AP EAMCET 2008 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया है,$x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}} \right)$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 = \frac{1}{4} \left( 7 + \frac{1}{7} + 2 \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{64}{7} \right) = \frac{16}{7}$.
अब,$x^2 - 1 = \frac{16}{7} - 1 = \frac{9}{7}$,इसलिए $\sqrt{x^2 - 1} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
इन मानों को $\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$ में रखने पर:
$= \frac{\frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}} \right) - \frac{3}{\sqrt{7}}}$
$= \frac{\frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{4}{\sqrt{7}} - \frac{3}{\sqrt{7}}} = \frac{\frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{1}{\sqrt{7}}} = 3$.

(D) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों के $m:n$ अनुपात में होने की शर्त $mnb^2 = ac(m+n)^2$ है।
$(i)$ यदि $\alpha = \beta$ है,तो अनुपात $1:1$ है। सूत्र में $m=1, n=1$ रखने पर: $(1)(1)b^2 = ac(1+1)^2 \Rightarrow b^2 = 4ac$. यह $(E)$ से मेल खाता है।
$(ii)$ यदि $\alpha = 2\beta$ है,तो अनुपात $2:1$ है। $m=2, n=1$ रखने पर: $(2)(1)b^2 = ac(2+1)^2 \Rightarrow 2b^2 = 9ac$. यह $(B)$ से मेल खाता है।
$(iii)$ यदि $\alpha = 3\beta$ है,तो अनुपात $3:1$ है। $m=3, n=1$ रखने पर: $(3)(1)b^2 = ac(3+1)^2 \Rightarrow 3b^2 = 16ac$. यह $(D)$ से मेल खाता है।
$(iv)$ यदि $\alpha = \beta^2$ है,तो $\alpha + \beta = -b/a$ और $\alpha\beta = c/a$. $\alpha = \beta^2$ रखने पर,हमें $\beta^2 + \beta = -b/a$ और $\beta^3 = c/a$ प्राप्त होता है। अतः $\beta = (c/a)^{1/3}$. इसे $\beta^2 + \beta = -b/a$ में रखने पर: $(c/a)^{2/3} + (c/a)^{1/3} = -b/a$. $a$ से गुणा करने पर: $a(c/a)^{2/3} + a(c/a)^{1/3} = -b \Rightarrow (ac^2)^{1/3} + (a^2c)^{1/3} + b = 0$. यह $(A)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(i)-E, (ii)-B, (iii)-D, (iv)-A$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{x^2+x+1}{x^2+2x+1} = A + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$
दोनों पक्षों को $(x+1)^2$ से गुणा करने पर:
$x^2+x+1 = A(x+1)^2 + B(x+1) + C$
$x^2+x+1 = A(x^2+2x+1) + Bx + B + C$
$x^2+x+1 = Ax^2 + (2A+B)x + (A+B+C)$
$x^2$,$x$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A = 1$
$2A+B = 1$ $\Rightarrow 2(1)+B = 1$ $\Rightarrow B = -1$
$A+B+C = 1$ $\Rightarrow 1-1+C = 1$ $\Rightarrow C = 1$
अब,$A-B$ का मान ज्ञात करने पर:
$A-B = 1 - (-1) = 2$
चूँकि $C = 1$,इसलिए $2 = 2C$।
अतः,$A-B = 2C$।

(D) माना दिए गए समीकरण $x^3+2x^2-4x+1=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
हम वह समीकरण ज्ञात करना चाहते हैं जिसके मूल $3\alpha, 3\beta, 3\gamma$ हैं।
माना $y = 3x$,जिसका अर्थ है $x = \frac{y}{3}$।
मूल समीकरण में $x = \frac{y}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{y}{3})^3 + 2(\frac{y}{3})^2 - 4(\frac{y}{3}) + 1 = 0$
$\frac{y^3}{27} + \frac{2y^2}{9} - \frac{4y}{3} + 1 = 0$
पूरे समीकरण को $27$ से गुणा करने पर:
$y^3 + 6y^2 - 36y + 27 = 0$
$y$ को $x$ से बदलने पर,अभीष्ट समीकरण $x^3+6x^2-36x+27=0$ है।

(D) माना समीकरण $x^3+x+1=0$ के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। माना $S_n = \alpha^n + \beta^n + \gamma^n$ है।
न्यूटन के योग सूत्र के अनुसार,$x^3+p_1x^2+p_2x+p_3=0$ के लिए,जहाँ $p_1=0, p_2=1, p_3=1$ है:
$S_1 + p_1 = 0$ $\Rightarrow S_1 + 0 = 0$ $\Rightarrow S_1 = 0$.
$S_2 + p_1S_1 + 2p_2 = 0$ $\Rightarrow S_2 + 0(0) + 2(1) = 0$ $\Rightarrow S_2 = -2$.
$S_3 + p_1S_2 + p_2S_1 + 3p_3 = 0$ $\Rightarrow S_3 + 0(-2) + 1(0) + 3(1) = 0$ $\Rightarrow S_3 = -3$.
$S_4 + p_1S_3 + p_2S_2 + p_3S_1 = 0 \Rightarrow S_4 + 0(-3) + 1(-2) + 1(0) = 0$.
$S_4 - 2 = 0 \Rightarrow S_4 = 2$.

(A) दिया गया है,$\arg \left(\frac{z-2}{z-6i}\right) = \frac{\pi}{2}$.
माना $z = x + iy$.
यह समीकरण उन बिंदुओं का बिंदुपथ है जो $A(2, 0)$ और $B(0, 6)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर $\frac{\pi}{2}$ का कोण बनाते हैं।
$\arg(z-2) - \arg(z-6i) = \frac{\pi}{2}$.
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x-2}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{y-6}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$.
चूँकि $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $1+AB = 0$ होगा।
$1 + \left(\frac{y}{x-2}\right)\left(\frac{y-6}{x}\right) = 0$.
$x(x-2) + y(y-6) = 0$.
$x^2 - 2x + y^2 - 6y = 0$.
यह एक वृत्त का समीकरण है।

(C) दी गई सम्मिश्र संख्याएँ $z_1 = 1+4i, z_2 = 3+i, z_3 = 1-i, z_4 = 2-3i$ हैं।
सम्मिश्र संख्या $z = a+bi$ का मापांक $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मापांकों की गणना:
$m_1 = |1+4i| = \sqrt{1^2+4^2} = \sqrt{17}$
$m_2 = |3+i| = \sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10}$
$m_3 = |1-i| = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$
$m_4 = |2-3i| = \sqrt{2^2+(-3)^2} = \sqrt{13}$
मानों की तुलना करने पर: $\sqrt{2} < \sqrt{10} < \sqrt{13} < \sqrt{17}$
अतः,$m_3 < m_2 < m_4 < m_1$।

(A) दिया गया है कि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
$\omega$ की घातों को सरल करने पर:
$\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = \omega$
$\omega^{23} = (\omega^3)^7 \cdot \omega^2 = \omega^2$
व्यंजक में मान रखने पर:
$\sin \left\{(\omega + \omega^2) \pi - \frac{\pi}{4}\right\}$
चूंकि $\omega + \omega^2 = -1$,इसलिए:
$\sin \left\{-\pi - \frac{\pi}{4}\right\} = \sin \left(-\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right)\right) = -(-\sin \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(C) हमें योग $S = \sum_{k=1}^n k(k+2)$ का मूल्यांकन करना है।
योग के अंदर के पद का विस्तार करने पर,हमें $k^2 + 2k$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = \sum_{k=1}^n (k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^n k^2 + 2 \sum_{k=1}^n k$.
मानक योग सूत्रों $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.
$S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1)$.
$\frac{n(n+1)}{6}$ को कॉमन लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S = \frac{n(n+1)}{6} [ (2n+1) + 6 ]$.
$S = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$.

(D) दिया गया योग $S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k !} \left(\sum_{n=1}^k 2^{n-1}\right)$ है।
कोष्ठक के अंदर,हमारे पास $a=1$,$r=2$ और $k$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,इसलिए $\sum_{n=1}^k 2^{n-1} = \frac{1(2^k-1)}{2-1} = 2^k-1$ है।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,$S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k-1}{k !}$ प्राप्त होता है।
इसे दो योगों में विभाजित किया जा सकता है: $S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k !} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k !}$।
हम जानते हैं कि $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k !} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k !}$,इसलिए $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k !} = e^x - 1$ है।
पहले योग के लिए,$x=2$,इसलिए $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k !} = e^2 - 1$ है।
दूसरे योग के लिए,$x=1$,इसलिए $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1^k}{k !} = e^1 - 1 = e - 1$ है।
अतः,$S = (e^2 - 1) - (e - 1) = e^2 - e$।

(B) माना $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2n+1)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{n(2n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{2}{2n+1}$.
अतः,$S = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{2}{2n+1} \right) = \left( 1 - \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{5} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{7} \right) + \dots$
$S = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \dots$
$\log_e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$ श्रेणी का उपयोग करते हुए,$x=1$ के लिए $\log_e 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$.
अतः,$S = 1 - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots) = 1 - (1 - \log_e 2) = 2 - \log_e 2$.

