AIEEE 2012 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) $(y^{1/5} + x^{1/10})^{55}$ के विस्तार में,सामान्य पद इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{55}C_r (y^{1/5})^{55-r} (x^{1/10})^r = {}^{55}C_r \cdot y^{11 - r/5} \cdot x^{r/10}$.
पद को रेडिकल चिह्नों से मुक्त होने के लिए,$x$ और $y$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
इसके लिए $r/5$ और $r/10$ का पूर्णांक होना आवश्यक है।
चूंकि $0 \le r \le 55$,इसलिए $r$ को $10$ का गुणज होना चाहिए ($5$ और $10$ का लघुत्तम समापवर्त्य)।
$r$ के संभावित मान $0, 10, 20, 30, 40, 50$ हैं।
ऐसे $6$ मान हैं,जो पदों $T_1, T_{11}, T_{21}, T_{31}, T_{41}, T_{51}$ के अनुरूप हैं।
अतः,रेडिकल चिह्नों से मुक्त पदों की संख्या $6$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$3 \sin P + 4 \cos Q = 6$ $(1)$
$4 \sin Q + 3 \cos P = 1$ $(2)$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3 \sin P + 4 \cos Q)^2 + (4 \sin Q + 3 \cos P)^2 = 6^2 + 1^2$
$9 \sin^2 P + 16 \cos^2 Q + 24 \sin P \cos Q + 16 \sin^2 Q + 9 \cos^2 P + 24 \sin Q \cos P = 37$
$9(\sin^2 P + \cos^2 P) + 16(\sin^2 Q + \cos^2 Q) + 24 \sin(P + Q) = 37$
$25 + 24 \sin(P + Q) = 37$
$\sin(P + Q) = \frac{1}{2}$
चूंकि $P + Q + R = \pi$,इसलिए $\sin(P + Q) = \sin R = \frac{1}{2}$.
अतः $R = \frac{\pi}{6}$ या $R = \frac{5\pi}{6}$.
यदि $R = \frac{5\pi}{6}$ है,तो $P + Q = \frac{\pi}{6}$,जो समीकरण $(1)$ को संतुष्ट नहीं करता है।
इसलिए,$R = \frac{\pi}{6}$।

(A) दिया गया है कि $\frac{z^2}{z-1}$ वास्तविक है,इसलिए यह अपने संयुग्मी (conjugate) के बराबर होना चाहिए: $\frac{z^2}{z-1} = \frac{\overline{z}^2}{\overline{z}-1}$.
वज्र-गुणन करने पर: $z^2(\overline{z}-1) = \overline{z}^2(z-1)$.
पदों का विस्तार करने पर: $z^2\overline{z} - z^2 = \overline{z}^2z - \overline{z}^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $z^2\overline{z} - \overline{z}^2z - z^2 + \overline{z}^2 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $z\overline{z}(z-\overline{z}) - (z-\overline{z})(z+\overline{z}) = 0$.
$(z-\overline{z})(z\overline{z} - (z+\overline{z})) = 0$.
इसका अर्थ है कि या तो $z-\overline{z} = 0$ या $z\overline{z} - z - \overline{z} = 0$.
$z-\overline{z} = 0$ का अर्थ है कि $z$ वास्तविक है (वास्तविक अक्ष पर स्थित है)।
$z\overline{z} - z - \overline{z} = 0$ को $(z-1)(\overline{z}-1) = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है,अर्थात $|z-1|^2 = 1$,जो $1$ केंद्र और $1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है। यह वृत्त मूल बिंदु से गुजरता है क्योंकि $|0-1| = 1$.
अतः,$z$ वास्तविक अक्ष पर या मूल बिंदु से गुजरने वाले वृत्त पर स्थित है।

(D) $n_1$ समान वस्तुओं,$n_2$ समान वस्तुओं और $n_3$ समान वस्तुओं में से चयन करने के तरीकों की संख्या $(n_1 + 1)(n_2 + 1)(n_3 + 1)$ होती है।
यहाँ,$n_1 = 10$ (सफेद),$n_2 = 9$ (हरी),और $n_3 = 7$ (काली)।
कोई भी गेंद न चुने जाने वाले मामले सहित कुल तरीके $= (10 + 1) \times (9 + 1) \times (7 + 1) = 11 \times 10 \times 8 = 880$।
चूंकि हमें एक या अधिक गेंदें चुननी हैं,इसलिए हम उस मामले को घटा देंगे जिसमें कोई गेंद नहीं चुनी जाती है (अर्थात $1$ घटाएं)।
तरीकों की संख्या $= 880 - 1 = 879$।

(A) माना $x = (\sqrt{3} + 1)^{2n}$ और $y = (\sqrt{3} - 1)^{2n}$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(\sqrt{3} + 1)^{2n} - (\sqrt{3} - 1)^{2n}$ का विस्तार करने पर यह एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है।

(D) कथन-$2$: योग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - (k-1)^3) = (1^3 - 0^3) + (2^3 - 1^3) + \dots + (n^3 - (n-1)^3) = n^3$. यह सत्य है।
कथन-$1$: श्रेणी का $k$-वां पद $T_k = (k-1)^2 + (k-1)k + k^2 = 3k^2 - 3k + 1$ है।
हम जानते हैं कि $k^3 - (k-1)^3 = 3k^2 - 3k + 1$. अतः,$T_k = k^3 - (k-1)^3$.
श्रेणी $\sum_{k=1}^{20} T_k = \sum_{k=1}^{20} (k^3 - (k-1)^3) = 20^3 = 8000$ है।
चूंकि अंतिम पद $361+380+400 = 19^2 + 19 \times 20 + 20^2$ है,यह $k=20$ के अनुरूप है।
दोनों कथन सत्य हैं और कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

(A) माना वृत्त का केंद्र $C(1,h)$ है।
चूंकि वृत्त $x-$अक्ष को $(1,0)$ पर स्पर्श करता है,इसलिए वृत्त की त्रिज्या $|h|$ है।
वृत्त $(2,3)$ बिंदु से होकर गुजरता है,इसलिए दूरी $CB$ त्रिज्या $|h|$ के बराबर होनी चाहिए।
$CB^2 = h^2$
$(2-1)^2 + (3-h)^2 = h^2$
$1^2 + (9 - 6h + h^2) = h^2$
$1 + 9 - 6h = 0$
$10 = 6h$
$h = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
वृत्त का व्यास $2|h| = 2 \times \frac{5}{3} = \frac{10}{3}$ है।

(D) वृत्त $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ की त्रिज्या $r_1 = 1$ है,इसलिए इसका व्यास $2$ है। दिया गया है कि यह अर्ध-लघु अक्ष है,अतः $b = 2$.
वृत्त $x^2 + (y - 2)^2 = 4$ की त्रिज्या $r_2 = 2$ है,इसलिए इसका व्यास $4$ है। दिया गया है कि यह अर्ध-दीर्घ अक्ष है,अतः $a = 4$.
मूल बिंदु पर केंद्रित और निर्देशांक अक्षों पर स्थित अक्षों वाले दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
$a = 4$ और $b = 2$ मान रखने पर,हमें $\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ प्राप्त होता है।
$\Rightarrow \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$.
$16$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 + 4y^2 = 16$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए प्रेक्षण ${x_1}, {x_2}, \ldots, {x_n}$ हैं जिनका माध्य $\bar x$ और प्रसरण ${\sigma ^2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2$ है।
कथन-$2$ के लिए: $2{x_1}, 2{x_2}, \ldots, 2{x_n}$ का माध्य $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (2x_i) = 2 \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \right) = 2\bar x$ है।
अतः कथन-$2$ गलत है।
कथन-$1$ के लिए: $2{x_1}, 2{x_2}, \ldots, 2{x_n}$ का प्रसरण $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (2x_i - 2\bar x)^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 4(x_i - \bar x)^2 = 4 \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2 \right) = 4{\sigma ^2}$ है।
अतः कथन-$1$ सही है।
इसलिए,कथन-$1$ सही है और कथन-$2$ गलत है।

(B) दिया गया समीकरण $e^{\sin x} - e^{-\sin x} - 4 = 0$ है।
माना $e^{\sin x} = t$ है। चूँकि $e^{\sin x} > 0$,इसलिए $t > 0$ होना चाहिए।
समीकरण $t - \frac{1}{t} - 4 = 0$ हो जाता है।
$t$ से गुणा करने पर,$t^2 - 4t - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$t = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $t > 0$,हम $t = 2 - \sqrt{5}$ को अस्वीकार करते हैं (क्योंकि $2 - \sqrt{5} < 0$)।
अतः,$e^{\sin x} = 2 + \sqrt{5}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\sin x = \ln(2 + \sqrt{5})$।
चूँकि $\ln(2 + \sqrt{5}) > 1$ और $\sin x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $x$ का कोई वास्तविक मान संभव नहीं है।
अतः,समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(A) मान लीजिए $p$ कथन "मैं शिक्षक बनूँगा" है और $q$ कथन "मैं एक स्कूल खोलूँगा" है।
दिया गया कथन एक निहितार्थ (implication) के रूप में है: $p \implies q$।
निहितार्थ $p \implies q$ का निषेध $\sim(p \implies q) \equiv p \land \sim q$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$p$ "मैं शिक्षक बनूँगा" है और $\sim q$ "मैं स्कूल नहीं खोलूँगा" है।
अतः,निषेध "मैं शिक्षक बनूँगा और मैं स्कूल नहीं खोलूँगा" है।

(D) माना शीर्ष $A(5, -1)$,$B(-2, 3)$ और $C(h, k)$ हैं। लंबकेंद्र $H$ का मान $(0, 0)$ है।
चूंकि $CH \perp AB$,$AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{3 - (-1)}{-2 - 5} = -\frac{4}{7}$ है।
शीर्षलंब $CH$ की ढाल $m_{CH} = -\frac{1}{m_{AB}} = \frac{7}{4}$ है।
$CH$ बिंदु $(0, 0)$ और $(h, k)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{k}{h} = \frac{7}{4}$,जिसका अर्थ है $7h - 4k = 0$ ---$(1)$.
इसी प्रकार,$AH \perp BC$ होने के कारण,$BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{k - 3}{h + 2}$ है।
शीर्षलंब $AH$ की ढाल $m_{AH} = \frac{0 - (-1)}{0 - 5} = -\frac{1}{5}$ है।
$AH \perp BC$ होने के कारण,$m_{BC} \times m_{AH} = -1$,इसलिए $\left(\frac{k - 3}{h + 2}\right) \times \left(-\frac{1}{5}\right) = -1$.
$\frac{k - 3}{h + 2} = 5$ $\Rightarrow k - 3 = 5h + 10$ $\Rightarrow 5h - k + 13 = 0$ ---$(2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर: $(1)$ से,$k = \frac{7h}{4}$. $(2)$ में रखने पर: $5h - \frac{7h}{4} + 13 = 0$.
$\frac{20h - 7h}{4} + 13 = 0$ $\Rightarrow 13h = -52$ $\Rightarrow h = -4$.
तब $k = \frac{7(-4)}{4} = -7$.
अतः,तीसरा शीर्ष $(-4, -7)$ है।

(C) माना $G.P.$ के पद $a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, ar^5$ हैं,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $r$ सार्व अनुपात है।
दी गई शर्तों के अनुसार:
$ar^3 - a = 52 \Rightarrow a(r^3 - 1) = 52 \quad ......(1)$
$a + ar + ar^2 = 26 \Rightarrow a(1 + r + r^2) = 26 \quad ......(2)$
हम जानते हैं कि $r^3 - 1 = (r - 1)(r^2 + r + 1)$.
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a(r - 1)(r^2 + r + 1)}{a(1 + r + r^2)} = \frac{52}{26}$
$r - 1 = 2 \Rightarrow r = 3$.
$r = 3$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$a(1 + 3 + 9) = 26$ $\Rightarrow 13a = 26$ $\Rightarrow a = 2$.
पहले छह पदों का योग $S_6 = a(1 + r + r^2 + r^3 + r^4 + r^5) = a(1 + r + r^2)(1 + r^3)$ है।
$S_6 = 26 \times (1 + 3^3) = 26 \times (1 + 27) = 26 \times 28 = 728$.

