અતિવલય $16x^2 - 25y^2 - 96x + 100y - 356 = 0$ ને સ્પર્શકનું સમીકરણ જે તેની અનુપ્રસ્થ અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે તે શોધો.

જો $(\alpha, -1)$ એ વક્ર $4x^2 - 3y^2 = 1$ નું અંદરનું બિંદુ હોય,તો $\alpha$ કયા અંતરાલમાં હશે?

ધારો કે પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં અતિવલયની અનુપ્રસ્થ અને સંયુગ્મી અક્ષની લંબાઈ અનુક્રમે $2a$ અને $2b$ છે,અને આ અતિવલયનું એક નાભિ અને અનુરૂપ નિયામિકા અનુક્રમે $(-5, 0)$ અને $5x + 9 = 0$ છે. જો અતિવલય પરના બિંદુ $(\alpha, 2\sqrt{5})$ ના નાભિ અંતરોનો ગુણાકાર $p$ હોય,તો $4p$ ની કિંમત . . . . . . છે.

અતિવલય $3x^2 - 4y^2 = 32$ ની અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ કેટલી છે?

ધારો કે $H : \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$,$a > 0, b > 0$,એક અતિવલય છે કે જેથી તેના મુખ્ય અક્ષ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈનો સરવાળો $4(2\sqrt{2}+\sqrt{14})$ છે. જો $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{\sqrt{11}}{2}$ હોય,તો $a^{2}+b^{2}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે અતિવલય $H$ ના નાભિઓ ઉપવલય $E: \frac{(x-1)^2}{100}+\frac{(y-1)^2}{75}=1$ ના નાભિઓ સાથે સંપાતી છે અને અતિવલય $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ ઉપવલય $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો વ્યસ્ત છે. જો $H$ ની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $\alpha$ હોય અને તેની ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $\beta$ હોય,તો $3 \alpha^2+2 \beta^2$ ની કિંમત શોધો: