AIEEE 2011 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया है $A = \sin^2 x + \cos^4 x$.
माना $t = \sin^2 x$,तो $0 \le t \le 1$. चूँकि $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - t$,इसलिए $\cos^4 x = (1 - t)^2$.
इन मानों को $A$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$A = t + (1 - t)^2 = t + 1 - 2t + t^2 = t^2 - t + 1$.
यह $t$ में एक द्विघात व्यंजक है जहाँ $t \in [0, 1]$.
परवलय $f(t) = t^2 - t + 1$ का शीर्ष $t = 1/2$ पर है।
चूँकि $1/2$ अंतराल $[0, 1]$ के भीतर है,न्यूनतम मान $f(1/2) = 3/4$ है।
अधिकतम मान सीमाओं $t=0$ या $t=1$ पर प्राप्त होता है:
$f(0) = 1$ और $f(1) = 1$.
अतः,$A$ का परिसर $\frac{3}{4} \le A \le 1$ है।

(C) हम जानते हैं कि इकाई के घनमूल के लिए,$1 + \omega + \omega^2 = 0$,जिसका अर्थ है $1 + \omega = -\omega^2$.
इस मान को दिए गए व्यंजक में रखने पर:
$(1 + \omega)^7 = (-\omega^2)^7$
$= -\omega^{14}$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{14} = \omega^{12} \cdot \omega^2 = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$.
अतः,$(1 + \omega)^7 = -\omega^2$.
सर्वसमिका $1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करने पर,$-\omega^2 = 1 + \omega$ प्राप्त होता है।
$1 + \omega$ की तुलना $A + B\omega$ से करने पर,$A = 1$ और $B = 1$ प्राप्त होता है।

(D) कथन-$1$ के लिए: $n$ समान वस्तुओं को $r$ अलग-अलग बक्सों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या कि कोई भी बक्सा खाली न रहे,सूत्र $^{n-1}C_{r-1}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 10$ और $r = 4$ है।
अतः,तरीकों की संख्या $^{10-1}C_{4-1} = ^9C_3$ है।
इस प्रकार,कथन-$1$ सही है।
कथन-$2$ के लिए: $n$ अलग-अलग वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या $^nC_r$ है।
यहाँ,$n = 9$ और $r = 3$ है,इसलिए तरीकों की संख्या $^9C_3$ है।
इस प्रकार,कथन-$2$ सही है।
चूंकि समान वस्तुओं को अलग-अलग बक्सों में वितरित करने का सूत्र (स्टार्स एंड बार्स विधि) स्थानों को चुनने की अवधारणा का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है,इसलिए कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

(B) दिया गया व्यंजक: $(1 - x - x^2 + x^3)^6 = ((1 - x)(1 - x^2))^6 = (1 - x)^6 (1 - x)^6 (1 + x)^6 = (1 - x)^{12} (1 + x)^6$.
हमें $(1 - x)^{12} (1 + x)^6$ में $x^7$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(1 - x)^{12} = \sum_{i=0}^{12} (-1)^i \binom{12}{i} x^i$ और $(1 + x)^6 = \sum_{j=0}^{6} \binom{6}{j} x^j$ लेने पर।
$x^7$ का गुणांक $\sum_{i+j=7} (-1)^i \binom{12}{i} \binom{6}{j}$ होगा।
योग करने पर: $-12 + 396 - 3300 + 9900 - 11880 + 5544 - 792 = -144$.

(D) कथन $-2$ के लिए: फर्मेट के लिटिल प्रमेय के अनुसार,किसी भी अभाज्य संख्या $p$ और पूर्णांक $n$ के लिए,$n^p \equiv n \pmod{p}$ होता है। यहाँ $p = 7$ है,इसलिए $n^7 \equiv n \pmod{7}$,जिसका अर्थ है कि $n^7 - n$,$7$ से विभाज्य है। अतः,कथन $-2$ सत्य है।
कथन $-1$ के लिए: द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(n + 1)^7$ का विस्तार करने पर: $(n + 1)^7 = n^7 + 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n + 1$ प्राप्त होता है।
अतः $(n + 1)^7 - n^7 - 1 = 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n = 7(n^6 + 3n^5 + 5n^4 + 5n^3 + 3n^2 + n)$।
यह व्यंजक स्पष्ट रूप से $7$ से विभाज्य है। अतः,कथन $-1$ सत्य है।
ध्यान दें कि कथन $-1$ को $(n+1)^7 - (n+1) - (n^7 - n) = 7k$ के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि $(n+1)^7 - (n+1)$ और $n^7 - n$ दोनों $7$ से विभाज्य हैं (कथन $-2$ के अनुसार),इसलिए उनका अंतर भी $7$ से विभाज्य है। अतः,कथन $-2$,कथन $-1$ की सही व्याख्या है।

