જો બે નિષ્પક્ષ છ-બાજુવાળા પાસાઓને એકસાથે ફેંકવામાં આવે જ્યાં સુધી $7$ અથવા $11$ નો સરવાળો ન મળે,તો $11$ પહેલા $7$ આવવાની સંભાવના કેટલી છે?

જો $A, B$ અને $C$ ત્રણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ એવી રીતે હોય કે $P(A)=P(B)=P(C)=P$, તો $P$ ($A, B$ અને $C$ માંથી ઓછામાં ઓછી બે ઘટનાઓ બને) બરાબર છે

$A$ અને $B$ વારાફરતી પાસાની એક જોડી ફેંકે છે અને તેઓ પાસા પર આવતી સંખ્યાઓનો સરવાળો નોંધે છે. જો $A$,$B$ ના $7$ ફેંકતા પહેલા $6$ ફેંકે તો $A$ જીતે છે,અને જો $B$,$A$ ના $6$ ફેંકતા પહેલા $7$ ફેંકે તો $B$ જીતે છે. જો $A$ શરૂઆત કરે,તો $A$ ના જીતવાની સંભાવના કેટલી?

ત્રણ વિદ્યાર્થીઓ $S_1, S_2$ અને $S_3$ ને ઉકેલવા માટે એક સમસ્યા આપવામાં આવી છે. નીચેની ઘટનાઓ ધ્યાનમાં લો:
$U:$ $S_1, S_2$ અને $S_3$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક વિદ્યાર્થી સમસ્યા ઉકેલી શકે છે,
$V: S_1$ સમસ્યા ઉકેલી શકે છે,આપેલ છે કે $S_2$ કે $S_3$ માંથી કોઈ પણ સમસ્યા ઉકેલી શકતું નથી,
$W: S_2$ સમસ્યા ઉકેલી શકે છે અને $S_3$ સમસ્યા ઉકેલી શકતું નથી,
$T: S_3$ સમસ્યા ઉકેલી શકે છે.
કોઈપણ ઘટના $E$ માટે,$P(E)$ એ $E$ ની સંભાવના દર્શાવે છે.
જો $P(U)=\frac{1}{2}, P(V)=\frac{1}{10}$ અને $P(W)=\frac{1}{12}$ હોય,તો $P(T)$ ની કિંમત શોધો.

ત્રણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ $E_1, E_2$ અને $E_3$ માટે,માત્ર $E_1$ બને તેની સંભાવના $\alpha$ છે,માત્ર $E_2$ બને તેની સંભાવના $\beta$ છે અને માત્ર $E_3$ બને તેની સંભાવના $\gamma$ છે. ધારો કે $E_1, E_2$ અથવા $E_3$ માંથી કોઈ પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના $p$ એ સમીકરણો $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ અને $(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ નું સમાધાન કરે છે. બધી આપેલી સંભાવનાઓ અંતરાલ $(0, 1)$ માં છે તેમ માની લો. તો $\frac{\text{Probability of occurrence of } E_1}{\text{Probability of occurrence of } E_3} = $

ધારો કે $A$ અને $B$ બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે જેથી $P(B) > P(A)$. જો $A$ અને $B$ બંને બને તેની સંભાવના $\frac{1}{12}$ હોય અને $A$ કે $B$ બંનેમાંથી એક પણ ન બને તેની સંભાવના $\frac{1}{2}$ હોય,તો: