$(1-i)^{\frac{2}{5}}$ के सभी मानों का गुणनफल क्या है?

$\alpha, \beta$ समीकरण $x^2+2x+4=0$ के मूल हैं। यदि आर्गंड आरेख में $\alpha$ को दर्शाने वाला बिंदु दूसरे चतुर्थांश में स्थित है और $\alpha^{2024}-\beta^{2024}=ik, (i=\sqrt{-1})$ है,तो $k=$

यदि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,तो $\sin \left\{\left(\omega^{10}+\omega^{23}\right) \pi-\frac{\pi}{4}\right\}=$

यदि $2 \alpha = -1 - i \sqrt{3}$ और $2 \beta = -1 + i \sqrt{3}$ है,तो $5 \alpha^4 + 5 \beta^4 + 7 \alpha^{-1} \beta^{-1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\omega \neq 1$ इकाई का घनमूल है,तो श्रेणी $S = 1 + 2\omega + 3\omega^2 + \dots + 3n\omega^{3n-1}$ का योग क्या है?

जब $n=8$ हो,तब $(\sqrt{3}+i)^n+(\sqrt{3}-i)^n=$