यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ की नाभियाँ संपाती हैं,तो $b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{3} = 1$ के बिंदु $\left( 2, \frac{3}{2} \right)$ पर अभिलंब एक परवलय को स्पर्श करता है,तो परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए।

स्तंभ $I$ में दिए गए शांकवों को स्तंभ $II$ में दिए गए कथनों/व्यंजकों के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ वृत्त	$(p)$ बिंदु $(h, k)$ का बिंदु पथ जिसके लिए रेखा $h x+k y=1$ वृत्त $x^2+y^2=4$ को स्पर्श करती है
$(B)$ परवलय	$(q)$ सम्मिश्र समतल में बिंदु $z$ जो $|z+2|-|z-2|= \pm 3$ को संतुष्ट करते हैं
$(C)$ दीर्घवृत्त	$(r)$ शांकव के बिंदुओं का प्राचलिक निरूपण $x=\sqrt{3}\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right), y=\frac{2 t}{1+t^2}$ है
$(D)$ अतिपरवलय	$(s)$ शांकव की उत्केंद्रता अंतराल $1 \leq x < \infty$ में स्थित है
	$(t)$ सम्मिश्र समतल में बिंदु $z$ जो $\operatorname{Re}(z+1)^2=|z|^2+1$ को संतुष्ट करते हैं

एक वृत्त खींचा गया है जिसका केंद्र परवलय $y^2 = 4ax$ का शीर्ष है और जिसका व्यास परवलय के नाभिलंब का तीन-चौथाई है। यदि $PQ$ वृत्त और परवलय की उभयनिष्ठ जीवा है और $L_1L_2$ नाभिलंब है,तो समलंब चतुर्भुज $PL_1L_2Q$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

रेखा $y=x+5$ किसे स्पर्श करती है?

एक द्विघात बहुपद $y = f(x)$ जिसका अचर पद $3$ है,न तो $x$-अक्ष को स्पर्श करता है और न ही काटता है और रेखा $x = 1$ के परितः सममित है। बहुपद के अग्रणी पद का गुणांक इकाई है। कार्तीय आयताकार निर्देशांक प्रणाली $OXY$ में प्रथम चतुर्थांश में वक्र $y = f(x)$ पर एक बिंदु $A(x_1, y_1)$ जिसका भुज $x_1 = 1$ है और एक बिंदु $B(x_2, y_2)$ जिसका कोटि $y_2 = 11$ है,दिए गए हैं,जहाँ $O$ मूलबिंदु है। द्विघात बहुपद का शीर्ष है: