QUADRATIC EQUATION Questions in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણ: $a(x^2 + 1) - (a^2 + 1)x = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $ax^2 + a - a^2x - x = 0$
પદોને ગોઠવતા: $ax^2 - a^2x - x + a = 0$
પદોના જૂથ બનાવતા: $ax(x - a) - 1(x - a) = 0$
$(x - a)$ સામાન્ય લેતા: $(ax - 1)(x - a) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$ax - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{a}$
$x - a = 0 \implies x = a$
તેથી,બીજ $a$ અને $\frac{1}{a}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: ${x^4} - 8{x^2} - 9 = 0$
ધારો કે ${x^2} = y$. તેથી સમીકરણ ${y^2} - 8y - 9 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: ${y^2} - 9y + y - 9 = 0$
$y(y - 9) + 1(y - 9) = 0$
$(y + 1)(y - 9) = 0$
તેથી,$y = -1$ અથવા $y = 9$.
હવે ${x^2} = y$ પાછું મૂકતા:
કિસ્સો $1$: ${x^2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.
કિસ્સો $2$: ${x^2} = -1 \Rightarrow x = \pm \sqrt{-1} = \pm i$.
આમ,બીજ $\pm 3, \pm i$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $ix^2 - 4x - 4i = 0$
આખા સમીકરણને $i$ વડે ભાગતા (અથવા $-i$ વડે ગુણતા):
$x^2 - (4/i)x - 4 = 0$
કારણ કે $1/i = -i$,તેથી:
$x^2 + 4ix - 4 = 0$
આને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$x^2 + 2ix + 2ix + (2i)^2 = 0$
$(x + 2i)^2 = 0$
તેથી,બીજ $x = -2i, -2i$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x^{2/3} + x^{1/3} - 2 = 0$
ધારો કે $a = x^{1/3}$. તો સમીકરણ $a$ ના સ્વરૂપમાં દ્વિઘાત સમીકરણ બનશે:
$a^2 + a - 2 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$a^2 + 2a - a - 2 = 0$
$a(a + 2) - 1(a + 2) = 0$
$(a - 1)(a + 2) = 0$
તેથી,$a = 1$ અથવા $a = -2$.
હવે,$a = x^{1/3}$ પાછા મૂકતા:
કિસ્સો $1$: $x^{1/3} = 1 \implies x = 1^3 = 1$
કિસ્સો $2$: $x^{1/3} = -2 \implies x = (-2)^3 = -8$
આમ,બીજ $1, -8$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x = 2 + 2^{2/3} + 2^{1/3}$.
બંને બાજુથી $2$ બાદ કરતા,આપણને $x - 2 = 2^{2/3} + 2^{1/3}$ મળે છે.
બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણે નિત્યસમ $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$(x - 2)^3 = (2^{2/3})^3 + (2^{1/3})^3 + 3(2^{2/3})(2^{1/3})(2^{2/3} + 2^{1/3})$.
$(x - 2)^3 = 2^2 + 2^1 + 3(2^1)(x - 2)$.
$x^3 - 3(x^2)(2) + 3(x)(2^2) - 2^3 = 4 + 2 + 6(x - 2)$.
$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 6 + 6x - 12$.
$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 6x - 6$.
$x^3 - 6x^2 + 6x$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$x^3 - 6x^2 + 6x = 8 - 12 + 6 = 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $8\sec^2 \theta - 6\sec \theta + 1 = 0$ છે.
ધારો કે $x = \sec \theta$. તો સમીકરણ $8x^2 - 6x + 1 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $8x^2 - 4x - 2x + 1 = 0$.
$4x(2x - 1) - 1(2x - 1) = 0$.
$(4x - 1)(2x - 1) = 0$.
આથી $x = \frac{1}{4}$ અથવા $x = \frac{1}{2}$ મળે.
એટલે કે,$\sec \theta = \frac{1}{4}$ અથવા $\sec \theta = \frac{1}{2}$.
પરંતુ,$\theta$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત માટે,$\sec \theta$ નો વિસ્તાર $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ છે.
અહીં $\frac{1}{4}$ અને $\frac{1}{2}$ બંને $(-1, 1)$ અંતરાલમાં આવે છે,તેથી $\theta$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જે આ સમીકરણોનું સમાધાન કરે.
તેથી,બીજની સંખ્યા $0$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{3x + 1} + 1 = \sqrt{x}$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{3x + 1} = \sqrt{x} - 1$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\sqrt{3x + 1})^2 = (\sqrt{x} - 1)^2$
$3x + 1 = x + 1 - 2\sqrt{x}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$2x = -2\sqrt{x}$
$x = -\sqrt{x}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$x^2 = x$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$,જે $x = 0$ અથવા $x = 1$ આપે છે.
$x = 0$ માટે ચકાસણી: $\sqrt{3(0) + 1} + 1 = 1 + 1 = 2$,જ્યારે $\sqrt{0} = 0$. $2 \neq 0$ હોવાથી,$x = 0$ ઉકેલ નથી.
$x = 1$ માટે ચકાસણી: $\sqrt{3(1) + 1} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3$,જ્યારે $\sqrt{1} = 1$. $3 \neq 1$ હોવાથી,$x = 1$ ઉકેલ નથી.
તેથી,આપેલ સમીકરણ માટે કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.

(B) ધારો કે જરૂરી સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યા તેના ધન વર્ગમૂળ કરતા $12$ વધારે છે,તેથી આપણને સમીકરણ મળે છે:
$x = \sqrt{x} + 12$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$x - 12 = \sqrt{x}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x - 12)^2 = x$
$x^2 - 24x + 144 = x$
$x^2 - 25x + 144 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડતા:
$(x - 16)(x - 9) = 0$
આનાથી $x = 16$ અથવા $x = 9$ મળે છે.
કિંમતો તપાસતા:
જો $x = 16$ હોય,તો $\sqrt{16} = 4$. $16 - 4 = 12$. (આ શરતનું પાલન કરે છે).
જો $x = 9$ હોય,તો $\sqrt{9} = 3$. $9 - 3 = 6 \neq 12$. (આ શરતનું પાલન કરતું નથી).
તેથી,સાચી સંખ્યા $16$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$ છે, જેને $(3^x)^2 - 10(3^x) + 9 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
ધારો કે $a = 3^x$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે:
$a^2 - 10a + 9 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(a - 9)(a - 1) = 0$
આથી $a = 9$ અને $a = 1$ મળે છે.
હવે, $a = 3^x$ પાછા મૂકતા:
$a = 9$ માટે: $3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x = 2$.
$a = 1$ માટે: $3^x = 1 \Rightarrow 3^x = 3^0 \Rightarrow x = 0$.
આમ, સમીકરણના બીજ $x = 0$ અને $x = 2$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: ${x^{2/3}} - 7{x^{1/3}} + 10 = 0$.
આને આ રીતે લખી શકાય: ${({x^{1/3}})^2} - 7({x^{1/3}}) + 10 = 0$.
ધારો કે $a = {x^{1/3}}$. સમીકરણમાં $a$ મૂકતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે: ${a^2} - 7a + 10 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(a - 5)(a - 2) = 0$.
આથી ઉકેલ મળે છે: $a = 5$ અથવા $a = 2$.
કારણ કે $a = {x^{1/3}}$,તેથી $x = {a^3}$ થાય.
$a = 5$ માટે,$x = {5^3} = 125$.
$a = 2$ માટે,$x = {2^3} = 8$.
તેથી,ઉકેલ ગણ ${125, 8}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો ${x^2} + {y^2} = 25$ અને $xy = 12$ છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,આપણને મળે છે $y = \frac{12}{x}$.
આ કિંમતને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: ${x^2} + {\left( \frac{12}{x} \right)^2} = 25$.
આનું સાદું રૂપ આપતા ${x^2} + \frac{144}{x^2} = 25$ મળે છે.
${x^2}$ વડે ગુણતા,${x^4} + 144 = 25{x^2}$ મળે,જેને ${x^4} - 25{x^2} + 144 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $u = {x^2}$,તો ${u^2} - 25u + 144 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(u - 16)(u - 9) = 0$.
તેથી,${x^2} = 16$ અથવા ${x^2} = 9$.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $x = \pm 4$ અથવા $x = \pm 3$ મળે છે.
આમ,$x$ ની શક્ય કિંમતો $\{3, 4, -3, -4\}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x^{\log_x(1 - x)^2} = 9$.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $a^{\log_a(M)} = M$ નો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$(1 - x)^2 = 9$.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
$1 - 2x + x^2 = 9$.
દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$x^2 - 2x - 8 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x - 4)(x + 2) = 0$.
આનાથી સંભવિત ઉકેલો $x = 4$ અને $x = -2$ મળે છે.
હવે,આપણે મૂળ લઘુગણકીય પદ $\log_x(1 - x)^2$ માં આ ઉકેલોની ચકાસણી કરવી પડશે. લઘુગણકનો આધાર $x$ એ $x > 0$ અને $x \neq 1$ ની શરતનું પાલન કરવો જોઈએ.
$x = 4$ માટે: આધાર $4$ છે,જે માન્ય છે ($4 > 0$ અને $4 \neq 1$).
$x = -2$ માટે: આધાર $-2$ છે,જે અમાન્ય છે કારણ કે લઘુગણકનો આધાર હંમેશા ધન હોવો જોઈએ.
તેથી,માત્ર સાચો ઉકેલ $x = 4$ છે.

(A) જો સંમેય સહગુણકો ધરાવતા દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ (જ્યાં $a, b, c$ પૂર્ણાંક છે,જે સંમેય સંખ્યાઓ છે) નું એક બીજ $\alpha + \sqrt{\beta}$ સ્વરૂપનું હોય (જ્યાં $\sqrt{\beta}$ અસંમેય છે),તો બીજું બીજ તેનું અનુબદ્ધ બીજ $\alpha - \sqrt{\beta}$ જ હોય.
અહીં આપેલ એક બીજ $3 + \sqrt{5}$ છે,તેથી બીજું બીજ $3 - \sqrt{5}$ થશે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $|x|^2 - 3|x| + 2 = 0$.
ધારો કે $|x| = t$. કારણ કે $|x| \ge 0$,તેથી $t \ge 0$ મળે.
સમીકરણ $t^2 - 3t + 2 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 1)(t - 2) = 0$.
આથી $t = 1$ અથવા $t = 2$ મળે.
કિસ્સો $I$: $|x| = 1 \Rightarrow x = 1, -1$.
કિસ્સો $II$: $|x| = 2 \Rightarrow x = 2, -2$.
આમ,વાસ્તવિક ઉકેલો $x \in \{1, -1, 2, -2\}$ છે.
વાસ્તવિક ઉકેલોની કુલ સંખ્યા $4$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: ${e^{\sin x}} - {e^{-\sin x}} - 4 = 0$.
