QUADRATIC EQUATION Questions in Gujarati

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે $a > 0, b < 0, c < 0$ છે.
બીજનો સરવાળો ($S$.$O$.$R$.) $= \alpha + \beta = -\frac{b}{a}$. અહીં $b < 0$ અને $a > 0$ હોવાથી,$-\frac{b}{a} > 0$,તેથી $\alpha + \beta > 0$.
બીજનો ગુણાકાર ($P$.$O$.$R$.) $= \alpha \beta = \frac{c}{a}$. અહીં $c < 0$ અને $a > 0$ હોવાથી,$\frac{c}{a} < 0$,તેથી $\alpha \beta < 0$.
બીજનો ગુણાકાર ઋણ હોવાથી,એક બીજ ધન અને બીજું બીજ ઋણ હોવું જોઈએ. ધારો કે $\alpha < 0$ અને $\beta > 0$.
આપેલ છે કે $\alpha + \beta > 0$,તેથી ધન બીજનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય ઋણ બીજના નિરપેક્ષ મૂલ્ય કરતા મોટું હોવું જોઈએ. આમ,$|\beta| > |\alpha|$.
$\beta > 0$ હોવાથી,આપણને $\beta > |\alpha|$ મળે છે.
તેથી,$0 < |\alpha| < \beta$.

(D) આપેલ બહુપદી સમીકરણ $x^4 - 100x^3 + 2x^2 + 4x + 10 = 0$ છે જેના બીજ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ છે.
વ્યસ્ત સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\delta}$ શોધવા માટે,આપણે મૂળ સમીકરણમાં $x = \frac{1}{y}$ મૂકીશું.
$x = \frac{1}{y}$ મૂકતા: $(\frac{1}{y})^4 - 100(\frac{1}{y})^3 + 2(\frac{1}{y})^2 + 4(\frac{1}{y}) + 10 = 0$.
આખા સમીકરણને $y^4$ વડે ગુણતા: $1 - 100y + 2y^2 + 4y^3 + 10y^4 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $10y^4 + 4y^3 + 2y^2 - 100y + 1 = 0$ થાય છે.
આ નવા સમીકરણના બીજ $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}, \frac{1}{\delta}$ છે.
બહુપદી $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 = 0$ ના બીજનો સરવાળો $-\frac{a_{n-1}}{a_n}$ દ્વારા મળે છે.
આ નવા સમીકરણ માટે,સરવાળો $-\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$ થાય છે.

(D) ધારો કે $f(x) = (x - \alpha_1)(x - \alpha_3)(x - \alpha_5) + 3(x - \alpha_2)(x - \alpha_4)(x - \alpha_6)$.
આપણે આપેલા બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(\alpha_1) = 0 + 3(\alpha_1 - \alpha_2)(\alpha_1 - \alpha_4)(\alpha_1 - \alpha_6)$. કારણ કે $\alpha_1 < \alpha_2, \alpha_4, \alpha_6$,ત્રણેય પદો ઋણ છે. તેથી,$f(\alpha_1) = 3(-)(-)(-) < 0$.
$f(\alpha_2) = (\alpha_2 - \alpha_1)(\alpha_2 - \alpha_3)(\alpha_2 - \alpha_5) + 0 = (+)(-)(-) = + > 0$.
$f(\alpha_1) < 0$ અને $f(\alpha_2) > 0$ હોવાથી,$(\alpha_1, \alpha_2)$ માં ઓછામાં ઓછું એક વાસ્તવિક બીજ છે.
$f(\alpha_3) = 0 + 3(\alpha_3 - \alpha_2)(\alpha_3 - \alpha_4)(\alpha_3 - \alpha_6) = 3(+)(-)(-) = + > 0$.
$f(\alpha_4) = (\alpha_4 - \alpha_1)(\alpha_4 - \alpha_3)(\alpha_4 - \alpha_5) + 0 = (+)(+)(-) = - < 0$.
$f(\alpha_3) > 0$ અને $f(\alpha_4) < 0$ હોવાથી,$(\alpha_3, \alpha_4)$ માં ઓછામાં ઓછું એક વાસ્તવિક બીજ છે.
$f(\alpha_5) = 0 + 3(\alpha_5 - \alpha_2)(\alpha_5 - \alpha_4)(\alpha_5 - \alpha_6) = 3(+)(+)(-) = - < 0$.
