AIEEE 2010 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया है $\cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5}$. चूँकि $0 \le \alpha, \beta \le \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 \le \alpha + \beta \le \frac{\pi}{2}$,अतः $\tan(\alpha + \beta) = \frac{3}{4}$.
दिया है $\sin(\alpha - \beta) = \frac{5}{13}$. अतः $\tan(\alpha - \beta) = \frac{5}{12}$.
अब,$\tan 2\alpha = \tan((\alpha + \beta) + (\alpha - \beta))$.
$\tan 2\alpha = \frac{\frac{3}{4} + \frac{5}{12}}{1 - (\frac{3}{4} \times \frac{5}{12})} = \frac{14/12}{33/48} = \frac{56}{33}$.

(A) माना $z = x + iy$ है। दी गई शर्त $|z - 1| = |z + 1| = |z - i|$ है।
$|z - 1| = |z + 1|$ से,हमें $|x - 1 + iy| = |x + 1 + iy|$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(x - 1)^2 + y^2 = (x + 1)^2 + y^2$।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$,जो सरल होकर $4x = 0$ देता है,इसलिए $x = 0$ है।
अब,$|z + 1| = |z - i|$ से,हमें $|x + 1 + iy| = |x + i(y - 1)|$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(x + 1)^2 + y^2 = x^2 + (y - 1)^2$।
$x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(0 + 1)^2 + y^2 = 0^2 + (y - 1)^2$ प्राप्त होता है।
$1 + y^2 = y^2 - 2y + 1$।
यह सरल होकर $-2y = 0$ देता है,इसलिए $y = 0$ है।
अतः,शर्त को संतुष्ट करने वाली एकमात्र सम्मिश्र संख्या $z = 0 + 0i = 0$ है।
इसलिए,ऐसी केवल $1$ सम्मिश्र संख्या है।

(C) कलश $A$ में $3$ अलग-अलग लाल गेंदें हैं। कलश $A$ से $2$ गेंदें चुनने के तरीके $^3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$ हैं।
कलश $B$ में $9$ अलग-अलग नीली गेंदें हैं। कलश $B$ से $2$ गेंदें चुनने के तरीके $^9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ हैं।
चूंकि कलश $A$ और कलश $B$ से गेंदों का चयन स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए इन स्थानांतरणों को करने के कुल तरीके प्रत्येक कलश से गेंदों को चुनने के तरीकों का गुणनफल है।
कुल तरीके $= ^3C_2 \times ^9C_2 = 3 \times 36 = 108$.

(D) हम जानते हैं कि $\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} = 2^n$.
$s_1 = \sum_{j=2}^{10} j(j-1) \binom{10}{j} = \sum_{j=2}^{10} 10 \times 9 \binom{8}{j-2} = 90 \times 2^8$.
$s_2 = \sum_{j=1}^{10} j \binom{10}{j} = \sum_{j=1}^{10} 10 \binom{9}{j-1} = 10 \times 2^9$.
$s_3 = \sum_{j=1}^{10} j^2 \binom{10}{j} = \sum_{j=1}^{10} (j(j-1) + j) \binom{10}{j} = s_1 + s_2$.
$s_3 = 90 \times 2^8 + 10 \times 2^9 = 45 \times 2^9 + 10 \times 2^9 = 55 \times 2^9$.
कथनों की तुलना करने पर:
कथन $-1$ $55 \times 2^9$ है,जो सत्य है।
कथन $-2$ कहता है कि $s_2 = 10 \times 2^8$,लेकिन हमें $s_2 = 10 \times 2^9$ प्राप्त हुआ है,इसलिए कथन $-2$ असत्य है।
अतः,कथन $-1$ सत्य है और कथन $-2$ असत्य है।

