AIEEE 2003 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दी गई भौतिक राशियों के विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$1$. चाल: $[LT^{-1}]$ और ${({\mu _0}{\varepsilon _0})^{-1/2}} = c$ (प्रकाश की चाल): $[LT^{-1}]$। इनके विमीय सूत्र समान हैं।
$2$. आघूर्ण: $[ML^2T^{-2}]$ और कार्य: $[ML^2T^{-2}]$। इनके विमीय सूत्र समान हैं।
$3$. संवेग: $[MLT^{-1}]$ और प्लांक नियतांक: $[ML^2T^{-1}]$। इनके विमीय सूत्र समान नहीं हैं।
$4$. प्रतिबल: $[ML^{-1}T^{-2}]$ और यंग मापांक: $[ML^{-1}T^{-2}]$। इनके विमीय सूत्र समान हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v = 0$ (अंतिम वेग),$u$ प्रारंभिक वेग है,$a$ मंदन (retardation) है,और $s$ रुकने की दूरी है।
चूँकि $v = 0$,हमारे पास $-u^2 = 2as$ है,जिसका अर्थ है $s = \frac{u^2}{2|a|}$।
यह दर्शाता है कि रुकने की दूरी $s \propto u^2$ है।
दिया गया है $u_1 = 50 \,km/hr$ और $s_1 = 6 \,m$।
$u_2 = 100 \,km/hr$ के लिए,अनुपात $\frac{s_2}{s_1} = \left(\frac{u_2}{u_1}\right)^2$ होगा।
$\frac{s_2}{6} = \left(\frac{100}{50}\right)^2 = (2)^2 = 4$।
अतः,$s_2 = 4 \times 6 = 24 \,m$।

(C) कण के स्थिति निर्देशांक $x = \alpha t^3$ और $y = \beta t^3$ दिए गए हैं।
वेग के घटक समय $t$ के सापेक्ष स्थिति का अवकलन करके प्राप्त किए जाते हैं:
$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\alpha t^3) = 3\alpha t^2$
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\beta t^3) = 3\beta t^2$
कण की चाल $v$ वेग सदिश का परिमाण है:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
$v = \sqrt{(3\alpha t^2)^2 + (3\beta t^2)^2}$
$v = \sqrt{9\alpha^2 t^4 + 9\beta^2 t^4}$
$v = \sqrt{9t^4(\alpha^2 + \beta^2)}$
$v = 3t^2\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$

(C) ऊपर की ओर गति करने वाले रॉकेट के लिए बल का समीकरण है: $F_{thrust} - mg = ma$
इसलिए,प्रारंभिक थ्रस्ट: $F_{thrust} = m(g + a)$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 3.5 \times 10^4 \ kg$
त्वरण $a = 10 \ m/s^2$
गुरुत्वीय त्वरण $g \approx 10 \ m/s^2$
मान रखने पर:
$F_{thrust} = 3.5 \times 10^4 \times (10 + 10)$
$F_{thrust} = 3.5 \times 10^4 \times 20$
$F_{thrust} = 70 \times 10^4 \ N = 7.0 \times 10^5 \ N$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक बैग के वास्तविक भार के बराबर होता है: $W = mg = 49 \, N$.
$g = 9.8 \, m/s^2$ लेने पर,हमें बैग का द्रव्यमान प्राप्त होता है: $m = \frac{49}{9.8} = 5 \, kg$.
जब लिफ्ट $a = 5 \, m/s^2$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो आभासी भार $R$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $R = m(g - a)$.
मान रखने पर: $R = 5 \times (9.8 - 5) = 5 \times 4.8 = 24 \, N$.
अतः,स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक $24 \, N$ होगा।

(B) चूंकि स्प्रिंग बैलेंस द्रव्यमानहीन माने जाते हैं,इसलिए वे सिस्टम द्वारा मापे गए वजन में कोई योगदान नहीं देते हैं।
जब $M$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक निचले स्प्रिंग बैलेंस से लटकाया जाता है,तो यह स्प्रिंग में तनाव को मापता है,जो ब्लॉक के वजन $Mg$ के बराबर होता है। अतः,निचला स्केल $M \, kg$ दर्शाता है।
ऊपरी स्प्रिंग बैलेंस निचले स्प्रिंग बैलेंस और ब्लॉक सहित पूरे सिस्टम को सहारा देता है। चूंकि निचला स्प्रिंग बैलेंस द्रव्यमानहीन है,इसलिए ऊपरी स्प्रिंग बैलेंस में तनाव भी ब्लॉक के वजन $Mg$ के बराबर होता है। अतः,ऊपरी स्केल भी $M \, kg$ दर्शाता है।
इसलिए,दोनों स्केल $M \, kg$ दर्शाते हैं।

(A) सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,यदि किसी कण पर कार्य करने वाले तीन बलों को एक ही क्रम में लिए गए त्रिभुज की तीन भुजाओं द्वारा दर्शाया जाता है,तो उनका परिणामी बल शून्य होता है।
दिए गए चित्र में,बलों को सदिशों $\vec{AB},$ $\vec{BC},$ और $\vec{CA}$ द्वारा दर्शाया गया है। चूंकि वे चक्रीय क्रम में हैं,इसलिए उनका योग $\vec{F}_{net} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = 0$ है।
न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,यदि किसी कण पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य है,तो उसका त्वरण शून्य होता है।
इसलिए,कण का वेग $\vec{v}$ अपरिवर्तित रहता है।

(C) निकाय का कुल द्रव्यमान $(M + m)$ है।
चूंकि निकाय पर $P$ बल लगाया जाता है,इसलिए निकाय का त्वरण $a = \frac{P}{M + m}$ होगा।
रस्सी द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया बल,$M$ द्रव्यमान के ब्लॉक को $a$ त्वरण से त्वरित करने के लिए आवश्यक बल है।
अतः,बल $F = M \cdot a = M \cdot \left( \frac{P}{M + m} \right) = \frac{PM}{M + m}$.

(A) ब्लॉक को दीवार के विरुद्ध स्थिर रखने के लिए,नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल (भार $W$) को ऊपर की ओर कार्य करने वाले स्थैतिक घर्षण बल $(f_s)$ द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए।
दीवार द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब बल $(N)$ लगाए गए क्षैतिज बल के बराबर होता है,इसलिए $N = 10 \, N$ है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = \mu N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu = 0.2$ घर्षण गुणांक है।
ब्लॉक के स्थिर रहने के लिए,$W = f_s$ होना चाहिए। सीमांत स्थिति $W = f_{s,max}$ है।
अतः,$W = 0.2 \times 10 \, N = 2 \, N$।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 6 \, m/s$,अंतिम वेग $v = 0 \, m/s$,समय $t = 10 \, s$।
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए: $v = u + at$।
चूंकि ब्लॉक घर्षण के कारण मंदित हो रहा है,इसलिए $v = u - at$।
मान रखने पर: $0 = 6 - a(10) \Rightarrow a = 0.6 \, m/s^2$।
घर्षण बल $f = ma = \mu mg$ होता है।
इसलिए,$\mu g = a \Rightarrow \mu = \frac{a}{g}$।
$g = 10 \, m/s^2$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu = \frac{0.6}{10} = 0.06$।

(C) एक स्प्रिंग को प्रारंभिक विस्तार $x_1$ से अंतिम विस्तार $x_2$ तक खींचने में किया गया कार्य इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = \frac{1}{2} k (x_2^2 - x_1^2)$.
दिया गया है:
स्प्रिंग नियतांक $k = 5 \times 10^3 \, N/m$.
प्रारंभिक विस्तार $x_1 = 5 \, cm = 0.05 \, m$.
अंतिम विस्तार $x_2 = 5 \, cm + 5 \, cm = 10 \, cm = 0.10 \, m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^3) \times ((0.10)^2 - (0.05)^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 5000 \times (0.01 - 0.0025)$
$W = 2500 \times 0.0075$
$W = 18.75 \, J$.

