AP EAMCET 2008 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) $1$. દડાને $h$ ઊંચાઈ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. પ્રથમ પતન દરમિયાન કાપેલું અંતર $h$ છે.
$2$. ભોંયતળિયા સાથેની પ્રથમ અથડામણ પછી,દડો $h_1 = e^2h$ ઊંચાઈ સુધી ઉછળે છે.
$3$. ત્યારબાદ દડો $h_1$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય છે અને પછી બીજા અથડામણ માટે પાછો નીચે આવે છે.
$4$. ઉછાળા દરમિયાન કાપેલું અંતર $h_1$ (ઉપરની તરફ) + $h_1$ (નીચેની તરફ) = $2h_1 = 2e^2h$ થાય છે.
$5$. બીજા અથડામણ પહેલાં દડા દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર એ પ્રારંભિક પતન અને ઉછાળાના અંતરનો સરવાળો છે: $D = h + 2e^2h = h(1 + 2e^2)$.

(A) દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ નો વેગ $V_{CM} = \frac{m_A v_A + m_B v_B}{m_A + m_B}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં બંને કણો સ્થિર હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ $V_{CM, initial} = 0$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ અચળ રહે છે.
આ તંત્રમાં,કણો પરસ્પર આકર્ષણ બળ હેઠળ ગતિ કરે છે,જે આંતરિક બળો છે.
તેથી,તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોવાથી,તે દરેક સમયે શૂન્ય જ રહેશે,ભલે કણોની વ્યક્તિગત ઝડપ ગમે તે હોય.

(D) વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T$ એ સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે,$G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે અને $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
$1$. કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ એ $R + h$ જેટલી હોય છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ પૃથ્વીની સપાટીથી ઉપગ્રહની ઊંચાઈ છે.
$2$. સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $T$ એ પૃથ્વીના દળ $(M)$,કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r)$ અને ઊંચાઈ $(h)$ પર આધાર રાખે છે કારણ કે $r = R + h$ છે.
$3$. આવર્તકાળ $T$ એ ઉપગ્રહના દળ $(m)$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,આવર્તકાળ (ii),(iii) અને (iv) પર આધાર રાખે છે.

(B) ધારો કે દળ $m = 150 \ kg$ છે અને તાર સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ તણાવ $T_{max} = 2940 \ N$ છે.
જ્યારે ભાર સૌથી નીચેના બિંદુ (સંતુલન સ્થિતિ) પર હોય,ત્યારે તારમાં તણાવ $T = mg + \frac{mv^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન એ છે કે $\theta$ ખૂણેથી મુક્ત કરવામાં આવે તો સંતુલન સ્થિતિમાં તાર તૂટે નહીં.
સંતુલન સ્થિતિમાં,તણાવ $T$ એ $T_{max} = 2940 \ N$ થી વધવો જોઈએ નહીં.
$\theta$ ખૂણેથી સંતુલન સ્થિતિ સુધી ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા:
$mgL(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow mv^2 = 2mgL(1 - \cos \theta)$.
સંતુલન સ્થિતિમાં તણાવ $T = mg + \frac{mv^2}{L} = mg + 2mg(1 - \cos \theta) = mg(3 - 2 \cos \theta)$.
$T = T_{max}$ લેતા:
$2940 = 150 \times 9.8 \times (3 - 2 \cos \theta)$.
$2940 = 1470 \times (3 - 2 \cos \theta)$.
$2 = 3 - 2 \cos \theta$.
$2 \cos \theta = 1 \Rightarrow \cos \theta = 0.5$.
તેથી,$\theta = 60^{\circ}$.

(D) લીસા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_s = g \sin \theta$ છે. $s$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_s = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ છે.
ખરબચડા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. લાગતો સમય $t_r = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ છે.
આપેલ છે કે $t_r = n t_s$,જ્યાં $n = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = n^2 \frac{2s}{g \sin \theta}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\sin \theta = n^2(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ મળે છે.
$\mu$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\mu = \tan \theta \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$.
$\theta = 45^{\circ}$ અને $n = 2$ કિંમતો મૂકતા: $\mu = \tan 45^{\circ} \left(1 - \frac{1}{2^2}\right) = 1 \times (1 - 0.25) = 0.75$.