(C) पहले कुछ महीनों के लिए बचत:
महीना $1: 200$,महीना $2: 200$,महीना $3: 200$।
महीना $4$ से,बचत एक समांतर श्रेणी $(AP)$ बनाती है जिसका प्रथम पद $a = 240$ और सार्व अंतर $d = 40$ है।
माना कुल महीनों की संख्या $n$ है। कुल बचत इस प्रकार है:
$600 + \sum_{k=1}^{n-3} [240 + (k-1)40] = 11040$
$600 + \frac{n-3}{2} [2(240) + (n-3-1)40] = 11040$
$600 + (n-3) [240 + (n-4)20] = 11040$
$(n-3) [20n + 160] = 10440$
$(n-3)(n+8) = 522$
$n^2 + 5n - 546 = 0$
द्विघात समीकरण $n^2 + 5n - 546 = 0$ को हल करने पर:
$n = \frac{-5 \pm 47}{2}$
धनात्मक मान लेने पर,$n = 21$।
अतः,$21$ महीनों के बाद कुल बचत $11040$ होगी।

(A) दिए गए समीकरण $x^2 + y^2 - ax = 0$ और $x^2 + y^2 = c^2$ हैं।
पहले वृत्त के लिए,केंद्र $C_1 = (\frac{a}{2}, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = |\frac{a}{2}|$ है।
दूसरे वृत्त के लिए,केंद्र $C_2 = (0, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = |c|$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(\frac{a}{2} - 0)^2 + (0 - 0)^2} = |\frac{a}{2}|$ है।
दो वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग या अंतर के बराबर हो,अर्थात $d = |r_1 \pm r_2|$.
$|\frac{a}{2}| = ||\frac{a}{2}| \pm |c||$.
स्थिति $1$: $|\frac{a}{2}| = |\frac{a}{2}| + |c| \Rightarrow |c| = 0$ (वृत्त के लिए संभव नहीं है)।
स्थिति $2$: $|\frac{a}{2}| = | |\frac{a}{2}| - |c| |$.
इसका अर्थ है $|\frac{a}{2}| = |c| - |\frac{a}{2}|$ (यह मानते हुए कि $|c| > |\frac{a}{2}|$) ।
अतः,$2|\frac{a}{2}| = |c|$,जो $|a| = c$ में सरल हो जाता है।

(D) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है।
चूंकि यह $(-3, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{9}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 1$ है।
दिया है $e^{2} = \frac{2}{5}$,हम जानते हैं कि $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2}) = a^{2}(1 - \frac{2}{5}) = \frac{3}{5}a^{2}$।
$b^{2}$ का मान समीकरण में रखने पर: $\frac{9}{a^{2}} + \frac{1}{\frac{3}{5}a^{2}} = 1$।
$\frac{9}{a^{2}} + \frac{5}{3a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{27 + 5}{3a^{2}} = 1$ $\Rightarrow 3a^{2} = 32$ $\Rightarrow a^{2} = \frac{32}{3}$।
तब $b^{2} = \frac{3}{5} \times \frac{32}{3} = \frac{32}{5}$।
समीकरण $\frac{x^{2}}{32/3} + \frac{y^{2}}{32/5} = 1$ है,जिसे सरल करने पर $3x^{2} + 5y^{2} = 32$ या $3x^{2} + 5y^{2} - 32 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) माना $f(x) = \frac{\sqrt{1 - \cos\{2(x - 2)\}}}{x - 2}$ है।
सर्वसमिका $1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2(\theta)$ का उपयोग करने पर,हमें $1 - \cos\{2(x - 2)\} = 2\sin^2(x - 2)$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \frac{\sqrt{2\sin^2(x - 2)}}{x - 2} = \frac{\sqrt{2}|\sin(x - 2)|}{x - 2}$ है।
बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^-} \frac{\sqrt{2}|\sin(x - 2)|}{x - 2}$। जब $x \to 2^-$,तब $(x - 2) < 0$,इसलिए $|\sin(x - 2)| = -\sin(x - 2)$ है।
$LHL = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^-} \frac{-\sqrt{2}\sin(x - 2)}{x - 2} = -\sqrt{2}(1) = -\sqrt{2}$ है।
दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{2}|\sin(x - 2)|}{x - 2}$। जब $x \to 2^+$,तब $(x - 2) > 0$,इसलिए $|\sin(x - 2)| = \sin(x - 2)$ है।
$RHL = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{2}\sin(x - 2)}{x - 2} = \sqrt{2}(1) = \sqrt{2}$ है।
चूँकि $LHL \neq RHL$,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(D) दिया गया है कि $\lim_{x \to 5} \frac{(f(x))^2 - 9}{\sqrt{|x - 5|}} = 0$ है।
माना $L = \lim_{x \to 5} f(x)$ है।
यदि $L^2 - 9 \neq 0$ होता,तो सीमा $\infty$ हो जाती।
चूंकि सीमा $0$ है,इसलिए अंश को $x \to 5$ पर $0$ होना चाहिए।
अतः,$L^2 - 9 = 0$,जिसका अर्थ है $L^2 = 9$।
चूंकि $f$ का सह-प्रांत $[0, \infty)$ है,इसलिए $L = 3$ होगा।