(B) द्विघात समीकरण $(k-2)x^2 + 8x + k+4 = 0$ के मूल वास्तविक और भिन्न होने के लिए विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए:
$D = 8^2 - 4(k-2)(k+4) > 0$
$64 - 4(k^2 + 2k - 8) > 0$
$16 - (k^2 + 2k - 8) > 0$
$-k^2 - 2k + 24 > 0 \Rightarrow k^2 + 2k - 24 < 0$
$(k+6)(k-4) < 0 \Rightarrow -6 < k < 4$
मूलों के ऋणात्मक होने के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{8}{k-2} < 0$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{k+4}{k-2} > 0$ होना चाहिए।
$\alpha + \beta < 0$ से: $\frac{8}{k-2} > 0 \Rightarrow k > 2$।
$\alpha \beta > 0$ से: $\frac{k+4}{k-2} > 0 \Rightarrow k < -4$ या $k > 2$।
सभी शर्तों को संयोजित करने पर: $(-6 < k < 4)$ और $(k > 2)$ और $(k < -4 \text{ या } k > 2)$।
प्रतिच्छेदन $2 < k < 4$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों में से,केवल $k = 3$ ही $2 < k < 4$ को संतुष्ट करता है।

(A) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि यह $(K, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\frac{K^2}{9} - \frac{4}{b^2} = 1$ $(1).$
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$ दी गई है।
यहाँ $a^2 = 9$ है,इसलिए $\sqrt{1 + \frac{b^2}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 + \frac{b^2}{9} = \frac{13}{9}.$
$\frac{b^2}{9} = \frac{13}{9} - 1 = \frac{4}{9},$ जिससे $b^2 = 4$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ में $b^2 = 4$ रखने पर,$\frac{K^2}{9} - \frac{4}{4} = 1.$
$\frac{K^2}{9} - 1 = 1 \Rightarrow \frac{K^2}{9} = 2.$
अतः,$K^2 = 18.$

(C) समुच्चय $A = \{a_1, a_2, \dots, a_{20}\}$ में $20$ भिन्न अवयव हैं।
$5$-अवयवों वाले उपसमुच्चयों की कुल संख्या $^{20}C_5$ है।
$a_4$ को समाहित करने वाले $5$-अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या शेष $19$ अवयवों में से $4$ अवयवों को चुनने के बराबर है,जो $^{19}C_4$ है।
प्रश्न के अनुसार,$^{20}C_5 = k \times ^{19}C_4$ है।
सूत्र $^nC_r = \frac{n}{r} \times ^{n-1}C_{r-1}$ का उपयोग करने पर,$^{20}C_5 = \frac{20}{5} \times ^{19}C_4$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = \frac{20}{5} = 4$।

(C) रेखाओं के समीकरण:
$L_1: x + 3y = 4$
$L_2: 3x + y = 4$
$L_3: x + y = 0$
शीर्षों को ज्ञात करने के लिए समीकरणों को हल करने पर:
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $B = (1, 1)$
$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $A = (-2, 2)$
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $C = (2, -2)$
भुजाओं की लंबाई:
$AB = \sqrt{10}$
$BC = \sqrt{10}$
$AC = \sqrt{32}$
चूँकि $AB = BC$ है,इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु है।

(D) वृत्त $S = x^2 + y^2 - 4x - 6y - 21 = 0$ और रेखा $L = 3x + 4y + 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S + \lambda L = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2 + y^2 - 4x - 6y - 21) + \lambda(3x + 4y + 5) = 0$
चूंकि यह वृत्त बिंदु $(1, 2)$ से गुजरता है,इसलिए $x = 1$ और $y = 2$ रखने पर:
$(1^2 + 2^2 - 4(1) - 6(2) - 21) + \lambda(3(1) + 4(2) + 5) = 0$
$-32 + 16\lambda = 0$
$\lambda = 2$
$\lambda = 2$ का मान समीकरण में रखने पर:
$(x^2 + y^2 - 4x - 6y - 21) + 2(3x + 4y + 5) = 0$
$x^2 + y^2 + 2x + 2y - 11 = 0$.

(D) बहुलक वर्ग वह वर्ग है जिसकी आवृत्ति सबसे अधिक होती है। यहाँ बहुलक $140$ है,जो $100-150$ वर्ग में आता है,इसलिए बहुलक वर्ग $100-150$ है।
बहुलक का सूत्र:
$Mode = L + \left( \frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2} \right) \times h$
जहाँ:
$L = 100$,$f_1 = 37$,$f_0 = 33$,$f_2 = b$,$h = 50$
मान रखने पर:
$140 = 100 + \left( \frac{37 - 33}{2(37) - 33 - b} \right) \times 50$
$40 = \frac{200}{41 - b}$
$41 - b = 5$
$b = 36$

(A) दी गई श्रेणी $S = (1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2m-1)^2) + 2(2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + (2m)^2)$ है।
विषम संख्याओं के वर्गों का योग $\sum_{k=1}^{m} (2k-1)^2 = \frac{m(2m-1)(2m+1)}{3}$ है।
सम संख्याओं के वर्गों का योग $2 \times \sum_{k=1}^{m} (2k)^2 = 8 \sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{4m(m+1)(2m+1)}{3}$ है।
दोनों को जोड़ने पर,$S = \frac{m(2m+1)}{3} [ (2m-1) + 4(m+1) ] = m(2m+1)^2$ प्राप्त होता है।

(A) माना दो खंभे $OA$ और $BC$ एक क्षैतिज तल $OB$ पर स्थित हैं। $OA = 20\,m$ और $BC = 80\,m$ है। उनके बीच की दूरी $OB = a$ है।
निर्देशांक पद्धति के अनुसार $O(0, 0)$,$A(0, 20)$,$B(a, 0)$,और $C(a, 80)$ लेते हैं।
पहले खंभे के शीर्ष $A(0, 20)$ को दूसरे खंभे के पाद $B(a, 0)$ से जोड़ने वाली रेखा का समीकरण:
$y - 0 = \frac{20 - 0}{0 - a}(x - a) \Rightarrow y = -\frac{20}{a}(x - a) \quad \dots(1)$
दूसरे खंभे के शीर्ष $C(a, 80)$ को पहले खंभे के पाद $O(0, 0)$ से जोड़ने वाली रेखा का समीकरण:
$y - 0 = \frac{80 - 0}{a - 0}(x - 0) \Rightarrow y = \frac{80}{a}x \quad \dots(2)$
प्रतिच्छेदन बिंदु $M$ ज्ञात करने के लिए,$(1)$ और $(2)$ की तुलना करते हैं:
$\frac{80}{a}x = -\frac{20}{a}(x - a)$
$80x = -20x + 20a$
$100x = 20a \Rightarrow x = \frac{a}{5}$
$x = \frac{a}{5}$ को $(2)$ में रखने पर:
$y = \frac{80}{a} \times \frac{a}{5} = 16\,m$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु की ऊँचाई $16\,m$ है।

(D) परवलय $y^2 = -4ax$ के लिए,$m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ है।
यहाँ,$4a = 4$,इसलिए $a = 1$ है। परवलय $y^2 = -4x$ है,इसलिए यह बाईं ओर खुलता है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx - \frac{1}{m}$ है। अतः,कथन $1$ सत्य है।
स्पर्शरेखा $y = mx - \frac{1}{m}$ के लिए,अक्ष $(y=0)$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $0 = mx - \frac{1}{m}$ है,जिससे $x = \frac{1}{m^2}$ प्राप्त होता है।
सभी $m \neq 0$ के लिए $m^2 > 0$ होता है,इसलिए $x = \frac{1}{m^2} > 0$ है। अतः,भुज हमेशा धनात्मक (गैर-ऋणात्मक) होता है। कथन $2$ सत्य है।
कथन $2$ स्पर्शरेखा के एक गुण का वर्णन करता है,लेकिन यह कथन $1$ में दिए गए स्पर्शरेखा के समीकरण के लिए तार्किक व्युत्पत्ति या व्याख्या नहीं है। इसलिए,कथन $2$,कथन $1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(B) कथन $1$ घटाव के लिए त्रिभुज असमिका है,जो बताती है कि $|Z_1 - Z_2| \ge ||Z_1| - |Z_2||$,और चूंकि $||Z_1| - |Z_2|| \ge |Z_1| - |Z_2|$,इसलिए कथन $1$ सत्य है।
कथन $2$ योग के लिए मानक त्रिभुज असमिका है,जो सम्मिश्र संख्याओं के मापांक का एक मूलभूत गुण है और यह भी सत्य है।
हालाँकि,कथन $2$ कथन $1$ की व्याख्या नहीं करता है क्योंकि ये दोनों सम्मिश्र संख्याओं के मापांक के स्वतंत्र गुण हैं।

(D) The given expression is a finite geometric series with first term $a = 1$, common ratio $r = -(y - 1)$, and $n = 18$ terms.
The sum is given by $f(y) = \frac{1 - (-(y - 1))^{18}}{1 - (-(y - 1))} = \frac{1 - (y - 1)^{18}}{y}$.
Thus, $f(y) = \frac{1}{y} - \frac{(y - 1)^{18}}{y}$.
Expanding $(y - 1)^{18}$ using the binomial theorem: $(y - 1)^{18} = \sum_{k=0}^{18} {^{18}C_k} y^k (-1)^{18-k}$.
Therefore, $\frac{(y - 1)^{18}}{y} = \sum_{k=0}^{18} {^{18}C_k} y^{k-1} (-1)^{18-k}$.
To find the coefficient of $y^2$, we set $k - 1 = 2$, which gives $k = 3$.
The term for $k = 3$ is ${^{18}C_3} y^2 (-1)^{18-3} = -{^{18}C_3} y^2$.
Since $f(y) = \frac{1}{y} - \sum_{k=0}^{18} {^{18}C_k} y^{k-1} (-1)^{18-k}$, the coefficient of $y^2$ is $-(-{^{18}C_3}) = {^{18}C_3}$.

(B) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{x - \sin x}}{x}} \right)\sin \left( {\frac{1}{x}} \right)$.
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {1 - \frac{\sin x}{x}} \right) \sin \left( {\frac{1}{x}} \right)$.
हम जानते हैं कि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,इसलिए $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {1 - \frac{\sin x}{x}} \right) = 1 - 1 = 0$.
पद $\sin \left( {\frac{1}{x}} \right)$,$x \to 0$ होने पर $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है,जिसका अर्थ है कि यह एक परिबद्ध फलन है।
स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,चूंकि पहले भाग की सीमा $0$ है और दूसरा भाग परिबद्ध है,इसलिए गुणनफल $0 \times (\text{परिबद्ध मान}) = 0$ होगा।
अतः,सीमा $0$ है।

(A) विकल्प $(A)$ के लिए: $p \Rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक $\sim q \Rightarrow \sim p$ होता है। यहाँ $p$ का मान $3x + 2 = 8$ है और $q$ का मान $x = 2$ है। अतः,$\sim q \Rightarrow \sim p$ का मान $x \neq 2 \Rightarrow 3x + 2 \neq 8$ है। यह सत्य है।
विकल्प $(B)$ के लिए: $p \Rightarrow q$ का विलोम $q \Rightarrow p$ होता है। $\tan x = 0 \Rightarrow x = 0$ का विलोम $x = 0 \Rightarrow \tan x = 0$ है। अतः,$(B)$ असत्य है।
विकल्प $(C)$ के लिए: $p \Rightarrow q$ का मान $\sim p \vee q$ के समतुल्य होता है,न कि $p \vee \sim q$ के। अतः,$(C)$ असत्य है।
विकल्प $(D)$ के लिए: $p \vee q$ (वियोजन) और $p \wedge q$ (संयोजन) की सत्यता सारणी अलग-अलग होती है। अतः,$(D)$ असत्य है।

(D) दी गई असमिका $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2p(ab + bc + cd) + (b^2 + c^2 + d^2) \le 0$ है।
इसे इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:
$(a^2p^2 - 2abp + b^2) + (b^2p^2 - 2bpc + c^2) + (c^2p^2 - 2pcd + d^2) \le 0$।
यह सरल होकर निम्न रूप लेता है:
$(ap - b)^2 + (bp - c)^2 + (cp - d)^2 \le 0$।
चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए योग $\le 0$ तभी संभव है जब प्रत्येक पद शून्य हो:
$ap - b = 0$,$bp - c = 0$,और $cp - d = 0$।
इसका अर्थ है $p = \frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c}$।
अतः,$a, b, c, d$ $G.P.$ में हैं।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $x^2 = 8y$ है।
इसे मानक रूप $x^2 = 4ay$ के साथ तुलना करने पर,हमें $4a = 8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 2$।
परवलय का शीर्ष $C = (0, 0)$ है।
नाभिलंब के सिरे $A = (-2a, a) = (-4, 2)$ और $B = (2a, a) = (4, 2)$ हैं।
हमें शीर्षों $A(-4, 2)$,$B(4, 2)$,और $C(0, 0)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।
$(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-4(2 - 0) + 4(0 - 2) + 0(2 - 2)|$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-4(2) + 4(-2) + 0| = \frac{1}{2} |-8 - 8| = \frac{1}{2} |-16| = 8$।
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $8$ वर्ग इकाई है।

(B) माना त्रिभुज $ABC$ में $\frac{b+c}{11}=\frac{c+a}{12}=\frac{a+b}{13}=K$ है।
$\Rightarrow b+c=11K, c+a=12K, a+b=13K$.
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $2(a+b+c) = 36K \Rightarrow a+b+c = 18K$.
प्रत्येक समीकरण को योग से घटाने पर:
$a = 18K - 11K = 7K$.
$b = 18K - 12K = 6K$.
$c = 18K - 13K = 5K$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
मान रखने पर:
$\cos A = \frac{(6K)^2 + (5K)^2 - (7K)^2}{2(6K)(5K)} = \frac{36K^2 + 25K^2 - 49K^2}{60K^2} = \frac{12K^2}{60K^2} = \frac{1}{5}$.

