QUADRATIC EQUATION Questions in Gujarati

(B) આપેલ અસમતા: $2x^2 + 3x - 9 \le 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $2x^2 + 6x - 3x - 9 \le 0$
$2x(x + 3) - 3(x + 3) \le 0$
$(2x - 3)(x + 3) \le 0$
સમીકરણ $2x^2 + 3x - 9 = 0$ ના બીજ $x = 3/2$ અને $x = -3$ છે.
દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^2 + bx + c \le 0$ માટે જ્યાં $a > 0$ હોય,ત્યારે ઉકેલ બીજોની વચ્ચે હોય છે,એટલે કે $\text{root}_1 \le x \le \text{root}_2$.
તેથી,ઉકેલ $-3 \le x \le 3/2$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ ના બીજ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોય તે માટે,બીજનો ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ.
બીજનો ગુણાકાર $\frac{C}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં,$A = 3$ અને $C = a^2 - 3a + 2$ છે.
તેથી,આપણે $\frac{a^2 - 3a + 2}{3} < 0$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 - 3a + 2 < 0$.
આ દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા,આપણને $(a - 1)(a - 2) < 0$ મળે છે.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $1 < a < 2$ હોય.
વધુમાં,બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે વિવેચક $D = B^2 - 4AC$ એ $0$ કરતા મોટો અથવા સમાન હોવો જોઈએ. કારણ કે બીજનો ગુણાકાર ઋણ છે,તેથી બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવાની ખાતરી મળે છે,તેથી વિવેચકની શરત અંતરાલ $(1, 2)$ માં તમામ $a$ માટે આપમેળે સંતોષાય છે.

(C) આપેલ છે કે $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે,તેથી $\alpha + \beta = -p$ અને $\alpha\beta = q$ થાય.
આપેલ છે કે $x^2 - xr + s = 0$ ના બીજ $\alpha^4$ અને $\beta^4$ છે,તેથી $\alpha^4 + \beta^4 = r$ અને $\alpha^4\beta^4 = s$ થાય.
હવે,સમીકરણ $x^2 - 4qx + 2q^2 - r = 0$ માટે વિવેચક $D$ શોધીએ:
$D = (-4q)^2 - 4(1)(2q^2 - r) = 16q^2 - 8q^2 + 4r = 8q^2 + 4r$.
અહીં $q = \alpha\beta$ અને $r = \alpha^4 + \beta^4$ મૂકતા:
$D = 8(\alpha\beta)^2 + 4(\alpha^4 + \beta^4) = 4(2\alpha^2\beta^2 + \alpha^4 + \beta^4) = 4(\alpha^2 + \beta^2)^2$.
કારણ કે $(\alpha^2 + \beta^2)^2 \ge 0$ તમામ વાસ્તવિક $\alpha, \beta$ માટે સત્ય છે,તેથી $D \ge 0$ થાય.
આમ,સમીકરણ $x^2 - 4qx + 2q^2 - r = 0$ ના બીજ હંમેશા વાસ્તવિક હોય છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $f(x) = mx - 1 + \frac{1}{x} \ge 0$ છે,જ્યાં $x > 0$ છે.
$x$ વડે ગુણતા ($x > 0$ હોવાથી),આપણને $mx^2 - x + 1 \ge 0$ મળે છે.
કોઈપણ દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^2 + bx + c$ માટે,જો તે તમામ $x > 0$ માટે અ-ઋણ હોય,તો $a > 0$ અને વિવેચક $D \le 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = m$,$b = -1$,અને $c = 1$ છે.
શરત $1$: $a > 0 \implies m > 0$.
શરત $2$: $D = b^2 - 4ac \le 0 \implies (-1)^2 - 4(m)(1) \le 0$.
$1 - 4m \le 0 \implies 4m \ge 1 \implies m \ge \frac{1}{4}$.
આમ,$m > 0$ અને $m \ge \frac{1}{4}$ હોવાથી,$m$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{4}$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,જો વિવેચક $D = B^2 - 4AC = 0$ હોય તો બીજ સમાન હોય છે.
અહીં,$A = a(b - c)$,$B = b(c - a)$,અને $C = c(a - b)$ છે.
સહગુણકોનો સરવાળો: $A + B + C = a(b - c) + b(c - a) + c(a - b) = ab - ac + bc - ba + ca - cb = 0$.
સહગુણકોનો સરવાળો $0$ હોવાથી,$x = 1$ એ એક બીજ છે.
બીજ સમાન હોવાથી,બંને બીજ $1$ હોવા જોઈએ.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $C/A$ થાય છે.
તેથી,$1 \times 1 = \frac{c(a - b)}{a(b - c)}$.
$a(b - c) = c(a - b) \Rightarrow ab - ac = ac - bc$.
$ab + bc = 2ac$.
બંને બાજુને $abc$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{c} + \frac{1}{a} = \frac{2}{b}$ મળે છે.
આ શરત સૂચવે છે કે $a, b, c$ એ હરાત્મક શ્રેણી $(H.P.)$ માં છે.

(A) ધારો કે સમીકરણ $lx^2 + nx + n = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે બીજનો ગુણોત્તર $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p}{q}$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,$\alpha + \beta = -\frac{n}{l}$ અને $\alpha\beta = \frac{n}{l}$ થાય.
આપણે $\sqrt{\frac{p}{q}} + \sqrt{\frac{q}{p}} + \sqrt{\frac{n}{l}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\frac{p}{q} = \frac{\alpha}{\beta}$ અને $\frac{q}{p} = \frac{\beta}{\alpha}$ મૂકતા,પદાવલિ $\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} + \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} + \sqrt{\alpha\beta}$ બને છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}} + \frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha}} + \sqrt{\alpha\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\sqrt{\alpha\beta}} + \sqrt{\alpha\beta}$ મળે.
$\alpha + \beta = -\frac{n}{l}$ અને $\alpha\beta = \frac{n}{l}$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{-n/l}{\sqrt{n/l}} + \sqrt{n/l} = -\sqrt{\frac{n}{l}} + \sqrt{\frac{n}{l}} = 0$ મળે છે.