(B) दिया गया समीकरण: $\tan \theta + \tan \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) + \tan \left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) = 3$.
सर्वसमिका $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करके पदों का विस्तार करने पर:
$\tan \theta + \frac{\tan \theta + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \tan \theta} + \frac{\tan \theta - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3} \tan \theta} = 3$.
भिन्नों को जोड़ने पर:
$\tan \theta + \frac{8 \tan \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta} = 3$.
$\frac{9 \tan \theta - 3 \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta} = 3$.
$3 \left( \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta} \right) = 3$.
चूंकि $\tan 3\theta = \frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3 \tan^2 \theta}$,इसलिए $3 \tan 3\theta = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan 3\theta = 1$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) दिया गया समीकरण $3x^2 + 3y^2 + 2xy = 2 \dots (i)$ है।
जब निर्देशांक अक्षों को $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर घुमाया जाता है,तो रूपांतरण समीकरण हैं:
$x = \frac{X - Y}{\sqrt{2}}$ और $y = \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$3\left(\frac{X - Y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 3\left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2\left(\frac{X - Y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}}\right) = 2$
$\frac{3}{2}(X^2 - 2XY + Y^2) + \frac{3}{2}(X^2 + 2XY + Y^2) + (X^2 - Y^2) = 2$
$3X^2 + 3Y^2 + X^2 - Y^2 = 2$
$4X^2 + 2Y^2 = 2$
$2$ से भाग देने पर,$2X^2 + Y^2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,रूपांतरित समीकरण $2x^2 + y^2 = 1$ है।

(B) दिया गया है कि $l, m, n$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
अतः,$2m = l + n$।
रेखा का समीकरण $lx + my + n = 0$ है।
हम बिंदु $(1, -2)$ को समीकरण में रखते हैं:
$l(1) + m(-2) + n = 0$
$l - 2m + n = 0$
$l + n = 2m$
चूंकि यह $l, m, n$ के समांतर श्रेणी में होने की शर्त को संतुष्ट करता है,इसलिए रेखा सदैव बिंदु $(1, -2)$ से होकर गुजरेगी।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) मान लीजिए कि दो लंबवत रेखाएं निर्देशांक अक्ष $x = 0$ और $y = 0$ हैं।
बिंदु $P(x, y)$ की रेखा $x = 0$ से दूरी $|x|$ है और रेखा $y = 0$ से दूरी $|y|$ है।
प्रश्न के अनुसार,$|x| + |y| = 1$ है।
यह समीकरण चार चतुर्थांशों में चार रेखाखंडों को दर्शाता है:
$1$) $x + y = 1$ जहाँ $x > 0, y > 0$
$2$) $-x + y = 1$ जहाँ $x < 0, y > 0$
$3$) $-x - y = 1$ जहाँ $x < 0, y < 0$
$4$) $x - y = 1$ जहाँ $x > 0, y < 0$
ये चार रेखाखंड $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ और $(0, -1)$ शीर्षों वाला एक वर्ग बनाते हैं।
एक वर्ग एक विशेष प्रकार का समचतुर्भुज होता है। अतः,$P$ का बिंदुपथ एक समचतुर्भुज है।

(A) दिए गए वक्रों $x^2+y^2=4$ और $x+y=a$ को समघात बनाने के लिए,हम रेखाओं के युग्म का समीकरण इस प्रकार लिखते हैं:
$x^2+y^2-4\left(\frac{x+y}{a}\right)^2=0$
$a^2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a^2(x^2+y^2)-4(x^2+y^2+2xy)=0$
$(a^2-4)x^2-8xy+(a^2-4)y^2=0$
चूंकि यह लंबवत सरल रेखाओं का एक युग्म है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(a^2-4)+(a^2-4)=0$
$2a^2-8=0$
$a^2=4$
$a=\pm 2$
अतः,$a$ का आवश्यक समुच्चय $\{-2, 2\}$ है।

(C) दिया गया समीकरण $\lambda x^2-10 x y+12 y^2+5 x-16 y-3=0$ है।
इसे व्यापक द्विघात समीकरण $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ से तुलना करने पर:
$a=\lambda, h=-5, b=12, g=\frac{5}{2}, f=-8, c=-3$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म को निरूपित करने की शर्त $abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0$ है।
मान रखने पर:
$\lambda(12)(-3) + 2(-8)(\frac{5}{2})(-5) - \lambda(-8)^2 - 12(\frac{5}{2})^2 - (-3)(-5)^2 = 0$.
$-36\lambda + 200 - 64\lambda - 75 + 75 = 0$.
$-100\lambda + 200 = 0$.
$100\lambda = 200$.
$\lambda = 2$.

(B) दी गई श्रेणी $\alpha = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{5 \times 7 \times \ldots \times (2k+1)}{k! \times 3^{k-1}}$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करने पर,$(\alpha+2)^2 = 27$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^2 + 4\alpha + 4 = 27$.
इस प्रकार,$\alpha^2 + 4\alpha = 23$।

(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।
दिया गया है कि $AB, BC, CA$ के मध्य बिंदु क्रमशः $(l, 0, 0), (0, m, 0), (0, 0, n)$ हैं।
मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$x_1+x_2=2l, y_1+y_2=0, z_1+z_2=0$
$x_2+x_3=0, y_2+y_3=2m, z_2+z_3=0$
$x_1+x_3=0, y_1+y_3=0, z_1+z_3=2n$
इन समीकरणों को हल करने पर:
$x$ के लिए: $x_1+x_2=2l, x_2+x_3=0, x_1+x_3=0 \implies x_1=l, x_2=l, x_3=-l$
$y$ के लिए: $y_1+y_2=0, y_2+y_3=2m, y_1+y_3=0 \implies y_1=-m, y_2=m, y_3=m$
$z$ के लिए: $z_1+z_2=0, z_2+z_3=0, z_1+z_3=2n \implies z_1=n, z_2=-n, z_3=n$
अतः,शीर्ष $A(l, -m, n), B(l, m, -n), C(-l, m, n)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई का वर्ग ज्ञात करने पर:
$AB^2 = (l-l)^2 + (m-(-m))^2 + (-n-n)^2 = 0 + (2m)^2 + (-2n)^2 = 4m^2 + 4n^2$
$BC^2 = (-l-l)^2 + (m-m)^2 + (n-(-n))^2 = (-2l)^2 + 0 + (2n)^2 = 4l^2 + 4n^2$
$CA^2 = (l-(-l))^2 + (-m-m)^2 + (n-n)^2 = (2l)^2 + (-2m)^2 + 0 = 4l^2 + 4m^2$
इनका योग करने पर:
$AB^2+BC^2+CA^2 = (4m^2+4n^2) + (4l^2+4n^2) + (4l^2+4m^2) = 8(l^2+m^2+n^2)$
इसलिए,$\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{l^2+m^2+n^2} = \frac{8(l^2+m^2+n^2)}{l^2+m^2+n^2} = 8$.