(C) ધારો કે $\overrightarrow{B} = \hat{i} - \hat{j}$.
સદિશ $\overrightarrow{A}$ નો $\overrightarrow{B}$ ની દિશામાં ઘટક શોધવા માટે,આપણે $\overrightarrow{A}$ નો $\overrightarrow{B}$ ની દિશાના એકમ સદિશ પરનો અદિશ પ્રક્ષેપ ગણીએ છીએ.
$\overrightarrow{B}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{b} = \frac{\overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{B}|} = \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}}$ છે.
$\overrightarrow{A}$ નો $\overrightarrow{B}$ ની દિશામાં ઘટક $\overrightarrow{A} \cdot \hat{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{A} \cdot \hat{b} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}) \cdot \left( \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}} \right)$.
$= \frac{a_x(1) + a_y(-1) + a_z(0)}{\sqrt{2}} = \frac{a_x - a_y}{\sqrt{2}}$.

(B) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે જે હવાના સંપર્કમાં હોય છે. તેથી,પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $2 \times \Delta A$ થાય છે.
આપેલ છે:
પૃષ્ઠતાણ $T = 0.03 \,N/m$
પૃષ્ઠફળ $A = 40 \,cm^2 = 40 \times 10^{-4} \,m^2$
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ માટેનું સૂત્ર:
$W = T \times \Delta A_{total} = T \times 2 \times A$
કિંમતો મૂકતા:
$W = 0.03 \times 2 \times 40 \times 10^{-4}$
$W = 0.06 \times 40 \times 10^{-4}$
$W = 2.4 \times 10^{-4} \,J$

(D) ગોળાકાર ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v_T$ એ $v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ટીપાંની ત્રિજ્યા છે.
આમ,$v_T \propto r^2$.
આપેલ છે કે ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{T_1}}{v_{T_2}} = \frac{9}{4}$ છે.
કારણ કે $\frac{v_{T_1}}{v_{T_2}} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$,તેથી $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{9}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ મળે છે.
ગોળાકાર ટીપાંનું કદ $V$ એ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે,તેથી $V \propto r^3$.
તેમના કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}$ થાય છે.

(B) સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ $T = 0.03 \,N/m$ આપેલ છે।
સાબુના પરપોટાનું પૃષ્ઠફળ $A = 40 \,cm^2 = 40 \times 10^{-4} \,m^2$ છે।
સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે, તેથી પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times A$ થાય।
સાબુનો પરપોટો બનાવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W = T \times \Delta A_{total} = T \times 2 \times A$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = 0.03 \times 2 \times 40 \times 10^{-4} \,J$.
$W = 0.06 \times 40 \times 10^{-4} \,J$.
$W = 2.4 \times 10^{-4} \,J$.

(C) તણાવ બળને કારણે થતું વિસ્તરણ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{\Delta l}{l} = \frac{F}{A \cdot Y}$.
આપેલ છે: $F = 33000 \,N$, $A = 10^{-3} \,m^2$, $Y = 3 \times 10^{11} \,N/m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta l}{l} = \frac{33000}{10^{-3} \times 3 \times 10^{11}} = \frac{33000}{3 \times 10^8} = 11 \times 10^{-5}$.
ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે થતું વિસ્તરણ નીચે મુજબ છે: $\frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta T$.
આપેલ છે: $\alpha = 1.1 \times 10^{-5} /{ }^{\circ}C$.
બંને વિસ્તરણને સરખાવતા: $11 \times 10^{-5} = 1.1 \times 10^{-5} \times \Delta T$.
$\Delta T$ માટે ઉકેલતા: $\Delta T = \frac{11 \times 10^{-5}}{1.1 \times 10^{-5}} = 10^{\circ}C$.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ને $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
લંબાઈમાં થતા આંશિક ફેરફાર (વિકૃતિ) માટે સૂત્ર $\frac{\Delta l}{l} = \frac{F}{AY}$ મળે છે.
અહીં $m = 1 \,kg$, $g = 10 \,m/s^2$, $A = 3 \,mm^2 = 3 \times 10^{-6} \,m^2$, અને $Y = 10^{11} \,N/m^2$ આપેલ છે.
સ્થિર સંતુલન સ્થિતિ માટે $F = mg = 1 \times 10 = 10 \,N$ લેતા:
$\frac{\Delta l}{l} = \frac{10}{3 \times 10^{-6} \times 10^{11}} = \frac{10}{3 \times 10^5} = 0.33 \times 10^{-4} \approx 0.3 \times 10^{-4}$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,અંતિમ વેગ $0$ છે. $v = u - gt$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = u - gt$,તેથી $u = gt$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h = \frac{u^2}{2g} = \frac{(gt)^2}{2g} = \frac{gt^2}{2}$ છે.
પદાર્થ $t$ સમયમાં મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે.
પાછા ફરતી વખતે,પદાર્થ $h$ ઊંચાઈથી $h/2$ ઊંચાઈ સુધી નીચે પડે છે. કાપેલું અંતર $h/2$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી નીચેની ગતિ માટે $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{h}{2} = 0 + \frac{1}{2}g(t')^2$,જ્યાં $t'$ એ મહત્તમ ઊંચાઈથી અડધી ઊંચાઈ સુધી પડવા માટેનો સમય છે.
$h = \frac{gt^2}{2}$ મૂકતા,આપણને $\frac{gt^2}{4} = \frac{1}{2}g(t')^2$ મળે છે.
$t'$ માટે ઉકેલતા,$(t')^2 = \frac{t^2}{2}$,તેથી $t' = \frac{t}{\sqrt{2}}$.
પ્રક્ષેપણથી કુલ સમય $T = t + t' = t + \frac{t}{\sqrt{2}} = \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)t$ થશે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો વેગ હંમેશા તેના પથને સ્પર્શક હોય છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે,જ્યારે સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે. તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગ સદિશ સંપૂર્ણપણે સમક્ષિતિજ હોય છે,જે સમક્ષિતિજ સાથે $0^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ એ એક આવર્ત ગતિ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,આવર્તકાળ $T$ એ સમયનો એવો લઘુત્તમ ગાળો છે જેના પછી કણની ગતિનું પુનરાવર્તન થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ સમય $t = nT$ (જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે) પર,કણ તેની પ્રારંભિક સ્થિતિ પર પાછો ફરે છે.
કણ તેની પ્રારંભિક સ્થિતિથી શરૂઆત કરે છે,તેથી $2T$ સમય પછી,તે બે પૂર્ણ ચક્ર પૂર્ણ કરીને ફરીથી શરૂઆતના બિંદુ પર આવી જશે.
તેથી,પ્રારંભિક સ્થિતિથી સ્થાનાંતર $0$ થશે.