(D) ધારો કે સાચું સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ છે .....$(i)$
પ્રથમ ઉમેદવાર માટે,બીજ $2$ અને $6$ છે. ભૂલ ફક્ત $p$ માં હોવાથી,અચળ પદ $q$ સાચું છે.
બીજનો ગુણાકાર $q = 2 \times 6 = 12$.
બીજા ઉમેદવાર માટે,બીજ $2$ અને $-9$ છે. ભૂલ ફક્ત $q$ માં હોવાથી,સહગુણક $p$ સાચો છે.
બીજનો સરવાળો $= 2 + (-9) = -7 = -p$,જેનો અર્થ છે કે $p = 7$.
સમીકરણ $(i)$ માં $p$ અને $q$ ની સાચી કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x^2 + 7x + 12 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 + 4x + 3x + 12 = 0$
$x(x + 4) + 3(x + 4) = 0$
$(x + 3)(x + 4) = 0$
તેથી,બીજ $x = -3$ અને $x = -4$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\alpha_1, \alpha_2$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha_1 + \alpha_2 = -b/a$ અને $\alpha_1 \alpha_2 = c/a$.
તે જ રીતે,$\beta_1, \beta_2$ એ $px^2 + qx + r = 0$ ના બીજ છે,તેથી $\beta_1 + \beta_2 = -q/p$ અને $\beta_1 \beta_2 = r/p$.
સમીકરણ સંહતિ $\alpha_1 y + \alpha_2 z = 0$ અને $\beta_1 y + \beta_2 z = 0$ ને શૂન્યતર ઉકેલ ત્યારે જ મળે જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય: $\alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha_1 / \beta_1 = \alpha_2 / \beta_2 = k$ (ધારો).
તેથી $\alpha_1 = k \beta_1$ અને $\alpha_2 = k \beta_2$.
બીજના સરવાળા અને ગુણાકાર પરથી:
$\alpha_1 + \alpha_2 = k(\beta_1 + \beta_2) \implies -b/a = k(-q/p) \implies b/a = k(q/p) \implies k = bp/aq$.
$\alpha_1 \alpha_2 = k^2(\beta_1 \beta_2) \implies c/a = k^2(r/p)$.
$k = bp/aq$ મૂકતા:
$c/a = (b^2 p^2 / a^2 q^2) \cdot (r/p) = (b^2 pr) / (a^2 q^2)$.
$c/a = (b^2 pr) / (a^2 q^2) \implies c = (b^2 pr) / (a q^2) \implies a q^2 c = b^2 pr$.
આમ,$b^2 pr = q^2 ac$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha + \beta = p$ અને $\alpha\beta = q$.
ધારો કે જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $A$ અને $B$ છે.
$A = (\alpha^2 - \beta^2)(\alpha^3 - \beta^3) = (\alpha - \beta)(\alpha + \beta)(\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha - \beta)^2(\alpha + \beta)(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2)$.
કારણ કે $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = p^2 - 4q$ અને $\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta = p^2 - q$,તેથી $A = (p^2 - 4q)p(p^2 - q) = p[p^4 - 5p^2q + 4q^2]$.
$B = \alpha^3\beta^2 + \alpha^2\beta^3 = \alpha^2\beta^2(\alpha + \beta) = q^2p$.
બીજનો સરવાળો $S = A + B = p[p^4 - 5p^2q + 4q^2] + pq^2 = p[p^4 - 5p^2q + 5q^2]$.
બીજનો ગુણાકાર $P = A \cdot B = p[p^4 - 5p^2q + 4q^2] \cdot pq^2 = p^2q^2(p^4 - 5p^2q + 4q^2)$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - Sx + P = 0$ છે.

(D) ધારો કે સાચું દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ છે અને તેના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
પ્રથમ વિદ્યાર્થીએ અચળ પદ ખોટું લખ્યું હતું,પરંતુ $x^2$ નો સહગુણક $(a=1)$ અને $x$ નો સહગુણક $(b)$ સાચા હતા. બીજનો સરવાળો $-b/a$ થાય છે. બીજ $3$ અને $2$ હોવાથી,સરવાળો $3 + 2 = 5$ થાય. તેથી,$-b/1 = 5$,જેનો અર્થ છે કે $b = -5$.
બીજા વિદ્યાર્થીએ અચળ પદ $(c = -6)$ અને $x^2$ નો સહગુણક $(a = 1)$ સાચો લખ્યો હતો. બીજનો ગુણાકાર $c/a = -6/1 = -6$ થાય છે.
આમ,આપણને સમીકરણ $x^2 - 5x - 6 = 0$ મળે છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 - 6x + x - 6 = 0$.
$x(x - 6) + 1(x - 6) = 0$.
$(x - 6)(x + 1) = 0$.
તેથી,સાચા બીજ $x = 6$ અને $x = -1$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha, \beta$ એ $ax^2 + 2bx + c = 0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha + \beta = -\frac{2b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
આપેલ છે કે $\gamma, \delta$ એ $px^2 + 2qx + r = 0$ ના બીજ છે,તેથી $\gamma + \delta = -\frac{2q}{p}$ અને $\gamma\delta = \frac{r}{p}$.
કારણ કે $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ એ $G.P.$ માં છે,ધારો કે સામાન્ય ગુણોત્તર $k$ છે. તેથી $\beta = \alpha k, \gamma = \alpha k^2, \delta = \alpha k^3$.
બીજ પરથી,$\frac{\alpha\beta}{\gamma\delta} = \frac{c/a}{r/p} = \frac{cp}{ar}$.
$G.P.$ પદો મૂકતા: $\frac{\alpha(\alpha k)}{\alpha k^2(\alpha k^3)} = \frac{\alpha^2 k}{\alpha^2 k^5} = \frac{1}{k^4} = \frac{cp}{ar}$.
વળી,$\frac{\alpha + \beta}{\gamma + \delta} = \frac{\alpha(1+k)}{\alpha k^2(1+k)} = \frac{1}{k^2}$.
બીજના સરવાળા મૂકતા: $\frac{-2b/a}{-2q/p} = \frac{bp}{aq} = \frac{1}{k^2}$.
આનો વર્ગ કરતા $\frac{b^2p^2}{a^2q^2} = \frac{1}{k^4}$ મળે.
$\frac{1}{k^4}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{b^2p^2}{a^2q^2} = \frac{cp}{ar}$.
સાદુરૂપ આપતા: $b^2p^2ar = a^2q^2cp \Rightarrow b^2pr = q^2ac$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 6x - 2 = 0$ છે,જેના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,$\alpha + \beta = -6$ અને $\alpha\beta = -2$ થાય.
$1$. $\alpha$ એ બીજ હોવાથી,$\alpha^2 + 6\alpha - 2 = 0$ થાય. તેથી,$\alpha^2 = 2 - 6\alpha$.
આ કિંમત વિકલ્પ $(A)$ માં મૂકતા: $\alpha^2 + 5\alpha - 8 = (2 - 6\alpha) + 5\alpha - 8 = -\alpha - 6$. કારણ કે $\beta = -6 - \alpha$,તેથી વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
$2$. $\alpha\beta = -2$ પરથી,$\beta = -2/\alpha$ મળે. વિકલ્પ $(C)$ ના અંશમાં $\alpha^2 + 6\alpha - 2 = 0$ મૂકતા: $\frac{2(\alpha^2 + 6\alpha - 2) - 2}{\alpha} = \frac{2(0) - 2}{\alpha} = -2/\alpha$. તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
$3$. $\alpha + \beta = -6$ અને $\alpha\beta = -2$ પરથી,$\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{-6}{-2} = 3$ મળે. આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{1}{\beta} + \frac{1}{\alpha} = 3$,તેથી $\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = 3$. $\beta$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{\beta} = 3 - \frac{1}{\alpha} = \frac{3\alpha - 1}{\alpha}$,જે $\beta = \frac{\alpha}{3\alpha - 1}$ આપે છે. તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
બધા વિકલ્પો $\beta$ ની કિંમત દર્શાવતા હોવાથી,સાચો જવાબ $(D)$ છે.