(D) कथन $1$: रैखिक संवेग $\vec{P} = \sum m_i \vec{v}_i = 0$ है। इसका अर्थ यह नहीं है कि प्रत्येक कण का वेग शून्य है। उदाहरण के लिए,विपरीत दिशाओं में समान संवेग के साथ गति करने वाले दो कणों के निकाय में,कुल संवेग शून्य होता है,लेकिन गतिज ऊर्जा $K = \sum \frac{1}{2} m_i v_i^2$ शून्य नहीं होती है।
कथन $2$: गतिज ऊर्जा $K = \sum \frac{1}{2} m_i v_i^2 = 0$ है। चूंकि द्रव्यमान $m_i > 0$ और $v_i^2 \ge 0$ है,इसलिए योग के शून्य होने का एकमात्र तरीका यह है कि प्रत्येक $v_i = 0$ हो। यदि सभी वेग शून्य हैं,तो कुल रैखिक संवेग $\vec{P} = \sum m_i (0) = 0$ होगा।
अतः,$1$,$2$ को सूचित नहीं करता है,लेकिन $2$,$1$ को सूचित करता है।

(C) दिया गया है कि शक्ति $P$ नियत है। हम जानते हैं कि $P = Fv = mav = m \left( \frac{dv}{dt} \right) v$.
इस व्यंजक का समाकलन करने पर: $\frac{P}{m} dt = v dv$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{P}{m} dt = \int v dv \implies \frac{P}{m} t = \frac{v^2}{2}$.
अतः,$v^2 = \frac{2P}{m} t$,जिससे $v = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $v = \frac{ds}{dt}$,इसलिए $ds = \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2} dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $s = \int \sqrt{\frac{2P}{m}} t^{1/2} dt = \sqrt{\frac{2P}{m}} \left( \frac{t^{3/2}}{3/2} \right) = \sqrt{\frac{2P}{m}} \left( \frac{2}{3} t^{3/2} \right)$.
इसलिए,$s \propto t^{3/2}$.

(D) पृथ्वी की सतह से किसी पिंड का पलायन वेग $v_e = \sqrt{2gR_e}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यह व्यंजक दर्शाता है कि पलायन वेग केवल ग्रह के द्रव्यमान और त्रिज्या (या प्रक्षेपण बिंदु पर गुरुत्वीय विभव) पर निर्भर करता है।
यह उस दिशा या कोण पर निर्भर नहीं करता है जिस पर पिंड को प्रक्षेपित किया जाता है।
इसलिए,यदि पिंड को ऊर्ध्वाधर के साथ $45^o$ के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है,तो पलायन वेग वही रहेगा,जो कि $11.2 \ km/s$ है।

(D) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल का वर्ग $(T^2)$ कक्षीय त्रिज्या के घन $(R^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto R^3$,जिसका अर्थ है $T \propto R^{3/2}$।
दिया गया है कि प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = 5$ घंटे है।
मान लीजिए प्रारंभिक दूरी $R_1$ है और नई दूरी $R_2 = 4R_1$ है।
नया आवर्तकाल $T_2$ अनुपात द्वारा दिया जाता है: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^{3/2}$।
मान रखने पर: $\frac{T_2}{5} = \left( \frac{4R_1}{R_1} \right)^{3/2} = (4)^{3/2}$।
घातांक की गणना करने पर: $(4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$।
अतः,$T_2 = 5 \times 8 = 40$ घंटे।

(A) एक खींचे गए तार में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$U = \frac{1}{2} \times F \times \Delta l$
दिया गया है:
बल $F = 200\, N$
विस्तार $\Delta l = 1\, mm = 1 \times 10^{-3}\, m$
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times 200 \times 10^{-3}$
$U = 100 \times 10^{-3}$
$U = 0.1\, J$
अतः,तार में संचित प्रत्यास्थ ऊर्जा $0.1\, J$ है।

(D) किसी निकाय की ऊष्मागतिक अवस्था को अवस्था फलनों (State Functions) द्वारा परिभाषित किया जाता है,जैसे कि दाब $(P)$,आयतन $(V)$,तापमान $(T)$,और आंतरिक ऊर्जा $(U)$। ये केवल निकाय की वर्तमान स्थिति पर निर्भर करते हैं,न कि उस स्थिति तक पहुँचने के लिए अपनाए गए पथ पर।
कार्य $(W)$ एक पथ फलन (Path Function) है,अवस्था फलन नहीं। यह एक प्रक्रिया के दौरान निकाय और उसके परिवेश के बीच स्थानांतरित ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है,और इसका मान ऊष्मागतिक प्रक्रिया के दौरान अपनाए गए विशिष्ट पथ पर निर्भर करता है। इसलिए,कार्य पदार्थ की ऊष्मागतिक अवस्था को परिभाषित नहीं करता है।

(A) दिया गया कथन ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम के क्लॉसियस कथन के रूप में जाना जाता है।
यह बताता है कि ऐसी कोई युक्ति बनाना असंभव है जो एक चक्र में कार्य करे और कम तापमान वाली वस्तु से उच्च तापमान वाली वस्तु में ऊष्मा के स्थानांतरण के अलावा कोई अन्य प्रभाव उत्पन्न न करे।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान केल्विन में है।
दिया गया है: $T_1 = 627^{\circ}C = 627 + 273 = 900 \, \text{K}$,$T_2 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \, \text{K}$,और $Q_1 = 3 \times 10^6 \, \text{cal}$.
ऊष्मा को जूल में बदलने पर: $Q_1 = 3 \times 10^6 \times 4.2 \, \text{J} = 12.6 \times 10^6 \, \text{J}$.
दक्षता $\eta = 1 - \frac{300}{900} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $\eta = \frac{W}{Q_1}$,इसलिए किया गया कार्य $W = \eta \times Q_1 = \frac{2}{3} \times 12.6 \times 10^6 \, \text{J} = 2 \times 4.2 \times 10^6 \, \text{J} = 8.4 \times 10^6 \, \text{J}$ होगा।

