AIEEE 2003 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया समीकरण $|x|^2 - 3|x| + 2 = 0$ है।
माना $|x| = t$,जहाँ $t \ge 0$ है।
समीकरण $t^2 - 3t + 2 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 1)(t - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $t = 1$ या $t = 2$ मिलता है।
चूँकि $t = |x|$,इसलिए $|x| = 1$ या $|x| = 2$ है।
$|x| = 1$ के लिए,हल $x = 1$ और $x = -1$ हैं।
$|x| = 2$ के लिए,हल $x = 2$ और $x = -2$ हैं।
अतः,वास्तविक हल $x \in \{1, -1, 2, -2\}$ हैं।
वास्तविक हलों की कुल संख्या $4$ है।

(C) मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
तब,$\alpha + \beta = -b/a$ और $\alpha\beta = c/a$।
प्रश्न के अनुसार,$\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$।
इसका अर्थ है $\alpha + \beta = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $-b/a = \frac{(-b/a)^2 - 2(c/a)}{(c/a)^2} = \frac{b^2/a^2 - 2c/a}{c^2/a^2} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$।
अतः,$-bc^2 = a(b^2 - 2ac) = ab^2 - 2a^2c$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$2a^2c = ab^2 + bc^2$।
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $\frac{2a}{b} = \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$।
यह दर्शाता है कि $\frac{c}{a}, \frac{a}{b}, \frac{b}{c}$ $A.P.$ में हैं।
इसलिए,उनके व्युत्क्रम $\frac{a}{c}, \frac{b}{a}, \frac{c}{b}$ $H.P.$ में हैं।

(A) माना मूल $\alpha$ और $2\alpha$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
मूलों का योग: $\alpha + 2\alpha = 3\alpha = -\frac{3a - 1}{a^2 - 5a + 3} = \frac{1 - 3a}{a^2 - 5a + 3} \implies \alpha = \frac{1 - 3a}{3(a^2 - 5a + 3)}$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot 2\alpha = 2\alpha^2 = \frac{2}{a^2 - 5a + 3} \implies \alpha^2 = \frac{1}{a^2 - 5a + 3}$.
योग के समीकरण से $\alpha$ का मान गुणनफल के समीकरण में रखने पर:
$\left[\frac{1 - 3a}{3(a^2 - 5a + 3)}\right]^2 = \frac{1}{a^2 - 5a + 3}$.
$\frac{(1 - 3a)^2}{9(a^2 - 5a + 3)^2} = \frac{1}{a^2 - 5a + 3}$.
$(1 - 3a)^2 = 9(a^2 - 5a + 3)$.
$1 - 6a + 9a^2 = 9a^2 - 45a + 27$.
$39a = 26$.
$a = \frac{26}{39} = \frac{2}{3}$.

(A) सबसे पहले,$6$ पुरुषों को एक गोल मेज पर व्यवस्थित करें। $n$ वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$6$ पुरुषों को $(6-1)! = 5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
पुरुषों को व्यवस्थित करने के बाद,उनके बीच $6$ स्थान (gaps) बनते हैं।
चूँकि कोई भी दो महिलाएँ एक साथ नहीं बैठनी चाहिए,हमें इन $6$ स्थानों में से $5$ स्थानों का चयन करके $5$ महिलाओं को बैठाना होगा।
$6$ स्थानों में से $5$ स्थानों को चुनने के तरीके $^6C_5$ हैं और $5$ महिलाओं को इन स्थानों में $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल तरीके $= 5! \times P(6, 5) = 5! \times 6!$.

(B) छात्र को $13$ में से $10$ प्रश्न चुनने हैं,जिसमें शर्त यह है कि पहले $5$ प्रश्नों में से कम से कम $4$ प्रश्न चुने जाने चाहिए।
स्थिति $I$: पहले $5$ में से $4$ प्रश्न और शेष $8$ में से $6$ प्रश्न चुनना।
तरीकों की संख्या $= {^5C_4} \times {^8C_6} = 5 \times 28 = 140$.
स्थिति $II$: पहले $5$ में से $5$ प्रश्न और शेष $8$ में से $5$ प्रश्न चुनना।
तरीकों की संख्या $= {^5C_5} \times {^8C_5} = 1 \times 56 = 56$.
कुल विकल्पों की संख्या $= 140 + 56 = 196$.

(C) $(1+x)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{r!} x^r$ द्वारा दिया जाता है।
पद के ऋणात्मक होने के लिए,गुणनफल $n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)$ ऋणात्मक होना चाहिए क्योंकि $x > 0$ के लिए $x^r$ और $r!$ धनात्मक हैं।
यहाँ $n = \frac{27}{5} = 5.4$ है।
पद तब ऋणात्मक हो जाते हैं जब गुणनखंड $(n-r+1) < 0$ होता है।
$5.4 - r + 1 < 0 \implies 6.4 < r$।
चूंकि $r$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए सबसे छोटा पूर्णांक $r = 7$ है।
अतः,पहला ऋणात्मक पद $T_{7+1} = T_8$ है,जो $8$ वां पद है।

(B) $(\sqrt{3} + \sqrt[8]{5})^{256}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1} = {}^{256}C_r (\sqrt{3})^{256-r} (\sqrt[8]{5})^r$ है।
इसे $T_{r+1} = {}^{256}C_r (3)^{\frac{256-r}{2}} (5)^{\frac{r}{8}}$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
पद के पूर्णांक होने के लिए,दोनों घातांक $\frac{256-r}{2}$ और $\frac{r}{8}$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए।
चूंकि $0 \leq r \leq 256$,$\frac{r}{8}$ के पूर्णांक होने के लिए $r$ को $8$ का गुणज होना चाहिए,अर्थात $r \in \{0, 8, 16, \dots, 256\}$।
इन मानों के लिए $\frac{256-r}{2}$ भी एक पूर्णांक होगा।
$r$ के ऐसे मानों की संख्या समांतर श्रेणी $0, 8, 16, \dots, 256$ द्वारा प्राप्त होती है।
सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर,$256 = 0 + (n-1)8$,जिससे $n-1 = 32$,अर्थात $n = 33$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल $33$ पूर्णांक पद हैं।

(A) हम जानते हैं कि लघुगणकीय श्रेणी का विस्तार:
${\log_e} 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$
दी गई श्रेणी $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)}$ है।
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$।
अतः,$S = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = 2{\log_e} 2 - 1 = {\log_e} 4 - {\log_e} e = {\log_e} \left( \frac{4}{e} \right)$.