ધારો કે ${e^{\sin x}} = y$. કારણ કે ${e^{\sin x}} > 0$,તેથી $y > 0$ મળે.
સમીકરણ $y - \frac{1}{y} - 4 = 0$ બને છે.
$y$ વડે ગુણતા,આપણને ${y^2} - 4y - 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$ મળે.
$y > 0$ હોવાથી અને $\sqrt{5} \approx 2.236$ હોવાથી,$y = 2 + \sqrt{5}$ લેવું પડે.
આમ,${e^{\sin x}} = 2 + \sqrt{5}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\sin x = \ln(2 + \sqrt{5})$.
અહીં $\sqrt{5} > 1$ હોવાથી,$2 + \sqrt{5} > 3$ થાય. તેથી,$\ln(2 + \sqrt{5}) > \ln(3) > 1$ થાય.
પરંતુ,$\sin x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
$\ln(2 + \sqrt{5}) > 1$ હોવાથી,$x$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જે આ સમીકરણનું સમાધાન કરે.
તેથી,વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $0$ (એક પણ નહીં) છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $|x^2 + 4x + 3| + 2x + 5 = 0$ છે.
કિસ્સો $I$: $x^2 + 4x + 3 \ge 0$
આનો અર્થ છે $(x+1)(x+3) \ge 0$,તેથી $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, \infty)$.
સમીકરણ $x^2 + 4x + 3 + 2x + 5 = 0$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + 6x + 8 = 0$ થાય છે.
અવયવ પાડતા $(x+2)(x+4) = 0$ મળે,તેથી $x = -2$ અથવા $x = -4$.
શરત તપાસતા: $x = -4$ એ $x \in (-\infty, -3]$ માં છે,પરંતુ $x = -2$ એ $x \in [-1, \infty)$ માં નથી.
તેથી,$x = -4$ એક માન્ય ઉકેલ છે.
કિસ્સો $II$: $x^2 + 4x + 3 < 0$
આનો અર્થ છે $x \in (-3, -1)$.
સમીકરણ $-(x^2 + 4x + 3) + 2x + 5 = 0$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $-x^2 - 2x + 2 = 0$ અથવા $x^2 + 2x - 2 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.
શરત તપાસતા: $\sqrt{3} \approx 1.732$.
$x_1 = -1 + 1.732 = 0.732$ (શરત $x \in (-3, -1)$ સંતોષતું નથી).
$x_2 = -1 - 1.732 = -2.732$ (શરત $x \in (-3, -1)$ સંતોષે છે).
તેથી,$x = -1 - \sqrt{3}$ એક માન્ય ઉકેલ છે.
આમ,કુલ બે વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $(p - q)x^2 + (q - r)x + (r - p) = 0$ છે.
અહીં સહગુણકોનો સરવાળો $(p - q) + (q - r) + (r - p) = p - q + q - r + r - p = 0$ થાય છે.
જો દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માં સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોય,તો $x = 1$ એ હંમેશા એક બીજ હોય છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ થાય.
અહીં,$\alpha = 1$,તેથી $1 \cdot \beta = \frac{r - p}{p - q}$.
તેથી,બીજ $1$ અને $\frac{r - p}{p - q}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $4$ એ સમીકરણ $x^2 + px + 12 = 0$ નું એક બીજ છે.
સમીકરણમાં $x = 4$ મૂકતા: $(4)^2 + p(4) + 12 = 0$.
$16 + 4p + 12 = 0$.
$4p + 28 = 0$.
$4p = -28$,તેથી $p = -7$ મળે છે.
હવે,બીજું સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ ધ્યાનમાં લો. $p = -7$ મૂકતા,આપણને $x^2 - 7x + q = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણના બીજ સમાન હોવાથી,વિવેચક $D$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac = 0$.
$(-7)^2 - 4(1)(q) = 0$.
$49 - 4q = 0$.
$4q = 49$.
તેથી,$q = 49/4$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x - \frac{2}{x - 1} = 1 - \frac{2}{x - 1}$.
સમીકરણ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ,તેથી $x - 1 \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \neq 1$.
સમીકરણની બંને બાજુએ $\frac{2}{x - 1}$ ઉમેરતા,આપણને $x = 1$ મળે છે.
જોકે,આપણી પાસે મૂળ સમીકરણની શરત $x \neq 1$ છે.
આમ,એકમાત્ર સંભવિત ઉકેલ $x = 1$ એ સમીકરણના પ્રદેશ (domain) માં આવતો નથી,તેથી આ સમીકરણને કોઈ બીજ નથી.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x + \frac{1}{x} = 2$ (જ્યાં $x \neq 0$).
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $x$ વડે ગુણતા:
$x^2 + 1 = 2x$
પદોને ગોઠવીને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ મેળવતા:
$x^2 - 2x + 1 = 0$
આ એક પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ છે,જેને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$(x - 1)^2 = 0$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x - 1 = 0$
$x = 1$
આમ,$x = 1$ એ ઉકેલ છે,જે વિકલ્પો $A, B,$ કે $C$ માં આપેલ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે, બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 6x + (\alpha^2 + 1) = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા, આપણને $a = 2$ અને $c = \alpha^2 + 1$ મળે છે.
બીજનો ગુણાકાર $\frac{\alpha^2 + 1}{2}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, બીજનો ગુણાકાર $-\alpha$ છે.
તેથી, $\frac{\alpha^2 + 1}{2} = -\alpha$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા, આપણને $\alpha^2 + 1 = -2\alpha$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા, આપણને $\alpha^2 + 2\alpha + 1 = 0$ મળે છે.
