AIEEE 2009 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया है कि $A \cap B = A \cap C$ और $A \cup B = A \cup C$ है।
$B = B \cap (A \cup B)$ पर विचार करें।
चूंकि $A \cup B = A \cup C$,इसलिए $B = B \cap (A \cup C)$ है।
वितरण नियम का उपयोग करने पर,$B = (B \cap A) \cup (B \cap C)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A \cap B = A \cap C$,इसलिए $B = (A \cap C) \cup (B \cap C)$ है।
$B = (A \cup B) \cap C$ है।
चूंकि $A \cup B = A \cup C$,इसलिए $B = (A \cup C) \cap C$ है।
चूंकि $(A \cup C) \cap C = C$,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $B = C$।

(B) दिया गया है $\cos (\alpha - \beta) + \cos (\beta - \gamma) + \cos (\gamma - \alpha) = -\frac{3}{2}$.
$2$ से गुणा करने पर,$2[\cos (\alpha - \beta) + \cos (\beta - \gamma) + \cos (\gamma - \alpha)] = -3$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $3$ जोड़ने पर: $2[\cos (\alpha - \beta) + \cos (\beta - \gamma) + \cos (\gamma - \alpha)] + 3 = 0$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,हम $3 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + (\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma)$ लिख सकते हैं।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि वर्गों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए:
$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$ और $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$.
अतः,कथन $A$ और $B$ दोनों सत्य हैं।

(C) चरण $1$: $6$ अलग-अलग उपन्यासों में से $4$ उपन्यासों का चयन $^6C_4$ तरीकों से किया जाता है।
$^6C_4 = 15$ तरीके।
चरण $2$: $3$ अलग-अलग शब्दकोशों में से $1$ शब्दकोश का चयन $^3C_1$ तरीकों से किया जाता है।
$^3C_1 = 3$ तरीके।
चरण $3$: $4$ चयनित उपन्यासों और $1$ शब्दकोश को इस प्रकार व्यवस्थित करें कि शब्दकोश हमेशा बीच में रहे।
चूंकि शब्दकोश बीच में स्थिर है,हमें केवल शेष $4$ स्थानों में $4$ उपन्यासों को व्यवस्थित करना है।
$4$ उपन्यासों को व्यवस्थित करने के तरीके $4! = 24$ हैं।
चरण $4$: कुल व्यवस्थाओं की संख्या = $^6C_4 \times ^3C_1 \times 4! = 15 \times 3 \times 24 = 1080$.

(A) हमें $8^{2n} - 62^{2n+1}$ को $9$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $8 \equiv -1 \pmod{9}$ और $62 \equiv 8 \equiv -1 \pmod{9}$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$8^{2n} - 62^{2n+1} \equiv (-1)^{2n} - (-1)^{2n+1} \pmod{9}$।
चूंकि $2n$ एक सम संख्या है,इसलिए $(-1)^{2n} = 1$।
चूंकि $2n+1$ एक विषम संख्या है,इसलिए $(-1)^{2n+1} = -1$।
अतः,$1 - (-1) = 1 + 1 = 2$।
इस प्रकार,शेषफल $2$ है।

(A) माना योग $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{6}{3^2} + \frac{10}{3^3} + \frac{14}{3^4} + \dots$ $(1)$
$\frac{1}{3}$ से गुणा करने पर: $\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{6}{3^3} + \frac{10}{3^4} + \dots$ $(2)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$S - \frac{1}{3}S = 1 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) + (\frac{6}{3^2} - \frac{2}{3^2}) + (\frac{10}{3^3} - \frac{6}{3^3}) + (\frac{14}{3^4} - \frac{10}{3^4}) + \dots$
$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{4}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \dots$
$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + [\frac{4}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \dots]$
कोष्ठक में दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ $a = \frac{4}{9}$ और $r = \frac{1}{3}$ है।
योग $= \frac{a}{1-r} = \frac{4/9}{1 - 1/3} = \frac{4/9}{2/3} = \frac{2}{3}$.
अतः,$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 + 1 = 2$.
$S = 2 \times \frac{3}{2} = 3$.