(A) दिया गया है: $a\cos^2\frac{C}{2} + c\cos^2\frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2}$ का उपयोग करते हुए,$\cos^2\frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ और $\cos^2\frac{C}{2} = \frac{s(s-c)}{ab}$ सूत्रों को रखने पर:
$a \left( \frac{s(s-c)}{ab} \right) + c \left( \frac{s(s-a)}{bc} \right) = \frac{3b}{2}$
$\frac{s(s-c)}{b} + \frac{s(s-a)}{b} = \frac{3b}{2}$
$\frac{s}{b} (s-c + s-a) = \frac{3b}{2}$
चूंकि $s-c+s-a = 2s - (a+c) = b$ है:
$\frac{s}{b} (b) = \frac{3b}{2} \Rightarrow s = \frac{3b}{2}$
$s = \frac{a+b+c}{2}$ रखने पर:
$\frac{a+b+c}{2} = \frac{3b}{2}$ $\Rightarrow a+b+c = 3b$ $\Rightarrow a+c = 2b$
अतः,$a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।

(B) भुजा लंबाई वाले नियमित $n$-भुज के लिए,अंतःत्रिज्या $r$ और परिवृत्त त्रिज्या $R$ इस प्रकार हैं:
$r = \frac{a}{2} \cot \left( \frac{\pi}{n} \right)$
$R = \frac{a}{2} \csc \left( \frac{\pi}{n} \right)$
योग $= r + R = \frac{a}{2} \left( \cot \frac{\pi}{n} + \csc \frac{\pi}{n} \right)$
सर्वसमिका $\cot \theta + \csc \theta = \cot \left( \frac{\theta}{2} \right)$ का उपयोग करने पर:
योग $= \frac{a}{2} \cot \left( \frac{\pi}{2n} \right)$.

(B) माना त्रिभुज का केंद्रक $(x, y)$ है।
दिए गए शीर्ष $(x_1, y_1) = (a \cos t, a \sin t)$,$(x_2, y_2) = (b \sin t, -b \cos t)$ और $(x_3, y_3) = (1, 0)$ हैं।
केंद्रक के निर्देशांक $x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$ और $y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$ द्वारा दिए जाते हैं।
अतः,$3x = a \cos t + b \sin t + 1$ और $3y = a \sin t - b \cos t$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$3x - 1 = a \cos t + b \sin t$ और $3y = a \sin t - b \cos t$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = (a \cos t + b \sin t)^2 + (a \sin t - b \cos t)^2$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$= a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t + 2ab \sin t \cos t + a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t - 2ab \sin t \cos t$.
$= a^2(\cos^2 t + \sin^2 t) + b^2(\sin^2 t + \cos^2 t) = a^2 + b^2$.
अतः,बिंदु पथ $(3x - 1)^2 + (3y)^2 = a^2 + b^2$ है।

(A) माना सार्व अनुपात $r$ है। चूंकि ${x_1}, {x_2}, {x_3}$ $G$.$P$. में हैं,इसलिए ${x_2} = {x_1}r$ और ${x_3} = {x_1}r^2$ है।
इसी प्रकार,चूंकि ${y_1}, {y_2}, {y_3}$ समान सार्व अनुपात $r$ के साथ $G$.$P$. में हैं,इसलिए ${y_2} = {y_1}r$ और ${y_3} = {y_1}r^2$ है।
बिंदु $P_1 = ({x_1}, {y_1})$,$P_2 = ({x_1}r, {y_1}r)$,और $P_3 = ({x_1}r^2, {y_1}r^2)$ हैं।
ध्यान दें कि सभी बिंदुओं के लिए $y$-निर्देशांक और $x$-निर्देशांक का अनुपात स्थिर है: $\frac{{y_1}}{{x_1}} = \frac{{y_1}r}{{x_1}r} = \frac{{y_1}r^2}{{x_1}r^2} = m$ (जहाँ $m = \frac{{y_1}}{{x_1}}$)।
यह दर्शाता है कि तीनों बिंदु रैखिक समीकरण $y = mx$ को संतुष्ट करते हैं,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

(A) रेखाओं $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के बीच के कोण के समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $x^2 - 2pxy - y^2 = 0$ के लिए,$a = 1, h = -p, b = -1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2 - y^2}{1 - (-1)} = \frac{xy}{-p}$ प्राप्त होता है।
$\frac{x^2 - y^2}{2} = \frac{xy}{-p}$ $\Rightarrow -p(x^2 - y^2) = 2xy$ $\Rightarrow px^2 + 2xy - py^2 = 0$।
इसे दिए गए समद्विभाजक समीकरण $x^2 - 2qxy - y^2 = 0$ के साथ तुलना करने पर,गुणांकों का अनुपात:
$\frac{p}{1} = \frac{2}{-2q} = \frac{-p}{-1}$।
$\frac{p}{1} = \frac{2}{-2q}$ से,हमें $p = -\frac{1}{q}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $pq = -1$ या $pq + 1 = 0$।

(B) वृत्त का केंद्र व्यास $2x - 3y = 5$ और $3x - 4y = 7$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इन समीकरणों को हल करने पर: $x = 1$ और $y = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $(h, k) = (1, -1)$ है।
दिया गया क्षेत्रफल $= 154$,इसलिए $\pi r^2 = 154$ $\Rightarrow r^2 = 49$ $\Rightarrow r = 7$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ के अनुसार:
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2x + 2y = 47$.

(A) पहला वृत्त $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = r^2$ है,जिसका केंद्र $C_1 = (1, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = r$ है।
दूसरा वृत्त $x^2 + y^2 - 8x + 2y + 8 = 0$ है। मानक रूप में: $(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 3^2$। अतः,केंद्र $C_2 = (4, -1)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-1 - 3)^2} = 5$ है।
दो वृत्तों के दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने की शर्त $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ है।
$1$) $r + 3 > 5 \Rightarrow r > 2$।
$2$) $|r - 3| < 5 \Rightarrow -2 < r < 8$। चूंकि $r$ धनात्मक है,$0 < r < 8$।
अतः,$2 < r < 8$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय $y^2 = 4bx$ के बिंदु $P(bt_1^2, 2bt_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $y + t_1x = 2bt_1 + bt_1^3$ है।
चूंकि यह अभिलंब परवलय को बिंदु $Q(bt_2^2, 2bt_2)$ पर मिलता है,बिंदु $Q$ अभिलंब के समीकरण को संतुष्ट करता है।
$x = bt_2^2$ और $y = 2bt_2$ रखने पर:
$2bt_2 + t_1(bt_2^2) = 2bt_1 + bt_1^3$.
$b$ से विभाजित करने पर:
$2t_2 + t_1t_2^2 = 2t_1 + t_1^3$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$t_1(t_2^2 - t_1^2) + 2(t_2 - t_1) = 0$.
$t_1(t_2 - t_1)(t_2 + t_1) + 2(t_2 - t_1) = 0$.
$(t_2 - t_1)$ से विभाजित करने पर:
$t_1(t_2 + t_1) + 2 = 0$.
$t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$.