આ એક પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી છે: $(\alpha + 1)^2 = 0$.
$\alpha$ માટે ઉકેલતા, આપણને $\alpha = -1$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt {3x^2 - 7x - 30} + \sqrt {2x^2 - 7x - 5} = x + 5$
પદોને ગોઠવતા: $\sqrt {3x^2 - 7x - 30} = (x + 5) - \sqrt {2x^2 - 7x - 5}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$3x^2 - 7x - 30 = (x + 5)^2 + (2x^2 - 7x - 5) - 2(x + 5)\sqrt {2x^2 - 7x - 5}$
$3x^2 - 7x - 30 = 3x^2 + 3x + 20 - 2(x + 5)\sqrt {2x^2 - 7x - 5}$
$-10x - 50 = -2(x + 5)\sqrt {2x^2 - 7x - 5}$
$5(x + 5) = (x + 5)\sqrt {2x^2 - 7x - 5}$
કિસ્સો $1$: $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$. મૂળ સમીકરણમાં તપાસતા, આ ઉકેલ શક્ય નથી.
કિસ્સો $2$: $5 = \sqrt {2x^2 - 7x - 5}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $25 = 2x^2 - 7x - 5$
$2x^2 - 7x - 30 = 0$
$(2x + 5)(x - 6) = 0$
$x = 6$ અથવા $x = -2.5$. $x = 6$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $\sqrt{36} + \sqrt{25} = 11$, જે સાચું છે.
આમ, $x = 6$.

(B) ધારો કે $x = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots \infty}}$.
આ પદ અનંત હોવાથી,આપણે પુનરાવર્તિત ભાગને $x$ તરીકે લખી શકીએ છીએ:
$x = 2 + \frac{1}{x}$.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2 = 2x + 1$ મળે છે,જે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 2x - 1 = 0$ માં ફેરવાય છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1, b = -2, c = -1$ છે:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
આપેલ પદ $2 + \frac{1}{2 + \dots}$ ધન હોવું જોઈએ અને $2$ કરતા મોટું હોવું જોઈએ,તેથી આપણે $1 - \sqrt{2}$ (જે ઋણ છે) ને સ્વીકારી શકીએ નહીં.
તેથી,સાચો જવાબ $1 + \sqrt{2}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: ${2^{x + 2}} \cdot {3^{3x/(x - 1)}} = {3^2}$
બંને બાજુ $\log$ લેતા:
$(x + 2)\log 2 + \frac{{3x}}{{x - 1}}\log 3 = 2\log 3$
$(x + 2)\log 2 = 2\log 3 - \frac{{3x}}{{x - 1}}\log 3$
$(x + 2)\log 2 = \log 3 \left( {2 - \frac{{3x}}{{x - 1}}} \right)$
$(x + 2)\log 2 = \log 3 \left( {\frac{{2x - 2 - 3x}}{{x - 1}}} \right)$
$(x + 2)\log 2 = \log 3 \left( {\frac{{ - x - 2}}{{x - 1}}} \right)$
$(x + 2)\log 2 = - \log 3 \left( {\frac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)$
$(x + 2) \left[ {\log 2 + \frac{{\log 3}}{{x - 1}}} \right] = 0$
કિસ્સો $1$: $x + 2 = 0 \implies x = -2$
કિસ્સો $2$: $\log 2 + \frac{{\log 3}}{{x - 1}} = 0$
$\frac{{\log 3}}{{x - 1}} = - \log 2$
$x - 1 = - \frac{{\log 3}}{{\log 2}}$
$x = 1 - \frac{{\log 3}}{{\log 2}}$
આમ,બીજ $-2$ અને $1 - \frac{{\log 3}}{{\log 2}}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2 + x + 1 = 0$ છે.
આ સમીકરણના બીજ એકમના સંકર ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.
ધારો કે $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$.
આપણે એવું સમીકરણ શોધવાનું છે જેના બીજ $\alpha^{19}$ અને $\beta^7$ હોય.
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\alpha^{19} = \omega^{19} = (\omega^3)^6 \cdot \omega = 1^6 \cdot \omega = \omega$.
તે જ રીતે,$\beta^7 = (\omega^2)^7 = \omega^{14} = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$.
નવા સમીકરણના બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.
તેથી,જરૂરી સમીકરણ મૂળ સમીકરણ જેવું જ રહેશે: $x^2 + x + 1 = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ માટે નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = 2$ અને $x = 3$ છે.
કિસ્સો 1: જો $x < 2$ હોય, તો $|x - 2| = -(x - 2)$ અને $|x - 3| = -(x - 3)$ થાય.
$-(x - 2) - (x - 3) = 7$
$-x + 2 - x + 3 = 7$
$-2x + 5 = 7$
$-2x = 2$, તેથી $x = -1$. કારણ કે $-1 < 2$, આ એક માન્ય ઉકેલ છે.
કિસ્સો 2: જો $2 \le x < 3$ હોય, તો $|x - 2| = x - 2$ અને $|x - 3| = -(x - 3)$ થાય.
$(x - 2) - (x - 3) = 7$
$x - 2 - x + 3 = 7$
$1 = 7$
આ વિરોધાભાસ છે, તેથી આ અંતરાલમાં કોઈ ઉકેલ નથી.
કિસ્સો 3: જો $x \ge 3$ હોય, તો $|x - 2| = x - 2$ અને $|x - 3| = x - 3$ થાય.