(B) कथन-$1$: एक समुच्चय $A$ जिसमें $n(A) = p$ अवयव हैं,से एक समुच्चय $B$ जिसमें $n(B) = q$ अवयव हैं,तक फलनों की संख्या $q^p$ द्वारा दी जाती है। यह समुच्चय सिद्धांत का एक मानक परिणाम है। अतः,कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$: $q$ भिन्न वस्तुओं में से $p$ वस्तुओं के चयन के तरीकों की संख्या संचय सूत्र ${}^qC_p = \frac{q!}{p!(q-p)!}$ द्वारा दी जाती है। यह एक सत्य कथन है।
हालाँकि,कथन-$2$ संचय की संख्या का वर्णन करता है,जो गणना का एक मौलिक सिद्धांत है,लेकिन यह यह नहीं समझाता है कि $A$ से $B$ तक फलनों की संख्या $q^p$ क्यों है। फलनों की संख्या इस तथ्य से प्राप्त होती है कि $A$ के प्रत्येक $p$ अवयव के लिए $B$ में $q$ विकल्प होते हैं। इसलिए,कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) $(y^{1/5} + x^{1/10})^{55}$ के विस्तार का सामान्य पद इस प्रकार है:
$T_{r+1} = ^{55}C_{r} (y^{1/5})^{55-r} (x^{1/10})^{r}$
$T_{r+1} = ^{55}C_{r} y^{\frac{55-r}{5}} x^{\frac{r}{10}}$
$x$ और $y$ की घातें रेडिकल चिह्नों से मुक्त होने के लिए,$\frac{55-r}{5}$ और $\frac{r}{10}$ पूर्णांक होने चाहिए।
$\frac{55-r}{5} = 11 - \frac{r}{5}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$5$ का गुणज होना चाहिए।
$\frac{r}{10}$ एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$,$10$ का गुणज होना चाहिए।
इन दोनों शर्तों को मिलाने पर,$r$,$10$ का गुणज होना चाहिए जहाँ $0 \le r \le 55$ है।
$r$ के संभावित मान $0, 10, 20, 30, 40, 50$ हैं।
अतः,$r$ के $6$ मान संभव हैं,इसलिए विस्तार में $6$ ऐसे पद हैं जो रेडिकल चिह्नों से मुक्त हैं।

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: x + y - 1 = 0$ और $L_2: 2x + 2y - 3 = 0$ हैं।
बिंदु $(1, a)$ के इन दो समांतर रेखाओं के बीच स्थित होने के लिए,व्यंजकों $L_1(1, a)$ और $L_2(1, a)$ के चिह्न विपरीत होने चाहिए।
माना $f(x, y) = x + y - 1$ और $g(x, y) = 2x + 2y - 3$ है।
समीकरणों में $(1, a)$ रखने पर:
$f(1, a) = 1 + a - 1 = a$
$g(1, a) = 2(1) + 2a - 3 = 2a - 1$
चूंकि बिंदु रेखाओं के बीच स्थित है,इसलिए $f(1, a) \cdot g(1, a) < 0$ होगा।
अतः,$a(2a - 1) < 0$।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $a$,$a(2a - 1) = 0$ के मूलों $a = 0$ और $a = 1/2$ के बीच हो।
इस प्रकार,$a \in \left( 0, \frac{1}{2} \right)$।

(B) माना $\Delta ABC$ का तीसरा शीर्ष $C(a, b)$ है।
माना $A(5, -1)$ और $B(-2, 3)$ अन्य दो शीर्ष हैं।
लंबकेंद्र $H(0, 0)$ है।
चूंकि $AH \perp BC$,उनकी प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ होगा:
$\left( \frac{-1 - 0}{5 - 0} \right) \times \left( \frac{b - 3}{a + 2} \right) = -1$
$\Rightarrow b - 3 = 5(a + 2)$ $\Rightarrow 5a - b + 13 = 0 \dots (1)$
इसी प्रकार,चूंकि $BH \perp AC$:
$\left( \frac{3 - 0}{-2 - 0} \right) \times \left( \frac{b + 1}{a - 5} \right) = -1$
$\Rightarrow 3b + 3 = 2a - 10$ $\Rightarrow 2a - 3b - 13 = 0 \dots (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर,हमें $a = -4$ और $b = -7$ प्राप्त होता है।
अतः,तीसरा शीर्ष $(-4, -7)$ है।

(C) श्रेणी का $n$-वाँ पद $T_n = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$ है।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$T_n = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(n+1) - n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$.
$n=1$ से $15$ तक,योग $S_{15} = \sum_{n=1}^{15} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$.
$S_{15} = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \dots + (\sqrt{16} - \sqrt{15})$.
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है जिसमें मध्यवर्ती पद कट जाते हैं।
$S_{15} = \sqrt{16} - \sqrt{1} = 4 - 1 = 3$.

(D) दिए गए प्रेक्षण $4, 7, 2, 8, 6, a$ हैं और माध्य $7$ है।
हम जानते हैं कि माध्य $= \frac{4 + 7 + 2 + 8 + 6 + a}{6}$.
$7 = \frac{27 + a}{6}$ $\Rightarrow 42 = 27 + a$ $\Rightarrow a = 15$.
अब,आरोही क्रम में प्रेक्षण $2, 4, 6, 7, 8, 15$ हैं।
चूंकि प्रेक्षणों की संख्या $n = 6$ (सम) है,माध्यिका $3^{rd}$ और $4^{th}$ प्रेक्षणों का औसत है।
माध्यिका $= \frac{6 + 7}{2} = 6.5$.
माध्यिका से माध्य विचलन $= \frac{\sum |x_i - 6.5|}{6}$.
$= \frac{|2 - 6.5| + |4 - 6.5| + |6 - 6.5| + |7 - 6.5| + |8 - 6.5| + |15 - 6.5|}{6}$.
$= \frac{4.5 + 2.5 + 0.5 + 0.5 + 1.5 + 8.5}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

(B) माना $z = x + iy$ है। तब शीर्ष $z = (x, y)$,$iz = (-y, x)$ और $z + iz = (x - y, x + y)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ होता है।
मान रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x(x - (x + y)) + (-y)((x + y) - y) + (x - y)(y - x)|$
$= \frac{1}{2} |-xy - xy - (x - y)^2| = \frac{1}{2} |-x^2 - y^2| = \frac{1}{2} (x^2 + y^2)$.
चूंकि $|z|^2 = x^2 + y^2$,इसलिए क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |z|^2$ है।

(D) बिंदुओं $(0, 1)$ और $(2, 0)$ को जोड़ने वाली जीवा की ढाल $m = \frac{0 - 1}{2 - 0} = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखाएँ इस जीवा के समानांतर हैं,इसलिए उनकी ढाल $m = -\frac{1}{2}$ होगी।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ है।
यहाँ $a^2 = 4, b^2 = 1$ और $m = -\frac{1}{2}$ रखने पर,$y = -\frac{1}{2}x \pm \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर,हमें बिंदु $P_1 = (\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ और $P_2 = (-\sqrt{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ प्राप्त होते हैं।
अतः,दूरी $P_1P_2 = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 2} = \sqrt{10}$।

(A) परिभाषा के अनुसार,द्वि-प्रतिबंधात्मक कथन $p \Leftrightarrow q$ दो प्रतिबंधात्मक कथनों $p \Rightarrow q$ और $q \Rightarrow p$ के संयोजन (conjunction) के तार्किक रूप से समतुल्य है।
अतः,$p \Leftrightarrow q \equiv (p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow p)$.

(D) माना समीकरण $x^2 - (\sin \alpha - 2)x - (1 + \sin \alpha) = 0$ के मूल $x_1$ और $x_2$ हैं।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार:
$x_1 + x_2 = \sin \alpha - 2$
$x_1 x_2 = -(1 + \sin \alpha)$
हमें $S = x_1^2 + x_2^2$ को न्यूनतम करना है।
$S = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$
$S = (\sin \alpha - 2)^2 - 2(-(1 + \sin \alpha))$
$S = \sin^2 \alpha - 4 \sin \alpha + 4 + 2 + 2 \sin \alpha$
$S = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha + 6$
$S$ को न्यूनतम करने के लिए,माना $u = \sin \alpha$,जहाँ $u \in [-1, 1]$ है।
$S(u) = u^2 - 2u + 6 = (u - 1)^2 + 5$.
न्यूनतम मान $u = 1$ पर प्राप्त होता है।
अतः $\sin \alpha = 1$,जिसका अर्थ है $\alpha = \frac{\pi}{2}$।

(D) दिया गया परवलय का समीकरण $x^2 = 8y$ है।
जब $x = 4$ है,तो समीकरण में मान रखने पर: $4^2 = 8y \Rightarrow 16 = 8y \Rightarrow y = 2$।
अतः,स्पर्श बिंदु $(4, 2)$ है।
$x^2 = 8y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x = 8 \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{8} = \frac{x}{4}$।
$x = 4$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \left. \frac{x}{4} \right|_{x=4} = 1$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1} = -1$ होगी।
$(4, 2)$ बिंदु पर अभिलंब का समीकरण $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ है।
मान रखने पर: $y - 2 = -1(x - 4)$।
$y - 2 = -x + 4$।
$x + y = 6$।

(B) $6$ छात्रों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $6! = 720$ हैं।
उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ $A$ और $B$ के बीच ठीक एक छात्र हो,हम $(A, X, B)$ या $(B, X, A)$ ब्लॉक को एक इकाई के रूप में मानते हैं,जहाँ $X$ शेष $4$ छात्रों में से एक है।
चरण $1$: शेष $4$ छात्रों में से एक छात्र $X$ को $4$ तरीकों से चुनें।
चरण $2$: $(A, X, B)$ या $(B, X, A)$ ब्लॉक को शेष $3$ छात्रों के साथ व्यवस्थित करें। इससे हमें व्यवस्थित करने के लिए $4$ इकाइयाँ मिलती हैं,जिन्हें $4!$ तरीकों से किया जा सकता है।
चरण $3$: चूंकि ब्लॉक $(A, X, B)$ या $(B, X, A)$ हो सकता है,इसलिए ब्लॉक के भीतर $A$ और $B$ को व्यवस्थित करने के $2$ तरीके हैं।
कुल अनुकूल व्यवस्था $= 4 \times 4! \times 2 = 4 \times 24 \times 2 = 192.$
प्रायिकता $= \frac{192}{720} = \frac{4}{15}.$

(C) दी गई श्रेणी $S_n = 1 + \frac{4}{3} + \frac{10}{9} + \frac{28}{27} + \dots + n \text{ पद}$ है।
हम पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$S_n = (1) + (1 + \frac{1}{3}) + (1 + \frac{1}{9}) + (1 + \frac{1}{27}) + \dots + n \text{ पद}$.
पदों को समूहित करने पर:
$S_n = (1 + 1 + 1 + \dots + n \text{ बार}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots + n \text{ पद})$.
$S_n = n + \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}}$.
$S_n = n + \frac{\frac{1}{3}(1 - \frac{1}{3^n})}{\frac{2}{3}}$.
$S_n = n + \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3^n})$.
$S_n = n + \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^n}$.