(C) पृथ्वी अपेक्षाकृत कम तापमान (लगभग $288 \ K$) पर एक कृष्णिका (black body) के रूप में कार्य करती है। वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम स्पेक्ट्रल उत्सर्जन शक्ति के अनुरूप तरंगदैर्ध्य $\lambda_{max}$ निरपेक्ष तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,जिसे संबंध $\lambda_{max} T = b$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $b$ वीन का नियतांक $(2.898 \times 10^{-3} \ m \cdot K)$ है। पृथ्वी के तापमान के लिए,यह तरंगदैर्ध्य विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के अवरक्त क्षेत्र में आती है। इसलिए,वीन का नियम विकिरण स्पेक्ट्रम के शिखर के विस्थापन का सही वर्णन करता है।

(A) न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार,किसी पिंड के ऊष्मा खोने की दर (या ठंडे होने की दर) कम तापमान अंतर के लिए पिंड और उसके परिवेश के बीच के तापमान अंतर के सीधे समानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\frac{dQ}{dt} \propto \Delta \theta$।
इसे दिए गए व्यंजक $(\Delta \theta)^n$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $n = 1$।

(B) सरल आवर्त गति $(S.H.M.)$ में,स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k x^2$ द्वारा और गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$ द्वारा दी जाती है।
माध्य स्थिति पर,$x = 0$ होता है। इन मानों को समीकरणों में रखने पर:
$U = \frac{1}{2} k (0)^2 = 0$ (न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा)।
$K = \frac{1}{2} k (A^2 - 0^2) = \frac{1}{2} k A^2$ (अधिकतम गतिज ऊर्जा)।
कुल ऊर्जा $E = U + K = \frac{1}{2} k A^2$,जो गति के दौरान हमेशा स्थिर रहती है।
अतः,माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि $T \propto \sqrt{l}$.
मान लीजिए कि प्रारंभिक लंबाई $l_1 = 100$ इकाई है। तो नई लंबाई $l_2 = 100 + 21 = 121$ इकाई होगी।
आवर्तकाल का अनुपात $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}} = \sqrt{\frac{121}{100}} = \frac{11}{10} = 1.1$ है।
अतः,$T_2 = 1.1 T_1$.
आवर्तकाल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100 = \frac{1.1 T_1 - T_1}{T_1} \times 100 = 0.1 \times 100 = 10\%$ है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(D) सरल आवर्त गति करने वाले पिंड का अधिकतम वेग $v_{max} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ होती है।
अतः,$v_{max} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$.
यह दिया गया है कि द्रव्यमान समान हैं $(m_M = m_N = m)$ और उनके अधिकतम वेग समान हैं $(v_M = v_N)$:
$A_M \sqrt{\frac{k_1}{m}} = A_N \sqrt{\frac{k_2}{m}}$.
इसे सरल करने पर,हमें $A_M \sqrt{k_1} = A_N \sqrt{k_2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$M$ के आयाम का $N$ के आयाम से अनुपात $\frac{A_M}{A_N} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$ है।

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $2\pi$ और $k$ स्थिरांक हैं,इसलिए $T \propto \sqrt{M}$ है।
प्रारंभ में,$M_1 = M$ द्रव्यमान के लिए आवर्तकाल $T_1 = T$ है।
जब द्रव्यमान में $m$ की वृद्धि की जाती है,तो नया द्रव्यमान $M_2 = M + m$ और नया आवर्तकाल $T_2 = \frac{5T}{3}$ हो जाता है।
समानुपातिकता $T \propto \sqrt{M}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{5T/3}{T} = \sqrt{\frac{M + m}{M}}$.
$\frac{5}{3} = \sqrt{1 + \frac{m}{M}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{25}{9} = 1 + \frac{m}{M}$.
अतः,$\frac{m}{M} = \frac{25}{9} - 1 = \frac{16}{9}$.

(D) दिया गया विस्थापन समीकरण $x = 4\cos(\pi t) + 4\sin(\pi t)$ है।
यह दो सरल आवर्त गतियों के अध्यारोपण के रूप में है: $x = A_1\sin(\omega t) + A_2\cos(\omega t)$।
परिणामी आयाम $A$ ज्ञात करने का सूत्र $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ है।
यहाँ,$A_1 = 4$ और $A_2 = 4$ है।
अतः,$A = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$।

(B) एक प्रगामी तरंग का मानक समीकरण $y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = 10^{-4} \sin(600t - 2x + \frac{\pi}{3})$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 600 \ rad \ s^{-1}$
तरंग संख्या $k = 2 \ m^{-1}$
तरंग की गति $v$ का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ है।
मान रखने पर,$v = \frac{600}{2} = 300 \ m \ s^{-1}$।
अतः,तरंग की गति $300 \ m \ s^{-1}$ है।

(D) मान लीजिए कि पियानो के तार की आवृत्ति $n_P$ है। ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n_f = 256\,Hz$ है।
बीट आवृत्ति $|n_f - n_P| = 5\,Hz$ द्वारा दी जाती है। इसका अर्थ है कि $n_P = 256 \pm 5\,Hz$,इसलिए $n_P$ या तो $251\,Hz$ है या $261\,Hz$ है।
जब पियानो के तार में तनाव $T$ बढ़ाया जाता है,तो आवृत्ति $n_P$ बढ़ती है क्योंकि $n_P \propto \sqrt{T}$ होता है।
यदि $n_P = 251\,Hz$ था,तो तनाव बढ़ाने पर $n_P$,$256\,Hz$ के करीब पहुंचता है,जिससे बीट आवृत्ति $|256 - n_P|$ कम हो जाती है।
यदि $n_P = 261\,Hz$ था,तो तनाव बढ़ाने पर $n_P$,$256\,Hz$ से और दूर चला जाता है,जिससे बीट आवृत्ति बढ़ जाती है।
चूंकि बीट आवृत्ति $5\,Hz$ से घटकर $2\,Hz$ हो जाती है,इसलिए प्रारंभिक आवृत्ति $251\,Hz$ होनी चाहिए।
अतः,तनाव बढ़ाने से पहले पियानो के तार की आवृत्ति $256 - 5 = 251\,Hz$ थी।

(B) अनुनाद की स्थिति में,प्रत्यावर्ती धारा $(n)$ की आवृत्ति कंपन करने वाले तार की मूल आवृत्ति के बराबर होती है।
एक खींची हुई डोरी की मूल आवृत्ति का सूत्र $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ है,जहाँ $l$ लंबाई है,$T$ तनाव है,और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
दिया गया है:
लंबाई $l = 1 \, m$
तनाव $T = 10 \, kg \text{-} wt = 10 \times 9.8 \, N = 98 \, N$
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = 9.8 \, g/m = 9.8 \times 10^{-3} \, kg/m$
मान रखने पर:
$n = \frac{1}{2 \times 1} \sqrt{\frac{98}{9.8 \times 10^{-3}}}$
$n = \frac{1}{2} \sqrt{10000}$
$n = \frac{1}{2} \times 100 = 50 \, Hz$.

