यदि $A$ और $B$ एक यादृच्छिक प्रयोग की स्वतंत्र घटनाएँ हैं,जैसे कि $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ और $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{1}{3}$,तो $P(A)$ का मान ज्ञात कीजिए। (यहाँ,$\bar{E}$ घटना $E$ की पूरक घटना है)

चार मशीनें हैं और यह ज्ञात है कि उनमें से ठीक दो मशीनें खराब हैं। उन्हें एक-एक करके,यादृच्छिक क्रम में तब तक परखा जाता है जब तक कि दोनों खराब मशीनें पहचानी न जाएं। तो,केवल दो परीक्षणों की आवश्यकता होने की प्रायिकता क्या है?

यदि $a$ और $b$ को समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ से प्रतिस्थापन के साथ यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{{a^x} + {b^x}}}{2}} \right)^{\frac{2}{x}}}=6$ होने की प्रायिकता क्या है?

एक कंप्यूटर प्रोग्राम में दो मॉड्यूल $X$ और $Y$ हैं और उनमें त्रुटियाँ स्वतंत्र रूप से होती हैं। $X$ में त्रुटि की संभावना $0.1$ है और $Y$ में त्रुटि की संभावना $0.3$ है। यदि केवल $X$ में त्रुटि प्रोग्राम को $0.5$ की संभावना के साथ क्रैश करती है,केवल $Y$ में त्रुटि प्रोग्राम को $0.7$ की संभावना के साथ क्रैश करती है,और $X$ और $Y$ दोनों में त्रुटि प्रोग्राम को $0.8$ की संभावना के साथ क्रैश करती है,तो प्रोग्राम के क्रैश होने की संभावना क्या है?

तीन छात्रों $S_1, S_2$ और $S_3$ को हल करने के लिए एक समस्या दी गई है। निम्नलिखित घटनाओं पर विचार करें:
$U:$ $S_1, S_2$ और $S_3$ में से कम से कम एक छात्र समस्या को हल कर सकता है,
$V: S_1$ समस्या को हल कर सकता है,यह देखते हुए कि न तो $S_2$ और न ही $S_3$ समस्या को हल कर सकते हैं,
$W: S_2$ समस्या को हल कर सकता है और $S_3$ समस्या को हल नहीं कर सकता है,
$T: S_3$ समस्या को हल कर सकता है।
किसी भी घटना $E$ के लिए,$P(E)$ को $E$ की प्रायिकता के रूप में दर्शाएं।
यदि $P(U)=\frac{1}{2}, P(V)=\frac{1}{10}$ और $P(W)=\frac{1}{12}$ है,तो $P(T)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$3$ थैले $A, B$ और $C$ हैं। थैले $A$ में $1$ लाल और $2$ हरे गेंद हैं,थैले $B$ में $2$ लाल और $1$ हरा गेंद है और थैले $C$ में केवल $1$ हरा गेंद है। थैले $A$ से एक गेंद निकालकर थैले $B$ में डाली जाती है,फिर थैले $B$ से एक गेंद निकालकर थैले $C$ में डाली जाती है,और अंत में थैले $C$ से एक गेंद निकालकर थैले $A$ में डाली जाती है। जब यह प्रक्रिया पूरी हो जाती है,तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि थैले $A$ में $2$ लाल और $1$ हरा गेंद हो?