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ है,जहाँ $p, q, r \in \mathbb{R}$ और $r > p > 0$ है।
चूंकि मूल $\alpha$ और $\beta$ सम्मिश्र हैं,इसलिए विविक्तकर $D = q^2 - 4pr < 0$ है।
इसका अर्थ है $q^2 < 4pr$ है।
वास्तविक गुणांकों के कारण,सम्मिश्र मूल एक-दूसरे के संयुग्मी होते हैं,अर्थात $\beta = \bar{\alpha}$ है।
अतः,$|\alpha| = |\beta| = \sqrt{\alpha \bar{\alpha}} = \sqrt{\alpha \beta}$ है।
द्विघात समीकरण के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{r}{p}$ है।
इसलिए,$|\alpha| = |\beta| = \sqrt{\frac{r}{p}}$ है।
चूंकि $r > p > 0$ दिया गया है,इसलिए $\frac{r}{p} > 1$ है,जिसका अर्थ है $\sqrt{\frac{r}{p}} > 1$ है।
अतः,$|\alpha| + |\beta| = 2|\alpha| = 2\sqrt{\frac{r}{p}}$ है।
चूंकि $\sqrt{\frac{r}{p}} > 1$ है,इसलिए $2\sqrt{\frac{r}{p}} > 2$ है।
अतः,$|\alpha| + |\beta| > 2$ है।

(A) माना $P = (1, 0)$ और $Q = (-1, 0)$ है। माना एक बिंदु $X = (x, y)$ शर्त $\frac{XP}{XQ} = \frac{1}{2}$ को संतुष्ट करता है।
इसका अर्थ है $2XP = XQ$,या $4XP^2 = XQ^2$ है।
निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर: $4((x - 1)^2 + y^2) = (x + 1)^2 + y^2$ है।
विस्तार करने पर: $4(x^2 - 2x + 1 + y^2) = x^2 + 2x + 1 + y^2$ है।
$4x^2 - 8x + 4 + 4y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$ है।
$3x^2 + 3y^2 - 10x + 3 = 0$ है।
$3$ से विभाजित करने पर: $x^2 + y^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0$ है।
यह एक वृत्त का समीकरण है। चूंकि बिंदु $A, B, C$ इस शर्त को संतुष्ट करते हैं,वे इस वृत्त पर स्थित हैं।
$\Delta ABC$ का परिकेंद्र इस वृत्त का केंद्र है।
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $2g = -\frac{10}{3} \Rightarrow g = -\frac{5}{3}$ और $f = 0$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(-g, -f) = \left( \frac{5}{3}, 0 \right)$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 3x = 0$ है।
इसका केंद्र $B = \left( -\frac{3}{2}, 0 \right)$ है और त्रिज्या $\frac{3}{2}$ है।
रेखा $y = mx + 1$,$y$-अक्ष को $A(0, 1)$ पर काटती है।
चूंकि दो प्रतिच्छेदन बिंदु $x$-अक्ष से समान दूरी पर और विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए रेखा को वृत्त के केंद्र $B$ से गुजरना चाहिए।
$B\left( -\frac{3}{2}, 0 \right)$ को $y = mx + 1$ में रखने पर:
$0 = m\left( -\frac{3}{2} \right) + 1$
$\frac{3}{2}m = 1$
$3m = 2$
$3m - 2 = 0$.

(D) दिया गया है कि $x \ne 2$ के लिए $\frac{x}{[x]} \le f(x) \le \sqrt{6 - x}$ है।
$x \to 2^-$ के लिए,$[x] = 1$ है। अतः,$\lim_{x \to 2^-} \frac{x}{[x]} = \frac{2}{1} = 2$ और $\lim_{x \to 2^-} \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - 2} = 2$ है।
सैंडविच प्रमेय के अनुसार,$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2$ है। अतः,कथन $1$ सत्य है।
$x \to 2^+$ के लिए,$[x] = 2$ है। अतः,$\lim_{x \to 2^+} \frac{x}{[x]} = \frac{2}{2} = 1$ और $\lim_{x \to 2^+} \sqrt{6 - x} = 2$ है।
सैंडविच प्रमेय के अनुसार,$1 \le \lim_{x \to 2^+} f(x) \le 2$ है। चूँकि बाएँ पक्ष की सीमा $2$ है और दाएँ पक्ष की सीमा का $2$ होना आवश्यक नहीं है,इसलिए $\lim_{x \to 2} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।
चूँकि $\lim_{x \to 2} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है,इसलिए $f$,$x = 2$ पर सतत नहीं है। अतः,कथन $2$ असत्य है।

(B) प्रतिबंधात्मक कथन $p \to q$ को सत्यता सारणी द्वारा परिभाषित किया गया है जहाँ यह केवल तब असत्य होता है जब $p$ सत्य हो और $q$ असत्य हो।
यह तार्किक रूप से $p$ के निषेध और $q$ के वियोजन (disjunction) के समतुल्य है।
इसलिए,$p \to q \equiv \sim p \vee q$.

(B) दिया गया है $f(x) = 3x^{10} - 7x^8 + 5x^6 - 21x^3 + 3x^2 - 7$.
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 30x^9 - 56x^7 + 30x^5 - 63x^2 + 6x$.
$f'(1)$ का मान ज्ञात करें:
$f'(1) = 30(1)^9 - 56(1)^7 + 30(1)^5 - 63(1)^2 + 6(1) = 30 - 56 + 30 - 63 + 6 = -53$.
अब,सीमा $L = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} \frac{f(1 - \alpha) - f(1)}{\alpha^3 + 3\alpha}$ पर विचार करें।
चूंकि यह $\frac{0}{0}$ रूप है,$L'\text{Hospital}$ नियम का उपयोग करें:
$L = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} \frac{f'(1 - \alpha) \cdot (-1)}{3\alpha^2 + 3}$.
$\alpha = 0$ रखने पर:
$L = \frac{f'(1) \cdot (-1)}{3(0)^2 + 3} = \frac{-f'(1)}{3} = \frac{-(-53)}{3} = \frac{53}{3}$.

(B) मान लीजिए $|Z| = |W| = r$ है।
तब $Z = r e^{i\theta}$ और $W = r e^{i\phi}$,जहाँ $\theta = \text{arg } Z$ और $\phi = \text{arg } W$ है।
दिया गया है कि $\theta + \phi = \pi$,इसलिए $\theta = \pi - \phi$ है।
अतः,$Z = r e^{i(\pi - \phi)} = r e^{i\pi} e^{-i\phi} = -r e^{-i\phi}$ है।
चूँकि $\overline{W} = r e^{-i\phi}$ है,हमें $Z = -\overline{W}$ प्राप्त होता है। अतः,कथन $1$ सत्य है।
कथन $2$ के लिए,$\text{arg } \overline{W} = -\text{arg } W = -\phi$ है।
तब $\text{arg } Z - \text{arg } \overline{W} = \theta - (-\phi) = \theta + \phi = \pi$ है।
अतः,कथन $2$ भी सत्य है और यह कथन $1$ की सही व्याख्या करता है।

(A) माना समतल $x - 2y + 2z - 5 = 0$ के समांतर समतल का समीकरण $x - 2y + 2z + k = 0 \dots (i)$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $(i)$ की लंबवत दूरी का सूत्र $d = \frac{|k|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ है।
यहाँ दूरी $1$ दी गई है,इसलिए:
$\frac{|k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = 1$
$\frac{|k|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 1$
$\frac{|k|}{\sqrt{9}} = 1$
$\frac{|k|}{3} = 1$
$|k| = 3$
अतः,$k = 3$ या $k = -3$ है।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें समतल के संभावित समीकरण $x - 2y + 2z + 3 = 0$ या $x - 2y + 2z - 3 = 0$ प्राप्त होते हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही समीकरण $x - 2y + 2z - 3 = 0$ है।

(C) माना कि दो रेखाएँ क्रमशः $\lambda$ और $\mu$ प्राचल द्वारा निरूपित हैं:
$\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}=\lambda \implies x=2\lambda+1, y=3\lambda-1, z=4\lambda+1$
$\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1}=\mu \implies x=\mu+3, y=2\mu+k, z=\mu$
यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,तो दोनों के लिए एक उभयनिष्ठ बिंदु होना चाहिए,अतः:
$2\lambda+1 = \mu+3 \implies 2\lambda - \mu = 2 \quad (i)$
$3\lambda-1 = 2\mu+k \implies 3\lambda - 2\mu = k+1 \quad (ii)$
$4\lambda+1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1 \quad (iii)$
समीकरण $(iii)$ में से $(i)$ घटाने पर:
$(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2
\implies 2\lambda = -3 \implies \lambda = -\frac{3}{2}$
$\lambda = -\frac{3}{2}$ को $(iii)$ में रखने पर:
$4(-\frac{3}{2}) + 1 = \mu \implies -6 + 1 = \mu \implies \mu = -5$
$\lambda = -\frac{3}{2}$ और $\mu = -5$ को $(ii)$ में रखने पर:
$3(-\frac{3}{2}) - 2(-5) = k+1
\implies -\frac{9}{2} + 10 = k+1
\implies k = 9 - \frac{9}{2} = \frac{9}{2}$

(C) दिए गए परवलय $x^2 = \frac{y}{4} \implies x = \pm \frac{\sqrt{y}}{2}$ और $x^2 = 9y \implies x = \pm 3\sqrt{y}$ हैं।
चूंकि यह क्षेत्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल की गणना करेंगे और उसे $2$ से गुणा करेंगे।
क्षेत्रफल $A$,$y = 0$ से $y = 2$ तक $x = 3\sqrt{y}$ (दायां वक्र) और $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ (बायां वक्र) द्वारा घिरा हुआ है।
$A = 2 \int_{0}^{2} \left( 3\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{2} \right) dy$
$A = 2 \int_{0}^{2} \frac{5\sqrt{y}}{2} dy = 5 \int_{0}^{2} y^{1/2} dy$
$A = 5 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} = 5 \times \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} \right]_{0}^{2}$
$A = \frac{10}{3} \left( 2^{3/2} - 0 \right) = \frac{10}{3} \times 2\sqrt{2} = \frac{20\sqrt{2}}{3}$

(D) दिया गया है $g(x) = \int_{0}^{x} \cos 4t \, dt$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर,हमें प्राप्त होता है $g(x) = \left[ \frac{\sin 4t}{4} \right]_{0}^{x} = \frac{\sin 4x}{4}$.
अब,$g(x + \pi) = \frac{\sin 4(x + \pi)}{4} = \frac{\sin(4x + 4\pi)}{4}$ की गणना करें।
चूंकि $\sin(4x + 4\pi) = \sin 4x$,इसलिए $g(x + \pi) = \frac{\sin 4x}{4} = g(x)$.
साथ ही,$g(\pi) = \frac{\sin(4\pi)}{4} = 0$.
चूंकि $g(\pi) = 0$,इसलिए $g(x) + g(\pi) = g(x) + 0 = g(x)$ और $g(x) - g(\pi) = g(x) - 0 = g(x)$ होता है।
अतः,$g(x) + g(\pi)$ और $g(x) - g(\pi)$ दोनों $g(x)$ के बराबर हैं।

(D) दिया गया है $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\2&1&0\\3&2&1\end{array}} \right]$,$A{u_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\\0\end{array}} \right]$,और $A{u_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\\0\end{array}} \right]$।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A{u_1} + A{u_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\\0\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\\0\end{array}} \right]$
$A(u_1 + u_2) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\\0\end{array}} \right]$
अतः,$u_1 + u_2 = A^{-1} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\\0\end{array}} \right]$।
सबसे पहले,$|A| = 1(1-0) - 0 + 0 = 1$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$adj(A)$ ज्ञात करें। सहखंड (cofactors) इस प्रकार हैं:
$C_{11} = 1, C_{12} = -2, C_{13} = 1$
$C_{21} = 0, C_{22} = 1, C_{23} = -2$
$C_{31} = 0, C_{32} = 0, C_{33} = 1$
अतः,$adj(A) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\-2&1&0\\1&-2&1\end{array}} \right]$।
चूंकि $|A| = 1$,इसलिए $A^{-1} = adj(A)$।
$u_1 + u_2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\-2&1&0\\1&-2&1\end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\\0\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1(1)+0(1)+0(0)\\-2(1)+1(1)+0(0)\\1(1)-2(1)+1(0)\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\-1\\-1\end{array}} \right]$।