(B) दी गई संख्याएँ $a, 2a, 3a, \dots, 50a$ हैं। पदों की कुल संख्या $n = 50$ है।
चूंकि $n$ सम है,माध्यिका $25$ वें और $26$ वें पद का औसत है:
$\text{माध्यिका} = \frac{25a + 26a}{2} = 25.5a$.
माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \text{माध्यिका}| = 50$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{1}{50} \sum_{i=1}^{50} |ia - 25.5a| = 50$.
$|a| (|25.5 - 1| + |25.5 - 2| + \dots + |25.5 - 50|) = 2500$.
$|a| (24.5 + 23.5 + \dots + 0.5 + 0.5 + \dots + 24.5) = 2500$.
$|a| \times 2 \times (0.5 + 1.5 + \dots + 24.5) = 2500$.
$|a| \times 25 \times 25 = 2500$.
$|a| = 4$.

(A) माना द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ है।
सचिन ने अचर पद में गलती की,इसलिए मूलों का योग सही है।
मूलों का योग $= 4 + 3 = 7$.
राहुल ने $x$ के गुणांक में गलती की,इसलिए मूलों का गुणनफल सही है।
मूलों का गुणनफल $= 3 \times 2 = 6$.
सही द्विघात समीकरण $x^{2} - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^{2} - 7x + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{2} - 6x - x + 6 = 0 \implies x(x - 6) - 1(x - 6) = 0 \implies (x - 6)(x - 1) = 0$.
अतः,सही मूल $6$ और $1$ हैं।

(D) दिया गया है $p(x) = f(x) - g(x) = (a - a_1)x^2 + (b - b_1)x + (c - c_1).$
चूंकि $p(x) = 0$ का केवल एक ही मूल $x = -1$ है,इसलिए द्विघात समीकरण $p(x)$ को $p(x) = k(x + 1)^2$ के रूप में एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए,जहाँ $k = a - a_1 \ne 0$ एक स्थिरांक है।
दिया गया है $p(-2) = 2,$
$k(-2 + 1)^2 = 2 \Rightarrow k(-1)^2 = 2 \Rightarrow k = 2.$
अतः,$p(x) = 2(x + 1)^2.$
अब,हमें $p(2)$ का मान ज्ञात करना है:
$p(2) = 2(2 + 1)^2 = 2(3)^2 = 2 \times 9 = 18.$

(A) दिया गया है कि $f(x)$ एक विषम फलन है,इसलिए $f(-x) = -f(x)$।
किसी भी विषम फलन के लिए,$f(0) = -f(0)$,जिसका अर्थ है $2f(0) = 0$,अतः $f(0) = 0$।
दिया गया है कि $f(x)$,$T = 1$ आवर्तकाल वाला एक आवर्ती फलन है,इसलिए सभी $x$ के लिए $f(x + 1) = f(x)$।
आवर्तकाल के गुणधर्म के अनुसार,किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $f(x + nT) = f(x)$।
इसलिए,$f(2) = f(0 + 2 \times 1) = f(0)$।
चूंकि $f(0) = 0$,इसलिए $f(2) = 0$ होगा।