$f(\alpha_6) = (\alpha_6 - \alpha_1)(\alpha_6 - \alpha_3)(\alpha_6 - \alpha_5) + 0 = (+)(+)(+) = + > 0$.
$f(\alpha_5) < 0$ અને $f(\alpha_6) > 0$ હોવાથી,$(\alpha_5, \alpha_6)$ માં ઓછામાં ઓછું એક વાસ્તવિક બીજ છે.
જેમ $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$. $f(\alpha_1) < 0$ હોવાથી,આપણે $(-\infty, \alpha_1)$ અંતરાલ તપાસીએ છીએ. આ એક ત્રિઘાત બહુપદી છે. તે $(\alpha_1, \alpha_2)$,$(\alpha_3, \alpha_4)$,અને $(\alpha_5, \alpha_6)$ દરેક અંતરાલમાં ઓછામાં ઓછું એક વાર x-અક્ષને છેદે છે. ત્રિઘાત હોવાથી,તેના કુલ $3$ વાસ્તવિક બીજ છે. તેથી,$(-\infty, \alpha_1)$ માં કોઈ બીજ નથી.

(B) ધારો કે $f(x) = ax^2 + 2bx + c$.
આપેલ છે કે $f(x) = 0$ ના બીજ કાલ્પનિક છે,તેથી પરવલય $y = f(x)$ એ $x$-અક્ષને છેદતું નથી.
આનો અર્થ એ છે કે $f(x)$ કાં તો હંમેશા ધન $(a > 0)$ છે અથવા હંમેશા ઋણ $(a < 0)$ છે.
આપણને $4a + 4b + c < 0$ આપેલ છે.
નોંધો કે $f(2) = a(2)^2 + 2b(2) + c = 4a + 4b + c$.
કારણ કે $f(2) < 0$ છે અને વિધેય હંમેશા ઋણ છે (કારણ કે તેના બીજ કાલ્પનિક છે અને ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $f(2)$ ઋણ છે),તેથી આખું પરવલય $x$-અક્ષની નીચે હોવું જોઈએ.
તેથી,$y$-અંત:ખંડ $f(0) = c$ પણ ઋણ હોવો જોઈએ.
આમ,$c < 0$.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે, બીજનો પ્રકાર વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
અહીં, $a = 1$, $b = -\sqrt{13}$, અને $c = 1$ છે.
વિવેચકની ગણતરી કરતા: $D = (-\sqrt{13})^2 - 4(1)(1) = 13 - 4 = 9$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી, બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + x - n = 0$ છે.
બીજ પૂર્ણાંક હોય તે માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ એ એકી પૂર્ણાંકનો પૂર્ણવર્ગ હોવો જોઈએ.
$D = 1^2 - 4(1)(-n) = 1 + 4n$.
ધારો કે $1 + 4n = k^2$,જ્યાં $k$ એકી પૂર્ણાંક છે. ધારો કે $k = 2\lambda + 1$,જ્યાં $\lambda$ પૂર્ણાંક છે.
તેથી $1 + 4n = (2\lambda + 1)^2 = 4\lambda^2 + 4\lambda + 1$.
$4n = 4\lambda^2 + 4\lambda \implies n = \lambda(\lambda + 1)$.
આપેલ છે કે $n \in [5, 100]$,તેથી $5 \le \lambda(\lambda + 1) \le 100$.
$\lambda = 2$ માટે,$n = 2(3) = 6$.
$\lambda = 3$ માટે,$n = 3(4) = 12$.
$\lambda = 4$ માટે,$n = 4(5) = 20$.
$\lambda = 5$ માટે,$n = 5(6) = 30$.
$\lambda = 6$ માટે,$n = 6(7) = 42$.
$\lambda = 7$ માટે,$n = 7(8) = 56$.
$\lambda = 8$ માટે,$n = 8(9) = 72$.
$\lambda = 9$ માટે,$n = 9(10) = 90$.
$\lambda = 10$ માટે,$n = 10(11) = 110$ (જે $100$ થી વધારે છે).
આમ,$n$ ના કુલ $8$ શક્ય મૂલ્યો છે.

(A) ધારો કે $f(x) = x^2 + kx - 4$.
નાનું બીજ $(-1, 2)$ અંતરાલમાં આવે તે માટે,વિધેયની શરત $f(-1) > 0$ અને $f(2) < 0$ હોવી જોઈએ.