(C) दिया गया है कि $P$ और $Q$ $3 \times 3$ आव्यूह हैं जहाँ $P \neq Q$ है।
हमें समीकरण दिए गए हैं:
$1) P^3 = Q^3$
$2) P^2Q = Q^2P$
पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर:
$P^3 - P^2Q = Q^3 - Q^2P$
पदों का गुणनखंड करने पर:
$P^2(P - Q) = Q^2(Q - P)$
$P^2(P - Q) = -Q^2(P - Q)$
$(P^2 + Q^2)(P - Q) = 0$
चूँकि $P \neq Q$,आव्यूह $(P - Q)$ शून्य आव्यूह नहीं है,इसलिए गुणनफल $(P^2 + Q^2)(P - Q) = 0$ यह दर्शाता है कि आव्यूह $(P^2 + Q^2)$ का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$\det((P^2 + Q^2)(P - Q)) = \det(0) = 0$
$\det(P^2 + Q^2) \cdot \det(P - Q) = 0$
अतः,$\det(P^2 + Q^2) = 0$ प्राप्त होता है।

(D) फलन $f(x) = [x] \cos \left( \frac{2x - 1}{2} \pi \right) = [x] \cos \left( x\pi - \frac{\pi}{2} \right) = [x] \sin(x\pi)$ है।
हम किसी भी पूर्णांक $x = n$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
$x = n$ पर फलन का मान $f(n) = [n] \sin(n\pi) = n \cdot 0 = 0$ है।
$x \to n^-$ के लिए बायाँ सीमा $(LHL)$ $\lim_{x \to n^-} [x] \sin(x\pi) = (n - 1) \sin(n\pi) = (n - 1) \cdot 0 = 0$ है।
$x \to n^+$ के लिए दायाँ सीमा $(RHL)$ $\lim_{x \to n^+} [x] \sin(x\pi) = n \sin(n\pi) = n \cdot 0 = 0$ है।
चूँकि सभी $n \in \mathbb{Z}$ के लिए $LHL = RHL = f(n) = 0$ है,इसलिए फलन सभी पूर्णांकों पर संतत है।
$[x]$ पूर्णांकों को छोड़कर हर जगह संतत है और $\sin(x\pi)$ हर जगह संतत है,इसलिए उनका गुणनफल हर जगह संतत है।
अतः,$f(x)$ प्रत्येक वास्तविक $x$ के लिए संतत है।

(D) फलन $f(x) = |x - 2| + |x - 5|$ के रूप में परिभाषित है।
हम इसे टुकड़ों में इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} -(x-2) - (x-5) = -2x + 7 & \text{यदि } x < 2 \\ (x-2) - (x-5) = 3 & \text{यदि } 2 \le x < 5 \\ (x-2) + (x-5) = 2x - 7 & \text{यदि } x \ge 5 \end{cases}$
कथन-$1$ के लिए:
अंतराल $(2, 5)$ में,$f(x) = 3$ है। इसलिए,सभी $x \in (2, 5)$ के लिए $f'(x) = 0$ है।
चूंकि $4 \in (2, 5)$,इसलिए $f'(4) = 0$ है। अतः,कथन-$1$ सही है।
कथन-$2$ के लिए:
$f(x)$ सतत फलनों का योग है,इसलिए यह हर जगह सतत है। $[2, 5]$ में,$f(x) = 3$ है,जो एक अचर फलन है,इसलिए यह $(2, 5)$ में अवकलनीय है।
साथ ही,$f(2) = |2-2| + |2-5| = 3$ और $f(5) = |5-2| + |5-5| = 3$ है। अतः,$f(2) = f(5)$ है।
कथन-$2$ सही है।
कथन-$2$ रोले के प्रमेय की शर्तों का वर्णन करता है,जो यह दर्शाता है कि $(2, 5)$ में एक ऐसा बिंदु $c$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = 0$ है। चूंकि $f(x)$,$[2, 5]$ पर अचर है,इसलिए सभी $x \in (2, 5)$ के लिए $f'(x) = 0$ है,जो कथन-$1$ की पुष्टि करता है। अतः,कथन-$2$,कथन-$1$ का सही स्पष्टीकरण है।

(C) गुब्बारे का प्रारंभिक आयतन $V_i = 4500\pi \text{ m}^3$ है।
आयतन में परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = -72\pi \text{ m}^3/\text{min}$ है।
$t = 49$ मिनट के बाद,आयतन $V$ होगा:
$V = 4500\pi - (72\pi \times 49) = 4500\pi - 3528\pi = 972\pi \text{ m}^3$.
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है।
$t = 49$ मिनट पर,$972\pi = \frac{4}{3}\pi r^3$,जिसका अर्थ है $r^3 = \frac{972 \times 3}{4} = 729$.
अतः,$r = \sqrt[3]{729} = 9 \text{ m}$.
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
मान रखने पर: $-72\pi = 4\pi (9)^2 \frac{dr}{dt}$.
$-72\pi = 4\pi (81) \frac{dr}{dt} = 324\pi \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = -\frac{72\pi}{324\pi} = -\frac{2}{9}$.
अतः,त्रिज्या के घटने की दर $\frac{2}{9} \text{ m/min}$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dp(t)}{dt} = 0.5p(t) - 450 = \frac{p(t) - 900}{2}$.
चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dp(t)}{p(t) - 900} = \int \frac{1}{2} dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln |p(t) - 900| = \frac{1}{2} t + C$.
प्रारंभिक स्थिति $p(0) = 850$ का उपयोग करने पर: $\ln |850 - 900| = \frac{1}{2}(0) + C \implies C = \ln 50$.
अतः,समीकरण है: $\ln |p(t) - 900| = \frac{1}{2} t + \ln 50$.
जब $p(t) = 0$ हो,तब $t$ ज्ञात करने के लिए: $\ln |0 - 900| = \frac{1}{2} t + \ln 50$.
$\ln 900 - \ln 50 = \frac{1}{2} t$.
$\ln \left( \frac{900}{50} \right) = \frac{1}{2} t$.
$\ln 18 = \frac{1}{2} t$.
$t = 2 \ln 18$.

(A) माना $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ है। हम $S$ में से $3$ संख्याएँ चुनते हैं।
माना $A$ वह घटना है कि चुनी गई संख्याओं का अधिकतम मान $6$ है।
माना $B$ वह घटना है कि चुनी गई संख्याओं का न्यूनतम मान $3$ है।
हमें सप्रतिबंध प्रायिकता $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ ज्ञात करनी है।
घटना $A$ के लिए (अधिकतम $6$ है): संख्याएँ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ में से चुनी जानी चाहिए जिसमें $6$ शामिल हो। अन्य $2$ संख्याएँ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ में से चुनी जानी चाहिए।
$A$ के लिए तरीकों की संख्या = $\binom{5}{2} = 10$.
घटना $A \cap B$ के लिए (अधिकतम $6$ और न्यूनतम $3$ है): संख्याएँ $\{3, 4, 5, 6\}$ में से चुनी जानी चाहिए जिसमें $3$ और $6$ शामिल हों। शेष $1$ संख्या $\{4, 5\}$ में से चुनी जानी चाहिए।
$A \cap B$ के लिए तरीकों की संख्या = $\binom{2}{1} = 2$.
अतः,$P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

(C) दिया गया है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ है।
चूंकि $\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b}$ और $\vec{d} = 5\vec{a} - 4\vec{b}$ लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{c} \cdot \vec{d} = 0$।
$(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (5\vec{a} - 4\vec{b}) = 0$।
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर: $5(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 10(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 8(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0$।
$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 1$ और $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 1$ होने के कारण,
$5(1) + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8(1) = 0$।
$6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 3 = 0$।
$6(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।
हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
$1 \cdot 1 \cdot \cos \theta = \frac{1}{2}$।
$\cos \theta = \frac{1}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{3}$।

(B) मान लीजिए $E$ शीर्ष $B$ से भुजा $AD$ पर डाले गए लंब का पाद है। सदिश $\vec{AE}$,$\vec{AB}$ का $\vec{AD}$ पर प्रक्षेप है।
अतः,$\vec{AE} = \text{proj}_{\vec{p}} \vec{q} = \left( \frac{\vec{q} \cdot \vec{p}}{\vec{p} \cdot \vec{p}} \right) \vec{p}$ है।
$\triangle ABE$ में,सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,हमारे पास $\vec{AB} + \vec{BE} = \vec{AE}$ है।
दिया गया है कि $\vec{AB} = \vec{q}$ और $\vec{BE} = \vec{r}$,इसलिए $\vec{q} + \vec{r} = \vec{AE}$ है।
अतः,$\vec{r} = \vec{AE} - \vec{q}$ है।
$\vec{AE}$ का मान रखने पर,हमें $\vec{r} = \left( \frac{\vec{q} \cdot \vec{p}}{\vec{p} \cdot \vec{p}} \right) \vec{p} - \vec{q}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \alpha - 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} \alpha + 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$.
आव्यूह $B$ का परिवर्त आव्यूह $B^T = \begin{bmatrix} \alpha + 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ है।
अब,गुणनफल $AB^T$ की गणना करते हैं:
$AB^T = \begin{bmatrix} \alpha - 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha + 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (\alpha - 1)(\alpha + 1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha^2 - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
$AB^T$ के शून्येतर आव्यूह होने के लिए,कम से कम एक अवयव शून्येतर होना चाहिए।
अतः,$\alpha^2 - 1 \neq 0$,जिसका अर्थ है $\alpha^2 \neq 1$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|\alpha| \neq 1$ प्राप्त होता है।

(B) माना वृत्ताकार शीट की त्रिज्या $r$ है और उसका क्षेत्रफल $A$ है।
दिया गया है कि $A = \pi r^2$.
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$.
हमें दिया गया है कि $\frac{dA}{dt} = 6\pi \, cm^2/hr$ और $r = 30 \, cm$ है।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$6\pi = 2\pi (30) \frac{dr}{dt}$.
$6\pi = 60\pi \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = \frac{6\pi}{60\pi} = \frac{1}{10} = 0.1 \, cm/hr$.
अतः,वृत्ताकार शीट की त्रिज्या के बढ़ने की दर $0.1 \, cm/hr$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{(2 + \sin x)}{(1 + y)} \frac{dy}{dx} = \cos x$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{1 + y} = \frac{\cos x}{2 + \sin x} dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{1 + y} = \int \frac{\cos x}{2 + \sin x} dx.$
इससे $\ln(1 + y) = \ln(2 + \sin x) + \ln C$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर,$1 + y = C(2 + \sin x).$
दिया गया है $y(0) = 2,$ इसलिए $x = 0$ और $y = 2$ रखने पर,$1 + 2 = C(2 + \sin 0) \Rightarrow 3 = 2C \Rightarrow C = \frac{3}{2}.$
अब,$y\left( \frac{\pi}{2} \right)$ ज्ञात करने के लिए $x = \frac{\pi}{2}$ और $C = \frac{3}{2}$ को समीकरण $1 + y = \frac{3}{2}(2 + \sin x)$ में रखने पर:
$1 + y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{3}{2}(2 + \sin \frac{\pi}{2}) = \frac{3}{2}(2 + 1) = \frac{3}{2}(3) = \frac{9}{2}.$
अतः,$y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{9}{2} - 1 = \frac{7}{2}.$

(D) दिया गया समीकरण $\int\limits_e^x {t\,f(t)\,dt = \sin x - x\cos x - \frac{{{x^2}}}{2}}$ है।
लीबनीज़ नियम का उपयोग करते हुए,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{{dx}}\left[ {\int\limits_e^x {t\,f(t)\,dt} } \right] = \frac{d}{{dx}}\left[ {\sin x - x\cos x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right]$
दाहिनी ओर गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$x\,f(x) = \cos x - (\cos x - x\sin x) - x$
$x\,f(x) = \cos x - \cos x + x\sin x - x$
$x\,f(x) = x\sin x - x$
$x$ से भाग देने पर (चूंकि $x \neq 0$):
$f(x) = \sin x - 1$
अब,$x = \frac{\pi}{6}$ रखने पर:
$f(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) - 1$
$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$.