(A) एक वृत्ताकार डिस्क का उसके केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (\pi R^2 t) \rho$,जहाँ $t$ मोटाई है और $\rho$ घनत्व है।
सूत्र में $M$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{1}{2}(\pi R^2 t \rho) R^2 = \frac{1}{2} \pi \rho t R^4$.
यह मानते हुए कि घनत्व $\rho$ दोनों डिस्क के लिए समान है,जड़त्व आघूर्ण का अनुपात $\frac{I_y}{I_x} = \frac{t_y}{t_x} \left( \frac{R_y}{R_x} \right)^4$ होगा।
दिया गया है $R_y = 4R$ और $R_x = R$,इसलिए $\frac{R_y}{R_x} = 4$.
दिया गया है $t_y = \frac{t}{4}$ और $t_x = t$,इसलिए $\frac{t_y}{t_x} = \frac{1}{4}$.
इन मानों को रखने पर: $\frac{I_y}{I_x} = \frac{1}{4} \times (4)^4 = \frac{256}{4} = 64$.
अतः,$I_y = 64I_x$.

(D) टॉर्क $\vec{\tau}$ को स्थिति सदिश $\vec{r}$ और बल सदिश $\vec{F}$ के सदिश गुणनफल (cross product) के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार,परिणामी सदिश $\vec{\tau}$ हमेशा उन दोनों सदिशों $\vec{r}$ और $\vec{F}$ के लंबवत होता है जो इसे बनाते हैं।
चूंकि दो लंबवत सदिशों का अदिश गुणनफल (dot product) हमेशा शून्य होता है,इसलिए हमारे पास $\vec{r} \cdot \vec{\tau} = 0$ और $\vec{F} \cdot \vec{\tau} = 0$ है।

(C) केंद्रों के बीच की प्रारंभिक दूरी $12R$ है। टक्कर तब होती है जब केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है,जो $R + 2R = 3R$ है।
इसलिए,टक्कर से पहले दोनों पिंडों द्वारा तय की गई कुल दूरी $12R - 3R = 9R$ है।
मान लीजिए कि $M$ और $5M$ द्रव्यमान वाले पिंडों द्वारा तय की गई दूरियाँ क्रमशः $x_1$ और $x_2$ हैं। चूंकि कोई बाहरी बल नहीं है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है। अतः,$M x_1 = 5M x_2$,जिससे $x_1 = 5x_2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $x_1 + x_2 = 9R$,इसलिए $5x_2 + x_2 = 9R$ रखने पर $6x_2 = 9R$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x_2 = 1.5R$।
तब,$x_1 = 5(1.5R) = 7.5R$।
छोटे पिंड ($M$ द्रव्यमान) द्वारा तय की गई दूरी $7.5R$ है।

(C) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दबाव $P$ और तापमान $T$ के बीच का संबंध $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है,जिसे $P T^{\frac{\gamma}{1-\gamma}} = \text{constant}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह दिया गया है कि $P \propto T^3$,इसलिए $P T^{-3} = \text{constant}$ है।
$T$ के घातांकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{\gamma}{1-\gamma} = -3$ प्राप्त होता है।
$\gamma$ के लिए हल करने पर:
$\gamma = -3(1-\gamma)$
$\gamma = -3 + 3\gamma$
$2\gamma = 3$
$\gamma = \frac{3}{2} = 1.5$.
चूंकि $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$,इसलिए अनुपात $1.5$ है।

(D) घूर्णी गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है: $\omega_2 = 2\omega_1$ और $K_2 = \frac{1}{2} K_1$.
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{K_1}{K_2} = \frac{I_1 \omega_1^2}{I_2 \omega_2^2} \Rightarrow 2 = \frac{I_1}{I_2} \left( \frac{\omega_1}{2\omega_1} \right)^2 = \frac{I_1}{I_2} \cdot \frac{1}{4}$.
अतः,$\frac{I_1}{I_2} = 8$,जिसका अर्थ है $I_2 = \frac{I_1}{8}$.
कोणीय संवेग $L = I\omega$ होता है।
इसलिए,$\frac{L_2}{L_1} = \frac{I_2 \omega_2}{I_1 \omega_1} = \left( \frac{1}{8} \right) \times (2) = \frac{1}{4}$.
अतः,$L_2 = \frac{L}{4}$.

(D) गेंद को $10 \, m$ की ऊँचाई से फेंका जाता है और हमें यह पता लगाना है कि जब वह वापस $10 \, m$ की ऊँचाई पर पहुँचती है तो उसकी क्षैतिज दूरी क्या होगी।
यह प्रक्षेप्य गति की क्षैतिज परास (Range) ज्ञात करने के समान है।
क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
दिया गया है: $u = 10 \, m/s$,$\theta = 30^{\circ}$,$g = 10 \, m/s^2$.
मान रखने पर: $R = \frac{10^2 \times \sin(2 \times 30^{\circ})}{10} = \frac{100 \times \sin(60^{\circ})}{10} = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$R = 5 \times 1.732 = 8.66 \, m$.
अतः,गेंद फेंकने के बिंदु से $8.66 \, m$ की दूरी पर जमीन से $10 \, m$ की ऊँचाई पर होगी।

(A) प्रारंभ में,$^{238}U$ नाभिक विरामावस्था में है। क्षय के बाद,$\alpha$ कण और शेष नाभिक विपरीत दिशाओं में गति करते हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$P_{\text{initial}} = P_{\text{final}}$
$0 = m_{\alpha}v_{\alpha} + m_{\text{residual}}V$
यहाँ,$m_{\alpha} = 4$ इकाई,$v_{\alpha} = -v$ (मानते हुए कि $\alpha$ कण ऋणात्मक दिशा में गति करता है),और $m_{\text{residual}} = 234$ इकाई है।
$0 = 4(-v) + 234V$
$234V = 4v$
$V = \frac{4v}{234}$
चूँकि प्रश्न में $\alpha$ कण के वेग की दिशा के सापेक्ष प्रतिक्षेप वेग पूछा गया है,इसलिए प्रतिक्षेप वेग $V = -\frac{4v}{234} \ m/s$ होगा।

(D) बिंदु $P$ पर कुल स्थिरवैद्युत विभव केंद्र पर स्थित बिंदु आवेश $Q$ के कारण विभव और $q$ आवेश वाले गोलीय कोश के कारण विभव का योग है।
$1$. केंद्र पर स्थित बिंदु आवेश $Q$ के कारण $r = \frac{R}{2}$ दूरी पर विभव $V_Q = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{R/2} = \frac{2Q}{4\pi \varepsilon_0 R}$ होता है।
$2$. $R$ त्रिज्या और $q$ आवेश वाले गोलीय चालक कोश के लिए,कोश के अंदर किसी भी बिंदु पर (केंद्र सहित) विभव स्थिर होता है और यह उसकी सतह पर विभव के बराबर होता है। अतः,कोश के कारण $r = \frac{R}{2}$ दूरी पर विभव $V_q = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{R}$ होता है।
$3$. बिंदु $P$ पर कुल विभव $V = V_Q + V_q = \frac{2Q}{4\pi \varepsilon_0 R} + \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R}$ होता है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स सतह के अंदर निहित कुल आवेश और मुक्त स्थान की पारगम्यता के अनुपात के बराबर होता है: $\Phi_{net} = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$.
यहाँ,सतह में प्रवेश करने वाला फ्लक्स $\varphi_1$ (ऋणात्मक फ्लक्स) है और सतह से बाहर निकलने वाला फ्लक्स $\varphi_2$ (धनात्मक फ्लक्स) है।
इसलिए,कुल फ्लक्स $\Phi_{net} = \varphi_2 - \varphi_1$ होगा।
इसे गॉस के नियम में प्रतिस्थापित करने पर: $\varphi_2 - \varphi_1 = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$।
अतः,सतह के अंदर का आवेश $Q_{enc} = (\varphi_2 - \varphi_1)\varepsilon_0$ होगा।

