AIEEE 2007 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) माना $O$ वृत्ताकार पार्क का केंद्र है और $P$ मीनार का शीर्ष है। अतः,$OP$ मीनार की ऊँचाई है।
चूँकि $O$ केंद्र है,$OA = OB = R$ (पार्क की त्रिज्या)।
दिया गया है कि $\angle AOB = 60^{\circ}$ और $OA = OB$,इसलिए $\Delta AOB$ एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,$OA = OB = AB = a$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta AOP$ में,जहाँ $\angle OAP = 30^{\circ}$ उन्नयन कोण है:
$\tan 30^{\circ} = \frac{OP}{OA}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{OP}{a}$
$OP = \frac{a}{\sqrt{3}}$
अतः,मीनार की ऊँचाई $\frac{a}{\sqrt{3}}$ है।

(A) असमिका $|z - (-4)| \le 3$ उन सभी बिंदुओं $z$ के समुच्चय को दर्शाती है जो केंद्र $C(-4, 0)$ और त्रिज्या $r = 3$ वाले वृत्त पर या उसके अंदर स्थित हैं।
हमें $|z - (-1)|$ का अधिकतम मान ज्ञात करना है,जो $z$ और बिंदु $A(-1, 0)$ के बीच की दूरी को दर्शाता है।
केंद्र $C(-4, 0)$ और बिंदु $A(-1, 0)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(-1 - (-4))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$ है।
वृत्त के अंदर या उस पर किसी बिंदु $z$ से बिंदु $A$ तक की अधिकतम दूरी $d + r$ द्वारा दी जाती है।
अतः,अधिकतम मान $3 + 3 = 6$ है।

(C) समुच्चय $S$ में $12$ अवयव हैं।
हमें $S$ को तीन समान आकार के असंयुक्त समुच्चयों $A, B, C$ में विभाजित करना है।
चूंकि $|S| = 12$,प्रत्येक समुच्चय में $12 / 3 = 4$ अवयव होने चाहिए।
$12$ भिन्न वस्तुओं को $4$ के आकार वाले $3$ अनचिह्नित समूहों में बांटने के तरीकों की संख्या $\frac{1}{3!} \binom{12}{4, 4, 4}$ द्वारा दी जाती है।
इसकी गणना इस प्रकार है:
$\frac{1}{3!} \times \binom{12}{4} \times \binom{8}{4} \times \binom{4}{4} = \frac{1}{3!} \times \frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{4!0!} = \frac{12!}{3!(4!)^3}$.

(B) $(a - b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^nC_r a^{n-r} (-b)^r$ है।
$5^{th}$ पद $(r=4)$ के लिए: $T_5 = ^nC_4 a^{n-4} b^4$.
$6^{th}$ पद $(r=5)$ के लिए: $T_6 = -^nC_5 a^{n-5} b^5$.
$T_5 + T_6 = 0$ दिया गया है:
$^nC_4 a^{n-4} b^4 = ^nC_5 a^{n-5} b^5$.
अतः,$\frac{a}{b} = \frac{^nC_5}{^nC_4} = \frac{n-4}{5}$.

(D) माना $S = \binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \binom{20}{2} - \dots + \binom{20}{10}$.
हम जानते हैं कि $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$.
अतः,$\binom{20}{0} = \binom{20}{20}$,$\binom{20}{1} = \binom{20}{19}$,...,$\binom{20}{9} = \binom{20}{11}$.
$(1-1)^{20} = \sum_{r=0}^{20} (-1)^r \binom{20}{r} = 0$ पर विचार करें।
इससे प्राप्त होता है: $\binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \dots - \binom{20}{9} + \binom{20}{10} - \binom{20}{11} + \dots + \binom{20}{20} = 0$.
समरूपता का उपयोग करने पर: $\binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \dots - \binom{20}{9} + \binom{20}{10} - \binom{20}{9} + \dots + \binom{20}{0} = 0$.
$2[\binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \dots - \binom{20}{9}] + \binom{20}{10} = 0$.
माना $X = \binom{20}{0} - \binom{20}{1} + \dots - \binom{20}{9}$. तब $2X + \binom{20}{10} = 0$,अतः $X = -\frac{1}{2} \binom{20}{10}$.
अभीष्ट योग $S = X + \binom{20}{10} = -\frac{1}{2} \binom{20}{10} + \binom{20}{10} = \frac{1}{2} \binom{20}{10}$ है।