(C) दिया गया अतिपरवलय $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ है,जिसे $\frac{x^2}{(12/5)^2} - \frac{y^2}{(9/5)^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = \frac{144}{25}$ और $b^2 = \frac{81}{25}$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{81}{144}} = \sqrt{\frac{225}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ है।
अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm a e_1, 0) = (\pm \frac{12}{5} \times \frac{5}{4}, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ हैं,जहाँ $a^2 = 16$,इसलिए $a = 4$ है।
चूँकि नाभियाँ संपाती हैं,$4e = 3$,जिससे $e = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त के लिए,$b^2 = a^2(1 - e^2) = 16(1 - (\frac{3}{4})^2) = 16(1 - \frac{9}{16}) = 16(\frac{7}{16}) = 7$।

(C) दिया गया सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\log (3 + x) - \log (3 - x)}}{x} = k$.
$L'Hospital$ नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\log(3+x) - \log(3-x))}{\frac{d}{dx}(x)} = k$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3+x} - (\frac{1}{3-x} \times -1)}{1} = k$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\frac{1}{3+x} + \frac{1}{3-x}) = k$.
$x = 0$ रखने पर:
$\frac{1}{3+0} + \frac{1}{3-0} = k$.
$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = k$.
$k = \frac{2}{3}$.

(D) $5$ घोड़ों में से $2$ घोड़ों को चुनने के कुल तरीके $^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ हैं।
केवल $1$ विजेता घोड़ा है। $2$ घोड़ों को इस प्रकार चुनने के तरीके कि विजेता घोड़ा शामिल हो,का अर्थ है विजेता घोड़े को चुनना और शेष $4$ घोड़ों में से एक अन्य घोड़े को चुनना,जो $^4C_1 = 4$ है।
अतः,$Mr. A$ द्वारा विजेता घोड़े को चुनने की प्रायिकता $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ है।

(A) चूंकि $\frac{1 + 3p}{3}, \frac{1 - p}{4}$ और $\frac{1 - 2p}{2}$ तीन घटनाओं की प्रायिकताएं हैं,प्रत्येक प्रायिकता को $[0, 1]$ अंतराल में होना चाहिए।
$1$) $0 \le \frac{1 + 3p}{3} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 + 3p \le 3 \Rightarrow -1 \le 3p \le 2 \Rightarrow -\frac{1}{3} \le p \le \frac{2}{3}$
$2$) $0 \le \frac{1 - p}{4} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 - p \le 4 \Rightarrow -1 \le -p \le 3 \Rightarrow -3 \le p \le 1$
$3$) $0 \le \frac{1 - 2p}{2} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 - 2p \le 2 \Rightarrow -1 \le -2p \le 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \le p \le \frac{1}{2}$
परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए,प्रायिकताओं का योग $\le 1$ होना चाहिए:
$\frac{1 + 3p}{3} + \frac{1 - p}{4} + \frac{1 - 2p}{2} \le 1$
$12$ से गुणा करने पर: $4(1 + 3p) + 3(1 - p) + 6(1 - 2p) \le 12$
$4 + 12p + 3 - 3p + 6 - 12p \le 12$
$13 - 3p \le 12 \Rightarrow -3p \le -1 \Rightarrow p \ge \frac{1}{3}$
सभी शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$p \in [-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \cap [-3, 1] \cap [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] \cap [\frac{1}{3}, \infty)$
प्रतिच्छेदन $\frac{1}{3} \le p \le \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि अवलोकनों की संख्या $n = 9$ है।
$9$ अवलोकनों की माध्यिका $\left( \frac{9+1}{2} \right)^{th} = 5^{th}$ अवलोकन है।
मान लीजिए कि क्रमित अवलोकन $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6 < x_7 < x_8 < x_9$ हैं।
माध्यिका $x_5 = 20.5$ है।
यदि सबसे बड़े $4$ अवलोकनों $(x_6, x_7, x_8, x_9)$ को $2$ से बढ़ाया जाता है,तो नए अवलोकन $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, (x_6+2), (x_7+2), (x_8+2), (x_9+2)$ होंगे।
चूंकि $x_5$ का मान $x_6$ से छोटा है,और $x_6 < x_6+2$,इसलिए पहले $5$ अवलोकनों का क्रम अपरिवर्तित रहता है।
अतः,$5^{th}$ अवलोकन $x_5$ ही रहता है,जो $20.5$ है।
इस प्रकार,माध्यिका मूल समूह की माध्यिका के समान ही रहती है।

(A) दिया गया समीकरण: ${\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^x} = 1$ है।
सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के पद को हर के संयुग्मी $(1 + i)$ से गुणा करके सरल करें:
$\frac{{1 + i}}{{1 - i}} \times \frac{{1 + i}}{{1 + i}} = \frac{{(1 + i)^2}}{{1^2 - i^2}} = \frac{{1 + i^2 + 2i}}{{1 - (-1)}} = \frac{{1 - 1 + 2i}}{2} = \frac{{2i}}{2} = i$।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $i^x = 1$।
हम जानते हैं कि $i^k = 1$ तभी होता है जब $k$,$4$ का गुणज हो।
अतः,$x = 4n$,जहाँ $n$ कोई भी धनात्मक पूर्णांक है।

(C) दिया गया है कि ${z_1}$ और ${z_2}$ समीकरण ${z^2 + az + b = 0}$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,${z_1 + z_2 = -a}$ और ${z_1 z_2 = b}$ है।
चूँकि मूल बिंदु $({z_3 = 0})$,${z_1}$,और ${z_2}$ एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं,इसलिए शर्त ${z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1}$ है।
${z_3 = 0}$ रखने पर,${z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में ${2 z_1 z_2}$ जोड़ने पर,${z_1^2 + z_2^2 + 2 z_1 z_2 = 3 z_1 z_2}$ प्राप्त होता है।
यह ${(z_1 + z_2)^2 = 3 z_1 z_2}$ में सरल हो जाता है।
मान रखने पर,${(-a)^2 = 3b}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है ${a^2 = 3b}$।

(B) माना खंभे की कुल ऊँचाई $h$ है। खंभा दो भागों में विभाजित है: ऊपरी भाग $\frac{3h}{4}$ और निचला भाग $\frac{h}{4}$।
माना जमीन पर बिंदु $C$ है और खंभे का आधार $B$ है। दिया है $BC = 40 \ m$।
माना $\theta$ खंभे के शीर्ष $(A)$ का उन्नयन कोण है और $\alpha$ बिंदु $D$ का उन्नयन कोण है।
तब $\tan \theta = \frac{h}{40}$ और $\tan \alpha = \frac{h/4}{40} = \frac{h}{160}$।
ऊपरी भाग $AD$ द्वारा $C$ पर बनाया गया कोण $\beta = \theta - \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ है।
अतः,$\tan \beta = \frac{\tan \theta - \tan \alpha}{1 + \tan \theta \tan \alpha} = \frac{3}{5}$।
मान रखने पर: $\frac{\frac{h}{40} - \frac{h}{160}}{1 + \left(\frac{h}{40}\right)\left(\frac{h}{160}\right)} = \frac{3}{5}$।
$\frac{3h}{160} \times \frac{6400}{6400 + h^2} = \frac{3}{5} \Rightarrow 200h = 6400 + h^2$।
$h^2 - 200h + 6400 = 0 \Rightarrow (h - 160)(h - 40) = 0$।
अतः,$h = 40 \ m$ या $h = 160 \ m$।

(B) माना वर्ग के शीर्ष $O(0,0)$,$A(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$,$B$,और $C$ हैं।
चूंकि भुजा $OA$,$x$-अक्ष के साथ $\alpha$ का कोण बनाती है,इसलिए इसके निर्देशांक $A(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ हैं।
विकर्ण $OB$,$x$-अक्ष के साथ $\alpha + \frac{\pi}{4}$ का कोण बनाता है।
$OB$ की ढाल $\tan(\alpha + \frac{\pi}{4})$ है।
विकर्ण $AC$,$OB$ पर लंबवत है।
$AC$ की ढाल $-\cot(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$ है।
$A(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ से गुजरने वाली रेखा $AC$ का समीकरण:
$y - a \sin \alpha = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} (x - a \cos \alpha)$
गणना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y(\cos \alpha + \sin \alpha) - x(\sin \alpha - \cos \alpha) = a$.

