AIEEE 2008 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना खंभे की ऊँचाई $AB = h$ है।
$\Delta ABC$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{BC}$ $\Rightarrow BC = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\Delta ABD$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{AB}{BD}$ $\Rightarrow 1 = \frac{h}{BD}$ $\Rightarrow BD = h$.
चूँकि $BD = BC + CD$,इसलिए $h = \frac{h}{\sqrt{3}} + 7$.
$h - \frac{h}{\sqrt{3}} = 7 \Rightarrow h\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right) = 7$.
$h = \frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $h = \frac{7\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{7\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{7\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3}+1) \ m$.

(C) माना सम्मिश्र संख्या $z = x + iy$ है। इसका संयुग्मी $\bar{z} = x - iy$ है।
दिया गया है कि $\bar{z} = \frac{1}{i - 1} = \frac{1}{-1 + i}$.
$z$ ज्ञात करने के लिए,हम $\bar{z}$ का संयुग्मी लेंगे:
$z = \overline{\left(\frac{1}{-1 + i}\right)} = \frac{1}{-1 - i}$.
अंश और हर को $-1$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$z = \frac{-1}{1 + i} = -\frac{1}{i + 1}$.

(D) यह पुनरावृत्ति के साथ संयोजन (stars and bars method) का एक प्रश्न है।
मान लीजिए $n = 5$ आइसक्रीम के प्रकारों की संख्या है और $r = 6$ खरीदी जाने वाली आइसक्रीम की संख्या है।
पुनरावृत्ति के साथ $n$ प्रकारों में से $r$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या $^{n+r-1}C_r$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $^{5+6-1}C_6 = ^{10}C_6$ प्राप्त होता है।
चूंकि $^{10}C_6 = ^{10}C_{10-6} = ^{10}C_4$,और $^{10}C_4 = 210$,जबकि $^{10}C_5 = 252$ है।
अतः,$\text{कथन}-1$ असत्य है।
$\text{कथन}-2$ के लिए,$6$ $A$ और $4$ $B$ को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $10$ में से $6$ स्थान चुनने के तरीकों की संख्या है,जो $^{10}C_6$ है।
यह आइसक्रीम खरीदने के तरीकों की संख्या के बराबर है।
इसलिए,$\text{कथन}-2$ सत्य है।

(B) $MISSISSIPPI$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $M(1), I(4), S(4), P(2)$.
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो $S$ एक साथ न हों,हम पहले शेष $7$ अक्षरों $M, I, I, I, I, P, P$ को व्यवस्थित करते हैं।
इन $7$ अक्षरों के विन्यास की संख्या $\frac{7!}{4!2!} = 105$ है।
इन $7$ अक्षरों द्वारा $8$ रिक्त स्थान बनते हैं,जिनमें $4$ $S$ रखे जा सकते हैं।
$8$ में से $4$ स्थानों को चुनने के तरीके $^8C_4 = 70$ हैं।
कुल शब्दों की संख्या $105 \times 70 = 7350$ है।

(D) माना $S = \sum_{r=0}^{n} (r+1) \binom{n}{r} x^r$.
इसे $S = \sum_{r=0}^{n} r \binom{n}{r} x^r + \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} x^r$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सर्वसमिका $r \binom{n}{r} = n \binom{n-1}{r-1}$ का उपयोग करने पर:
$S = \sum_{r=1}^{n} n \binom{n-1}{r-1} x^r + (1+x)^n$
$S = nx \sum_{r=1}^{n} \binom{n-1}{r-1} x^{r-1} + (1+x)^n$
$S = nx(1+x)^{n-1} + (1+x)^n$.
अतः,कथन $-2$ सत्य है।
कथन $-1$ की जाँच करने के लिए,कथन $-2$ के परिणाम में $x=1$ रखने पर:
$S(1) = n(1)(1+1)^{n-1} + (1+1)^n = n 2^{n-1} + 2^n = 2^{n-1} (n + 2)$.
अतः,कथन $-1$ सत्य है और कथन $-2$,कथन $-1$ की सही व्याख्या है।