(C) ${x^3} + px + q = 0$ સ્વરૂપના ત્રિઘાત સમીકરણ માટે,વિવેચક $\Delta = - (4p^3 + 27q^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
${x^3} + 3Hx + G = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = 3H$ અને $q = G$ મળે છે.
વિવેચક $\Delta = - (4(3H)^3 + 27G^2) = - (108H^3 + 27G^2) = - 27(4H^3 + G^2)$ થાય.
આપેલ છે કે ${G^2} + 4{H^3} > 0$,તેથી $\Delta = - 27(G^2 + 4H^3) < 0$ થાય.
વાસ્તવિક સહગુણકો ધરાવતા ત્રિઘાત સમીકરણ માટે,જો વિવેચક $\Delta < 0$ હોય,તો સમીકરણને એક વાસ્તવિક બીજ અને બે સંકર અનુબદ્ધ (કાલ્પનિક) બીજ હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + p^3 = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha + \beta = -p$ અને $\alpha \beta = p^3$ મળે.
બિંદુ $(\alpha, \beta)$ એ પરવલય $y^2 = x$ પર હોવાથી,$\beta^2 = \alpha$ થાય.
$\alpha = \beta^2$ ને બીજના ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા: $\beta^2 \cdot \beta = p^3 \implies \beta^3 = p^3 \implies \beta = p$.
હવે,$\beta = p$ અને $\alpha = p^2$ ને બીજના સરવાળાના સમીકરણ $\alpha + \beta = -p$ માં મૂકતા:
$p^2 + p = -p \implies p^2 + 2p = 0$.
અવયવ પાડતા $p(p + 2) = 0$ મળે. $p \neq 0$ હોવાથી,$p = -2$ મળે.
$p = -2$ ને બીજમાં મૂકતા: $\beta = p = -2$ અને $\alpha = p^2 = (-2)^2 = 4$.
આમ,બીજ $4$ અને $-2$ છે.

(C) ધારો કે $r > 1$ એ $G.P.$ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
તેથી $\beta = r\alpha, \gamma = r^2\alpha,$ અને $\delta = r^3\alpha$.
દ્વિઘાત સમીકરણના બીજના ગુણધર્મો મુજબ:
$\alpha + \beta = \alpha(1 + r) = 3$ ..... $(i)$
$\alpha \beta = \alpha^2 r = a$ ..... $(ii)$
$\gamma + \delta = \alpha r^2(1 + r) = 12$ ..... $(iii)$
$\gamma \delta = \alpha^2 r^5 = b$ ..... $(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{\alpha r^2(1 + r)}{\alpha(1 + r)} = \frac{12}{3}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $r^2 = 4$ થાય છે. શ્રેણી વધતી જતી હોવાથી,$r = 2$ લેતા.
$r = 2$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,$\alpha(1 + 2) = 3$ મળે,તેથી $\alpha = 1$.
હવે,$a$ અને $b$ ની ગણતરી કરતા:
$a = \alpha^2 r = (1)^2(2) = 2$.
$b = \alpha^2 r^5 = (1)^2(2^5) = 32$.
આમ,$a = 2$ અને $b = 32$ મળે છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2 - (a - 2)x + (a - 3) = 0$ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = a - 2$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = a - 3$
આપણે બીજના ઘનનો સરવાળો $S = \alpha^3 + \beta^3$ ન્યૂનતમ બનાવવો છે.
નિત્યસમ $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = (a - 2)^3 - 3(a - 3)(a - 2)$
$S = (a - 2) [(a - 2)^2 - 3(a - 3)]$
$S = (a - 2) [a^2 - 4a + 4 - 3a + 9]$
$S = (a - 2) (a^2 - 7a + 13)$
$S = a^3 - 9a^2 + 27a - 26$
$S = (a - 3)^3 + 1$
અહીં $a \ge 3$ હોવાથી,$(a - 3)^3 + 1$ ની કિંમત ત્યારે ન્યૂનતમ થાય જ્યારે $(a - 3)^3 = 0$ હોય,જે $a = 3$ માટે શક્ય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ ${x^3} - 5{x^2} + 9x - 5 = 0$ છે.
બહુપદીના સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,સંકર બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
આપેલ છે કે એક બીજ $z_1 = 2 + i$ છે,તેથી બીજું બીજ $z_2 = 2 - i$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે ત્રીજું બીજ $\alpha$ છે.
ત્રિઘાત સમીકરણ $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ માટે બીજો અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો સરવાળો $-b/a$ થાય છે.
અહીં,બીજનો સરવાળો $= (2 + i) + (2 - i) + \alpha = -(-5)/1 = 5$.
$4 + \alpha = 5 \Rightarrow \alpha = 1$.
આમ,અન્ય બીજ $1$ અને $2 - i$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + (1 - p) = 0$ $(i)$ છે.
કારણ કે $(1 - p)$ એ એક બીજ છે,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(1 - p)^2 + p(1 - p) + (1 - p) = 0$
$(1 - p)$ સામાન્ય લેતા:
$(1 - p) [(1 - p) + p + 1] = 0$
$(1 - p) [2] = 0$
આથી $1 - p = 0$,એટલે કે $p = 1$.
હવે $p = 1$ ને મૂળ સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x^2 + (1)x + (1 - 1) = 0$
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
આમ,બીજ $x = 0$ અને $x = -1$ મળે છે.

(A) $y$ વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવે તે માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ,એટલે કે $\frac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 2)} \ge 0$.
ઉપરાંત,છેદ શૂન્ય ન હોઈ શકે,તેથી $x \neq 2$.
ધારો કે $f(x) = \frac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 2)}$. આપણે $f(x) \ge 0$ હોય તેવા અંતરાલો શોધવા માટે વેવી કર્વ પદ્ધતિ (sign scheme) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -1, 2, 3$ છે.
અંતરાલોની ચકાસણી:
$1$) $x \in (-1, 2)$ માટે,$x = 0$ લેતા: $f(0) = \frac{(1)(-3)}{(-2)} = \frac{3}{2} > 0$.
$2$) $x \in (2, 3)$ માટે,$x = 2.5$ લેતા: $f(2.5) = \frac{(3.5)(-0.5)}{(0.5)} = -3.5 < 0$.
$3$) $x \ge 3$ માટે,$x = 4$ લેતા: $f(4) = \frac{(5)(1)}{(2)} = 2.5 > 0$.
$4$) $x \le -1$ માટે,$x = -2$ લેતા: $f(-2) = \frac{(-1)(-5)}{(-4)} = -1.25 < 0$.
અંશ શૂન્ય હોય તેવા બિંદુઓ $(x = -1, 3)$ ને સમાવતા,અસમતા $-1 \le x < 2$ અથવા $x \ge 3$ માટે સાચી છે.

(D) વિધેય $y = \sqrt{x(x - 3)}$ નો વ્યાખ્યાયિત પ્રદેશ $x(x - 3) \ge 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $x \le 0$ અથવા $x \ge 3$ ... $(i)$.
આપેલ સમીકરણ $(3|x| - 3)^2 = |x| + 7$ માં,ધારો કે $t = |x|$. તો $(3t - 3)^2 = t + 7$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $9t^2 - 18t + 9 = t + 7$.
પદોને ગોઠવતા: $9t^2 - 19t + 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(9t - 1)(t - 2) = 0$.
આમ,$t = 1/9$ અથવા $t = 2$.
કારણ કે $t = |x|$,તેથી $|x| = 1/9$ અથવા $|x| = 2$.
આથી $x = \pm 1/9$ અથવા $x = \pm 2$ મળે છે.
આ કિંમતોને પ્રદેશની શરત $(i)$ ($x \le 0$ અથવા $x \ge 3$) સાથે ચકાસતા:
$x = 1/9$ માટે,$1/9 \not\le 0$ અને $1/9 \not\ge 3$ (અસ્વીકાર્ય).
$x = -1/9$ માટે,$-1/9 \le 0$ (સ્વીકાર્ય).
$x = 2$ માટે,$2 \not\le 0$ અને $2 \not\ge 3$ (અસ્વીકાર્ય).
$x = -2$ માટે,$-2 \le 0$ (સ્વીકાર્ય).
તેથી,જરૂરી ઉકેલો $-1/9$ અને $-2$ છે.