(A) मान लीजिए कि दिए गए कथन हैं:
$P :$ सुमन प्रतिभाशाली है
$Q :$ सुमन अमीर है
$R :$ सुमन ईमानदार है
कथन "सुमन प्रतिभाशाली और बेईमान है" को $(P \wedge \sim R)$ के रूप में दर्शाया गया है।
कथन "सुमन प्रतिभाशाली और बेईमान है यदि और केवल यदि सुमन अमीर है" को $(P \wedge \sim R) \leftrightarrow Q$ के रूप में दर्शाया गया है।
चूंकि द्वि-प्रतिबंधात्मक ऑपरेटर क्रमविनिमेय है,यह $Q \leftrightarrow (P \wedge \sim R)$ के बराबर है।
किसी कथन $S$ के निषेध को $\sim S$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इसलिए,दिए गए कथन का निषेध $\sim (Q \leftrightarrow (P \wedge \sim R))$ है।

(D) रेखा का समीकरण $\frac{x-0}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = (1, 2, \lambda)$ है।
समतल $x + 2y + 3z = 4$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 2, 3)$ है।
माना रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ है। कोण का सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ है।
दिया गया है कि $\theta = \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{5}{14}}\right)$,इसलिए $\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{14}}$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,$\sin \theta = \sqrt{1 - \frac{5}{14}} = \sqrt{\frac{9}{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
अब,$\frac{|(1)(1) + (2)(2) + (3)(\lambda)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + \lambda^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$\frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$|5 + 3\lambda| = 3\sqrt{5 + \lambda^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(5 + 3\lambda)^2 = 9(5 + \lambda^2)$.
$25 + 9\lambda^2 + 30\lambda = 45 + 9\lambda^2$.
$30\lambda = 20$.
$\lambda = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.

(D) माना रेखा $L: \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{3} = k$ है। रेखा पर कोई भी बिंदु $P(k, 2k + 1, 3k + 2)$ है।
बिंदु $A(1, 0, 7)$ को रेखा $L$ में बिंदु $B(1, 6, 3)$ का दर्पण प्रतिबिंब होने के लिए,रेखा $AB$ को $L$ के लंबवत होना चाहिए और $AB$ के मध्य बिंदु को $L$ पर स्थित होना चाहिए।
$1$. $AB$ का मध्य बिंदु $M = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+6}{2}, \frac{7+3}{2}) = (1, 3, 5)$ है।
जाँच: $\frac{1}{1} = \frac{3-1}{2} = \frac{5-2}{3} \implies 1 = 1 = 1$. अतः,$M$,$L$ पर स्थित है।
$2$. $AB$ के दिक अनुपात $(1-1, 6-0, 3-7) = (0, 6, -4)$ हैं।
$L$ के दिक अनुपात $(1, 2, 3)$ हैं।
अदिश गुणनफल: $(0)(1) + (6)(2) + (-4)(3) = 0 + 12 - 12 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $AB$,$L$ के लंबवत है।
दोनों शर्तें पूरी होती हैं,इसलिए कथन $-1$ सही है। कथन $-2$ भी सही है क्योंकि रेखा $L$,$AB$ के मध्य बिंदु से गुजरती है और $AB$ के लंबवत है,जो रेखा में दर्पण प्रतिबिंब की परिभाषा है। अतः,कथन $-2$,कथन $-1$ की सही व्याख्या है।

(D) माना $I = \int_{0}^{1} \frac{8 \log(1+x)}{1+x^{2}} dx$.
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^{2} \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
जब $x=0, \theta=0$ और जब $x=1, \theta=\frac{\pi}{4}$ होता है।
$I = 8 \int_{0}^{\pi/4} \frac{\log(1+\tan \theta)}{1+\tan^{2} \theta} \sec^{2} \theta d\theta = 8 \int_{0}^{\pi/4} \log(1+\tan \theta) d\theta$ ... $(i)$.
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = 8 \int_{0}^{\pi/4} \log(1+\tan(\frac{\pi}{4}-\theta)) d\theta$.
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{4}-\theta) = \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$,इसलिए:
$I = 8 \int_{0}^{\pi/4} \log(1 + \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}) d\theta = 8 \int_{0}^{\pi/4} \log(\frac{2}{1+\tan \theta}) d\theta$.
$I = 8 \int_{0}^{\pi/4} (\log 2 - \log(1+\tan \theta)) d\theta$.
$I = 8 \log 2 [\theta]_{0}^{\pi/4} - 8 \int_{0}^{\pi/4} \log(1+\tan \theta) d\theta$.
$I = 8 \log 2 (\frac{\pi}{4}) - I$.
$2I = 2\pi \log 2 \Rightarrow I = \pi \log 2$.