(B) माना कि पहला पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ है।
दिया गया है कि पहले दो पदों का योग $a + ar = a(1 + r) = 12$ $(i)$ है।
तीसरे और चौथे पदों का योग $ar^2 + ar^3 = ar^2(1 + r) = 48$ $(ii)$ है।
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{ar^2(1 + r)}{a(1 + r)} = \frac{48}{12}$
$r^2 = 4$
$r = \pm 2$.
चूंकि गुणोत्तर श्रेणी के पद वैकल्पिक रूप से धनात्मक और ऋणात्मक हैं,इसलिए सार्व अनुपात $r$ ऋणात्मक होना चाहिए। अतः,$r = -2$.
$r = -2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$a(1 + (-2)) = 12$
$a(-1) = 12$
$a = -12$.
इसलिए,पहला पद $-12$ है।

(C) $PQ$ की ढाल $m_{PQ} = \frac{3-4}{k-1} = \frac{-1}{k-1}$ है।
लंब समद्विभाजक की ढाल $k-1$ है।
$PQ$ का मध्य बिंदु $M = \left(\frac{k+1}{2}, \frac{7}{2}\right)$ है।
लंब समद्विभाजक का समीकरण $y - \frac{7}{2} = (k-1)(x - \frac{k+1}{2})$ है।
$y-$अंतःखंड के लिए $x = 0$ रखने पर:
$y = \frac{7}{2} - (k-1)(\frac{k+1}{2}) = \frac{7 - (k^2-1)}{2} = \frac{8-k^2}{2}$।
$y-$अंतःखंड $-4$ दिया गया है:
$\frac{8-k^2}{2} = -4$ $\Rightarrow 8-k^2 = -8$ $\Rightarrow k^2 = 16$ $\Rightarrow k = \pm 4$।
अतः,$k$ का एक संभावित मान $-4$ है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 3 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = 1$ और $f = 2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-1, -2)$ है।
माना $Q(\alpha, \beta)$ बिंदु $P(1, 0)$ के व्यासतः सम्मुख बिंदु है।
चूंकि केंद्र व्यास $PQ$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$\frac{1 + \alpha}{2} = -1$ $\Rightarrow 1 + \alpha = -2$ $\Rightarrow \alpha = -3$
$\frac{0 + \beta}{2} = -2 \Rightarrow \beta = -4$
अतः,बिंदु $Q$ $(-3, -4)$ है।

(B) परवलय का नाभि $S = (0,0)$ है।
परवलय की नियता रेखा $x = 2$ है।
परवलय का अक्ष वह रेखा है जो नाभि से होकर गुजरती है और नियता के लंबवत होती है। चूँकि नियता $x = 2$ (एक ऊर्ध्वाधर रेखा) है,इसलिए अक्ष $x$-अक्ष $(y = 0)$ है।
परवलय का शीर्ष,नाभि और अक्ष तथा नियता के प्रतिच्छेदन बिंदु को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु होता है।
अक्ष $(y = 0)$ और नियता $(x = 2)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(2,0)$ है।
शीर्ष $(0,0)$ और $(2,0)$ का मध्यबिंदु है,जो $(\frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1,0)$ है।
अतः,परवलय का शीर्ष $(1,0)$ पर स्थित है।

(A) माना नाभि $S(0, 0)$ है और नियता $x = 4$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,नाभि और नियता के बीच की दूरी $\frac{a}{e} - ae = d$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d$ नाभि से नियता की दूरी है।
यहाँ,$d = 4$ और $e = \frac{1}{2}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $a(\frac{1}{e} - e) = 4$।
$a(2 - \frac{1}{2}) = 4$।
$a(\frac{3}{2}) = 4$।
$a = \frac{8}{3}$।