(C) આપેલ છે કે ${x^2} + 2ax + {a^2}$ એ ${x^3} - 3px + 2q$ નો એક અવયવ છે.
નોંધો કે ${x^2} + 2ax + {a^2} = {(x + a)^2}$.
ધારો કે ${x^3} - 3px + 2q = {(x + a)^2}(x - 2a) = (x^2 + 2ax + a^2)(x - 2a)$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^2 + 2ax + a^2)(x - 2a) = x^3 - 2ax^2 + 2ax^2 - 4a^2x + a^2x - 2a^3 = x^3 - 3a^2x - 2a^3$.
આને ${x^3} - 3px + 2q$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$-3p = -3a^2 \Rightarrow p = a^2$.
$2q = -2a^3 \Rightarrow q = -a^3$.
હવે,$a^2 = p$ ને $q = -a^3$ માં મૂકતા:
$q^2 = (-a^3)^2 = a^6 = (a^2)^3 = p^3$.
આમ,જરૂરી શરત ${p^3} = {q^2}$ છે.

(C) $1$. પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે,જે સૂચવે છે કે $x^2$ નો સહગુણક ઋણ છે,તેથી $a < 0$.
$2$. વક્ર $y$-અક્ષને $x = 0$ પર છેદે છે. સમીકરણ $y = ax^2 + bx + c$ માં $x = 0$ મૂકતા,આપણને $y = c$ મળે છે. આકૃતિ પરથી,$y$-અક્ષ પરનું છેદબિંદુ ઉગમબિંદુની ઉપર છે,તેથી $c > 0$.
$3$. દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $x_1$ અને $x_2$ છે. આકૃતિ પરથી,$x_1 > 0$ અને $x_2 < 0$. પરવલયનું શિરોબિંદુ $y$-અક્ષની ડાબી બાજુએ હોવાથી,બીજનો સરવાળો ઋણ છે: $x_1 + x_2 < 0$. બીજનો સરવાળો $-b/a$ હોવાથી,$-b/a < 0$,જેનો અર્થ છે કે $b/a > 0$. $a < 0$ હોવાથી,$b < 0$ થાય.
$4$. વક્ર $x$-અક્ષને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે,તેથી વિવેચક $D = b^2 - 4ac > 0$.
આ તારણોને વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$c > 0$ એ સાચું વિધાન છે.

(A) ધારો કે $f(x) = x^2 - 3x + k$. બીજ $\alpha, \beta$ વાસ્તવિક,ભિન્ન અને અંતરાલ $(0, 1)$ માં હોય તે માટે નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. વિવેચક $D > 0$: $D = (-3)^2 - 4(1)(k) = 9 - 4k > 0 \implies k < 2.25$.
$2$. $f(0) > 0$: $0^2 - 3(0) + k > 0 \implies k > 0$.
$3$. $f(1) > 0$: $1^2 - 3(1) + k > 0 \implies 1 - 3 + k > 0 \implies k > 2$.
$4$. પરવલયનું શિરોબિંદુ $x = -b/(2a)$ એ $(0, 1)$ માં હોવું જોઈએ: $x = 3/2 = 1.5$. $1.5$ એ $(0, 1)$ અંતરાલમાં નથી,તેથી બંને બીજ $(0, 1)$ માં હોવા અશક્ય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta$ એ $0 < \alpha + \beta < 2$ ની શરતનું પાલન કરવો જોઈએ. અહીં,$\alpha + \beta = 3$,જે $2$ કરતા નાનું નથી. તેથી,આવા કોઈ $k$ નું અસ્તિત્વ નથી.

(A) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3 + px + q = 0$ છે.
કારણ કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ બીજ છે,તેથી વિએટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = 0$ ($x^2$ નો સહગુણક $0$ છે).
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = p$.
$\alpha\beta\gamma = -q$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha + \beta + \gamma)(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 - \alpha\beta - \beta\gamma - \gamma\alpha)$.
કારણ કે $\alpha + \beta + \gamma = 0$,તેથી નિત્યસમની જમણી બાજુ $0$ થઈ જશે.
તેથી,$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 3\alpha\beta\gamma$.
$\alpha\beta\gamma = -q$ મૂકતા,આપણને $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 3(-q) = -3q$ મળે છે.

(A) ધારો કે $x = \frac{p}{q}$ એ સૌથી સાદા સ્વરૂપમાં એક સંમેય બીજ છે,જ્યાં $p, q \in \mathbb{Z}$,$q > 0$,અને $\gcd(p, q) = 1$.
સંમેય બીજ પ્રમેય મુજબ,પૂર્ણાંક સહગુણકો ધરાવતી બહુપદી $a_n x^n + \dots + a_0 = 0$ માટે,કોઈપણ સંમેય બીજ $\frac{p}{q}$ એ $p \mid a_0$ અને $q \mid a_n$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
અહીં,$a_n = 1$ અને $a_0 = 1$ છે.
તેથી,$p \mid 1$ અને $q \mid 1$,જેનો અર્થ છે કે $p, q \in \{-1, 1\}$.
તેથી,શક્ય સંમેય બીજ માત્ર $x = 1$ અથવા $x = -1$ છે.
ધારો કે $f(x) = x^{2016} - x^{2015} + x^{1008} + x^{1003} + 1$.
$x = 1$ માટે: $f(1) = 1^{2016} - 1^{2015} + 1^{1008} + 1^{1003} + 1 = 1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$.
$x = -1$ માટે: $f(-1) = (-1)^{2016} - (-1)^{2015} + (-1)^{1008} + (-1)^{1003} + 1 = 1 - (-1) + 1 - 1 + 1 = 1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3 \neq 0$.
જેથી $1$ કે $-1$ માંથી કોઈ પણ બીજ નથી,તેથી સમીકરણને કોઈ સંમેય બીજ નથી.
આમ,સંમેય બીજની સંખ્યા $0$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{P^2}{x} + \frac{Q^2}{x - 1} = 1$.
$x(x - 1)$ વડે ગુણતા: $P^2(x - 1) + Q^2x = x(x - 1)$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $P^2x - P^2 + Q^2x = x^2 - x$.
પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $x^2 - (P^2 + Q^2 + 1)x + P^2 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ છે.
અહીં,$a = 1$,$b = -(P^2 + Q^2 + 1)$,અને $c = P^2$.
$D = (P^2 + Q^2 + 1)^2 - 4(1)(P^2) = (P^2 + Q^2 + 1)^2 - 4P^2$.
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$D = (P^2 + Q^2 + 1 - 2P)(P^2 + Q^2 + 1 + 2P) = ((P - 1)^2 + Q^2)((P + 1)^2 + Q^2)$.
કારણ કે $P$ અને $Q$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તેથી $D > 0$. તેથી,સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ છે.