(A) यदि दो रेखाएँ एक उभयनिष्ठ रेखा पर लंब हैं,तो वे एक-दूसरे के समांतर होनी चाहिए।
माना रेखाओं की प्रवणता (slopes) $m_1$ और $m_2$ हैं।
पहली रेखा $p(p^2 + 1)x - y + q = 0$ के लिए,प्रवणता $m_1 = \frac{p(p^2 + 1)}{1} = p(p^2 + 1)$ है।
दूसरी रेखा $(p^2 + 1)^2x + (p^2 + 1)y + 2q = 0$ के लिए,प्रवणता $m_2 = -\frac{(p^2 + 1)^2}{p^2 + 1} = -(p^2 + 1)$ है।
चूँकि रेखाएँ समांतर हैं,$m_1 = m_2$ होगा।
$p(p^2 + 1) = -(p^2 + 1)$।
चूँकि किसी भी वास्तविक $p$ के लिए $p^2 + 1 \neq 0$ है,हम $(p^2 + 1)$ से विभाजित कर सकते हैं।
$p = -1$।
अतः,$p$ का केवल एक मान संभव है।

(A) दो वृत्तों $S_1: x^2 + y^2 + 3x + 7y + 2p - 5 = 0$ और $S_2: x^2 + y^2 + 2x + 2y - p^2 = 0$ की उभयनिष्ठ जीवा (मूल अक्ष) का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2 + y^2 + 3x + 7y + 2p - 5) - (x^2 + y^2 + 2x + 2y - p^2) = 0$
$x + 5y + 2p - 5 + p^2 = 0 \quad \dots(i)$
$P$ और $Q$ प्रतिच्छेदन बिंदुओं और बिंदु $(1, 1)$ से होकर गुजरने वाले वृत्त के लिए,बिंदु $(1, 1)$ को उभयनिष्ठ जीवा $PQ$ पर स्थित नहीं होना चाहिए।
समीकरण $(i)$ में $(1, 1)$ रखने पर:
$1 + 5(1) + 2p - 5 + p^2 \neq 0$
$p^2 + 2p + 1 \neq 0$
$(p + 1)^2 \neq 0$
$p \neq -1$
अतः,$p = -1$ को छोड़कर $p$ के सभी मानों के लिए $P, Q$ और $(1, 1)$ से होकर गुजरने वाला एक वृत्त मौजूद है।

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $x^2 + 4y^2 = 4$ है,जिसे $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष $a = 2$ और $b = 1$ हैं।
इस दीर्घवृत्त के चारों ओर बने आयत के शीर्ष $(\pm 2, \pm 1)$ हैं।
बाहरी दीर्घवृत्त इस आयत में अंतर्निहित है,जिसका अर्थ है कि यह बिंदुओं $(\pm 2, \pm 1)$ से होकर गुजरता है।
मान लीजिए बाहरी दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1$ है।
चूंकि यह $(4,0)$ से होकर गुजरता है,हमारे पास $\frac{4^2}{A^2} + \frac{0^2}{B^2} = 1$ है,जिससे $A^2 = 16$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह $(2,1)$ से भी होकर गुजरता है,हमारे पास $\frac{2^2}{16} + \frac{1^2}{B^2} = 1$ है।
$\frac{4}{16} + \frac{1}{B^2} = 1 \implies \frac{1}{4} + \frac{1}{B^2} = 1 \implies \frac{1}{B^2} = \frac{3}{4} \implies B^2 = \frac{4}{3}$।
$A^2$ और $B^2$ के मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4/3} = 1$।
$\frac{x^2}{16} + \frac{3y^2}{4} = 1$।
$16$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 + 12y^2 = 16$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई श्रेणी $1, 1+d, 1+2d, \dots, 1+100d$ एक $n = 101$ पदों वाली समांतर श्रेणी $(A.P.)$ है।
इस श्रेणी का माध्य $\bar{x} = \frac{\sum_{r=0}^{100} (1+rd)}{101} = \frac{101 + d \frac{100 \times 101}{2}}{101} = 1 + 50d$ है।
माध्य से माध्य विचलन $\frac{1}{101} \sum_{r=0}^{100} |(1+rd) - (1+50d)| = \frac{1}{101} \sum_{r=0}^{100} |(r-50)d|$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $d > 0$,तो यह $\frac{d}{101} [\sum_{r=0}^{50} (50-r) + \sum_{r=51}^{100} (r-50)]$ हो जाता है।
$= \frac{d}{101} [ (50+49+\dots+0) + (1+2+\dots+50) ] = \frac{d}{101} [ 2 \times \frac{50 \times 51}{2} ] = \frac{50 \times 51 \times d}{101}$.
दिया गया है कि माध्य विचलन $255$ है,इसलिए $\frac{50 \times 51 \times d}{101} = 255$.
$d = \frac{255 \times 101}{50 \times 51} = \frac{5 \times 101}{50} = \frac{101}{10} = 10.1$.