$1$. $f(-1) = (-1)^2 + k(-1) - 4 = 1 - k - 4 = -k - 3$.
$f(-1) > 0$ હોવાથી,$-k - 3 > 0$,જેનો અર્થ છે કે $k < -3$.
$2$. $f(2) = (2)^2 + k(2) - 4 = 4 + 2k - 4 = 2k$.
$f(2) < 0$ હોવાથી,$2k < 0$,જેનો અર્થ છે કે $k < 0$.
બંને શરતો $k < -3$ અને $k < 0$ ને જોડતા,આપણને $k < -3$ મળે છે.
આમ,$k$ માટેનો અંતરાલ $(-\infty, -3)$ છે.

(A) પ્રથમ સમીકરણ $x^2 + 2bx + b = 0$ માટે,બીજ $r_1 = \cos^4 \theta + \alpha$ અને $r_2 = \sin^4 \theta + \alpha$ છે.
બીજનો તફાવત $|r_1 - r_2| = |(\cos^4 \theta + \alpha) - (\sin^4 \theta + \alpha)| = |\cos^4 \theta - \sin^4 \theta| = |(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)| = |\cos 2\theta|$ થાય.
દ્વિઘાત સૂત્ર મુજબ,બીજનો તફાવત $\sqrt{D}/a = \sqrt{(2b)^2 - 4(1)(b)} = \sqrt{4b^2 - 4b} = 2\sqrt{b^2 - b}$ છે.
આમ,$|\cos 2\theta| = 2\sqrt{b^2 - b}$.
બીજા સમીકરણ $x^2 + 4x + 2 = 0$ માટે,બીજ $s_1 = \cos^2 \theta + \beta$ અને $s_2 = \sin^2 \theta + \beta$ છે.
બીજનો તફાવત $|s_1 - s_2| = |(\cos^2 \theta + \beta) - (\sin^2 \theta + \beta)| = |\cos^2 \theta - \sin^2 \theta| = |\cos 2\theta|$ થાય.
દ્વિઘાત સૂત્ર મુજબ,બીજનો તફાવત $\sqrt{D}/a = \sqrt{4^2 - 4(1)(2)} = \sqrt{16 - 8} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ છે.
$|\cos 2\theta|$ માટે બંને અભિવ્યક્તિઓને સરખાવતા:
$2\sqrt{b^2 - b} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{b^2 - b} = \sqrt{2}$
$b^2 - b = 2$
$b^2 - b - 2 = 0$
$(b - 2)(b + 1) = 0$
તેથી,$b = 2$ અથવા $b = -1$. વિકલ્પમાં $b=2$ હોવાથી,સાચો જવાબ $2$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = -x^2 + 5x - 10$ અને $g(x) = (\frac{3}{2})^x$.
દ્વિઘાત વિધેય $f(x) = -x^2 + 5x - 10$ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(-1)(-10) = 25 - 40 = -15$.
$f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{-D}{4a} = \frac{-(-15)}{4(-1)} = -\frac{15}{4} = -3.75$ છે.
અહીં $x^2$ નો સહગુણક ઋણ હોવાથી,પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે,જેનો અર્થ છે કે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $f(x) \leq -3.75$ થાય.
ઘાતાંકીય વિધેય $g(x) = (\frac{3}{2})^x$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $g(x) > 0$ થાય.
આમ,$f(x)$ હંમેશા ઋણ છે $(f(x) \leq -3.75)$ અને $g(x)$ હંમેશા ધન છે $(g(x) > 0)$,તેથી એવી કોઈ $x$ ની કિંમત નથી જેના માટે $f(x) = g(x)$ થાય.
તેથી,આ સમીકરણનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(C) $x^2 - 2x - a^2 + 1 = 0$ ના બીજ $(x - 1)^2 = a^2$ દ્વારા મળે છે,તેથી $x = 1 \pm a$. ધારો કે બીજ $x_1 = 1 - a$ અને $x_2 = 1 + a$ છે.
ધારો કે $f(x) = x^2 - 2(a + 1)x + a(a - 1)$. પ્રથમ સમીકરણના બીજ $f(x) = 0$ ના બીજની વચ્ચે હોય તે માટે $f(1 - a) < 0$ અને $f(1 + a) < 0$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,$f(1 + a) = (1 + a)^2 - 2(a + 1)(1 + a) + a(a - 1) = -3a - 1$.
