विभाजित करने पर,हमें $-\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है। इसलिए,फलन अंतराल $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ में व्युत्क्रमणीय है।

$f(x) = \sin x + \cos x, g(x) = x^2 - 1$ है,तो $g(f(x))$ किस अंतराल में व्युत्क्रमणीय (invertible) है?

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मान लीजिए $f(x) = \sin x + \cos x$ और $g(x) = x^2 - 1$ है। तब $g(f(x))$ किस $x \in $ के लिए व्युत्क्रमणीय (invertible) है?

मान लीजिए $f(x)=(x+1)^2-1$,जहाँ $x \geq -1$ है।
कथन-$1$: $S=\{x:f(x)=f^{-1}(x)\}=\{0, -1\}$
कथन-$2$: $f$ एक बाइजेक्शन (एकैकी और आच्छादक) है।

मान लीजिए कि फलन $f$ को $f(x) = \frac{2x + 1}{1 - 3x}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $f^{-1}(x)$ है

यदि फलन $f$ और $g$ को $x \in R$ के लिए $f(x) = 3x - 4$ और $g(x) = 2 + 3x$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $g^{-1}(f^{-1}(5))$ का मान ज्ञात कीजिए।

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