(A) ધારો કે સ્લેબ $B$ ની જાડાઈ $d$ છે અને તેની ઉષ્મીય વાહકતા $K$ છે. તો,સ્લેબ $A$ માટે,જાડાઈ $2d$ અને ઉષ્મીય વાહકતા $2K$ છે.
ધારો કે સંપર્ક સપાટી પરનું તાપમાન $T$ છે.
સ્લેબ શ્રેણીમાં હોવાથી,બંને સ્લેબમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $H$ સમાન હશે:
$H = \frac{K_A A (T_1 - T)}{d_A} = \frac{K_B A (T - T_2)}{d_B}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2K \cdot A (100 - T)}{2d} = \frac{K \cdot A (T - 25)}{d}$
$(100 - T) = (T - 25)$
$2T = 125$
$T = 62.5^{\circ} C$

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે અવસ્થાનું સમીકરણ $p V^\gamma = \text{constant}$ છે.
આદર્શ વાયુના નિયમ $pV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $V = \frac{nRT}{p}$ ને એડિબેટિક સમીકરણમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$p \left( \frac{nRT}{p} \right)^\gamma = \text{constant}$
$p \cdot p^{-\gamma} \cdot T^\gamma = \text{constant}$
$p^{1-\gamma} T^\gamma = \text{constant}$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ સંકોચન દરમિયાન કદ $V$ ઘટે છે,તેમ ગુણાકાર અચળ રાખવા માટે દબાણ $P$ વધવું જોઈએ.
આદર્શ વાયુના નિયમ $PV = nRT$ મુજબ,કારણ કે $P$ વધે છે અને $V$ ઘટે છે,તાપમાન $T$ વધવું જોઈએ કારણ કે એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં વાયુ પર કરવામાં આવેલું કાર્ય તેની આંતરિક ઉર્જામાં વધારો કરે છે ($Q = 0$,$\Delta U = -W$).
તેથી,એડિયાબેટિક સંકોચનમાં,તાપમાન અને દબાણ બંને વધે છે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓક્સિજન માટે: $p_1 = 1 \,atm$,$V_1 = 1 \,L$. મોલની સંખ્યા $n_{O_2} = \frac{p_1 V_1}{RT} = \frac{1 \times 1}{RT} = \frac{1}{RT}$ છે.
નાઈટ્રોજન માટે: $p_2 = 0.5 \,atm$,$V_2 = 2 \,L$. મોલની સંખ્યા $n_{N_2} = \frac{p_2 V_2}{RT} = \frac{0.5 \times 2}{RT} = \frac{1}{RT}$ છે.
જ્યારે આ વાયુઓને સમાન તાપમાન $T$ પર $V_{mix} = 1 \,L$ કદના પાત્રમાં દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ મોલની સંખ્યા $n_{mix} = n_{O_2} + n_{N_2} = \frac{1}{RT} + \frac{1}{RT} = \frac{2}{RT}$ થાય છે.
અંતિમ દબાણ $p_{mix}$ એ $p_{mix} = \frac{n_{mix} RT}{V_{mix}} = \frac{(2/RT) \times RT}{1} = 2 \,atm$ દ્વારા મળે છે.