$f(1 + a) < 0 \Rightarrow -3a - 1 < 0 \Rightarrow a > -1/3$.
બીજું,$f(1 - a) = (1 - a)^2 - 2(a + 1)(1 - a) + a(a - 1) = (a - 1)(4a + 1)$.
$f(1 - a) < 0 \Rightarrow (a - 1)(4a + 1) < 0 \Rightarrow a \in (-1/4, 1)$.
$a > -1/3$ અને $a \in (-1/4, 1)$ નો છેદ લેતા,આપણને $a \in (-1/4, 1)$ મળે છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $5x^2 - 3x - 1 = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = \frac{3}{5}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = -\frac{1}{5}$ છે.
આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{\alpha^n + \beta^n}{n} x^n$ છે.
આને બે લઘુગણકીય શ્રેણીમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: $S = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{(\alpha x)^n}{n} + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{(\beta x)^n}{n}$.
વિસ્તરણ $\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $S = \ln(1 + \alpha x) + \ln(1 + \beta x)$.
$S = \ln((1 + \alpha x)(1 + \beta x)) = \ln(1 + x(\alpha + \beta) + \alpha\beta x^2)$.
કિંમતો મૂકતા: $S = \ln(1 + x(\frac{3}{5}) - \frac{1}{5}x^2) = \ln\left(\frac{5 + 3x - x^2}{5}\right)$.

(B) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $ax^2 + bx + c = 0$ અને $bx^2 + cx + a = 0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ અને $b\alpha^2 + c\alpha + a = 0$.
આ બે સમીકરણો માટે ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\alpha^2}{ab - c^2} = \frac{\alpha}{bc - a^2} = \frac{1}{ac - b^2}$
પ્રથમ અને ત્રીજા ભાગ પરથી: $\alpha^2 = \frac{ab - c^2}{ac - b^2}$
બીજા અને ત્રીજા ભાગ પરથી: $\alpha = \frac{bc - a^2}{ac - b^2}$
$\alpha^2 = (\alpha)^2$ હોવાથી:
$\frac{ab - c^2}{ac - b^2} = \left( \frac{bc - a^2}{ac - b^2} \right)^2$
$(ab - c^2)(ac - b^2) = (bc - a^2)^2$
$a^2bc - ab^3 - ac^3 + b^2c^2 = b^2c^2 - 2a^2bc + a^4$
$a^4 + ab^3 + ac^3 = 3a^2bc$
બંને બાજુ $abc$ વડે ભાગતા:
$\frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc} = 3$.

(B) ધારો કે સમીકરણ $x^2 + (2 - \lambda) x + (10 - \lambda) = 0$ ના બીજો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજોના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha + \beta = - (2 - \lambda) = \lambda - 2$ અને $\alpha \beta = 10 - \lambda$.
બીજોના ઘનનો સરવાળો $S = \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$S = (\lambda - 2)^3 - 3(10 - \lambda)(\lambda - 2) = (\lambda - 2) [(\lambda - 2)^2 - 3(10 - \lambda)]$.
$S = (\lambda - 2) [\lambda^2 - 4\lambda + 4 - 30 + 3\lambda] = (\lambda - 2)(\lambda^2 - \lambda - 26) = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 24\lambda + 52$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $S$ નું $\lambda$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ: $\frac{dS}{d\lambda} = 3\lambda^2 - 6\lambda - 24 = 0$.
$3(\lambda^2 - 2\lambda - 8) = 0 \implies 3(\lambda - 4)(\lambda + 2) = 0$. તેથી,$\lambda = 4$ અથવા $\lambda = -2$.
દ્વિતીય વિકલન તપાસતા: $\frac{d^2S}{d\lambda^2} = 6\lambda - 6$. $\lambda = 4$ માટે,$6(4) - 6 = 18 > 0$ (ન્યૂનતમ).
બીજોનો તફાવત $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta} = \sqrt{(\lambda - 2)^2 - 4(10 - \lambda)} = \sqrt{\lambda^2 - 4\lambda + 4 - 40 + 4\lambda} = \sqrt{\lambda^2 - 36}$.
