अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{x-2y+1}{2x-4y | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x-2y+1}{2(x-2y)}$.माना $z = x-2y$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dz}{dx} = 1 - 2\frac{dy}{dx

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$(x-2y)^2 + 2x = c$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x-2y+1}{2(x-2y)}$.माना $z = x-2y$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dz}{dx} = 1 - 2\frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(1 - \frac{dz}{dx})$.इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$\frac{1}{2}(1 - \frac{dz}{dx}) = \frac{z+1}{2z}$.दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$1 - \frac{dz}{dx} = \frac{z+1}{z} = 1 + \frac{1}{z}$.दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर,$-\frac{dz}{dx} = \frac{1}{z}$,जो सरल होकर $z dz = -dx$ हो जाता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int z dz = \int -dx$,जिसका परिणाम $\frac{z^2}{2} = -x + C_1$ प्राप्त होता है।$2$ से गुणा करने पर,$z^2 = -2x + 2C_1$,या $z^2 + 2x = C$ (जहाँ $C = 2C_1$).$z = x-2y$ वापस रखने पर,हमें $(x-2y)^2 + 2x = C$ प्राप्त होता है।

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