AIEEE 2003 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણ નીચે મુજબ છે:
$1$. ઝડપ: $[LT^{-1}]$ અને ${({\mu _0}{\varepsilon _0})^{-1/2}} = c$ (પ્રકાશની ઝડપ): $[LT^{-1}]$. તેમના પરિમાણ સમાન છે.
$2$. ટોર્ક: $[ML^2T^{-2}]$ અને કાર્ય: $[ML^2T^{-2}]$. તેમના પરિમાણ સમાન છે.
$3$. વેગમાન: $[MLT^{-1}]$ અને પ્લાન્કનો અચળાંક: $[ML^2T^{-1}]$. તેમના પરિમાણ સમાન નથી.
$4$. સ્ટ્રેસ: $[ML^{-1}T^{-2}]$ અને યંગ મોડ્યુલસ: $[ML^{-1}T^{-2}]$. તેમના પરિમાણ સમાન છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v = 0$ (અંતિમ વેગ),$u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$a$ એ પ્રતિપ્રવેગ છે,અને $s$ એ સ્ટોપિંગ અંતર છે.
$v = 0$ હોવાથી,આપણને $-u^2 = 2as$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $s = \frac{u^2}{2|a|}$.
આ દર્શાવે છે કે સ્ટોપિંગ અંતર $s \propto u^2$ છે.
આપેલ છે કે $u_1 = 50 \,km/hr$ અને $s_1 = 6 \,m$.
$u_2 = 100 \,km/hr$ માટે,ગુણોત્તર $\frac{s_2}{s_1} = \left(\frac{u_2}{u_1}\right)^2$ થાય.
$\frac{s_2}{6} = \left(\frac{100}{50}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
તેથી,$s_2 = 4 \times 6 = 24 \,m$.

(C) કણના સ્થાનના યામ $x = \alpha t^3$ અને $y = \beta t^3$ આપેલા છે.
વેગના ઘટકો સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું વિકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\alpha t^3) = 3\alpha t^2$
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\beta t^3) = 3\beta t^2$
કણની ઝડપ $v$ એ વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
$v = \sqrt{(3\alpha t^2)^2 + (3\beta t^2)^2}$
$v = \sqrt{9\alpha^2 t^4 + 9\beta^2 t^4}$
$v = \sqrt{9t^4(\alpha^2 + \beta^2)}$
$v = 3t^2\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$

(C) ઉપરની તરફ ગતિ કરતા રોકેટ માટે બળનું સમીકરણ: $F_{thrust} - mg = ma$
તેથી,પ્રારંભિક ધક્કો: $F_{thrust} = m(g + a)$
આપેલ છે:
દળ $m = 3.5 \times 10^4 \ kg$
પ્રવેગ $a = 10 \ m/s^2$
ગુરુત્વ પ્રવેગ $g \approx 10 \ m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$F_{thrust} = 3.5 \times 10^4 \times (10 + 10)$
$F_{thrust} = 3.5 \times 10^4 \times 20$
$F_{thrust} = 70 \times 10^4 \ N = 7.0 \times 10^5 \ N$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય,ત્યારે સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ બેગના વાસ્તવિક વજન જેટલું હોય છે: $W = mg = 49 \, N$.
$g = 9.8 \, m/s^2$ લેતા,આપણને બેગનું દળ મળે છે: $m = \frac{49}{9.8} = 5 \, kg$.
જ્યારે લિફ્ટ $a = 5 \, m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી વજન $R$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $R = m(g - a)$.
કિંમતો મૂકતા: $R = 5 \times (9.8 - 5) = 5 \times 4.8 = 24 \, N$.
તેથી,સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ $24 \, N$ થશે.

(B) સ્પ્રિંગ બેલેન્સ દળરહિત હોવાથી,તેઓ સિસ્ટમ દ્વારા માપવામાં આવતા વજનમાં કોઈ ફાળો આપતા નથી.
જ્યારે $M$ દળનો બ્લોક નીચેના સ્પ્રિંગ બેલેન્સ પર લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે સ્પ્રિંગમાં રહેલા તણાવને માપે છે,જે બ્લોકના વજન $Mg$ જેટલું હોય છે. તેથી,નીચેનું સ્કેલ $M \, kg$ દર્શાવે છે.
ઉપરનું સ્પ્રિંગ બેલેન્સ નીચેના સ્પ્રિંગ બેલેન્સ અને બ્લોક સહિતની સમગ્ર સિસ્ટમને ટેકો આપે છે. નીચેનું સ્પ્રિંગ બેલેન્સ દળરહિત હોવાથી,ઉપરના સ્પ્રિંગ બેલેન્સમાં રહેલું તણાવ પણ બ્લોકના વજન $Mg$ જેટલું જ હોય છે. તેથી,ઉપરનું સ્કેલ પણ $M \, kg$ દર્શાવે છે.
આમ,બંને સ્કેલ $M \, kg$ દર્શાવે છે.

(A) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,જો કણ પર લાગતા ત્રણ બળોને એક જ ક્રમમાં લેવાયેલા ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે,તો તેમનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,બળોને સદિશો $\vec{AB},$ $\vec{BC},$ અને $\vec{CA}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યા છે. તેઓ ચક્રીય ક્રમમાં હોવાથી,તેમનો સરવાળો $\vec{F}_{net} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = 0$ થાય છે.
ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જો કણ પર લાગતું ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તેનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.
તેથી,કણનો વેગ $\vec{v}$ અપરિવર્તિત રહે છે.

(C) તંત્રનું કુલ દળ $(M + m)$ છે.
તંત્ર પર $P$ બળ લગાડવામાં આવતું હોવાથી,તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{P}{M + m}$ થશે.
દોરડા દ્વારા બ્લોક પર લાગતું બળ એ $M$ દળના બ્લોકને $a$ પ્રવેગથી ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી બળ છે.
તેથી,બળ $F = M \cdot a = M \cdot \left( \frac{P}{M + m} \right) = \frac{PM}{M + m}$.

(A) બ્લોકને દીવાલની સામે સ્થિર રાખવા માટે,નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન $W$) એ ઉપરની તરફ લાગતા સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(f_s)$ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
દીવાલ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $(N)$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલા આડા બળ જેટલું હોય છે,તેથી $N = 10 \, N$.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = 0.2$ એ ઘર્ષણાંક છે.
બ્લોક સ્થિર રહે તે માટે,$W = f_s$. મર્યાદિત સ્થિતિ $W = f_{s,max}$ છે.
તેથી,$W = 0.2 \times 10 \, N = 2 \, N$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 2 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 6 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \, m/s$,સમય $t = 10 \, s$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v = u + at$.
અહીં ઘર્ષણને કારણે બ્લોકનો વેગ ઘટે છે,તેથી $v = u - at$.
કિંમતો મૂકતા: $0 = 6 - a(10) \Rightarrow a = 0.6 \, m/s^2$.
ઘર્ષણ બળ $f = ma = \mu mg$ છે.
તેથી,$\mu g = a \Rightarrow \mu = \frac{a}{g}$.
$g = 10 \, m/s^2$ લેતા,આપણને મળે છે $\mu = \frac{0.6}{10} = 0.06$.