(C) हम जानते हैं कि $\frac{1 - \tan(x/2)}{1 + \tan(x/2)} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$.
अतः,सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\tan \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)\,(1 - \sin x)}}{{{{(\pi - 2x)}^3}}}$ हो जाती है।
माना $x = \frac{\pi }{2} + y$,जहाँ $y \to 0$। तब $\pi - 2x = -2y$ और $1 - \sin x = 1 - \cos y = 2\sin^2(\frac{y}{2})$।
मान रखने पर,$\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{-\tan(\frac{y}{2}) \cdot 2\sin^2(\frac{y}{2})}}{-8y^3} = \frac{1}{32}$।

(A) दिया गया सीमा: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(1) g(x) - f(1) - g(1) f(x) + g(1)}{g(x) - f(x)} = 4$।
चूंकि $f(1) = g(1) = k$,व्यंजक $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{k g(x) - k - k f(x) + k}{g(x) - f(x)} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{k(g(x) - f(x))}{g(x) - f(x)}$ बन जाता है।
जैसे ही $x \rightarrow 1$,$g(x) - f(x) \rightarrow g(1) - f(1) = k - k = 0$,जो $\frac{0}{0}$ प्रकार का एक अनिर्धारित रूप है।
$L'\text{Hospital's Rule}$ लागू करने पर: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{k g'(x) - k f'(x)}{g'(x) - f'(x)} = 4$।
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{k(g'(x) - f'(x))}{g'(x) - f'(x)} = 4$।
चूंकि $g'(1) \neq f'(1)$ (जैसा कि दिया गया है कि अवकलज समान नहीं हैं),हम $(g'(x) - f'(x))$ पद को काट सकते हैं।
अतः,$k = 4$।

(C) दिया गया है $f(x) = x^n$.
हम जानते हैं कि $x=1$ पर $f(x)$ का $k$-वां अवकलज $f^k(1) = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$f(1) - \frac{f'(1)}{1!} + \frac{f''(1)}{2!} - \frac{f'''(1)}{3!} + ...... + \frac{(-1)^n f^n(1)}{n!} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{f^k(1)}{k!}$.
चूंकि $\frac{f^k(1)}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{k}$,इसलिए व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = \binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - ...... + (-1)^n \binom{n}{n}$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1-x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-x)^k$.
$x=1$ रखने पर,हमें $(1-1)^n = 0^n = 0$ प्राप्त होता है (जहाँ $n \ge 1$)।
अतः,मान $0$ है।

(D) दिया गया है $n = 15$,$\sum x^2 = 2830$,और $\sum x = 170$.
गलत प्रेक्षण $20$ है और सही प्रेक्षण $30$ है।
संशोधित $\sum x = 170 - 20 + 30 = 180$.
संशोधित $\sum x^2 = 2830 - (20)^2 + (30)^2 = 2830 - 400 + 900 = 3330$.
संशोधित माध्य $\bar{x} = \frac{180}{15} = 12$.
संशोधित प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{3330}{15} - (12)^2$.
$\sigma^2 = 222 - 144 = 78$.

(D) दिया गया है कि $|z \omega| = 1$,इसलिए $|z| |\omega| = 1$.
साथ ही,$\operatorname{Arg}(z) - \operatorname{Arg}(\omega) = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $\operatorname{Arg}(\frac{z}{\omega}) = \frac{\pi}{2}$.
मान लीजिए $z = r_1 e^{i \theta_1}$ और $\omega = r_2 e^{i \theta_2}$.
तब $|z| = r_1$ और $|\omega| = r_2$,इसलिए $r_1 r_2 = 1$.
$\operatorname{Arg}(z) = \theta_1$ और $\operatorname{Arg}(\omega) = \theta_2$,इसलिए $\theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{2}$.
हमें $\bar{z} \omega$ ज्ञात करना है।
$\bar{z} = r_1 e^{-i \theta_1}$.
$\bar{z} \omega = (r_1 e^{-i \theta_1}) (r_2 e^{i \theta_2}) = (r_1 r_2) e^{i(\theta_2 - \theta_1)}$.
चूंकि $r_1 r_2 = 1$ और $\theta_2 - \theta_1 = -\frac{\pi}{2}$,इसलिए:
$\bar{z} \omega = 1 \cdot e^{-i \frac{\pi}{2}} = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 - i = -i$.

(B) हम सर्वसमिका ${}^n C_r + {}^n C_{r-1} = {}^{n+1} C_r$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक ${}^n C_{r+1} + {}^n C_{r-1} + 2{}^n C_r$ है।
इसे $({}^n C_{r+1} + {}^n C_r) + ({}^n C_r + {}^n C_{r-1})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सर्वसमिका लागू करने पर,हमें ${}^{n+1} C_{r+1} + {}^{n+1} C_r$ प्राप्त होता है।
पुनः सर्वसमिका लागू करने पर,हमें ${}^{n+2} C_{r+1}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\Delta = 1(\omega^{2n} \cdot \omega^n - 1 \cdot 1) - \omega^n(\omega^n \cdot \omega^n - 1 \cdot \omega^{2n}) + \omega^{2n}(\omega^n \cdot 1 - \omega^{2n} \cdot \omega^{2n})$
$\Delta = (\omega^{3n} - 1) - \omega^n(\omega^{2n} - \omega^{2n}) + \omega^{2n}(\omega^n - \omega^{4n})$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{3n} = 1$ और $\omega^{4n} = \omega^n$ होता है।
$\Delta = (1 - 1) - \omega^n(0) + \omega^{2n}(\omega^n - \omega^n)$
$\Delta = 0 - 0 + 0 = 0$.