(C) दिया गया है कि समीकरण $bx^2 + cx + a = 0$ के मूल काल्पनिक हैं,इसलिए विविक्तकर $D < 0$ है।
अतः,$c^2 - 4ab < 0$,जिसका अर्थ है $c^2 < 4ab$।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $-c^2 > -4ab$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $E = 3b^2x^2 + 6bcx + 2c^2$ पर विचार करें।
$E = 3(b^2x^2 + 2bcx + c^2) - c^2$।
$E = 3(bx + c)^2 - c^2$।
चूंकि $(bx + c)^2 \geq 0$,इसलिए $3(bx + c)^2 \geq 0$।
अतः,$E \geq -c^2$।
चूंकि $-c^2 > -4ab$,इसलिए $E > -4ab$।

(D) कथन $-1$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम $\sim (p \leftrightarrow \sim q)$ के लिए सत्यता सारणी का विश्लेषण करते हैं।
याद रखें कि $(p \leftrightarrow \sim q)$ तब सत्य होता है जब $p$ और $\sim q$ का सत्यता मान समान हो,जिसका अर्थ है कि $p$ और $q$ के सत्यता मान विपरीत हैं।
अतः,$(p \leftrightarrow \sim q)$ का मान $\sim (p \leftrightarrow q)$ के समतुल्य है।
इसलिए,$\sim (p \leftrightarrow \sim q)$ का मान $\sim (\sim (p \leftrightarrow q))$ के समतुल्य है,जो सरल होकर $(p \leftrightarrow q)$ हो जाता है।
अतः,कथन $-1$ सत्य है।
कथन $-2$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम जाँचते हैं कि क्या $\sim (p \leftrightarrow \sim q)$ एक पुनरुक्ति है।
चूँकि $\sim (p \leftrightarrow \sim q) \equiv (p \leftrightarrow q)$,और $(p \leftrightarrow q)$ सभी $p$ और $q$ के मानों के लिए सत्य नहीं है (यह तब असत्य होता है जब $p$ और $q$ के सत्यता मान अलग होते हैं),इसलिए यह व्यंजक एक पुनरुक्ति नहीं है।
अतः,कथन $-2$ असत्य है।

(D) कथन-$2$: $(p \rightarrow q) \leftrightarrow (\sim q \rightarrow \sim p)$
चूंकि $(\sim q \rightarrow \sim p)$,$(p \rightarrow q)$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) है,इसलिए उनके सत्य मान समान होते हैं।
अतः,$(p \rightarrow q) \leftrightarrow (p \rightarrow q)$ हमेशा सत्य है,जिसका अर्थ है कि यह एक पुनरुक्ति है।
इसलिए,कथन-$2$ सही है।
कथन-$1$: $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \wedge q)$
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों का उपयोग करते हुए:
$= (p \wedge \sim p) \wedge (\sim q \wedge q)$
$= F \wedge F = F$
चूंकि परिणाम हमेशा असत्य है,यह एक असत्यता है।
इसलिए,कथन-$1$ सही है।
दोनों कथन सही हैं,और कथन-$2$,कथन-$1$ का स्पष्टीकरण नहीं है।