(B) दिए गए वक्र $y = x$,$y = \frac{1}{x}$,$x = e$ और धनात्मक $X$-अक्ष $(y = 0)$ हैं।
$y = x$ और $y = \frac{1}{x}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $x = \frac{1}{x}$ रखने पर,$x^2 = 1$ प्राप्त होता है। प्रथम चतुर्थांश में होने के कारण,$x = 1$ है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
यह क्षेत्र $x = 0$ से $x = 1$ तक $y = x$ द्वारा और $x = 1$ से $x = e$ तक $y = \frac{1}{x}$ द्वारा घिरा हुआ है।
आवश्यक क्षेत्रफल = $\int_{0}^{1} x \, dx + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} + [\ln |x|]_{1}^{e}$
$= \left( \frac{1}{2} - 0 \right) + (\ln e - \ln 1)$
$= \frac{1}{2} + (1 - 0) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) हमें समाकलन $I = \int_0^{1.5} x[x^2] dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $[x^2]$ का मान $x^2 = 1$ और $x^2 = 2$ पर बदलता है,इसलिए हम समाकलन को $x = 1$ और $x = \sqrt{2}$ पर विभाजित करते हैं।
$I = \int_0^1 x[x^2] dx + \int_1^{\sqrt{2}} x[x^2] dx + \int_{\sqrt{2}}^{1.5} x[x^2] dx$.
$0 \le x < 1$ के लिए,$0 \le x^2 < 1$,अतः $[x^2] = 0$.
$1 \le x < \sqrt{2}$ के लिए,$1 \le x^2 < 2$,अतः $[x^2] = 1$.
$\sqrt{2} \le x < 1.5$ के लिए,$2 \le x^2 < 2.25$,अतः $[x^2] = 2$.
अतः,$I = \int_0^1 x(0) dx + \int_1^{\sqrt{2}} x(1) dx + \int_{\sqrt{2}}^{1.5} x(2) dx$.
$I = 0 + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^{\sqrt{2}} + 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{\sqrt{2}}^{1.5}$.
$I = \left( \frac{2-1}{2} \right) + (1.5^2 - (\sqrt{2})^2) = \frac{1}{2} + (2.25 - 2) = 0.5 + 0.25 = 0.75 = \frac{3}{4}$.

