AIEEE 2003 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણ $|x|^2 - 3|x| + 2 = 0$ છે.
ધારો કે $|x| = t$,જ્યાં $t \ge 0$.
સમીકરણ $t^2 - 3t + 2 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 1)(t - 2) = 0$.
આથી $t = 1$ અથવા $t = 2$ મળે.
$t = |x|$ હોવાથી,$|x| = 1$ અથવા $|x| = 2$ મળે.
$|x| = 1$ માટે,ઉકેલો $x = 1$ અને $x = -1$ છે.
$|x| = 2$ માટે,ઉકેલો $x = 2$ અને $x = -2$ છે.
આમ,વાસ્તવિક ઉકેલો $x \in \{1, -1, 2, -2\}$ છે.
વાસ્તવિક ઉકેલોની કુલ સંખ્યા $4$ છે.

(C) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
તેથી,$\alpha + \beta = -b/a$ અને $\alpha\beta = c/a$.
પ્રશ્ન મુજબ,$\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\alpha + \beta = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $-b/a = \frac{(-b/a)^2 - 2(c/a)}{(c/a)^2} = \frac{b^2/a^2 - 2c/a}{c^2/a^2} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$.
આમ,$-bc^2 = a(b^2 - 2ac) = ab^2 - 2a^2c$.
ગોઠવતા,$2a^2c = ab^2 + bc^2$.
બંને બાજુને $abc$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $\frac{2a}{b} = \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$.
આ દર્શાવે છે કે $\frac{c}{a}, \frac{a}{b}, \frac{b}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,તેમના વ્યસ્ત $\frac{a}{c}, \frac{b}{a}, \frac{c}{b}$ એ $H.P.$ માં છે.

(A) ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $2\alpha$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + 2\alpha = 3\alpha = -\frac{3a - 1}{a^2 - 5a + 3} = \frac{1 - 3a}{a^2 - 5a + 3} \implies \alpha = \frac{1 - 3a}{3(a^2 - 5a + 3)}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot 2\alpha = 2\alpha^2 = \frac{2}{a^2 - 5a + 3} \implies \alpha^2 = \frac{1}{a^2 - 5a + 3}$.
સરવાળાના સમીકરણમાંથી $\alpha$ ની કિંમત ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left[\frac{1 - 3a}{3(a^2 - 5a + 3)}\right]^2 = \frac{1}{a^2 - 5a + 3}$.
$\frac{(1 - 3a)^2}{9(a^2 - 5a + 3)^2} = \frac{1}{a^2 - 5a + 3}$.
$(1 - 3a)^2 = 9(a^2 - 5a + 3)$.
$1 - 6a + 9a^2 = 9a^2 - 45a + 27$.
$39a = 26$.
$a = \frac{26}{39} = \frac{2}{3}$.

(A) પ્રથમ,$6$ પુરુષોને ગોળાકાર ટેબલ પર ગોઠવો. $n$ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. તેથી,$6$ પુરુષોને $(6-1)! = 5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
પુરુષોને ગોઠવ્યા પછી,તેમની વચ્ચે $6$ જગ્યાઓ (gaps) બને છે.
કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે તે માટે,આપણે $6$ જગ્યાઓમાંથી $5$ જગ્યાઓ પસંદ કરીને તેમાં $5$ સ્ત્રીઓને ગોઠવવી પડશે.
$6$ જગ્યાઓમાંથી $5$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીત $^6C_5$ છે અને $5$ સ્ત્રીઓને આ જગ્યાઓમાં $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કુલ રીતો $= 5! \times P(6, 5) = 5! \times 6!$.

(B) વિદ્યાર્થીએ $13$ માંથી $10$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે,જેમાં પ્રથમ $5$ માંથી ઓછામાં ઓછા $4$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે.
કિસ્સો $I$: પ્રથમ $5$ માંથી $4$ પ્રશ્નો અને બાકીના $8$ માંથી $6$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા.
પસંદગીઓની સંખ્યા $= {^5C_4} \times {^8C_6} = 5 \times 28 = 140$.
કિસ્સો $II$: પ્રથમ $5$ માંથી $5$ પ્રશ્નો અને બાકીના $8$ માંથી $5$ પ્રશ્નો પસંદ કરવા.
પસંદગીઓની સંખ્યા $= {^5C_5} \times {^8C_5} = 1 \times 56 = 56$.
કુલ પસંદગીઓની સંખ્યા $= 140 + 56 = 196$.

(C) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{r!} x^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદ ઋણ હોવા માટે,ગુણાકાર $n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)$ ઋણ હોવો જોઈએ કારણ કે $x > 0$ માટે $x^r$ અને $r!$ ધન છે.
અહીં $n = \frac{27}{5} = 5.4$ છે.
જ્યારે અવયવ $(n-r+1) < 0$ થાય ત્યારે પદ ઋણ બને છે.
$5.4 - r + 1 < 0 \implies 6.4 < r$.
$r$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી સૌથી નાનો પૂર્ણાંક $r = 7$ છે.
આમ,પ્રથમ ઋણ પદ $T_{7+1} = T_8$ છે,જે $8$ મું પદ છે.

(B) $(\sqrt{3} + \sqrt[8]{5})^{256}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{256}C_r (\sqrt{3})^{256-r} (\sqrt[8]{5})^r$ છે.
આને $T_{r+1} = {}^{256}C_r (3)^{\frac{256-r}{2}} (5)^{\frac{r}{8}}$ તરીકે લખી શકાય.
પદ પૂર્ણાંક હોય તે માટે ઘાતાંક $\frac{256-r}{2}$ અને $\frac{r}{8}$ બંને અનૃણ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ.
$0 \leq r \leq 256$ હોવાથી,$\frac{r}{8}$ પૂર્ણાંક બને તે માટે $r$ એ $8$ નો ગુણક હોવો જોઈએ,એટલે કે $r \in \{0, 8, 16, \dots, 256\}$.
આ કિંમતો માટે $\frac{256-r}{2}$ પણ પૂર્ણાંક થશે.
આવા $r$ ના મૂલ્યોની સંખ્યા $0, 8, 16, \dots, 256$ સમાંતર શ્રેણી દ્વારા મળે છે.
સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા,$256 = 0 + (n-1)8$,તેથી $n-1 = 32$,એટલે કે $n = 33$.
આમ,કુલ $33$ પૂર્ણાંક પદો છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે લઘુગણકીય શ્રેણીનું વિસ્તરણ:
${\log_e} 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$
આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)}$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$.
તેથી,$S = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = 2{\log_e} 2 - 1 = {\log_e} 4 - {\log_e} e = {\log_e} \left( \frac{4}{e} \right)$.