(A) ધારો કે પ્લાન્કનો અચળાંક $h$ ને $h = k G^x L^y E^z$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
પારિમાણિક સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$[h] = [M^1 L^2 T^{-1}]$
$[G] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
$[L] = [M^1 L^2 T^{-1}]$
$[E] = [M^1 L^2 T^{-2}]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^1 L^2 T^{-1}] = [M^{-1} L^3 T^{-2}]^x [M^1 L^2 T^{-1}]^y [M^1 L^2 T^{-2}]^z$
$[M^1 L^2 T^{-1}] = [M^{-x+y+z} L^{3x+2y+2z} T^{-2x-y-2z}]$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$(i)$ $-x + y + z = 1$
(ii) $3x + 2y + 2z = 2$
(iii) $-2x - y - 2z = -1$
સમીકરણ $(i)$ અને (iii) નો સરવાળો કરતા:
$(-x + y + z) + (-2x - y - 2z) = 1 - 1$
$-3x - z = 0 \implies z = -3x$
$z = -3x$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$-x + y - 3x = 1 \implies y - 4x = 1 \implies y = 1 + 4x$
$y$ અને $z$ ની કિંમત સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$3x + 2(1 + 4x) + 2(-3x) = 2$
$3x + 2 + 8x - 6x = 2$
$5x + 2 = 2 \implies 5x = 0 \implies x = 0$
આમ,$h$ ના સૂત્રમાં $G$ નું પરિમાણ $0$ છે.

(C) કારની ઝડપ $v_c = 72 \,km/h = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \,m/s$ છે.
$t = 10 \,s$ માં,કાર દ્વારા કાપેલું અંતર $d_c = v_c \times t = 20 \times 10 = 200 \,m$ છે.
શરૂઆતમાં,કાર ટેકરીથી $1800 \,m$ દૂર છે. $10 \,s$ પછી,કાર ટેકરીની નજીક $200 \,m$ આગળ વધે છે,તેથી ટેકરીથી તેનું નવું અંતર $1800 - 200 = 1600 \,m$ થાય છે.
ધ્વનિ કારથી ટેકરી સુધી $(1800 \,m)$ જાય છે અને પછી પરાવર્તિત થઈને કારના નવા સ્થાને $(1600 \,m)$ પાછો આવે છે.
ધ્વનિ દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર $D = 1800 \,m + 1600 \,m = 3400 \,m$ છે.
સમય $10 \,s$ હોવાથી,ધ્વનિની ઝડપ $v_s = \frac{D}{t} = \frac{3400}{10} = 340 \,m/s$ થાય.

(C) તરંગમાં કણનો મહત્તમ વેગ $v_{\max} = A \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે કણનો મહત્તમ વેગ એ તરંગના વેગ $(v)$ જેટલો છે,તેથી $v_{\max} = v$.
સમીકરણો મૂકતા,આપણને મળે છે $A \omega = v$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2 \pi f$ અને તરંગનો વેગ $v = f \lambda$,તેથી $\omega = 2 \pi (v / \lambda)$ લખી શકાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $A \times (2 \pi v / \lambda) = v$.
બંને બાજુ $v$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $A \times (2 \pi / \lambda) = 1$.
તેથી,કંપવિસ્તાર $A = \frac{\lambda}{2 \pi}$ થાય.

(C) આપેલ છે, નદીનો વેગ, $v = 2 \,m/s$.
પાણીની ઘનતા, $\rho = 1.2 \,g/cc$.
$1 \,m^3$ પાણીનું દળ શોધવા માટે:
$\rho = 1.2 \,g/cm^3 = 1.2 \times \frac{10^{-3} \,kg}{(10^{-2} \,m)^3} = 1.2 \times 10^3 \,kg/m^3$.
આમ, $1 \,m^3$ પાણીનું દળ $m = 1.2 \times 10^3 \,kg$ છે।
ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે।
કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} \times (1.2 \times 10^3 \,kg) \times (2 \,m/s)^2$.
$K = 0.5 \times 1.2 \times 10^3 \times 4$.
$K = 2.4 \times 10^3 \,J = 2.4 \,kJ$.