(C) સમીકરણ $|x^2 - 2|x|| = 2^x$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $f(x) = |x^2 - 2|x||$ અને $g(x) = 2^x$ ના આલેખનું વિશ્લેષણ કરી શકીએ છીએ.
$1$. $f(x) = |x^2 - 2|x||$ નું વિશ્લેષણ:
- $f(x)$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી $(f(x) = f(-x))$,આલેખ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
- $x \ge 0$ માટે,$f(x) = |x^2 - 2x|$.
- $x^2 - 2x = 0$ ના બીજ $x = 0$ અને $x = 2$ છે.
- $x = 0$ અને $x = 2$ ની વચ્ચે,$x^2 - 2x$ ઋણ છે,તેથી $|x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x) = 2x - x^2$.
- $x > 2$ માટે,$x^2 - 2x$ ધન છે,તેથી $|x^2 - 2x| = x^2 - 2x$.
$2$. $g(x) = 2^x$ નું વિશ્લેષણ:
- આ એક ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ વિધેય છે જે હંમેશા ધન અને સતત વધતું વિધેય છે.
$3$. છેદબિંદુઓ:
- બંને વિધેયોનો આલેખ દોરતા,આપણે છેદબિંદુઓ જોઈ શકીએ છીએ.
- $x < 0$ માટે,ઘાતાંકીય વિધેય $2^x$ એ $0$ ની નજીક પહોંચે છે,જ્યારે પરવલય $|x^2 + 2x|$ તેને બે બિંદુઓ પર છેદે છે.
- $x > 0$ માટે,વિધેય $f(x) = |x^2 - 2x|$ એ $g(x) = 2^x$ ને બરાબર એક બિંદુ પર છેદે છે.
- આમ,કુલ $3$ છેદબિંદુઓ મળે છે.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $3$ છે.

(C) સમીકરણ $2^x = x^2$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે, આપણે વિધેયો $f(x) = 2^x$ અને $g(x) = x^2$ ના છેદબિંદુઓનું વિશ્લેષણ કરી શકીએ છીએ.
$1$. $x < 0$ માટે: જેમ $x$ વધુ ઋણ બને છે, તેમ $2^x$ ની કિંમત $0$ ની નજીક પહોંચે છે, જ્યારે $x^2$ વધે છે. અંતરાલ $(-1, 0)$ માં એક છેદબિંદુ છે કારણ કે $x = -1$ પર $2^{-1} = 0.5$ અને $(-1)^2 = 1$ છે, અને $x = -0.5$ પર $2^{-0.5} \approx 0.707$ અને $(-0.5)^2 = 0.25$ છે. આમ, અહીં એક ઉકેલ છે.
$2$. $x > 0$ માટે: આપણે ચોક્કસ પૂર્ણાંક કિંમતો તપાસીએ:
$x = 2$ પર, $2^2 = 4$ અને $2^2 = 4$. તેથી, $x = 2$ એક ઉકેલ છે.
$x = 4$ પર, $2^4 = 16$ અને $4^2 = 16$. તેથી, $x = 4$ એક ઉકેલ છે.
$3$. $x = 2$ અને $x = 4$ ની વચ્ચે, વિધેય $x^2$ એ $2^x$ કરતા મોટું છે (દા.ત., $x = 3$ પર, $2^3 = 8$ અને $3^2 = 9$).
$x > 4$ માટે, ઘાતાંકીય વિધેય $2^x$ એ દ્વિઘાત વિધેય $x^2$ કરતા ખૂબ ઝડપથી વધે છે, તેથી $x > 4$ માટે કોઈ ઉકેલ નથી.
આમ, ઉકેલો $x = -0.766$ (આશરે), $x = 2$, અને $x = 4$ છે. કુલ $3$ ઉકેલો મળે છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}$ અને $g(x) = 3x^3$ છે.
આપણે $f(x)$ અને $g(x)$ ના આલેખના છેદબિંદુઓની સંખ્યા શોધવાની છે.
વિધેય $f(x)$ ને $x = 0, x = 1,$ અને $x = 2$ પર શિરોલંબ અનંતસ્પર્શકો (vertical asymptotes) છે.
$1$. $x < 0$ માટે,$f(x)$ ઋણ છે અને $g(x) = 3x^3$ પણ ઋણ છે. જેમ $x \to -\infty$,તેમ $f(x) \to 0$ અને $g(x) \to -\infty$. જેમ $x \to 0^-$,તેમ $f(x) \to -\infty$ અને $g(x) \to 0$. ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,$(-\infty, 0)$ અંતરાલમાં એક છેદબિંદુ મળે છે.
$2$. $0 < x < 1$ માટે,$f(x)$ એ $+\infty$ થી $-\infty$ સુધી જાય છે. $g(x)$ ધન છે. $(0, 1)$ અંતરાલમાં એક છેદબિંદુ મળે છે.
$3$. $1 < x < 2$ માટે,$f(x)$ એ $+\infty$ થી $-\infty$ સુધી જાય છે. $g(x)$ ધન છે. $(1, 2)$ અંતરાલમાં એક છેદબિંદુ મળે છે.
$4$. $x > 2$ માટે,જેમ $x \to \infty$,તેમ $f(x)$ એ $+\infty$ થી $0$ સુધી જાય છે. $g(x)$ એ $24$ થી $+\infty$ સુધી જાય છે. $(2, \infty)$ અંતરાલમાં એક છેદબિંદુ મળે છે.
આમ,કુલ $4$ વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.

(B) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (p + 3)x + (5p - 2) = 0$ ના બીજો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજોનો સરવાળો $\alpha + \beta = p + 3$ અને બીજોનો ગુણાકાર $\alpha \beta = 5p - 2$ થાય.
આપણે બીજોના વર્ગોનો સરવાળો $S = \alpha^2 + \beta^2$ ન્યૂનતમ બનાવવો છે.
નિત્યસમ $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે કિંમતો મૂકીએ:
$S = (p + 3)^2 - 2(5p - 2)$
$S = p^2 + 6p + 9 - 10p + 4$
$S = p^2 - 4p + 13$
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ:
$S = (p^2 - 4p + 4) + 9$
$S = (p - 2)^2 + 9$
કારણ કે $(p - 2)^2 \ge 0$,તેથી $S$ ની ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે જ્યારે $p - 2 = 0$ થાય,એટલે કે $p = 2$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\log_{\sqrt{3}}(x^3 - 1) = \log_{\sqrt{3}}(x - 1) + 2$.
લઘુગણકીય વિધેયો વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે,$x^3 - 1 > 0$ અને $x - 1 > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x > 1$.
ગુણધર્મ $\log_b(A) - \log_b(B) = \log_b(A/B)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\log_{\sqrt{3}}((x^3 - 1)/(x - 1)) = 2$.
કારણ કે $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$,સમીકરણ $\log_{\sqrt{3}}(x^2 + x + 1) = 2$ બને છે.
ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા: $x^2 + x + 1 = (\sqrt{3})^2 = 3$.
તેથી,$x^2 + x - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x + 2)(x - 1) = 0$.
આથી $x = -2$ અથવા $x = 1$ મળે છે.
પ્રદેશની શરત $x > 1$ હોવાથી,$x = -2$ અને $x = 1$ બંને અસ્વીકાર્ય છે.
આમ,ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(D) આપેલ અસમતા $kx^2 - 2x + k \geq 0$ છે.
જો $k = 0$ હોય,તો અસમતા $-2x \geq 0$ બને છે,જેનો અર્થ છે કે $x \leq 0$. આ ઓછામાં ઓછા એક વાસ્તવિક $x$ માટે સાચું હોવાથી,$k = 0$ એ ઉકેલ છે.
જો $k \neq 0$ હોય,તો આપણે અસમતાને $k(x^2 + 1) \geq 2x$ તરીકે લખી શકીએ,જે $k \geq \frac{2x}{x^2 + 1}$ આપે છે.
ધારો કે $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$. $f(x)$ નો વિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન કરીએ: $f'(x) = \frac{2(x^2 + 1) - 2x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા $x^2 = 1$ મળે છે,એટલે કે $x = 1$ અથવા $x = -1$.
મહત્તમ મૂલ્ય $f(1) = 1$ છે અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય $f(-1) = -1$ છે.
આમ,$f(x)$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
$k \geq f(x)$ ઓછામાં ઓછા એક $x$ માટે સાચું હોય તે માટે,$k$ એ $f(x)$ ના ન્યૂનતમ મૂલ્ય કરતા મોટું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$k \geq -1$.