(A) આપેલ છે: $a\cos^2\frac{C}{2} + c\cos^2\frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{a+b+c}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને,$\cos^2\frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ અને $\cos^2\frac{C}{2} = \frac{s(s-c)}{ab}$ સૂત્રો મૂકતા:
$a \left( \frac{s(s-c)}{ab} \right) + c \left( \frac{s(s-a)}{bc} \right) = \frac{3b}{2}$
$\frac{s(s-c)}{b} + \frac{s(s-a)}{b} = \frac{3b}{2}$
$\frac{s}{b} (s-c + s-a) = \frac{3b}{2}$
અહીં $s-c+s-a = 2s - (a+c) = b$ હોવાથી:
$\frac{s}{b} (b) = \frac{3b}{2} \Rightarrow s = \frac{3b}{2}$
$s = \frac{a+b+c}{2}$ મૂકતા:
$\frac{a+b+c}{2} = \frac{3b}{2}$ $\Rightarrow a+b+c = 3b$ $\Rightarrow a+c = 2b$
તેથી,$a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.

(B) બાજુ લંબાઈ ધરાવતા નિયમિત $n$-બાજુવાળા બહુકોણ માટે,અંતઃત્રિજ્યા $r$ અને પરિત્રિજ્યા $R$ નીચે મુજબ છે:
$r = \frac{a}{2} \cot \left( \frac{\pi}{n} \right)$
$R = \frac{a}{2} \csc \left( \frac{\pi}{n} \right)$
સરવાળો $= r + R = \frac{a}{2} \left( \cot \frac{\pi}{n} + \csc \frac{\pi}{n} \right)$
નિત્યસમ $\cot \theta + \csc \theta = \cot \left( \frac{\theta}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
સરવાળો $= \frac{a}{2} \cot \left( \frac{\pi}{2n} \right)$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $(x, y)$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1) = (a \cos t, a \sin t)$,$(x_2, y_2) = (b \sin t, -b \cos t)$ અને $(x_3, y_3) = (1, 0)$ છે.
મધ્યકેન્દ્રના યામ $x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$ અને $y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$3x = a \cos t + b \sin t + 1$ અને $3y = a \sin t - b \cos t$.
ગોઠવતા,$3x - 1 = a \cos t + b \sin t$ અને $3y = a \sin t - b \cos t$ મળે.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = (a \cos t + b \sin t)^2 + (a \sin t - b \cos t)^2$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$= a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t + 2ab \sin t \cos t + a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t - 2ab \sin t \cos t$.
$= a^2(\cos^2 t + \sin^2 t) + b^2(\sin^2 t + \cos^2 t) = a^2 + b^2$.
તેથી,બિંદુપથ $(3x - 1)^2 + (3y)^2 = a^2 + b^2$ છે.

(A) ધારો કે સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. ${x_1}, {x_2}, {x_3}$ એ $G$.$P$. માં હોવાથી,${x_2} = {x_1}r$ અને ${x_3} = {x_1}r^2$ મળે.
તે જ રીતે,${y_1}, {y_2}, {y_3}$ એ સમાન સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ સાથે $G$.$P$. માં હોવાથી,${y_2} = {y_1}r$ અને ${y_3} = {y_1}r^2$ મળે.
બિંદુઓ $P_1 = ({x_1}, {y_1})$,$P_2 = ({x_1}r, {y_1}r)$,અને $P_3 = ({x_1}r^2, {y_1}r^2)$ છે.
અહીં તમામ બિંદુઓ માટે $y$-યામ અને $x$-યામનો ગુણોત્તર અચળ છે: $\frac{{y_1}}{{x_1}} = \frac{{y_1}r}{{x_1}r} = \frac{{y_1}r^2}{{x_1}r^2} = m$ (જ્યાં $m = \frac{{y_1}}{{x_1}}$).
આ દર્શાવે છે કે ત્રણેય બિંદુઓ $y = mx$ સમીકરણનું પાલન કરે છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.

(A) રેખાઓ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2pxy - y^2 = 0$ માટે,$a = 1, h = -p, b = -1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{1 - (-1)} = \frac{xy}{-p}$ મળે છે.
$\frac{x^2 - y^2}{2} = \frac{xy}{-p}$ $\Rightarrow -p(x^2 - y^2) = 2xy$ $\Rightarrow px^2 + 2xy - py^2 = 0$.
આને આપેલ દ્વિભાજક સમીકરણ $x^2 - 2qxy - y^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,સહગુણકોનો ગુણોત્તર:
$\frac{p}{1} = \frac{2}{-2q} = \frac{-p}{-1}$.
$\frac{p}{1} = \frac{2}{-2q}$ પરથી,$p = -\frac{1}{q}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $pq = -1$ અથવા $pq + 1 = 0$.

(B) વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસ $2x - 3y = 5$ અને $3x - 4y = 7$ નું છેદબિંદુ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $x = 1$ અને $y = -1$ મળે છે.
તેથી,કેન્દ્ર $(h, k) = (1, -1)$.
આપેલ ક્ષેત્રફળ $= 154$,તેથી $\pi r^2 = 154$ $\Rightarrow r^2 = 49$ $\Rightarrow r = 7$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ મુજબ:
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2x + 2y = 47$.

(A) પ્રથમ વર્તુળ $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = r^2$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C_1 = (1, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે.
બીજું વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8x + 2y + 8 = 0$ છે. પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં: $(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 3^2$. તેથી,કેન્દ્ર $C_2 = (4, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-1 - 3)^2} = 5$ છે.
બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટેની શરત $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ છે.
$1$) $r + 3 > 5 \Rightarrow r > 2$.
$2$) $|r - 3| < 5 \Rightarrow -2 < r < 8$. $r$ ધન હોવાથી,$0 < r < 8$.
આમ,$2 < r < 8$ મળે છે.

(A) પરવલય $y^2 = 4bx$ માટે બિંદુ $P(bt_1^2, 2bt_1)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y + t_1x = 2bt_1 + bt_1^3$ છે.
આ અભિલંબ પરવલયને બિંદુ $Q(bt_2^2, 2bt_2)$ માં મળે છે,તેથી બિંદુ $Q$ અભિલંબના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
$x = bt_2^2$ અને $y = 2bt_2$ મૂકતા:
$2bt_2 + t_1(bt_2^2) = 2bt_1 + bt_1^3$.
$b$ વડે ભાગતા:
$2t_2 + t_1t_2^2 = 2t_1 + t_1^3$.
પદોને ગોઠવતા:
$t_1(t_2^2 - t_1^2) + 2(t_2 - t_1) = 0$.
$t_1(t_2 - t_1)(t_2 + t_1) + 2(t_2 - t_1) = 0$.
$(t_2 - t_1)$ વડે ભાગતા:
$t_1(t_2 + t_1) + 2 = 0$.
$t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$.

(C) આપેલ અતિવલય $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ છે,જેને $\frac{x^2}{(12/5)^2} - \frac{y^2}{(9/5)^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = \frac{144}{25}$ અને $b^2 = \frac{81}{25}$ છે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_1 = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{81}{144}} = \sqrt{\frac{225}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ મળે.
અતિવલયની નાભિઓ $(\pm a e_1, 0) = (\pm \frac{12}{5} \times \frac{5}{4}, 0) = (\pm 3, 0)$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ છે,જ્યાં $a^2 = 16$,તેથી $a = 4$.
નાભિઓ સમાન હોવાથી,$4e = 3$,જે $e = \frac{3}{4}$ આપે છે.
ઉપવલય માટે,$b^2 = a^2(1 - e^2) = 16(1 - (\frac{3}{4})^2) = 16(1 - \frac{9}{16}) = 16(\frac{7}{16}) = 7$.