(C) સ્પ્રિંગને પ્રારંભિક લંબાઈ $x_1$ થી અંતિમ લંબાઈ $x_2$ સુધી ખેંચવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $W = \frac{1}{2} k (x_2^2 - x_1^2)$.
આપેલ છે:
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 5 \times 10^3 \, N/m$.
પ્રારંભિક સ્થાનાંતર $x_1 = 5 \, cm = 0.05 \, m$.
અંતિમ સ્થાનાંતર $x_2 = 5 \, cm + 5 \, cm = 10 \, cm = 0.10 \, m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^3) \times ((0.10)^2 - (0.05)^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 5000 \times (0.01 - 0.0025)$
$W = 2500 \times 0.0075$
$W = 18.75 \, J$.

(D) વિધાન $1$: રેખીય વેગમાન $\vec{P} = \sum m_i \vec{v}_i = 0$. આનો અર્થ એ નથી કે દરેક કણનો વેગ શૂન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે,વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન વેગમાન સાથે ગતિ કરતા બે કણોની સિસ્ટમમાં,કુલ વેગમાન શૂન્ય છે,પરંતુ ગતિઊર્જા $K = \sum \frac{1}{2} m_i v_i^2$ શૂન્ય નથી.
વિધાન $2$: ગતિઊર્જા $K = \sum \frac{1}{2} m_i v_i^2 = 0$. દળ $m_i > 0$ અને $v_i^2 \ge 0$ હોવાથી,સરવાળો શૂન્ય થવા માટે દરેક $v_i = 0$ હોવું જરૂરી છે. જો બધા વેગ શૂન્ય હોય,તો કુલ રેખીય વેગમાન $\vec{P} = \sum m_i (0) = 0$ થાય.
તેથી,$1$ એ $2$ સૂચવતું નથી,પરંતુ $2$ એ $1$ સૂચવે છે.

(C) આપેલ છે કે પાવર $P$ અચળ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $P = Fv = mav = m \left( \frac{dv}{dt} \right) v$.
આ સમીકરણનું સંકલન કરતા: $\frac{P}{m} dt = v dv$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{P}{m} dt = \int v dv \implies \frac{P}{m} t = \frac{v^2}{2}$.
આથી,$v^2 = \frac{2P}{m} t$,જે આપણને $v = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2}$ આપે છે.
કારણ કે $v = \frac{ds}{dt}$,તેથી $ds = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2} dt$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $s = \int \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2} dt = \sqrt{\frac{2P}{m}} \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} \right) = \sqrt{\frac{2P}{m}} \left( \frac{2}{3} t^{3/2} \right)$.
તેથી,$s \propto t^{3/2}$.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પરથી પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{2gR_e}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે નિષ્ક્રમણ વેગ માત્ર ગ્રહના દળ અને ત્રિજ્યા (અથવા પ્રક્ષેપણ બિંદુ પરના ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન) પર આધાર રાખે છે.
તે પદાર્થને કઈ દિશામાં અથવા કયા ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે તેના પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જો પદાર્થને શિરોલંબ સાથે $45^o$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે,તો પણ નિષ્ક્રમણ વેગ સમાન જ રહેશે,જે $11.2 \ km/s$ છે.

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(R^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto R^3$,જેનો અર્થ છે કે $T \propto R^{3/2}$.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1 = 5$ કલાક.
ધારો કે પ્રારંભિક અંતર $R_1$ છે અને નવું અંતર $R_2 = 4R_1$ છે.
નવો આવર્તકાળ $T_2$ નીચે મુજબ શોધી શકાય: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2}{5} = \left( \frac{4R_1}{R_1} \right)^{3/2} = (4)^{3/2}$.
ઘાતની ગણતરી કરતા: $(4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$.
તેથી,$T_2 = 5 \times 8 = 40$ કલાક.

(A) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{1}{2} \times F \times \Delta l$
આપેલ છે:
બળ $F = 200\, N$
લંબાઈમાં વધારો $\Delta l = 1\, mm = 1 \times 10^{-3}\, m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times 200 \times 10^{-3}$
$U = 100 \times 10^{-3}$
$U = 0.1\, J$
તેથી,તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક ઉર્જા $0.1\, J$ છે.

(D) સિસ્ટમની થર્મોડાયનેમિક સ્થિતિ સ્ટેટ ફંક્શન્સ (State Functions) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેમ કે દબાણ $(P)$,કદ $(V)$,તાપમાન $(T)$,અને આંતરિક ઉર્જા $(U)$. આ પરિમાણો માત્ર સિસ્ટમની વર્તમાન સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે,તે સ્થિતિ સુધી પહોંચવા માટે અપનાવેલા માર્ગ પર નહીં.
કાર્ય $(W)$ એ પાથ ફંક્શન (Path Function) છે,સ્ટેટ ફંક્શન નથી. તે પ્રક્રિયા દરમિયાન સિસ્ટમ અને તેની આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે સ્થાનાંતરિત થતી ઉર્જાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે,અને તેનું મૂલ્ય થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા દરમિયાન અપનાવેલા ચોક્કસ માર્ગ પર આધાર રાખે છે. તેથી,કાર્ય એ દ્રવ્યની થર્મોડાયનેમિક સ્થિતિને લાક્ષણિકતા આપતું નથી.

(A) આપેલ વિધાન એ ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના બીજા નિયમનું ક્લોસિયસ વિધાન તરીકે ઓળખાય છે.
તે જણાવે છે કે એવું કોઈ સાધન બનાવવું અશક્ય છે જે ચક્રમાં કાર્ય કરે અને નીચા તાપમાનવાળા પદાર્થમાંથી ઊંચા તાપમાનવાળા પદાર્થમાં ઉષ્માના સ્થાનાંતરણ સિવાય અન્ય કોઈ અસર ઉત્પન્ન ન કરે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
આપેલ છે: $T_1 = 627^{\circ}C = 627 + 273 = 900 \, \text{K}$,$T_2 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \, \text{K}$,અને $Q_1 = 3 \times 10^6 \, \text{cal}$.
ઉષ્માને જૂલમાં ફેરવતા: $Q_1 = 3 \times 10^6 \times 4.2 \, \text{J} = 12.6 \times 10^6 \, \text{J}$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{300}{900} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
કારણ કે $\eta = \frac{W}{Q_1}$,તેથી થયેલ કાર્ય $W = \eta \times Q_1 = \frac{2}{3} \times 12.6 \times 10^6 \, \text{J} = 2 \times 4.2 \times 10^6 \, \text{J} = 8.4 \times 10^6 \, \text{J}$ થાય.

(C) પૃથ્વી પ્રમાણમાં ઓછા તાપમાને (આશરે $288 \ K$) કૃષ્ણ પદાર્થ તરીકે વર્તે છે. વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ વર્ણપટીય ઉત્સર્જન શક્તિને અનુરૂપ તરંગલંબાઇ $\lambda_{max}$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે સંબંધ $\lambda_{max} T = b$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ વીનનો અચળાંક $(2.898 \times 10^{-3} \ m \cdot K)$ છે. પૃથ્વીના તાપમાન માટે,આ તરંગલંબાઇ વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તારમાં આવે છે. તેથી,વીનનો નિયમ વિકિરણ વર્ણપટના શિખરના સ્થાનાંતરને યોગ્ય રીતે વર્ણવે છે.