(A) दिया गया है कि $E_k = \{(a, b) \in S : ab = k\}$ जहाँ $k \geq 1$ और $p_k = P(E_k)$ है।
प्रतिदर्श समष्टि $S$ में कुल $6 \times 6 = 36$ परिणाम हैं,इसलिए प्रायिकता $p_k = \frac{|E_k|}{36}$ द्वारा दी जाती है।
$k=1$ के लिए: $E_1 = \{(1, 1)\}$,इसलिए $|E_1| = 1$ और $p_1 = \frac{1}{36}$।
$k=2$ के लिए: $E_2 = \{(1, 2), (2, 1)\}$,इसलिए $|E_2| = 2$ और $p_2 = \frac{2}{36}$।
$k=4$ के लिए: $E_4 = \{(1, 4), (4, 1), (2, 2)\}$,इसलिए $|E_4| = 3$ और $p_4 = \frac{3}{36}$।
$k=6$ के लिए: $E_6 = \{(1, 6), (6, 1), (2, 3), (3, 2)\}$,इसलिए $|E_6| = 4$ और $p_6 = \frac{4}{36}$।
$k=30$ के लिए: $E_{30} = \{(5, 6), (6, 5)\}$,इसलिए $|E_{30}| = 2$ और $p_{30} = \frac{2}{36}$।
मानों की तुलना करने पर: $p_1 = \frac{1}{36}$,$p_{30} = \frac{2}{36}$,$p_4 = \frac{3}{36}$,$p_6 = \frac{4}{36}$।
अतः,$p_1 < p_{30} < p_4 < p_6$।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है,$\alpha+\beta=-2$ और $\alpha^3+\beta^3=-56$.
हम जानते हैं कि $\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)(\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta) = -56$.
$\alpha+\beta = -2$ प्रतिस्थापित करने पर,$-2(\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta) = -56$,जिसका अर्थ है $\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta = 28$.
साथ ही,$(\alpha+\beta)^2 = \alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta = (-2)^2 = 4$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(\alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta) - (\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta) = 4 - 28$.
$3\alpha\beta = -24$,अतः $\alpha\beta = -8$.
$\alpha$ और $\beta$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = 0$ है।
मान रखने पर,$x^2 - (-2)x + (-8) = 0$,जो सरल होकर $x^2+2x-8=0$ हो जाता है।

(D) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों के $m:n$ के अनुपात में होने की शर्त $mnb^2 = ac(m+n)^2$ है।
$(i)$ यदि $\alpha = \beta$ है,तो अनुपात $1:1$ है। सूत्र में $m=1, n=1$ रखने पर: $(1)(1)b^2 = ac(1+1)^2 \Rightarrow b^2 = 4ac$. यह $(E)$ से मेल खाता है।
$(ii)$ यदि $\alpha = 2\beta$ है,तो अनुपात $2:1$ है। $m=2, n=1$ रखने पर: $(2)(1)b^2 = ac(2+1)^2 \Rightarrow 2b^2 = 9ac$. यह $(B)$ से मेल खाता है।
$(iii)$ यदि $\alpha = 3\beta$ है,तो अनुपात $3:1$ है। $m=3, n=1$ रखने पर: $(3)(1)b^2 = ac(3+1)^2 \Rightarrow 3b^2 = 16ac$. यह $(D)$ से मेल खाता है।
$(iv)$ यदि $\alpha = \beta^2$ है,तो $\alpha + \beta = -b/a$ और $\alpha\beta = c/a$. $\alpha = \beta^2$ रखने पर,हमें $\beta^2 + \beta = -b/a$ और $\beta^3 = c/a$ प्राप्त होता है। अतः $\beta = (c/a)^{1/3}$. इस मान को योग के समीकरण में रखने पर: $(c/a)^{2/3} + (c/a)^{1/3} = -b/a$. $a$ से गुणा करने पर: $(ac^2)^{1/3} + (a^2c)^{1/3} + b = 0$. यह $(A)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $i-E, ii-B, iii-D, iv-A$ है।

(C) माना $z_1 = 1+4i, z_2 = 3+i, z_3 = 1-i$ और $z_4 = 2-3i$ है।
एक सम्मिश्र संख्या $z = a+bi$ का मापांक $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मापांकों की गणना करने पर:
$m_1 = |1+4i| = \sqrt{1^2+4^2} = \sqrt{17}$
$m_2 = |3+i| = \sqrt{3^2+1^2} = \sqrt{10}$
$m_3 = |1-i| = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$
$m_4 = |2-3i| = \sqrt{2^2+(-3)^2} = \sqrt{13}$
मानों की तुलना करने पर: $\sqrt{2} < \sqrt{10} < \sqrt{13} < \sqrt{17}$,जिसका अर्थ है कि $m_3 < m_2 < m_4 < m_1$।

(B) दिया गया है,${}^n P_r = 30240$ और ${}^n C_r = 252$।
हम जानते हैं कि ${}^n P_r = {}^n C_r \times r!$।
मान रखने पर,$30240 = 252 \times r!$।
$r! = \frac{30240}{252} = 120$।
चूंकि $120 = 5!$,इसलिए $r = 5$ है।
अब,${}^n P_5 = \frac{n!}{(n-5)!} = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) = 30240$।
$n$ के मानों की जाँच करने पर,$10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 10$।
इसलिए,क्रमित युग्म $(10, 5)$ है।

(C) मान लीजिए $9$ बक्से $B_1, B_2, \dots, B_9$ हैं और $3$ छोटे बक्से $B_1, B_2, B_3$ हैं।
$5$ गेंदें इन $3$ छोटे बक्सों में नहीं आ सकतीं,इसलिए उन्हें शेष $6$ बक्सों में रखा जाना चाहिए।
इन $5$ गेंदों को $6$ बक्सों में व्यवस्थित करने के तरीके $^6P_5$ हैं।
शेष $4$ गेंदों को शेष $4$ बक्सों में व्यवस्थित करने के तरीके $4!$ हैं।
कुल व्यवस्था = $^6P_5 \times 4! = 720 \times 24 = 17280$.

(C) दिया गया है,$(1+x+x^2+x^3)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$
$\Rightarrow [(1+x)(1+x^2)]^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$
$\Rightarrow (1+x)^5 (1+x^2)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$
माना $f(x) = (1+x)^5 (1+x^2)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$ है।
हमें $\sum_{k=0}^7 a_{2k} = a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + a_{12} + a_{14}$ का मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि $a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{14} = \frac{f(1) + f(-1)}{2}$ होता है।
$f(1) = (1+1)^5 (1+1^2)^5 = 2^5 \times 2^5 = 2^{10} = 1024$
$f(-1) = (1-1)^5 (1+(-1)^2)^5 = 0^5 \times 2^5 = 0$
अतः,$\sum_{k=0}^7 a_{2k} = \frac{1024 + 0}{2} = 512$।

(C) दिया गया व्यंजक: $\sqrt{3} \operatorname{cosec} 20^{\circ} - \sec 20^{\circ}$
$= \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}} - \frac{1}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$= 2 \left( \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} \right)$
$= 2 \left( \frac{\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} \right)$
$= 2 \left( \frac{\sin(60^{\circ} - 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} \right)$
$= 2 \left( \frac{\sin 40^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}} \right)$
$= 2 \left( \frac{\sin 40^{\circ}}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}} \right)$
$= 2 \times 2 = 4$

(B) दिया गया है $\alpha+\beta+\gamma=2 \theta$,अतः $\theta = \frac{\alpha+\beta+\gamma}{2}$ है।
माना $S = \cos \theta + \cos (\theta-\alpha) + \cos (\theta-\beta) + \cos (\theta-\gamma)$ है।
सूत्र $\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$S = [\cos \theta + \cos (\theta-\alpha)] + [\cos (\theta-\beta) + \cos (\theta-\gamma)]$
$S = 2 \cos \frac{2\theta-\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + 2 \cos \frac{2\theta-\beta-\gamma}{2} \cos \frac{\beta-\gamma}{2}$
चूंकि $2\theta = \alpha+\beta+\gamma$,इसलिए $2\theta-\beta-\gamma = \alpha$ है।
$S = 2 \cos \frac{\beta+\gamma}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + 2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\gamma}{2}$
$S = 2 \cos \frac{\alpha}{2} [\cos \frac{\beta+\gamma}{2} + \cos \frac{\beta-\gamma}{2}]$
$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$S = 2 \cos \frac{\alpha}{2} [2 \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}]$
$S = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}$.

(B) दिया गया है कि,$A=35^{\circ}, B=15^{\circ}$ और $C=40^{\circ}$ है।
चूंकि $A+B+C = 35^{\circ} + 15^{\circ} + 40^{\circ} = 90^{\circ}$,इसलिए $\tan(A+B+C) = \tan(90^{\circ})$ जो अपरिभाषित है।
$\tan(A+B+C)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\tan(A+B+C) = \frac{\tan A + \tan B + \tan C - \tan A \tan B \tan C}{1 - (\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A)}$
इसके अपरिभाषित होने के लिए,हर (denominator) शून्य होना चाहिए:
$1 - (\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A) = 0$
अतः,$\tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A = 1$.