$\lambda = 4$ માટે,$|\alpha - \beta| = \sqrt{16 - 36} = \sqrt{-20} = i\sqrt{20} = 2i\sqrt{5}$. તેનું માન $|2i\sqrt{5}| = 2\sqrt{5}$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{x+p} + \frac{1}{x+q} = \frac{1}{r}$
ડાબી બાજુનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{x+q+x+p}{(x+p)(x+q)} = \frac{1}{r}$
$\frac{2x+p+q}{x^2+(p+q)x+pq} = \frac{1}{r}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $r(2x+p+q) = x^2+(p+q)x+pq$
પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપ $ax^2+bx+c=0$ માં ગોઠવતા:
$x^2 + (p+q-2r)x + (pq-pr-qr) = 0$
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. બીજ માન (magnitude) માં સમાન પરંતુ ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ હોવાથી,$\alpha = -\beta$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha + \beta = 0$.
બીજના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$\alpha + \beta = -(p+q-2r)$.
આને શૂન્ય લેતા: $p+q-2r = 0$,તેથી $p+q = 2r$.
આપણે બીજના વર્ગોનો સરવાળો $\alpha^2 + \beta^2$ શોધવાનો છે.
$\alpha = -\beta$ હોવાથી,$\alpha^2 + \beta^2 = \alpha^2 + (-\alpha)^2 = 2\alpha^2$.
વળી,$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$.
$\alpha+\beta = 0$ હોવાથી,વર્ગોનો સરવાળો $-2\alpha\beta$ થાય.
બીજના ગુણાકારના સૂત્ર મુજબ,$\alpha\beta = pq-pr-qr$.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^2 = -2(pq - pr - qr) = -2pq + 2pr + 2qr$.
$2r = p+q$ હોવાથી,$2pr+2qr = 2r(p+q) = (p+q)(p+q) = (p+q)^2$ મૂકતા.
આમ,$\alpha^2 + \beta^2 = -2pq + (p+q)^2 = -2pq + p^2 + q^2 + 2pq = p^2 + q^2$.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $p(x) = ax^2 + bx + c$ છે.
આપેલ છે કે $p(0) = 1$,તેથી $x = 0$ મૂકતા $c = 1$ મળે છે.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જો $p(x)$ ને $(x - 1)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(1) = 4$ મળે.
$p(x) = ax^2 + bx + 1$ માં $x = 1$ મૂકતા,$a + b + 1 = 4$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $a + b = 3$ થાય છે.
તે જ રીતે,જો $p(x)$ ને $(x + 1)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(-1) = 6$ મળે.
$p(x) = ax^2 + bx + 1$ માં $x = -1$ મૂકતા,$a - b + 1 = 6$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $a - b = 5$ થાય છે.
બંને સમીકરણો $(a + b = 3)$ અને $(a - b = 5)$ નો સરવાળો કરતા,$2a = 8$ મળે,તેથી $a = 4$.
$a = 4$ ને $a + b = 3$ માં મૂકતા,$4 + b = 3$ મળે,તેથી $b = -1$.
આમ,બહુપદી $p(x) = 4x^2 - x + 1$ છે.
$p(-2)$ શોધવા માટે,$x = -2$ મૂકતા: $p(-2) = 4(-2)^2 - (-2) + 1 = 4(4) + 2 + 1 = 16 + 2 + 1 = 19$.

(C) આપેલ સમીકરણ $2^{(x - 1)(x^2 + 5x - 50)} = 1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2^0 = 1$,તેથી ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ.
માટે,$(x - 1)(x^2 + 5x - 50) = 0$.
દ્વિઘાત પદાવલિ $x^2 + 5x - 50$ ના અવયવ પાડતા,આપણને $(x + 10)(x - 5) = 0$ મળે છે.
તેથી,સમીકરણ $(x - 1)(x + 10)(x - 5) = 0$ બને છે.
$x$ ના વાસ્તવિક મૂલ્યો $x = 1, x = -10, x = 5$ છે.
આ મૂલ્યોનો સરવાળો $1 + (-10) + 5 = -4$ થાય છે.