(C) माना उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ है। समीकरण $x^2-6x+a=0$ और $x^2-cx+6=0$ हैं।
माना अन्य मूल क्रमशः $\beta_1$ और $\beta_2$ हैं। दिया गया है कि $\beta_1 : \beta_2 = 4:3$,इसलिए $\beta_1 = 4k$ और $\beta_2 = 3k$ है।
मूलों के गुणों से:
पहले समीकरण के लिए: $\alpha + 4k = 6$ और $\alpha \cdot 4k = a$ है।
दूसरे समीकरण के लिए: $\alpha + 3k = c$ और $\alpha \cdot 3k = 6$ है।
$\alpha \cdot 3k = 6$ से,$k = \frac{2}{\alpha}$ प्राप्त होता है।
$k$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $\alpha + 4(\frac{2}{\alpha}) = 6 \Rightarrow \alpha + \frac{8}{\alpha} = 6$ है।
$\alpha$ से गुणा करने पर: $\alpha^2 - 6\alpha + 8 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(\alpha - 4)(\alpha - 2) = 0$,इसलिए $\alpha = 4$ या $\alpha = 2$ है।
यदि $\alpha = 4$ है,तो $4k = 6 - 4 = 2 \Rightarrow k = 0.5$ है। तब $\beta_1 = 2$ और $\beta_2 = 1.5$ है। चूँकि $\beta_2$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए यह संभव नहीं है।
यदि $\alpha = 2$ है,तो $4k = 6 - 2 = 4 \Rightarrow k = 1$ है। तब $\beta_1 = 4$ और $\beta_2 = 3$ है। दोनों पूर्णांक हैं।
अतः,उभयनिष्ठ मूल $2$ है।

(A) रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{-5} = \frac{z + 2}{2}$ समतल $x + 3y - \alpha z + \beta = 0$ में स्थित है।
चूंकि रेखा समतल के समानांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $(1, 3, -\alpha)$ रेखा के दिशा सदिश $(3, -5, 2)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$1(3) + 3(-5) + (-\alpha)(2) = 0$.
$3 - 15 - 2\alpha = 0$.
$-12 - 2\alpha = 0 \implies \alpha = -6$.
अब,समतल का समीकरण $x + 3y + 6z + \beta = 0$ है।
चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा। बिंदु $(2, 1, -2)$ रेखा पर स्थित है।
समतल के समीकरण में $(2, 1, -2)$ रखने पर: $2 + 3(1) + 6(-2) + \beta = 0$.
$2 + 3 - 12 + \beta = 0$.
$-7 + \beta = 0 \implies \beta = 7$.
अतः,$(\alpha, \beta) = (-6, 7)$.

(B) परवलय का समीकरण $(y-2)^2 = x-1$ है।
बिंदु $(2,3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y-y_1 = m(x-x_1)$ सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।
सबसे पहले,परवलय समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(y-2) \frac{dy}{dx} = 1$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(y-2)}$.
$(2,3)$ पर,ढाल $m = \frac{1}{2(3-2)} = \frac{1}{2}$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y-3 = \frac{1}{2}(x-2)$ है,जिसे सरल करने पर $2y-6 = x-2$ या $x = 2y-4$ प्राप्त होता है।
यह क्षेत्र परवलय $x = (y-2)^2 + 1$,स्पर्श रेखा $x = 2y-4$ और $x$-अक्ष $(y=0)$ द्वारा परिबद्ध है।
$y$ के सापेक्ष $y=0$ से $y=3$ तक समाकलन करने पर:
क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{3} [x_{parabola} - x_{tangent}] dy = \int_{0}^{3} [((y-2)^2 + 1) - (2y-4)] dy$
$A = \int_{0}^{3} [y^2 - 4y + 4 + 1 - 2y + 4] dy = \int_{0}^{3} [y^2 - 6y + 9] dy$
$A = \int_{0}^{3} (y-3)^2 dy = \left[ \frac{(y-3)^3}{3} \right]_{0}^{3} = 0 - \left( \frac{-27}{3} \right) = 9$.

