AIEEE 2006 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया है $\cos x + \sin x = \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\cos x + \sin x)^2 = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
$1 + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{4} \Rightarrow 2 \sin x \cos x = -\frac{3}{4}$.
$\frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} = -\frac{3}{4}$ सूत्र का उपयोग करने पर,
$3 \tan^2 x + 8 \tan x + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र से,$\tan x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{7}}{3}$।
चूंकि $x$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\tan x < 0$ होगा,इसलिए $\tan x = \frac{-4 - \sqrt{7}}{3}$।

(D) माना $S = \sum_{k=1}^{10} \left( \sin \frac{2k\pi}{11} + i\cos \frac{2k\pi}{11} \right)$.
हम व्यंजक से $i$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$S = i \sum_{k=1}^{10} \left( \cos \frac{2k\pi}{11} - i \sin \frac{2k\pi}{11} \right)$.
यूलर के सूत्र $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ का उपयोग करते हुए,$\cos \theta - i \sin \theta = e^{-i\theta}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = i \sum_{k=1}^{10} e^{-i \frac{2k\pi}{11}}$.
माना $\omega = e^{-i \frac{2\pi}{11}}$. तब $S = i \sum_{k=1}^{10} \omega^k$.
यह $10$ पदों की एक गुणोत्तर श्रेणी है: $\sum_{k=1}^{10} \omega^k = \omega + \omega^2 + \dots + \omega^{10}$.
हम जानते हैं कि इकाई के $11$वें मूलों का योग $\sum_{k=0}^{10} \omega^k = 0$ होता है।
इसलिए,$\sum_{k=1}^{10} \omega^k = -\omega^0 = -1$.
इस मान को $S$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$S = i(-1) = -i$.

(D) दिया गया है $z^2 + z + 1 = 0$,इसके मूल $z = \omega$ या $z = \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है।
चूँकि $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \frac{1}{\omega} = \omega + \omega^2 = -1$ है।
प्रत्येक पद की गणना:
$1$. $\left( z + \frac{1}{z} \right)^2 = (-1)^2 = 1$
$2$. $\left( z^2 + \frac{1}{z^2} \right)^2 = (\omega^2 + \omega)^2 = (-1)^2 = 1$
$3$. $\left( z^3 + \frac{1}{z^3} \right)^2 = (1 + 1)^2 = 2^2 = 4$
$4$. $\left( z^4 + \frac{1}{z^4} \right)^2 = (\omega + \omega^2)^2 = (-1)^2 = 1$
$5$. $\left( z^5 + \frac{1}{z^5} \right)^2 = (\omega^2 + \omega)^2 = (-1)^2 = 1$
$6$. $\left( z^6 + \frac{1}{z^6} \right)^2 = (1 + 1)^2 = 2^2 = 4$
योग $= 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 4 = 12$.

(C) कुल उम्मीदवारों की संख्या $= 10$.
चुने जाने वाले उम्मीदवारों की संख्या $= 4$.
एक मतदाता अधिकतम $4$ और कम से कम $1$ उम्मीदवार को वोट दे सकता है।
$r$ उम्मीदवारों को वोट देने के तरीके $= ^{10}C_{r}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$1$ उम्मीदवार को वोट देने के तरीके $= ^{10}C_{1} = 10$.
$2$ उम्मीदवारों को वोट देने के तरीके $= ^{10}C_{2} = 45$.
$3$ उम्मीदवारों को वोट देने के तरीके $= ^{10}C_{3} = 120$.
$4$ उम्मीदवारों को वोट देने के तरीके $= ^{10}C_{4} = 210$.
कुल तरीके $= 10 + 45 + 120 + 210 = 385$.