(C) रैखिक समीकरण निकाय का शून्येतर हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
स्तंभ संक्रिया $C_2 \to C_2 - 2C_3$ लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & a \\ 1 & b & b \\ 1 & 2c & c \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रिया $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_2$ लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & b & b-a \\ 0 & 2c-b & c-b \end{vmatrix} = 0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1 \cdot [b(c - b) - (b - a)(2c - b)] = 0$
$bc - b^2 - (2bc - b^2 - 2ac + ab) = 0$
$bc - b^2 - 2bc + b^2 + 2ac - ab = 0$
$2ac - ab - bc = 0$
$2ac = ab + bc$
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
यह स्थिति दर्शाती है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी ($H$.$P$.) में हैं।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}$.
हमें $A^2 = A \times A$ ज्ञात करना है।
$A^2 = \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + b^2 & ab + ba \\ ba + ab & b^2 + a^2 \end{bmatrix}$.
$A^2 = \begin{bmatrix} a^2 + b^2 & 2ab \\ 2ab & a^2 + b^2 \end{bmatrix}$.
इसकी तुलना $A^2 = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \beta & \alpha \end{bmatrix}$ से करने पर,हमें $\alpha = a^2 + b^2$ और $\beta = 2ab$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $a + b + c = 0$.
दोनों पक्षों का स्वयं के साथ अदिश गुणनफल (dot product) लेने पर: $(a + b + c) \cdot (a + b + c) = 0 \cdot 0 = 0$.
विस्तार करने पर: $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$.
दिए गए परिमाण $|a| = 1, |b| = 2, |c| = 3$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(1)^2 + (2)^2 + (3)^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$.
$1 + 4 + 9 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$.
$14 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$.
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = -14$.
$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = -7$.

(C) परिणामी बल $\overrightarrow{F}$ व्यक्तिगत बलों का योग है:
$\overrightarrow{F} = (4i + j - 3k) + (3i + j - k) = (4+3)i + (1+1)j + (-3-1)k = 7i + 2j - 4k$.
विस्थापन सदिश $\overrightarrow{d}$ अंतिम स्थिति सदिश और प्रारंभिक स्थिति सदिश के बीच का अंतर है:
$\overrightarrow{d} = (5i + 4j + k) - (i + 2j + 3k) = (5-1)i + (4-2)j + (1-3)k = 4i + 2j - 2k$.
किया गया कार्य $W$ बल और विस्थापन सदिशों का अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) है:
$W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = (7i + 2j - 4k) \cdot (4i + 2j - 2k)$.
$W = (7 \times 4) + (2 \times 2) + (-4 \times -2) = 28 + 4 + 8 = 40 \text{ units}$.

(B) हमें अदिश त्रिगुणित गुणनफल $(u + v - w) \cdot [(u - v) \times (v - w)]$ का मूल्यांकन करना है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करें: $(u - v) \times (v - w) = u \times v - u \times w - v \times v + v \times w$.
चूंकि $v \times v = 0$,यह $u \times v - u \times w + v \times w$ में सरल हो जाता है।
अब,$(u + v - w)$ के साथ डॉट प्रोडक्ट की गणना करें:
$(u + v - w) \cdot (u \times v - u \times w + v \times w) = u \cdot (u \times v) - u \cdot (u \times w) + u \cdot (v \times w) + v \cdot (u \times v) - v \cdot (u \times w) + v \cdot (v \times w) - w \cdot (u \times v) + w \cdot (u \times w) - w \cdot (v \times w)$.
इस गुणधर्म का उपयोग करते हुए कि यदि कोई दो सदिश समान हों तो अदिश त्रिगुणित गुणनफल शून्य होता है:
$u \cdot (u \times v) = 0, u \cdot (u \times w) = 0, v \cdot (u \times v) = 0, v \cdot (v \times w) = 0, w \cdot (u \times w) = 0, w \cdot (v \times w) = 0$.
इस प्रकार,व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है:
$u \cdot (v \times w) - v \cdot (u \times w) - w \cdot (u \times v)$.
अदिश त्रिगुणित गुणनफल के चक्रीय गुणधर्म का उपयोग करते हुए $[u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v]$ और $[v, u, w] = -[u, v, w]$:
$= [u, v, w] - (-[u, v, w]) - [w, u, v] = [u, v, w] + [u, v, w] - [u, v, w] = [u, v, w] = u \cdot (v \times w)$.

(A) चतुष्फलक के दो फलकों के बीच का कोण उन फलकों के अभिलंबों (normals) के बीच का कोण होता है।
सबसे पहले,सदिश $\vec{OA}$ और $\vec{OB}$ के क्रॉस प्रोडक्ट का उपयोग करके फलक $OAB$ के लिए अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$ ज्ञात करें:
$\vec{OA} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{OB} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{n_1} = \vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
इसके बाद,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ के क्रॉस प्रोडक्ट का उपयोग करके फलक $ABC$ के लिए अभिलंब सदिश $\vec{n_2}$ ज्ञात करें:
$\vec{AB} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{AC} = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{n_2} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
फलकों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3) = 19$.
$|\vec{n_1}| = \sqrt{35}$,$|\vec{n_2}| = \sqrt{35}$.
$\cos \theta = \frac{19}{35}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{35}\right)$.

(C) दो रेखाएँ $\frac{x - x_1}{l_1} = \frac{y - y_1}{m_1} = \frac{z - z_1}{n_1}$ और $\frac{x - x_2}{l_2} = \frac{y - y_2}{m_2} = \frac{z - z_2}{n_2}$ समतलीय होती हैं यदि $\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \end{vmatrix} = 0$ हो।
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (1, 4, 5)$ है।
अतः,$x_2 - x_1 = -1$,$y_2 - y_1 = 1$,$z_2 - z_1 = 1$ प्राप्त होता है।
शर्त के अनुसार $\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$ होगा।
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1(1 + 2k) - 1(1 + k^2) + 1(2 - k) = 0$
$-1 - 2k - 1 - k^2 + 2 - k = 0$
$-k^2 - 3k = 0$
$k(k + 3) = 0$
अतः,$k = 0$ या $k = -3$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि आयताकार अक्षों की पहली प्रणाली में समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से इस समतल की लंबवत दूरी $p$ का मान $p = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}}$ है,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{p^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$।
इसी प्रकार,आयताकार अक्षों की दूसरी प्रणाली के लिए,उसी समतल का समीकरण $\frac{x}{a'} + \frac{y}{b'} + \frac{z}{c'} = 1$ है।
मूल बिंदु से इस समतल की लंबवत दूरी $p$ समान है,इसलिए $p = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a'^2} + \frac{1}{b'^2} + \frac{1}{c'^2}}}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{p^2} = \frac{1}{a'^2} + \frac{1}{b'^2} + \frac{1}{c'^2}$।
$\frac{1}{p^2}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{a'^2} + \frac{1}{b'^2} + \frac{1}{c'^2}$।
अतः,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} - \frac{1}{a'^2} - \frac{1}{b'^2} - \frac{1}{c'^2} = 0$।

(C) गोले का समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 2y - 6z - 155 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 + 2gx + 2fy + 2hz + c = 0$ से तुलना करने पर,केंद्र $C = (-2, 1, 3)$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 + h^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-3)^2 - (-155)} = \sqrt{4 + 1 + 9 + 155} = \sqrt{169} = 13$ है।
केंद्र $C(-2, 1, 3)$ से समतल $12x + 4y + 3z - 327 = 0$ की लंबवत दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \frac{|12(-2) + 4(1) + 3(3) - 327|}{\sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2}} = \frac{|-24 + 4 + 9 - 327|}{\sqrt{144 + 16 + 9}} = \frac{|-338|}{13} = 26$.
समतल से गोले की न्यूनतम दूरी $d - r = 26 - 13 = 13$ है।

