જો ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ પરના બિંદુઓ $A(\alpha)$ અને $B(\beta)$ ને જોડતી રેખા નાભિસ્થ જીવા (focal chord) હોય,તો $\cot \frac{\alpha}{2} \cdot \cot \frac{\beta}{2}$ ની એક શક્ય કિંમત કઈ છે?

ધારો કે $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b)$ એક ઉપવલય છે જેની નાભિલંબની લંબાઈ $10$ છે. જો તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ વિધેય $\phi(t) = \frac{5}{12} + t - t^{2}$ ની મહત્તમ કિંમત હોય,તો $a^{2} + b^{2}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $P$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ પરનું કોઈ પણ બિંદુ છે,જ્યાં $a > b > 0$. ધારો કે $F_1$ અને $F_2$ એ ઉપવલયના નાભિઓ છે. જ્યારે $P$ ઉપવલય પર ગતિ કરે ત્યારે $\triangle P F_1 F_2$ ના મધ્યકેન્દ્રનો બિંદુપથ શું હશે?

જો ઉપવલય $x^2+2y^2=2$ ને સ્પર્શકો દોરવામાં આવે,તો તે સ્પર્શકો દ્વારા યામ અક્ષો વચ્ચે બનતા અંતઃખંડોના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શું છે?

આપેલ ઉપવલય $(E) 4x^2 + 9y^2 - 36 = 0$,વર્તુળ $(C) x^2 + y^2 - 9 = 0$ અને બે બિંદુઓ $A(1, 2), B(2, 1)$ માટે,નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ઉપવલય $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{49} = 1$ ના નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.