(C) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $x^2 + bx - 1 = 0$ અને $x^2 + x + b = 0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
$\alpha$ એ બીજ હોવાથી:
$\alpha^2 + b\alpha - 1 = 0$ --- $(1)$
$\alpha^2 + \alpha + b = 0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$(\alpha^2 + b\alpha - 1) - (\alpha^2 + \alpha + b) = 0$
$\alpha(b - 1) - (1 + b) = 0$
$\alpha = \frac{b + 1}{b - 1}$ (જ્યાં $b \neq 1$)
$\alpha$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{b + 1}{b - 1}\right)^2 + \left(\frac{b + 1}{b - 1}\right) + b = 0$
$(b + 1)^2 + (b + 1)(b - 1) + b(b - 1)^2 = 0$
$b^3 + 3b = 0$
$b(b^2 + 3) = 0$
અહીં $b^2 = -3$ મળે છે,તેથી $b = \pm i\sqrt{3}$.
માટે,$|b| = |\pm i\sqrt{3}| = \sqrt{3}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x - 1} = 1$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x - 1})^2 = 1^2$
$(2x + 1) + (2x - 1) - 2\sqrt{(2x + 1)(2x - 1)} = 1$
$4x - 2\sqrt{4x^2 - 1} = 1$
પદોને ગોઠવતા: $4x - 1 = 2\sqrt{4x^2 - 1}$
ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(4x - 1)^2 = (2\sqrt{4x^2 - 1})^2$
$16x^2 - 8x + 1 = 4(4x^2 - 1)$
$16x^2 - 8x + 1 = 16x^2 - 4$
$-8x = -5$
$x = \frac{5}{8}$
હવે,$x = \frac{5}{8}$ ને $\sqrt{4x^2 - 1}$ માં મૂકતા:
$\sqrt{4(\frac{5}{8})^2 - 1} = \sqrt{4(\frac{25}{64}) - 1} = \sqrt{\frac{25}{16} - 1} = \sqrt{\frac{25 - 16}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$

(B) આપેલ સમીકરણ $2x^3 - 9x^2 + kx - 13 = 0$ ના સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,સંકર બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
તેથી,જો $2 + 3i$ એક બીજ હોય,તો તેનું અનુબદ્ધ $2 - 3i$ પણ બીજ હશે.
ધારો કે બીજ $\alpha = 2 + 3i,$ $\beta = 2 - 3i$ અને વાસ્તવિક બીજ $\gamma$ છે.
ત્રિઘાત સમીકરણ $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}$ થાય છે.
અહીં,$a = 2$ અને $d = -13$ હોવાથી,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma = -\frac{-13}{2} = \frac{13}{2}$ થશે.
સંકર બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = (2 + 3i)(2 - 3i) = 2^2 - (3i)^2 = 4 + 9 = 13.$
હવે,$13 \cdot \gamma = \frac{13}{2}$ લેતા,આપણને $\gamma = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,વાસ્તવિક બીજનું અસ્તિત્વ છે અને તે $\frac{1}{2}$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(a - 1)(x^4 + x^2 + 1) + (a + 1)(x^2 + x + 1)^2 = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$,તેથી $(x^2 + x + 1)$ સામાન્ય લેતા:
$(x^2 + x + 1) [(a - 1)(x^2 - x + 1) + (a + 1)(x^2 + x + 1)] = 0$.
કૌંસની અંદરના પદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$(x^2 + x + 1) [ax^2 - ax + a - x^2 + x - 1 + ax^2 + ax + a + x^2 + x + 1] = 0$.
$(x^2 + x + 1) [2ax^2 + 2x + 2a] = 0$.
$2(x^2 + x + 1)(ax^2 + x + a) = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + x + 1 = 0$ માટે વિવેચક $D = 1 - 4 = -3 < 0$ છે,તેથી તેના કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.
આમ,વાસ્તવિક બીજ $ax^2 + x + a = 0$ માંથી મળવા જોઈએ.
બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવા માટે,$a \neq 0$ અને વિવેચક $D > 0$ હોવો જોઈએ.
$D = 1^2 - 4(a)(a) = 1 - 4a^2 > 0$.
$4a^2 < 1 \Rightarrow a^2 < 1/4 \Rightarrow |a| < 1/2$.
$a \neq 0$ હોવાથી,$a$ ની કિંમતોનો ગણ $a \in (-1/2, 0) \cup (0, 1/2)$ થશે.

(B) આપેલ છે કે સમીકરણો $ax^2 + bx + c = 0$ અને $2x^2 + 3x + 4 = 0$ નું એક સામાન્ય બીજ છે.