(C) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\log (3 + x) - \log (3 - x)}}{x} = k$.
$L'Hospital$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\log(3+x) - \log(3-x))}{\frac{d}{dx}(x)} = k$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3+x} - (\frac{1}{3-x} \times -1)}{1} = k$.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\frac{1}{3+x} + \frac{1}{3-x}) = k$.
$x = 0$ મુકતા:
$\frac{1}{3+0} + \frac{1}{3-0} = k$.
$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = k$.
$k = \frac{2}{3}$.

(D) $5$ ઘોડામાંથી $2$ ઘોડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ છે.
માત્ર $1$ વિજેતા ઘોડો છે. વિજેતા ઘોડાનો સમાવેશ થાય તેવી રીતે $2$ ઘોડા પસંદ કરવાની રીતો એટલે કે વિજેતા ઘોડાને પસંદ કરવો અને બાકીના $4$ ઘોડામાંથી એક અન્ય ઘોડો પસંદ કરવો,જે $^4C_1 = 4$ છે.
તેથી,$Mr. A$ એ વિજેતા ઘોડાને પસંદ કર્યો હોય તેની સંભાવના $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ છે.

(A) કારણ કે $\frac{1 + 3p}{3}, \frac{1 - p}{4}$ અને $\frac{1 - 2p}{2}$ એ ત્રણ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ છે,દરેક સંભાવના $[0, 1]$ અંતરાલમાં હોવી જોઈએ.
$1$) $0 \le \frac{1 + 3p}{3} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 + 3p \le 3 \Rightarrow -1 \le 3p \le 2 \Rightarrow -\frac{1}{3} \le p \le \frac{2}{3}$
$2$) $0 \le \frac{1 - p}{4} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 - p \le 4 \Rightarrow -1 \le -p \le 3 \Rightarrow -3 \le p \le 1$
$3$) $0 \le \frac{1 - 2p}{2} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 - 2p \le 2 \Rightarrow -1 \le -2p \le 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \le p \le \frac{1}{2}$
પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ માટે,સંભાવનાઓનો સરવાળો $\le 1$ હોવો જોઈએ:
$\frac{1 + 3p}{3} + \frac{1 - p}{4} + \frac{1 - 2p}{2} \le 1$
$12$ વડે ગુણતા: $4(1 + 3p) + 3(1 - p) + 6(1 - 2p) \le 12$
$4 + 12p + 3 - 3p + 6 - 12p \le 12$
$13 - 3p \le 12 \Rightarrow -3p \le -1 \Rightarrow p \ge \frac{1}{3}$
બધી શરતોનો છેદ લેતા:
$p \in [-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \cap [-3, 1] \cap [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] \cap [\frac{1}{3}, \infty)$
છેદ $\frac{1}{3} \le p \le \frac{1}{2}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે અવલોકનોની સંખ્યા $n = 9$ છે.
$9$ અવલોકનોનો મધ્યસ્થ $\left( \frac{9+1}{2} \right)^{th} = 5^{th}$ અવલોકન છે.
ધારો કે ક્રમબદ્ધ અવલોકનો $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6 < x_7 < x_8 < x_9$ છે.
મધ્યસ્થ $x_5 = 20.5$ છે.
જો સૌથી મોટા $4$ અવલોકનો $(x_6, x_7, x_8, x_9)$ ને $2$ થી વધારવામાં આવે,તો નવા અવલોકનો $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, (x_6+2), (x_7+2), (x_8+2), (x_9+2)$ થશે.
કારણ કે $x_5$ એ $x_6$ કરતા નાનું છે,અને $x_6 < x_6+2$,તેથી પ્રથમ $5$ અવલોકનોનો ક્રમ બદલાતો નથી.
તેથી,$5^{th}$ અવલોકન $x_5$ જ રહે છે,જે $20.5$ છે.
આમ,મધ્યસ્થ મૂળ સમૂહના મધ્યસ્થ જેટલો જ રહે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: ${\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^x} = 1$.
પ્રથમ,કૌંસની અંદરના પદને છેદના અનુબદ્ધ $(1 + i)$ વડે ગુણીને સાદું રૂપ આપો:
$\frac{{1 + i}}{{1 - i}} \times \frac{{1 + i}}{{1 + i}} = \frac{{(1 + i)^2}}{{1^2 - i^2}} = \frac{{1 + i^2 + 2i}}{{1 - (-1)}} = \frac{{1 - 1 + 2i}}{2} = \frac{{2i}}{2} = i$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $i^x = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $i^k = 1$ ત્યારે જ થાય જો $k$ એ $4$ નો ગુણક હોય.
તેથી,$x = 4n$,જ્યાં $n$ કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક છે.

(C) આપેલ છે કે ${z_1}$ અને ${z_2}$ એ સમીકરણ ${z^2 + az + b = 0}$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,${z_1 + z_2 = -a}$ અને ${z_1 z_2 = b}$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $({z_3 = 0})$,${z_1}$,અને ${z_2}$ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે,તેથી શરત ${z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1}$ છે.
${z_3 = 0}$ મૂકતા,${z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2}$ મળે છે.
બંને બાજુ ${2 z_1 z_2}$ ઉમેરતા,${z_1^2 + z_2^2 + 2 z_1 z_2 = 3 z_1 z_2}$ મળે છે.
આથી ${(z_1 + z_2)^2 = 3 z_1 z_2}$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,${(-a)^2 = 3b}$ એટલે કે ${a^2 = 3b}$ મળે છે.

(B) ધારો કે થાંભલાની કુલ ઊંચાઈ $h$ છે. થાંભલાના બે ભાગ છે: ઉપરનો ભાગ $\frac{3h}{4}$ અને નીચેનો ભાગ $\frac{h}{4}$.
જમીન પરનું બિંદુ $C$ છે અને થાંભલાનો પાયો $B$ છે. આપેલ છે કે $BC = 40 \ m$.
ધારો કે $\theta$ એ થાંભલાની ટોચ $(A)$ નો ઉત્સેધકોણ છે અને $\alpha$ એ બિંદુ $D$ નો ઉત્સેધકોણ છે.
તેથી $\tan \theta = \frac{h}{40}$ અને $\tan \alpha = \frac{h/4}{40} = \frac{h}{160}$.
ઉપરના ભાગ $AD$ દ્વારા $C$ આગળ આંતરેલો ખૂણો $\beta = \theta - \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ છે.
આમ,$\tan \beta = \frac{\tan \theta - \tan \alpha}{1 + \tan \theta \tan \alpha} = \frac{3}{5}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\frac{h}{40} - \frac{h}{160}}{1 + \left(\frac{h}{40}\right)\left(\frac{h}{160}\right)} = \frac{3}{5}$.
$\frac{3h}{160} \times \frac{6400}{6400 + h^2} = \frac{3}{5} \Rightarrow 200h = 6400 + h^2$.
$h^2 - 200h + 6400 = 0 \Rightarrow (h - 160)(h - 40) = 0$.
તેથી,$h = 40 \ m$ અથવા $h = 160 \ m$.