(D) दिया गया समीकरण निकाय है:
$x + y + z = 6$
$x + 2y + 3z = 10$
$x + 2y + \lambda z = 0$
रैखिक समीकरणों के निकाय का अद्वितीय हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
माना $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & \lambda \end{vmatrix} \neq 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$D = 1(2\lambda - 6) - 1(\lambda - 3) + 1(2 - 2) \neq 0$
$D = 2\lambda - 6 - \lambda + 3 + 0 \neq 0$
$D = \lambda - 3 \neq 0$
अतः,$\lambda \neq 3$.

(D) कथन-$2$: $\cos^3 x$ एक आवर्ती फलन है। यह एक सत्य कथन है क्योंकि $\cos x$,$2\pi$ आवर्तकाल का एक आवर्ती फलन है,और किसी भी आवर्ती फलन की घात भी आवर्ती होती है।
दिया गया है $f(x) = \int \cos^3 x \, dx$.
सर्वसमिका $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ का उपयोग करने पर,$\cos^3 x = \frac{\cos 3x + 3\cos x}{4}$.
$f(x) = \int \left(\frac{\cos 3x}{4} + \frac{3\cos x}{4}\right) dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin 3x}{3} + \frac{3}{4} \sin x + C = \frac{1}{12} \sin 3x + \frac{3}{4} \sin x + C$.
$\sin 3x$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{3}$ है और $\sin x$ का आवर्तकाल $2\pi$ है।
दो आवर्ती फलनों के योग का आवर्तकाल उनके व्यक्तिगत आवर्तकालों का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ होता है।
$f(x)$ का आवर्तकाल = $\text{LCM}\left(\frac{2\pi}{3}, 2\pi\right) = 2\pi$.
चूंकि आवर्तकाल $2\pi$ है न कि $\pi$,इसलिए कथन-$1$ असत्य है।

(B) परवलय $y^2 = x$ और वृत्त $x^2 + y^2 = 2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $y^2 = x$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होते हैं: $x^2 + x - 2 = 0$,जो $(x+2)(x-1) = 0$ देता है। चूंकि $x \ge 0$,इसलिए $x = 1$ है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ और $(1, -1)$ हैं।
वृत्त का कुल क्षेत्रफल $A_{total} = \pi r^2 = 2\pi$ है।
परवलय और वृत्त द्वारा $y$-अक्ष के दाईं ओर घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल:
$A_1 = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx + 2 \int_{1}^{\sqrt{2}} \sqrt{2 - x^2} \, dx$
प्रथम समाकलन:
$2 \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx = 2 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{4}{3}$.
द्वितीय समाकलन:
$2 \int_{1}^{\sqrt{2}} \sqrt{2 - x^2} \, dx = 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{2 - x^2} + \frac{2}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) \right]_{1}^{\sqrt{2}}$
$= 2 \left[ (0 + \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{1} + \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)) \right]$
$= 2 \left[ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} \right] = 2 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right] = \frac{\pi}{2} - 1$.
अतः,$A_1 = \frac{4}{3} + \frac{\pi}{2} - 1 = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3\pi + 2}{6}$.
दूसरा क्षेत्रफल $A_2 = A_{total} - A_1 = 2\pi - \frac{3\pi + 2}{6} = \frac{12\pi - 3\pi - 2}{6} = \frac{9\pi - 2}{6}$.
क्षेत्रफलों का अनुपात $A_2 : A_1 = \frac{9\pi - 2}{6} : \frac{3\pi + 2}{6} = 9\pi - 2 : 3\pi + 2$.

(D) समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसलिए,विकर्ण $DB$ का मध्य-बिंदु $M$,विकर्ण $AC$ का भी मध्य-बिंदु होगा।
$M$ का स्थिति सदिश $\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2} = \frac{(3\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) + (\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k})}{2} = \frac{4\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}}{2} = 2\hat{i} - \hat{j}$ है।
सदिश $\vec{OM}$ का $\vec{OC}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र $\frac{\vec{OM} \cdot \vec{OC}}{|\vec{OC}|}$ है।
यहाँ $\vec{OM} = 2\hat{i} - \hat{j}$ और $\vec{OC} = \hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
अतः,अदिश गुणनफल $\vec{OM} \cdot \vec{OC} = (2)(1) + (-1)(-5) + (0)(-5) = 2 + 5 + 0 = 7$ है।
$\vec{OC}$ का परिमाण $|\vec{OC}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25 + 25} = \sqrt{51}$ है।
इस प्रकार,प्रक्षेप का परिमाण $\frac{\vec{OM} \cdot \vec{OC}}{|\vec{OC}|} = \frac{7}{\sqrt{51}}$ होगा।

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$ जहाँ $x \in R$ है।
स्थिति $1$: यदि $x \ge 0$ है,तो $|x| = x$ होगा।
$f(x) = \frac{x}{1 + x} = \frac{x + 1 - 1}{1 + x} = 1 - \frac{1}{1 + x}$।
जैसे-जैसे $x$ का मान $0$ से $\infty$ तक बढ़ता है,$1 + x$ का मान $1$ से $\infty$ तक बढ़ता है,इसलिए $\frac{1}{1 + x}$ का मान $1$ से $0$ तक घटता है।
अतः,$f(x)$ का मान $0$ से $1$ तक बढ़ता है। इसलिए,$x \ge 0$ के लिए परिसर $[0, 1)$ है।
स्थिति $2$: यदि $x < 0$ है,तो $|x| = -x$ होगा।
$f(x) = \frac{x}{1 - x} = \frac{-(1 - x) + 1}{1 - x} = -1 + \frac{1}{1 - x}$।
जैसे-जैसे $x$ का मान $0$ से $-\infty$ तक घटता है,$1 - x$ का मान $1$ से $\infty$ तक बढ़ता है,इसलिए $\frac{1}{1 - x}$ का मान $1$ से $0$ तक घटता है।
अतः,$f(x)$ का मान $0$ से $-1$ तक घटता है। इसलिए,$x < 0$ के लिए परिसर $(-1, 0)$ है।
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,फलन का परिसर $(-1, 0) \cup [0, 1) = (-1, 1)$ प्राप्त होता है।

(A) तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।
अदिश त्रिक गुणनफल सदिशों के घटकों के सारणिक द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \\ \lambda & 1 & 2\lambda - 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के सापेक्ष सारणिक का विस्तार करने पर:
$1[3(2\lambda - 1) - (-1)(1)] - (-2)[2(2\lambda - 1) - (-1)(\lambda)] + 3[2(1) - 3(\lambda)] = 0$
$1[6\lambda - 3 + 1] + 2[4\lambda - 2 + \lambda] + 3[2 - 3\lambda] = 0$
$(6\lambda - 2) + 2(5\lambda - 2) + (6 - 9\lambda) = 0$
$6\lambda - 2 + 10\lambda - 4 + 6 - 9\lambda = 0$
$(6\lambda + 10\lambda - 9\lambda) + (-2 - 4 + 6) = 0$
$7\lambda + 0 = 0$
$\lambda = 0$

(D) दिया गया है $P(X \cup Y) = P(X \cap Y)$.
हम जानते हैं कि $P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$.
दी गई शर्त को प्रतिस्थापित करने पर,$P(X \cap Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$,जिसका अर्थ है $P(X) + P(Y) = 2P(X \cap Y)$. अतः,कथन $2$ सही है।
अब,$P(X \cap Y') = P(X) - P(X \cap Y)$ और $P(X' \cap Y) = P(Y) - P(X \cap Y)$.
चूंकि $P(X \cup Y) = P(X \cap Y)$,इसका अर्थ है $P(X \cup Y) - P(X \cap Y) = 0$,जो $P(X \Delta Y) = 0$ है।
इसका अर्थ है $P(X \cap Y') = 0$ और $P(X' \cap Y) = 0$. अतः,कथन $1$ सही है।
चूंकि $P(X \cap Y') = 0$ और $P(X' \cap Y) = 0$,हमारे पास $P(X) = P(X \cap Y)$ और $P(Y) = P(X \cap Y)$ है,जो $P(X) + P(Y) = 2P(X \cap Y)$ की ओर ले जाता है। इसलिए,कथन $2$ कथन $1$ की सही व्याख्या है।

(C) माना समतल $f(x, y, z) = 3x + 4y - 12z + 13 = 0$ है।
दो बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ समतल के विपरीत पक्षों पर स्थित होते हैं यदि $f(x_1, y_1, z_1) \cdot f(x_2, y_2, z_2) < 0$ हो।
बिंदु $P_1 = (1, a, 1)$ के लिए,$f(1, a, 1) = 3(1) + 4(a) - 12(1) + 13 = 4a + 4$।
बिंदु $P_2 = (-3, 0, a)$ के लिए,$f(-3, 0, a) = 3(-3) + 4(0) - 12(a) + 13 = 4 - 12a$।
हमें $(4a + 4)(4 - 12a) < 0$ की आवश्यकता है।
$16$ से विभाजित करने पर,हमें $(a + 1)(1 - 3a) < 0$ प्राप्त होता है।
$-1$ से गुणा करने पर असमिका उलट जाती है: $(a + 1)(3a - 1) > 0$।
मूल $a = -1$ और $a = \frac{1}{3}$ हैं।
यह असमिका $a < -1$ या $a > \frac{1}{3}$ के लिए सत्य है।

(C) रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए इसके दिक्-कोसाइन समान हैं। मान लीजिए दिक्-कोसाइन $(l, l, l)$ हैं। चूंकि $l^2 + l^2 + l^2 = 1,$ इसलिए $3l^2 = 1,$ अर्थात $l = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (क्योंकि दिक्-कोसाइन धनात्मक हैं)।
रेखा के दिक्-अनुपात $(1, 1, 1)$ के समानुपाती हैं।
बिंदु $P(2, -1, 2)$ से गुजरने वाली और $(1, 1, 1)$ दिक्-अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = r$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $Q$ का रूप $(r+2, r-1, r+2)$ है।
चूंकि $Q$ समतल $2x + y + z = 9$ पर स्थित है,इसलिए $Q$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$2(r+2) + (r-1) + (r+2) = 9$
$2r + 4 + r - 1 + r + 2 = 9$
$4r + 5 = 9$
$4r = 4 \Rightarrow r = 1.$
अतः,बिंदु $Q$ का मान $(1+2, 1-1, 1+2) = (3, 0, 3)$ है।
दूरी $PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0 - (-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}.$

(C) माना फलन $h(x) = g(x) - f(x) = x - \sin x$,जहाँ $x \in (0, \infty)$ है।
अवकलन करने पर,$h'(x) = 1 - \cos x$ प्राप्त होता है।
चूंकि $-1 \le \cos x \le 1$ होता है,इसलिए सभी $x$ के लिए $h'(x) = 1 - \cos x \ge 0$ है।
चूंकि $h'(x) \ge 0$ है और $h(0) = 0 - \sin(0) = 0$ है,इसलिए फलन $h(x)$ एक वर्धमान फलन है और सभी $x \in (0, \infty)$ के लिए $h(x) \ge 0$ है।
अतः,$x \ge \sin x$,जिसका अर्थ है कि $g(x) \ge f(x)$ सत्य है। इसलिए,कथन $1$ सत्य है।
कथन $2$ के लिए,हम जानते हैं कि सभी $x \in (0, \infty)$ के लिए $\sin x \le 1$ है और $\lim_{x \to \infty} x = \infty$ है। कथन $2$ के दोनों भाग सत्य हैं।
हालाँकि,यह तथ्य कि $\sin x \le 1$ और $x \to \infty$ है,$x - \sin x$ के व्यवहार पर विचार किए बिना $x \ge \sin x$ को सीधे सिद्ध नहीं करता है। इसलिए,कथन $2$,कथन $1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(B) दिया गया समीकरण $x + |y| = 2y$ है।
स्थिति $1$: यदि $y \ge 0$ है,तो $|y| = y$ होगा।
$x + y = 2y \Rightarrow y = x$.
स्थिति $2$: यदि $y < 0$ है,तो $|y| = -y$ होगा।
$x - y = 2y \Rightarrow x = 3y \Rightarrow y = x/3$.
अतः,फलन $f(x) = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ x/3, & x < 0 \end{cases}$ के रूप में परिभाषित है।
$x = 0$ पर सांतत्य:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0$.
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x/3 = 0$.
चूंकि $f(0) = 0$ है,इसलिए फलन $x = 0$ पर सतत है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता:
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(0-h)/3 - 0}{-h} = 1/3$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h - 0}{h} = 1$.
चूंकि $LHD \neq RHD$ है,इसलिए फलन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & \gamma \\ \delta & 0 \end{bmatrix}$।
$AB$ की गणना करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \gamma \\ \delta & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \alpha \gamma \\ \beta \delta & 0 \end{bmatrix}$।
$BA$ की गणना करने पर:
$BA = \begin{bmatrix} 0 & \gamma \\ \delta & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \gamma \beta \\ \delta \alpha & 0 \end{bmatrix}$।
अब,$AB - BA = \begin{bmatrix} 0 & \alpha \gamma - \beta \gamma \\ \beta \delta - \alpha \delta & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \gamma(\alpha - \beta) \\ \delta(\beta - \alpha) & 0 \end{bmatrix}$।
सारणिक $|AB - BA| = 0 - (\gamma(\alpha - \beta) \cdot \delta(\beta - \alpha)) = \gamma \delta (\alpha - \beta)^2$।
$AB - BA$ के व्युत्क्रमणीय होने के लिए,सारणिक का मान शून्य नहीं होना चाहिए। यह $\alpha \neq \beta$ और $\gamma \delta \neq 0$ पर निर्भर करता है। यदि ये शर्तें पूरी नहीं होती हैं,तो यह हमेशा व्युत्क्रमणीय नहीं हो सकता। हालाँकि,ऐसे प्रश्नों के मानक संदर्भ में जहाँ $\alpha \neq \beta$ और $\gamma, \delta \neq 0$ हो,कथन $1$ को सत्य माना जाता है।
कथन $2$ के लिए: $AB - BA = \begin{bmatrix} 0 & \gamma(\alpha - \beta) \\ -\delta(\alpha - \beta) & 0 \end{bmatrix}$। इसके तत्समक आव्यूह $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ होने के लिए,विकर्ण अवयव $1$ होने चाहिए। चूँकि विकर्ण अवयव $0$ हैं,इसलिए यह कभी भी तत्समक आव्यूह नहीं हो सकता। अतः,कथन $2$ सत्य है।