$(x - 2) + (x - 3) = 7$
$2x - 5 = 7$
$2x = 12$, એટલે $x = 6$. કારણ કે $6 \ge 3$, આ એક માન્ય ઉકેલ છે.
તેથી, ઉકેલો છે: $x = -1$ અથવા $x = 6$.

(D) $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપનું દ્વિઘાત સમીકરણ વધુમાં વધુ બે ભિન્ન બીજ ધરાવી શકે છે,સિવાય કે તે નિત્યસમ હોય.
જો કોઈ સમીકરણ બે કરતાં વધુ ભિન્ન બીજ ધરાવતું હોય,તો તેના તમામ સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
તેથી,સમીકરણને ત્રણ ભિન્ન બીજ ${x_1}, {x_2}, {x_3}$ હોય તે માટે તે નિત્યસમ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $a = 0, b = 0$ અને $c = 0$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $|x|^2 - 7|x| + 12 = 0$.
ધારો કે $|x| = t$,જ્યાં $t \ge 0$.
સમીકરણ $t^2 - 7t + 12 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 4)(t - 3) = 0$.
આનાથી $t$ ની બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $t = 4$ અથવા $t = 3$.
$|x| = t$ પાછું મૂકતા:
કિસ્સો $1$: $|x| = 4 \implies x = 4$ અથવા $x = -4$.
કિસ્સો $2$: $|x| = 3 \implies x = 3$ અથવા $x = -3$.
આમ,ઉકેલો $x \in \{4, -4, 3, -3\}$ છે.
ઉકેલોની કુલ સંખ્યા $4$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{\log 5 + \log (x^2 + 1)}{\log (x - 2)} = 2$.
લઘુગણકીય પદો વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે,$x - 2 > 0$ અને $x - 2 \neq 1$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x > 2$ અને $x \neq 3$.
$\log a + \log b = \log (ab)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણ $\log (5(x^2 + 1)) = 2 \log (x - 2)$ બને છે.
$n \log a = \log (a^n)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\log (5x^2 + 5) = \log ((x - 2)^2)$ મળે છે.
તર્કને સરખાવતા: $5x^2 + 5 = x^2 - 4x + 4$.
પદોને ગોઠવતા: $4x^2 + 4x + 1 = 0$.
આ એક પૂર્ણ વર્ગ છે: $(2x + 1)^2 = 0$,જે $x = -\frac{1}{2}$ આપે છે.
જો કે,પ્રદેશની શરત મુજબ $x > 2$ હોવું જરૂરી છે. $x = -\frac{1}{2}$ એ $x > 2$ નું પાલન કરતું નથી,તેથી કોઈ માન્ય ઉકેલ નથી.
આમ,ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}.$
વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિને સાદું રૂપ આપતા: $7 + 4\sqrt{3} = 4 + 3 + 2(2)(\sqrt{3}) = (2 + \sqrt{3})^2.$
તેથી,$x = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}.$
હવે,$\frac{1}{x}$ શોધો:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}.$
અંતે,$x + \frac{1}{x}$ ની ગણતરી કરો:
$x + \frac{1}{x} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4.$

(D) ધારો કે $t = \log_2 x$. તો સમીકરણ $t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}$ બને છે.
$3t$ વડે ગુણતા,આપણને $3t^2 - 10t + 3 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3t^2 - 9t - t + 3 = 0 \Rightarrow 3t(t - 3) - 1(t - 3) = 0$.
આનાથી $(3t - 1)(t - 3) = 0$ મળે છે,તેથી $t = 3$ અથવા $t = 1/3$.
કારણ કે $x \neq y$,આપણે $\log_2 x = 3$ અને $\log_2 y = 1/3$ લઈએ છીએ (અથવા તેનાથી ઉલટું).
આમ,$x = 2^3 = 8$ અને $y = 2^{1/3} = \sqrt[3]{2}$.
તેથી,$x + y = 8 + \sqrt[3]{2}$.

(C) આપેલ પદાવલિ $x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}$ છે.
આ પદાવલિ અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થતી હોવાથી,આપણે તેને $x = \sqrt{2 + x}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $x^2 = 2 + x$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - x - 2 = 0$ મળે છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(x - 2)(x + 1) = 0$ મળે છે.
આથી ઉકેલ $x = 2$ અને $x = -1$ મળે છે.
ધન સંખ્યાનું વર્ગમૂળ હંમેશા ધન હોવું જોઈએ,તેથી $x$ ની કિંમત $-1$ હોઈ શકે નહીં.
તેથી,$x$ ની કિંમત $2$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $4^x - 3^{x - 1/2} = 3^{x + 1/2} - 2^{2x - 1}$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$2^{2x} + 2^{2x - 1} = 3^{x + 1/2} + 3^{x - 1/2}$
$2^{2x}(1 + 1/2) = 3^{x - 1/2}(3 + 1)$
$2^{2x} \cdot (3/2) = 3^{x - 1/2} \cdot 4$
$2^{2x} \cdot 3 \cdot 2^{-1} = 3^{x - 1/2} \cdot 2^2$
$2^{2x - 1} \cdot 3 = 3^{x - 1/2} \cdot 2^2$
$2^{2x - 3} = 3^{x - 1/2 - 1} = 3^{x - 3/2}$
બંને બાજુ લઘુગણક (log) લેતા:
$(2x - 3) \log 2 = (x - 3/2) \log 3$
$2x \log 2 - 3 \log 2 = x \log 3 - (3/2) \log 3$
$x(2 \log 2 - \log 3) = 3 \log 2 - (3/2) \log 3$
$x \log(4/3) = \log(2^3) - \log(3^{3/2})$
$x \log(4/3) = \log(8 / (3\sqrt{3}))$
કારણ કે $8 / (3\sqrt{3}) = (4/3)^{3/2}$,તેથી:
$x \log(4/3) = (3/2) \log(4/3)$
આમ,$x = 3/2$.