(B) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$,$B$,અને $C$ છે.
બાજુ $OA$ એ $x$-અક્ષ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવતી હોવાથી,તેના યામ $A(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ છે.
વિકર્ણ $OB$ એ $x$-અક્ષ સાથે $\alpha + \frac{\pi}{4}$ ખૂણો બનાવે છે.
$OB$ નો ઢાળ $\tan(\alpha + \frac{\pi}{4})$ છે.
વિકર્ણ $AC$ એ $OB$ ને લંબ છે.
$AC$ નો ઢાળ $-\cot(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$ છે.
$A(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AC$ નું સમીકરણ:
$y - a \sin \alpha = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha} (x - a \cos \alpha)$
સાથે ગણતરી કરતા,આપણને મળે છે:
$y(\cos \alpha + \sin \alpha) - x(\sin \alpha - \cos \alpha) = a$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1 - \tan(x/2)}{1 + \tan(x/2)} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2})$.
તેથી,લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{\tan \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)\,(1 - \sin x)}}{{{{(\pi - 2x)}^3}}}$ બને છે.
ધારો કે $x = \frac{\pi }{2} + y$,જ્યાં $y \to 0$. તો $\pi - 2x = -2y$ અને $1 - \sin x = 1 - \cos y = 2\sin^2(\frac{y}{2})$.
કિંમતો મૂકતા,$\mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \frac{{-\tan(\frac{y}{2}) \cdot 2\sin^2(\frac{y}{2})}}{-8y^3} = \frac{1}{32}$.

(A) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(1) g(x) - f(1) - g(1) f(x) + g(1)}{g(x) - f(x)} = 4$.
$f(1) = g(1) = k$ હોવાથી,પદાવલિ $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{k g(x) - k - k f(x) + k}{g(x) - f(x)} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{k(g(x) - f(x))}{g(x) - f(x)}$ બને છે.
જ્યારે $x \rightarrow 1$,ત્યારે $g(x) - f(x) \rightarrow g(1) - f(1) = k - k = 0$,જે $\frac{0}{0}$ પ્રકારનું અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
$L'\text{Hospital's Rule}$ લાગુ પાડતા: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{k g'(x) - k f'(x)}{g'(x) - f'(x)} = 4$.
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{k(g'(x) - f'(x))}{g'(x) - f'(x)} = 4$.
$g'(1) \neq f'(1)$ હોવાથી (આપેલ છે કે વિકલિતો સમાન નથી),આપણે $(g'(x) - f'(x))$ પદને છેદ ઉડાડી શકીએ છીએ.
આમ,$k = 4$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = x^n$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x=1$ આગળ $f(x)$ નું $k$-મું વિકલન $f^k(1) = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$ થાય છે.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$f(1) - \frac{f'(1)}{1!} + \frac{f''(1)}{2!} - \frac{f'''(1)}{3!} + ...... + \frac{(-1)^n f^n(1)}{n!} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{f^k(1)}{k!}$.
કારણ કે $\frac{f^k(1)}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{k}$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = \binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - ...... + (-1)^n \binom{n}{n}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1-x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-x)^k$.
$x=1$ લેતા,આપણને $(1-1)^n = 0^n = 0$ મળે છે (જ્યાં $n \ge 1$).
આમ,જવાબ $0$ છે.

(D) આપેલ છે $n = 15$,$\sum x^2 = 2830$,અને $\sum x = 170$.
ખોટું અવલોકન $20$ છે અને સાચું અવલોકન $30$ છે.
સુધારેલ $\sum x = 170 - 20 + 30 = 180$.
સુધારેલ $\sum x^2 = 2830 - (20)^2 + (30)^2 = 2830 - 400 + 900 = 3330$.
સુધારેલ મધ્યક $\bar{x} = \frac{180}{15} = 12$.
સુધારેલ વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{3330}{15} - (12)^2$.
$\sigma^2 = 222 - 144 = 78$.

(D) આપેલ છે કે $|z \omega| = 1$,તેથી $|z| |\omega| = 1$.
વળી,$\operatorname{Arg}(z) - \operatorname{Arg}(\omega) = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{Arg}(\frac{z}{\omega}) = \frac{\pi}{2}$.
ધારો કે $z = r_1 e^{i \theta_1}$ અને $\omega = r_2 e^{i \theta_2}$.
તેથી $|z| = r_1$ અને $|\omega| = r_2$,એટલે કે $r_1 r_2 = 1$.
$\operatorname{Arg}(z) = \theta_1$ અને $\operatorname{Arg}(\omega) = \theta_2$,તેથી $\theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{2}$.
આપણે $\bar{z} \omega$ શોધવાનું છે.
$\bar{z} = r_1 e^{-i \theta_1}$.
$\bar{z} \omega = (r_1 e^{-i \theta_1}) (r_2 e^{i \theta_2}) = (r_1 r_2) e^{i(\theta_2 - \theta_1)}$.
કારણ કે $r_1 r_2 = 1$ અને $\theta_2 - \theta_1 = -\frac{\pi}{2}$,તેથી:
$\bar{z} \omega = 1 \cdot e^{-i \frac{\pi}{2}} = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 - i = -i$.

(B) આપણે નિત્યસમ ${}^n C_r + {}^n C_{r-1} = {}^{n+1} C_r$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલી પદાવલિ ${}^n C_{r+1} + {}^n C_{r-1} + 2{}^n C_r$ છે.
જેને $({}^n C_{r+1} + {}^n C_r) + ({}^n C_r + {}^n C_{r-1})$ તરીકે લખી શકાય.
નિત્યસમ લાગુ પાડતા,આપણને ${}^{n+1} C_{r+1} + {}^{n+1} C_r$ મળે છે.
ફરીથી નિત્યસમ લાગુ પાડતા,આપણને ${}^{n+2} C_{r+1}$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1(\omega^{2n} \cdot \omega^n - 1 \cdot 1) - \omega^n(\omega^n \cdot \omega^n - 1 \cdot \omega^{2n}) + \omega^{2n}(\omega^n \cdot 1 - \omega^{2n} \cdot \omega^{2n})$
$\Delta = (\omega^{3n} - 1) - \omega^n(\omega^{2n} - \omega^{2n}) + \omega^{2n}(\omega^n - \omega^{4n})$
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^{3n} = 1$ અને $\omega^{4n} = \omega^n$ થાય.
$\Delta = (1 - 1) - \omega^n(0) + \omega^{2n}(\omega^n - \omega^n)$
$\Delta = 0 - 0 + 0 = 0$.