(B) $+q$ અને $-q$ વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખા એક વિદ્યુત ડાયપોલ બનાવે છે.
ડાયપોલના લંબદ્વિભાજક (વિષુવરેખીય રેખા) પરનું કોઈપણ બિંદુ બંને વિદ્યુતભારોથી સમાન અંતરે હોય છે.
ધારો કે લંબદ્વિભાજક પરના બિંદુ $P$ નું $+q$ થી અંતર $r_1$ અને $-q$ થી અંતર $r_2$ છે. $P$ લંબદ્વિભાજક પર હોવાથી, $r_1 = r_2 = r$ થાય.
બિંદુ $P$ પાસે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} (\frac{q}{r} + \frac{-q}{r}) = 0$ મળે છે.
જોકે, બિંદુ $P$ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ $+q$ અને $-q$ ને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે. બંને ક્ષેત્રો શૂન્ય નથી અને તેમની દિશા એવી છે કે તેઓ એકબીજાને નાબૂદ કરતા નથી (પરિણામી ક્ષેત્ર ડાયપોલની અક્ષને સમાંતર હોય છે), તેથી વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા શૂન્ય હોતી નથી.
આમ, વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય છે, પરંતુ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા શૂન્ય નથી.

(A) હ્યુજેન્સના આઈ-પીસમાં,ક્રોસ-વાયર ફિલ્ડ લેન્સ અને આઈ લેન્સની વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે.
આ કારણોસર,વસ્તુનું પ્રતિબિંબ બંને લેન્સ (ફિલ્ડ લેન્સ અને આઈ લેન્સ) દ્વારા રચાય છે,જેના પરિણામે બંને દ્વારા મોટવણી થાય છે.
જો કે,ક્રોસ-વાયર એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે તે માત્ર આઈ લેન્સ દ્વારા જ મોટા થાય છે.
વસ્તુ અને ક્રોસ-વાયર માટે મોટવણી સમાન ન હોવાથી,આ આઈ-પીસનો ઉપયોગ કરીને લીધેલા માપન સચોટ હોતા નથી.
તેથી,વિધાન $(S)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે,અને $(R)$ એ $(S)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે, પ્રાયમરી $(P)$ અને સેકન્ડરી $(S)$ ગૂંચળામાં આંટાઓની સંખ્યા $(N)$ અને પ્રવાહ $(I)$ વચ્ચેનો સંબંધ વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$\frac{N_P}{N_S} = \frac{I_S}{I_P}$
આપેલ છે:
$N_P = 50$
$N_S = 200$
$I_P = 4 \,A$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{50}{200} = \frac{I_S}{4}$
$\frac{1}{4} = \frac{I_S}{4}$
$I_S = 1 \,A$
તેથી, સેકન્ડરી ગૂંચળામાં પ્રવાહ $1 \,A$ છે.

(B) ધારો કે $E$ એ બેટરીનું ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ છે અને $r$ એ તેનો આંતરિક અવરોધ છે.
અવરોધ $R$ પરનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ એ $V = I R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I = \frac{E}{R+r}$.
આમ,$V = E \left( \frac{R}{R+r} \right)$,જેને $E = V + I r = V + \left( \frac{V}{R} \right) r$ તરીકે લખી શકાય છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $R_1 = 16 \ \Omega$,$V_1 = 12 \ V$.
$E = 12 + \left( \frac{12}{16} \right) r = 12 + 0.75 r$ --- $(i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $R_2 = 10 \ \Omega$,$V_2 = 11 \ V$.
$E = 11 + \left( \frac{11}{10} \right) r = 11 + 1.1 r$ --- (ii)
$(i)$ અને (ii) ને સરખાવતા:
$12 + 0.75 r = 11 + 1.1 r$
$12 - 11 = 1.1 r - 0.75 r$
$1 = 0.35 r$
$r = \frac{1}{0.35} = \frac{100}{35} = \frac{20}{7} \ \Omega$.