(B) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = \frac{x^2}{4}$ को $y^2 = 4x$ में प्रतिस्थापित करें:
$(\frac{x^2}{4})^2 = 4x$
$\frac{x^4}{16} = 4x$
$x^4 = 64x$
$x(x^3 - 64) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x = 4$.
जब $x = 0, y = 0$. जब $x = 4, y = 4$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(4,4)$ हैं।
परिबद्ध क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = \int_{0}^{4} (\sqrt{4x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$= \int_{0}^{4} (2\sqrt{x} - \frac{x^2}{4}) dx$
$= [2 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{x^3}{3}]_{0}^{4}$
$= [\frac{4}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{12}]_{0}^{4}$
$= (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{64}{12}) - 0$
$= \frac{32}{3} - \frac{16}{3} = \frac{16}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A^{\prime} = A$ और $B^{\prime} = B$ है।
कथन $-1$ के लिए:
$(A(BA))^{\prime} = (BA)^{\prime} A^{\prime} = (A^{\prime} B^{\prime}) A^{\prime} = (AB)A = A(BA)$।
अतः,$A(BA)$ सममित है।
इसी प्रकार,$((AB)A)^{\prime} = A^{\prime} (AB)^{\prime} = A(B^{\prime} A^{\prime}) = A(BA) = (AB)A$।
अतः,$(AB)A$ भी सममित है। इस प्रकार,कथन $-1$ सत्य है।
कथन $-2$ के लिए:
$(AB)^{\prime} = B^{\prime} A^{\prime} = BA$।
यदि $AB$ सममित है,तो $(AB)^{\prime} = AB$,जिसका अर्थ है कि $BA = AB$।
अतः,कथन $-2$ सत्य है।
हालाँकि,कथन $-2$ $AB$ के सममित होने की शर्त बताता है,जबकि कथन $-1$ क्रमविनिमेयता पर विचार किए बिना $A(BA)$ और $(AB)A$ की सममितता के बारे में है। इसलिए,कथन $-2$,कथन $-1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) स्वतुल्य गुणधर्म के लिए:
$(A, A) \in R$ क्योंकि $A = I^{-1}AI$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है,जो व्युत्क्रमणीय है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
सममित गुणधर्म के लिए:
यदि $(A, B) \in R$,तो $A = P^{-1}BP$ किसी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $P$ के लिए।
बाएं से $P$ और दाएं से $P^{-1}$ से गुणा करने पर: $PAP^{-1} = B$।
माना $Q = P^{-1}$। चूंकि $P$ व्युत्क्रमणीय है,$Q$ भी व्युत्क्रमणीय है।
तब $B = Q^{-1}AQ$,अर्थात $(B, A) \in R$। अतः,$R$ सममित है।
संक्रामक गुणधर्म के लिए:
यदि $(A, B) \in R$ और $(B, C) \in R$,तो $A = P^{-1}BP$ और $B = Q^{-1}CQ$ किन्हीं व्युत्क्रमणीय आव्यूहों $P$ और $Q$ के लिए।
$B$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $A = P^{-1}(Q^{-1}CQ)P = (QP)^{-1}C(QP)$।
चूंकि $QP$ व्युत्क्रमणीय है,$(A, C) \in R$। अतः,$R$ संक्रामक है।
इस प्रकार,$R$ एक तुल्यता संबंध है। कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$ व्युत्क्रमणीय आव्यूहों का एक मानक गुणधर्म है: $(MN)^{-1} = N^{-1}M^{-1}$। यह सत्य है।
हालाँकि,कथन-$2$ आव्यूह व्युत्क्रम का एक सामान्य गुणधर्म है और यह वह विशिष्ट कारण नहीं है कि संबंध $R$ (समानता) एक तुल्यता संबंध क्यों है। अतः,कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) कथन-$1$ के लिए: एक विषम-सममित आव्यूह $A$ के लिए $A^T = -A$ होता है। दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$\det(A^T) = \det(-A)$ प्राप्त होता है। $n$ कोटि के आव्यूह के लिए $\det(A^T) = \det(A)$ और $\det(-A) = (-1)^n \det(A)$ होता है,इसलिए $\det(A) = (-1)^n \det(A)$ प्राप्त होता है। $n=3$ के लिए,$\det(A) = -\det(A)$,जिसका अर्थ है $2 \det(A) = 0$,अतः $\det(A) = 0$। इस प्रकार,कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$ के लिए: गुणधर्म $\det(A^T) = \det(A)$ हमेशा सत्य है। $n$ कोटि के आव्यूह के लिए $\det(-A) = (-1)^n \det(A)$ गुणधर्म भी सत्य है। इसलिए,कथन-$2$ सत्य है।
चूंकि कथन-$2$ उन गणितीय गुणों को प्रदान करता है जिनका उपयोग कथन-$1$ को सिद्ध करने के लिए किया जाता है,इसलिए यह कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

(C) दिया गया है कि $H = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix}$ है।
हम $H$ की घातों की गणना करते हैं:
$H^2 = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \omega^2 & 0 \\ 0 & \omega^2 \end{bmatrix}$।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$H^n = \begin{bmatrix} \omega^n & 0 \\ 0 & \omega^n \end{bmatrix}$।
$n = 70$ के लिए,$H^{70} = \begin{bmatrix} \omega^{70} & 0 \\ 0 & \omega^{70} \end{bmatrix}$।
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{70} = (\omega^3)^{23} \cdot \omega = (1)^{23} \cdot \omega = \omega$।
अतः,$H^{70} = \begin{bmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{bmatrix} = H$।

(A) $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = q$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दाईं सीमा ($R$.$H$.$L$.) की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x+x^2} - \sqrt{x}}{x^{3/2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+x} - 1)}{x \cdot \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$.
संयुग्मी $\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}$ से गुणा करने पर:
$\lim_{x \to 0^+} \frac{(1+x) - 1}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$.
अतः,$q = 1/2$.
अब,बाईं सीमा ($L$.$H$.$L$.) की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin(p+1)x + \sin x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{\sin(p+1)x}{x} + \frac{\sin x}{x} \right)$.
$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करने पर:
$(p+1) + 1 = p+2$.
चूंकि $L.H.L. = q$,इसलिए $p+2 = 1/2$,जिसका अर्थ है $p = 1/2 - 2 = -3/2$.
इसलिए,मान $(p, q) = (-3/2, 1/2)$ हैं।