(A) पहले $10$ मिनट में गिने गए नोट $= 150 \times 10 = 1500$.
शेष नोट $= 4500 - 1500 = 3000$.
मान लीजिए पहले $10$ मिनट के बाद $n$ मिनट लगते हैं।
$11^{th}$ मिनट से गिने गए नोटों की श्रृंखला एक $A.P.$ है जिसका प्रथम पद $a = 148$ और सार्व अंतर $d = -2$ है।
$n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ द्वारा दिया जाता है।
$3000 = \frac{n}{2}[2(148) + (n-1)(-2)]$.
$3000 = 149n - n^2$.
$n^2 - 149n + 3000 = 0$.
$(n - 24)(n - 125) = 0$.
यहाँ $n = 125$ संभव नहीं है क्योंकि नोटों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती।
अतः,$n = 24$.
कुल समय $= 10 + 24 = 34$ मिनट।

(C) चूंकि रेखा $L$,$(13, 32)$ से गुजरती है,हमारे पास है:
$\frac{13}{5} + \frac{32}{b} = 1$ $\Rightarrow \frac{32}{b} = 1 - \frac{13}{5} = -\frac{8}{5}$ $\Rightarrow b = -20$.
अतः,रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x}{5} - \frac{y}{20} = 1$ है,जो $4x - y = 20$ में सरल हो जाता है।
चूंकि रेखा $K$,$L$ के समानांतर है,इसका समीकरण $4x - y = k$ के रूप में होगा।
रेखा $K$ का समीकरण $\frac{x}{c} + \frac{y}{3} = 1$ दिया गया है,जिसे $y = -\frac{3}{c}x + 3$ के रूप में लिखा जा सकता है। $L$ की ढाल $4$ है,इसलिए $K$ की ढाल $-\frac{3}{c} = 4$ होगी,जिससे $c = -\frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
$c$ का मान रखने पर,हमें $-4x + y = 3$ या $4x - y = -3$ प्राप्त होता है।
दो समानांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
यहाँ,$A = 4, B = -1, C_1 = -20, C_2 = 3$.
$d = \frac{|-20 - 3|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \frac{|-23|}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{23}{\sqrt{17}}$.

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0$ है।
वृत्त का केंद्र $(2, 4)$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{2^2 + 4^2 - (-5)} = \sqrt{4 + 16 + 5} = 5$ है।
रेखा $3x - 4y - m = 0$ वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है यदि केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी $d < r$ हो।
$d = \frac{|3(2) - 4(4) - m|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-10 - m|}{5} = \frac{|10 + m|}{5}$.
शर्त के अनुसार,$\frac{|10 + m|}{5} < 5 \implies |10 + m| < 25$.
अतः,$-25 < 10 + m < 25 \implies -35 < m < 15$.

(D) परवलय की दो लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसकी नियता (directrix) होती है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,नियता का समीकरण $x = -a$ होता है।
दिए गए समीकरण $y^2 = 4x$ के लिए,$4a = 4$ है,जिसका अर्थ है $a = 1$।
अतः,नियता का समीकरण $x = -1$ है।
इस प्रकार,$P$ का बिंदुपथ $x = -1$ है।

(D) चूँकि $f(x)$ एक धनात्मक वर्धमान फलन है,$x > 0$ के लिए,$f(x) < f(2x) < f(3x)$ होता है।
$f(x) > 0$ से विभाजित करने पर,$1 < \frac{f(2x)}{f(x)} < \frac{f(3x)}{f(x)}$ प्राप्त होता है।
$x \to \infty$ पर सीमा लेने पर,$\lim_{x \to \infty} 1 \le \lim_{x \to \infty} \frac{f(2x)}{f(x)} \le \lim_{x \to \infty} \frac{f(3x)}{f(x)}$ होता है।
दिया गया है कि $\lim_{x \to \infty} \frac{f(3x)}{f(x)} = 1$,अतः सैंडविच प्रमेय (Sandwich theorem) के अनुसार,$1 \le \lim_{x \to \infty} \frac{f(2x)}{f(x)} \le 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\lim_{x \to \infty} \frac{f(2x)}{f(x)} = 1$ है।