(D) माना $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ अभीष्ट इकाई सदिश है।
चूंकि $\vec{v}$,$\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{v} \cdot \vec{a} = 0$ होगा।
$2x - y + 2z = 0$ ...... $(i)$
चूंकि $\vec{v}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{c} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ के साथ समतलीय है,इसलिए $\vec{v} = p\vec{b} + q\vec{c}$ होगा।
$\vec{v} = (p + 2q)\hat{i} + (p + 2q)\hat{j} - (p + q)\hat{k}$।
अतः $x = p + 2q, y = p + 2q, z = -(p + q)$।
समीकरण $(i)$ में मान रखने पर: $2(p + 2q) - (p + 2q) + 2(-p - q) = 0$।
$2p + 4q - p - 2q - 2p - 2q = 0 \Rightarrow -p = 0 \Rightarrow p = 0$।
अतः $x = 2q, y = 2q, z = -q$।
चूंकि $\vec{v}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ होगा।
$(2q)^2 + (2q)^2 + (-q)^2 = 1 \Rightarrow 9q^2 = 1 \Rightarrow q = \pm \frac{1}{3}$।
$q = \frac{1}{3}$ लेने पर,$\vec{v} = \frac{2}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} - \frac{1}{3}\hat{k} = \frac{2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}}{3}$।
यह विकल्प $D$ के अनुरूप है।

(D) कथन $1$ सत्य है। यह बिंदु $x_0$ पर सांतत्य की मानक परिभाषा है।
कथन $2$ असत्य है। एक फलन $f$,$x_0$ पर असतत होता है यदि वह $x_0$ पर सतत नहीं है। यह तब होता है यदि $\lim_{x \to x_0} f(x)$ का अस्तित्व न हो,या यदि $\lim_{x \to x_0} f(x)$ का अस्तित्व हो लेकिन $\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$ हो। कथन $2$ केवल असंततता के एक विशिष्ट मामले (removable discontinuity) का वर्णन करता है और अन्य मामलों जैसे कि jump discontinuity या infinite discontinuity को अनदेखा करता है जहाँ सीमा का अस्तित्व ही नहीं हो सकता है।

(D) माना दी गई रेखा $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-3} = \frac{z + 10}{8} = k$ है।
रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $L = (2k + 1, -3k - 1, 8k - 10)$ के रूप में है।
माना $P = (1, 0, 0)$ है। रेखा $PL$ के दिक्-अनुपात $(2k + 1 - 1, -3k - 1 - 0, 8k - 10 - 0) = (2k, -3k - 1, 8k - 10)$ हैं।
चूंकि $PL$ दी गई रेखा (जिसके दिक्-अनुपात $(2, -3, 8)$ हैं) पर लंब है,इसलिए उनके दिक्-अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$2(2k) - 3(-3k - 1) + 8(8k - 10) = 0$.
$4k + 9k + 3 + 64k - 80 = 0$.
$77k - 77 = 0$,जिससे $k = 1$ प्राप्त होता है।
$k = 1$ को $L$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$L = (2(1) + 1, -3(1) - 1, 8(1) - 10) = (3, -4, -2)$.

(B) दिए गए सदिश $\vec{u} = \hat{j} + 4\hat{k}$,$\vec{v} = \hat{i} + 3\hat{k}$,और $\vec{w} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ हैं।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{u} \times \vec{v}$ की गणना करें:
$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1 \times 3 - 4 \times 0) - \hat{j}(0 \times 3 - 4 \times 1) + \hat{k}(0 \times 0 - 1 \times 1)$
$= 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$.
अब,अदिश त्रिक गुणनफल $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}$ की गणना करें:
$(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} = (3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}) \cdot (\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j})$
$= 3 \cos \theta + 4 \sin \theta$.
यह व्यंजक $a \cos \theta + b \sin \theta$ के रूप में है,जिसका अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
यहाँ,$a = 3$ और $b = 4$ है।
अधिकतम मान $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

(D) माना $A$ क्षेत्रफल है,$b$ चौड़ाई है और $\ell$ आयत की लंबाई है।
दिया गया है: $\frac{dA}{dt} = -5$,$\frac{d\ell}{dt} = 2$,और $\frac{db}{dt} = -3$.
हम जानते हैं कि आयत का क्षेत्रफल $A = \ell \times b$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = \ell \cdot \frac{db}{dt} + b \cdot \frac{d\ell}{dt}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$-5 = \ell(-3) + b(2)$.
$-5 = -3\ell + 2b$.
जब चौड़ाई $b = 2 \, m$ है,तो हम इसे समीकरण में रखते हैं:
$-5 = -3\ell + 2(2)$.
$-5 = -3\ell + 4$.
$3\ell = 4 + 5$.
$3\ell = 9$.
$\ell = 3 \, m$.
अतः,आयत की लंबाई $3 \, m$ है।

(C) दिया गया है कि $f'(x) = \sin(\log x)$ और $y = f\left(\frac{2x + 3}{3 - 2x}\right)$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = f'\left(\frac{2x + 3}{3 - 2x}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{2x + 3}{3 - 2x}\right)$.
सबसे पहले,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके आंतरिक फलन का अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{2x + 3}{3 - 2x}\right) = \frac{(3 - 2x)(2) - (2x + 3)(-2)}{(3 - 2x)^2} = \frac{6 - 4x + 4x + 6}{(3 - 2x)^2} = \frac{12}{(3 - 2x)^2}$.
अब,इस मान को $\frac{dy}{dx}$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \sin\left[\log\left(\frac{2x + 3}{3 - 2x}\right)\right] \cdot \frac{12}{(3 - 2x)^2}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{12}{(3 - 2x)^2} \sin\left[\log\left(\frac{2x + 3}{3 - 2x}\right)\right]$।

(D) कथन $1$ के लिए:
प्रथम अवकल समीकरण पर विचार करें: $\frac{dy}{dx} + y^2 = x$। उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ (कोटि $1$) है,और इसकी घात $1$ है। अतः,घात $1$ है।
द्वितीय अवकल समीकरण पर विचार करें: $\frac{d^2y}{dx^2} + y = \sin x$। उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ (कोटि $2$) है,और इसकी घात $1$ है। अतः,घात $1$ है।
चूंकि दोनों समीकरणों की घात $1$ है,इसलिए कथन $1$ सत्य है।
कथन $2$ के लिए:
यह अवकल समीकरण की घात की मानक परिभाषा है। यह अवकलजों में एक बहुपद है,और घात उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात होती है। अतः,कथन $2$ सत्य है।
निष्कर्ष:
कथन $2$ वह परिभाषा प्रदान करता है जिसका उपयोग कथन $1$ में घात निर्धारित करने के लिए किया गया है,जो इसे सही व्याख्या बनाता है। इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना बिंदु $A(1, 2, 2), B(2, 1, 2), C(2, 2, z)$ और $D(1, 1, 1)$ हैं।
बिंदु समतलीय होते हैं यदि सदिशों $\vec{AB}, \vec{AC}$ और $\vec{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल $0$ हो।
$\vec{AB} = (2-1, 1-2, 2-2) = (1, -1, 0)$
$\vec{AC} = (2-1, 2-2, z-2) = (1, 0, z-2)$
$\vec{AD} = (1-1, 1-2, 1-2) = (0, -1, -1)$
समतलीयता के लिए शर्त $\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & z-2 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 0$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर: $1(0 - (-(z-2))) - (-1)(-1 - 0) + 0 = 0$
$1(z-2) - 1 = 0 \Rightarrow z-3 = 0 \Rightarrow z = 3$.
चूंकि $z=3 \neq 2$,इसलिए कथन $1$ असत्य है।
कथन $2$ एक मानक ज्यामितीय गुण है: यदि चार बिंदु समतलीय हैं,तो वे गैर-शून्य आयतन का चतुष्फलक नहीं बनाते हैं,इसलिए आयतन $0$ होता है। अतः,कथन $2$ सत्य है।

(D) दिए गए वक्र $y = x^2$ और $y = x^3$ हैं।
$y = x^2$ और $y = x^3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $x^2 = x^3$ रखते हैं,जिससे $x^2(x - 1) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 0$ या $x = 1$ है।
$0 < x < 1$ के लिए,$x^2 > x^3$ है,और $x > 1$ के लिए,$x^3 > x^2$ है।
चूँकि $p > 1$ दिया गया है,क्षेत्रफल $[0, 1]$ और $[1, p]$ अंतरालों में क्षेत्रफलों का योग है:
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) \, dx + \int_{1}^{p} (x^3 - x^2) \, dx = \frac{1}{6}$.
प्रथम समाकलन की गणना:
$\int_{0}^{1} (x^2 - x^3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$.
द्वितीय समाकलन की गणना:
$\int_{1}^{p} (x^3 - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{p} = \left( \frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right) = \frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} + \frac{1}{12}$.
क्षेत्रफलों का योग करने पर:
$\frac{1}{12} + \frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} + \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$.
$\frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} + \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
$\frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$.
$\frac{p^4}{4} - \frac{p^3}{3} = 0$.
$12$ से गुणा करने पर:
$3p^4 - 4p^3 = 0$.
$p^3(3p - 4) = 0$.
चूँकि $p > 1$ है,इसलिए $p = 4/3$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $f(x) = x e^{x(1-x)}$.
गुणनफल नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करके,हम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 1 \cdot e^{x(1-x)} + x \cdot e^{x(1-x)} \cdot (1-2x)$
$f'(x) = e^{x(1-x)} [1 + x - 2x^2]$
$f'(x) = -e^{x(1-x)} [2x^2 - x - 1]$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$f'(x) = -e^{x(1-x)} (2x + 1)(x - 1)$
$f'(x) = -2 e^{x(1-x)} (x + 1/2)(x - 1)$
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $e^{x(1-x)} > 0$ है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $-(x + 1/2)(x - 1)$ पर निर्भर करता है।
$x \in [-1/2, 1]$ के लिए,गुणनफल $(x + 1/2)(x - 1) \leq 0$ होता है।
इसलिए,$-(x + 1/2)(x - 1) \geq 0$ होता है।
अतः,$x \in [-1/2, 1]$ के लिए $f'(x) \geq 0$ है।
इसलिए,$f(x)$ अंतराल $[-1/2, 1]$ पर वर्धमान है।

(A) माना $I = \int \frac{x^2 - x}{x^3 - x^2 + x - 1} dx$.
हर का गुणनखंड करने पर: $x^3 - x^2 + x - 1 = x^2(x - 1) + 1(x - 1) = (x^2 + 1)(x - 1)$.
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{x(x - 1)}{(x^2 + 1)(x - 1)} dx$.
उभयनिष्ठ पद $(x - 1)$ को काटने पर: $I = \int \frac{x}{x^2 + 1} dx$.
$2$ से गुणा और भाग करने पर: $I = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 1} dx$.
माना $u = x^2 + 1$,तब $du = 2x dx$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \log |u| + c$.
चूंकि $x^2 + 1 > 0$ सभी वास्तविक $x$ के लिए है,इसलिए: $I = \frac{1}{2} \log (x^2 + 1) + c$.