(D) संख्याओं $a, b, 8, 5, 10$ के लिए माध्य $\bar{x} = 6$ दिया गया है:
$\frac{a+b+8+5+10}{5} = 6$
$a+b+23 = 30 \Rightarrow a+b = 7$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = 6.80$ है।
$\frac{(a-6)^2 + (b-6)^2 + (8-6)^2 + (5-6)^2 + (10-6)^2}{5} = 6.80$
$(a-6)^2 + (b-6)^2 + 4 + 1 + 16 = 34$
$(a-6)^2 + (b-6)^2 = 13$.
चूंकि $a+b=7$,$b = 7-a$ रखने पर:
$(a-6)^2 + (1-a)^2 = 13$
$2a^2 - 14a + 24 = 0$
$a^2 - 7a + 12 = 0$
$(a-3)(a-4) = 0$.
अतः,यदि $a=3$ है तो $b=4$ होगा।

(C) एक पासा फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है,इसलिए $n(S) = 6$.
घटना $A$ यह है कि प्राप्त संख्या $3$ से बड़ी है,इसलिए $A = \{4, 5, 6\}$। अतः,$P(A) = \frac{3}{6}$।
घटना $B$ यह है कि प्राप्त संख्या $5$ से कम है,इसलिए $B = \{1, 2, 3, 4\}$। अतः,$P(B) = \frac{4}{6}$।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ वह घटना है कि संख्या $3$ से बड़ी और $5$ से कम है,इसलिए $A \cap B = \{4\}$। अतः,$P(A \cap B) = \frac{1}{6}$।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
मान रखने पर: $P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$।

(B) दिया गया कथन $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ है।
तार्किक तुल्यता $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर:
$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p) \equiv \sim p \vee (\sim q \vee p)$।
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों द्वारा,यह $(\sim p \vee p) \vee \sim q$ के बराबर है,जो $T \vee \sim q = T$ (पुनरुक्ति) में सरल हो जाता है।
अब,विकल्प $B$ की जाँच करें: $p \rightarrow (q \vee p) \equiv \sim p \vee (q \vee p) \equiv (\sim p \vee p) \vee q \equiv T \vee q = T$।
चूंकि दोनों व्यंजक पुनरुक्ति हैं,इसलिए कथन $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$,$p \rightarrow (q \vee p)$ के समतुल्य है।

(A) माना दो रेखाएँ $L_1: (1 + k\lambda, 2 + 2k, 3 + 3k)$ और $L_2: (2 + 3m, 3 + m\lambda, 1 + 2m)$ हैं।
चूँकि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,ऐसे $k$ और $m$ मौजूद हैं कि:
$1 + k\lambda = 2 + 3m$ $(1)$
$2 + 2k = 3 + m\lambda$ $(2)$
$3 + 3k = 1 + 2m$ $(3)$
$(3)$ से,$3k - 2m = -2 \implies m = \frac{3k + 2}{2}$ प्राप्त होता है।
$m$ का मान $(2)$ में रखने पर: $2 + 2k = 3 + \lambda(\frac{3k + 2}{2}) \implies 4 + 4k = 6 + 3k\lambda + 2\lambda \implies 4k - 3k\lambda - 2\lambda = 2$.
$m$ का मान $(1)$ में रखने पर: $1 + k\lambda = 2 + 3(\frac{3k + 2}{2}) \implies 2 + 2k\lambda = 4 + 9k + 6 \implies 2k\lambda - 9k = 8$.
इन समीकरणों को हल करने पर,$\lambda = -5$ प्राप्त होता है।