(C) माना $I = \int_{0}^{\pi} [\cot x] dx$.
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{\pi} [\cot(\pi - x)] dx = \int_{0}^{\pi} [-\cot x] dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\pi} ([\cot x] + [-\cot x]) dx$.
हम जानते हैं कि किसी भी $y \notin \mathbb{Z}$ के लिए,$[y] + [-y] = -1$ होता है,और $y \in \mathbb{Z}$ के लिए,$[y] + [-y] = 0$ होता है।
फलन $\cot x$ बिंदु $x=0, \pi/2, \pi$ पर परिभाषित नहीं है। $x=\pi/2$ पर,$\cot x = 0$ है,इसलिए $[0] + [0] = 0$ होता है।
अन्य सभी $x \in (0, \pi)$ के लिए,$\cot x$ पूर्णांक नहीं है।
अतः,$(0, \pi)$ में लगभग हर जगह $[\cot x] + [-\cot x] = -1$ होता है।
$2I = \int_{0}^{\pi} (-1) dx = -\pi$.
इसलिए,$I = -\frac{\pi}{2}$.

(C) किसी भी $n \times n$ आव्यूह $A$ के लिए,एडजॉइंट का गुणधर्म $adj(adj A) = |A|^{n-2} A$ होता है।
यहाँ $n = 2$ दिया गया है,इसलिए $adj(adj A) = |A|^{2-2} A = |A|^0 A = I \cdot A = A$। अतः,$\text{कथन}-1$ सत्य है।
$\text{कथन}-2$ के लिए,हम जानते हैं कि $|adj A| = |A|^{n-1}$ होता है।
यहाँ $n = 2$ होने के कारण,$|adj A| = |A|^{2-1} = |A|^1 = |A|$। अतः,$\text{कथन}-2$ सत्य है।
चूंकि $adj(adj A) = |A|^{n-2} A$ होता है,इसलिए $adj(adj A) = A$ परिणाम $n=2$ के लिए सामान्य गुणधर्म पर आधारित है। अतः,$\text{कथन}-2$,$\text{कथन}-1$ में दिए गए समीकरण के लिए आवश्यक संदर्भ प्रदान करता है।

(C) मान लीजिए कि दिया गया समीकरण $D_1 + D_2 = 0$ है।
सबसे पहले,हम देखते हैं कि दूसरे सारणिक $D_2$ को उसके मान को बदले बिना ट्रांसपोज़ किया जा सकता है।
$D_2 = \left| \begin{array}{ccc} a+1 & a-1 & (-1)^{n+2}a \\ b+1 & b-1 & (-1)^{n+1}b \\ c-1 & c+1 & (-1)^n c \end{array} \right|$.
दोनों सारणिकों को जोड़ने पर,हम पाते हैं कि $a, b, c$ के किसी भी मान के लिए योग शून्य होने के लिए स्तंभों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा।
विशेष रूप से,यदि $n$ एक विषम पूर्णांक है,तो $(-1)^{n+2} = -1$,$(-1)^{n+1} = 1$,और $(-1)^n = -1$ होता है।
इन मानों को सारणिकों के योग में प्रतिस्थापित करने पर,पद शून्य हो जाते हैं।
अतः,$n$ कोई भी विषम पूर्णांक होना चाहिए।