(A) ધારો કે $f(x) = e^x - x - 1$.
ઉકેલ શોધવા માટે,આપણે વિધેય $f(x)$ નું વિશ્લેષણ કરીએ.
તેનું વિકલન $f'(x) = e^x - 1$ થાય છે.
$f'(x) = 0$ લેતા,$e^x = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$.
$x = 0$ આગળ,$f(0) = e^0 - 0 - 1 = 1 - 1 = 0$.
કારણ કે $x < 0$ માટે $f'(x) < 0$ અને $x > 0$ માટે $f'(x) > 0$ છે,તેથી વિધેય $f(x)$ ને $x = 0$ આગળ ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે છે.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $0$ હોવાથી,$f(x)$ નો આલેખ $x$-અક્ષને માત્ર $x = 0$ આગળ સ્પર્શે છે.
તેથી,સમીકરણનો માત્ર એક જ વાસ્તવિક ઉકેલ $x = 0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{4x - 1}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1})^2 = (\sqrt{4x - 1})^2$
$(x + 1) + (x - 1) - 2\sqrt{(x + 1)(x - 1)} = 4x - 1$
$2x - 2\sqrt{x^2 - 1} = 4x - 1$
$-2\sqrt{x^2 - 1} = 2x - 1$
ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(-2\sqrt{x^2 - 1})^2 = (2x - 1)^2$
$4(x^2 - 1) = 4x^2 - 4x + 1$
$4x^2 - 4 = 4x^2 - 4x + 1$
$-4 = -4x + 1$
$4x = 5$
$x = 5/4$
મૂળ સમીકરણમાં ઉકેલ ચકાસતા:
ડાબી બાજુ: $\sqrt{5/4 + 1} - \sqrt{5/4 - 1} = \sqrt{9/4} - \sqrt{1/4} = 3/2 - 1/2 = 2/2 = 1$
જમણી બાજુ: $\sqrt{4(5/4) - 1} = \sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2$
અહીં $1 \neq 2$ હોવાથી,$x = 5/4$ એ ઉકેલ નથી.
તેથી,સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\log_e x + \log_e(1 + x) = 0$
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log_e a + \log_e b = \log_e(ab)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\log_e(x(1 + x)) = 0$
પ્રાકૃતિક લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,જો $\log_e y = 0$ હોય,તો $y = e^0 = 1$ થાય.
તેથી,$x(1 + x) = 1$
$x^2 + x = 1$
$x^2 + x - 1 = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $x = \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots \infty}}}$ છે.
આ પદાવલિ અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થતી હોવાથી,આપણે તેને $x = \sqrt{6 + x}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $x^2 = 6 + x$ મળે છે,જ્યાં $x > 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - x - 6 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 3)(x + 2) = 0$.
આથી $x = 3$ અથવા $x = -2$ મળે છે.
કારણ કે $x$ ધન હોવો જોઈએ (કારણ કે તે વર્ગમૂળ છે),આપણે $x = -2$ ને અવગણીએ છીએ.
તેથી,$x = 3$.

(D) આપેલ સમીકરણ: ${x^2} + 5|x| + 4 = 0$.
કારણ કે ${x^2} = |x|^2$,આપણે સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ: $|x|^2 + 5|x| + 4 = 0$.
ધારો કે $|x| = t$,જ્યાં $t \ge 0$. સમીકરણ આ મુજબ બનશે: ${t^2} + 5t + 4 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t + 1)(t + 4) = 0$.
આનાથી આપણને $t = -1$ અથવા $t = -4$ ઉકેલો મળે છે.
કારણ કે $|x| = t$ અને વાસ્તવિક સંખ્યાનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય હંમેશા અઋણ $(|x| \ge 0)$ હોવું જોઈએ,તેથી $t = -1$ અને $t = -4$ શક્ય નથી.
તેથી,$x$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જે આ સમીકરણનું સમાધાન કરે.
આમ,સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\log_{4}\{\log_{2}(\sqrt{x+8} - \sqrt{x})\} = 0$
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,$\log_{b}(a) = c \Rightarrow a = b^{c}$:
$\log_{2}(\sqrt{x+8} - \sqrt{x}) = 4^{0} = 1$
ફરીથી લઘુગણકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{x+8} - \sqrt{x} = 2^{1} = 2$
પદોને ગોઠવતા:
$\sqrt{x+8} = 2 + \sqrt{x}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x + 8 = (2 + \sqrt{x})^{2}$
$x + 8 = 4 + x + 4\sqrt{x}$
બંને બાજુથી $x$ અને $4$ બાદ કરતા:
$4 = 4\sqrt{x}$
$1 = \sqrt{x}$
ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x = 1$
ચકાસણી: $x=1$ માટે,$\sqrt{1+8} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$. તેથી $\log_{2}(2) = 1$,અને $\log_{4}(1) = 0$. આમ,ઉકેલ $x=1$ સાચો છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $|x - 2| = x^2$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $x - 2 \ge 0$ (એટલે કે $x \ge 2$),તો $x - 2 = x^2$,જેનો અર્થ થાય છે $x^2 - x + 2 = 0$. વિવેચક $D = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 < 0$. તેથી,આ કિસ્સામાં કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: જો $x - 2 < 0$ (એટલે કે $x < 2$),તો $-(x - 2) = x^2$,જેનો અર્થ થાય છે $2 - x = x^2$,અથવા $x^2 + x - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 + 2x - x - 2 = 0 \Rightarrow x(x + 2) - 1(x + 2) = 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 2) = 0$.