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{1}{(1 - ax)(1 - bx)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{(1 - ax)(1 - bx)} = \frac{A}{1 - ax} + \frac{B}{1 - bx}$.
$A$ और $B$ का मान ज्ञात करने पर,$A = \frac{a}{a - b}$ और $B = \frac{b}{b - a}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \frac{a}{a - b}(1 - ax)^{-1} + \frac{b}{b - a}(1 - bx)^{-1}$.
द्विपद श्रेणी $(1 - z)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n$ का उपयोग करते हुए:
$f(x) = \frac{a}{a - b} \sum_{n=0}^{\infty} (ax)^n + \frac{b}{b - a} \sum_{n=0}^{\infty} (bx)^n$.
$x^n$ का गुणांक $a_n = \frac{a}{a - b} a^n + \frac{b}{b - a} b^n$ है।
$a_n = \frac{a^{n+1}}{a - b} + \frac{b^{n+1}}{b - a} = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{b - a}$.

(D) दिया गया है $(1 - y)^m(1 + y)^n = 1 + a_1y + a_2y^2 + \ldots$
द्विपद का विस्तार करने पर:
$(1 - my + \frac{m(m-1)}{2}y^2 - \ldots)(1 + ny + \frac{n(n-1)}{2}y^2 + \ldots) = 1 + a_1y + a_2y^2 + \ldots$
$y$ का गुणांक तुलना करने पर:
$a_1 = n - m = 10 \implies n = m + 10$
$y^2$ का गुणांक तुलना करने पर:
$a_2 = \frac{n(n-1)}{2} - nm + \frac{m(m-1)}{2} = 10$
$n^2 - n - 2nm + m^2 - m = 20$
$(n - m)^2 - (n + m) = 20$
चूँकि $n - m = 10$,इसलिए $(10)^2 - (m + 10 + m) = 20$
$100 - 2m - 10 = 20$
$90 - 2m = 20$
$2m = 70 \implies m = 35$
$n = 35 + 10 = 45$
अतः,$(m, n) = (35, 45)$.

(D) $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]$ होता है।
दिया है $\frac{S_p}{S_q} = \frac{p^2}{q^2}$,अतः $\frac{\frac{p}{2} [2a_1 + (p-1)d]}{\frac{q}{2} [2a_1 + (q-1)d]} = \frac{p^2}{q^2}$।
सरल करने पर,$\frac{2a_1 + (p-1)d}{2a_1 + (q-1)d} = \frac{p}{q}$ प्राप्त होता है।
$\frac{a_6}{a_{21}}$ ज्ञात करने के लिए,$a_n = a_1 + (n-1)d$ का उपयोग करते हुए,$\frac{a_6}{a_{21}} = \frac{a_1 + 5d}{a_1 + 20d}$।
$\frac{p-1}{2} = 5 \Rightarrow p = 11$ और $\frac{q-1}{2} = 20 \Rightarrow q = 41$ रखने पर।
अतः,$\frac{a_6}{a_{21}} = \frac{11}{41}$।

(B) माना कि रेखा $x$-अक्ष को $Q(a, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $P(0, b)$ पर काटती है।
चूंकि बिंदु $A(3, 4)$ अंतःखंड $PQ$ को समद्विभाजित करता है,इसलिए यह $PQ$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{a + 0}{2} = 3 \implies a = 6$
$\frac{0 + b}{2} = 4 \implies b = 8$
रेखा के समीकरण का अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
$a$ और $b$ के मान रखने पर:
$\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1$
हर को हटाने के लिए $24$ से गुणा करने पर:
$4x + 3y = 24$