(D) दिया गया समीकरण: ${x^{2x}} - 2{x^x}\cot y - 1 = 0$ ........$(i)$
$x = 1$ पर:
$1^{2(1)} - 2(1^1)\cot y - 1 = 0$
$1 - 2\cot y - 1 = 0$
$\Rightarrow \cot y = 0 \quad \therefore \quad y = \frac{\pi}{2}$
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^{2x}) - 2 \frac{d}{dx}(x^x \cot y) = 0$
$x^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x \ln x) - 2 \left[ x^x(1 + \ln x) \cot y - x^x \csc^2 y \frac{dy}{dx} \right] = 0$
बिंदु $P(1, \frac{\pi}{2})$ पर,$x = 1, y = \frac{\pi}{2}, \cot y = 0, \csc^2 y = 1, \ln 1 = 0$ रखने पर:
$2(1)^{2}(1 + 0) - 2 \left[ 1(1 + 0)(0) - 1(1) \left(\frac{dy}{dx}\right)_{P} \right] = 0$
$2 - 2 \left[ -\left(\frac{dy}{dx}\right)_{P} \right] = 0$
$2 + 2 \left(\frac{dy}{dx}\right)_{P} = 0$
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{P} = -1$

(D) हमारे पास $f(x) = x|x|$ और $g(x) = \sin x$ है।
अतः,$(gof)(x) = \sin(x|x|) = \begin{cases} -\sin(x^2), & x < 0 \\ \sin(x^2), & x \ge 0 \end{cases}$ है।
$x=0$ पर $gof$ का $LHD$: $\lim_{x \to 0^-} \frac{-\sin(x^2) - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} -x \left(\frac{\sin(x^2)}{x^2}\right) = 0$ है।
$x=0$ पर $gof$ का $RHD$: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin(x^2) - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} x \left(\frac{\sin(x^2)}{x^2}\right) = 0$ है।
चूंकि $LHD = RHD = 0$,इसलिए $gof$,$x=0$ पर अवकलनीय है और $(gof)'(0) = 0$ है।
अवकलज $(gof)'(x) = \begin{cases} -2x\cos(x^2), & x < 0 \\ 2x\cos(x^2), & x \ge 0 \end{cases}$ है।
चूंकि $\lim_{x \to 0^-} (gof)'(x) = 0$ और $\lim_{x \to 0^+} (gof)'(x) = 0$,इसलिए अवकलज $x=0$ पर सतत है। अतः,कथन-$1$ सत्य है।
अब,$x=0$ पर द्वितीय अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
$x=0$ पर $(gof)'$ का $LHD$: $\lim_{x \to 0^-} \frac{-2x\cos(x^2) - 0}{x - 0} = -2\cos(0) = -2$ है।
$x=0$ पर $(gof)'$ का $RHD$: $\lim_{x \to 0^+} \frac{2x\cos(x^2) - 0}{x - 0} = 2\cos(0) = 2$ है।
चूंकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $gof$,$x=0$ पर दो बार अवकलनीय नहीं है। अतः,कथन-$2$ असत्य है।

(B) दिया है $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$.
$P'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx + c$.
चूंकि $x=0$,$P'(x)=0$ का एकमात्र वास्तविक मूल है,इसलिए $P'(0) = 0$,जिसका अर्थ है $c=0$.
अतः,$P'(x) = x(4x^2 + 3ax + 2b)$.
चूंकि $x=0$ एकमात्र वास्तविक मूल है,द्विघात गुणनखंड $4x^2 + 3ax + 2b$ का कोई वास्तविक मूल नहीं होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि इसका विविक्तकर $D < 0$ है।
$D = (3a)^2 - 4(4)(2b) = 9a^2 - 32b < 0$.
चूंकि अग्रणी गुणांक $4 > 0$ है,इसलिए $4x^2 + 3ax + 2b > 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य है।
इसलिए,$P'(x)$ का चिह्न $x$ के चिह्न पर निर्भर करता है।
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$P'(x) < 0$,इसलिए $P(x)$ निरंतर ह्रासमान है।
$x \in (0, 1]$ के लिए,$P'(x) > 0$,इसलिए $P(x)$ निरंतर वर्धमान है।
$P(x)$ अंतराल $[-1, 0]$ पर घटता है और $[0, 1]$ पर बढ़ता है,इसलिए $[-1, 1]$ पर वैश्विक न्यूनतम मान $x=0$ पर प्राप्त होता है।
अतः,$P(-1)$ न्यूनतम नहीं है।
चूंकि $P(x)$ अंतराल $(0, 1]$ पर वर्धमान है और $P(-1) < P(1)$ है,इसलिए $[-1, 1]$ पर अधिकतम मान $P(1)$ होगा।
अतः,$P(-1)$ न्यूनतम नहीं है,लेकिन $P(1)$ अधिकतम है।