આનાથી $x = 1$ અથવા $x = -2$ મળે છે.
કારણ કે $1 < 2$ અને $-2 < 2$ બંને શરતનું પાલન કરે છે,તેથી બંને માન્ય ઉકેલો છે.
તેથી,ઉકેલનો ગણ $\{1, -2\}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\log_4(x - 1) = \log_2(x - 3)$
પ્રથમ,પ્રદેશ નક્કી કરીએ: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ અને $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$. તેથી,$x > 3$.
આધાર બદલવાના સૂત્ર $\log_{a^n}(b) = \frac{1}{n}\log_a(b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\log_4(x - 1) = \frac{1}{2}\log_2(x - 1)$ મળે.
તેથી,$\frac{1}{2}\log_2(x - 1) = \log_2(x - 3)$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$\log_2(x - 1) = 2\log_2(x - 3) = \log_2((x - 3)^2)$.
ઘાતાંક સરખાવતા: $x - 1 = (x - 3)^2$.
$x - 1 = x^2 - 6x + 9$.
$x^2 - 7x + 10 = 0$.
$(x - 5)(x - 2) = 0$.
આથી $x = 5$ અથવા $x = 2$ મળે.
પ્રદેશની શરત $x > 3$ હોવાથી,$x = 2$ એ ઉકેલ નથી.
તેથી,માત્ર એક જ ઉકેલ $x = 5$ મળે છે.
આમ,ઉકેલોની સંખ્યા $1$ છે.

(A) ધારો કે $y = |x - 2|$. કારણ કે $|x - 2| \ge 0$,તેથી $y \ge 0$ મળે.
સમીકરણ $y^2 + y - 6 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(y + 3)(y - 2) = 0$.
આથી $y = -3$ અથવા $y = 2$ મળે.
$y \ge 0$ હોવાથી,આપણે $y = -3$ ને અવગણીશું. તેથી,$y = 2$.
કિંમત પાછી મૂકતા,$|x - 2| = 2$.
આનો અર્થ એ થાય કે $x - 2 = 2$ અથવા $x - 2 = -2$.
આને ઉકેલતા,$x = 4$ અથવા $x = 0$ મળે.
તેથી,બીજ $0$ અને $4$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{p + q - x}{r} + \frac{q + r - x}{p} + \frac{r + p - x}{q} + \frac{3x}{p + q + r} = 0$
અંશને સરખા કરવા માટે પ્રથમ ત્રણ પદોમાં $1$ ઉમેરતા:
$(\frac{p + q - x}{r} + 1) + (\frac{q + r - x}{p} + 1) + (\frac{r + p - x}{q} + 1) + \frac{3x}{p + q + r} - 3 = 0$
$\frac{p + q + r - x}{r} + \frac{p + q + r - x}{p} + \frac{p + q + r - x}{q} + \frac{3x - 3(p + q + r)}{p + q + r} = 0$
$(p + q + r - x) (\frac{1}{r} + \frac{1}{p} + \frac{1}{q}) - \frac{3(p + q + r - x)}{p + q + r} = 0$
$(p + q + r - x) [\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} - \frac{3}{p + q + r}] = 0$
આનો અર્થ એ થાય કે કાં તો $(p + q + r - x) = 0$ અથવા કૌંસમાં રહેલું પદ શૂન્ય છે.
તેથી,$x = p + q + r$.

(A) આપેલ સમીકરણ: ${x^2} - 5|x| + 6 = 0$.
કારણ કે ${x^2} = |x|^2$,આપણે સમીકરણને $|x|^2 - 5|x| + 6 = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $|x| = t$,જ્યાં $t \ge 0$. સમીકરણ $t^2 - 5t + 6 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 2)(t - 3) = 0$.
આનાથી $t = 2$ અથવા $t = 3$ મળે છે.
$|x| = t$ પાછું મૂકતા:
કિસ્સો $1$: $|x| = 2 \implies x = 2, -2$.
કિસ્સો $2$: $|x| = 3 \implies x = 3, -3$.
આમ,ઉકેલો $x \in \{2, -2, 3, -3\}$ છે.
ઉકેલોની કુલ સંખ્યા $4$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,જો બીજ સમાન હોય,તો વિવેચક $D = B^2 - 4AC = 0$ થાય.
અહીં,$A = ({m^2} + 1)$,$B = 2am$,અને $C = ({a^2} - {b^2})$ છે.
$D = 0$ લેતા:
$(2am)^2 - 4({m^2} + 1)({a^2} - {b^2}) = 0$
$4a^2m^2 - 4({m^2}a^2 - {m^2}b^2 + a^2 - b^2) = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$a^2m^2 - (a^2m^2 - m^2b^2 + a^2 - b^2) = 0$
$a^2m^2 - a^2m^2 + m^2b^2 - a^2 + b^2 = 0$
$m^2b^2 + b^2 - a^2 = 0$
$b^2(m^2 + 1) - a^2 = 0$
તેથી,${a^2} - {b^2}({m^2} + 1) = 0$ મળે.

