sum_{k=1}^{infty} frac{1}{k !} left(sum_{n=1} | vedclass

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Question

(D) दिया गया योग $S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k !} \left(\sum_{n=1}^k 2^{n-1}\right)$ है।कोष्ठक के अंदर,हमारे पास $a=1$,$r=2$ और $k$ पदों वाली एक

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$e^2-e$

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(D) दिया गया योग $S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k !} \left(\sum_{n=1}^k 2^{n-1}\right)$ है।कोष्ठक के अंदर,हमारे पास $a=1$,$r=2$ और $k$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,इसलिए $\sum_{n=1}^k 2^{n-1} = \frac{1(2^k-1)}{2-1} = 2^k-1$ है।इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,$S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k-1}{k !}$ प्राप्त होता है।इसे दो योगों में विभाजित किया जा सकता है: $S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k !} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k !}$।हम जानते हैं कि $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k !} = 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k !}$,इसलिए $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k !} = e^x - 1$ है।पहले योग के लिए,$x=2$,इसलिए $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k !} = e^2 - 1$ है।दूसरे योग के लिए,$x=1$,इसलिए $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1^k}{k !} = e^1 - 1 = e - 1$ है।अतः,$S = (e^2 - 1) - (e - 1) = e^2 - e$।

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k !} \left(\sum_{n=1}^k 2^{n-1}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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