(C) हम जानते हैं कि $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$.
अब,$y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy} \left( \frac{dx}{dy} \right) = \frac{d}{dy} \left( \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-1} \right)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{d}{dy} = \frac{dx}{dy} \cdot \frac{d}{dx} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \cdot \frac{d}{dx}$:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \left( \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-1} \right)$.
घात नियम (power rule) लागू करने पर:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \left( \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \right) \cdot \left( -1 \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-2} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} \right)$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{d^2x}{dy^2} = - \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-1} \cdot \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-2} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} = - \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-3} \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right)$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = y + 3$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y + 3} = dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y + 3} = \int dx$,जिससे $\ln|y + 3| = x + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y + 3 > 0$,इसलिए $y + 3 = e^{x + C} = e^C \cdot e^x$ होगा।
मान लीजिए $e^C = A$,तो $y + 3 = A e^x$ है।
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 2$ का उपयोग करते हुए,$x = 0$ और $y = 2$ रखने पर:
$2 + 3 = A e^0 \Rightarrow A = 5$।
अतः,विशिष्ट हल $y + 3 = 5 e^x$ या $y = 5 e^x - 3$ है।
$y(\ln 2)$ का मान ज्ञात करने के लिए,$x = \ln 2$ रखने पर:
$y(\ln 2) = 5 e^{\ln 2} - 3$।
चूंकि $e^{\ln 2} = 2$,इसलिए $y(\ln 2) = 5(2) - 3 = 10 - 3 = 7$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dV}{dt} = -k(T - t)$.
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$V(t) = \int -k(T - t) dt = k \int (T - t) d(T - t) = \frac{k(T - t)^2}{2} + C$.
जब $t = 0$ है,तो उपकरण का मूल्य उसका क्रय मूल्य $I$ है,इसलिए $V(0) = I$:
$I = \frac{k(T - 0)^2}{2} + C \implies I = \frac{kT^2}{2} + C \implies C = I - \frac{kT^2}{2}$.
$C$ का मान $V(t)$ के समीकरण में रखने पर:
$V(t) = \frac{k(T - t)^2}{2} + I - \frac{kT^2}{2}$.
स्क्रैप मूल्य $V(T)$ वह मूल्य है जो $t = T$ पर होता है:
$V(T) = \frac{k(T - T)^2}{2} + I - \frac{kT^2}{2} = 0 + I - \frac{kT^2}{2} = I - \frac{kT^2}{2}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ है।
$y^2 dy$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y^2} = \frac{1}{y^3}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{y^2}$ और $Q(y) = \frac{1}{y^3}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{y^2} dy} = e^{-\frac{1}{y}}$ है।
व्यापक हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ है।
$x e^{-\frac{1}{y}} = \int \frac{1}{y^3} e^{-\frac{1}{y}} dy + C$.
माना $t = -\frac{1}{y}$,तो $dt = \frac{1}{y^2} dy$ और $\frac{1}{y} = -t$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$x e^{-\frac{1}{y}} = \int (-t) e^t dt + C = - (t e^t - e^t) + C = (1 - t) e^t + C$ प्राप्त होता है।
$x e^{-\frac{1}{y}} = (1 + \frac{1}{y}) e^{-\frac{1}{y}} + C$.
$y(1) = 1$ का उपयोग करने पर,$1 \cdot e^{-1} = (1 + 1) e^{-1} + C \Rightarrow e^{-1} = 2e^{-1} + C \Rightarrow C = -e^{-1} = -\frac{1}{e}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x e^{-\frac{1}{y}} = (1 + \frac{1}{y}) e^{-\frac{1}{y}} - \frac{1}{e}$।
$e^{-\frac{1}{y}}$ से भाग देने पर,$x = 1 + \frac{1}{y} - \frac{e^{\frac{1}{y}}}{e}$ प्राप्त होता है।

(A) घटना $D$ के घटित होने पर घटना $C$ की सप्रतिबंध प्रायिकता को $P(C|D) = \frac{P(C \cap D)}{P(D)}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि $C \subset D$ है,तो $C \cap D = C$ होगा,जिसका अर्थ है कि $P(C \cap D) = P(C)$।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $P(C|D) = \frac{P(C)}{P(D)}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $D$ एक घटना है,इसलिए $P(D) \le 1$ होगा। अतः,$\frac{1}{P(D)} \ge 1$।
दोनों पक्षों को $P(C)$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{P(C)}{P(D)} \ge P(C)$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(C|D) \ge P(C)$ सही है।