(C) સુરેખ સમીકરણોની સંહતિનો શૂન્યેતર ઉકેલ મળે તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_2 \to C_2 - 2C_3$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & a \\ 1 & b & b \\ 1 & 2c & c \end{vmatrix} = 0$
હાર પ્રક્રિયા $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & b & b-a \\ 0 & 2c-b & c-b \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$1 \cdot [b(c - b) - (b - a)(2c - b)] = 0$
$bc - b^2 - (2bc - b^2 - 2ac + ab) = 0$
$bc - b^2 - 2bc + b^2 + 2ac - ab = 0$
$2ac - ab - bc = 0$
$2ac = ab + bc$
બંને બાજુ $abc$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
આ શરત દર્શાવે છે કે $a, b, c$ હરાત્મક શ્રેણી ($H$.$P$.) માં છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix}$.
આપણે $A^2 = A \times A$ શોધવાનું છે.
$A^2 = \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + b^2 & ab + ba \\ ba + ab & b^2 + a^2 \end{bmatrix}$.
$A^2 = \begin{bmatrix} a^2 + b^2 & 2ab \\ 2ab & a^2 + b^2 \end{bmatrix}$.
આને $A^2 = \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \beta & \alpha \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = a^2 + b^2$ અને $\beta = 2ab$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $a + b + c = 0$.
બંને બાજુ સદિશનો પોતાની સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા: $(a + b + c) \cdot (a + b + c) = 0 \cdot 0 = 0$.
વિસ્તરણ કરતા: $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$.
આપેલ મૂલ્યો $|a| = 1, |b| = 2, |c| = 3$ મૂકતા:
$(1)^2 + (2)^2 + (3)^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$.
$1 + 4 + 9 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$.
$14 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$.
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = -14$.
$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = -7$.

(C) પરિણામી બળ $\overrightarrow{F}$ એ વ્યક્તિગત બળોનો સરવાળો છે:
$\overrightarrow{F} = (4i + j - 3k) + (3i + j - k) = (4+3)i + (1+1)j + (-3-1)k = 7i + 2j - 4k$.
સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow{d}$ એ અંતિમ સ્થાન સદિશ અને પ્રારંભિક સ્થાન સદિશ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\overrightarrow{d} = (5i + 4j + k) - (i + 2j + 3k) = (5-1)i + (4-2)j + (1-3)k = 4i + 2j - 2k$.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશનો ડોટ ગુણાકાર છે:
$W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = (7i + 2j - 4k) \cdot (4i + 2j - 2k)$.
$W = (7 \times 4) + (2 \times 2) + (-4 \times -2) = 28 + 4 + 8 = 40 \text{ units}$.

(B) આપણે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $(u + v - w) \cdot [(u - v) \times (v - w)]$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરો: $(u - v) \times (v - w) = u \times v - u \times w - v \times v + v \times w$.
કારણ કે $v \times v = 0$,આ $u \times v - u \times w + v \times w$ માં સરળ બને છે.
હવે,$(u + v - w)$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો:
$(u + v - w) \cdot (u \times v - u \times w + v \times w) = u \cdot (u \times v) - u \cdot (u \times w) + u \cdot (v \times w) + v \cdot (u \times v) - v \cdot (u \times w) + v \cdot (v \times w) - w \cdot (u \times v) + w \cdot (u \times w) - w \cdot (v \times w)$.
ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને કે જો કોઈ બે સદિશો સમાન હોય તો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે:
$u \cdot (u \times v) = 0, u \cdot (u \times w) = 0, v \cdot (u \times v) = 0, v \cdot (v \times w) = 0, w \cdot (u \times w) = 0, w \cdot (v \times w) = 0$.
આમ,પદાવલિ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$u \cdot (v \times w) - v \cdot (u \times w) - w \cdot (u \times v)$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ચક્રીય ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા $[u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v]$ અને $[v, u, w] = -[u, v, w]$:
$= [u, v, w] - (-[u, v, w]) - [w, u, v] = [u, v, w] + [u, v, w] - [u, v, w] = [u, v, w] = u \cdot (v \times w)$.

(A) ચતુષ્ફલકના બે ફલક વચ્ચેનો ખૂણો એ તે ફલકોના લંબ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રથમ,સદિશ $\vec{OA}$ અને $\vec{OB}$ ના ક્રોસ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરીને ફલક $OAB$ માટે લંબ સદિશ $\vec{n_1}$ શોધો:
$\vec{OA} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{OB} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{n_1} = \vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
ત્યારબાદ,સદિશ $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ ના ક્રોસ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરીને ફલક $ABC$ માટે લંબ સદિશ $\vec{n_2}$ શોધો:
$\vec{AB} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{AC} = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{n_2} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
ફલકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3) = 19$.
$|\vec{n_1}| = \sqrt{35}$,$|\vec{n_2}| = \sqrt{35}$.
$\cos \theta = \frac{19}{35}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{35}\right)$.

(C) બે રેખાઓ $\frac{x - x_1}{l_1} = \frac{y - y_1}{m_1} = \frac{z - z_1}{n_1}$ અને $\frac{x - x_2}{l_2} = \frac{y - y_2}{m_2} = \frac{z - z_2}{n_2}$ સમતલીય હોય જો $\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \end{vmatrix} = 0$ થાય.
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (1, 4, 5)$ છે.
તેથી,$x_2 - x_1 = -1$,$y_2 - y_1 = 1$,$z_2 - z_1 = 1$ મળે.
શરત મુજબ $\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$ થાય.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-1(1 + 2k) - 1(1 + k^2) + 1(2 - k) = 0$
$-1 - 2k - 1 - k^2 + 2 - k = 0$
$-k^2 - 3k = 0$
$k(k + 3) = 0$
આમ,$k = 0$ અથવા $k = -3$ મળે.

(D) ધારો કે લંબચોરસ અક્ષોની પ્રથમ સિસ્ટમમાં સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી આ સમતલનું લંબ અંતર $p$ એ $p = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{p^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$.
તે જ રીતે,લંબચોરસ અક્ષોની બીજી સિસ્ટમ માટે,તે જ સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a'} + \frac{y}{b'} + \frac{z}{c'} = 1$ છે.
ઉગમબિંદુથી આ સમતલનું લંબ અંતર $p$ સમાન છે,તેથી $p = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a'^2} + \frac{1}{b'^2} + \frac{1}{c'^2}}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{p^2} = \frac{1}{a'^2} + \frac{1}{b'^2} + \frac{1}{c'^2}$.
$\frac{1}{p^2}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{a'^2} + \frac{1}{b'^2} + \frac{1}{c'^2}$.
તેથી,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} - \frac{1}{a'^2} - \frac{1}{b'^2} - \frac{1}{c'^2} = 0$.

(C) ગોલકનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 2y - 6z - 155 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 + 2gx + 2fy + 2hz + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને કેન્દ્ર $C = (-2, 1, 3)$ મળે છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 + h^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-3)^2 - (-155)} = \sqrt{4 + 1 + 9 + 155} = \sqrt{169} = 13$ મળે છે.
કેન્દ્ર $C(-2, 1, 3)$ થી સમતલ $12x + 4y + 3z - 327 = 0$ નું લંબ અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|12(-2) + 4(1) + 3(3) - 327|}{\sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2}} = \frac{|-24 + 4 + 9 - 327|}{\sqrt{144 + 16 + 9}} = \frac{|-338|}{13} = 26$.
સમતલથી ગોલકનું લઘુત્તમ અંતર $d - r = 26 - 13 = 13$ થાય.