(A) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,પદાર્થના ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર (અથવા ઠંડા પડવાનો દર) એ પદાર્થ અને તેની આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જ્યારે તાપમાનનો તફાવત નાનો હોય.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} \propto \Delta \theta$.
આપેલ સમીકરણ $(\Delta \theta)^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે કે $n = 1$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ માં,સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા અને ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યમાન સ્થિતિએ,$x = 0$ હોય છે. આ કિંમતોને સમીકરણોમાં મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} k (0)^2 = 0$ (ન્યૂનતમ સ્થિતિ ઊર્જા).
$K = \frac{1}{2} k (A^2 - 0^2) = \frac{1}{2} k A^2$ (મહત્તમ ગતિ ઊર્જા).
કુલ ઊર્જા $E = U + K = \frac{1}{2} k A^2$,જે ગતિ દરમિયાન હંમેશા અચળ રહે છે.
તેથી,મધ્યમાન સ્થિતિ $(x = 0)$ પર ગતિ ઊર્જા મહત્તમ હોય છે.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto \sqrt{l}$.
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $l_1 = 100$ એકમ છે. તો નવી લંબાઈ $l_2 = 100 + 21 = 121$ એકમ થશે.
આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}} = \sqrt{\frac{121}{100}} = \frac{11}{10} = 1.1$ છે.
આમ,$T_2 = 1.1 T_1$.
આવર્તકાળમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100 = \frac{1.1 T_1 - T_1}{T_1} \times 100 = 0.1 \times 100 = 10\%$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થનો મહત્તમ વેગ $v_{max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
તેથી,$v_{max} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$.
આપેલ છે કે દળ સમાન છે $(m_M = m_N = m)$ અને તેમના મહત્તમ વેગ સમાન છે $(v_M = v_N)$:
$A_M \sqrt{\frac{k_1}{m}} = A_N \sqrt{\frac{k_2}{m}}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $A_M \sqrt{k_1} = A_N \sqrt{k_2}$ મળે છે.
તેથી,$M$ ના કંપવિસ્તારનો $N$ ના કંપવિસ્તાર સાથેનો ગુણોત્તર $\frac{A_M}{A_N} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$ થાય છે.

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $2\pi$ અને $k$ અચળ હોવાથી,$T \propto \sqrt{M}$ મળે છે.
શરૂઆતમાં,$M_1 = M$ દળ માટે આવર્તકાળ $T_1 = T$ છે.
જ્યારે દળમાં $m$ નો વધારો થાય,ત્યારે નવું દળ $M_2 = M + m$ અને નવો આવર્તકાળ $T_2 = \frac{5T}{3}$ થાય છે.
પ્રમાણસરતા $T \propto \sqrt{M}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5T/3}{T} = \sqrt{\frac{M + m}{M}}$.
$\frac{5}{3} = \sqrt{1 + \frac{m}{M}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{25}{9} = 1 + \frac{m}{M}$.
તેથી,$\frac{m}{M} = \frac{25}{9} - 1 = \frac{16}{9}$.

(D) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = 4\cos(\pi t) + 4\sin(\pi t)$ છે.
આ બે સરળ આવર્ત ગતિના સંપાતપણાના સ્વરૂપમાં છે: $x = A_1\sin(\omega t) + A_2\cos(\omega t)$.
પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ છે.
અહીં,$A_1 = 4$ અને $A_2 = 4$ છે.
તેથી,$A = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

(B) ગતિ કરતા તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 10^{-4} \sin(600t - 2x + \frac{\pi}{3})$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 600 \ rad \ s^{-1}$
તરંગ સંખ્યા $k = 2 \ m^{-1}$
તરંગની ઝડપ $v$ શોધવાનું સૂત્ર $v = \frac{\omega}{k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{600}{2} = 300 \ m \ s^{-1}$.
આમ,તરંગની ઝડપ $300 \ m \ s^{-1}$ છે.

(D) ધારો કે પિયાનોના તારની આવૃત્તિ $n_P$ છે. ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n_f = 256\,Hz$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $|n_f - n_P| = 5\,Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે $n_P = 256 \pm 5\,Hz$,તેથી $n_P$ કાં તો $251\,Hz$ અથવા $261\,Hz$ છે.
જ્યારે પિયાનોના તારમાં તણાવ $T$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે આવૃત્તિ $n_P$ વધે છે કારણ કે $n_P \propto \sqrt{T}$.
જો $n_P = 251\,Hz$ હોય,તો તણાવ વધારવાથી $n_P$ એ $256\,Hz$ ની નજીક જાય છે,જેનાથી બીટ આવૃત્તિ $|256 - n_P|$ ઘટે છે.
જો $n_P = 261\,Hz$ હોય,તો તણાવ વધારવાથી $n_P$ એ $256\,Hz$ થી વધુ દૂર જાય છે,જેનાથી બીટ આવૃત્તિ વધે છે.
બીટ આવૃત્તિ $5\,Hz$ થી ઘટીને $2\,Hz$ થતી હોવાથી,પ્રારંભિક આવૃત્તિ $251\,Hz$ હોવી જોઈએ.
તેથી,તણાવ વધારતા પહેલા પિયાનોના તારની આવૃત્તિ $256 - 5 = 251\,Hz$ હતી.

(B) અનુનાદની સ્થિતિમાં,અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(n)$ ની આવૃત્તિ એ કંપન કરતા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ જેટલી હોય છે.
ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે,$T$ એ તણાવ છે,અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $l = 1 \, m$
તણાવ $T = 10 \, kg \text{-} wt = 10 \times 9.8 \, N = 98 \, N$
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = 9.8 \, g/m = 9.8 \times 10^{-3} \, kg/m$
કિંમતો મૂકતા:
$n = \frac{1}{2 \times 1} \sqrt{\frac{98}{9.8 \times 10^{-3}}}$
$n = \frac{1}{2} \sqrt{10000}$
$n = \frac{1}{2} \times 100 = 50 \, Hz$.

(A) વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રિય અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (\pi R^2 t) \rho$,જ્યાં $t$ એ જાડાઈ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
સૂત્રમાં $M$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $I = \frac{1}{2}(\pi R^2 t \rho) R^2 = \frac{1}{2} \pi \rho t R^4$.
ધારો કે બંને તકતીઓ માટે ઘનતા $\rho$ સમાન છે,તો જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_y}{I_x} = \frac{t_y}{t_x} \left( \frac{R_y}{R_x} \right)^4$ થશે.
આપેલ છે કે $R_y = 4R$ અને $R_x = R$,તેથી $\frac{R_y}{R_x} = 4$.
આપેલ છે કે $t_y = \frac{t}{4}$ અને $t_x = t$,તેથી $\frac{t_y}{t_x} = \frac{1}{4}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_y}{I_x} = \frac{1}{4} \times (4)^4 = \frac{256}{4} = 64$.
તેથી,$I_y = 64I_x$.