(C) $t$ मोटाई वाली परावैद्युत स्लैब युक्त समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र है:
$C = \frac{A \epsilon_0}{(d - t) + \frac{t}{K}}$
जहाँ $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है,$d$ उनके बीच की दूरी है,और $K$ परावैद्युतांक है।
जब $t$ मोटाई की धातु की शीट (एल्युमीनियम फॉयल) डाली जाती है,तो चालक के लिए परावैद्युतांक $K = \infty$ होता है।
सूत्र में $K = \infty$ रखने पर:
$C' = \frac{A \epsilon_0}{(d - t) + \frac{t}{\infty}} = \frac{A \epsilon_0}{d - t}$
यदि फॉयल की मोटाई $t$ नगण्य $(t \approx 0)$ है,तो:
$C' = \frac{A \epsilon_0}{d - 0} = \frac{A \epsilon_0}{d}$
चूंकि मूल धारिता $C = \frac{A \epsilon_0}{d}$ थी,इसलिए धारिता अपरिवर्तित रहती है।

(A) संधारित्र में संचित ऊर्जा,जो इसे आवेशित करने में किए गए कार्य के बराबर होती है,सूत्र $W = \frac{Q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
आवेश $Q = 8 \times 10^{-18} \, C$
धारिता $C = 100 \, \mu F = 100 \times 10^{-6} \, F = 10^{-4} \, F$
सूत्र में मान रखने पर:
$W = \frac{(8 \times 10^{-18})^2}{2 \times 10^{-4}}$
$W = \frac{64 \times 10^{-36}}{2 \times 10^{-4}}$
$W = 32 \times 10^{-32} \, J$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) मान लीजिए $+q_2$ द्वारा $-q_1$ पर लगाया गया बल $F_2$ है। विपरीत चिन्ह होने के कारण,यह बल आकर्षण का है और धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में कार्य करता है। अतः,$F_2 = k \frac{q_1 q_2}{b^2}$ है।
मान लीजिए $-q_3$ द्वारा $-q_1$ पर लगाया गया बल $F_3$ है। समान चिन्ह होने के कारण,यह बल प्रतिकर्षण का है। बल $F_3$ उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है,जो ऋणात्मक $y$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है। इसका परिमाण $F_3 = k \frac{q_1 q_3}{a^2}$ है।
$F_3$ का $x$-घटक $F_{3x} = F_3 \sin \theta = k \frac{q_1 q_3}{a^2} \sin \theta$ है,जो धनात्मक $x$-दिशा में कार्य करता है।
$-q_1$ पर कुल बल का $x$-घटक $F_x = F_2 + F_{3x} = k \frac{q_1 q_2}{b^2} + k \frac{q_1 q_3}{a^2} \sin \theta$ है।
अतः,$F_x = k q_1 \left( \frac{q_2}{b^2} + \frac{q_3}{a^2} \sin \theta \right)$ है।
इस प्रकार,$F_x \propto \left( \frac{q_2}{b^2} + \frac{q_3}{a^2} \sin \theta \right)$।

(D) तांबा एक धातु (चालक) है। धातुओं के लिए,जैसे-जैसे तापमान कम होता है,प्रतिरोध कम हो जाता है क्योंकि जाली आयनों (lattice ions) के साथ इलेक्ट्रॉनों के टकराने की आवृत्ति कम हो जाती है।
जर्मेनियम एक अर्धचालक है। अर्धचालकों के लिए,जैसे-जैसे तापमान कम होता है,प्रतिरोध बढ़ जाता है क्योंकि तापमान में कमी के साथ आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या तेजी से घटती है।
इसलिए,जब कमरे के तापमान से $80\, K$ तक ठंडा किया जाता है,तो तांबे की पट्टी का प्रतिरोध घटता है और जर्मेनियम की पट्टी का प्रतिरोध बढ़ता है।

$(A)$ मान लीजिए कि प्रारंभिक लंबाई $l_1 = l$ है। चूंकि तार का आयतन स्थिर रहता है, $V = A_1 l_1 = A_2 l_2$ होगा।
यह दिया गया है कि लंबाई में $100 \%$ की वृद्धि हुई है, इसलिए नई लंबाई $l_2 = l_1 + 1.00 l_1 = 2l_1$ होगी।
आयतन संरक्षण से, $A_1 l_1 = A_2 (2l_1) \Rightarrow A_2 = \frac{A_1}{2}$ प्राप्त होता है।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, प्रारंभिक प्रतिरोध $R_1 = \rho \frac{l_1}{A_1}$ और अंतिम प्रतिरोध $R_2 = \rho \frac{l_2}{A_2} = \rho \frac{2l_1}{A_1/2} = 4 \rho \frac{l_1}{A_1} = 4R_1$ होगा।
प्रतिरोध में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta R}{R_1} \times 100 = \frac{R_2 - R_1}{R_1} \times 100 = \frac{4R_1 - R_1}{R_1} \times 100 = 300 \%$ है।

(C) परिपथ आरेख से हम देख सकते हैं कि दो $3\,\Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं,और यह संयोजन तीसरे $3\,\Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समांतर क्रम में है।
सबसे पहले,श्रेणीक्रम में जुड़े दो प्रतिरोधकों का तुल्य प्रतिरोध ज्ञात करें: $R_s = 3\,\Omega + 3\,\Omega = 6\,\Omega$.
अब,यह $6\,\Omega$ का प्रतिरोधक शेष $3\,\Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समांतर क्रम में है।
परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होगा: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः,$R_{eq} = 2\,\Omega$.
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,परिपथ में कुल धारा $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{3\,V}{2\,\Omega} = 1.5\,A$ होगी।

(A) दिया गया है:
एमीटर की पूर्ण-स्केल धारा,$I_g = 1\, A$.
एमीटर का आंतरिक प्रतिरोध,$G = 0.81\, \Omega$.
एमीटर की वांछित सीमा,$I = 10\, A$.
माना कि $S$ आवश्यक शंट प्रतिरोध है।
एमीटर की सीमा बढ़ाने के लिए आवश्यक शंट प्रतिरोध का सूत्र है:
$S = \frac{I_g \cdot G}{I - I_g}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \frac{1 \cdot 0.81}{10 - 1}$
$S = \frac{0.81}{9}$
$S = 0.09\, \Omega$.
अतः,आवश्यक शंट प्रतिरोध $0.09\, \Omega$ है।

(A) पोटेंशियोमीटर के सिद्धांत के अनुसार,तार की $l$ लंबाई पर विभव पतन (potential drop) लंबाई के सीधे आनुपातिक होता है,बशर्ते पोटेंशियोमीटर के तार में धारा $i$ स्थिर रहे।
$V = kl$,जहाँ $k$ विभव प्रवणता (potential gradient) है $(k = \frac{E}{L})$।
दिया गया है: $L = 100 \, cm$,$E$ = मानक सेल का $emf$,$l = 30 \, cm$।
मापी जाने वाली बैटरी का $emf$ $V = \frac{E}{L} \times l$ है।
मान रखने पर: $V = \frac{E}{100} \times 30 = \frac{30E}{100}$।
नोट: संतुलन बिंदु पर,मापी जाने वाली बैटरी से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए इसका आंतरिक प्रतिरोध रीडिंग को प्रभावित नहीं करता है।