(D) हम जानते हैं कि $e^x$ का विस्तार इस प्रकार है:
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$
$x = -1$ रखने पर:
$e^{-1} = 1 + (-1) + \frac{(-1)^2}{2!} + \frac{(-1)^3}{3!} + \frac{(-1)^4}{4!} + \dots$
$e^{-1} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
सरल करने पर:
$e^{-1} = \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots$
अतः,श्रेणी का योग $e^{-1}$ है।

(A) माना गुणोत्तर श्रेणी के पद $a, ar, ar^2, \ldots$ हैं,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।
दिया गया है कि प्रत्येक पद अगले दो पदों के योग के बराबर है:
$a = ar + ar^2$
चूँकि $a \neq 0$,हम $a$ से विभाजित कर सकते हैं:
$1 = r + r^2$
$r^2 + r - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$
$r = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
चूँकि पद धनात्मक हैं,सार्व अनुपात $r$ धनात्मक होना चाहिए।
अतः,$r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.

(C) रेखा $QP$ ऋणात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए धनात्मक $x$-अक्ष के साथ इसका कोण $\pi$ है। रेखा $QR$ बिंदु $(0, 0)$ और $(3, 3\sqrt{3})$ से गुजरती है,इसलिए इसकी ढाल $m = \frac{3\sqrt{3} - 0}{3 - 0} = \sqrt{3}$ है। रेखा $QR$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\theta = \frac{\pi}{3}$ का कोण बनाती है।
कोण $\angle PQR$,रेखा $QP$ (कोण $\pi$) और रेखा $QR$ (कोण $\frac{\pi}{3}$) के बीच का कोण है।
$\angle PQR$ का माप $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ है।
$\angle PQR$ का समद्विभाजक धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\alpha = \frac{\pi + \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{2\pi}{3}$ का कोण बनाएगा।
समद्विभाजक की ढाल $\tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ है।
चूंकि समद्विभाजक मूल बिंदु $Q(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $y = -\sqrt{3}x$ अर्थात $\sqrt{3}x + y = 0$ है।

(A) दिए गए शीर्ष $A(h, k)$,$B(1, 1)$ और $C(2, 1)$ हैं।
चूंकि $AC$ कर्ण है,समकोण $B$ पर है। अतः,$AB \perp BC$.
$AB$ की ढाल $m_1 = \frac{k-1}{h-1}$ है और $BC$ की ढाल $m_2 = \frac{1-1}{2-1} = 0$ है।
चूंकि $AB \perp BC$,रेखा $AB$ को लंबवत होना चाहिए,इसलिए $h = 1$.
अब,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = 1$ है।
यहाँ,आधार $BC = \sqrt{(2-1)^2 + (1-1)^2} = 1$.
ऊंचाई $AB = \sqrt{(1-1)^2 + (k-1)^2} = |k-1|$.
अतः,$\frac{1}{2} \times 1 \times |k-1| = 1$.
$|k-1| = 2$.
$k-1 = 2$ या $k-1 = -2$.
$k = 3$ या $k = -1$.
इसलिए,$k$ के मानों का समुच्चय $\{-1, 3\}$ है।

(A) दी गई रेखाओं का युग्म $my^2 + (1 - m^2)xy - mx^2 = 0$ है।
$xy = 0$ रेखाएं निर्देशांक अक्ष $x = 0$ और $y = 0$ को दर्शाती हैं।
$x = 0$ और $y = 0$ के बीच के कोण के समद्विभाजक $x^2 - y^2 = 0$ होते हैं,जिसका अर्थ है $x = y$ और $x = -y$।
यदि $my^2 + (1 - m^2)xy - mx^2 = 0$ में से एक रेखा समद्विभाजक है,तो $m = \pm 1$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$m = 1$ सही उत्तर है।

(B) $x$-अक्ष को स्पर्श करने वाले और $(h, k)$ केंद्र वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = k^{2}$ है।
चूंकि वृत्त बिंदु $(-1, 1)$ से होकर गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(-1-h)^{2} + (1-k)^{2} = k^{2}$
$1 + 2h + h^{2} + 1 - 2k + k^{2} = k^{2}$
$h^{2} + 2h + 2 - 2k = 0$
$h$ के वास्तविक निर्देशांक होने के लिए,$h$ में इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D$ शून्य या शून्य से बड़ा होना चाहिए:
$D = (2)^{2} - 4(1)(2 - 2k) \ge 0$
$4 - 8 + 8k \ge 0$
$8k - 4 \ge 0$
$8k \ge 4$
$k \ge \frac{1}{2}$