(B) दिया गया समीकरण है: $\cos 2x + 2 \cos^2 x = 2$
सर्वसमिका $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$(2 \cos^2 x - 1) + 2 \cos^2 x = 2$
$4 \cos^2 x = 3$
$\cos^2 x = \frac{3}{4}$
$\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
अतः,व्यापक हल $x = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$ है,जहाँ $n \in Z$ है।

(B) चूंकि अक्षों को $45^{\circ}$ के कोण पर घुमाया गया है,हम $(x, y)$ को $\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}, \frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
इन मानों को $3x^2 + 3y^2 + 2xy = 2$ में रखने पर:
$3\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 3\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right) = 2$
$\frac{3}{2}(x^2 + y^2 - 2xy) + \frac{3}{2}(x^2 + y^2 + 2xy) + \frac{2}{2}(x^2 - y^2) = 2$
$\frac{3}{2}(2x^2 + 2y^2) + (x^2 - y^2) = 2$
$3x^2 + 3y^2 + x^2 - y^2 = 2$
$4x^2 + 2y^2 = 2$
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $2x^2 + y^2 = 1$ प्राप्त होता है।

(B) चूँकि रेखाएँ $2x - 3y + k = 0$,$3x - 4y - 13 = 0$ और $8x - 11y - 33 = 0$ संगामी हैं,इसलिए उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 2 & -3 & k \\ 3 & -4 & -13 \\ 8 & -11 & -33 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(132 - 143) + 3(-99 + 104) + k(-33 + 32) = 0$
$2(-11) + 3(5) - k = 0$
$-22 + 15 - k = 0$
$-7 - k = 0$
$k = -7$

(C) चूँकि रेखाएँ $2x - 3y = 5$ और $3x - 4y = 7$ वृत्त के व्यास हैं,इसलिए उनका प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
समीकरणों को हल करने पर:
$2x - 3y = 5$ $(i)$
$3x - 4y = 7$ (ii)
समीकरण $(i)$ को $3$ से और (ii) को $2$ से गुणा करने पर:
$6x - 9y = 15$
$6x - 8y = 14$
घटाने पर $y = -1$ प्राप्त होता है।
$y = -1$ को $(i)$ में रखने पर: $2x - 3(-1) = 5$ $\Rightarrow 2x + 3 = 5$ $\Rightarrow x = 1$.
अतः,केंद्र $(1, -1)$ है और त्रिज्या $r = 7$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है:
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 49$
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 47 = 0$.

(A) बाह्य बिंदु $P(x_1, y_1)$ से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 2 \tan^{-1}\left(\frac{r}{\sqrt{S_1}}\right)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $S_1$ बिंदु की वृत्त के सापेक्ष शक्ति है।
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-5x+4y-2=0$ है,जिससे त्रिज्या $r = \sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 2^2 - (-2)} = \frac{7}{2}$ प्राप्त होती है।
बिंदु $(-1, 0)$ के लिए $S_1 = (-1)^2 + (0)^2 - 5(-1) + 4(0) - 2 = 4$ है।
अतः,$\theta = 2 \tan^{-1}\left(\frac{7/2}{\sqrt{4}}\right) = 2 \tan^{-1}\left(\frac{7}{4}\right)$।

(B) वृत्त का दिया गया ध्रुवीय समीकरण $r^2-8r(\sqrt{3} \cos \theta + \sin \theta) + 15 = 0$ है।
$r \cos \theta = x$ और $r \sin \theta = y$ प्रतिस्थापित करने पर,और यह देखते हुए कि $r^2 = x^2 + y^2$,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$x^2 + y^2 - 8(\sqrt{3}x + y) + 15 = 0$
$x^2 + y^2 - 8\sqrt{3}x - 8y + 15 = 0$।
इसे वृत्त के सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $g = -4\sqrt{3}$,$f = -4$,और $c = 15$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $R = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ द्वारा दी जाती है।
$R = \sqrt{(-4\sqrt{3})^2 + (-4)^2 - 15} = \sqrt{48 + 16 - 15} = \sqrt{49} = 7$।

(C) वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(1, 2)$ की ध्रुवीय रेखा (polar) का समीकरण $x + y - 1 = 0$ है।
बिंदु $(1, 2)$ से इस रेखा पर डाले गए लंब का पाद $(\alpha, \beta)$ ज्ञात करने पर:
$\frac{\alpha - 1}{1} = \frac{\beta - 2}{1} = -\frac{(1 + 2 - 1)}{1^2 + 1^2} = -1$.
अतः,$\alpha = 0$ और $\beta = 1$.
इसलिए,अभीष्ट बिंदु $(0, 1)$ है।

(D) दो रेखाओं $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ और $l_2x + m_2y + n_2 = 0$ के परवलय $y^2 = 4ax$ के सापेक्ष संयुग्मी होने की शर्त $l_1n_2 + l_2n_1 = 2am_1m_2$ है।
दी गई रेखाएँ $2x + 3y + 12 = 0$ और $x - y + 4\lambda = 0$ हैं और परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है,इसलिए $4a = 8$ अर्थात $a = 2$ है।
यहाँ,$l_1 = 2, m_1 = 3, n_1 = 12$ और $l_2 = 1, m_2 = -1, n_2 = 4\lambda$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2(4\lambda) + 1(12) = 2(2)(3)(-1)$
$8\lambda + 12 = -12$
$8\lambda = -24$
$\lambda = -3$.

(A) दिया गया है,उत्केंद्रता $e = \frac{1}{2}$,केंद्र $(0, 0)$ और नियता का समीकरण $x = \frac{a}{e} = 4$ है।
चूंकि $e = \frac{1}{2}$,हमारे पास $\frac{a}{1/2} = 4$ है,जिसका अर्थ है $a = 2$ है।
अब,$b^2 = a^2(1 - e^2) = 2^2(1 - (\frac{1}{2})^2) = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$ है।
मूल बिंदु पर केंद्र और $x$-अक्ष पर दीर्घ अक्ष वाले दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
$12$ से गुणा करने पर,हमें $3x^2 + 4y^2 = 12$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अतिपरवलय का समीकरण $x^2 - 3y^2 - 4x - 6y - 11 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x^2 - 4x) - 3(y^2 + 2y) = 11$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^2 - 4x + 4) - 3(y^2 + 2y + 1) = 11 + 4 - 3$.
$(x - 2)^2 - 3(y + 1)^2 = 12$.
$12$ से भाग देने पर: $\frac{(x - 2)^2}{12} - \frac{(y + 1)^2}{4} = 1$.
यहाँ,$a^2 = 12$ और $b^2 = 4$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{12}} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 2 \times \sqrt{12} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 2 \times 2\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 8$ है।

(C) दिया गया है कि $f(x) = [x-3] + |x-4|$.
$\lim_{x \rightarrow 3^{-}} f(x)$ ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए $x = 3 - h$,जहाँ $h \rightarrow 0$ और $h > 0$ है।
$\lim_{x \rightarrow 3^{-}} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} ([3 - h - 3] + |3 - h - 4|)$
$= \lim_{h \rightarrow 0} ([-h] + |-1 - h|)$
चूँकि $h$ एक बहुत छोटी धनात्मक संख्या है,$-h$ एक बहुत छोटी ऋणात्मक संख्या है,इसलिए $[-h] = -1$ होगा।
साथ ही,$|-1 - h| = |-(1 + h)| = 1 + h$ है।
अतः,$\lim_{h \rightarrow 0} (-1 + 1 + h) = 0$।

(A) हम सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-e^x) \sin x}{x^2+x^3}$
हर का गुणनखंड करने पर: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-e^x) \sin x}{x^2(1+x)}$
व्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{1-e^x}{x} \right) \times \left( \frac{\sin x}{x} \right) \times \left( \frac{1}{1+x} \right)$
मानक सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ का उपयोग करने पर:
व्यंजक का मान $(-1) \times (1) \times \left( \frac{1}{1+0} \right) = -1 \times 1 \times 1 = -1$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c} = \frac{3}{a+b+c}$
बाएँ पक्ष का लघुत्तम $(LCM)$ लेने पर: $\frac{(b+c) + (a+c)}{(a+c)(b+c)} = \frac{3}{a+b+c}$
$\Rightarrow \frac{a+b+2c}{ab + ac + bc + c^2} = \frac{3}{a+b+c}$
वज्र-गुणन करने पर: $(a+b+2c)(a+b+c) = 3(ab + ac + bc + c^2)$
$(a+b)^2 + c(a+b) + 2c(a+b) + 2c^2 = 3ab + 3ac + 3bc + 3c^2$
$a^2 + b^2 + 2ab + 3ac + 3bc + 2c^2 = 3ab + 3ac + 3bc + 3c^2$
$a^2 + b^2 - ab = c^2$
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
$a^2 + b^2 - ab = c^2$ की तुलना $a^2 + b^2 - 2ab \cos C = c^2$ से करने पर:
$ab = 2ab \cos C$
$\cos C = \frac{1}{2}$
अतः,$\angle C = 60^{\circ}$.