(A) दिया है: $\sigma_{x}^{2} = 4$ और $\sigma_{y}^{2} = 5$,जहाँ $n_1 = 5$ और $n_2 = 5$ है।
माध्य $\bar{x} = 2$ और $\bar{y} = 4$ है।
सूत्र $\sigma^2 = \frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$ का उपयोग करने पर:
$\Sigma x_i^2 = n(\sigma_x^2 + \bar{x}^2) = 5(4 + 2^2) = 5(8) = 40$.
$\Sigma y_i^2 = n(\sigma_y^2 + \bar{y}^2) = 5(5 + 4^2) = 5(21) = 105$.
संयुक्त माध्य $\bar{z} = \frac{n_1\bar{x} + n_2\bar{y}}{n_1 + n_2} = \frac{5(2) + 5(4)}{10} = \frac{30}{10} = 3$.
संयुक्त प्रसरण $\sigma_z^2 = \frac{\Sigma x_i^2 + \Sigma y_i^2}{n_1 + n_2} - (\bar{z})^2$.
$\sigma_z^2 = \frac{40 + 105}{10} - (3)^2$.
$\sigma_z^2 = \frac{145}{10} - 9 = 14.5 - 9 = 5.5 = \frac{11}{2}$.

(B) दिया गया समीकरण $x^2 - x + 1 = 0$ है।
$(x + 1)$ से गुणा करने पर,$(x + 1)(x^2 - x + 1) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^3 + 1 = 0$,अतः $x^3 = -1$ है।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण के मूल हैं,वे $x^3 = -1$ को संतुष्ट करते हैं,इसलिए $\alpha^3 = -1$ और $\beta^3 = -1$ है।
हमें $\alpha^{2009} + \beta^{2009}$ का मान ज्ञात करना है।
$\alpha^{2009} = (\alpha^3)^{669} \cdot \alpha^2 = (-1)^{669} \cdot \alpha^2 = -\alpha^2$ है।
इसी प्रकार,$\beta^{2009} = -\beta^2$ है।
अतः,$\alpha^{2009} + \beta^{2009} = -(\alpha^2 + \beta^2)$ है।
समीकरण $x^2 - x + 1 = 0$ से,$\alpha + \beta = 1$ और $\alpha\beta = 1$ है।
हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$ है।
इसलिए,$\alpha^{2009} + \beta^{2009} = -(-1) = 1$ है।

(C) $20$ में से $4$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $n(S) = {}^{20}C_4 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845$ हैं।
माना $A.P.$ $a, a+d, a+2d, a+3d$ है। चूँकि $1 \le a$ और $a+3d \le 20$,हमारे पास $3d \le 20-a \le 19$ है,इसलिए $d \le 6$ है।
एक निश्चित $d$ के लिए,$A.P.s$ की संख्या $20-3d$ है।
$d=1$ के लिए: $20-3(1) = 17$.
$d=2$ के लिए: $20-3(2) = 14$.
$d=3$ के लिए: $20-3(3) = 11$.
$d=4$ के लिए: $20-3(4) = 8$.
$d=5$ के लिए: $20-3(5) = 5$.
$d=6$ के लिए: $20-3(6) = 2$.
कुल $A.P.s = 17+14+11+8+5+2 = 57$.
प्रायिकता $= \frac{57}{4845} = \frac{1}{85}$.
कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$ का दावा है कि सार्व अंतर $d$ केवल $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5$ हो सकता है। हालाँकि,$d=6$ भी संभव है (उदाहरण के लिए,$1, 7, 13, 19$)। अतः,कथन-$2$ असत्य है।