(C) गोले का समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y - 4z - 19 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$ से तुलना करने पर,हमें केंद्र $C = (-u, -v, -w) = (-1, 1, 2)$ और त्रिज्या $R = \sqrt{u^2 + v^2 + w^2 - d} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2 - (-19)} = \sqrt{1 + 1 + 4 + 19} = \sqrt{25} = 5$ प्राप्त होती है।
केंद्र $C(-1, 1, 2)$ से समतल $x + 2y + 2z + 7 = 0$ की लंबवत दूरी $p = \frac{|(-1) + 2(1) + 2(2) + 7|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|-1 + 2 + 4 + 7|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{12}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$ है।
प्रतिच्छेदन से बने वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{R^2 - p^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ होगी।

(C) दिया गया फलन $f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$ इस प्रकार परिभाषित है:
$f(n) = \begin{cases} \frac{n-1}{2}, & \text{यदि } n \text{ विषम है} \\ -\frac{n}{2}, & \text{यदि } n \text{ सम है} \end{cases}$
आइए पहली कुछ प्राकृत संख्याओं के प्रतिबिंबों की गणना करें:
$f(1) = \frac{1-1}{2} = 0$
$f(2) = -\frac{2}{2} = -1$
$f(3) = \frac{3-1}{2} = 1$
$f(4) = -\frac{4}{2} = -2$
$f(5) = \frac{5-1}{2} = 2$
$f(6) = -\frac{6}{2} = -3$
$1$. एकैकी जाँच: प्रत्येक भिन्न $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$ के लिए,हमें $\mathbb{Z}$ में भिन्न प्रतिबिंब प्राप्त होते हैं। अतः,फलन एकैकी है।
$2$. आच्छादक जाँच: फलन का परिसर $\{0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, \dots\}$ है,जो सभी पूर्णांकों का समुच्चय $\mathbb{Z}$ है। चूँकि परिसर सह-प्रांत के बराबर है,इसलिए फलन आच्छादक है।
अतः,फलन एकैकी और आच्छादक दोनों है।

(D) फलन $f(x) = \frac{3}{4 - x^2} + \log_{10}(x^3 - x)$ को परिभाषित होने के लिए:
$1$. हर शून्य नहीं होना चाहिए: $4 - x^2 \neq 0$ $\Rightarrow x^2 \neq 4$ $\Rightarrow x \neq \pm 2$.
$2$. लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए: $x^3 - x > 0$.
असमिका का गुणनखंड करने पर: $x(x - 1)(x + 1) > 0$.
संख्या रेखा पर $-1, 0, 1$ बिंदुओं का उपयोग करके,व्यंजक $(-1, 0) \cup (1, \infty)$ अंतराल में धनात्मक है।
शर्तों को संयोजित करने पर: $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$ और $x \neq \pm 2$.
चूंकि $2$ अंतराल $(1, \infty)$ में स्थित है,इसलिए इसे हटाना होगा।
अतः,प्रांत $D = (-1, 0) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$ है।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $f(x) = \log (x + \sqrt {{x^2} + 1} )$ सम है या विषम,हम $f(-x)$ का मूल्यांकन करते हैं।
$f(-x) = \log (-x + \sqrt {(-x)^2 + 1} )$
$f(-x) = \log (-x + \sqrt {x^2 + 1} )$
हम लघुगणक के तर्क को उसके संयुग्मी $(\sqrt {x^2 + 1} + x)$ से गुणा और भाग करके फिर से लिख सकते हैं:
$f(-x) = \log \left( \frac{(\sqrt {x^2 + 1} - x)(\sqrt {x^2 + 1} + x)}{\sqrt {x^2 + 1} + x} \right)$
$f(-x) = \log \left( \frac{(x^2 + 1) - x^2}{\sqrt {x^2 + 1} + x} \right)$
$f(-x) = \log \left( \frac{1}{\sqrt {x^2 + 1} + x} \right)$
$\log(1/a) = -\log(a)$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए:
$f(-x) = -\log (x + \sqrt {x^2 + 1} )$
$f(-x) = -f(x)$
चूंकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।

(D) दिया गया फलन समीकरण $f(x + y) = f(x) + f(y)$ कौशी का फलन समीकरण है,जो यह दर्शाता है कि किसी स्थिरांक $c$ के लिए $f(x) = cx$ है।
चूंकि $f(1) = 7$,हमें $c(1) = 7$ प्राप्त होता है,इसलिए $c = 7$ है।
अतः,$f(x) = 7x$ है।
अब,हमें योग $\sum_{r = 1}^n f(r) = \sum_{r = 1}^n 7r$ की गणना करनी है।
यह $7 \sum_{r = 1}^n r$ के रूप में सरल हो जाता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{r = 1}^n r = \frac{n(n + 1)}{2}$ है।
इसलिए,$\sum_{r = 1}^n f(r) = 7 \times \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{7n(n + 1)}{2}$।

(B) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x e^{-\left( \frac{1}{|x|} + \frac{1}{x} \right)}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$.
$x = 0$ पर सांतत्य के लिए:
$R.H.L. = \lim_{h \to 0^+} f(0+h) = \lim_{h \to 0^+} h e^{-\left( \frac{1}{h} + \frac{1}{h} \right)} = \lim_{h \to 0^+} h e^{-2/h} = 0$.
$L.H.L. = \lim_{h \to 0^+} f(0-h) = \lim_{h \to 0^+} (-h) e^{-\left( \frac{1}{h} - \frac{1}{h} \right)} = \lim_{h \to 0^+} (-h) e^0 = 0$.
चूंकि $R.H.L. = L.H.L. = f(0) = 0$,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता के लिए:
$Rf'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h e^{-2/h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} e^{-2/h} = 0$.
$Lf'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h e^0 - 0}{-h} = 1$.
चूंकि $Rf'(0) \ne Lf'(0)$,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।

(B) माना फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$ है,जहाँ $x > 0$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,$1 - \frac{1}{x^2} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = 1$। चूँकि $x > 0$ है,इसलिए $x = 1$ प्राप्त होता है।
अब,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $f''(x) = \frac{2}{x^3}$।
$x = 1$ पर,$f''(1) = \frac{2}{1^3} = 2 > 0$ है।
चूँकि द्वितीय अवकलज धनात्मक है,इसलिए फलन $f(x)$ का न्यूनतम मान $x = 1$ पर प्राप्त होता है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$ है।
प्रथम अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2$.
क्रांतिक बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $6(x^2 - 3ax + 2a^2) = 0 \Rightarrow 6(x - a)(x - 2a) = 0$.
क्रांतिक बिंदु $x = a$ और $x = 2a$ हैं।
द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = 12x - 18a$.
$x = a$ पर,$f''(a) = 12a - 18a = -6a < 0$ (चूंकि $a > 0$),इसलिए $x = a$ स्थानीय अधिकतम बिंदु है। अतः,$p = a$.
$x = 2a$ पर,$f''(2a) = 12(2a) - 18a = 6a > 0$,इसलिए $x = 2a$ स्थानीय न्यूनतम बिंदु है। अतः,$q = 2a$.
दी गई शर्त $p^2 = q$ के अनुसार,$a^2 = 2a$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a$ से विभाजित करने पर $a = 2$ प्राप्त होता है।