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है,जो $y^2 = 4ax$ के रूप में है,जहाँ $4a = 8$,इसलिए $a = 2$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ की नियता (directrix) $x = -a$ होती है,जो $x = -2$ है।
परवलय का एक मानक गुण यह है कि दो लंबवत स्पर्शरेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु हमेशा नियता पर स्थित होता है।
चूंकि यह बिंदु दी गई स्पर्शरेखा $y = x + 2$ और नियता $x = -2$ दोनों पर स्थित है,इसलिए रेखा के समीकरण में $x = -2$ रखने पर:
$y = (-2) + 2 = 0$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(-2, 0)$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2 \sec^2 \theta - y^2 \csc^2 \theta = 1$ है,जिसे $\frac{x^2}{\cos^2 \theta} - \frac{y^2}{\sin^2 \theta} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = \cos^2 \theta$ और $b^2 = \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}} = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sec \theta$ है।
नाभि के निर्देशांक $(\pm ae, 0)$ होते हैं।
$ae = \sqrt{a^2} \cdot e = \sqrt{\cos^2 \theta} \cdot \sec \theta = \cos \theta \cdot \frac{1}{\cos \theta} = 1$ है।
चूंकि नाभि की केंद्र से दूरी $ae = 1$ है,जो $\theta$ से स्वतंत्र है,इसलिए नाभि स्थिर रहती है।

(A) माना लड़कों की संख्या $x$ है और लड़कियों की संख्या $y$ है।
लड़कों के कुल अंक $52x$ हैं और लड़कियों के कुल अंक $42y$ हैं।
संयुक्त औसत अंक $\frac{52x + 42y}{x + y} = 50$ द्वारा दिए गए हैं।
दोनों पक्षों को $(x + y)$ से गुणा करने पर,हमें $52x + 42y = 50(x + y)$ प्राप्त होता है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $52x + 42y = 50x + 50y$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $52x - 50x = 50y - 42y$।
$2x = 8y$,जो सरल होकर $x = 4y$ हो जाता है।
छात्रों की कुल संख्या $x + y = 4y + y = 5y$ है।
लड़कों का प्रतिशत $\frac{x}{x + y} \times 100 = \frac{4y}{5y} \times 100 = 80\%$ है।

(C) माना $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 + ax + 1 = 0$ के मूल हैं।
तब,$\alpha + \beta = -a$ और $\alpha \beta = 1$ है।
मूलों के बीच का अंतर $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $|\alpha - \beta| = \sqrt{a^2 - 4}$ प्राप्त होता है।
दी गई शर्त के अनुसार,$|\alpha - \beta| < \sqrt{5}$ है।
अतः,$\sqrt{a^2 - 4} < \sqrt{5}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 - 4 < 5$,जिसका अर्थ है $a^2 < 9$।
यह असमिका तब सत्य है जब $|a| < 3$,अर्थात $a \in (-3, 3)$।

(D) दिया गया है कि $p^{2} + q^{2} = 1$ जहाँ $p, q > 0$ है।
हम जानते हैं कि $(p+q)^{2} = p^{2} + q^{2} + 2pq$ होता है।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर: $(p+q)^{2} = 1 + 2pq$ प्राप्त होता है।
$AM \geq GM$ असमिका के अनुसार,धनात्मक वास्तविक संख्याओं $p^{2}$ और $q^{2}$ के लिए,$\frac{p^{2} + q^{2}}{2} \geq \sqrt{p^{2}q^{2}} = pq$ होता है।
चूँकि $p^{2} + q^{2} = 1$,इसलिए $\frac{1}{2} \geq pq$,जिसका अर्थ है कि $2pq \leq 1$ है।
इस मान को सर्वसमिका में रखने पर: $(p+q)^{2} = 1 + 2pq \leq 1 + 1 = 2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $p+q \leq \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(p+q)$ का अधिकतम मान $\sqrt{2}$ है।