(D) कथन $-1$ की जाँच करने के लिए,हम समतल $x-y+z-5=0$ में बिंदु $B(1,3,4)$ का दर्पण प्रतिबिंब ज्ञात करते हैं।
सूत्र $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} = -2 \frac{ax_1+by_1+cz_1+d}{a^2+b^2+c^2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{x-1}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z-4}{1} = -2 \frac{1-3+4-5}{1^2+(-1)^2+1^2} = -2 \frac{-3}{3} = 2.$
अतः,$x-1=2 \Rightarrow x=3$,$y-3=-2 \Rightarrow y=1$,$z-4=2 \Rightarrow z=6$.
प्रतिबिंब $(3,1,6)$ प्राप्त होता है,जो बिंदु $A$ है। अतः,कथन $-1$ सत्य है।
कथन $-2$ के लिए,$AB$ का मध्य-बिंदु $(\frac{3+1}{2}, \frac{1+3}{2}, \frac{6+4}{2}) = (2,2,5)$ है।
यह जाँचने पर कि क्या यह बिंदु समतल पर स्थित है: $2-2+5 = 5$. चूँकि यह समीकरण को संतुष्ट करता है,समतल रेखाखंड $AB$ को समद्विभाजित करता है। अतः,कथन $-2$ सत्य है।
दर्पण प्रतिबिंब की परिभाषा के अनुसार रेखाखंड $AB$ को समतल के लंबवत होना चाहिए और मध्य-बिंदु को समतल पर स्थित होना चाहिए। कथन $-2$ मध्य-बिंदु की शर्त को पूरा करता है,जो दर्पण प्रतिबिंब होने के लिए एक आवश्यक शर्त है। अतः,कथन $-2$,कथन $-1$ का सही स्पष्टीकरण है।

(D) माना रेखा $AB$ के दिक्-कोण $x, y, z$ अक्षों के साथ क्रमशः $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
दिया गया है कि $\alpha = 45^{\circ}$ और $\beta = 120^{\circ}$ है।
दिक्-कोज्याओं के बीच संबंध $\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma = 1$ होता है।
मान रखने पर: $\cos^{2} 45^{\circ} + \cos^{2} 120^{\circ} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} + \left(-\frac{1}{2}\right)^{2} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^{2} \gamma = 1$.
$\cos^{2} \gamma = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
चूंकि $\theta = \gamma$ एक न्यून कोण है,इसलिए $\cos \gamma = \frac{1}{2}$ होगा।
अतः,$\gamma = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$।

(D) क्षेत्रफल $A$ अंतराल $[0, \frac{3\pi}{2}]$ पर दोनों फलनों के अंतर के मापांक का समाकलन है।
$A = \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}} |\cos x - \sin x| dx$
प्रतिच्छेदन बिंदु जहाँ $\cos x = \sin x$ है,वे $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{5\pi}{4}$ हैं।
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) dx + \int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{2}} (\cos x - \sin x) dx$
समाकलन का मान निकालने पर:
$1$) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$
$2$) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) dx = [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
$3$) $\int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{2}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{2}} = (-1 + 0) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) = -1 + \sqrt{2}$
कुल क्षेत्रफल $A = (\sqrt{2} - 1) + 2\sqrt{2} + (\sqrt{2} - 1) = 4\sqrt{2} - 2$.

(A) दिया गया है कि $p'(x) = p'(1 - x)$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $p(x) = -p(1 - x) + C$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर,$p(0) = -p(1) + C$।
दिए गए मान $p(0) = 1$ और $p(1) = 41$ रखने पर,$1 = -41 + C$,जिसका अर्थ है कि $C = 42$।
अतः,$p(x) + p(1 - x) = 42$।
मान लीजिए $I = \int_{0}^{1} p(x) dx$। गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a - x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें $I = \int_{0}^{1} p(1 - x) dx$ प्राप्त होता है।
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर,$2I = \int_{0}^{1} (p(x) + p(1 - x)) dx$।
$p(x) + p(1 - x) = 42$ रखने पर,$2I = \int_{0}^{1} 42 dx = 42[x]_{0}^{1} = 42$।
इसलिए,$I = 21$।

(C) $3 \times 3$ का आव्यूह जिसमें चार $1$ और पाँच $0$ हैं,व्युत्क्रमणीय (non-singular) होता है यदि उसका सारणिक शून्य न हो।
इस प्रकार के आव्यूह पर विचार करें:
$\begin{bmatrix} 1 & a & b \\ c & 1 & d \\ e & f & 1 \end{bmatrix}$
जहाँ $\{a, b, c, d, e, f\}$ में से केवल एक $1$ है और बाकी $0$ हैं। ऐसे आव्यूह का सारणिक $1 - (\text{दो तत्वों का गुणनफल})$ होता है। चूँकि केवल एक तत्व $1$ है,गुणनफल $0$ होगा,इसलिए सारणिक $1 \neq 0$ है। ऐसे $6$ आव्यूह हैं।
इसके अतिरिक्त,इस आव्यूह पर विचार करें:
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
इसका सारणिक $1(0-0) - 0(0-0) + 1(0-1) = -1 \neq 0$ है। यह भी एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
अतः,ऐसे कम से कम $6 + 1 = 7$ आव्यूह हैं।

