यदि 1, omega, omega^2 इकाई के घनमूल हैं,तो De | vedclass

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Question

(A) हमें सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \omega^n & \omega^{2n} \ \omega^n & \omega^{2n} & 1 \ \omega^{2n} & 1 & \omega^n \end{vmatrix}$ दिया ग

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(A) हमें सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \omega^n & \omega^{2n} \ \omega^n & \omega^{2n} & 1 \ \omega^{2n} & 1 & \omega^n \end{vmatrix}$ दिया गया है।प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:$\Delta = 1(\omega^n \cdot \omega^n - 1 \cdot 1) - \omega^n(\omega^n \cdot \omega^n - \omega^{2n} \cdot 1) + \omega^{2n}(\omega^n \cdot 1 - \omega^{2n} \cdot \omega^{2n})$$\Delta = 1(\omega^{2n} - 1) - \omega^n(\omega^{2n} - \omega^{2n}) + \omega^{2n}(\omega^n - \omega^{4n})$चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{3n} = 1$ और $\omega^{4n} = \omega^n$ होता है।$\Delta = (\omega^{2n} - 1) - 0 + \omega^{2n}(\omega^n - \omega^n)$$\Delta = \omega^{2n} - 1 + 0 = \omega^{2n} - 1$.यदि हम स्तंभों का योग $C_1 + C_2 + C_3$ करें तो:$1 + \omega^n + \omega^{2n}$ प्राप्त होता है।यदि $n$,$3$ का गुणज नहीं है,तो $1 + \omega^n + \omega^{2n} = 0$ होता है,जिससे सारणिक $0$ हो जाता है।यदि $n$,$3$ का गुणज है,तो $\omega^n = 1$ होता है,जिससे सारणिक $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$ हो जाता है।अतः,सभी स्थितियों में $\Delta = 0$ है।

यदि $1, \omega, \omega^2$ इकाई के घनमूल हैं,तो $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \omega^n & \omega^{2n} \\ \omega^n & \omega^{2n} & 1 \\ \omega^{2n} & 1 & \omega^n \end{vmatrix}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि ${D_r} = \left| \begin{array}{ccc} {2^{r - 1}} & {2 \cdot 3^{r - 1}} & {4 \cdot 5^{r - 1}} \\ x & y & z \\ {2^n} - 1 & {3^n} - 1 & {5^n} - 1 \end{array} \right|$ है,तो $\sum\limits_{r = 1}^n {D_r} = $ का मान ज्ञात कीजिए।

सारणिक का मान ज्ञात कीजिए: $\left| \begin{array}{ccc} a_1 & m a_1 & b_1 \\ a_2 & m a_2 & b_2 \\ a_3 & m a_3 & b_3 \end{array} \right|$

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b}&{a + 2b}&{a + 3b}\\{a + 2b}&{a + 3b}&{a + 4b}\\{a + 4b}&{a + 5b}&{a + 6b}\end{array}} \right| = $

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