(D) बल्ब का प्रतिरोध $R$ स्थिर रहता है और इसे $R = \frac{V^2}{P}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बल्ब के लिए,$R = \frac{220^2}{1000} = \frac{48400}{1000} = 48.4\, \Omega$.
जब इसे $110\, V$ की आपूर्ति से जोड़ा जाता है,तो खपत की गई शक्ति $P' = \frac{V'^2}{R}$ द्वारा प्राप्त होती है।
$P' = \frac{110^2}{48.4} = \frac{12100}{48.4} = 250\, W$.
वैकल्पिक रूप से,अनुपात सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^2$.
$\frac{1000}{P_2} = \left( \frac{220}{110} \right)^2 = 2^2 = 4$.
$P_2 = \frac{1000}{4} = 250\, W$.

(B) थर्मोकपल द्वारा उत्पन्न थर्मो $e.m.f.$ $(e)$, थर्मो $e.m.f.$ गुणांक $(\alpha)$ और तापमान अंतर $(\Delta \theta)$ के गुणनफल के बराबर होता है: $e = \alpha \Delta \theta$.
ओम के नियम के अनुसार, $e.m.f.$ करंट $(i)$ और प्रतिरोध $(R)$ के गुणनफल के भी बराबर होता है: $e = iR$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\alpha \Delta \theta = iR$.
दिया गया है: $\alpha = 25\,\mu V/^{\circ}C = 25 \times 10^{-6}\,V/^{\circ}C$, $i = 10^{-5}\,A$, और $R = 40\,\Omega$.
मान रखने पर: $(25 \times 10^{-6}) \times \Delta \theta = 10^{-5} \times 40$.
$\Delta \theta = \frac{40 \times 10^{-5}}{25 \times 10^{-6}} = \frac{400}{25} = 16\,^{\circ}C$.
अतः, इस प्रणाली द्वारा पता लगाया जा सकने वाला सबसे छोटा तापमान अंतर $16\,^{\circ}C$ है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F}_m = Q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल $\vec{F}_m$ हमेशा वेग सदिश $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए बल हमेशा वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है (अभिकेंद्र बल)।
किया गया कार्य $W$ बल और विस्थापन का अदिश गुणनफल है: $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}$।
चूंकि चुंबकीय बल $\vec{F}_m$ वृत्ताकार पथ के प्रत्येक बिंदु पर विस्थापन $d\vec{s}$ के लंबवत होता है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल $\vec{F}_m \cdot d\vec{s} = F_m ds \cos(90^\circ) = 0$ होता है।
अतः,एक पूर्ण वृत्त में चुंबकीय क्षेत्र द्वारा कण पर किया गया कुल कार्य $0$ है।

(B) कण $x$-अक्ष पर बिना विक्षेपित हुए गति करता है,जिसका अर्थ है कि कण पर कार्य करने वाला कुल लॉरेंट्ज़ बल शून्य है।
लॉरेंट्ज़ बल का सूत्र $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ है।
कण के विक्षेपित न होने के लिए,विद्युत बल और चुंबकीय बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए: $q\vec{E} + q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$.
यहाँ $\vec{v} = v\hat{i}$,$\vec{B} = B\hat{j}$,और $\vec{E} = -E\hat{k}$ है।
चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(v\hat{i} \times B\hat{j}) = qvB\hat{k}$ होता है।
विद्युत बल $\vec{F}_e = q(-E\hat{k}) = -qE\hat{k}$ होता है।
दोनों के परिमाणों की तुलना करने पर: $qvB = qE$.
अतः,$B = E/v$.
दिए गए मानों को रखने पर: $B = \frac{10^4}{10} = 10^3 \, Wb/m^2$।

(A) चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं निरंतर बंद लूप बनाती हैं। चुंबक के बाहर,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं उत्तर ध्रुव से निकलती हैं और दक्षिण ध्रुव में प्रवेश करती हैं। चुंबक के भीतर,बंद लूप को पूरा करने के लिए,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं दक्षिण ध्रुव से उत्तर ध्रुव की ओर चलती हैं। अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव के दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
मूल चुंबक के लिए जिसका द्रव्यमान $m$ और लंबाई $l$ है,$I = \frac{ml^2}{12}$ और $M = m_s l$ (जहाँ $m_s$ ध्रुव शक्ति है)।
जब चुंबक को उसकी लंबाई के अनुदिश दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक टुकड़े के लिए: द्रव्यमान $m' = \frac{m}{2}$,लंबाई $l' = \frac{l}{2}$,और ध्रुव शक्ति $m_s' = m_s$ होती है।
नया जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{m' (l')^2}{12} = \frac{(m/2) (l/2)^2}{12} = \frac{1}{8} \left( \frac{ml^2}{12} \right) = \frac{I}{8}$।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = m_s l' = m_s (l/2) = \frac{M}{2}$।
नया आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{I'}{M'B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/8}{(M/2)B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{4MB}} = \frac{1}{2} \left( 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}} \right) = \frac{T}{2}$।
अतः,अनुपात $\frac{T'}{T} = \frac{1}{2}$ है।

(B) क्यूरी तापमान $(T_C)$ लौहचुंबकीय पदार्थों का एक विशिष्ट गुण है।
$T_C$ से कम तापमान पर,चुंबकीय डोमेन के संरेखण के कारण पदार्थ लौहचुंबकीय गुण प्रदर्शित करता है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है और $T_C$ तक पहुँचता है,तापीय हलचल इतनी प्रबल हो जाती है कि वह उस एक्सचेंज कपलिंग को समाप्त कर देती है जो इन डोमेन के संरेखण को बनाए रखती है।
परिणामस्वरूप,क्यूरी तापमान से ऊपर,पदार्थ अपना स्वतःस्फूर्त चुंबकत्व खो देता है और अनुचुंबकीय अवस्था में परिवर्तित हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(C) कुंडलियों के युग्म का अन्योन्य प्रेरकत्व $(M)$ एक ज्यामितीय गुण है जो कुंडलियों की भौतिक संरचना पर निर्भर करता है।
यह प्रत्येक कुंडली में फेरों की संख्या,उनके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल,उनके बीच की दूरी और उनके सापेक्ष अभिविन्यास द्वारा निर्धारित होता है।
यह कुंडलियों में प्रवाहित धारा या धारा परिवर्तन की दर पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(A) स्व-प्रेरण के कारण कुंडली में प्रेरित $e.m.f.$ का सूत्र $e = L \left| \frac{di}{dt} \right|$ है।
दिया गया है:
प्रारंभिक धारा $i_1 = +2 \, A$
अंतिम धारा $i_2 = -2 \, A$
धारा में परिवर्तन $di = i_2 - i_1 = -2 - 2 = -4 \, A$
समय अंतराल $dt = 0.05 \, s$
प्रेरित $e.m.f.$ $e = 8 \, V$
सूत्र में मान रखने पर:
$8 = L \times \frac{|-4|}{0.05}$
$8 = L \times \frac{4}{0.05}$
$8 = L \times 80$
$L = \frac{8}{80} = 0.1 \, H$.