(D) ટોર્ક $\vec{\tau}$ ને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,પરિણામી સદિશ $\vec{\tau}$ હંમેશા તેને બનાવતા બંને સદિશો $\vec{r}$ અને $\vec{F}$ ને લંબ હોય છે.
બે લંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) હંમેશા શૂન્ય હોવાથી,આપણને $\vec{r} \cdot \vec{\tau} = 0$ અને $\vec{F} \cdot \vec{\tau} = 0$ મળે છે.

(C) કેન્દ્રો વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $12R$ છે. અથડામણ ત્યારે થાય છે જ્યારે કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું હોય,જે $R + 2R = 3R$ છે.
તેથી,અથડામણ પહેલાં બંને પદાર્થો દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $12R - 3R = 9R$ છે.
ધારો કે $M$ અને $5M$ દળ ધરાવતા પદાર્થો દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર અનુક્રમે $x_1$ અને $x_2$ છે. કોઈ બાહ્ય બળ ન હોવાથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે. તેથી,$M x_1 = 5M x_2$,જે આપણને $x_1 = 5x_2$ આપે છે.
આપેલ છે કે $x_1 + x_2 = 9R$,તેથી $5x_2 + x_2 = 9R$ મૂકતા $6x_2 = 9R$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x_2 = 1.5R$.
ત્યારબાદ,$x_1 = 5(1.5R) = 7.5R$.
નાના પદાર્થ ($M$ દળ) દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર $7.5R$ છે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેને $P T^{\frac{\gamma}{1-\gamma}} = \text{constant}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલ છે કે $P \propto T^3$,તેથી $P T^{-3} = \text{constant}$.
$T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{\gamma}{1-\gamma} = -3$ મળે છે.
$\gamma$ માટે ઉકેલતા:
$\gamma = -3(1-\gamma)$
$\gamma = -3 + 3\gamma$
$2\gamma = 3$
$\gamma = \frac{3}{2} = 1.5$.
કારણ કે $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$,તેથી ગુણોત્તર $1.5$ છે.

(D) ભ્રમણકક્ષાની ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે: $\omega_2 = 2\omega_1$ અને $K_2 = \frac{1}{2} K_1$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{K_1}{K_2} = \frac{I_1 \omega_1^2}{I_2 \omega_2^2} \Rightarrow 2 = \frac{I_1}{I_2} \left( \frac{\omega_1}{2\omega_1} \right)^2 = \frac{I_1}{I_2} \cdot \frac{1}{4}$.
આમ,$\frac{I_1}{I_2} = 8$,જેનો અર્થ છે કે $I_2 = \frac{I_1}{8}$.
કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ છે.
તેથી,$\frac{L_2}{L_1} = \frac{I_2 \omega_2}{I_1 \omega_1} = \left( \frac{1}{8} \right) \times (2) = \frac{1}{4}$.
આમ,$L_2 = \frac{L}{4}$.

(D) દડો $10 \, m$ ની ઊંચાઈએથી ફેંકવામાં આવે છે અને આપણે તે શોધવાનું છે કે જ્યારે તે ફરીથી $10 \, m$ ની ઊંચાઈએ પહોંચે ત્યારે તેનું સમક્ષિતિજ અંતર કેટલું હશે.
આ પ્રક્ષિપ્ત ગતિના સમક્ષિતિજ અવધિ (Range) શોધવા સમાન છે.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
આપેલ છે: $u = 10 \, m/s$,$\theta = 30^{\circ}$,$g = 10 \, m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{10^2 \times \sin(2 \times 30^{\circ})}{10} = \frac{100 \times \sin(60^{\circ})}{10} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$R = 5 \times 1.732 = 8.66 \, m$.
આમ,દડો ફેંકવાના બિંદુથી $8.66 \, m$ ના અંતરે જમીનથી $10 \, m$ ની ઊંચાઈએ હશે.

(A) શરૂઆતમાં,$^{238}U$ ન્યુક્લિયસ સ્થિર છે. ક્ષય થયા પછી,$\alpha$ કણ અને બાકી રહેલ ન્યુક્લિયસ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$P_{\text{initial}} = P_{\text{final}}$
$0 = m_{\alpha}v_{\alpha} + m_{\text{residual}}V$
અહીં,$m_{\alpha} = 4$ એકમ,$v_{\alpha} = -v$ (ધારો કે $\alpha$ કણ ઋણ દિશામાં ગતિ કરે છે),અને $m_{\text{residual}} = 234$ એકમ છે.
$0 = 4(-v) + 234V$
$234V = 4v$
$V = \frac{4v}{234}$
જોકે,પ્રશ્નમાં $\alpha$ કણના વેગની દિશાના સંદર્ભમાં રિકોઈલ વેગ પૂછવામાં આવ્યો હોવાથી,રિકોઈલ વેગ $V = -\frac{4v}{234} \ m/s$ થશે.

(D) બિંદુ $P$ પર કુલ સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિમાન એ કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ગોલીય કવચને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$1$. કેન્દ્ર પર રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે $r = \frac{R}{2}$ અંતરે સ્થિતિમાન $V_Q = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{R/2} = \frac{2Q}{4\pi \varepsilon_0 R}$ થાય.
$2$. $R$ ત્રિજ્યા અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ગોલીય વાહક કવચ માટે,તેની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ (કેન્દ્ર સહિત) સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે. તેથી,કવચને કારણે $r = \frac{R}{2}$ અંતરે સ્થિતિમાન $V_q = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{R}$ થાય.
$3$. બિંદુ $P$ પર કુલ સ્થિતિમાન $V = V_Q + V_q = \frac{2Q}{4\pi \varepsilon_0 R} + \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R}$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ એ સપાટીની અંદર રહેલા કુલ વિદ્યુતભાર અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટીના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે: $\Phi_{net} = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$.
અહીં,સપાટીમાં પ્રવેશતું ફ્લક્સ $\varphi_1$ (ઋણ ફ્લક્સ) છે અને સપાટીમાંથી બહાર નીકળતું ફ્લક્સ $\varphi_2$ (ધન ફ્લક્સ) છે.
તેથી,કુલ ફ્લક્સ $\Phi_{net} = \varphi_2 - \varphi_1$ થશે.
આ કિંમત ગોસના નિયમમાં મૂકતા: $\varphi_2 - \varphi_1 = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$.
આમ,સપાટીની અંદરનો વિદ્યુતભાર $Q_{enc} = (\varphi_2 - \varphi_1)\varepsilon_0$ થશે.

(C) $t$ જાડાઈ ધરાવતી ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબવાળા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$C = \frac{A \epsilon_0}{(d - t) + \frac{t}{K}}$
જ્યાં $A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે,$d$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે અને $K$ એ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈની ધાતુની શીટ (એલ્યુમિનિયમ ફોઇલ) દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વાહક માટે ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = \infty$ હોય છે.
સૂત્રમાં $K = \infty$ મૂકતા:
$C' = \frac{A \epsilon_0}{(d - t) + \frac{t}{\infty}} = \frac{A \epsilon_0}{d - t}$
જો ફોઇલની જાડાઈ $t$ અવગણ્ય $(t \approx 0)$ હોય,તો:
$C' = \frac{A \epsilon_0}{d - 0} = \frac{A \epsilon_0}{d}$
મૂળ કેપેસિટન્સ $C = \frac{A \epsilon_0}{d}$ હોવાથી,કેપેસિટન્સ અપરિવર્તિત રહે છે.