(C) दिया गया वक्रों का कुल: $y = c_1 e^{c_2 x} \dots (i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y' = c_1 c_2 e^{c_2 x} = c_2 y \dots (ii)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y'' = c_2 y' \dots (iii)$
समीकरण $(ii)$ से,हमें प्राप्त होता है $c_2 = \frac{y'}{y}$.
$c_2$ का यह मान समीकरण $(iii)$ में रखने पर:
$y'' = \left( \frac{y'}{y} \right) y'$
दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करने पर:
$y y'' = (y')^2$
यह अभीष्ट अवकल समीकरण है।

(D) माना $S = \{00, 01, 02, \ldots, 49\}$ प्रतिदर्श समष्टि है। कुल टिकटों की संख्या $50$ है।
माना $A$ वह घटना है कि चुने गए टिकट के अंकों का योग $8$ है।
$A = \{08, 17, 26, 35, 44\}$.
माना $B$ वह घटना है कि अंकों का गुणनफल शून्य है।
यह तब होता है जब कम से कम एक अंक $0$ हो। ये टिकट $\{00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 20, 30, 40\}$ हैं।
ऐसे $14$ टिकट हैं,इसलिए $n(B) = 14$.
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$ ज्ञात करनी है।
$A \cap B$ उन टिकटों का समुच्चय है जहाँ अंकों का योग $8$ है और अंकों का गुणनफल $0$ है।
समुच्चय $A = \{08, 17, 26, 35, 44\}$ को देखने पर,केवल $08$ में अंकों का गुणनफल $0$ है $(0 \times 8 = 0)$।
अतः,$A \cap B = \{08\}$,इसलिए $n(A \cap B) = 1$.
इसलिए,$P(A|B) = \frac{1}{14}$.

(A) कम से कम एक सफलता की प्रायिकता $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ द्वारा दी जाती है।
द्विपद वितरण $B(n, p)$ में,$P(X = 0) = q^n$,जहाँ $q = 1 - p$ है।
यहाँ $p = \frac{1}{4}$ दिया गया है,इसलिए $q = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
शर्त के अनुसार $1 - (\frac{3}{4})^n \geq \frac{9}{10}$ है।
असमानता को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $1 - \frac{9}{10} \geq (\frac{3}{4})^n$ मिलता है,जो सरल होकर $\frac{1}{10} \geq (\frac{3}{4})^n$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का आधार $10$ पर लघुगणक लेने पर: $\log_{10}(\frac{1}{10}) \geq \log_{10}((\frac{3}{4})^n)$।
$-1 \geq n(\log_{10} 3 - \log_{10} 4)$।
$-1$ से गुणा करने पर असमानता का चिह्न बदल जाएगा: $1 \leq n(\log_{10} 4 - \log_{10} 3)$।
अतः,$n \geq \frac{1}{\log_{10} 4 - \log_{10} 3}$।