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = hf - W_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $W_0$ कार्य फलन है।
पहले फोटो-कैथोड के लिए: $hf_1 = W_0 + \frac{1}{2}mv_1^2$ ... $(i)$
दूसरे फोटो-कैथोड के लिए: $hf_2 = W_0 + \frac{1}{2}mv_2^2$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$h(f_1 - f_2) = \frac{1}{2}m(v_1^2 - v_2^2)$
वेग के अंतर के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$v_1^2 - v_2^2 = \frac{2h}{m}(f_1 - f_2)$

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -\frac{13.6 \ Z^2}{n^2} \ eV$ है।
$Li^{++}$ (लिथियम आयन) के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $n = 2$ के अनुरूप होती है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,प्रथम उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_2 = -\frac{13.6 \times 3^2}{2^2} = -\frac{13.6 \times 9}{4} = -30.6 \ eV$ प्राप्त होती है।
बंधन ऊर्जा (इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा) इस ऊर्जा का परिमाण है,जो $30.6 \ eV$ है।

(A) रेडियोधर्मी क्षय में स्थिरता प्राप्त करने के लिए एक अस्थिर नाभिक से कणों का उत्सर्जन शामिल है।
सामान्य उत्सर्जन में शामिल हैं:
$1$. अल्फा कण ($He^{2+}$ नाभिक): अल्फा क्षय के दौरान उत्सर्जित होते हैं।
$2$. बीटा कण (इलेक्ट्रॉन या पॉज़िट्रॉन): बीटा क्षय के दौरान उत्सर्जित होते हैं ($n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e$ या $p \rightarrow n + e^+ + \nu_e$)।
$3$. गामा किरणें: परमाणु ऊर्जा स्तरों के बीच संक्रमण के दौरान उत्सर्जित उच्च-ऊर्जा फोटॉन।
प्रोटॉन आमतौर पर मानक रेडियोधर्मी क्षय प्रक्रियाओं के दौरान उत्सर्जित नहीं होते हैं (अत्यधिक प्रोटॉन-समृद्ध नाभिकों में प्रोटॉन उत्सर्जन जैसे दुर्लभ मामलों को छोड़कर,जिन्हें इस संदर्भ में मानक क्षय मोड नहीं माना जाता है)।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(B) किसी समय $t$ पर विघटन दर $A$ को $A = A_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$t = 0$ पर $A_0 = 5000$ विघटन प्रति मिनट।
$5$ मिनट बाद,$A = 1250$ विघटन प्रति मिनट।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $1250 = 5000 e^{-\lambda (5)}$.
दोनों पक्षों को $5000$ से विभाजित करने पर: $\frac{1250}{5000} = e^{-5\lambda}$.
$\frac{1}{4} = e^{-5\lambda}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(1/4) = -5\lambda$.
$-\ln(4) = -5\lambda$.
$\ln(2^2) = 5\lambda$.
$2 \ln 2 = 5\lambda$.
$\lambda = \frac{2}{5} \ln 2 = 0.4 \ln 2 \text{ प्रति मिनट}$.

(C) प्रारंभिक परमाणु क्रमांक $Z = 92$ है।
प्रत्येक $\alpha$ क्षय $Z$ को $2$ से कम करता है।
प्रत्येक $\beta^-$ क्षय $Z$ को $1$ से बढ़ाता है।
प्रत्येक $\beta^+$ क्षय $Z$ को $1$ से कम करता है।
उत्सर्जन की गणना:
- $\alpha$ कण: $8$
- $\beta^-$ कण: $4$
- $\beta^+$ कण: $2$
गणना: $Z_{final} = 92 - (8 \times 2) + (4 \times 1) - (2 \times 1) = 92 - 16 + 4 - 2 = 78$.

(C) आयनन विभव वह ऊर्जा है जो एक विलगित गैसीय परमाणु से सबसे ढीले बंधे इलेक्ट्रॉन को निकालने के लिए आवश्यक होती है।
दिए गए परमाणुओं में से,$_{55}^{133}Cs$ (सीज़ियम) आवर्त सारणी के पहले समूह और छठे आवर्त में स्थित एक क्षार धातु है।
दिए गए विकल्पों में इसका परमाणु आकार सबसे बड़ा है,जिसका अर्थ है कि सबसे बाहरी इलेक्ट्रॉन नाभिक से सबसे अधिक दूरी पर है।
बढ़ी हुई दूरी के कारण,नाभिक और संयोजी इलेक्ट्रॉन के बीच स्थिर वैद्युत आकर्षण बल सबसे कमजोर होता है।
परिणामस्वरूप,इस इलेक्ट्रॉन को निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा $_{55}^{133}Cs$ के मामले में सबसे कम होती है।

(D) स्पेक्ट्रमी रेखाओं की तरंगदैर्घ्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda} = R_M \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
जहाँ $R_M = \frac{R_{\infty}}{1 + \frac{m}{M}}$,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $M$ नाभिक का द्रव्यमान है।
चूंकि ड्यूटेरियम नाभिक का द्रव्यमान $(M_D \approx 2M_H)$ हाइड्रोजन नाभिक के द्रव्यमान $(M_H)$ से भिन्न होता है,इसलिए ड्यूटेरियम के लिए रिडबर्ग नियतांक $R_M$ हाइड्रोजन से थोड़ा भिन्न होता है।
परिणामस्वरूप,ड्यूटेरियम के लिए स्पेक्ट्रमी रेखाओं की तरंगदैर्घ्य हाइड्रोजन से भिन्न होती है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) $T$ तापमान पर गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2}kT$ द्वारा दी जाती है।
नाभिकीय संलयन अभिक्रिया शुरू करने के लिए,नाभिकों की गतिज ऊर्जा प्रतिकर्षी स्थितिज ऊर्जा अवरोध को पार करने के लिए पर्याप्त होनी चाहिए।
गतिज ऊर्जा को स्थितिज ऊर्जा के बराबर रखने पर: $\frac{3}{2}kT = 7.7 \times 10^{-14} \ J$.
बोल्ट्ज़मैन नियतांक $k = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$ का मान रखने पर:
$\frac{3}{2} \times (1.38 \times 10^{-23}) \times T = 7.7 \times 10^{-14}$.
$2.07 \times 10^{-23} \times T = 7.7 \times 10^{-14}$.
$T = \frac{7.7 \times 10^{-14}}{2.07 \times 10^{-23}} \approx 3.72 \times 10^9 \ K$.
निकटतम परिमाण की कोटि में,तापमान लगभग $10^9 \ K$ है।