(C) પરિપથમાં બિંદુ $P$ અને $Q$ વચ્ચે બે સમાંતર શાખાઓ જોડાયેલી છે।
શાખા $PRQ$ નો કુલ અવરોધ $R_1 = 3 \, \Omega + 7 \, \Omega = 10 \, \Omega$ છે।
શાખા $PSQ$ નો કુલ અવરોધ $R_2 = 7 \, \Omega + 3 \, \Omega = 10 \, \Omega$ છે।
બંને શાખાઓના અવરોધ સમાન હોવાથી, કુલ $2 \, A$ પ્રવાહ દરેક શાખામાંથી $1 \, A$ મુજબ સમાન રીતે વહેંચાય છે।
શાખા $PRQ$ માટે, પ્રવાહ $I_1 = 1 \, A$ છે। $3 \, \Omega$ ના અવરોધ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો $V_P - V_R = I_1 \times 3 \, \Omega = 1 \, A \times 3 \, \Omega = 3 \, V$ થાય।
શાખા $PSQ$ માટે, પ્રવાહ $I_2 = 1 \, A$ છે। $7 \, \Omega$ ના અવરોધ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો $V_P - V_S = I_2 \times 7 \, \Omega = 1 \, A \times 7 \, \Omega = 7 \, V$ થાય।
આપણે $V_R - V_S$ શોધવા માંગીએ છીએ। ઉપરના સમીકરણો પરથી:
$V_R = V_P - 3$
$V_S = V_P - 7$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$V_R - V_S = (V_P - 3) - (V_P - 7) = -3 + 7 = +4 \, V$.

(B) ધારો કે પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $I$ છે.
ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_G = 0.05 I$ છે.
શંટ અવરોધ $S$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_S = I - I_G = I - 0.05 I = 0.95 I$ છે.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ અવરોધ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$I_G G = I_S S$
કિંમતો મૂકતા:
$0.05 I \cdot G = 0.95 I \cdot S$
$S = \frac{0.05 I \cdot G}{0.95 I} = \frac{5}{95} G = \frac{1}{19} G$
તેથી,શંટ અવરોધ $S = \frac{G}{19}$ છે.

(A) ફોટોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
આપેલ છે, $\lambda = 45 \times 10^{-2} \text{ Å} = 45 \times 10^{-12} \text{ m}$.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{45 \times 10^{-12}} \text{ J}$.
$E = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{45 \times 10^{-12}} \text{ J} = 0.4413 \times 10^{-14} \text{ J}$.
ઉર્જાને $eV$ માં ફેરવવા માટે, ઇલેક્ટ્રોનના વિદ્યુતભાર $(1.6 \times 10^{-19} \text{ C})$ વડે ભાગતા:
$E_{eV} = \frac{0.4413 \times 10^{-14}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} \approx 0.2758 \times 10^5 \text{ eV} = 27,580 \text{ eV}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $27,500 \text{ eV}$ છે.

(B)
કોમ્પ્ટન શિફ્ટનું સૂત્ર:
$\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c} (1 - \cos \phi)$
અહીં $\lambda = 0.140 \,nm = 0.140 \times 10^{-9} \,m$ અને $\phi = 90^\circ$ આપેલ છે।
$\cos 90^\circ = 0$ હોવાથી,
$\Delta \lambda = \frac{h}{m_e c}$
કોમ્પ્ટન તરંગલંબાઈ:
$\frac{h}{m_e c} \approx 2.426 \times 10^{-12} \,m = 0.002426 \,nm$
તેથી,
$\lambda' = \lambda + \Delta \lambda = 0.140 \,nm + 0.002426 \,nm = 0.142426 \,nm$
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા:
$\lambda' \approx 0.142 \,nm$

(B) કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 1 \mu C = 10^{-6} \ C$ આપેલ છે.
વિદ્યુતભારને $2:3$ ના ગુણોત્તરમાં વહેંચવામાં આવે છે.
ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $q_1 = 2x$ અને $q_2 = 3x$ છે.
તેથી $q_1 + q_2 = 1 \mu C$,એટલે કે $5x = 1 \mu C$,તેથી $x = 0.2 \mu C$.
આમ,$q_1 = 2 \times 0.2 \mu C = 0.4 \times 10^{-6} \ C$ અને $q_2 = 3 \times 0.2 \mu C = 0.6 \times 10^{-6} \ C$.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $r = 1 \ m$ છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ સ્થિત વિદ્યુત બળ $F$:
$F = \frac{k q_1 q_2}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (0.4 \times 10^{-6}) \times (0.6 \times 10^{-6})}{1^2}$
$F = 9 \times 10^9 \times 0.24 \times 10^{-12} = 2.16 \times 10^{-3} \ N = 0.00216 \ N$.