(C) दिया गया है $f(x) = x^3 + 5x + 1.$
सबसे पहले,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 3x^2 + 5.$
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $x^2 \ge 0$ होता है,इसलिए $3x^2 + 5 \ge 5 > 0$ होगा।
सभी $x$ के लिए $f'(x) > 0$ होने के कारण,फलन $f(x)$ $R$ पर निरंतर वर्धमान है।
एक निरंतर वर्धमान फलन हमेशा एक-एक होता है।
अगला,हम जांचते हैं कि क्या फलन आच्छादक है। चूंकि $f(x)$ विषम घात का बहुपद है,इसलिए इसका परिसर $(-\infty, \infty)$ है।
विशेष रूप से,$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ और $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty.$
चूंकि $f(x)$ सतत है और इसका परिसर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $R$ है,इसलिए फलन आच्छादक है।
अतः,$f$ एक-एक और आच्छादक दोनों है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = (x+1)^2 - 1$ है,जहाँ $x \geq -1$ है।
$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,$y = (x+1)^2 - 1$ लें। चूँकि $x \geq -1$,इसलिए $y \geq -1$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए हल करने पर: $(x+1)^2 = y+1 \Rightarrow x+1 = \sqrt{y+1} \Rightarrow x = \sqrt{y+1} - 1$.
अतः,$f^{-1}(x) = \sqrt{x+1} - 1$ है। चूँकि $f$ अंतराल $[-1, \infty)$ पर वर्धमान फलन है,इसलिए यह एक बाइजेक्शन (एकैकी और आच्छादक) है। अतः,कथन-$2$ सत्य है।
$S = \{x : f(x) = f^{-1}(x)\}$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = x$ को हल करते हैं क्योंकि $f$ एक वर्धमान फलन है।
$(x+1)^2 - 1 = x \Rightarrow x^2 + 2x + 1 - 1 = x \Rightarrow x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x+1) = 0$.
अतः,$x = 0$ या $x = -1$ प्राप्त होता है। इसलिए,$S = \{0, -1\}$ है। कथन-$1$ सत्य है।
वर्धमान फलनों के लिए $f(x) = f^{-1}(x)$ का अर्थ $f(x) = x$ होता है,इसलिए कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

(B) माना सदिश $\vec{v} = (a, b, c) = (6, -3, 2)$ है।
सदिश का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec{v}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
सदिश की दिक्-कोसाइन $(l, m, n)$ उसके घटकों को सदिश के परिमाण से विभाजित करके प्राप्त की जाती हैं:
$l = \frac{a}{|\vec{v}|} = \frac{6}{7}$,
$m = \frac{b}{|\vec{v}|} = \frac{-3}{7}$,
$n = \frac{c}{|\vec{v}|} = \frac{2}{7}$.
अतः,दिक्-कोसाइन $\left(\frac{6}{7}, -\frac{3}{7}, \frac{2}{7}\right)$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $[3\vec{u}, p\vec{v}, p\vec{w}] - [p\vec{v}, \vec{w}, q\vec{u}] - [2\vec{w}, q\vec{v}, q\vec{u}] = 0$
अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म $[k\vec{a}, l\vec{b}, m\vec{c}] = klm[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ का उपयोग करने पर:
$3p^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] - pq[\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}] - 2q^2[\vec{w}, \vec{v}, \vec{u}] = 0$
चूंकि $[\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}] = [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ और $[\vec{w}, \vec{v}, \vec{u}] = -[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$,समीकरण इस प्रकार होगा:
$3p^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] - pq[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] + 2q^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$
$(3p^2 - pq + 2q^2)[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$
चूंकि $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ असमतलीय हैं,$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] \neq 0$. इसलिए:
$3p^2 - pq + 2q^2 = 0$
यह $p$ में एक द्विघात समीकरण है। $p$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए:
$D = (-q)^2 - 4(3)(2q^2) = q^2 - 24q^2 = -23q^2$
$D \geq 0$ के लिए,$-23q^2 \geq 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $q^2 \leq 0$. चूंकि $q$ एक वास्तविक संख्या है,यह केवल $q = 0$ होने पर ही संभव है।
$3p^2 - pq + 2q^2 = 0$ में $q = 0$ रखने पर,$3p^2 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $p = 0$.
अतः,केवल एक ही हल $(p, q) = (0, 0)$ संभव है।