(B) रेखाएँ $L_1: x - 2y = 0$ और $L_2: 3x - y = 0$ हैं।
बिंदु $(a, a^2)$ को कोण के अंदर स्थित होने के लिए,इसे रेखाओं द्वारा निर्मित असमिकाओं को संतुष्ट करना होगा।
चूंकि $x > 0$ दिया गया है,इसलिए $a > 0$ होगा।
बिंदु के $y = 3x$ के नीचे होने के लिए,$a^2 < 3a$ आवश्यक है,जिसका अर्थ है $a(a - 3) < 0$,अतः $0 < a < 3$।
बिंदु के $y = \frac{x}{2}$ के ऊपर होने के लिए,$a^2 > \frac{a}{2}$ आवश्यक है,जिसका अर्थ है $a(a - \frac{1}{2}) > 0$। चूंकि $a > 0$,इसलिए $a > \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $\frac{1}{2} < a < 3$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त का केंद्र दो व्यासों $3x - 4y - 7 = 0$ और $2x - 3y - 5 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इन समीकरणों को हल करने पर: $3x - 4y = 7$ और $2x - 3y = 5$ प्राप्त होता है।
पहले समीकरण को $3$ से और दूसरे को $4$ से गुणा करने पर: $9x - 12y = 21$ और $8x - 12y = 20$ प्राप्त होता है।
घटाने पर $x = 1$ मिलता है। $x = 1$ को $2x - 3y = 5$ में रखने पर $2 - 3y = 5$ मिलता है,अतः $y = -1$ है।
केंद्र $(1, -1)$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = 49\pi$ है,इसलिए $r^2 = 49$ और $r = 7$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2$ है।
विस्तार करने पर: $x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 49$ प्राप्त होता है।
अतः,$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 47 = 0$।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $y = \frac{a^3 x^2}{3} + \frac{a^2 x}{2} - 2a$ है।
शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$y = \frac{a^3}{3} \left( x + \frac{3}{4a} \right)^2 - \frac{35a}{16}$.
अतः,शीर्ष $(h, k) = \left( -\frac{3}{4a}, -\frac{35a}{16} \right)$ है।
$h = -\frac{3}{4a} \Rightarrow a = -\frac{3}{4h}$ और $k = -\frac{35a}{16}$.
$a$ का मान रखने पर,$k = -\frac{35}{16} \left( -\frac{3}{4h} \right) = \frac{105}{64h}$.
इस प्रकार,$hk = \frac{105}{64}$,अतः बिंदुपथ $xy = \frac{105}{64}$ है।

(C) दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 6$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $ae = 3$।
लघु अक्ष की लंबाई $2b = 8$ है,जिसका अर्थ है $b = 4$।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,हमें $b^2 = a^2 - a^2e^2$ प्राप्त होता है।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$16 = a^2 - (ae)^2$।
$16 = a^2 - (3)^2$।
$16 = a^2 - 9$ $\Rightarrow a^2 = 25$ $\Rightarrow a = 5$।
चूंकि $ae = 3$,इसलिए $5e = 3$,अतः $e = 3/5$।

(A) जनसंख्या $A$ में $100$ क्रमिक पूर्णांक हैं: $101, 102, . . ., 200$.
जनसंख्या $B$ में $100$ क्रमिक पूर्णांक हैं: $151, 152, . . ., 250$.
हम जानते हैं कि अवलोकनों के एक समूह का प्रसरण मूलबिंदु (origin) के परिवर्तन से स्वतंत्र होता है। अर्थात,यदि $y_i = x_i + c$ है,तो $Var(y) = Var(x)$.
यहाँ,जनसंख्या $B$ का प्रत्येक अवलोकन $y_i = x_i + 50$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $x_i$ जनसंख्या $A$ के अवलोकन हैं।
चूंकि प्रसरण मूलबिंदु के परिवर्तन के तहत अपरिवर्तित रहता है,इसलिए $V_A = V_B$.
अतः,$\frac{V_A}{V_B} = 1$.