(C) $(5, 1, a)$ और $(3, b, 1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-5}{3-5} = \frac{y-1}{b-1} = \frac{z-a}{1-a} = \mu$ है।
इसे $\frac{x-5}{-2} = \frac{y-1}{b-1} = \frac{z-a}{1-a} = \mu$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $yz-$ समतल को जहाँ काटती है वहाँ $x=0$ होता है। $\frac{x-5}{-2} = \mu$ में $x=0$ रखने पर,$\frac{0-5}{-2} = \mu$,अतः $\mu = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$y-$ निर्देशांक के लिए: $y = \mu(b-1) + 1 = \frac{17}{2}$.
$\mu = \frac{5}{2}$ रखने पर: $\frac{5}{2}(b-1) + 1 = \frac{17}{2} \Rightarrow \frac{5}{2}(b-1) = \frac{15}{2} \Rightarrow b-1 = 3 \Rightarrow b = 4$.
$z-$ निर्देशांक के लिए: $z = \mu(1-a) + a = -\frac{13}{2}$.
$\mu = \frac{5}{2}$ रखने पर: $\frac{5}{2}(1-a) + a = -\frac{13}{2} \Rightarrow \frac{5}{2} - \frac{5}{2}a + a = -\frac{13}{2} \Rightarrow -\frac{3}{2}a = -\frac{13}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{18}{2} = -9$.
इस प्रकार,$a = 6$. अतः,$a=6$ और $b=4$.

(B) $x \in (0, 1]$ के लिए,हम जानते हैं कि $\sin x < x$ होता है।
अतः,$I = \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{\sqrt{x}} \, dx < \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x}} \, dx = \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$।
इस प्रकार,$I < \frac{2}{3}$।
$x \in (0, 1]$ के लिए,हम जानते हैं कि $\cos x < 1$ होता है।
अतः,$J = \int_{0}^{1} \frac{\cos x}{\sqrt{x}} \, dx < \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \int_{0}^{1} x^{-1/2} \, dx = \left[ 2x^{1/2} \right]_{0}^{1} = 2$।
इस प्रकार,$J < 2$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिए गए वक्र $x = -2y^2$ और $x = 1 - 3y^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$-2y^2 = 1 - 3y^2$ रखें,जिससे $y^2 = 1$ प्राप्त होता है,अतः $y = \pm 1$ है।
जब $y = \pm 1$,तब $x = -2(1)^2 = -2$ है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 1)$ और $(-2, -1)$ हैं।
क्षेत्रफल $A$,$y = -1$ से $y = 1$ तक वक्रों के अंतर का समाकलन है:
$A = \int_{-1}^{1} ((1 - 3y^2) - (-2y^2)) dy$
$A = \int_{-1}^{1} (1 - y^2) dy$
$A = [y - \frac{y^3}{3}]_{-1}^{1}$
$A = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 - \frac{-1}{3})$
$A = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$ वर्ग इकाई।

(D) दिया गया है $A^2 = I$। दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $\det(A^2) = \det(I) = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\det(A^2) = (\det(A))^2$,इसलिए $(\det(A))^2 = 1$,जिसका अर्थ है कि $\det(A) = 1$ या $\det(A) = -1$ है।
यदि $\det(A) = 1$ है,तो अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - tr(A)\lambda + 1 = 0$ है। $A^2 = I$ होने के कारण,आइगेन मान $\pm 1$ हैं। यदि $\det(A) = 1$ है,तो आइगेन मान $(1, 1)$ या $(-1, -1)$ हैं।
यदि आइगेन मान $(1, 1)$ हैं,तो $A = I$ है। यदि आइगेन मान $(-1, -1)$ हैं,तो $A = -I$ है।
अतः,यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो $\det(A) = -1$ होना चाहिए। इसलिए,कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$ के लिए,यदि $A^2 = I$ है,तो आइगेन मान $\lambda_1, \lambda_2 \in \{1, -1\}$ हैं।
यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो आइगेन मान $1$ और $-1$ होने चाहिए।
$A$ का ट्रेस आइगेन मानों का योग है,इसलिए $tr(A) = 1 + (-1) = 0$ है।
इसलिए,कथन-$2$ असत्य है क्योंकि इस स्थिति में $tr(A) = 0$ होना चाहिए।