(C) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} -2a & a+b & a+c \\ b+a & -2b & b+c \\ c+a & b+c & -2c \end{array} \right|$.
$C_1 \to C_1 + C_3$ और $C_2 \to C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} -a+c & 2a+b+c & a+c \\ 2b+a+c & -b+c & b+c \\ a-c & b-c & -2c \end{array} \right|$.
$R_1 \to R_1 + R_3$ और $R_2 \to R_2 + R_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 2(a+b) & a-c \\ 2(a+b) & 0 & b-c \\ a-c & b-c & -2c \end{array} \right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 0 - 2(a+b) \left[ -4c(a+b) - (a-c)(b-c) \right] + (a-c) \left[ 2(a+b)(b-c) - 0 \right]$.
$\Delta = 8c(a+b)^2 + 2(a+b)(a-c)(b-c) + 2(a+b)(a-c)(b-c)$.
$\Delta = 8c(a+b)^2 + 4(a+b)(a-c)(b-c)$.
$\Delta = 4(a+b) \left[ 2c(a+b) + (a-c)(b-c) \right]$.
$\Delta = 4(a+b) \left[ 2ac + 2bc + ab - ac - bc + c^2 \right]$.
$\Delta = 4(a+b) \left[ ac + bc + ab + c^2 \right]$.
$\Delta = 4(a+b) \left[ c(a+c) + b(a+c) \right]$.
$\Delta = 4(a+b)(b+c)(c+a)$.
$\alpha(a+b)(b+c)(c+a)$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = 4$ प्राप्त होता है।

(B) समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ सममित होता है यदि सभी $a, b \in A$ के लिए $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ हो।
सबसे पहले,हम समुच्चय $A$ के अवयवों की पहचान करते हैं: $A = \{3, 4, 6, 8, 9\}\text{।}$ अवयवों की संख्या $n = 5$ है।
$A \times A$ में क्रमित युग्मों की कुल संख्या $n^2 = 5^2 = 25$ है।
इन $25$ युग्मों को इस प्रकार वर्गीकृत किया जा सकता है:
$1$. $(a, a)$ के रूप के युग्म: ऐसे $n = 5$ युग्म हैं: $(3, 3), (4, 4), (6, 6), (8, 8), (9, 9)\text{।}$
$2$. $(a, b)$ के रूप के युग्म जहाँ $a \neq b$: ऐसे $n^2 - n = 25 - 5 = 20$ युग्म हैं।
एक सममित संबंध के लिए,यदि $(a, b)$ शामिल है,तो $(b, a)$ को भी शामिल किया जाना चाहिए। ये $20$ युग्म $\{(a, b), (b, a)\}$ के रूप के $10$ युग्म बनाते हैं।
प्रत्येक $5$ विकर्ण युग्मों $(a, a)$ के लिए,हमारे पास $2$ विकल्प हैं (शामिल करें या न करें)।
$\{(a, b), (b, a)\}$ के रूप के प्रत्येक $10$ युग्मों के लिए,हमारे पास $2$ विकल्प हैं (दोनों को शामिल करें या दोनों को बाहर रखें)।
अतः,सममित संबंधों की कुल संख्या $2^5 \times 2^{10} = 2^{5+10} = 2^{15}$ है।

(A) दिया गया है कि $\frac{d}{dx} G(x) = \frac{e^{\tan x}}{x}$,जहाँ $x \in (0, \pi/2)$.
माना $I = \int_{1/4}^{1/2} \frac{2}{x} e^{\tan(\pi x^2)} dx$.
समाकलन के अंदर $\pi$ से गुणा और भाग करने पर: $I = \int_{1/4}^{1/2} \frac{2\pi x}{\pi x^2} e^{\tan(\pi x^2)} dx$.
माना $t = \pi x^2$. तब $dt = 2\pi x dx$.
जब $x = 1/4$,तब $t = \pi/16$. जब $x = 1/2$,तब $t = \pi/4$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int_{\pi/16}^{\pi/4} \frac{e^{\tan t}}{t} dt$.
चूँकि $\frac{d}{dt} G(t) = \frac{e^{\tan t}}{t}$,इसलिए समाकलन का मान $[G(t)]_{\pi/16}^{\pi/4} = G(\pi/4) - G(\pi/16)$ होगा।

(C) दी गई व्यंजक $\frac{\sum_{i=1}^n i^2}{\sum_{i=1}^n i} = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2n+1}{3}$ है।
व्यंजक के पूर्णांक होने के लिए,$2n+1$ को $3$ से विभाज्य होना चाहिए।
इसका अर्थ है $2n+1 \equiv 0 \pmod{3}$,जिसका तात्पर्य है $2n \equiv -1 \equiv 2 \pmod{3}$,इसलिए $n \equiv 1 \pmod{3}$।
हमें समुच्चय $\{1, 2, 3, \dots, 1000\}$ में $n$ के उन मानों को खोजना है जिनके लिए $n = 3k+1$ हो,जहाँ $k \ge 0$ एक पूर्णांक है।
$k=0$ के लिए,$n=1$। $k=333$ के लिए,$n=3(333)+1 = 1000$।
अतः,$k$ का मान $0$ से $333$ तक हो सकता है,जो कुल $333 - 0 + 1 = 334$ मान देता है।
$n$ के लिए संभावित कुल मानों की संख्या $1000$ है।
इसलिए,आवश्यक प्रायिकता $\frac{334}{1000} = 0.334$ है।

(D) दिया गया क्षेत्र एक वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ है जिसकी त्रिज्या $r = 2$ और केंद्र $(0, 0)$ है। रेखा $y = x + 2$ बिंदुओं $(-2, 0)$ और $(0, 2)$ से होकर गुजरती है।
मान लीजिए $I$ छोटा भाग है और $II$ वृत्त का बड़ा भाग है।
छोटे भाग $I$ का क्षेत्रफल समाकलन द्वारा इस प्रकार है:
$I$ का क्षेत्रफल $= \int_{-2}^{0} [\sqrt{4 - x^2} - (x + 2)] dx$
$= [\frac{x}{2} \sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2})]_{-2}^{0} - [\frac{x^2}{2} + 2x]_{-2}^{0}$
$= [0 + 2 \sin^{-1}(0)] - [(-1) \sqrt{0} + 2 \sin^{-1}(-1)] - [0 - (\frac{4}{2} - 4)]$
$= [0 - 2(-\frac{\pi}{2})] - [0 - (-2)]$
$= \pi - 2$
अब,बड़े भाग $II$ का क्षेत्रफल:
$II$ का क्षेत्रफल $= \text{वृत्त का क्षेत्रफल} - I$ का क्षेत्रफल
$= 4\pi - (\pi - 2) = 3\pi + 2$
अतः,अभीष्ट अनुपात है:
$\frac{I \text{ का क्षेत्रफल}}{II \text{ का क्षेत्रफल}} = \frac{\pi - 2}{3\pi + 2}$

(D) माना $I = \int_{0}^{0.9} [x - 2[x]] \, dx$.
चूँकि $0 \le x < 0.9$,महत्तम पूर्णांक फलन $[x] = 0$ है।
इस मान को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{0}^{0.9} [x - 2(0)] \, dx = \int_{0}^{0.9} [x] \, dx$.
अंतराल $[0, 0.9)$ में $0 \le x < 0.9$ के लिए,$[x] = 0$ होता है।
अतः,$I = \int_{0}^{0.9} 0 \, dx = 0$.

(C) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} b^2 + c^2 & ab & ac \\ ab & c^2 + a^2 & bc \\ ac & bc & a^2 + b^2 \end{array} \right|$.
$C_1$ को $a$ से,$C_2$ को $b$ से और $C_3$ को $c$ से गुणा करने पर और सारणिक को $abc$ से विभाजित करने पर:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} a(b^2 + c^2) & ab^2 & ac^2 \\ a^2b & b(c^2 + a^2) & bc^2 \\ a^2c & b^2c & c(a^2 + b^2) \end{array} \right|$.
$R_1, R_2, R_3$ से क्रमशः $a, b, c$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = \frac{abc}{abc} \left| \begin{array}{ccc} b^2 + c^2 & b^2 & c^2 \\ a^2 & c^2 + a^2 & c^2 \\ a^2 & b^2 & a^2 + b^2 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} b^2 + c^2 & b^2 & c^2 \\ a^2 & c^2 + a^2 & c^2 \\ a^2 & b^2 & a^2 + b^2 \end{array} \right|$.
$C_1 \to C_1 - C_2 - C_3$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 0 & b^2 & c^2 \\ -2c^2 & c^2 + a^2 & c^2 \\ -2b^2 & b^2 & a^2 + b^2 \end{array} \right| = -2 \left| \begin{array}{ccc} 0 & b^2 & c^2 \\ c^2 & c^2 + a^2 & c^2 \\ b^2 & b^2 & a^2 + b^2 \end{array} \right|$.
$C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = -2 \left| \begin{array}{ccc} 0 & b^2 & c^2 \\ c^2 & a^2 & 0 \\ b^2 & 0 & a^2 \end{array} \right| = -2 [ -b^2(c^2 a^2) + c^2(-a^2 b^2) ] = -2 [-a^2 b^2 c^2 - a^2 b^2 c^2] = 4a^2 b^2 c^2$.
चूंकि $\Delta = k a^2 b^2 c^2$,इसलिए $k = 4$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $f(x) = \int \left( \frac{x^2 + \sin^2 x}{1 + x^2} \right) \sec^2 x \, dx$.
हम समाकल्य (integrand) को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \int \frac{x^2 \sec^2 x + \sin^2 x \sec^2 x}{1 + x^2} \, dx$
चूंकि $\sin^2 x \sec^2 x = \tan^2 x$,इसलिए:
$f(x) = \int \frac{x^2 \sec^2 x + \tan^2 x}{1 + x^2} \, dx$
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \int \frac{x^2(1 + \tan^2 x) + \tan^2 x}{1 + x^2} \, dx$
$f(x) = \int \frac{x^2 + x^2 \tan^2 x + \tan^2 x}{1 + x^2} \, dx = \int \frac{x^2 + \tan^2 x(1 + x^2)}{1 + x^2} \, dx$
$f(x) = \int \frac{x^2}{1 + x^2} \, dx + \int \tan^2 x \, dx$
$f(x) = \int \frac{x^2 + 1 - 1}{1 + x^2} \, dx + \int (\sec^2 x - 1) \, dx$
$f(x) = \int (1 - \frac{1}{1 + x^2}) \, dx + \int \sec^2 x \, dx - \int 1 \, dx$
$f(x) = x - \tan^{-1} x + \tan x - x + C = \tan x - \tan^{-1} x + C$
चूंकि $f(0) = 0$ दिया गया है,इसलिए $0 = \tan 0 - \tan^{-1} 0 + C$,जिससे $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) = \tan x - \tan^{-1} x$.
इसलिए,$f(1) = \tan 1 - \tan^{-1}(1) = \tan 1 - \frac{\pi}{4}$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x^2$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2}{x}$ और $Q = x^2$ है।
सबसे पहले,हम समाकलन गुणक ($I$.$F$.) की गणना करते हैं:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = e^{\ln(x^2)} = x^2$.
व्यापक हल का सूत्र $y \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + c$ है।
मान रखने पर,$y \cdot x^2 = \int (x^2 \cdot x^2) dx + c$ प्राप्त होता है।
$y \cdot x^2 = \int x^4 dx + c$.
$y \cdot x^2 = \frac{x^5}{5} + c$.
दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर,$y = \frac{x^3}{5} + cx^{-2}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $\theta = \cos^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}}$.
तब $\cos \theta = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
हम जानते हैं कि $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$.
$\cos \theta$ का मान रखने पर,हमें $\sin \theta = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $\tan^{-1} (\sin \theta) = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ हो जाता है।
चूंकि $\tan \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{6}$ है।