(C) माना $y = \frac{3x^2 + 9x + 17}{3x^2 + 9x + 7}$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$y(3x^2 + 9x + 7) = 3x^2 + 9x + 17$ प्राप्त होता है।
$3x^2(y - 1) + 9x(y - 1) + 7y - 17 = 0$.
चूंकि $x$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होगा।
$D = [9(y - 1)]^2 - 4(3(y - 1))(7y - 17) \geq 0$.
$81(y - 1)^2 - 12(y - 1)(7y - 17) \geq 0$.
$3(y - 1)$ से विभाजित करने पर,$27(y - 1) - 4(7y - 17) \geq 0$.
$27y - 27 - 28y + 68 \geq 0$.
$-y + 41 \geq 0 \Rightarrow y \leq 41$.
अतः,$y$ का अधिकतम मान $41$ है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ है।
इसे $(x - m)^2 - 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(x - m)^2 = 1$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$x - m = \pm 1$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $x_1 = m - 1$ और $x_2 = m + 1$ हैं।
हमें दिया गया है कि दोनों मूल $-2$ से बड़े और $4$ से छोटे हैं,इसलिए $-2 < m - 1$ और $m + 1 < 4$।
$-2 < m - 1$ से,$m > -1$ प्राप्त होता है।
$m + 1 < 4$ से,$m < 3$ प्राप्त होता है।
इन दोनों को मिलाने पर,$-1 < m < 3$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतराल $(-1, 3)$ है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + px + q = 0$ है जिसके मूल $\alpha = \tan 30^\circ$ और $\beta = \tan 15^\circ$ हैं।
मूलों के गुणधर्मों से,मूलों का योग $\alpha + \beta = -p$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = q$ है।
हम जानते हैं कि $\tan(30^\circ + 15^\circ) = \tan 45^\circ = 1$ होता है।
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$1 = \frac{-p}{1 - q}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $1 - q = -p$,या $q - p = 1$ है।
हमें $2 + q - p$ का मान ज्ञात करना है।
$q - p = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 + 1 = 3$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए बिंदु $P$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं,जो जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है।
अब,$OP = \sqrt{(h-0)^2 + (k-0)^2} = \sqrt{h^2+k^2}$.
$\triangle AOP$ में,कोण $\angle AOP = \frac{1}{2} \times \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.
$\triangle AOP$ में त्रिकोणमिति का उपयोग करने पर,$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{OP}{OA}$.
चूंकि $OA$ वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $OA = 3$.
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{h^2+k^2}}{3}$.
$\Rightarrow \sqrt{h^2+k^2} = \frac{3}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$h^2+k^2 = \frac{9}{4}$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $x^2+y^2 = \frac{9}{4}$ है।

(D) माना समतल $x - 2y = 0$ में बिंदु $P(-1, 3, 4)$ का प्रतिबिंब $P'(\alpha, \beta, \gamma)$ है।
$P$ और $P'$ से गुजरने वाली रेखा समतल $x - 2y = 0$ के लंबवत है। समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, -2, 0)$ है।
बिंदु $P(-1, 3, 4)$ से गुजरने वाली और $(1, -2, 0)$ दिक-अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{-2} = \frac{z - 4}{0} = k$ है।
अतः,इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(k - 1, -2k + 3, 4)$ है।
$PP'$ का मध्य बिंदु $M = (\frac{\alpha - 1}{2}, \frac{\beta + 3}{2}, \frac{\gamma + 4}{2})$ है।
चूंकि $M$ समतल $x - 2y = 0$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{\alpha - 1}{2} - 2(\frac{\beta + 3}{2}) = 0$,जो सरल होकर $\alpha - 1 - 2\beta - 6 = 0$ या $\alpha - 2\beta = 7$ हो जाता है।
साथ ही,रेखा $PP'$ समतल के लंबवत है,इसलिए $PP'$ के दिक-अनुपात समतल के अभिलंब के समानुपाती होते हैं: $\frac{\alpha - (-1)}{1} = \frac{\beta - 3}{-2} = \frac{\gamma - 4}{0} = \lambda$.
$\frac{\gamma - 4}{0} = \lambda$ से,हमें $\gamma = 4$ प्राप्त होता है।
$\alpha + 1 = \lambda$ और $\beta - 3 = -2\lambda$ से,हमें $\alpha = \lambda - 1$ और $\beta = -2\lambda + 3$ प्राप्त होता है।
$\alpha - 2\beta = 7$ में मान रखने पर: $(\lambda - 1) - 2(-2\lambda + 3) = 7 \Rightarrow \lambda - 1 + 4\lambda - 6 = 7 \Rightarrow 5\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = \frac{14}{5}$.
अतः $\alpha = \frac{14}{5} - 1 = \frac{9}{5}$ और $\beta = -2(\frac{14}{5}) + 3 = -\frac{28}{5} + \frac{15}{5} = -\frac{13}{5}$.
प्रतिबिंब $(\frac{9}{5}, -\frac{13}{5}, 4)$ है। चूंकि यह विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) माना $I = \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) dx$ $(1)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{\pi} (\pi - x) f(\sin(\pi - x)) dx$
चूँकि $\sin(\pi - x) = \sin x$,इसलिए:
$I = \int_{0}^{\pi} (\pi - x) f(\sin x) dx$
$I = \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx - \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) dx$
$I = \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx - I$
$2I = \pi \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx$
$I = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx$
गुणधर्म $\int_{0}^{2a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ का उपयोग करने पर यदि $f(2a-x) = f(x)$ हो:
यहाँ $f(\sin(\pi - x)) = f(\sin x)$,इसलिए $\int_{0}^{\pi} f(\sin x) dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx$
$I = \frac{\pi}{2} \times 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx$
$\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$
अतः,$I = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$.