(B) कथन $(I)$ के लिए:
$b \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{B}{2} = b \cdot \frac{s(s-c)}{ab} + c \cdot \frac{s(s-b)}{ac} = \frac{s(s-c) + s(s-b)}{a} = \frac{s(2s - b - c)}{a} = \frac{s(a)}{a} = s$.
अतः,कथन $(I)$ सही है।
कथन $(II)$ के लिए:
दिया गया है $\cot \frac{A}{2} = \frac{b+c}{a}$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$\frac{b+c}{a} = \frac{\sin B + \sin C}{\sin A} = \frac{2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}$.
चूंकि $\frac{B+C}{2} = 90^{\circ} - \frac{A}{2}$,इसलिए $\sin \frac{B+C}{2} = \cos \frac{A}{2}$.
अतः,$\cot \frac{A}{2} = \frac{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} = \frac{\cos \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
यह दर्शाता है कि $\cos \frac{A}{2} = \cos \frac{B-C}{2}$,इसलिए $\frac{A}{2} = \frac{B-C}{2} \implies A = B - C \implies A+C = B$.
चूंकि $A+B+C = 180^{\circ}$,इसलिए $2B = 180^{\circ} \implies B = 90^{\circ}$.
प्रश्न में दिया गया कथन $\cot \frac{A}{2} = \frac{b+c}{2}$ है,जो विमीय रूप से गलत है क्योंकि हर (denominator) में $a$ होना चाहिए। इसलिए,कथन $(II)$ गलत है।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} = \frac{3}{a+b+c}$
बाएँ पक्ष का लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर: $\frac{(c+a) + (b+c)}{(b+c)(c+a)} = \frac{3}{a+b+c}$
$\frac{a+b+2c}{bc + ab + c^2 + ac} = \frac{3}{a+b+c}$
वज्र-गुणन करने पर: $(a+b+2c)(a+b+c) = 3(bc + ab + c^2 + ac)$
$(a+b)^2 + 3c(a+b) + 2c^2 = 3bc + 3ab + 3c^2 + 3ac$
$a^2 + b^2 + 2ab + 3ac + 3bc + 2c^2 = 3bc + 3ab + 3c^2 + 3ac$
समान पदों को घटाने पर: $a^2 + b^2 - c^2 = ab$
कोसाइन नियम के अनुसार: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$a^2 + b^2 - c^2 = ab$ रखने पर: $\cos C = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$
अतः,$\angle C = 60^{\circ}$।

(D) दिया गया है कि $r_1 = 2r_2 = 3r_3$.
सूत्र के अनुसार,$s-a = k, s-b = 2k, s-c = 3k$ लेने पर,
$s = 6k$.
अतः $a = 5k, b = 4k, c = 3k$.
अब,$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \frac{5}{4} + \frac{4}{3} + \frac{3}{5} = \frac{75+80+36}{60} = \frac{191}{60}$.

(D) दिया गया है $r_1=2 r_2=3 r_3$।
सूत्र $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{\Delta}{s-a} = \frac{2\Delta}{s-b} = \frac{3\Delta}{s-c}$
$\frac{1}{s-a} = \frac{2}{s-b}$ से,हमें $s-b = 2s-2a \Rightarrow s = 2a-b$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{s-a} = \frac{3}{s-c}$ से,हमें $s-c = 3s-3a \Rightarrow 2s = 3a-c$ प्राप्त होता है।
$s = \frac{a+b+c}{2}$ को इन समीकरणों में रखने पर:
$a+b+c = 4a-2b \Rightarrow 3a-3b = c$।
$a+b+c = 3a-c \Rightarrow 2a-b = 2c$।
अनुपात ज्ञात करने पर:
$3a-3b = c$ और $2a-b = 2c$ से,$2(3a-3b) = 2a-b$ $\Rightarrow 6a-6b = 2a-b$ $\Rightarrow 4a = 5b$ $\Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{5}{4}$।
तब $c = 3a-3b = 3a - 3(\frac{4a}{5}) = 3a - \frac{12a}{5} = \frac{3a}{5} \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{3}{5}$।
चूंकि $\frac{a}{b} = \frac{5}{4}$ और $\frac{c}{a} = \frac{3}{5}$,इसलिए $\frac{b}{c} = \frac{b}{a} \times \frac{a}{c} = \frac{4}{5} \times \frac{5}{3} = \frac{4}{3}$।
अंत में,$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} = \frac{5}{4} + \frac{4}{3} + \frac{3}{5} = \frac{75+80+36}{60} = \frac{191}{60}$।

(B) हम जानते हैं कि $\tanh \theta = \frac{\sinh \theta}{\cosh \theta}$ होता है।
$\theta = \frac{x}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\tanh \frac{x}{2} = \frac{\sinh \frac{x}{2}}{\cosh \frac{x}{2}}$ प्राप्त होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{1+\tanh \frac{x}{2}}{1-\tanh \frac{x}{2}} = \frac{1+\frac{\sinh \frac{x}{2}}{\cosh \frac{x}{2}}}{1-\frac{\sinh \frac{x}{2}}{\cosh \frac{x}{2}}}$
$= \frac{\cosh \frac{x}{2} + \sinh \frac{x}{2}}{\cosh \frac{x}{2} - \sinh \frac{x}{2}}$
परिभाषा $\cosh \theta = \frac{e^{\theta} + e^{-\theta}}{2}$ और $\sinh \theta = \frac{e^{\theta} - e^{-\theta}}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\cosh \frac{x}{2} + \sinh \frac{x}{2} = e^{x/2}$
$\cosh \frac{x}{2} - \sinh \frac{x}{2} = e^{-x/2}$
अतः,व्यंजक $\frac{e^{x/2}}{e^{-x/2}} = e^{x/2 - (-x/2)} = e^x$ हो जाता है।

(C) दिया गया है कि $\left(a+\frac{b}{10}\right)^x = \left(\frac{a}{10}+\frac{b}{100}\right)^y = 1000$ है।
ध्यान दें कि $\frac{a}{10} + \frac{b}{100} = \frac{1}{10} \left(a + \frac{b}{10}\right)$ है।
माना $k = a + \frac{b}{10}$ है। तब दिए गए समीकरण $k^x = 1000$ और $\left(\frac{k}{10}\right)^y = 1000$ हैं।
$k^x = 1000$ से,हमें $k = 1000^{1/x} = 10^{3/x}$ प्राप्त होता है।
$\left(\frac{k}{10}\right)^y = 1000$ से,हमें $\frac{k}{10} = 1000^{1/y} = 10^{3/y}$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 10 \cdot 10^{3/y} = 10^{1 + 3/y}$ है।
$k$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $10^{3/x} = 10^{1 + 3/y}$।
घातांकों की तुलना करने पर: $\frac{3}{x} = 1 + \frac{3}{y}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{3}{x} - \frac{3}{y} = 1$।
$3$ से भाग देने पर: $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$।

(A) माना $AB$ ऊँचाई $h$ की एक पहाड़ी है और $CD$ ऊँचाई $h^{\prime}$ का एक स्तंभ है।
माना $E$,$AB$ पर एक बिंदु है ताकि $ED$ क्षैतिज हो।
$\triangle EBD$ में,$\tan \alpha = \frac{BE}{ED} = \frac{h-h^{\prime}}{ED}$,इसलिए $ED = \frac{h-h^{\prime}}{\tan \alpha}$।
$\triangle ABC$ में,$\tan \beta = \frac{AB}{AC} = \frac{h}{ED}$,इसलिए $ED = \frac{h}{\tan \beta}$।
$ED$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{h-h^{\prime}}{\tan \alpha} = \frac{h}{\tan \beta}$
$h-h^{\prime} = \frac{h \tan \alpha}{\tan \beta}$
$h^{\prime} = h - \frac{h \tan \alpha}{\tan \beta} = h \left(1 - \frac{\tan \alpha}{\tan \beta}\right) = \frac{h(\tan \beta - \tan \alpha)}{\tan \beta}$।

(C) दिया गया है कि,$x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{7+1}{\sqrt{7}} \right) = \frac{4}{\sqrt{7}}$.
तब,$x^2 = \frac{16}{7}$.
अतः,$x^2 - 1 = \frac{16}{7} - 1 = \frac{9}{7}$.
इस प्रकार,$\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\frac{9}{7}} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}} = \frac{\frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{4}{\sqrt{7}} - \frac{3}{\sqrt{7}}} = \frac{\frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{1}{\sqrt{7}}} = 3$.