(C) ગોલકનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y - 4z - 19 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને કેન્દ્ર $C = (-u, -v, -w) = (-1, 1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $R = \sqrt{u^2 + v^2 + w^2 - d} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2 - (-19)} = \sqrt{1 + 1 + 4 + 19} = \sqrt{25} = 5$ મળે છે.
કેન્દ્ર $C(-1, 1, 2)$ થી સમતલ $x + 2y + 2z + 7 = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $p = \frac{|(-1) + 2(1) + 2(2) + 7|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|-1 + 2 + 4 + 7|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{12}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$ છે.
છેદથી બનતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{R^2 - p^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ થાય.

(C) આપેલ વિધેય $f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(n) = \begin{cases} \frac{n-1}{2}, & \text{જો } n \text{ એકી હોય} \\ -\frac{n}{2}, & \text{જો } n \text{ બેકી હોય} \end{cases}$
ચાલો પ્રથમ કેટલીક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ માટે પ્રતિબિંબ શોધીએ:
$f(1) = \frac{1-1}{2} = 0$
$f(2) = -\frac{2}{2} = -1$
$f(3) = \frac{3-1}{2} = 1$
$f(4) = -\frac{4}{2} = -2$
$f(5) = \frac{5-1}{2} = 2$
$f(6) = -\frac{6}{2} = -3$
$1$. એક-એક ચકાસણી: દરેક ભિન્ન $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$ માટે,આપણને $\mathbb{Z}$ માં ભિન્ન પ્રતિબિંબ મળે છે. તેથી,વિધેય એક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત ચકાસણી: વિધેયનો વિસ્તાર $\{0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, \dots\}$ છે,જે તમામ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ $\mathbb{Z}$ છે. વિસ્તાર એ સહ-પ્રદેશ જેટલો હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
આમ,વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે.

(D) વિધેય $f(x) = \frac{3}{4 - x^2} + \log_{10}(x^3 - x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1$. છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $4 - x^2 \neq 0$ $\Rightarrow x^2 \neq 4$ $\Rightarrow x \neq \pm 2$.
$2$. લઘુગણકનો પ્રદેશ ધન હોવો જોઈએ: $x^3 - x > 0$.
અસમતાનું અવયવીકરણ કરતા: $x(x - 1)(x + 1) > 0$.
સંખ્યા રેખા પર $-1, 0, 1$ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને,પદાવલિ $(-1, 0) \cup (1, \infty)$ અંતરાલમાં ધન છે.
શરતોને જોડતા: $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$ અને $x \neq \pm 2$.
કારણ કે $2$ એ $(1, \infty)$ અંતરાલમાં આવે છે,તેથી તેને બાદ કરવું પડશે.
આમ,પ્રદેશ $D = (-1, 0) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = \log (x + \sqrt {{x^2} + 1} )$ યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે નક્કી કરવા માટે,આપણે $f(-x)$ ની કિંમત શોધીએ.
$f(-x) = \log (-x + \sqrt {(-x)^2 + 1} )$
$f(-x) = \log (-x + \sqrt {x^2 + 1} )$
લોગેરિધમના પદને તેની અનુબદ્ધ કરણી $(\sqrt {x^2 + 1} + x)$ વડે ગુણીને અને ભાગીને ફરીથી લખતા:
$f(-x) = \log \left( \frac{(\sqrt {x^2 + 1} - x)(\sqrt {x^2 + 1} + x)}{\sqrt {x^2 + 1} + x} \right)$
$f(-x) = \log \left( \frac{(x^2 + 1) - x^2}{\sqrt {x^2 + 1} + x} \right)$
$f(-x) = \log \left( \frac{1}{\sqrt {x^2 + 1} + x} \right)$
$\log(1/a) = -\log(a)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$f(-x) = -\log (x + \sqrt {x^2 + 1} )$
$f(-x) = -f(x)$
આમ,$f(-x) = -f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.

(D) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x + y) = f(x) + f(y)$ એ કોશીનું વિધેય સમીકરણ છે,જે સૂચવે છે કે $f(x) = cx$ કોઈ અચળાંક $c$ માટે.
$f(1) = 7$ હોવાથી,આપણને $c(1) = 7$ મળે છે,તેથી $c = 7$.
આમ,$f(x) = 7x$.
હવે,આપણે સરવાળો $\sum_{r = 1}^n f(r) = \sum_{r = 1}^n 7r$ શોધવાની જરૂર છે.
આ $7 \sum_{r = 1}^n r$ તરીકે સરળ બને છે.
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{r = 1}^n r = \frac{n(n + 1)}{2}$.
તેથી,$\sum_{r = 1}^n f(r) = 7 \times \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{7n(n + 1)}{2}$.

(B) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} x e^{-\left( \frac{1}{|x|} + \frac{1}{x} \right)}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$.
$x = 0$ આગળ સાતત્ય માટે:
$R.H.L. = \lim_{h \to 0^+} f(0+h) = \lim_{h \to 0^+} h e^{-\left( \frac{1}{h} + \frac{1}{h} \right)} = \lim_{h \to 0^+} h e^{-2/h} = 0$.
$L.H.L. = \lim_{h \to 0^+} f(0-h) = \lim_{h \to 0^+} (-h) e^{-\left( \frac{1}{h} - \frac{1}{h} \right)} = \lim_{h \to 0^+} (-h) e^0 = 0$.
અહીં $R.H.L. = L.H.L. = f(0) = 0$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે.
$x = 0$ આગળ વિકલનીયતા માટે:
$Rf'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h e^{-2/h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} e^{-2/h} = 0$.
$Lf'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h e^0 - 0}{-h} = 1$.
અહીં $Rf'(0) \ne Lf'(0)$ હોવાથી,$f(x)$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી.

(B) ધારો કે વિધેય $f(x) = x + \frac{1}{x}$ છે,જ્યાં $x > 0$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ: $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$1 - \frac{1}{x^2} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 1$. $x > 0$ હોવાથી,$x = 1$ મળે છે.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન ચકાસીએ: $f''(x) = \frac{2}{x^3}$.
$x = 1$ આગળ,$f''(1) = \frac{2}{1^3} = 2 > 0$.
દ્વિતીય વિકલન ધન હોવાથી,વિધેય $f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $x = 1$ આગળ મળે છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$ છે.
પ્રથમ વિકલન મેળવો: $f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો: $6(x^2 - 3ax + 2a^2) = 0 \Rightarrow 6(x - a)(x - 2a) = 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = a$ અને $x = 2a$ છે.
દ્વિતીય વિકલન મેળવો: $f''(x) = 12x - 18a$.
$x = a$ આગળ,$f''(a) = 12a - 18a = -6a < 0$ (કારણ કે $a > 0$),તેથી $x = a$ એ સ્થાનીય મહત્તમ બિંદુ છે. આમ,$p = a$.
$x = 2a$ આગળ,$f''(2a) = 12(2a) - 18a = 6a > 0$,તેથી $x = 2a$ એ સ્થાનીય ન્યૂનતમ બિંદુ છે. આમ,$q = 2a$.
શરત $p^2 = q$ મુજબ,$a^2 = 2a$ મળે.
$a > 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા $a = 2$ મળે છે.