(C) माना $I = \int_{-\frac{3\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} \left[ (x+\pi)^3 + \cos^2(x+3\pi) \right] dx$.
$t = x + \pi$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = dx$ प्राप्त होता है।
जब $x = -\frac{3\pi}{2}$,तब $t = -\frac{\pi}{2}$।
जब $x = -\frac{\pi}{2}$,तब $t = \frac{\pi}{2}$।
चूंकि $\cos(x+3\pi) = \cos(x+\pi) = -\cos x$,इसलिए $\cos^2(x+3\pi) = \cos^2 x$ होगा।
अतः,$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (t^3 + \cos^2 t) dt$.
$t^3$ एक विषम फलन है और $\cos^2 t$ एक सम फलन है,इसलिए $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} t^3 dt = 0$ होगा।
अतः,$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t dt = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t dt$.
सर्वसमिका $\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$ का उपयोग करने पर,$I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2t}{2} dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2t) dt$.
समाकलन करने पर: $[t + \frac{\sin 2t}{2}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (\frac{\pi}{2} + 0) - (0 + 0) = \frac{\pi}{2}$.

(B) माना $n = [a]$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है ताकि $n \leq a < n+1$ हो।
समाकलन को इस प्रकार विभाजित किया जा सकता है:
$\int_{1}^{a} [x] f'(x) dx = \int_{1}^{2} 1 f'(x) dx + \int_{2}^{3} 2 f'(x) dx + \dots + \int_{n-1}^{n} (n-1) f'(x) dx + \int_{n}^{a} n f'(x) dx$
प्रत्येक समाकलन का मूल्यांकन करने पर:
$= 1[f(2) - f(1)] + 2[f(3) - f(2)] + \dots + (n-1)[f(n) - f(n-1)] + n[f(a) - f(n)]$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$= -f(1) - f(2) - f(3) - \dots - f(n) + n f(a)$
चूंकि $n = [a]$,हमें प्राप्त होता है:
$= [a] f(a) - \{f(1) + f(2) + \dots + f([a])\}$