(C) આપેલ સમીકરણ $[x^2] = 2x - 1$ છે.
$[x^2]$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી, $2x - 1$ પણ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે $2x$ પૂર્ણાંક છે.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ, $x^2 - 1 < [x^2] \le x^2$.
$[x^2] = 2x - 1$ મૂકતા, $x^2 - 1 < 2x - 1 \le x^2$ મળે.
$x^2 - 1 < 2x - 1$ પરથી, $x^2 - 2x < 0$ મળે, તેથી $x(x - 2) < 0$, જેનો અર્થ છે $0 < x < 2$.
$2x - 1 \le x^2$ પરથી, $x^2 - 2x + 1 \ge 0$ મળે, જેનો અર્થ છે $(x - 1)^2 \ge 0$, જે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે સત્ય છે.
કિસ્સો $1$: $0 < x < 1$. તો $0 < x^2 < 1$, તેથી $[x^2] = 0$. સમીકરણ $0 - 2x + 1 = 0$ બને, તેથી $x = 1/2$. $1/2$ એ $(0, 1)$ માં હોવાથી, તે ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: $1 \le x < \sqrt{2}$. તો $1 \le x^2 < 2$, તેથી $[x^2] = 1$. સમીકરણ $1 - 2x + 1 = 0$ બને, તેથી $2x = 2$, $x = 1$. $1$ એ $[1, \sqrt{2})$ માં હોવાથી, તે ઉકેલ છે.
કિસ્સો $3$: $\sqrt{2} \le x < \sqrt{3}$. તો $2 \le x^2 < 3$, તેથી $[x^2] = 2$. સમીકરણ $2 - 2x + 1 = 0$ બને, તેથી $2x = 3$, $x = 3/2$. $3/2 = 1.5$ અને $\sqrt{2} \approx 1.414$ હોવાથી, $1.5$ એ $[\sqrt{2}, \sqrt{3})$ માં છે, તેથી તે ઉકેલ છે.
કિસ્સો $4$: $\sqrt{3} \le x < 2$. તો $3 \le x^2 < 4$, તેથી $[x^2] = 3$. સમીકરણ $3 - 2x + 1 = 0$ બને, તેથી $2x = 4$, $x = 2$. પરંતુ $x < 2$ હોવાથી, આ ઉકેલ નથી.
ઉકેલો $1/2, 1, 3/2$ છે. સરવાળો $1/2 + 1 + 3/2 = 3$ થાય.

(C) ધારો કે સંખ્યા $x$ છે. પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યા અને તેના વ્યસ્ત વચ્ચેનો તફાવત $1$ છે,તેથી $|x - \frac{1}{x}| = 1$.
આનાથી બે સમીકરણો મળે છે: $x - \frac{1}{x} = 1$ અને $x - \frac{1}{x} = -1$.
$x - \frac{1}{x} = 1$ માટે,$x^2 - x - 1 = 0$ મળે. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. $x$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
$x - \frac{1}{x} = -1$ માટે,$x^2 + x - 1 = 0$ મળે. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$. $x$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $b = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.
સરવાળો $a + b = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{1 + \sqrt{5} + \sqrt{5} - 1}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$.

(C) ધારો કે $f(x) = ||x - 2| - |3 - x||$.
માનાંકના ત્રિકોણ અસમતાના ગુણધર્મ મુજબ,$||x - 2| - |3 - x|| \leq |(x - 2) - (3 - x)| = |2x - 5|$.
વધુ સરળ રીતે,પદાવલિ $||x - 2| - |3 - x||$ એ બિંદુ $x$ ના $2$ અને $3$ થી અંતરનો તફાવત દર્શાવે છે.
$x < 2$ માટે,$f(x) = |(2 - x) - (3 - x)| = |-1| = 1$.
$2 \leq x \leq 3$ માટે,$f(x) = |(x - 2) - (3 - x)| = |2x - 5|$. જેમ $x$ એ $2$ થી $3$ સુધી જાય છે,તેમ $2x - 5$ એ $-1$ થી $1$ સુધી જાય છે,તેથી $|2x - 5|$ એ $1$ થી $0$ અને પાછું $1$ સુધી જાય છે.
$x > 3$ માટે,$f(x) = |(x - 2) - (x - 3)| = |1| = 1$.
આમ,$f(x)$ નો વિસ્તાર $[0, 1]$ છે.
સમીકરણ $f(x) = 2 - a$ નો ઉકેલ મેળવવા માટે,$0 \leq 2 - a \leq 1$ હોવું જરૂરી છે.
$a$ માટે ઉકેલતા: $-2 \leq -a \leq -1$,જેનો અર્થ છે કે $1 \leq a \leq 2$.
$a$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $1$ અને $2$ છે.
આ મૂલ્યોનો સરવાળો $1 + 2 = 3$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha^2 + \beta^2 = 5$ અને $3(\alpha^5 + \beta^5) = 11(\alpha^3 + \beta^3)$.
ધારો કે $S_n = \alpha^n + \beta^n$. તેથી $S_2 = 5$ અને $3S_5 = 11S_3$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - px + q = 0$ માટે,જ્યાં $p = \alpha + \beta$ અને $q = \alpha \beta$,સંબંધ $S_n = p S_{n-1} - q S_{n-2}$ મળે છે.
$S_2 = 5$ હોવાથી $p^2 - 2q = 5$.
$S_3 = p S_2 - q S_1 = 5p - qp = p(5-q)$.
$S_4 = S_2^2 - 2q^2 = 25 - 2q^2$.
$S_5 = p S_4 - q S_3 = p(25 - 2q^2) - q(p(5-q)) = p(25 - 5q - q^2)$.
સમીકરણ $3S_5 = 11S_3$ માં કિંમત મૂકતા:
$3p(25 - 5q - q^2) = 11p(5 - q)$.
$p \neq 0$ લેતા,$75 - 15q - 3q^2 = 55 - 11q$.
$3q^2 + 4q - 20 = 0 \Rightarrow (3q + 10)(q - 2) = 0$.
વાસ્તવિક ઉકેલ માટે $q=2$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^3 - x - 1 = 0$ છે જેના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma = 0$ થાય છે.
તેથી,આપણે લખી શકીએ: $\beta + \gamma = -\alpha$,$\gamma + \alpha = -\beta$,અને $\alpha + \beta = -\gamma$.
જરૂરી સમીકરણના બીજ $\frac{1}{-\alpha}, \frac{1}{-\beta}, \frac{1}{-\gamma}$ છે,જે $-\frac{1}{\alpha}, -\frac{1}{\beta}, -\frac{1}{\gamma}$ તરીકે લખી શકાય.
જો $y = -\frac{1}{x}$ હોય,તો $x = -\frac{1}{y}$ થાય.
મૂળ સમીકરણમાં $x = -\frac{1}{y}$ મૂકતા:
$(-\frac{1}{y})^3 - (-\frac{1}{y}) - 1 = 0$
$-\frac{1}{y^3} + \frac{1}{y} - 1 = 0$
$-y^3$ વડે ગુણતા: $1 - y^2 + y^3 = 0$,એટલે કે $y^3 - y^2 + 1 = 0$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ એ સમીકરણ $x^4 + x^2 + 1 = 0$ ના બીજ છે.
ધારો કે $y = x^2$,જેનો અર્થ છે કે $x = \pm \sqrt{y}$.
મૂળ સમીકરણ $x^4 + x^2 + 1 = 0$ માં $x^2 = y$ મૂકતા,આપણને $(x^2)^2 + x^2 + 1 = 0$ મળે છે.
$x^2$ ને $y$ વડે બદલતા,આપણને $y^2 + y + 1 = 0$ મળે છે.
નવા સમીકરણના બીજ $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2, \delta^2$ હોવાથી,અને મૂળ સમીકરણના દરેક બીજ $x^4 + x^2 + 1 = 0$ નું સમાધાન કરે છે,તેથી $y = x^2$ રૂપાંતરણ ચાર બીજને $y$ ના બે મૂલ્યોમાં મેપ કરે છે જે $y^2 + y + 1 = 0$ નું સમાધાન કરે છે.
દરેક બીજનો વર્ગ થતો હોવાથી,પરિણામી સમીકરણમાં બીજની ગુણકતા ધ્યાનમાં લેવી આવશ્યક છે. સમીકરણ $y^2 + y + 1 = 0$ ના બે બીજ છે,ધારો કે $y_1$ અને $y_2$. મૂળ સમીકરણ $4$ ઘાતનું હોવાથી,નવું સમીકરણ પણ $4$ ઘાતનું હોવું જોઈએ.
આમ,જરૂરી સમીકરણ $(y^2 + y + 1)^2 = 0$ છે,જે $x$ ના સ્વરૂપમાં $(x^2 + x + 1)^2 = 0$ છે.