(C) ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a - x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{0}^{1} (1 - x)(1 - (1 - x))^n dx$
$I = \int_{0}^{1} (1 - x)x^n dx$
$I = \int_{0}^{1} (x^n - x^{n+1}) dx$
$I = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{x^{n+2}}{n+2} \right]_{0}^{1}$
$I = \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) - (0 - 0)$
$I = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$

(B) ધારો કે $I = \int_a^b x f(x) dx$.
ગુણધર્મ $\int_a^b g(x) dx = \int_a^b g(a + b - x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_a^b (a + b - x) f(a + b - x) dx$.
આપેલ છે કે $f(a + b - x) = f(x)$,તેથી સંકલનમાં આ કિંમત મૂકતા:
$I = \int_a^b (a + b - x) f(x) dx$.
$I = (a + b) \int_a^b f(x) dx - \int_a^b x f(x) dx$.
$I = (a + b) \int_a^b f(x) dx - I$.
$2I = (a + b) \int_a^b f(x) dx$.
$I = \frac{a + b}{2} \int_a^b f(x) dx$.

(D) આપેલ છે કે $\frac{d}{dx}F(x) = \frac{e^{\sin x}}{x}$.
આપણે સંકલન $I = \int_{1}^{4} \frac{3}{x} e^{\sin(x^3)} dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.
આદેશ લેવા માટે અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ગુણતા:
$I = \int_{1}^{4} \frac{3x^2}{x^3} e^{\sin(x^3)} dx$.
ધારો કે $t = x^3$,તેથી $dt = 3x^2 dx$.
જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = 1^3 = 1$.
જ્યારે $x = 4$,ત્યારે $t = 4^3 = 64$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_{1}^{64} \frac{e^{\sin t}}{t} dt$.
કારણ કે $\frac{d}{dt}F(t) = \frac{e^{\sin t}}{t}$,તેથી સંકલન:
$I = [F(t)]_{1}^{64} = F(64) - F(1)$.
આપેલ પદ $F(k) - F(1)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 64$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $f'(x) = f(x)$,તેથી $\frac{f'(x)}{f(x)} = 1$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\ln|f(x)| = x + C$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(x) = ce^x$.
$f(0) = 1$ હોવાથી,$1 = ce^0$,તેથી $c = 1$. આમ,$f(x) = e^x$.
$f(x) + g(x) = x^2$ હોવાથી,$g(x) = x^2 - e^x$.
હવે,આપણે સંકલન ગણીએ:
$\int_0^1 f(x)g(x) dx = \int_0^1 e^x(x^2 - e^x) dx = \int_0^1 (x^2 e^x - e^{2x}) dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા $\int x^2 e^x dx$ માટે:
$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) = e^x(x^2 - 2x + 2)$.
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય:
$\int_0^1 x^2 e^x dx = [e^x(x^2 - 2x + 2)]_0^1 = e(1 - 2 + 2) - e^0(0 - 0 + 2) = e - 2$.
$\int_0^1 e^{2x} dx$ નું મૂલ્ય:
$\int_0^1 e^{2x} dx = [\frac{1}{2} e^{2x}]_0^1 = \frac{1}{2}(e^2 - 1)$.
તેથી,સંકલનનું મૂલ્ય $(e - 2) - \frac{1}{2}(e^2 - 1) = e - 2 - \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2} = e - \frac{1}{2}e^2 - \frac{3}{2}$ થાય છે.

(D) આપણે નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f\left(\frac{r}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$.
પ્રથમ પદ માટે: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\sum_{r=1}^{n} r^4}{n^5} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \left(\frac{r}{n}\right)^4 = \int_0^1 x^4 dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{5}$.
બીજા પદ માટે: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\sum_{r=1}^{n} r^3}{n^5} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n^2} \left( \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \left(\frac{r}{n}\right)^3 \right) = 0 \times \int_0^1 x^3 dx = 0 \times \frac{1}{4} = 0$.
આમ,પરિણામ $\frac{1}{5} - 0 = \frac{1}{5}$ મળે છે.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 4$ અને વિચરણ $npq = 2$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,$\frac{npq}{np} = \frac{2}{4}$,જેનું સાદું રૂપ $q = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 4$ માં મૂકતા,$n(\frac{1}{2}) = 4$,તેથી $n = 8$ મળે છે.
દ્વિપદી વિતરણનું સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ છે.
$X = 1$ માટે,$P(X = 1) = \binom{8}{1} (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^{8-1} = 8 \times (\frac{1}{2})^8 = 8 \times \frac{1}{256} = \frac{1}{32}$.

(A) આપણને નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \omega^n & \omega^{2n} \\ \omega^n & \omega^{2n} & 1 \\ \omega^{2n} & 1 & \omega^n \end{vmatrix}$ આપેલ છે.
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1(\omega^n \cdot \omega^n - 1 \cdot 1) - \omega^n(\omega^n \cdot \omega^n - \omega^{2n} \cdot 1) + \omega^{2n}(\omega^n \cdot 1 - \omega^{2n} \cdot \omega^{2n})$
$\Delta = 1(\omega^{2n} - 1) - \omega^n(\omega^{2n} - \omega^{2n}) + \omega^{2n}(\omega^n - \omega^{4n})$
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^{3n} = 1$ અને $\omega^{4n} = \omega^n$ થાય.
$\Delta = (\omega^{2n} - 1) - 0 + \omega^{2n}(\omega^n - \omega^n)$
$\Delta = \omega^{2n} - 1 + 0 = \omega^{2n} - 1$.
જો આપણે સ્તંભોનો સરવાળો $C_1 + C_2 + C_3$ કરીએ તો:
$1 + \omega^n + \omega^{2n}$ મળે.
જો $n$ એ $3$ નો ગુણક ન હોય,તો $1 + \omega^n + \omega^{2n} = 0$ થાય,તેથી નિશ્ચાયક $0$ બને છે.
જો $n$ એ $3$ નો ગુણક હોય,તો $\omega^n = 1$ થાય,તેથી નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$ બને છે.
આમ,દરેક કિસ્સામાં $\Delta = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે સદિશો $(1, a, a^2)$,$(1, b, b^2)$,અને $(1, c, c^2)$ અસમતલીય છે,તેથી આ સદિશો દ્વારા બનતા શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્યતર છે:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| \neq 0$.
આપણને સમીકરણ આપેલ છે:
$\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 + a^3 \\ b & b^2 & 1 + b^3 \\ c & c^2 & 1 + c^3 \end{array} \right| = 0$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે ત્રીજા સ્તંભને વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & a^3 \\ b & b^2 & b^3 \\ c & c^2 & c^3 \end{array} \right| = 0$.
બીજા નિશ્ચાયકમાં,હારમાંથી $a, b, c$ સામાન્ય લેતા:
$\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right| + abc \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| = 0$.
નોંધો કે $\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| = \Delta$ (બે સ્તંભોની અદલાબદલી કર્યા પછી).
તેથી,$\Delta + abc \Delta = 0 \Rightarrow \Delta(1 + abc) = 0$.
$\Delta \neq 0$ હોવાથી,$1 + abc = 0$,જેનો અર્થ છે કે $abc = -1$.