(A) કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા,જે તેને ચાર્જ કરવા માટે કરેલા કાર્યની બરાબર હોય છે,તે સૂત્ર $W = \frac{Q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $Q = 8 \times 10^{-18} \, C$
કેપેસીટન્સ $C = 100 \, \mu F = 100 \times 10^{-6} \, F = 10^{-4} \, F$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{(8 \times 10^{-18})^2}{2 \times 10^{-4}}$
$W = \frac{64 \times 10^{-36}}{2 \times 10^{-4}}$
$W = 32 \times 10^{-32} \, J$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે $+q_2$ દ્વારા $-q_1$ પર લાગતું બળ $F_2$ છે. વિરુદ્ધ ચિહ્નો હોવાથી,આ બળ આકર્ષી પ્રકારનું છે અને ધન $x$-અક્ષની દિશામાં લાગે છે. તેથી,$F_2 = k \frac{q_1 q_2}{b^2}$.
ધારો કે $-q_3$ દ્વારા $-q_1$ પર લાગતું બળ $F_3$ છે. સમાન ચિહ્નો હોવાથી,આ બળ અપાકર્ષી પ્રકારનું છે. બળ $F_3$ તેમની વચ્ચેની રેખા પર લાગે છે,જે ઋણ $y$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. તેનું મૂલ્ય $F_3 = k \frac{q_1 q_3}{a^2}$ છે.
$F_3$ નો $x$-ઘટક $F_{3x} = F_3 \sin \theta = k \frac{q_1 q_3}{a^2} \sin \theta$ છે,જે ધન $x$-દિશામાં લાગે છે.
$-q_1$ પર લાગતા કુલ બળનો $x$-ઘટક $F_x = F_2 + F_{3x} = k \frac{q_1 q_2}{b^2} + k \frac{q_1 q_3}{a^2} \sin \theta$ છે.
તેથી,$F_x = k q_1 \left( \frac{q_2}{b^2} + \frac{q_3}{a^2} \sin \theta \right)$.
આમ,$F_x \propto \left( \frac{q_2}{b^2} + \frac{q_3}{a^2} \sin \theta \right)$.

(D) તાંબું એ ધાતુ (વાહક) છે. ધાતુઓ માટે,જેમ તાપમાન ઘટે છે તેમ અવરોધ ઘટે છે કારણ કે લેટીસ આયનો સાથે ઇલેક્ટ્રોનની અથડામણની આવૃત્તિ ઘટે છે.
જર્મેનિયમ એ અર્ધવાહક છે. અર્ધવાહકો માટે,જેમ તાપમાન ઘટે છે તેમ અવરોધ વધે છે કારણ કે તાપમાનમાં ઘટાડો થવાથી ચાર્જ કેરિયર્સ (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) ની સંખ્યા ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે.
તેથી,જ્યારે ઓરડાના તાપમાનથી $80\, K$ સુધી ઠંડુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તાંબાની પટ્ટીનો અવરોધ ઘટે છે અને જર્મેનિયમની પટ્ટીનો અવરોધ વધે છે.

$(A)$ ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $l_1 = l$ છે। તારનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી, $V = A_1 l_1 = A_2 l_2$.
આપેલ છે કે લંબાઈમાં $100 \%$ નો વધારો થાય છે, તેથી નવી લંબાઈ $l_2 = l_1 + 1.00 l_1 = 2l_1$.
કદના સંરક્ષણ પરથી, $A_1 l_1 = A_2 (2l_1) \Rightarrow A_2 = \frac{A_1}{2}$.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી, પ્રારંભિક અવરોધ $R_1 = \rho \frac{l_1}{A_1}$ અને અંતિમ અવરોધ $R_2 = \rho \frac{l_2}{A_2} = \rho \frac{2l_1}{A_1/2} = 4 \rho \frac{l_1}{A_1} = 4R_1$.
અવરોધમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta R}{R_1} \times 100 = \frac{R_2 - R_1}{R_1} \times 100 = \frac{4R_1 - R_1}{R_1} \times 100 = 300 \%$ છે।

(C) પરિપથ આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે બે $3\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે,અને આ સંયોજન ત્રીજા $3\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
પ્રથમ,શ્રેણીમાં રહેલા બે અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ ગણો: $R_s = 3\,\Omega + 3\,\Omega = 6\,\Omega$.
હવે,આ $6\,\Omega$ નો અવરોધ બાકીના $3\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર છે.
પરિપથનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ આ મુજબ મળે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$R_{eq} = 2\,\Omega$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{3\,V}{2\,\Omega} = 1.5\,A$ થાય.

(A) આપેલ છે:
એમીટરનો ફૂલ-સ્કેલ પ્રવાહ,$I_g = 1\, A$.
એમીટરનો આંતરિક અવરોધ,$G = 0.81\, \Omega$.
એમીટરની ઇચ્છિત રેન્જ,$I = 10\, A$.
ધારો કે $S$ એ જરૂરી શંટ અવરોધ છે.
એમીટરની રેન્જ વધારવા માટે જરૂરી શંટ અવરોધનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$S = \frac{I_g \cdot G}{I - I_g}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$S = \frac{1 \cdot 0.81}{10 - 1}$
$S = \frac{0.81}{9}$
$S = 0.09\, \Omega$.
તેથી,જરૂરી શંટ અવરોધ $0.09\, \Omega$ છે.

(A) પોટેન્શિયોમીટરના સિદ્ધાંત મુજબ,તારની $l$ લંબાઈ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ તેની લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જો પોટેન્શિયોમીટરના તારમાં વહેતો પ્રવાહ $i$ અચળ રહે.
$V = kl$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે $(k = \frac{E}{L})$.
આપેલ છે: $L = 100 \, cm$,$E$ = પ્રમાણિત કોષનું $emf$,$l = 30 \, cm$.
માપવામાં આવતી બેટરીનું $emf$ $V = \frac{E}{L} \times l$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{E}{100} \times 30 = \frac{30E}{100}$.
નોંધ: સંતુલન બિંદુએ,માપવામાં આવતી બેટરીમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,તેથી તેનો આંતરિક અવરોધ રીડિંગને અસર કરતું નથી.

(D) બલ્બનો અવરોધ $R$ અચળ રહે છે અને તે $R = \frac{V^2}{P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બલ્બ માટે,$R = \frac{220^2}{1000} = \frac{48400}{1000} = 48.4\, \Omega$.
જ્યારે તેને $110\, V$ ના સપ્લાય સાથે જોડવામાં આવે,ત્યારે વપરાતો પાવર $P' = \frac{V'^2}{R}$ દ્વારા મળે છે.
$P' = \frac{110^2}{48.4} = \frac{12100}{48.4} = 250\, W$.
વૈકલ્પિક રીતે,ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^2$.
$\frac{1000}{P_2} = \left( \frac{220}{110} \right)^2 = 2^2 = 4$.
$P_2 = \frac{1000}{4} = 250\, W$.