(C) एक वर्ग आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$.
चूंकि $A$ पूर्णांक अवयवों वाला एक वर्ग आव्यूह है,इसलिए सहखंडज आव्यूह $\text{adj}(A)$ भी पूरी तरह से पूर्णांकों से बना होता है (क्योंकि यह सहखंड आव्यूह का परिवर्त है)।
यदि $\det(A) = \pm 1$ है,तो $A^{-1} = \frac{1}{\pm 1} \text{adj}(A) = \pm \text{adj}(A)$.
चूंकि $\text{adj}(A)$ में केवल पूर्णांक होते हैं,इसलिए $\pm \text{adj}(A)$ में भी केवल पूर्णांक ही होंगे।
अतः,यदि $\det(A) = \pm 1$ है,तो $A^{-1}$ का अस्तित्व है और इसके सभी अवयव पूर्णांक हैं।

(D) $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(h-1) \sin(\frac{1}{h-1}) - (-1) \sin(-1)}{h}$
$= \lim_{h \to 0} \frac{(h-1) \sin(\frac{1}{h-1}) - \sin(1)}{h}$.
जैसे $h \to 0$,सीमा $\frac{-\sin(-1) - \sin(1)}{0}$ प्राप्त होती है,जो परिभाषित नहीं है। अतः,$f$,$x = 0$ पर अवकलनीय है।
$x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए:
$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h \sin(\frac{1}{h}) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \sin(\frac{1}{h})$.
चूंकि $\lim_{h \to 0} \sin(\frac{1}{h})$,$-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है। अतः,$f$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
इसलिए,$f$,$x = 0$ पर अवकलनीय है लेकिन $x = 1$ पर नहीं।

(D) मान लीजिए $f(x) = x^3 - px + q$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज निकालते हैं: $f'(x) = 3x^2 - p$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $3x^2 = p$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \pm \sqrt{\frac{p}{3}}$.
अब,हम द्वितीय अवकलज निकालते हैं: $f''(x) = 6x$.
क्रांतिक बिंदुओं पर मान की जाँच करने पर:
$x = -\sqrt{\frac{p}{3}}$ के लिए,$f''(-\sqrt{\frac{p}{3}}) = -6\sqrt{\frac{p}{3}} < 0$ (चूंकि $p > 0$)। अतः,$x = -\sqrt{\frac{p}{3}}$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
$x = \sqrt{\frac{p}{3}}$ के लिए,$f''(\sqrt{\frac{p}{3}}) = 6\sqrt{\frac{p}{3}} > 0$ (चूंकि $p > 0$)। अतः,$x = \sqrt{\frac{p}{3}}$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
इस प्रकार,त्रिघात बहुपद का $-\sqrt{\frac{p}{3}}$ पर अधिकतम और $\sqrt{\frac{p}{3}}$ पर न्यूनतम मान है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x} = 1 + \frac{y}{x}$ है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$v + x \frac{dv}{dx} = 1 + v$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर,$x \frac{dv}{dx} = 1$ प्राप्त होता है।
चरों को पृथक करने पर,$dv = \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$v = \ln|x| + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y = vx$,इसलिए $\frac{y}{x} = \ln|x| + C$,जिसका अर्थ है $y = x \ln|x| + Cx$।
प्रतिबंध $y(1) = 1$ का उपयोग करते हुए,$x = 1$ और $y = 1$ रखने पर:
$1 = 1 \cdot \ln(1) + C(1) \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$।
अतः,अभीष्ट हल $y = x \ln x + x$ है।

(C) माना $I = \sqrt{2} \int \frac{\sin x}{\sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} dx$.
$x = (x - \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर।
$I = \sqrt{2} \int \frac{\sin \left( (x - \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} \right)}{\sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)} dx$.
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = \sqrt{2} \int \frac{\sin(x - \frac{\pi}{4}) \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos(x - \frac{\pi}{4}) \sin(\frac{\pi}{4})}{\sin(x - \frac{\pi}{4})} dx$.
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$I = \sqrt{2} \int \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \cot(x - \frac{\pi}{4}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right) dx$.
$I = \int (1 + \cot(x - \frac{\pi}{4})) dx$.
$I = x + \ln \left| \sin(x - \frac{\pi}{4}) \right| + c$.

