प्राकृत संख्याओं के समुच्चय mathbb{N} से पूर् | vedclass

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Question

(C) दिया गया फलन $f: \mathbb{N} 	o \mathbb{Z}$ इस प्रकार परिभाषित है:$f(n) = \begin{cases} \frac{n-1}{2}, & 	ext{यदि } n 	ext{ विषम है} \ -\frac{n

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एकैकी और आच्छादक दोनों

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(C) दिया गया फलन $f: \mathbb{N} 	o \mathbb{Z}$ इस प्रकार परिभाषित है:$f(n) = \begin{cases} \frac{n-1}{2}, & 	ext{यदि } n 	ext{ विषम है} \ -\frac{n}{2}, & 	ext{यदि } n 	ext{ सम है} \end{cases}$आइए पहली कुछ प्राकृत संख्याओं के प्रतिबिंबों की गणना करें:$f(1) = \frac{1-1}{2} = 0$$f(2) = -\frac{2}{2} = -1$$f(3) = \frac{3-1}{2} = 1$$f(4) = -\frac{4}{2} = -2$$f(5) = \frac{5-1}{2} = 2$$f(6) = -\frac{6}{2} = -3$$1$. एकैकी जाँच: प्रत्येक भिन्न $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$ के लिए,हमें $\mathbb{Z}$ में भिन्न प्रतिबिंब प्राप्त होते हैं। अतः,फलन एकैकी है।$2$. आच्छादक जाँच: फलन का परिसर $\{0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, \dots\}$ है,जो सभी पूर्णांकों का समुच्चय $\mathbb{Z}$ है। चूँकि परिसर सह-प्रांत के बराबर है,इसलिए फलन आच्छादक है।अतः,फलन एकैकी और आच्छादक दोनों है।

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फलन $f: (-\infty, \infty) \rightarrow (-\infty, \infty)$ जो $f(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$ द्वारा परिभाषित है,वह है :

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} -a & \text{यदि } -a \leq x \leq 0 \\ x+a & \text{यदि } 0 < x \leq a \end{cases}$ जहाँ $a > 0$ और $g(x) = \frac{f(|x|) - |f(x)|}{2}$ है। तो फलन $g: [-a, a] \rightarrow [-a, a]$ है

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=2x+\sin x, x \in R$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $f$ है

$f: Z \rightarrow Z$ द्वारा परिभाषित फलन $f(x) = x^{3}$ की एकैकी (injectivity) और आच्छादक (surjectivity) की जाँच कीजिए।

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