यदि (1+x+x^2+x^3)^5 = sum_{k=0}^{15} a_k x^k | vedclass

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Question

(C) दिया गया है,$(1+x+x^2+x^3)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$ $\Rightarrow [(1+x)(1+x^2)]^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$ $\Rightarrow (1+x)^5 (1+x^2)^5 =

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$512$

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(C) दिया गया है,$(1+x+x^2+x^3)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$ $\Rightarrow [(1+x)(1+x^2)]^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$ $\Rightarrow (1+x)^5 (1+x^2)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$ माना $f(x) = (1+x)^5 (1+x^2)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$ है। हमें $\sum_{k=0}^7 a_{2k} = a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + a_{12} + a_{14}$ का मान ज्ञात करना है। हम जानते हैं कि $a_0 + a_2 + a_4 + \dots + a_{14} = \frac{f(1) + f(-1)}{2}$ होता है। $f(1) = (1+1)^5 (1+1^2)^5 = 2^5 	imes 2^5 = 2^{10} = 1024$ $f(-1) = (1-1)^5 (1+(-1)^2)^5 = 0^5 	imes 2^5 = 0$ अतः,$\sum_{k=0}^7 a_{2k} = \frac{1024 + 0}{2} = 512$।

यदि $(1+x+x^2+x^3)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$ है,तो $\sum_{k=0}^7 a_{2k}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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