(D) दिया गया फलन $f(x) = e^{2ix} = \cos(2x) + i \sin(2x)$ है।
$f$ के एकैकी होने के लिए,$f(x_1) = f(x_2)$ का अर्थ $x_1 = x_2$ होना चाहिए। हालाँकि,$f(x + \pi) = e^{2i(x+\pi)} = e^{2ix} \cdot e^{2i\pi} = e^{2ix} \cdot 1 = f(x)$। चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = f(x+\pi)$ है,इसलिए फलन बहु-एक (many-one) है।
$f$ के आच्छादक होने के लिए,$f$ का परिसर उसके सह-प्रांत $C$ के बराबर होना चाहिए। $f(x) = \cos(2x) + i \sin(2x)$ का परिसर $1$ मापांक वाली सभी सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है,अर्थात ${z \in C : |z| = 1}$। चूँकि यह $C$ का एक उपसमुच्चय है और $C$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,$f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(C) दिया गया वक्र $y^4=a x^3$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$4 y^3 \frac{d y}{d x} = 3 a x^2$.
बिंदु $(a, a)$ पर स्पर्श रेखा (tangent) की ढाल:
$\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(a, a)} = \frac{3 a(a)^2}{4(a)^3} = \frac{3 a^3}{4 a^3} = \frac{3}{4}$.
अभिलंब की ढाल स्पर्श रेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है:
$m_{\text{normal}} = -\frac{1}{3/4} = -\frac{4}{3}$.
बिंदु $(a, a)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ के अनुसार:
$y - a = -\frac{4}{3}(x - a)$.
$3$ से गुणा करने पर: $3y - 3a = -4x + 4a$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $4x + 3y = 7a$.

(D) दिए गए वक्र $y^2=4x+4$ $(i)$ और $y^2=36(9-x)$ (ii) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2$ के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$4x+4 = 324-36x$
$40x = 320 \Rightarrow x=8$.
$x=8$ को $(i)$ में रखने पर,$y^2 = 4(8)+4 = 36 \Rightarrow y = \pm 6$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(8,6)$ और $(8,-6)$ हैं।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = 4 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$.
(ii) का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = -36 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-18}{y}$.
बिंदु $(8,6)$ पर:
$m_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ और $m_2 = \frac{-18}{6} = -3$.
चूंकि $m_1 \times m_2 = \frac{1}{3} \times (-3) = -1$,स्पर्श रेखाएं लंबवत हैं।
अतः,वक्रों के बीच का कोण $90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2}$ है।

(B) दिया गया वक्र समीकरण: $2y^4 = x^5$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$8y^3 \frac{dy}{dx} = 5x^4$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $(2, 2)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता (slope):
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, 2)} = \frac{5(2)^4}{8(2)^3} = \frac{5 \times 16}{8 \times 8} = \frac{80}{64} = \frac{5}{4}$ है।
अधःस्पर्शक की लंबाई का सूत्र $\left| \frac{y}{dy/dx} \right|$ होता है।
मान रखने पर:
अधःस्पर्शक की लंबाई $= \frac{2}{5/4} = 2 \times \frac{4}{5} = \frac{8}{5}$।

(D) दिया गया समाकलन: $\int e^x(1+x) \cdot \sec^2(x e^x) \, dx = f(x) + C$.
माना $t = x e^x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dt}{dx} = e^x + x e^x = e^x(1+x)$.
अतः,$dt = e^x(1+x) \, dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\int \sec^2(t) \, dt$.
$\sec^2(t)$ का समाकलन $\tan(t) + C$ होता है।
$t$ के स्थान पर $x e^x$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\tan(x e^x) + C$.
इसकी तुलना $f(x) + C$ से करने पर,$f(x) = \tan(x e^x)$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin |x| \, dx$.
चूंकि $f(x) = \sin |x|$ एक सम फलन है क्योंकि $f(-x) = \sin |-x| = \sin |x| = f(x)$,हम गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,$I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \sin |x| \, dx$.
अंतराल $[0, \pi / 2]$ के लिए,$|x| = x$,इसलिए $I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \sin x \, dx$.
समाकलन करने पर,$I = 2 [-\cos x]_{0}^{\pi / 2}$.
$I = 2 [-\cos(\pi / 2) - (-\cos(0))]$.
$I = 2 [0 - (-1)] = 2(1) = 2$.

(D) माना $I = \int_0^1 x^{3/2} \sqrt{1-x} \, dx$ है।
$x = \sin^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$ है,तो $\theta = 0$ और जब $x = 1$ है,तो $\theta = \frac{\pi}{2}$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_0^{\pi/2} (\sin^2 \theta)^{3/2} \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cdot (2 \sin \theta \cos \theta) \, d\theta$
$I = \int_0^{\pi/2} \sin^3 \theta \cdot \cos \theta \cdot 2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta$
$I = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^4 \theta \cos^2 \theta \, d\theta$
वालिस सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = 2 \cdot \left[ \frac{(3 \cdot 1) \cdot (1)}{(6 \cdot 4 \cdot 2)} \cdot \frac{\pi}{2} \right]$
$I = 2 \cdot \left[ \frac{3}{48} \cdot \frac{\pi}{2} \right] = \frac{\pi}{16}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x y^2 d y = (x^3 + y^3) d x$ है।
इसे $\frac{d y}{d x} = \frac{x^3 + y^3}{x y^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = v x$,तब $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v + x \frac{d v}{d x} = \frac{x^3 + v^3 x^3}{x(v x)^2} = \frac{x^3(1 + v^3)}{x^3 v^2} = \frac{1 + v^3}{v^2}$।
$x \frac{d v}{d x} = \frac{1 + v^3}{v^2} - v = \frac{1 + v^3 - v^3}{v^2} = \frac{1}{v^2}$।
चरों को अलग करने पर,हमें $v^2 d v = \frac{1}{x} d x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int v^2 d v = \int \frac{1}{x} d x$।
$\frac{v^3}{3} = \log |x| + C$।
चूंकि $\log |x| + C = \log |x| + \log c = \log |c x|$,इसलिए $\frac{v^3}{3} = \log |c x|$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर,हमें $\frac{1}{3} \left(\frac{y}{x}\right)^3 = \log |c x|$ प्राप्त होता है।
अतः,$y^3 = 3 x^3 \log |c x|$।

(B) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में है,जहाँ $P = -\tan x$ और $Q = e^x \sec x$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(IF)$ ज्ञात करते हैं:
$IF = e^{\int P dx} = e^{\int -\tan x dx} = e^{\ln(\cos x)} = \cos x$.
व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$y \cos x = \int (e^x \sec x) \cdot \cos x dx + c$.
चूंकि $\sec x \cdot \cos x = 1$,इसलिए:
$y \cos x = \int e^x dx + c$.
$y \cos x = e^x + c$.

(A) माना कि बिंदुओं $P$ और $Q$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\overrightarrow{p} = \overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{q} = \overrightarrow{b}$ हैं।
दिया गया है कि $\overrightarrow{PR} = 5 \overrightarrow{PQ}$.
हम जानते हैं कि $\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{r} - \overrightarrow{p}$ और $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{q} - \overrightarrow{p}$.
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\overrightarrow{r} - \overrightarrow{p} = 5(\overrightarrow{q} - \overrightarrow{p})$
$\overrightarrow{r} - \overrightarrow{a} = 5(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a})$
$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a} + 5\overrightarrow{b} - 5\overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{r} = 5\overrightarrow{b} - 4\overrightarrow{a}$
अतः,$R$ का स्थिति सदिश $5\overrightarrow{b} - 4\overrightarrow{a}$ है।

(A) माना बिंदु $A(60, 3)$,$B(40, -8)$ और $C(a, -52)$ हैं। चूँकि बिंदु संरेख हैं,इसलिए उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा या रेखाखंडों की ढाल समान होगी।
सारणिक का उपयोग करके संरेखता की शर्त:
$\left|\begin{array}{ccc} 60 & 3 & 1 \\ 40 & -8 & 1 \\ a & -52 & 1 \end{array}\right|=0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$60(-8 - (-52)) - 3(40 - a) + 1(40(-52) - (-8)a) = 0$
$60(44) - 120 + 3a - 2080 + 8a = 0$
$2640 - 120 - 2080 + 11a = 0$
$440 + 11a = 0$
$11a = -440$
$a = -40$

(C) माना स्थिति सदिश $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}) - (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = -\hat{i}-2\hat{j}-6\hat{k}$ हैं।
माना $\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (3\hat{i}-4\hat{j}-4\hat{k}) - (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = \hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}$ है।
अब,$\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|}$ है।
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1+4+36} = \sqrt{41}$ है।
$|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1+9+25} = \sqrt{35}$ है।
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1)(1) + (-2)(-3) + (-6)(-5) = -1 + 6 + 30 = 35$ है।
$\cos A = \frac{35}{\sqrt{41} \sqrt{35}} = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{41}}$ है।
अतः,$\cos^2 A = \frac{35}{41}$ है।