(B) $P(x) = 0$ અને $Q(x) = 0$ ના બીજ ધ્યાનમાં લો.
$P(x) = ax^2 + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D_1 = b^2 - 4ac$ છે.
$Q(x) = -ax^2 + dx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D_2 = d^2 - 4(-a)(c) = d^2 + 4ac$ છે.
જો ચારેય બીજ કાલ્પનિક હોય,તો $D_1 < 0$ અને $D_2 < 0$ બંને સાચા હોવા જોઈએ.
આ અસમતાઓનો સરવાળો કરતા: $(b^2 - 4ac) + (d^2 + 4ac) < 0$,જેનું સાદું રૂપ $b^2 + d^2 < 0$ થાય છે.
$b^2$ અને $d^2$ અ-ઋણ હોવાથી,$b^2 + d^2 < 0$ શક્ય નથી સિવાય કે $b=0$ અને $d=0$ હોય.
જો $b=0$ અને $d=0$ હોય,તો $P(x) = ax^2 + c = 0$ અને $Q(x) = -ax^2 + c = 0$ મળે.
આનાથી $x^2 = -c/a$ અને $x^2 = c/a$ મળે છે.
$ac \neq 0$ હોવાથી,$c/a$ અથવા $-c/a$ માંથી એક ધન હોવું જ જોઈએ,જે ઓછામાં ઓછા બે વાસ્તવિક બીજની ખાતરી આપે છે.
આમ,તમામ કિસ્સાઓમાં,$P(x) \cdot Q(x) = 0$ ને ઓછામાં ઓછા બે વાસ્તવિક બીજ હોય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે $(x^2 - (a+b)x + ab) + (x^2 - (b+c)x + bc) + (x^2 - (c+a)x + ca) = 0$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા,આપણને $3x^2 - 2(a+b+c)x + (ab + bc + ca) = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,વિવેચક $D = B^2 - 4AC$ છે.
અહીં,$D = [-2(a+b+c)]^2 - 4(3)(ab + bc + ca) = 4(a+b+c)^2 - 12(ab + bc + ca)$.
$D = 4[a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca - 3ab - 3bc - 3ca] = 4[a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca]$.
આને $D = 2[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$ તરીકે લખી શકાય છે.
વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,$D \ge 0$ થાય છે.
તેથી,બીજ હંમેશા વાસ્તવિક હોય છે.

(B) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $-\alpha$ છે,કારણ કે તેઓ મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ છે.
કોઈપણ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = 2$,$b = 3(\lambda - 2)$,અને $c = \lambda + 4$ છે.
તેથી,બીજનો સરવાળો $\alpha + (-\alpha) = -\frac{3(\lambda - 2)}{2}$ થાય.
$0 = -\frac{3(\lambda - 2)}{2}$.
બંને બાજુને $-2/3$ વડે ગુણતા,આપણને $0 = \lambda - 2$ મળે છે.
આમ,$\lambda = 2$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $({p^2} + {q^2}){x^2} - 2q(p + r)x + ({q^2} + {r^2}) = 0$ છે.
બીજ વાસ્તવિક અને સમાન હોવાથી,વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ થાય.
અહીં,$a = ({p^2} + {q^2})$,$b = -2q(p + r)$,અને $c = ({q^2} + {r^2})$ છે.
આ કિંમતો $D = 0$ માં મૂકતા:
$[-2q(p + r)]^2 - 4({p^2} + {q^2})({q^2} + {r^2}) = 0$
$4q^2(p + r)^2 - 4({p^2}q^2 + p^2r^2 + q^4 + q^2r^2) = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$q^2(p^2 + r^2 + 2pr) - (p^2q^2 + p^2r^2 + q^4 + q^2r^2) = 0$
$p^2q^2 + q^2r^2 + 2pq^2r - p^2q^2 - p^2r^2 - q^4 - q^2r^2 = 0$
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા:
$2pq^2r - p^2r^2 - q^4 = 0$
$-(q^4 - 2pq^2r + p^2r^2) = 0$
$-(q^2 - pr)^2 = 0$
$(q^2 - pr)^2 = 0$
આથી $q^2 = pr$ મળે.
તેથી,$p, q, r$ એ $G.P.$ (ગુણોત્તર શ્રેણી) માં છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $4ax^2 + 3bx + 2c = 0$ છે.
બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D = B^2 - 4AC$ નું મૂલ્ય $\ge 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં,$A = 4a$,$B = 3b$,અને $C = 2c$ છે.
$D = (3b)^2 - 4(4a)(2c) = 9b^2 - 32ac$.
આપેલ છે કે $a + b + c = 0$,તેથી $b = -(a + c)$.
$b$ ની કિંમત વિવેચકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$D = 9(-(a + c))^2 - 32ac = 9(a^2 + 2ac + c^2) - 32ac$.
$D = 9a^2 + 18ac + 9c^2 - 32ac = 9a^2 - 14ac + 9c^2$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $D = 9(a^2 - \frac{14}{9}ac + c^2) = 9((a - \frac{7}{9}c)^2 + c^2(1 - \frac{49}{81})) = 9((a - \frac{7}{9}c)^2 + \frac{32}{81}c^2)$.
કારણ કે $(a - \frac{7}{9}c)^2 \ge 0$ અને $\frac{32}{81}c^2 \ge 0$ છે,તેથી વિવેચક $D$ હંમેશા $\ge 0$ રહેશે.
તેથી,બીજ વાસ્તવિક છે.