(D) $x^2 - (a - 1)x + 3 = 0$ ના બંને બીજ ધન હોવા માટે:
$1$. વિવેચક $D_1 \ge 0 \Rightarrow (a - 1)^2 - 12 \ge 0 \Rightarrow a \ge 4.46$ અથવા $a \le -2.46$.
$2$. બીજનો સરવાળો $> 0 \Rightarrow a - 1 > 0 \Rightarrow a > 1$.
$3$. બીજનો ગુણાકાર $> 0 \Rightarrow 3 > 0$ (હંમેશા સત્ય).
આથી,$a \ge 4.46$.
$x^2 + 3x + 6 - a = 0$ ના બંને બીજ ઋણ હોવા માટે:
$1$. વિવેચક $D_2 \ge 0 \Rightarrow 9 - 4(6 - a) \ge 0 \Rightarrow 4a \ge 15 \Rightarrow a \ge 3.75$.
$2$. બીજનો સરવાળો $< 0 \Rightarrow -3 < 0$ (હંમેશા સત્ય).
$3$. બીજનો ગુણાકાર $> 0 \Rightarrow 6 - a > 0 \Rightarrow a < 6$.
આથી,$3.75 \le a < 6$.
બંને શરતોનું છેદગણ: $4.46 \le a < 6$. તેથી $a$ નું પૂર્ણાંક મૂલ્ય માત્ર $5$ છે. આમ,કુલ $1$ મૂલ્ય મળે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^2 - 3x + a$.
બીજ $\alpha$ અને $\beta$ માટે શરત $\alpha < 1 < \beta$ સંતોષાય તે માટે,$x = 1$ આગળ દ્વિઘાત વિધેયનું મૂલ્ય ઋણ હોવું જોઈએ,એટલે કે $f(1) < 0$.
સમીકરણમાં $x = 1$ મૂકતા:
$f(1) = (1)^2 - 3(1) + a < 0$
$1 - 3 + a < 0$
$-2 + a < 0$
$a < 2$.
કારણ કે $a < 2$ એ વાસ્તવિક બીજ માટેની શરત $(D > 0)$ ને આપમેળે સંતોષે છે,જ્યાં $D = (-3)^2 - 4(1)(a) = 9 - 4a > 0 \Rightarrow a < 9/4$,તેથી $a < 2$ અને $a < 9/4$ નો છેદગણ $a < 2$ થાય છે.
આમ,$a \in (-\infty, 2)$.

(A) $1$. પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2$ નો સહગુણક ઋણ છે. તેથી,$a < 0$.
$2$. આલેખનો $y$-અંતઃખંડ તે બિંદુ છે જ્યાં $x = 0$ હોય. સમીકરણ $y = ax^2 - bx + c$ માં $x = 0$ મૂકતા,આપણને $y = c$ મળે છે. આલેખ પરથી,$y$-અંતઃખંડ $x$-અક્ષની નીચે છે,તેથી $c < 0$.
$3$. પરવલય $y = ax^2 + Bx + C$ ના શિરોબિંદુનો $x$-યામ $-B / (2A)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપણા સમીકરણ $y = ax^2 - bx + c$ માં,$x$ નો સહગુણક $-b$ છે. તેથી,શિરોબિંદુનો $x$-યામ $-(-b) / (2a) = b / (2a)$ થાય.
$4$. આલેખ પરથી,શિરોબિંદુ $y$-અક્ષની જમણી બાજુએ આવેલું છે,જેનો અર્થ છે કે શિરોબિંદુનો $x$-યામ ધન છે. તેથી,$b / (2a) > 0$.
$5$. આપણે જાણીએ છીએ કે $a < 0$,તેથી અપૂર્ણાંક $b / (2a)$ ધન હોવા માટે $b$ પણ ઋણ હોવો જોઈએ. આમ,$b < 0$.
$6$. આથી,$a < 0, b < 0, c < 0$ મળે છે.