(B) माना कि रेखा $x$,$y$ और $z$-अक्ष की धनात्मक दिशाओं के साथ क्रमशः $\alpha$,$\beta$ और $\gamma$ कोण बनाती है।
दिया गया है कि $\alpha = \frac{\pi}{4}$ और $\beta = \frac{\pi}{4}$ है।
रेखा की दिक्-कोज्याएँ $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$ और $n = \cos \gamma$ हैं।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
मान रखने पर,$\cos^2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) + \cos^2 \gamma = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \gamma = 1$ है।
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$ है।
$1 + \cos^2 \gamma = 1$ है।
$\cos^2 \gamma = 0$,जिसका अर्थ है कि $\cos \gamma = 0$ है।
अतः,$\gamma = \frac{\pi}{2}$ है।

(B) मान लीजिए कि रेखा $L$ के दिक अनुपात $(a, b, c)$ हैं।
चूंकि रेखा $L$ दोनों समतलों में स्थित है,इसलिए यह दोनों समतलों के अभिलंबों के लंबवत है।
अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (2, 3, 1)$ और $\vec{n_2} = (1, 3, 2)$ हैं।
रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v}$,$\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
हम दिशा सदिश को $(1, -1, 1)$ के रूप में सरल कर सकते हैं।
दिक कोज्याएं $(\ell, m, n)$ सदिश $(1, -1, 1)$ को सामान्यीकृत करके प्राप्त की जाती हैं:
परिमाण $= \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
अतः,$\ell = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$m = -\frac{1}{\sqrt{3}}$,$n = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
धनात्मक $x$-अक्ष के साथ कोण $\alpha$ के लिए $\cos \alpha = \ell = \frac{1}{\sqrt{3}}$ होगा।

(D) दिए गए गोले का समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 12y - 2z + 20 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $x^2 + y^2 + z^2 + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$ से तुलना करने पर,हमें $2u = -6, 2v = -12, 2w = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$u = -3, v = -6, w = -1$ है।
गोले का केंद्र $(-u, -v, -w) = (3, 6, 1)$ है।
माना व्यास का एक सिरा $A = (2, 3, 5)$ है और दूसरा सिरा $B = (\alpha, \beta, \gamma)$ है।
चूंकि गोले का केंद्र व्यास का मध्य-बिंदु होता है,इसलिए:
$\frac{\alpha + 2}{2} = 3 \Rightarrow \alpha + 2 = 6 \Rightarrow \alpha = 4$
$\frac{\beta + 3}{2} = 6 \Rightarrow \beta + 3 = 12 \Rightarrow \beta = 9$
$\frac{\gamma + 5}{2} = 1 \Rightarrow \gamma + 5 = 2 \Rightarrow \gamma = -3$
अतः,दूसरे सिरे के निर्देशांक $(4, 9, -3)$ हैं।

(C) दिया गया है $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$.
$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{1/x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ पर विचार करें।
मान लीजिए $t = \frac{1}{u}$,तो $dt = -\frac{1}{u^2} du$.
जब $t=1, u=1$. जब $t=1/x, u=x$.
$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e}(1/u)}{1+(1/u)} \left(-\frac{1}{u^2}\right) du = \int_{1}^{x} \frac{-\log_{e} u}{\frac{u+1}{u}} \left(\frac{1}{u^2}\right) du = \int_{1}^{x} \frac{-\log_{e} u}{u(u+1)} du$.
अब,$F(x) = f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt + \int_{1}^{x} \frac{-\log_{e} t}{t(1+t)} dt$.
$F(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} \left( 1 - \frac{1}{t} \right) dt = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{t} dt$.
$F(x) = \left[ \frac{(\log_{e} t)^2}{2} \right]_{1}^{x} = \frac{(\log_{e} x)^2}{2}$.
$x=e$ के लिए,$F(e) = \frac{(\log_{e} e)^2}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$.

