$P$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરનું એક ચલ બિંદુ છે,જેના નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ છે. જો $A$ એ ત્રિકોણ $P F_1 F_2$ નું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $A$ ની મહત્તમ કિંમત કેટલી થાય?

ઉપવલય $3x^2 + 5y^2 = 32$ ના બિંદુ $P(2, 2)$ આગળના સ્પર્શક અને અભિલંબ $x$-અક્ષને અનુક્રમે $Q$ અને $R$ માં મળે છે. તો ત્રિકોણ $PQR$ નું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો.

જે ઉપવલયની નાભિઓ $(-1, 0)$ અને $(7, 0)$ અને ઉત્કેન્દ્રતા $1/2$ હોય,તે ઉપવલય પરના બિંદુનું પ્રચલ સ્વરૂપ :

ઉપવલય $x^{2} + 2y^{2} = 2$ ના કોઈ પણ સ્પર્શકનો અક્ષો વચ્ચે કપાયેલ અંત:ખંડના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ મેળવો.

શંકુ $16x^2 + 7y^2 = 112$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

ગ્રહ $M$ તેના સૂર્ય $S$ ની આસપાસ લંબગોળ કક્ષામાં ફરે છે,જેમાં સૂર્ય એક નાભિ પર છે. જ્યારે $M$ એ $S$ ની સૌથી નજીક હોય છે,ત્યારે તે $2$ એકમ દૂર હોય છે. જ્યારે $M$ એ $S$ થી સૌથી દૂર હોય છે,ત્યારે તે $18$ એકમ દૂર હોય છે. જો $S$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર હોય અને બીજી નાભિ ઋણ $y$-અક્ષ પર હોય,તો ગ્રહ $M$ ની લંબગોળ કક્ષાનું સમીકરણ શોધો.