(C) गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a - x) dx$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{1} (1 - x)(1 - (1 - x))^n dx$
$I = \int_{0}^{1} (1 - x)x^n dx$
$I = \int_{0}^{1} (x^n - x^{n+1}) dx$
$I = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{x^{n+2}}{n+2} \right]_{0}^{1}$
$I = \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) - (0 - 0)$
$I = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$

(B) माना $I = \int_a^b x f(x) dx$ है।
गुणधर्म $\int_a^b g(x) dx = \int_a^b g(a + b - x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_a^b (a + b - x) f(a + b - x) dx$।
चूंकि यह दिया गया है कि $f(a + b - x) = f(x)$,इसलिए समाकलन में यह मान रखने पर:
$I = \int_a^b (a + b - x) f(x) dx$।
$I = (a + b) \int_a^b f(x) dx - \int_a^b x f(x) dx$।
$I = (a + b) \int_a^b f(x) dx - I$।
$2I = (a + b) \int_a^b f(x) dx$।
$I = \frac{a + b}{2} \int_a^b f(x) dx$।

(D) दिया गया है कि $\frac{d}{dx}F(x) = \frac{e^{\sin x}}{x}$ है।
हमें समाकलन $I = \int_{1}^{4} \frac{3}{x} e^{\sin(x^3)} dx$ का मान ज्ञात करना है।
प्रतिस्थापन को आसान बनाने के लिए अंश और हर को $x^2$ से गुणा करने पर:
$I = \int_{1}^{4} \frac{3x^2}{x^3} e^{\sin(x^3)} dx$.
मान लीजिए $t = x^3$,तब $dt = 3x^2 dx$ होगा।
जब $x = 1$,तब $t = 1^3 = 1$ होगा।
जब $x = 4$,तब $t = 4^3 = 64$ होगा।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{1}^{64} \frac{e^{\sin t}}{t} dt$.
चूंकि $\frac{d}{dt}F(t) = \frac{e^{\sin t}}{t}$ है,इसलिए समाकलन का मान:
$I = [F(t)]_{1}^{64} = F(64) - F(1)$ होगा।
दिए गए व्यंजक $F(k) - F(1)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 64$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $f'(x) = f(x)$,अतः $\frac{f'(x)}{f(x)} = 1$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\ln|f(x)| = x + C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(x) = ce^x$।
चूंकि $f(0) = 1$,इसलिए $1 = ce^0$,जिससे $c = 1$ प्राप्त होता है। अतः $f(x) = e^x$।
$f(x) + g(x) = x^2$ दिया गया है,इसलिए $g(x) = x^2 - e^x$।
अब,हम समाकलन की गणना करते हैं:
$\int_0^1 f(x)g(x) dx = \int_0^1 e^x(x^2 - e^x) dx = \int_0^1 (x^2 e^x - e^{2x}) dx$।
$\int x^2 e^x dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:
$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) = e^x(x^2 - 2x + 2)$।
निश्चित समाकलन का मान:
$\int_0^1 x^2 e^x dx = [e^x(x^2 - 2x + 2)]_0^1 = e(1 - 2 + 2) - e^0(0 - 0 + 2) = e - 2$।
$\int_0^1 e^{2x} dx$ का मान:
$\int_0^1 e^{2x} dx = [\frac{1}{2} e^{2x}]_0^1 = \frac{1}{2}(e^2 - 1)$।
अतः,समाकलन का मान $(e - 2) - \frac{1}{2}(e^2 - 1) = e - 2 - \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2} = e - \frac{1}{2}e^2 - \frac{3}{2}$ है।

(D) हम निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हैं: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$.
प्रथम पद के लिए: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\sum_{r=1}^{n} r^4}{n^5} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \left(\frac{r}{n}\right)^4 = \int_0^1 x^4 dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{5}$.
द्वितीय पद के लिए: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\sum_{r=1}^{n} r^3}{n^5} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n^2} \left( \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \left(\frac{r}{n}\right)^3 \right) = 0 \times \int_0^1 x^3 dx = 0 \times \frac{1}{4} = 0$.
अतः,परिणाम $\frac{1}{5} - 0 = \frac{1}{5}$ है।

(A) द्विपद बंटन के लिए,माध्य $np = 4$ और प्रसरण $npq = 2$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,$\frac{npq}{np} = \frac{2}{4}$,जिससे $q = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 4$ में रखने पर,$n(\frac{1}{2}) = 4$,जिससे $n = 8$ प्राप्त होता है।
द्विपद बंटन का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ है।
$X = 1$ के लिए,$P(X = 1) = \binom{8}{1} (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^{8-1} = 8 \times (\frac{1}{2})^8 = 8 \times \frac{1}{256} = \frac{1}{32}$।

(A) हमें सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \omega^n & \omega^{2n} \\ \omega^n & \omega^{2n} & 1 \\ \omega^{2n} & 1 & \omega^n \end{vmatrix}$ दिया गया है।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\Delta = 1(\omega^n \cdot \omega^n - 1 \cdot 1) - \omega^n(\omega^n \cdot \omega^n - \omega^{2n} \cdot 1) + \omega^{2n}(\omega^n \cdot 1 - \omega^{2n} \cdot \omega^{2n})$
$\Delta = 1(\omega^{2n} - 1) - \omega^n(\omega^{2n} - \omega^{2n}) + \omega^{2n}(\omega^n - \omega^{4n})$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{3n} = 1$ और $\omega^{4n} = \omega^n$ होता है।
$\Delta = (\omega^{2n} - 1) - 0 + \omega^{2n}(\omega^n - \omega^n)$
$\Delta = \omega^{2n} - 1 + 0 = \omega^{2n} - 1$.
यदि हम स्तंभों का योग $C_1 + C_2 + C_3$ करें तो:
$1 + \omega^n + \omega^{2n}$ प्राप्त होता है।
यदि $n$,$3$ का गुणज नहीं है,तो $1 + \omega^n + \omega^{2n} = 0$ होता है,जिससे सारणिक $0$ हो जाता है।
यदि $n$,$3$ का गुणज है,तो $\omega^n = 1$ होता है,जिससे सारणिक $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$ हो जाता है।
अतः,सभी स्थितियों में $\Delta = 0$ है।

(A) दिया गया है कि सदिश $(1, a, a^2)$,$(1, b, b^2)$,और $(1, c, c^2)$ असमतलीय हैं,इसलिए इन सदिशों द्वारा निर्मित आव्यूह का सारणिक शून्य नहीं है:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| \neq 0$.
हमें समीकरण दिया गया है:
$\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 + a^3 \\ b & b^2 & 1 + b^3 \\ c & c^2 & 1 + c^3 \end{array} \right| = 0$.
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके,हम तीसरे स्तंभ को विभाजित कर सकते हैं:
$\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & a^3 \\ b & b^2 & b^3 \\ c & c^2 & c^3 \end{array} \right| = 0$.
दूसरे सारणिक में,पंक्तियों से $a, b, c$ को बाहर निकालने पर:
$\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right| + abc \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| = 0$.
ध्यान दें कि $\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| = \Delta$ (दो स्तंभों की अदला-बदली के बाद)।
अतः,$\Delta + abc \Delta = 0 \Rightarrow \Delta(1 + abc) = 0$.
चूंकि $\Delta \neq 0$,इसलिए $1 + abc = 0$,जिसका अर्थ है $abc = -1$।