(B) दिया गया समीकरण: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ है।
आव्यूह गुणन के गुणों का उपयोग करके दाईं ओर का विस्तार करने पर:
$(A - B)(A + B) = A(A + B) - B(A + B)$
$= A^2 + AB - BA - B^2$ प्राप्त होता है।
अब,इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$A^2 - B^2 = A^2 + AB - BA - B^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $A^2$ घटाने और $B^2$ जोड़ने पर,हमें मिलता है:
$0 = AB - BA$।
अतः,$AB = BA$।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}$।
$AB$ की गणना करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 2b \\ 3a & 4b \end{bmatrix}$।
$BA$ की गणना करने पर:
$BA = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 2a \\ 3b & 4b \end{bmatrix}$।
$AB = BA$ के लिए,हमारे पास होना चाहिए:
$\begin{bmatrix} a & 2b \\ 3a & 4b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 2a \\ 3b & 4b \end{bmatrix}$।
तत्वों की तुलना करने पर,हमें $2b = 2a$ और $3a = 3b$ प्राप्त होता है,जो दोनों यह दर्शाते हैं कि $a = b$ है।
चूंकि $a, b \in \mathbb{N}$,इसलिए $a = b$ होने के लिए अनंत जोड़े $(a, b)$ संभव हैं (उदाहरण के लिए,$(1, 1), (2, 2), (3, 3), \dots$)।
अतः,अनंत रूप से कई आव्यूह $B$ मौजूद हैं जिनके लिए $AB = BA$ होता है।

(A) फलन $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$ के रूप में परिभाषित है।
हम इसे एक टुकड़ों में परिभाषित फलन के रूप में लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{1 - x}, & x < 0 \\ \frac{x}{1 + x}, & x \geq 0 \end{cases}$
अब,हम दोनों स्थितियों के लिए अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$x < 0$ के लिए,$f'(x) = \frac{(1-x)(1) - x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+x}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}$.
$x > 0$ के लिए,$f'(x) = \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} = \frac{1+x-x}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2}$.
$x = 0$ पर,हम बाएँ हाथ का अवकलज $(LHD)$ और दाएँ हाथ का अवकलज $(RHD)$ की जाँच करते हैं:
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{h}{1-h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1}{1-h} = 1$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{h}{1+h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{1+h} = 1$.
चूँकि $LHD = RHD = 1$,फलन $x = 0$ पर भी अवकलनीय है।
अतः,फलन सभी $x \in ( - \infty, \infty )$ के लिए अवकलनीय है।

(A) दिया गया समीकरण: $x^py^q=(x+y)^{p+q}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$p \ln x + q \ln y = (p+q) \ln(x+y)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{p}{x} + \frac{q}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{p+q}{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{q}{y} \frac{dy}{dx} - \frac{p+q}{x+y} \frac{dy}{dx} = \frac{p+q}{x+y} - \frac{p}{x}$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{q(x+y) - y(p+q)}{y(x+y)} \right) = \frac{x(p+q) - p(x+y)}{x(x+y)}$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{qx + qy - py - qy}{y(x+y)} \right) = \frac{px + qx - px - py}{x(x+y)}$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{qx - py}{y(x+y)} \right) = \frac{qx - py}{x(x+y)}$
दोनों पक्षों को $\frac{qx - py}{x+y}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ है।
स्थानीय चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$\frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = 0 \Rightarrow \frac{2}{x^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2, -2$.
अब,स्थानीय न्यूनतम मान की जाँच करने के लिए द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2} - 2x^{-2}) = 0 - 2(-2)x^{-3} = \frac{4}{x^3}$.
$x = 2$ पर मान रखने पर:
$f''(2) = \frac{4}{2^3} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} > 0$.
चूँकि $f''(2) > 0$ है,इसलिए फलन का स्थानीय न्यूनतम मान $x = 2$ पर है।

(C) माना त्रिकोणीय पार्क $\Delta ABC$ है,जहाँ $AB = AC = x$ है। माना $AT$,$A$ से नदी के किनारे $BC$ पर डाला गया लंब है। माना $\angle ABT = \theta$ है।
तब $AT = x \sin \theta$ और $BT = x \cos \theta$ होगा।
चूँकि त्रिभुज समद्विबाहु है और $AB=AC$ है,लंब $AT$,$BC$ को समद्विभाजित करता है,इसलिए $BC = 2BT = 2x \cos \theta$ होगा।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (2x \cos \theta) \times (x \sin \theta) = x^2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} x^2 \sin(2\theta)$ है।
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हमें $\sin(2\theta)$ को अधिकतम करना होगा। $\sin(2\theta)$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $2\theta = 90^\circ$ या $\theta = 45^\circ$ पर प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $\frac{1}{2} x^2 (1) = \frac{1}{2} x^2$ है।