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{6}$.
साथ ही,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A})P(\bar{B}) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = \frac{1}{3}$.
दूसरे समीकरण का विस्तार करने पर: $1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B) = \frac{1}{3}$.
$P(A)P(B) = \frac{1}{6}$ रखने पर: $1 - (P(A) + P(B)) + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.
$P(A) + P(B) = 1 + \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{6 + 1 - 2}{6} = \frac{5}{6}$.
माना $x = P(A)$ और $y = P(B)$ है। हमारे पास $x + y = \frac{5}{6}$ और $xy = \frac{1}{6}$ है।
ये द्विघात समीकरण $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ के मूल हैं,जो $t^2 - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0$ है।
$6$ से गुणा करने पर: $6t^2 - 5t + 1 = 0$.
$(2t - 1)(3t - 1) = 0$.
अतः,$t = \frac{1}{2}$ या $t = \frac{1}{3}$.
इस प्रकार,$P(A)$ का मान $\frac{1}{2}$ या $\frac{1}{3}$ हो सकता है।
अतः सही विकल्प $D$ है।

(A) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$\sum P(X = x) = 1$.
$\frac{1}{10} + k + \frac{1}{5} + 2k + \frac{3}{10} + k = 1$
अचर पदों और $k$ वाले पदों को जोड़ने पर:
$(\frac{1}{10} + \frac{2}{10} + \frac{3}{10}) + (k + 2k + k) = 1$
$\frac{6}{10} + 4k = 1$
$4k = 1 - \frac{6}{10}$
$4k = \frac{10 - 6}{10}$
$4k = \frac{4}{10}$
$k = \frac{1}{10}$

(C) पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $P(X=1) = P(X=2)$,इसलिए:
$\frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!}$
दोनों पक्षों को $e^{-\lambda} \lambda$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $\lambda \neq 0$):
$1 = \frac{\lambda}{2}$
$\lambda = 2$
अब,हमें $P(X=4)$ ज्ञात करना है:
$P(X=4) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!} = \frac{e^{-2} (2)^4}{24}$
$P(X=4) = \frac{16}{24 e^2} = \frac{2}{3 e^2}$

(C) दिया गया है,$f(2)=4$ और $f^{\prime}(2)=1$।
सीमा का मान ज्ञात करने के लिए:
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x f(2)-2 f(x)}{x-2}$
अंश में $2f(2)$ जोड़ने और घटाने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x f(2)-2 f(2)+2 f(2)-2 f(x)}{x-2}$
$L = \lim _{x \rightarrow 2} \left[ \frac{f(2)(x-2)}{x-2} - 2 \frac{f(x)-f(2)}{x-2} \right]$
$L = f(2) - 2 \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$
$L = f(2) - 2 f^{\prime}(2)$
दिए गए मान रखने पर:
$L = 4 - 2(1) = 4 - 2 = 2$।

(B) दिया गया है कि $f(x)$,$x = 0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0) = \lambda$ होना चाहिए।
सीमा की गणना:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos 3x - \cos x}{x^2}$
सूत्र $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-2 \sin(2x) \sin(x)}{x^2}$
$= -2 \times \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin 2x}{x} \right) \times \left( \frac{\sin x}{x} \right)$
$= -2 \times 2 \times 1 = -4$.
अतः,$\lambda = -4$.

(B) दिया गया वक्र $2x = y^2 - 1$ है, जिसे $x = \frac{y^2 - 1}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वक्र $x = 0$ $y$-अक्ष है।
वक्र $2x = y^2 - 1$ और $x = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, समीकरण में $x = 0$ रखें:
$0 = y^2 - 1 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.
अतः, क्षेत्र $y = -1$ से $y = 1$ तक परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $A$ $y$ के सापेक्ष वक्रों के बीच की दूरी के समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$A = \int_{-1}^{1} |x_{\text{right}} - x_{\text{left}}| dy = \int_{-1}^{1} |0 - \frac{y^2 - 1}{2}| dy = \int_{-1}^{1} \frac{1 - y^2}{2} dy$.
चूंकि फलन $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है, हम लिख सकते हैं:
$A = 2 \int_{0}^{1} \frac{1 - y^2}{2} dy = \int_{0}^{1} (1 - y^2) dy$.
$A = [y - \frac{y^3}{3}]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{2}{3} \text{ \text{वर्ग इकाई}}$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$ और $f(t) = t^2 - 3t + 7$.
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & -12 \\ 24 & 17 \end{bmatrix}$.
अब,$f(A) = A^2 - 3A + 7I$ की गणना करें,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$:
$f(A) = \begin{bmatrix} -7 & -12 \\ 24 & 17 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} + 7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$f(A) = \begin{bmatrix} -7 & -12 \\ 24 & 17 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 12 & 15 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -6 \\ 12 & 9 \end{bmatrix}$.
अंत में,$f(A) + \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ -12 & -9 \end{bmatrix}$ का मान ज्ञात करें:
$\begin{bmatrix} -3 & -6 \\ 12 & 9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ -12 & -9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.

(D) माना $A = \left[\begin{array}{ccc}7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]$ है।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 7(1 - 0) - (-3)(-1 - 0) + (-3)(0 - (-1))$
$|A| = 7(1) + 3(-1) - 3(1) = 7 - 3 - 3 = 1$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम का अस्तित्व है।
अब,हम सहखंड आव्यूह $C_{ij}$ ज्ञात करते हैं:
$C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1, C_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1, C_{13} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1$.
$C_{21} = -\begin{vmatrix} -3 & -3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3, C_{22} = +\begin{vmatrix} 7 & -3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 4, C_{23} = -\begin{vmatrix} 7 & -3 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 3$.
$C_{31} = +\begin{vmatrix} -3 & -3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 3, C_{32} = -\begin{vmatrix} 7 & -3 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 3, C_{33} = +\begin{vmatrix} 7 & -3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 4$.
एडजॉइंट आव्यूह $\operatorname{adj}(A)$ सहखंड आव्यूह का परिवर्त (transpose) है:
$\operatorname{adj}(A) = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & 4 \end{array}\right]^T = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right]$.
अंत में,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}(A) = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}\right]$.

(D) माना कि $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2a & 2a \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b\end{array}\right|$ है।
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b\end{array}\right|$
$R_1$ से $(a+b+c)$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2b & b-c-a & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b\end{array}\right|$
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2b & -(a+b+c) & 0 \\ 2c & 0 & -(a+b+c)\end{array}\right|$
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (a+b+c) [1 \cdot (-(a+b+c)) \cdot (-(a+b+c))]$
$\Delta = (a+b+c) \cdot (a+b+c)^2 = (a+b+c)^3$.

(B) दिया गया है कि,$\sin ^{-1}\left(\frac{3}{x}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)=\frac{\pi}{2}$.
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1}(A) + \cos ^{-1}(A) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\sin ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right) = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{x}\right) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)$.
सर्वसमिका $\cos ^{-1}(A) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}(A)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{x}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)$.
माना $\sin ^{-1}\left(\frac{3}{x}\right) = \theta$,तो $\sin \theta = \frac{3}{x}$,जिसका अर्थ है $\cos \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{x}\right)^2} = \frac{\sqrt{x^2-9}}{x}$.
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{x^2-9}}{x}\right)$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{\sqrt{x^2-9}}{x} = \frac{4}{x}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 - 9 = 16$,जिससे $x^2 = 25$ प्राप्त होता है।
$\sin ^{-1}$ के प्रांत के अनुसार $|\frac{3}{x}| \le 1$ और $|\frac{4}{x}| \le 1$ होना चाहिए,इसलिए $|x| \ge 4$. अतः,$x = 5$.