(B) થર્મોકપલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું થર્મો $e.m.f.$ $(e)$ એ થર્મો $e.m.f.$ સહગુણક $(\alpha)$ અને તાપમાનના તફાવત $(\Delta \theta)$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે: $e = \alpha \Delta \theta$.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ, $e.m.f.$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ $(i)$ અને અવરોધ $(R)$ ના ગુણાકાર જેટલું પણ હોય છે: $e = iR$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\alpha \Delta \theta = iR$.
આપેલ છે: $\alpha = 25\,\mu V/^{\circ}C = 25 \times 10^{-6}\,V/^{\circ}C$, $i = 10^{-5}\,A$, અને $R = 40\,\Omega$.
કિંમતો મૂકતા: $(25 \times 10^{-6}) \times \Delta \theta = 10^{-5} \times 40$.
$\Delta \theta = \frac{40 \times 10^{-5}}{25 \times 10^{-6}} = \frac{400}{25} = 16\,^{\circ}C$.
તેથી, આ સિસ્ટમ દ્વારા પારખી શકાતો લઘુત્તમ તાપમાનનો તફાવત $16\,^{\circ}C$ છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વીજભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = Q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m$ હંમેશા વેગ સદિશ $\vec{v}$ ને લંબ હોય છે,તેથી આ બળ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે (કેન્દ્રગામી બળ).
કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતરનો અદિશ ગુણાકાર છે: $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}$.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m$ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગ પરના દરેક બિંદુએ સ્થાનાંતર $d\vec{s}$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{F}_m \cdot d\vec{s} = F_m ds \cos(90^\circ) = 0$ થાય છે.
તેથી,એક પૂર્ણ વર્તુળ દરમિયાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા કણ પર થયેલું કુલ કાર્ય $0$ છે.

(B) કણ $x$-અક્ષ પર વિચલિત થયા વગર ગતિ કરે છે,જેનો અર્થ છે કે કણ પર લાગતું કુલ લોરેન્ઝ બળ શૂન્ય છે.
લોરેન્ઝ બળનું સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ છે.
કણ વિચલિત ન થાય તે માટે,વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ: $q\vec{E} + q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$.
અહીં $\vec{v} = v\hat{i}$,$\vec{B} = B\hat{j}$,અને $\vec{E} = -E\hat{k}$ છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m = q(v\hat{i} \times B\hat{j}) = qvB\hat{k}$ થાય.
વિદ્યુત બળ $\vec{F}_e = q(-E\hat{k}) = -qE\hat{k}$ થાય.
બંનેના મૂલ્યોને સરખાવતા: $qvB = qE$.
તેથી,$B = E/v$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{10^4}{10} = 10^3 \, Wb/m^2$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સતત બંધ ગાળાઓ બનાવે છે. ચુંબકની બહાર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ઉત્તર ધ્રુવમાંથી બહાર નીકળે છે અને દક્ષિણ ધ્રુવમાં પ્રવેશે છે. ચુંબકની અંદર,બંધ ગાળો પૂર્ણ કરવા માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ દક્ષિણ ધ્રુવથી ઉત્તર ધ્રુવ તરફ ગતિ કરે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલના દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
મૂળ ચુંબક માટે જેનું દળ $m$ અને લંબાઈ $l$ છે,$I = \frac{ml^2}{12}$ અને $M = m_s l$ (જ્યાં $m_s$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે).
જ્યારે ચુંબકને તેની લંબાઈની દિશામાં બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ટુકડા માટે: દળ $m' = \frac{m}{2}$,લંબાઈ $l' = \frac{l}{2}$,અને ધ્રુવ પ્રબળતા $m_s' = m_s$.
નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{m' (l')^2}{12} = \frac{(m/2) (l/2)^2}{12} = \frac{1}{8} \left( \frac{ml^2}{12} \right) = \frac{I}{8}$.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = m_s l' = m_s (l/2) = \frac{M}{2}$.
નવો આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{M'B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/8}{(M/2)B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{4MB}} = \frac{1}{2} \left( 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}} \right) = \frac{T}{2}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{T'}{T} = \frac{1}{2}$ થાય.

(B) ક્યુરી તાપમાન $(T_C)$ એ ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થોનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
$T_C$ થી નીચેના તાપમાને,ચુંબકીય ડોમેન્સના ગોઠવણીને કારણે પદાર્થ ફેરોમેગ્નેટિક ગુણધર્મો દર્શાવે છે.
જેમ જેમ તાપમાન વધે છે અને $T_C$ સુધી પહોંચે છે,તેમ ઉષ્મીય આંદોલન એટલું પ્રબળ બની જાય છે કે તે ડોમેન્સની ગોઠવણી જાળવી રાખતા એક્સચેન્જ કપલિંગને દૂર કરી શકે છે.
પરિણામે,ક્યુરી તાપમાનથી ઉપર,પદાર્થ તેનું સ્વયંભૂ ચુંબકત્વ ગુમાવે છે અને પેરામેગ્નેટિક અવસ્થામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(C) કોઈલની જોડીનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $(M)$ એ ભૌમિતિક ગુણધર્મ છે જે કોઈલની ભૌતિક ગોઠવણી પર આધાર રાખે છે.
તે દરેક કોઈલમાં આંટાની સંખ્યા,તેમના આડછેદના ક્ષેત્રફળ,તેમની વચ્ચેનું અંતર અને તેમના સાપેક્ષ અભિવિન્યાસ દ્વારા નક્કી થાય છે.
તે કોઈલમાંથી વહેતા પ્રવાહ અથવા પ્રવાહના બદલાવાના દર પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(A) આત્મ-પ્રેરકત્વને કારણે કોઈલમાં પ્રેરિત $e.m.f.$ નું સૂત્ર $e = L \left| \frac{di}{dt} \right|$ છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક પ્રવાહ $i_1 = +2 \, A$
અંતિમ પ્રવાહ $i_2 = -2 \, A$
પ્રવાહમાં ફેરફાર $di = i_2 - i_1 = -2 - 2 = -4 \, A$
સમયગાળો $dt = 0.05 \, s$
પ્રેરિત $e.m.f.$ $e = 8 \, V$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$8 = L \times \frac{|-4|}{0.05}$
$8 = L \times \frac{4}{0.05}$
$8 = L \times 80$
$L = \frac{8}{80} = 0.1 \, H$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = hf - W_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $W_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ ફોટો-કેથોડ માટે: $hf_1 = W_0 + \frac{1}{2}mv_1^2$ ... $(i)$
બીજા ફોટો-કેથોડ માટે: $hf_2 = W_0 + \frac{1}{2}mv_2^2$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$h(f_1 - f_2) = \frac{1}{2}m(v_1^2 - v_2^2)$
વેગના તફાવત માટે પદોને ગોઠવતા:
$v_1^2 - v_2^2 = \frac{2h}{m}(f_1 - f_2)$