(B) मान लीजिए $X$ $5$ स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों में सफलताओं की संख्या है। सफलता की प्रायिकता $p$ है और विफलता की प्रायिकता $q = 1 - p$ है।
कम से कम एक विफलता की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई विफलता नहीं}) = 1 - P(X = 5)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि परीक्षण स्वतंत्र हैं,$P(X = 5) = p^5$ है।
प्रश्न के अनुसार,कम से कम एक विफलता की प्रायिकता $\frac{31}{32}$ से अधिक या उसके बराबर है:
$1 - p^5 \geq \frac{31}{32}$
असमानता को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$1 - \frac{31}{32} \geq p^5$
$\frac{1}{32} \geq p^5$
दोनों पक्षों का पांचवां मूल लेने पर:
$p \leq (\frac{1}{32})^{1/5}$
$p \leq \frac{1}{2}$
चूंकि $p$ एक प्रायिकता है,$p \geq 0$ है। इसलिए,$p \in [0, \frac{1}{2}]$।

(A) हमें $P(A' \cap B' | C)$ ज्ञात करना है। सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार:
$P(A' \cap B' | C) = \frac{P(A' \cap B' \cap C)}{P(C)}$
समुच्चयों के लिए समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$P(A' \cap B' \cap C) = P(C) - P((A \cup B) \cap C)$
$P(A' \cap B' \cap C) = P(C) - [P(A \cap C) + P(B \cap C) - P(A \cap B \cap C)]$
दिया गया है कि $P(A \cap B \cap C) = 0$ और $A, B, C$ युग्मवार स्वतंत्र हैं,इसलिए $P(A \cap C) = P(A)P(C)$ और $P(B \cap C) = P(B)P(C)$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A' \cap B' \cap C) = P(C) - P(A)P(C) - P(B)P(C) + 0$
$P(A' \cap B' \cap C) = P(C)(1 - P(A) - P(B))$
अतः,$P(A' \cap B' | C) = \frac{P(C)(1 - P(A) - P(B))}{P(C)} = 1 - P(A) - P(B)$
चूँकि $1 - P(A) = P(A')$,इसलिए $P(A' \cap B' | C) = P(A') - P(B)$।

(A) फलन $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-[x]}}$ के रूप में परिभाषित है।
$f$ का प्रांत (domain):
हम जानते हैं कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $0 \leq x-[x] < 1$ होता है।
साथ ही,जब $x \in \mathbb{Z}$ होता है,तब $x-[x] = 0$ होता है।
चूंकि हर शून्य नहीं हो सकता,इसलिए $x-[x] > 0$,जिसका अर्थ है कि $x \notin \mathbb{Z}$।
अतः,प्रांत $\mathbb{R} - \mathbb{Z}$ है।
$f$ का परिसर (range):
$x \in \mathbb{R} - \mathbb{Z}$ के लिए,$0 < x-[x] < 1$ होता है।
वर्गमूल लेने पर,$0 < \sqrt{x-[x]} < 1$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर,$\frac{1}{\sqrt{x-[x]}} > 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$f(x) \in (1, \infty)$।
अतः,$f$ का परिसर $(1, \infty)$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = (x - 1)^2 + 1$,जहाँ $x \ge 1$ है।
$f^{-1}(x)$ ज्ञात करने के लिए,$y = (x - 1)^2 + 1$ लें।
अतः $y - 1 = (x - 1)^2$। चूँकि $x \ge 1$,हमारे पास $x - 1 = \sqrt{y - 1}$ है,इसलिए $x = 1 + \sqrt{y - 1}$।
इस प्रकार,$f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{x - 1}$,जहाँ $x \ge 1$ है। अतः,कथन-$2$ सत्य है।
$S = \{x : f(x) = f^{-1}(x)\}$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(x) = x$ को हल करते हैं।
$(x - 1)^2 + 1 = x \implies x^2 - 2x + 1 + 1 = x \implies x^2 - 3x + 2 = 0$।
$(x - 1)(x - 2) = 0$,इसलिए $x = 1$ या $x = 2$।
चूँकि दोनों मान $x \ge 1$ को संतुष्ट करते हैं,$S = \{1, 2\}$ है। अतः,कथन-$1$ सत्य है।
वर्धमान फलनों के लिए $f(x) = f^{-1}(x)$ का अर्थ $f(x) = x$ होता है,इसलिए कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

(C) दिया गया है $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{d}$.
दोनों पक्षों का $\vec{a}$ के साथ सदिश गुणन करने पर: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{d})$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$ का उपयोग करने पर:
$(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{d}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{d}$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$,समीकरण सरल होकर निम्न हो जाता है:
$(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = 0 - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{d}$.
$\vec{d}$ के लिए व्यवस्थित करने पर:
$(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{d} = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} - (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}$.
$(\vec{a} \cdot \vec{b})$ से भाग देने पर (जो शून्य नहीं है क्योंकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत नहीं हैं):
$\vec{d} = \vec{c} - \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b}$.