(D) ધારો કે સમીકરણોના બીજ નીચે મુજબ છે:
$x^2 + ax + bc = 0 \rightarrow \alpha, \beta$ $(1)$
$x^2 + bx + ac = 0 \rightarrow \alpha, \gamma$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(a - b)x + (bc - ac) = 0$
$(a - b)x - c(a - b) = 0$
$a \ne b$ હોવાથી,$(a - b)$ વડે ભાગતા $x = c$ મળે.
આમ,સામાન્ય બીજ $\alpha = c$ છે.
$x = c$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$c^2 + ac + bc = 0 \Rightarrow c(c + a + b) = 0$.
$c \ne 0$ હોવાથી,$a + b + c = 0$ મળે.
સમીકરણ $(1)$ માં બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta = bc \Rightarrow c \cdot \beta = bc \Rightarrow \beta = b$.
સમીકરણ $(2)$ માં બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \gamma = ac \Rightarrow c \cdot \gamma = ac \Rightarrow \gamma = a$.
બીજ $\beta$ અને $\gamma$ ધરાવતું સમીકરણ $x^2 - (\beta + \gamma)x + \beta \gamma = 0$ છે.
$x^2 - (b + a)x + ab = 0$.
$a + b = -c$ હોવાથી,સમીકરણ $x^2 - (-c)x + ab = 0$ એટલે કે $x^2 + cx + ab = 0$ બને છે.
બંને વિધાનો સાચા છે અને વિધાન $-2$ એ વિધાન $-1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) ખોટું સમીકરણ $x^2 + 17x + q = 0$ છે.
આપેલ છે કે આ ખોટા સમીકરણના બીજ $-2$ અને $-15$ છે,તેથી આપણે બીજના ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $q$ શોધી શકીએ છીએ:
બીજનો ગુણાકાર $= (-2) \times (-15) = 30$.
સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ માટે બીજનો ગુણાકાર $q$ હોવાથી,$q = 30$ મળે છે.
મૂળ સમીકરણમાં $x$ નો સહગુણક $13$ હતો,તેથી મૂળ સમીકરણ $x^2 + 13x + 30 = 0$ છે.
બીજ શોધવા માટે,આપણે અવયવ પાડીએ: $x^2 + 10x + 3x + 30 = 0$.
$x(x + 10) + 3(x + 10) = 0$.
$(x + 3)(x + 10) = 0$.
આમ,બીજ $x = -3$ અને $x = -10$ છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + 1 = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોય તે માટે વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac \geq 0$
અહીં $c = 1$ હોવાથી,શરત $b^2 - 4a \geq 0$ એટલે કે $b^2 \geq 4a$ બને છે.
$b \in \{1, 2, 3, 4\}$ માટે કિંમતો તપાસતા:
$1$. જો $b = 1$,તો $b^2 = 1$. $1 \geq 4a \Rightarrow a \leq 0.25$. $a \in \{1, 2, 3, 4\}$ માં કોઈ કિંમત શક્ય નથી.
$2$. જો $b = 2$,તો $b^2 = 4$. $4 \geq 4a \Rightarrow a \leq 1$. તેથી,$a = 1$ ($1$ ઉકેલ).
$3$. જો $b = 3$,તો $b^2 = 9$. $9 \geq 4a \Rightarrow a \leq 2.25$. તેથી,$a \in \{1, 2\}$ ($2$ ઉકેલ).
$4$. જો $b = 4$,તો $b^2 = 16$. $16 \geq 4a \Rightarrow a \leq 4$. તેથી,$a \in \{1, 2, 3, 4\}$ ($4$ ઉકેલ).
કુલ સમીકરણોની સંખ્યા = $0 + 1 + 2 + 4 = 7$.

(A) ધારો કે $y = 2\alpha + 1$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \frac{y - 1}{2}$.
કારણ કે $\alpha$ એ $x^3 + 2x - 5 = 0$ નું બીજ છે,તેથી આપણે $\alpha$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\left(\frac{y - 1}{2}\right)^3 + 2\left(\frac{y - 1}{2}\right) - 5 = 0$
$\frac{y^3 - 3y^2 + 3y - 1}{8} + (y - 1) - 5 = 0$
આખા સમીકરણને $8$ વડે ગુણતા:
$y^3 - 3y^2 + 3y - 1 + 8(y - 6) = 0$
$y^3 - 3y^2 + 3y - 1 + 8y - 48 = 0$
$y^3 - 3y^2 + 11y - 49 = 0$
આને $x^3 + bx^2 + cx + d = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $b = -3, c = 11, d = -49$ મળે છે.
તેથી,$|b + c + d| = |-3 + 11 - 49| = |-41| = 41$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - ax + b = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = a$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = b$ થાય.
$\alpha$ અને $\beta$ એ બીજ હોવાથી,તેઓ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$\alpha^2 - a\alpha + b = 0 \implies \alpha^2 = a\alpha - b$
$\beta^2 - a\beta + b = 0 \implies \beta^2 = a\beta - b$
પ્રથમ સમીકરણને $\alpha^{n-1}$ વડે અને બીજાને $\beta^{n-1}$ વડે ગુણતા:
$\alpha^{n+1} = a\alpha^n - b\alpha^{n-1}$
$\beta^{n+1} = a\beta^n - b\beta^{n-1}$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\alpha^{n+1} + \beta^{n+1} = a(\alpha^n + \beta^n) - b(\alpha^{n-1} + \beta^{n-1})$
$V_n = \alpha^n + \beta^n$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$V_{n+1} = aV_n - bV_{n-1}$.

(C) ધારો કે $P(z) = z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0$. તેના બીજ $z_1, z_2, z_3, z_4$ છે.
આપણે $P(z) = (z - z_1)(z - z_2)(z - z_3)(z - z_4)$ લખી શકીએ.
આપણે $\prod_{i=1}^{4} (z_i + 2)$ ની કિંમત શોધવી છે.
નોંધો કે $\prod_{i=1}^{4} (z_i + 2) = (-1)^4 \prod_{i=1}^{4} (-2 - z_i) = P(-2)$.
બહુપદી $P(z)$ માં $z = -2$ મૂકતા:
$P(-2) = (-2)^4 + (-2)^3 + (-2)^2 + (-2) + 1$
$P(-2) = 16 - 8 + 4 - 2 + 1$
$P(-2) = 11$.
તેથી,ગુણાકાર $11$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે ઘન સમીકરણના સહગુણકો વાસ્તવિક છે અને એક બીજ $\alpha = 3 + 4i$ છે.
વાસ્તવિક સહગુણકો ધરાવતા સમીકરણો માટે સંકર બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે,તેથી બીજું બીજ $\beta = 3 - 4i$ થશે.
ધારો કે ઘન સમીકરણ $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ છે. અહીં $x^2$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવાથી,$a = 0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma = -a = 0$ થાય.
જાણીતા બીજોની કિંમત મૂકતા: $(3 + 4i) + (3 - 4i) + \gamma = 0$.
$6 + \gamma = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\gamma = -6$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma = (3 + 4i)(3 - 4i)(-6) = 25 \times (-6) = -150$ થાય.

(B) ધારો કે $f(x) = x^2 + (a - 1)x + 2a$. અંતરાલ $(0, 3)$ માં બરાબર એક બીજ હોવા માટે,આપણે નીચેની શરતો તપાસીએ છીએ:
કિસ્સો $1$: $f(0) \cdot f(3) < 0$
$f(0) = 2a$
$f(3) = 9 + 3(a - 1) + 2a = 5a + 6$
તેથી,$2a(5a + 6) < 0 \Rightarrow a \in (-1.2, 0)$.
કિસ્સો $2$: જો $x = 0$ બીજ હોય,તો $a = 0$. સમીકરણ $x^2 - x = 0$ બને છે,જેના બીજ $0$ અને $1$ છે. $1 \in (0, 3)$ હોવાથી,$a = 0$ ઉકેલ છે.
આમ,$a$ ની કિંમતોનો ગણ $(-1.2, 0]$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = 3ax^2 + 4bx + c$.
કારણ કે સમીકરણ $f(x) = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી અને $c > 0$ (જે $f(0) > 0$ છે),તેથી પરવલય $y = f(x)$ સંપૂર્ણપણે $x$-અક્ષની ઉપર હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $f(x) > 0$ થાય.
ખાસ કરીને,$x = -1$ માટે,આપણી પાસે $f(-1) > 0$ છે.
સમીકરણમાં $x = -1$ મૂકતા,આપણને $f(-1) = 3a(-1)^2 + 4b(-1) + c = 3a - 4b + c$ મળે છે.
કારણ કે $f(-1) > 0$,તેથી $3a - 4b + c > 0$ થાય.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $3a + c > 4b$ મળે છે.