(D) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ है।
दिया गया है कि $A^2 = I$,अतः:
$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} a^2 + bc & b(a+d) \\ c(a+d) & bc + d^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$b(a+d) = 0$ से,चूँकि $b \neq 0$,हमें $a+d = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $d = -a$।
अतः,$tr(A) = a + d = a - a = 0$। इसलिए,कथन $-1$ सत्य है।
अब,$|A| = ad - bc = a(-a) - bc = -(a^2 + bc)$।
आव्यूह गुणन से,$a^2 + bc = 1$,अतः $|A| = -1$।
इसलिए,कथन $-2$ असत्य है।

(A) दिया गया है $g(x) = [f(2f(x) + 2)]^2$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके,हम $x$ के सापेक्ष $g(x)$ का अवकलन करते हैं:
$g'(x) = 2[f(2f(x) + 2)] \cdot \frac{d}{dx}[f(2f(x) + 2)]$
$g'(x) = 2[f(2f(x) + 2)] \cdot f'(2f(x) + 2) \cdot \frac{d}{dx}(2f(x) + 2)$
$g'(x) = 2[f(2f(x) + 2)] \cdot f'(2f(x) + 2) \cdot 2f'(x)$
$g'(x) = 4[f(2f(x) + 2)] \cdot f'(2f(x) + 2) \cdot f'(x)$
अब,$x = 0$ रखने पर:
$g'(0) = 4[f(2f(0) + 2)] \cdot f'(2f(0) + 2) \cdot f'(0)$
दिया गया है $f(0) = -1$ और $f'(0) = 1$:
$g'(0) = 4[f(2(-1) + 2)] \cdot f'(2(-1) + 2) \cdot f'(0)$
$g'(0) = 4[f(0)] \cdot f'(0) \cdot f'(0)$
$g'(0) = 4(-1) \cdot (1) \cdot (1) = -4$.

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{e^x + 2e^{-x}} = \frac{e^x}{e^{2x} + 2}$.
फलन का परिसर ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का अधिकतम मान ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{e^x(e^{2x} + 2) - e^x(2e^{2x})}{(e^{2x} + 2)^2} = \frac{e^x(2 - e^{2x})}{(e^{2x} + 2)^2}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$e^{2x} = 2$,अतः $e^x = \sqrt{2}$.
अधिकतम मान $f(\ln \sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2 + 2} = \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ है।
चूंकि $e^x + 2e^{-x} > 0$,इसलिए $f(x) > 0$. अतः $0 < f(x) \le \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
कथन-$2$ कहता है कि $0 < f(x) < \frac{1}{2\sqrt{2}}$,जो असत्य है क्योंकि $f(x)$ का मान $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ हो सकता है।
कथन-$1$ के लिए,हम जाँचते हैं कि क्या $\frac{1}{3}$ परिसर $(0, \frac{1}{2\sqrt{2}}]$ में है।
चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,इसलिए $2\sqrt{2} \approx 2.828$. अतः $\frac{1}{2\sqrt{2}} \approx 0.353$.
चूंकि $\frac{1}{3} \approx 0.333$,इसलिए $0 < \frac{1}{3} < \frac{1}{2\sqrt{2}}$ है।
इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,ऐसा $c$ मौजूद है जिसके लिए $f(c) = \frac{1}{3}$ है।
अतः,कथन-$1$ सत्य है और कथन-$2$ असत्य है।