(D) दिया गया समीकरण $Ax^2 + By^2 = 1 \quad \dots(1)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2Ax + 2By \frac{dy}{dx} = 0 \implies Ax + By \frac{dy}{dx} = 0 \quad \dots(2)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$A + B \left( y \frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 \right) = 0 \quad \dots(3)$
$(2)$ से,$A = -\frac{By}{x} \frac{dy}{dx}$। इस मान को $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{By}{x} \frac{dy}{dx} + By \frac{d^2y}{dx^2} + B \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 0$
$B$ से भाग देने पर:
$-\frac{y}{x} \frac{dy}{dx} + y \frac{d^2y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = 0$
$x$ से गुणा करने पर:
$xy \frac{d^2y}{dx^2} + x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - y \frac{dy}{dx} = 0$
यहाँ उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,अतः कोटि $2$ है। उच्चतम अवकलज की घात $1$ है,अतः घात $1$ है।

(A) पॉइसन वितरण का सूत्र $P(X=r) = \frac{e^{-m} m^r}{r!}$ है,जहाँ $m$ घटनाओं की औसत संख्या है।
यहाँ $m = 5$ दिया गया है,हमें अधिकतम एक फोन कॉल की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1)$ है।
$r=0$ के लिए: $P(X=0) = \frac{e^{-5} 5^0}{0!} = e^{-5}$।
$r=1$ के लिए: $P(X=1) = \frac{e^{-5} 5^1}{1!} = 5e^{-5}$।
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर: $P(X \leq 1) = e^{-5} + 5e^{-5} = 6e^{-5}$।

(D) सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए: $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$.
इसी प्रकार,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
दोनों पक्षों से $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b}$ घटाने पर:
$-(\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = -(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
यह दर्शाता है कि $(\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} \neq 0$ और $\vec{b} \cdot \vec{c} \neq 0$,हम लिख सकते हैं $\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{c}} \right) \vec{c}$.
यह दर्शाता है कि $\vec{a}, \vec{c}$ का एक अदिश गुणज है,जिसका अर्थ है कि $\vec{a}$ और $\vec{c}$ समांतर हैं।

(A) दिया गया है कि शीर्ष $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{A} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{B} = \hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}$,और $\vec{C} = a\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
चूंकि $m\angle C = 90^\circ$ है,इसलिए सदिश $\overrightarrow{CA}$ और $\overrightarrow{CB}$ लंबवत होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य है।
सबसे पहले,$\overrightarrow{CA} = \vec{A} - \vec{C} = (2-a)\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\overrightarrow{CB} = \vec{B} - \vec{C} = (1-a)\hat{i} + 0\hat{j} - 6\hat{k}$ ज्ञात करें।
अब,अदिश गुणनफल $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0$ रखें:
$((2-a)\hat{i} + 2\hat{j}) \cdot ((1-a)\hat{i} - 6\hat{k}) = 0$.
$(2-a)(1-a) + (2)(0) + (0)(-6) = 0$.
$(2-a)(1-a) = 0$.
इससे $a = 2$ या $a = 1$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int_3^6 \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{9-x}+\sqrt{x}} d x$ ...$(i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) d x = \int_a^b f(a+b-x) d x$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=3$ और $b=6$ है,अतः $a+b-x = 9-x$ होगा।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_3^6 \frac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-(9-x)}+\sqrt{9-x}} d x$
$I = \int_3^6 \frac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{9-x}} d x$ ...(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_3^6 \frac{\sqrt{x}+\sqrt{9-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{9-x}} d x$
$2I = \int_3^6 1 d x$
$2I = [x]_3^6 = 6 - 3 = 3$
$I = \frac{3}{2}$