(A) दिया गया है,$f(x)=x^2-3$.
सबसे पहले,हम $(f \circ f \circ f)(-1)$ की गणना करते हैं:
$f(-1) = (-1)^2 - 3 = -2$
$f(f(-1)) = f(-2) = (-2)^2 - 3 = 1$
$f(f(f(-1))) = f(1) = (1)^2 - 3 = -2$.
इसके बाद,$(f \circ f \circ f)(0)$ की गणना करते हैं:
$f(0) = (0)^2 - 3 = -3$
$f(f(0)) = f(-3) = (-3)^2 - 3 = 6$
$f(f(f(0))) = f(6) = (6)^2 - 3 = 33$.
इसके बाद,$(f \circ f \circ f)(1)$ की गणना करते हैं:
$f(1) = (1)^2 - 3 = -2$
$f(f(1)) = f(-2) = (-2)^2 - 3 = 1$
$f(f(f(1))) = f(1) = (1)^2 - 3 = -2$.
इन मानों का योग करने पर:
$(f \circ f \circ f)(-1) + (f \circ f \circ f)(0) + (f \circ f \circ f)(1) = -2 + 33 - 2 = 29$.
अब,विकल्पों की जाँच करने पर:
$f(4 \sqrt{2}) = (4 \sqrt{2})^2 - 3 = 32 - 3 = 29$.
अतः,यह व्यंजक $f(4 \sqrt{2})$ के बराबर है।

(C) दिया गया है कि $f(x)=|x|$ और $g(x)=[x-3]$ है।
$-\frac{8}{5} < x < \frac{8}{5}$ के लिए,$f(x)=|x|$ का परिसर $0 \leq f(x) < \frac{8}{5}$ है,अर्थात $0 \leq f(x) < 1.6$ है।
हमें $g(f(x)) = [f(x)-3]$ के मान ज्ञात करने हैं।
स्थिति $1$: यदि $0 \leq f(x) < 1$ है,तो $-3 \leq f(x)-3 < -2$ होगा। अतः,$[f(x)-3] = -3$ होगा।
स्थिति $2$: यदि $1 \leq f(x) < 1.6$ है,तो $-2 \leq f(x)-3 < -1.4$ होगा। अतः,$[f(x)-3] = -2$ होगा।
इन स्थितियों को मिलाने पर,मानों का समुच्चय $\{-3, -2\}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है,$x=a\left(\cos \theta+\log \tan \left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$ और $y=a \sin \theta$।
$x$ और $y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = a \left( -\sin \theta + \frac{1}{\tan(\theta/2)} \cdot \sec^2(\theta/2) \cdot \frac{1}{2} \right)$
$= a \left( -\sin \theta + \frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(\theta/2)} \cdot \frac{1}{2} \right)$
$= a \left( -\sin \theta + \frac{1}{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)} \right) = a \left( -\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta} \right)$
$= a \left( \frac{1 - \sin^2 \theta}{\sin \theta} \right) = \frac{a \cos^2 \theta}{\sin \theta}$।
साथ ही,$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{a \cos^2 \theta / \sin \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$।

(B) माना $f(x, y) = \sec z = \frac{x^4+y^4-8x^2y^2}{x^2+y^2}$.
चूंकि $f(x, y)$ घात $n = 4 - 2 = 2$ का एक समघातीय फलन है,यूलर प्रमेय के अनुसार,$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = n f(x, y) = 2 \sec z$.
अब,$f = \sec z$ का $x$ और $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{\partial f}{\partial x} = \sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial x}$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = \sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial y}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को यूलर समीकरण में रखने पर:
$x (\sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial x}) + y (\sec z \tan z \frac{\partial z}{\partial y}) = 2 \sec z$.
दोनों पक्षों को $\sec z \tan z$ से विभाजित करने पर:
$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2 \sec z}{\sec z \tan z} = 2 \cot z$.

(D) दिया गया है,$y = \sin(\log_e x)$ $(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है
$\frac{dy}{dx} = \cos(\log_e x) \cdot \frac{1}{x}$
$x \frac{dy}{dx} = \cos(\log_e x)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है
$x \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = -\sin(\log_e x) \cdot \frac{1}{x}$
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है
$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = -\sin(\log_e x)$
चूंकि $y = \sin(\log_e x)$,इसलिए
$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = -y$

(B) दिया गया फलन $f(x) = (x-1)^2 + 3$ है,जो अंतराल $x \in [-3, 1]$ पर परिभाषित है।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 2(x-1)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $2(x-1) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 1$.
चूंकि $x = 1$ अंतराल $[-3, 1]$ का एक अंतिम बिंदु है,इसलिए हम क्रांतिक बिंदु और सीमाओं पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$x = 1$ पर,$f(1) = (1-1)^2 + 3 = 3$.
$x = -3$ पर,$f(-3) = (-3-1)^2 + 3 = (-4)^2 + 3 = 16 + 3 = 19$.
मानों की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $m = 3$ और अधिकतम मान $M = 19$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(m, M)$ का मान $(3, 19)$ है।

(A) दिया गया है कि,$I_n = \int x^n \cdot e^{cx} \, dx$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) की विधि का उपयोग करते हुए,जहाँ $\int u \, dv = uv - \int v \, du$:
माना $u = x^n$ और $dv = e^{cx} \, dx$.
तब $du = n x^{n-1} \, dx$ और $v = \frac{e^{cx}}{c}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$I_n = x^n \cdot \frac{e^{cx}}{c} - \int \frac{e^{cx}}{c} \cdot n x^{n-1} \, dx$.
$I_n = \frac{x^n e^{cx}}{c} - \frac{n}{c} \int x^{n-1} e^{cx} \, dx$.
चूंकि $I_{n-1} = \int x^{n-1} e^{cx} \, dx$,इसलिए:
$I_n = \frac{x^n e^{cx}}{c} - \frac{n}{c} I_{n-1}$.
दोनों पक्षों को $c$ से गुणा करने पर:
$c I_n = x^n e^{cx} - n I_{n-1}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$c I_n + n I_{n-1} = x^n e^{cx}$.

(C) हमें समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} \right) dx$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ और $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int e^x \left( \frac{1 - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} - \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{2} \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2} \right) dx$
माना $g(x) = -\cot \frac{x}{2}$ है। तब $g'(x) = -(-\operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \operatorname{cosec}^2 \frac{x}{2}$ होगा।
चूंकि समाकलन $\int e^x (g(x) + g'(x)) dx = e^x g(x) + c$ के रूप में है,इसलिए:
$I = e^x \left( -\cot \frac{x}{2} \right) + c = -e^x \cot \frac{x}{2} + c$.
अतः,$f(x) = -e^x \cot \left( \frac{x}{2} \right)$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x-2y+1}{2(x-2y)}$.
माना $z = x-2y$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dz}{dx} = 1 - 2\frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(1 - \frac{dz}{dx})$.
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}(1 - \frac{dz}{dx}) = \frac{z+1}{2z}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$1 - \frac{dz}{dx} = \frac{z+1}{z} = 1 + \frac{1}{z}$.
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर,$-\frac{dz}{dx} = \frac{1}{z}$,जो सरल होकर $z dz = -dx$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int z dz = \int -dx$,जिसका परिणाम $\frac{z^2}{2} = -x + C_1$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,$z^2 = -2x + 2C_1$,या $z^2 + 2x = C$ (जहाँ $C = 2C_1$).
$z = x-2y$ वापस रखने पर,हमें $(x-2y)^2 + 2x = C$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{xy+y}{xy+x}$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{y(x+1)}{x(y+1)}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{1+y}{y} dy = \frac{1+x}{x} dx$ प्राप्त होता है।
इसे $(\frac{1}{y} + 1) dy = (\frac{1}{x} + 1) dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int (\frac{1}{y} + 1) dy = \int (\frac{1}{x} + 1) dx$ प्राप्त होता है।
$\log|y| + y = \log|x| + x + C$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$y - x = \log|x| - \log|y| + C$.
$y - x = \log|\frac{x}{y}| + C$.
माना $C = \log c$,तब $y - x = \log|\frac{x}{y}| + \log c = \log|\frac{cx}{y}|$.
अतः,हल $y - x = \log \left(\frac{cx}{y}\right)$ है।

(B) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A)P(B) = \frac{1}{6}$.
साथ ही,$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A})P(\bar{B}) = \frac{1}{3}$.
चूँकि $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ और $P(\bar{B}) = 1 - P(B)$,इसलिए $(1 - P(A))(1 - P(B)) = \frac{1}{3}$ है।
इसका विस्तार करने पर,$1 - (P(A) + P(B)) + P(A)P(B) = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
$P(A)P(B) = \frac{1}{6}$ रखने पर,$1 - (P(A) + P(B)) + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ मिलता है।
$P(A) + P(B) = 1 + \frac{1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{6+1-2}{6} = \frac{5}{6}$.
माना $x = P(A)$ और $y = P(B)$ है। तब $x + y = \frac{5}{6}$ और $xy = \frac{1}{6}$ है।
द्विघात समीकरण $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ का रूप $t^2 - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0$ हो जाता है।
$6t^2 - 5t + 1 = 0 \Rightarrow (2t - 1)(3t - 1) = 0$.
अतः,$t = \frac{1}{2}$ या $t = \frac{1}{3}$ है।
इसलिए,$P(A)$ का मान $\frac{1}{2}$ या $\frac{1}{3}$ हो सकता है।