(B) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -\frac{13.6 \ Z^2}{n^2} \ eV$ છે.
$Li^{++}$ (લિથિયમ આયન) માટે,પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 3$ છે.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $n = 2$ ને અનુરૂપ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_2 = -\frac{13.6 \times 3^2}{2^2} = -\frac{13.6 \times 9}{4} = -30.6 \ eV$ મળે છે.
બંધન ઉર્જા (ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા) એ આ ઉર્જાનું મૂલ્ય છે,જે $30.6 \ eV$ છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયમાં અસ્થિર ન્યુક્લિયસ સ્થિરતા પ્રાપ્ત કરવા માટે કણોનું ઉત્સર્જન કરે છે.
સામાન્ય ઉત્સર્જનમાં નીચેનાનો સમાવેશ થાય છે:
$1$. આલ્ફા કણો ($He^{2+}$ ન્યુક્લિયસ): આલ્ફા ક્ષય દરમિયાન ઉત્સર્જિત થાય છે.
$2$. બીટા કણો (ઇલેક્ટ્રોન અથવા પોઝિટ્રોન): બીટા ક્ષય દરમિયાન ઉત્સર્જિત થાય છે ($n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e$ અથવા $p \rightarrow n + e^+ + \nu_e$).
$3$. ગામા કિરણો: ન્યુક્લિયર ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેના સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ઉચ્ચ ઉર્જા ધરાવતા ફોટોન.
સામાન્ય રીતે પ્રોટોન પ્રમાણભૂત રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રક્રિયાઓ દરમિયાન ઉત્સર્જિત થતા નથી (ખૂબ જ પ્રોટોન-સમૃદ્ધ ન્યુક્લિયસમાં પ્રોટોન ઉત્સર્જન જેવા દુર્લભ કિસ્સાઓ સિવાય,જેને આ સંદર્ભમાં પ્રમાણભૂત ક્ષય મોડ ગણવામાં આવતું નથી).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) કોઈપણ સમયે $t$ પર વિઘટન દર $A$ એ $A = A_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$t = 0$ સમયે $A_0 = 5000$ વિઘટન પ્રતિ મિનિટ.
$t = 5$ મિનિટ પછી,$A = 1250$ વિઘટન પ્રતિ મિનિટ.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $1250 = 5000 e^{-\lambda (5)}$.
બંને બાજુ $5000$ વડે ભાગતા: $\frac{1250}{5000} = e^{-5\lambda}$.
$\frac{1}{4} = e^{-5\lambda}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln(1/4) = -5\lambda$.
$-\ln(4) = -5\lambda$.
$\ln(2^2) = 5\lambda$.
$2 \ln 2 = 5\lambda$.
$\lambda = \frac{2}{5} \ln 2 = 0.4 \ln 2 \text{ પ્રતિ મિનિટ}$.

(C) પ્રારંભિક પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 92$ છે.
દરેક $\alpha$ ક્ષય $Z$ માં $2$ નો ઘટાડો કરે છે.
દરેક $\beta^-$ ક્ષય $Z$ માં $1$ નો વધારો કરે છે.
દરેક $\beta^+$ ક્ષય $Z$ માં $1$ નો ઘટાડો કરે છે.
ઉત્સર્જનની ગણતરી:
- $\alpha$ કણો: $8$
- $\beta^-$ કણો: $4$
- $\beta^+$ કણો: $2$
ગણતરી: $Z_{final} = 92 - (8 \times 2) + (4 \times 1) - (2 \times 1) = 92 - 16 + 4 - 2 = 78$.

(C) આયનીકરણ પોટેન્શિયલ એ અલગ પડેલા વાયુરૂપ પરમાણુમાંથી સૌથી નબળાઈથી જોડાયેલા ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે.
આપેલા પરમાણુઓમાંથી,$_{55}^{133}Cs$ (સીઝિયમ) એ આવર્ત કોષ્ટકના પ્રથમ સમૂહ અને છઠ્ઠા આવર્તનું આલ્કલી ધાતુ તત્વ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં તેની પરમાણુ ત્રિજ્યા સૌથી મોટી છે,જેનો અર્થ છે કે સૌથી બહારનો ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસથી સૌથી વધુ અંતરે છે.
વધેલા અંતરને કારણે,ન્યુક્લિયસ અને સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું સ્થિર વિદ્યુત આકર્ષણ બળ સૌથી નબળું હોય છે.
પરિણામે,આ ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $_{55}^{133}Cs$ માટે સૌથી ઓછી હોય છે.

(D) વર્ણપટની રેખાઓની તરંગલંબાઈ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R_M \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
જ્યાં $R_M = \frac{R_{\infty}}{1 + \frac{m}{M}}$,$m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $M$ એ ન્યુક્લિયસનું દળ છે.
ડ્યુટેરિયમ ન્યુક્લિયસનું દળ $(M_D \approx 2M_H)$ હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસના દળ $(M_H)$ કરતા અલગ હોવાથી,ડ્યુટેરિયમ માટે રીડબર્ગ અચળાંક $R_M$ હાઇડ્રોજન કરતા થોડો અલગ હોય છે.
પરિણામે,ડ્યુટેરિયમ માટેની વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઈ હાઇડ્રોજન કરતા અલગ પડે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) $T$ તાપમાને વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઉર્જા $E = \frac{3}{2}kT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યુક્લિયર ફ્યુઝન પ્રક્રિયા શરૂ કરવા માટે,ન્યુક્લિયસની ગતિ ઉર્જા અપાકર્ષી સ્થિતિ ઉર્જા અવરોધને દૂર કરવા માટે પૂરતી હોવી જોઈએ.
ગતિ ઉર્જાને સ્થિતિ ઉર્જા સાથે સરખાવતા: $\frac{3}{2}kT = 7.7 \times 10^{-14} \ J$.
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{3}{2} \times (1.38 \times 10^{-23}) \times T = 7.7 \times 10^{-14}$.
$2.07 \times 10^{-23} \times T = 7.7 \times 10^{-14}$.
$T = \frac{7.7 \times 10^{-14}}{2.07 \times 10^{-23}} \approx 3.72 \times 10^9 \ K$.
નજીકના ક્રમમાં લેતા,તાપમાન આશરે $10^9 \ K$ છે.

(C) ધાતુઓમાં,તાપમાન સાથે મુક્ત વિદ્યુતભાર વાહકો (ઇલેક્ટ્રોન) ની સંખ્યા લગભગ અચળ રહે છે. જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ લેટીસના કંપનોને કારણે ઇલેક્ટ્રોનનું સ્કેટરિંગ વધે છે,જેના પરિણામે અવરોધ વધે છે.
અર્ધવાહકોમાં,વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઇલેક્ટ્રોનના થર્મલ ઉત્તેજનને કારણે તાપમાન સાથે વિદ્યુતભાર વાહકો (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) ની સંખ્યા ઘાતાંકીય રીતે વધે છે. વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યામાં થતો આ વધારો સ્કેટરિંગ અસર કરતા વધુ પ્રભાવી હોય છે,જેના કારણે તાપમાન વધતા અવરોધ ઘટે છે.
તેથી,મૂળભૂત તફાવત તાપમાન સાથે વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યામાં થતા ફેરફારને કારણે ઉદ્ભવે છે.