(B) આપેલ રેખાઓને સંમિત સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ લખી શકાય:
પ્રથમ રેખા $x = ay + b$ અને $z = cy + d$ માટે,આપણી પાસે $\frac{x - b}{a} = y = \frac{z - d}{c}$ છે.
આમ,પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $(a, 1, c)$ છે.
બીજી રેખા $x = a'y + b'$ અને $z = c'y + d'$ માટે,આપણી પાસે $\frac{x - b'}{a'} = y = \frac{z - d'}{c'}$ છે.
આમ,બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $(a', 1, c')$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તે પરસ્પર લંબ હોય જો $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ થાય.
દિકગુણોત્તર મૂકતા,આપણને $(a)(a') + (1)(1) + (c)(c') = 0$ મળે છે.
તેથી,$aa' + 1 + cc' = 0$,જેનો અર્થ છે કે $aa' + cc' = -1$.

(C) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\int_0^{x^2} \sec^2 t \, dt}{x \sin x}$.
આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ હોવાથી,આપણે $L'\text{H\^opital}$ ના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\int_0^{x^2} \sec^2 t \, dt)}{\frac{d}{dx}(x \sin x)}$.
વિકલનના નિયમ મુજબ:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sec^2(x^2) \cdot 2x}{\sin x + x \cos x}$.
અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2 \sec^2(x^2)}{\frac{\sin x}{x} + \cos x}$.
$x = 0$ મૂકતા:
$L = \frac{2 \cdot 1}{1 + 1} = 1$.

(B) આપેલ છે કે $F(t) = \int_{0}^{t} f(t - y) g(y) dy$.
આપેલ વિધેયો $f(y) = e^y$ અને $g(y) = y$ મૂકતા:
$F(t) = \int_{0}^{t} e^{t - y} y dy = e^t \int_{0}^{t} y e^{-y} dy$.
$\int y e^{-y} dy$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે $u = y$ અને $dv = e^{-y} dy$. તેથી $du = dy$ અને $v = -e^{-y}$.
$\int y e^{-y} dy = -y e^{-y} - \int (-e^{-y}) dy = -y e^{-y} - e^{-y}$.
$0$ થી $t$ સુધીના નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા:
$F(t) = e^t [ -y e^{-y} - e^{-y} ]_{0}^{t} = e^t [ (-t e^{-t} - e^{-t}) - (0 - 1) ]$.
$F(t) = e^t [ -t e^{-t} - e^{-t} + 1 ] = -t - 1 + e^t$.
આમ,$F(t) = e^t - (1 + t)$.

(C) $y = |x - 1|$ અને $y = 3 - |x|$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા વક્રોના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$x \ge 1$ માટે,$y = x - 1$ અને $y = 3 - |x|$. જો $x \ge 1$ હોય,તો $x - 1 = 3 - x \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$. $x = 2$ પર,$y = 1$.
$x < 0$ માટે,$y = 1 - x$ અને $y = 3 + x$. તો $1 - x = 3 + x \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$. $x = -1$ પર,$y = 2$.
$0 \le x < 1$ માટે,$y = 1 - x$ અને $y = 3 - x$. આ રેખાઓ સમાંતર છે અને એકબીજાને છેદતી નથી.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$A = \int_{-1}^{2} (3 - |x| - |x - 1|) dx$
આપણે નિરપેક્ષ મૂલ્યોની વ્યાખ્યાના આધારે સંકલનને વિભાજિત કરીએ છીએ:
$A = \int_{-1}^{0} ((3 + x) - (1 - x)) dx + \int_{0}^{1} ((3 - x) - (1 - x)) dx + \int_{1}^{2} ((3 - x) - (x - 1)) dx$
$A = \int_{-1}^{0} (2 + 2x) dx + \int_{0}^{1} (2) dx + \int_{1}^{2} (4 - 2x) dx$
$A = [2x + x^2]_{-1}^{0} + [2x]_{0}^{1} + [4x - x^2]_{1}^{2}$
$A = (0 - (-2 + 1)) + (2 - 0) + ((8 - 4) - (4 - 1))$
$A = 1 + 2 + (4 - 3) = 1 + 2 + 1 = 4 \text{ sq. units}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1 + y^2) + (x - e^{\tan^{-1}y}) \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dx}{dy}$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$(1 + y^2) \frac{dx}{dy} + x = e^{\tan^{-1}y}$.
$(1 + y^2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1 + y^2} = \frac{e^{\tan^{-1}y}}{1 + y^2}$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{1 + y^2}$ અને $Q(y) = \frac{e^{\tan^{-1}y}}{1 + y^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1 + y^2} dy} = e^{\tan^{-1}y}$ છે.
ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + k$ દ્વારા મળે છે.
$x e^{\tan^{-1}y} = \int \frac{e^{\tan^{-1}y}}{1 + y^2} \cdot e^{\tan^{-1}y} dy + k$.
ધારો કે $u = \tan^{-1}y$,તો $du = \frac{1}{1 + y^2} dy$.
$x e^{\tan^{-1}y} = \int e^{2u} du + k = \frac{e^{2u}}{2} + k = \frac{e^{2\tan^{-1}y}}{2} + k$.
$2$ વડે ગુણતા:
$2xe^{\tan^{-1}y} = e^{2\tan^{-1}y} + k$.

(C) ધારો કે $A$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે.
તેથી $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ એ અનુક્રમે શિરોબિંદુઓ $B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો દર્શાવે છે.
ધારો કે $M$ એ બાજુ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$M$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{AM} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{2}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલા સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$\vec{AM} = \frac{(3\hat{i} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k})}{2}$
$\vec{AM} = \frac{(3+5)\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (4+4)\hat{k}}{2}$
$\vec{AM} = \frac{8\hat{i} - 2\hat{j} + 8\hat{k}}{2} = 4\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$.
મધ્યગા $AM$ ની લંબાઈ એ સદિશ $\vec{AM}$ નું માન છે:
$|\vec{AM}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 4^2}$
$|\vec{AM}| = \sqrt{16 + 1 + 16} = \sqrt{33}$.

(C) $X$-અક્ષ પર અક્ષ ધરાવતા પરવલયોના કુળનું સમીકરણ $y^2 = 4a(x - b)$ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ સ્વૈર અચળાંકો છે.
આ બે અચળાંકોને દૂર કરવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a \implies y \frac{dy}{dx} = 2a$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y \frac{d^2y}{dx^2} + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 0$.
અહીં સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાનું વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ છે,તેથી કક્ષા $2$ છે.
સૌથી ઉચ્ચ કક્ષાના વિકલિતની ઘાત $1$ છે,તેથી ઘાત $1$ છે.
આમ,ઘાત અને કક્ષા અનુક્રમે $1$ અને $2$ છે.