(B) બે સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભારો ($+q$ અને $-q$) ને જોડતી રેખાના લંબદ્વિભાજકને વિદ્યુત ડાયપોલની વિષુવરેખા કહેવામાં આવે છે.
વિષુવરેખા પરના કોઈપણ બિંદુએ, જે ડાયપોલના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે છે, ત્યાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{r_1} + \frac{-q}{r_2} \right)$
લંબદ્વિભાજક પરનું દરેક બિંદુ બંને વિદ્યુતભારોથી સમાન અંતરે હોવાથી, $r_1 = r_2$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $V = 0$.
જોકે, આ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ શૂન્ય હોતી નથી. તે ડાયપોલની અક્ષને સમાંતર ($+q$ થી $-q$ તરફ) હોય છે અને તેનું મૂલ્ય $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p}{r^3}$ ($r \gg a$ માટે) દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(B) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે કોઈલમાં વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતો હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ક્ષેત્રોનો તફાવત હશે.
આપેલ છે: $N = 10$,$i_1 = 0.2 \ A$,$r_1 = 0.2 \ m$,$i_2 = 0.3 \ A$,$r_2 = 0.4 \ m$.
$B_{\text{net}} = |B_1 - B_2| = \frac{\mu_0 N}{2} |\frac{i_1}{r_1} - \frac{i_2}{r_2}|$
$B_{\text{net}} = \frac{10 \mu_0}{2} |\frac{0.2}{0.2} - \frac{0.3}{0.4}|$
$B_{\text{net}} = 5 \mu_0 |1 - 0.75|$
$B_{\text{net}} = 5 \mu_0 \times 0.25 = \frac{5}{4} \mu_0$.

(A) તારની પ્રારંભિક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \cdot l$ છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે.
જ્યારે $l$ લંબાઈના તારને અર્ધવર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે લંબાઈ $l$ એ અર્ધવર્તુળની ચાપની લંબાઈ બને છે.
તેથી,$l = \pi r$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{l}{\pi}$.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M^{\prime}$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ અને ધ્રુવો વચ્ચેના સીધા અંતર (અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ) નો ગુણાકાર છે.
$M^{\prime} = m \cdot (2r) = m \cdot \left( \frac{2l}{\pi} \right)$.
કારણ કે $M = m \cdot l$,આપણે સમીકરણમાં $m \cdot l = M$ મૂકી શકીએ છીએ:
$M^{\prime} = \frac{2}{\pi} (m \cdot l) = \frac{2 M}{\pi}$.

(C) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
જ્યારે ગજિયા ચુંબકને તેની લંબાઈને સમાંતર ચાર સમાન ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવે છે, ત્યારે દરેક ટુકડાનું દળ $m' = \frac{m}{4}$ થાય છે.
ભ્રમણાક્ષને અનુલક્ષીને એક ટુકડાની નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{I}{4}$ થાય છે.
એક ટુકડાની નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = \frac{M}{4}$ થાય છે.
આ કિંમતોને નવા આવર્તકાળ $T'$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I'}{M' B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I/4}{(M/4) B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}} = T$.
તેથી, નવો આવર્તકાળ $T' = 4 \,s$ થશે.

(C) ન્યુક્લિયર બળ એ ન્યુક્લિયસની અંદર રહેલા ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) વચ્ચે લાગતું પ્રબળ બળ છે.
પ્રાયોગિક પુરાવા દર્શાવે છે કે ન્યુક્લિયર બળ એ વિદ્યુતભારથી સ્વતંત્ર છે.
આનો અર્થ એ છે કે બે પ્રોટોન,બે ન્યુટ્રોન અથવા એક પ્રોટોન અને એક ન્યુટ્રોન વચ્ચેનું બળ મૂળભૂત રીતે સમાન હોય છે,જો તેમની વચ્ચેનું અંતર અને તેમની સ્પિન સ્થિતિ સમાન હોય.
તેથી,$F_{pp} = F_{nn} = F_{np}$.

(C) સફેદ પ્રકાશમાં લેન્સ દ્વારા બનતું વસ્તુનું પ્રતિબિંબ સામાન્ય રીતે રંગીન અને અસ્પષ્ટ હોય છે કારણ કે લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ સાથે બદલાય છે. આ ખામીને ક્રોમેટિક એબરેશન (વર્ણવિપથન) કહેવામાં આવે છે.
લેન્સનું એક્રોમેટિક સંયોજન આ વર્ણવિપથનને ઘટાડવા અથવા દૂર કરવા માટે બનાવવામાં આવે છે.
જુદા જુદા દ્રવ્યોના બે લેન્સ (સામાન્ય રીતે ક્રાઉન ગ્લાસનો બહિર્ગોળ લેન્સ અને ફ્લિન્ટ ગ્લાસનો અંતર્ગોળ લેન્સ) ને જોડીને,એક લેન્સ દ્વારા થતું વિભાજન બીજા લેન્સ દ્વારા રદ કરવામાં આવે છે.
તેથી,પરિણામી પ્રતિબિંબ વર્ણવિપથનથી મુક્ત હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રતિબિંબની ગુણવત્તા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ સાથે વક્રીભવનાંકના ફેરફારથી પ્રભાવિત થતી નથી.