(D) $PN$ જંકશનમાં,ડેપ્લેશન લેયર ચાર્જ કેરિયર્સના પ્રસરણને કારણે બને છે. જ્યારે જંકશન રિવર્સ-બાયસ્ડ હોય છે,ત્યારે ડેપ્લેશન લેયરની પહોળાઈ વધે છે. ડેપ્લેશન વિસ્તારમાં ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $N$-સાઇડથી $P$-સાઇડ તરફ હોય છે. ડેપ્લેશન લેયરના બરાબર કેન્દ્રમાં,$P$-સાઇડ અને $N$-સાઇડના આયનોને કારણે ઉદ્ભવતું ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે,જેના પરિણામે ચોખ્ખું (net) ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ શૂન્ય થાય છે.

(C) બે સમતલ અરીસાઓ $\theta$ ખૂણે નમેલા હોય ત્યારે રચાતા પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$n = \frac{360^\circ}{\theta} - 1$
અહીં આપેલ છે કે પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n = 3$ છે, તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$3 = \frac{360^\circ}{\theta} - 1$
$3 + 1 = \frac{360^\circ}{\theta}$
$4 = \frac{360^\circ}{\theta}$
$\theta = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$
આમ, અરીસાઓને $90^\circ$ ના ખૂણે રાખવા જોઈએ.

(C) સાચો જવાબ $C$ છે. ઓપ્ટિકલ ફાઈબર માહિતીને વિદ્યુત પ્રવાહને બદલે પ્રકાશના તરંગોના સ્વરૂપમાં પ્રસારિત કરે છે. તે ડાયલેક્ટ્રિક પદાર્થો (કાચ અથવા પ્લાસ્ટિક) ના બનેલા હોવાથી,તેઓ વીજળીનું વહન કરતા નથી. તેથી,તેઓ પાવર લાઇન અથવા રેડિયો ફ્રીક્વન્સી સિગ્નલ જેવા બાહ્ય સ્ત્રોતોમાંથી આવતા ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક હસ્તક્ષેપ $(EMI)$ થી મુક્ત છે. વિધાન $A$,$B$,અને $D$ એ ઓપ્ટિકલ ફાઈબરની સાચી લાક્ષણિકતાઓ છે.

(B) ટેલિસ્કોપની વિભેદન શક્તિ $(R.P.)$ એ બે દૂરની વસ્તુઓ વચ્ચેના લઘુત્તમ કોણીય અંતરના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેને ટેલિસ્કોપ દ્વારા અલગ પાડી શકાય છે.
ગાણિતિક રીતે,વિભેદન શક્તિ $R.P. = \frac{D}{1.22 \lambda}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ (એપર્ચર) છે અને $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
આમ,$R.P. \propto D$ હોવાથી,ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનું એપર્ચર $D$ વધારવાથી ટેલિસ્કોપની વિભેદન શક્તિ સીધી રીતે વધે છે,જે તેને દૂરની વસ્તુઓની વધુ ઝીણી વિગતોને અલગ પાડવા માટે સક્ષમ બનાવે છે.

(A) વ્યતિકરણની ઘટના જોવા માટે,પ્રકાશના બે સ્ત્રોતો સુસંબદ્ધ (coherent) હોવા જોઈએ.
સુસંબદ્ધ સ્ત્રોતો એટલે એવા સ્ત્રોતો જે સમાન આવૃત્તિનું વિકિરણ ઉત્સર્જિત કરે છે અને સમય સાથે અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખે છે.
જો કળા તફાવત યાદચ્છિક રીતે બદલાતો રહે,તો વ્યતિકરણની ભાત સ્થિર રહેશે નહીં અને જોઈ શકાશે નહીં.
તેથી,સાચી જરૂરિયાત એ છે કે સ્ત્રોતો સમાન આવૃત્તિ ધરાવતા હોવા જોઈએ અને તેમની વચ્ચે ચોક્કસ (અચળ) કળા સંબંધ હોવો જોઈએ.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટને તરંગલંબાઈના આધારે ક્રમબદ્ધ કરવામાં આવે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$\gamma$-કિરણોની આવૃત્તિ સૌથી વધુ હોય છે અને તેથી તેમની તરંગલંબાઈ સૌથી ઓછી હોય છે.
તરંગલંબાઈની સરખામણી: $\lambda_{\gamma\text{-rays}} < \lambda_{X\text{-rays}}$.
નોંધો કે $\alpha$-કિરણો અને $\beta$-કિરણો એ કણ વિકિરણો છે (અનુક્રમે હિલિયમ ન્યુક્લિયસ અને ઇલેક્ટ્રોન) અને તે ફોટોનની જેમ વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટનો ભાગ નથી; જોકે,ઉચ્ચ-ઊર્જા ભૌતિકવિજ્ઞાનના સંદર્ભમાં,આપેલા વિકલ્પોમાં $\gamma$-કિરણો સૌથી ઓછી તરંગલંબાઈ ધરાવે છે.

(B) ટ્રાન્સફોર્મરનો કોર એડી કરંટને કારણે થતા ઉર્જાના વ્યયને ઘટાડવા માટે લેમિનેટેડ કરવામાં આવે છે. જ્યારે સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ધાતુના કોરમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તે કોરમાં એડી કરંટ ઉત્પન્ન કરે છે,જે ગરમી અને ઉર્જાના વ્યય તરફ દોરી જાય છે. પાતળી,ઇન્સ્યુલેટેડ લેમિનેટેડ શીટ્સનો ઉપયોગ કરીને,આ એડી કરંટ માટેનો માર્ગ મર્યાદિત થાય છે,જે કરંટના મૂલ્યને નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડે છે અને આમ ઉર્જાનો વ્યય ન્યૂનતમ થાય છે.

(C) $L-C$ સર્કિટમાં કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે અને તે $U = U_E + U_B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $U_E = \frac{q^2}{2C}$ એ વિદ્યુત ઉર્જા છે અને $U_B = \frac{1}{2}Li^2$ એ ચુંબકીય ઉર્જા છે.
મહત્તમ વિદ્યુતભાર $Q$ હોય ત્યારે પ્રવાહ $i = 0$ હોય છે,તેથી કુલ ઉર્જા $U = \frac{Q^2}{2C}$ થાય.
જ્યારે ઉર્જા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોય,ત્યારે $U_E = U_B$ થાય.
$U = U_E + U_B$ હોવાથી,$U_E = \frac{1}{2}U$ થાય.
ઉર્જાના સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2} \left( \frac{Q^2}{2C} \right)$
$\frac{q^2}{2C} = \frac{Q^2}{4C}$
$q^2 = \frac{Q^2}{2}$
$q = \frac{Q}{\sqrt{2}}$

(C) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ મળે છે.
ઝડપ $c$ નું પરિમાણ $[L T^{-1}]$ છે.
તેથી,$\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ નું પરિમાણ $[c^2] = [L T^{-1}]^2 = [L^2 T^{-2}] = L^2 / T^2$ થાય છે.