(D) हमें समीकरण $\int_{\sqrt{2}}^{x} \frac{dt}{t\sqrt{t^2-1}} = \frac{\pi}{2}$ दिया गया है।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dt}{t\sqrt{t^2-1}} = \sec^{-1} t$ का उपयोग करते हुए,हम निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करते हैं:
$\left[\sec^{-1} t\right]_{\sqrt{2}}^{x} = \frac{\pi}{2}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sec^{-1} x - \sec^{-1} \sqrt{2} = \frac{\pi}{2}$.
चूंकि $\sec^{-1} \sqrt{2} = \frac{\pi}{4}$,समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$\sec^{-1} x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
$\sec^{-1} x$ के लिए हल करने पर:
$\sec^{-1} x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
अतः,$x = \sec\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$.
चूंकि $-\sqrt{2}$ दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(A) वक्र $y^2 = x$ और $y = |x|$ हैं।
चूंकि $y = |x|$,वक्र $y^2 = x$ और $y = x$ ($x \ge 0$ के लिए) और $y = -x$ ($x < 0$ के लिए) हैं।
हालाँकि,$y^2 = x$ का अर्थ है $x \ge 0$,इसलिए हम केवल उस क्षेत्र पर विचार करते हैं जहाँ $x \ge 0$ और $y = x$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $x^2 = x$ द्वारा प्राप्त किए जाते हैं,जो $x(x-1) = 0$ देता है,इसलिए $x = 0$ और $x = 1$ है।
अंतराल $[0, 1]$ में,$\sqrt{x} \ge x$ है।
आवश्यक क्षेत्रफल $\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) dx$ द्वारा दिया जाता है।
$= \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$.
$= \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \right) - (0 - 0) = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$.

(D) दिया गया है,$D = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+x & 1 \\ 1 & 1 & 1+y \end{array} \right|$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$D = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & y \end{array} \right|$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = 1 \cdot (x \cdot y - 0 \cdot 0) - 0 + 0 = xy$.
चूंकि $D = xy$,इसलिए यह $x$ और $y$ दोनों से विभाज्य है।

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 5 & 5\alpha & \alpha \\ 0 & \alpha & 5\alpha \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$ है।
चूंकि $A$ एक ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूह है,इसलिए इसका सारणिक $|A|$ इसके मुख्य विकर्ण के अवयवों का गुणनफल है।
$|A| = 5 \times \alpha \times 5 = 25\alpha$.
हमें दिया गया है कि $|A|^2 = 25$ है।
$|A|$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$(25\alpha)^2 = 25$ प्राप्त होता है।
$625\alpha^2 = 25$.
$\alpha^2 = \frac{25}{625} = \frac{1}{25}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$|\alpha| = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।

(D) फलन के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,हमें $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ परिभाषित करना होगा।
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{1}{x} - \frac{2}{e^{2x} - 1} \right]$
$= \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1 - 2x}{x(e^{2x} - 1)}$
टेलर श्रेणी विस्तार $e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots$ का उपयोग करने पर:
$= \lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2x + \frac{4x^2}{2} + \dots) - 1 - 2x}{x(1 + 2x + \dots - 1)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{4x^2}{2} + \dots}{x(2x + \dots)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + \dots}{2x^2 + \dots} = \frac{2}{2} = 1$.
अतः,$f(0) = 1$.

(D) दिया गया है $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x)$.
यह ज्ञात करने के लिए कि फलन कहाँ वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं।
$f'(x) = \frac{1}{1 + (\sin x + \cos x)^2} \cdot (\cos x - \sin x)$.
$f'(x) = \frac{\cos x - \sin x}{1 + (\sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x)} = \frac{\cos x - \sin x}{2 + \sin 2x}$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।
चूंकि $2 + \sin 2x > 0$ सभी $x$ के लिए,इसलिए $\cos x - \sin x > 0$ होना चाहिए।
$\cos x > \sin x$.
$\cos x$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $\cos x > 0$),हमें $1 > \tan x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x < \frac{\pi}{4}$.
फलन के प्रांत को ध्यान में रखते हुए,वह अंतराल जहाँ $f'(x) > 0$ है,$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4})$ है।

(A) माध्य मान प्रमेय के अनुसार,अंतराल $(1, 3)$ में एक ऐसा मान $c$ विद्यमान है जिसके लिए $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ होता है।
यहाँ $f(x) = \log_e x$ दिया गया है,इसलिए $f'(x) = \frac{1}{x}$ होगा।
यहाँ $a = 1$ और $b = 3$ है।
अतः,$f'(c) = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{\log_e 3 - \log_e 1}{2}$ होगा।
चूंकि $\log_e 1 = 0$,इसलिए $f'(c) = \frac{\log_e 3}{2}$ प्राप्त होता है।
$f'(c) = \frac{1}{c}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{c} = \frac{\log_e 3}{2}$ मिलता है।
इसलिए,$c = \frac{2}{\log_e 3} = 2 \log_3 e$ होगा।