(A) હ્યુજેન્સના આઈ-પીસમાં બે સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ હોય છે જે એકબીજાથી ચોક્કસ અંતરે ગોઠવાયેલા હોય છે.
જ્યારે તેનો ઉપયોગ માપન માટે કરવામાં આવે છે,ત્યારે ક્રોસ-વાયરને બે લેન્સની વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે.
વસ્તુનું અંતિમ પ્રતિબિંબ બંને લેન્સની સંયુક્ત અસરથી રચાય છે,જેના પરિણામે ચોક્કસ મોટવણી મળે છે.
જો કે,ક્રોસ-વાયર માત્ર આઈ-લેન્સ દ્વારા જ મોટું થાય છે.
કારણ કે વસ્તુ અને ક્રોસ-વાયર અલગ-અલગ સંખ્યામાં લેન્સ દ્વારા મોટું થાય છે,તેથી તેમનું વિસ્તૃતીકરણ પ્રમાણસર હોતું નથી.
આના કારણે માપનમાં ભૂલો આવે છે,તેથી વિધાન $(S)$ સાચું છે અને કારણ $(R)$ તેની સાચી સમજૂતી છે.

(A) પ્લેનો-કોન્કેવ લેન્સ માટે, એક સપાટી સમતલ $(R_1 = \infty)$ છે અને બીજી સપાટી અંતર્ગોળ $(R_2 = 0.3 \,m)$ છે। સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ, અંતર્ગોળ સપાટી માટે $R_2 = -0.3 \,m$ લેવાય છે।
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
અહીં $\mu = 5/3$, $R_1 = \infty$, અને $R_2 = -0.3 \,m$ છે:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{5}{3} - 1 \right) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-0.3} \right)$
$\frac{1}{f} = \left( \frac{2}{3} \right) \left( 0 + \frac{1}{0.3} \right)$
$\frac{1}{f} = \frac{2}{3} \times \frac{10}{3} = \frac{20}{9}$
$f = \frac{9}{20} = 0.45 \,m$
અંતર્ગોળ લેન્સ હોવાથી, સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ કેન્દ્રલંબાઈ ઋણ લેવી પડે, તેથી $f = -0.45 \,m$।

(D) ફોરવર્ડ બાયસિંગમાં,બેટરીનો ધન ટર્મિનલ $p$-બાજુ સાથે અને ઋણ ટર્મિનલ $n$-બાજુ સાથે જોડાયેલ હોય છે.
આ ગોઠવણી મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ ($p$-વિસ્તારમાં હોલ્સ અને $n$-વિસ્તારમાં ઇલેક્ટ્રોન) ને જંકશન તરફ ધકેલે છે.
પરિણામે,ડેપ્લેશન વિસ્તારની પહોળાઈ ઘટે છે અને પોટેન્શિયલ બેરિયર ઓછું થાય છે.
તેથી,એવું વિધાન કે ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ જંકશનથી દૂર જાય છે તે ખોટું છે.

(A) થર્મોઈલેક્ટ્રિક પાવર $S$ એ તાપમાનની સાપેક્ષમાં થર્મો-ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સના ફેરફારનો દર છે,જે $S = \frac{dE}{dT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $E = k(T-T_r)[T_0 - \frac{1}{2}(T+T_r)]$ છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $E = k[T_0(T-T_r) - \frac{1}{2}(T^2 - T_r^2)]$.
$T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dE}{dT} = k[T_0 - \frac{1}{2}(2T)] = k(T_0 - T)$.
$S$ ના સમીકરણમાં $T = \frac{1}{2} T_0$ મૂકતા:
$S = k(T_0 - \frac{1}{2} T_0) = k(\frac{1}{2} T_0) = \frac{1}{2} k T_0$.

(C) ફ્રૉનહોફર વિવર્તન ત્યારે થાય છે જ્યારે પ્રકાશનો સ્ત્રોત અને પડદો અવરોધ અથવા છિદ્રથી અનંત અંતરે હોય.
વ્યવહારિક રીતે,આ ત્યારે પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે ફ્રેનલ અંતર $z_F = \frac{b^2}{\lambda}$ એ અવરોધ અને પડદા વચ્ચેના અંતર $L$ કરતા ઘણું નાનું હોય.
તેથી,શરત $L \gg \frac{b^2}{\lambda}$ છે,જેને $\frac{b^2}{L \lambda} \ll 1$ તરીકે લખી શકાય છે.