(B) दी गई रेखाओं को सममित रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
पहली रेखा $x = ay + b$ और $z = cy + d$ के लिए,हमारे पास $\frac{x - b}{a} = y = \frac{z - d}{c}$ है।
अतः,पहली रेखा के दिक अनुपात $(a, 1, c)$ हैं।
दूसरी रेखा $x = a'y + b'$ और $z = c'y + d'$ के लिए,हमारे पास $\frac{x - b'}{a'} = y = \frac{z - d'}{c'}$ है।
अतः,दूसरी रेखा के दिक अनुपात $(a', 1, c')$ हैं।
दो रेखाएँ जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,वे परस्पर लंबवत होती हैं यदि $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ हो।
दिक अनुपातों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(a)(a') + (1)(1) + (c)(c') = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$aa' + 1 + cc' = 0$,जिसका अर्थ है कि $aa' + cc' = -1$।

(C) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\int_0^{x^2} \sec^2 t \, dt}{x \sin x}$.
चूंकि यह $\frac{0}{0}$ रूप है,हम $L'\text{H\^opital}$ नियम लागू करते हैं:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\int_0^{x^2} \sec^2 t \, dt)}{\frac{d}{dx}(x \sin x)}$.
अवकलन के नियम का उपयोग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sec^2(x^2) \cdot 2x}{\sin x + x \cos x}$.
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2 \sec^2(x^2)}{\frac{\sin x}{x} + \cos x}$.
$x = 0$ रखने पर:
$L = \frac{2 \cdot 1}{1 + 1} = 1$.

(B) दिया गया है $F(t) = \int_{0}^{t} f(t - y) g(y) dy$.
दिए गए फलनों $f(y) = e^y$ और $g(y) = y$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$F(t) = \int_{0}^{t} e^{t - y} y dy = e^t \int_{0}^{t} y e^{-y} dy$.
$\int y e^{-y} dy$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:
माना $u = y$ और $dv = e^{-y} dy$. तब $du = dy$ और $v = -e^{-y}$.
$\int y e^{-y} dy = -y e^{-y} - \int (-e^{-y}) dy = -y e^{-y} - e^{-y}$.
$0$ से $t$ तक निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$F(t) = e^t [ -y e^{-y} - e^{-y} ]_{0}^{t} = e^t [ (-t e^{-t} - e^{-t}) - (0 - 1) ]$.
$F(t) = e^t [ -t e^{-t} - e^{-t} + 1 ] = -t - 1 + e^t$.
अतः,$F(t) = e^t - (1 + t)$.

(C) $y = |x - 1|$ और $y = 3 - |x|$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$x \ge 1$ के लिए,$y = x - 1$ और $y = 3 - |x|$। यदि $x \ge 1$ है,तो $x - 1 = 3 - x \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$। $x = 2$ पर,$y = 1$।
$x < 0$ के लिए,$y = 1 - x$ और $y = 3 + x$। तो $1 - x = 3 + x \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$। $x = -1$ पर,$y = 2$।
$0 \le x < 1$ के लिए,$y = 1 - x$ और $y = 3 - x$। ये रेखाएँ समांतर हैं और एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{-1}^{2} (3 - |x| - |x - 1|) dx$
हम निरपेक्ष मानों की परिभाषा के आधार पर समाकलन को विभाजित करते हैं:
$A = \int_{-1}^{0} ((3 + x) - (1 - x)) dx + \int_{0}^{1} ((3 - x) - (1 - x)) dx + \int_{1}^{2} ((3 - x) - (x - 1)) dx$
$A = \int_{-1}^{0} (2 + 2x) dx + \int_{0}^{1} (2) dx + \int_{1}^{2} (4 - 2x) dx$
$A = [2x + x^2]_{-1}^{0} + [2x]_{0}^{1} + [4x - x^2]_{1}^{2}$
$A = (0 - (-2 + 1)) + (2 - 0) + ((8 - 4) - (4 - 1))$
$A = 1 + 2 + (4 - 3) = 1 + 2 + 1 = 4 \text{ sq. units}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(1 + y^2) + (x - e^{\tan^{-1}y}) \frac{dy}{dx} = 0$।
$\frac{dx}{dy}$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(1 + y^2) \frac{dx}{dy} + x = e^{\tan^{-1}y}$।
$(1 + y^2)$ से भाग देने पर:
$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1 + y^2} = \frac{e^{\tan^{-1}y}}{1 + y^2}$।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1 + y^2}$ और $Q(y) = \frac{e^{\tan^{-1}y}}{1 + y^2}$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1 + y^2} dy} = e^{\tan^{-1}y}$ है।
हल $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + k$ द्वारा दिया जाता है।
$x e^{\tan^{-1}y} = \int \frac{e^{\tan^{-1}y}}{1 + y^2} \cdot e^{\tan^{-1}y} dy + k$।
माना $u = \tan^{-1}y$,तो $du = \frac{1}{1 + y^2} dy$।
$x e^{\tan^{-1}y} = \int e^{2u} du + k = \frac{e^{2u}}{2} + k = \frac{e^{2\tan^{-1}y}}{2} + k$।
$2$ से गुणा करने पर:
$2xe^{\tan^{-1}y} = e^{2\tan^{-1}y} + k$।

(C) मान लीजिए $A$ मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ है।
अतः $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ क्रमशः शीर्ष $B$ और $C$ के स्थिति सदिश दर्शाते हैं।
मान लीजिए $M$ भुजा $BC$ का मध्य बिंदु है।
$M$ का स्थिति सदिश $\vec{AM} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए सदिशों का मान रखने पर:
$\vec{AM} = \frac{(3\hat{i} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k})}{2}$
$\vec{AM} = \frac{(3+5)\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (4+4)\hat{k}}{2}$
$\vec{AM} = \frac{8\hat{i} - 2\hat{j} + 8\hat{k}}{2} = 4\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$.
माध्यिका $AM$ की लंबाई सदिश $\vec{AM}$ का परिमाण है:
$|\vec{AM}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 4^2}$
$|\vec{AM}| = \sqrt{16 + 1 + 16} = \sqrt{33}$.

(C) $X$-अक्ष पर अक्ष वाले परवलयों के कुल का समीकरण $y^2 = 4a(x - b)$ है,जहाँ $a$ और $b$ स्वेच्छ अचर हैं।
इन दो अचरों को हटाने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a \implies y \frac{dy}{dx} = 2a$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y \frac{d^2y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 0$.
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $1$ है,इसलिए घात $1$ है।
अतः,घात और कोटि क्रमशः $1$ और $2$ हैं।