બે દ્વિઘાત સમીકરણો $a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0$ અને $a_2x^2 + b_2x + c_2 = 0$ માટે જો બંને બીજ સામાન્ય હોય,તો તેમના સહગુણકો પ્રમાણમાં હોય છે.
અહીં,બીજા સમીકરણ $2x^2 + 3x + 4 = 0$ નો વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(4) = 9 - 32 = -23$ છે.
$D < 0$ હોવાથી,સમીકરણના બીજ સંકર સંખ્યાઓ છે. જો એક બીજ સામાન્ય હોય,તો બીજું બીજ પણ સામાન્ય જ હોય કારણ કે સહગુણકો $a, b, c$ વાસ્તવિક છે.
તેથી,બંને સમીકરણો એકબીજાના પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ:
$\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = k$
આથી $a = 2k$,$b = 3k$,અને $c = 4k$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $a : b : c = 2k : 3k : 4k = 2 : 3 : 4$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $\frac{1}{\sqrt{\alpha}}$ અને $\frac{1}{\sqrt{\beta}}$ એ $ax^2 + bx + 1 = 0$ ના બીજ છે.
બીજનો સરવાળો: $\frac{1}{\sqrt{\alpha}} + \frac{1}{\sqrt{\beta}} = -\frac{b}{a} \Rightarrow \frac{\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha\beta}} = -\frac{b}{a}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\frac{1}{\sqrt{\alpha\beta}} = \frac{1}{a} \Rightarrow a = \sqrt{\alpha\beta}$.
$a$ ની કિંમત સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha\beta}} = -\frac{b}{\sqrt{\alpha\beta}} \Rightarrow b = -(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})$.
આપેલ સમીકરણ $x^2 + (b^3 - 3ab)x + a^3 = 0$ છે.
નિત્યસમ $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^3 = -(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})^3 = -(\alpha^{3/2} + \beta^{3/2} + 3\sqrt{\alpha\beta}(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}))$.
તેમજ,$3ab = 3(\sqrt{\alpha\beta})(-(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})) = -3\sqrt{\alpha\beta}(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})$.
આમ,$b^3 - 3ab = -(\alpha^{3/2} + \beta^{3/2} + 3\sqrt{\alpha\beta}(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})) + 3\sqrt{\alpha\beta}(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}) = -(\alpha^{3/2} + \beta^{3/2})$.
અને $a^3 = (\sqrt{\alpha\beta})^3 = \alpha^{3/2}\beta^{3/2}$.
સમીકરણ $x^2 - (\alpha^{3/2} + \beta^{3/2})x + \alpha^{3/2}\beta^{3/2} = 0$ બને છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha^{3/2}$ અને $\beta^{3/2}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 4\sqrt{2}kx + 2e^{4\ln k} - 1 = 0$ છે.
$e^{4\ln k} = k^4$ હોવાથી, સમીકરણ $x^2 - 4\sqrt{2}kx + 2k^4 - 1 = 0$ બને છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ, $\alpha + \beta = 4\sqrt{2}k$ અને $\alpha\beta = 2k^4 - 1$.
આપણને $\alpha^2 + \beta^2 = 66$ આપેલ છે.
નિત્યસમ $(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(4\sqrt{2}k)^2 = 66 + 2(2k^4 - 1)$
$32k^2 = 66 + 4k^4 - 2$
$4k^4 - 32k^2 + 64 = 0$
$4$ વડે ભાગતા, $k^4 - 8k^2 + 16 = 0$ મળે, જે $(k^2 - 4)^2 = 0$ છે.
તેથી, $k^2 = 4$, એટલે કે $k = 2$ અથવા $k = -2$.
હવે, $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 + \beta^2 - \alpha\beta)$.
કિંમતો મૂકતા: $\alpha^3 + \beta^3 = (4\sqrt{2}k)(66 - (2k^4 - 1)) = (4\sqrt{2}k)(67 - 2k^4)$.
જો $k = 2$ હોય, તો $\alpha^3 + \beta^3 = (8\sqrt{2})(35) = 280\sqrt{2}$.
જો $k = -2$ હોય, તો $\alpha^3 + \beta^3 = (-8\sqrt{2})(35) = -280\sqrt{2}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ, સાચો જવાબ $-280\sqrt{2}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: ${x^2} + |2x - 3| - 4 = 0$
કિસ્સો $I$: જો $x \ge \frac{3}{2}$ હોય,તો $|2x - 3| = 2x - 3$.