(B) दिए गए वक्र का समीकरण: $y = x + \frac{4}{x^{2}}$.
स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{8}{x^{3}}$.
चूंकि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल $0$ होनी चाहिए:
$1 - \frac{8}{x^{3}} = 0$.
$x$ के लिए हल करने पर:
$\frac{8}{x^{3}} = 1 \Rightarrow x^{3} = 8 \Rightarrow x = 2$.
अब,मूल वक्र के समीकरण में $x = 2$ रखकर संगत $y$-निर्देशांक ज्ञात करें:
$y = 2 + \frac{4}{2^{2}} = 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3$.
स्पर्श बिंदु $(2, 3)$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $y = k$ के रूप में होगा। स्पर्श बिंदु का $y$-निर्देशांक रखने पर,हमें $y = 3$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos x \, dy = y(\sin x - y) \, dx$
दोनों पक्षों को $\cos x \, dx$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = y \tan x - y^2 \sec x$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} - y \tan x = -y^2 \sec x$
$y^2$ से विभाजित करने पर:
$y^{-2} \frac{dy}{dx} - y^{-1} \tan x = -\sec x \quad \dots(1)$
माना $v = y^{-1} = \frac{1}{y}$। तब $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,या $y^{-2} \frac{dy}{dx} = -\frac{dv}{dx}$।
समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{dv}{dx} - v \tan x = -\sec x$
$\frac{dv}{dx} + v \tan x = \sec x$
यह $\frac{dv}{dx} + Pv = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \tan x$ और $Q = \sec x$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P \, dx} = e^{\int \tan x \, dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$ है।
व्यापक हल $v \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) \, dx + c$ है।
$v \sec x = \int \sec x \cdot \sec x \, dx + c$
$v \sec x = \int \sec^2 x \, dx + c$
$v \sec x = \tan x + c$
चूंकि $v = \frac{1}{y}$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{y} \sec x = \tan x + c$
$\sec x = y(\tan x + c)$

(D) मान लीजिए $\vec{b} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ है।
दिया है $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$,जहाँ $\vec{a} = 0\vec{i} + 1\vec{j} - 1\vec{k}$ है।
अतः,$(0)(x) + (1)(y) + (-1)(z) = 3 \Rightarrow y - z = 3 \quad \dots(1)$.
साथ ही,$\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{c} = -(\vec{i} - \vec{j} - \vec{k}) = -\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$ है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = (z + y)\vec{i} - (z)\vec{j} - (x)\vec{k}$ है।
तुलना करने पर,$z + y = -1$,$-z = 1 \Rightarrow z = -1$,$-x = 1 \Rightarrow x = -1$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ में मान रखने पर,$y - (-1) = 3 \Rightarrow y + 1 = 3 \Rightarrow y = 2$ प्राप्त होता है।
विकल्प $D$ की जाँच करने पर: $\vec{b} = -\vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k}$ है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(-2) = 1 + 2 = 3$ (सही है)।
$\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{i} + \vec{j} + \vec{k} = -\vec{c}$ (सही है)।
अतः,सही उत्तर $-\vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k}$ है।

(D) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{c} = \alpha\hat{i} + \hat{j} + \beta\hat{k}$ हैं।
चूंकि सदिश परस्पर लंबवत हैं,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ और $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ के लिए: $(\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (\alpha\hat{i} + \hat{j} + \beta\hat{k}) = \alpha - 1 + 2\beta = 0 \implies \alpha + 2\beta = 1$ (समीकरण $1$).
$\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ के लिए: $(2\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) \cdot (\alpha\hat{i} + \hat{j} + \beta\hat{k}) = 2\alpha + 4 + \beta = 0 \implies 2\alpha + \beta = -4$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ से,$\beta = -4 - 2\alpha$. इस मान को समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha + 2(-4 - 2\alpha) = 1 \implies \alpha - 8 - 4\alpha = 1 \implies -3\alpha = 9 \implies \alpha = -3$.
$\alpha = -3$ को $\beta = -4 - 2\alpha$ में रखने पर: $\beta = -4 - 2(-3) = -4 + 6 = 2$.
अतः,$(\alpha, \beta) = (-3, 2)$.