(C) फलन $f(x) = \text{Min}\{x + 1, |x| + 1\}$ के रूप में परिभाषित है।
हम $x$ के लिए दो स्थितियों पर विचार करके इसका विश्लेषण कर सकते हैं:
स्थिति $1$: $x \ge 0$. तो $|x| = x$,इसलिए $f(x) = \text{Min}\{x + 1, x + 1\} = x + 1$.
स्थिति $2$: $x < 0$. तो $|x| = -x$,इसलिए $f(x) = \text{Min}\{x + 1, -x + 1\}$.
$x < 0$ के लिए,$x + 1 < -x + 1$ का अर्थ $2x < 0$ है,जो सभी $x < 0$ के लिए सत्य है।
इस प्रकार,सभी $x < 0$ के लिए $f(x) = x + 1$.
इन दोनों को मिलाने पर,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = x + 1$.
चूंकि $f(x) = x + 1$ एक रैखिक बहुपद है,यह $R$ में हर जगह अवकलनीय है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाले और $x$-अक्ष पर $(a, 0)$ केंद्र वाले सभी वृत्तों की त्रिज्या $a$ होगी।
ऐसे वृत्तों का सामान्य समीकरण है:
$(x - a)^2 + y^2 = a^2$
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$
$x^2 + y^2 - 2ax = 0$ --- $(i)$
इस समीकरण में केवल एक स्वेच्छ अचर $a$ है। इसलिए,हम इसका $x$ के सापेक्ष एक बार अवकलन करते हैं:
$2x + 2y\frac{dy}{dx} - 2a = 0$
$x + y\frac{dy}{dx} = a$
$a$ का मान समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + y^2 - 2x(x + y\frac{dy}{dx}) = 0$
$x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0$
$y^2 - x^2 - 2xy\frac{dy}{dx} = 0$
$y^2 = x^2 + 2xy\frac{dy}{dx}$

(C) माना $I = \int \frac{dx}{\cos x + \sqrt{3} \sin x}$.
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \int \frac{dx}{2 \left( \frac{1}{2} \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \right)}$.
$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ और $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sin \frac{\pi}{6} \cos x + \cos \frac{\pi}{6} \sin x}$.
सूत्र $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sin(x + \frac{\pi}{6})} = \frac{1}{2} \int \csc(x + \frac{\pi}{6}) dx$.
मानक समाकलन $\int \csc \theta d\theta = \log |\tan \frac{\theta}{2}| + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \log |\tan(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{12})| + C$.

(D) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) + \csc ^{-1}\left(\frac{5}{4}\right) = \frac{\pi}{2}$
हम जानते हैं कि $\csc ^{-1}(z) = \sin ^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)$। इसलिए,$\csc ^{-1}\left(\frac{5}{4}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) + \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \frac{\pi}{2}$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$
सर्वसमिका $\sin ^{-1}(y) + \cos ^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$।
अतः,$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$।
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए,$\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ को $\sin ^{-1}$ में बदलें। चूँकि $\cos \theta = \frac{4}{5}$,सम्मुख भुजा $\sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ है,इसलिए $\sin \theta = \frac{3}{5}$।
इस प्रकार,$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$।
तुलना करने पर,$\frac{x}{5} = \frac{3}{5}$,जिससे $x = 3$ प्राप्त होता है।

(B) पासे के एक जोड़े को उछालने पर कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
$9$ का स्कोर प्राप्त करने के लिए,संभावित परिणाम $(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है।
एक बार उछालने पर $9$ का स्कोर प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ है।
$9$ का स्कोर न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = nC_k \times p^k \times q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = 3$ और $k = 2$:
$P(X = 2) = 3C_2 \times (\frac{1}{9})^2 \times (\frac{8}{9})^{3-2}$
$= 3 \times \frac{1}{81} \times \frac{8}{9}$
$= \frac{24}{729} = \frac{8}{243}$.