(A) दिया गया है: $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(A|B) = \frac{1}{2}$,और $P(B|A) = \frac{2}{3}$.
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,हमारे पास है:
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$
$P(A \cap B) = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
साथ ही,हम जानते हैं कि:
$P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B)$
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{6} = P(B) \times \frac{1}{2}$
$P(B) = \frac{1}{6} \times 2 = \frac{1}{3}$.

(D) यह दर्शाने के लिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है,हमें एक फलन $g: Y \to N$ खोजना होगा ताकि $g \circ f = I_N$ और $f \circ g = I_Y$ हो।
दिया गया है $f(x) = 4x + 3$,मान लीजिए $y = f(x) = 4x + 3$ है।
$y$ के पदों में $x$ का मान निकालने पर,हमें $y - 3 = 4x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{y - 3}{4}$।
एक फलन $g: Y \to N$ को $g(y) = \frac{y - 3}{4}$ के रूप में परिभाषित करें।
अब,संयोजन $g \circ f(x) = g(f(x)) = g(4x + 3) = \frac{(4x + 3) - 3}{4} = \frac{4x}{4} = x = I_N(x)$ की जाँच करें।
इसके बाद,संयोजन $f \circ g(y) = f(g(y)) = f\left(\frac{y - 3}{4}\right) = 4\left(\frac{y - 3}{4}\right) + 3 = (y - 3) + 3 = y = I_Y(y)$ की जाँच करें।
चूंकि $g \circ f = I_N$ और $f \circ g = I_Y$ है,इसलिए फलन $f$ व्युत्क्रमणीय है और इसका प्रतिलोम $g(y) = \frac{y - 3}{4}$ है।

(D) दिया गया है कि $\vec{a} = 8\vec{b}$ और $\vec{c} = -7\vec{b}$ है।
चूंकि $\vec{a}$,$\vec{b}$ का एक धनात्मक अदिश गुणज है,इसलिए $\vec{a}$,$\vec{b}$ की ही दिशा में है।
चूंकि $\vec{c}$,$\vec{b}$ का एक ऋणात्मक अदिश गुणज है,इसलिए $\vec{c}$,$\vec{b}$ की विपरीत दिशा में है।
अतः,$\vec{a}$ और $\vec{c}$ विपरीत दिशाओं में हैं।
विपरीत दिशाओं में इंगित करने वाले दो सदिशों के बीच का कोण $180^\circ$ (या $\pi$ रेडियन) होता है।
इस प्रकार,$\vec{a}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $180^\circ$ है।

(D) हमारे पास है,$\int \frac{5 \tan x}{\tan x-2} d x = x + a \log |\sin x - 2 \cos x| + K$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{5 \tan x}{\tan x-2} = 1 + a \frac{d}{dx} (\log |\sin x - 2 \cos x|) $
$\frac{5 \tan x}{\tan x-2} = 1 + a \frac{\cos x + 2 \sin x}{\sin x - 2 \cos x} $
अंश और हर को $\cos x$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5 \tan x}{\tan x-2} = 1 + a \frac{1 + 2 \tan x}{\tan x - 2} $
$\frac{5 \tan x}{\tan x-2} = \frac{\tan x - 2 + a + 2a \tan x}{\tan x - 2} $
$\tan x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$5 = 2a + 1 \Rightarrow 2a = 4 \Rightarrow a = 2$
साथ ही,$a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2$.
अतः,$a = 2$ है।