(C) धातुओं में,मुक्त आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों) की संख्या तापमान के साथ अनिवार्य रूप से स्थिर रहती है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,जाली कंपन (lattice vibrations) द्वारा इलेक्ट्रॉनों का प्रकीर्णन (scattering) बढ़ जाता है,जिससे प्रतिरोध में वृद्धि होती है।
अर्धचालकों में,संयोजी बैंड (valence band) से चालन बैंड (conduction band) में इलेक्ट्रॉनों के तापीय उत्तेजन के कारण तापमान के साथ आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या तेजी से बढ़ती है। आवेश वाहकों की संख्या में यह वृद्धि प्रकीर्णन प्रभाव पर हावी हो जाती है,जिससे तापमान बढ़ने पर प्रतिरोध कम हो जाता है।
अतः,मूलभूत अंतर तापमान के साथ आवेश वाहकों की संख्या में परिवर्तन के कारण उत्पन्न होता है।

(D) $PN$ जंक्शन में,डिप्लेशन परत आवेश वाहकों के विसरण (diffusion) के कारण बनती है। जब जंक्शन रिवर्स-बायस्ड होता है,तो डिप्लेशन परत की चौड़ाई बढ़ जाती है। डिप्लेशन क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र $N$-साइड से $P$-साइड की ओर निर्देशित होता है। डिप्लेशन परत के बिल्कुल केंद्र में,$P$-साइड और $N$-साइड के आयनों के कारण उत्पन्न विद्युत क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जिसके परिणामस्वरूप नेट विद्युत क्षेत्र शून्य हो जाता है।

(C) $\theta$ कोण पर झुके हुए दो समतल दर्पणों द्वारा बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n$ का सूत्र है:
$n = \frac{360^\circ}{\theta} - 1$
दिया गया है कि प्रतिबिंबों की संख्या $n = 3$ है, इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$3 = \frac{360^\circ}{\theta} - 1$
$3 + 1 = \frac{360^\circ}{\theta}$
$4 = \frac{360^\circ}{\theta}$
$\theta = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$
अतः, दर्पणों को $90^\circ$ के कोण पर रखा जाना चाहिए।

(C) सही उत्तर $C$ है। ऑप्टिकल फाइबर जानकारी को विद्युत धाराओं के बजाय प्रकाश तरंगों के रूप में प्रसारित करते हैं। चूंकि वे ढांकता हुआ सामग्री (कांच या प्लास्टिक) से बने होते हैं,इसलिए वे बिजली का संचालन नहीं करते हैं। इसलिए,वे बाहरी स्रोतों,जैसे कि बिजली लाइनों या रेडियो आवृत्ति संकेतों से विद्युत चुम्बकीय हस्तक्षेप $(EMI)$ से प्रभावित नहीं होते हैं। कथन $A$,$B$,और $D$ ऑप्टिकल फाइबर की सही विशेषताएं हैं।

(B) दूरदर्शी की विभेदन क्षमता $(R.P.)$ को दो दूरस्थ वस्तुओं के बीच के उस न्यूनतम कोणीय पृथक्करण के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिन्हें दूरदर्शी द्वारा अलग-अलग देखा जा सके।
गणितीय रूप से,विभेदन क्षमता का संबंध $R.P. = \frac{D}{1.22 \lambda}$ है,जहाँ $D$ अभिदृश्यक लेंस का व्यास (द्वारक) है और $\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है।
चूंकि $R.P. \propto D$ होता है,इसलिए अभिदृश्यक लेंस का द्वारक $D$ बढ़ाने से दूरदर्शी की विभेदन क्षमता सीधे बढ़ जाती है,जिससे यह दूर की वस्तुओं के सूक्ष्म विवरणों को स्पष्ट रूप से देख पाता है।

(A) व्यतिकरण की घटना को देखने के लिए,प्रकाश के दो स्रोतों का कला-संबद्ध (coherent) होना आवश्यक है।
कला-संबद्ध स्रोत वे स्रोत होते हैं जो समान आवृत्ति का विकिरण उत्सर्जित करते हैं और समय के साथ एक स्थिर कलांतर (phase difference) बनाए रखते हैं।
यदि कलांतर यादृच्छिक रूप से बदलता रहता है,तो व्यतिकरण पैटर्न स्थिर नहीं होगा और दिखाई नहीं देगा।
इसलिए,सही आवश्यकता यह है कि स्रोतों की आवृत्ति समान होनी चाहिए और उनके बीच एक निश्चित (स्थिर) कला संबंध होना चाहिए।

(A) विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम को तरंगदैर्ध्य के आधार पर व्यवस्थित किया जाता है। दिए गए विकल्पों में से,$\gamma$-किरणों की आवृत्ति सबसे अधिक होती है और इसलिए उनकी तरंगदैर्ध्य सबसे कम होती है।
तरंगदैर्ध्य की तुलना: $\lambda_{\gamma\text{-rays}} < \lambda_{X\text{-rays}}$।
ध्यान दें कि $\alpha$-किरणें और $\beta$-किरणें कण विकिरण हैं (क्रमशः हीलियम नाभिक और इलेक्ट्रॉन) और वे फोटॉन की तरह विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम का हिस्सा नहीं हैं; हालाँकि,उच्च-ऊर्जा भौतिकी के संदर्भ में,सूचीबद्ध विकल्पों में $\gamma$-किरणों की तरंगदैर्ध्य सबसे कम होती है।

(B) ट्रांसफार्मर का कोर भंवर धाराओं (eddy currents) के कारण होने वाली ऊर्जा हानि को कम करने के लिए लैमिनेटेड किया जाता है। जब समय के साथ बदलने वाला चुंबकीय फ्लक्स धात्विक कोर से गुजरता है,तो यह कोर में भंवर धाराएं प्रेरित करता है,जिससे ऊष्मा उत्पन्न होती है और ऊर्जा का ह्रास होता है। पतली,इंसुलेटेड लैमिनेटेड शीट का उपयोग करके,इन भंवर धाराओं के लिए मार्ग सीमित हो जाता है,जिससे धाराओं का परिमाण काफी कम हो जाता है और इस प्रकार ऊर्जा की हानि न्यूनतम हो जाती है।

(C) $L-C$ परिपथ में कुल ऊर्जा स्थिर रहती है और इसे $U = U_E + U_B$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $U_E = \frac{q^2}{2C}$ विद्युत ऊर्जा है और $U_B = \frac{1}{2}Li^2$ चुंबकीय ऊर्जा है।
अधिकतम आवेश $Q$ पर,धारा $i = 0$ होती है,इसलिए कुल ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C}$ है।
जब ऊर्जा विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के बीच समान रूप से संग्रहीत होती है,तो $U_E = U_B$ होता है।
चूंकि $U = U_E + U_B$,इसलिए $U_E = \frac{1}{2}U$ होता है।
ऊर्जा के व्यंजक रखने पर:
$\frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2} \left( \frac{Q^2}{2C} \right)$
$\frac{q^2}{2C} = \frac{Q^2}{4C}$
$q^2 = \frac{Q^2}{2}$
$q = \frac{Q}{\sqrt{2}}$

(C) निर्वात में प्रकाश की चाल $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ संबंध द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।
चाल $c$ की विमा $[L T^{-1}]$ है।
अतः,$\frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ की विमा $[c^2] = [L T^{-1}]^2 = [L^2 T^{-2}] = L^2 / T^2$ होगी।