(B) फलन $f(x) = 4^{-x^2} + \cos^{-1}\left( \frac{x}{2} - 1 \right) + \log(\cos x)$ तभी परिभाषित होता है जब इसके सभी घटक परिभाषित हों।
$1$. $\cos^{-1}\left( \frac{x}{2} - 1 \right)$ को परिभाषित होने के लिए,$-1 \leq \frac{x}{2} - 1 \leq 1$ होना चाहिए।
सभी भागों में $1$ जोड़ने पर: $0 \leq \frac{x}{2} \leq 2$।
$2$ से गुणा करने पर: $0 \leq x \leq 4$।
$2$. $\log(\cos x)$ को परिभाषित होने के लिए,$\cos x > 0$ होना चाहिए।
अंतराल $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ में,$\cos x > 0$ हमेशा सत्य है।
$3$. इन शर्तों को दिए गए अंतराल $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ के साथ संयोजित करने पर:
हमें $x \in [0, 4]$ और $x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ चाहिए।
चूंकि $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$,इसलिए प्रतिच्छेदन $[0, \frac{\pi}{2})$ होगा।
अतः,सबसे बड़ा अंतराल $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right)$ है।

(D) माना कि रेखा $x$,$y$ और $z$-अक्षों की धनात्मक दिशाओं के साथ क्रमशः $\alpha, \beta$ और $\gamma$ कोण बनाती है।
दिया गया है कि $\alpha = 45^\circ$ और $\beta = 45^\circ$ है।
रेखा की दिक्कोज्याएँ (direction cosines) $l, m, n$ हैं।
अतः $l = \cos \alpha = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$,
$m = \cos \beta = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$,
$n = \cos \gamma$ है।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
मान रखने पर,$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \cos^2 \gamma = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$ है।
$1 + \cos^2 \gamma = 1$ है।
$\cos^2 \gamma = 0$ है।
$\cos \gamma = 0$ है।
अतः,$\gamma = 90^\circ$ है।

(A) दिया गया है कि $2\vec{u} \times 3\vec{v}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए इसका परिमाण $1$ होना चाहिए।
अतः,$|2\vec{u} \times 3\vec{v}| = 1$।
चूंकि $\vec{u}$ और $\vec{v}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{u}| = 1$ और $|\vec{v}| = 1$।
सदिश गुणन के गुणधर्म का उपयोग करने पर,$|2\vec{u} \times 3\vec{v}| = 6|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta = 6(1)(1)\sin\theta = 6\sin\theta$।
प्रश्न के अनुसार,$6\sin\theta = 1$,जिसका अर्थ है कि $\sin\theta = \frac{1}{6}$।
चूंकि $\theta$ एक न्यून कोण है,इसलिए $\theta = \arcsin(\frac{1}{6})$ के लिए $\theta$ का केवल एक ही मान संभव है।

(D) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{c} = x\hat{i} + (x-2)\hat{j} - \hat{k}$ हैं।
यदि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में स्थित है,तो अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ शून्य होगा।
अतः सारणिक का मान शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ x & x-2 & -1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1((-1)(-1) - 2(x-2)) - 1((1)(-1) - 2(x)) + 1((1)(x-2) - (-1)(x)) = 0$
$1(1 - 2x + 4) - 1(-1 - 2x) + 1(x - 2 + x) = 0$
$(5 - 2x) + (1 + 2x) + (2x - 2) = 0$
$5 - 2x + 1 + 2x + 2x - 2 = 0$
$2x + 4 = 0$
$2x = -4$
$x = -2$

(D) चूंकि $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ एक ही समतल में हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$
$\begin{vmatrix} \alpha & 2 & \beta \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\alpha(1-0) - 2(1-0) + \beta(1-0) = 0 \Rightarrow \alpha - 2 + \beta = 0 \Rightarrow \alpha + \beta = 2 \dots (i)$
चूंकि $\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है,इसलिए $\vec{a}$ को $\vec{b}$ और $\vec{c}$ की दिशा में इकाई सदिशों के योग के समानुपाती होना चाहिए:
$\hat{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{(1, 1, 0)}{\sqrt{2}}, \hat{c} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{(0, 1, 1)}{\sqrt{2}}$
$\vec{a} = k(\hat{b} + \hat{c}) = \frac{k}{\sqrt{2}}(1, 2, 1)$
$\vec{a} = (\alpha, 2, \beta)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\frac{k}{\sqrt{2}} = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $k = \sqrt{2}$.
अतः,$\alpha = 1$ और $\beta = 1$ प्राप्त होता है।