સમીકરણ આ મુજબ બને છે: ${x^2} + 2x - 3 - 4 = 0 \Rightarrow {x^2} + 2x - 7 = 0$.
બીજ $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-7)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{2}$ છે.
$x \ge \frac{3}{2}$ હોવાથી,આપણે કિંમતો ચકાસીએ: $-1 + 2\sqrt{2} \approx 1.828 > 1.5$ (માન્ય).
$-1 - 2\sqrt{2} \approx -3.828 < 1.5$ (અમાન્ય).
તેથી,$x_1 = 2\sqrt{2} - 1$.
કિસ્સો $II$: જો $x < \frac{3}{2}$ હોય,તો $|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3$.
સમીકરણ આ મુજબ બને છે: ${x^2} - 2x + 3 - 4 = 0 \Rightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0$.
બીજ $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$ છે.
$x < \frac{3}{2}$ હોવાથી,આપણે કિંમતો ચકાસીએ: $1 + \sqrt{2} \approx 2.414 > 1.5$ (અમાન્ય).
$1 - \sqrt{2} \approx -0.414 < 1.5$ (માન્ય).
તેથી,$x_2 = 1 - \sqrt{2}$.
માન્ય બીજનો સરવાળો $(2\sqrt{2} - 1) + (1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2}$ થાય.

(A) સમીકરણ $\sqrt{3 x^{2}+x+5}=x-3$ ધ્યાનમાં લો.
વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત થાય અને વાસ્તવિક સંખ્યા મળે તે માટે,જમણી બાજુ અઋણ હોવી જોઈએ,એટલે કે $x-3 \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \geq 3$.
સમીકરણની બંને બાજુનો વર્ગ કરતા:
$3 x^{2}+x+5=(x-3)^{2}$
$3 x^{2}+x+5=x^{2}-6 x+9$
$2 x^{2}+7 x-4=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2 x^{2}+8 x-x-4=0$
$2 x(x+4)-1(x+4)=0$
$(2 x-1)(x+4)=0$
આથી $x = \frac{1}{2}$ અથવા $x = -4$ મળે છે.
આ કિંમતોને $x \geq 3$ શરત સાથે ચકાસતા:
$x = \frac{1}{2}$ કે $x = -4$ પૈકી કોઈ પણ $x \geq 3$ શરતનું પાલન કરતું નથી.
તેથી,આપેલ સમીકરણનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(C) ધારો કે $f(x) = x^2 - (a + 1)x + a^2 + a - 8$.
એક બીજ $2$ થી મોટું અને બીજું બીજ $2$ થી નાનું હોય તે માટે,$x = 2$ આગળ વિધેયની કિંમત ઋણ હોવી જોઈએ,એટલે કે $f(2) < 0$.
$f(2) = (2)^2 - (a + 1)(2) + a^2 + a - 8 < 0$.
$4 - 2a - 2 + a^2 + a - 8 < 0$.
$a^2 - a - 6 < 0$.
$(a - 3)(a + 2) < 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $-2 < a < 3$ હોય.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + \frac{3p}{4} = 0$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,$\alpha + \beta = -p$ અને $\alpha \beta = \frac{3p}{4}$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે $|\alpha - \beta| = \sqrt{10}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(\alpha - \beta)^2 = 10$ મળે.
નિત્યસમ $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(-p)^2 - 4\left(\frac{3p}{4}\right) = 10$.
$p^2 - 3p = 10$.
$p^2 - 3p - 10 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(p - 5)(p + 2) = 0$.
તેથી,$p = 5$ અથવા $p = -2$.
આમ,$p \in \{-2, 5\}$.

(D) આપેલ અસમતા: $\frac{x - 5}{x^2 + 5x - 14} > 0$.
છેદના અવયવ પાડતા: $x^2 + 5x - 14 = (x + 7)(x - 2)$.
તેથી,અસમતા $\frac{x - 5}{(x + 7)(x - 2)} > 0$ થાય.
વેવી કર્વ પદ્ધતિ (sign scheme) નો ઉપયોગ કરતા,નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -7, 2, 5$ છે.
આ પદાવલિ $(-7, 2) \cup (5, \infty)$ અંતરાલમાં ધન છે.
$(-7, 2)$ અંતરાલમાં આવતા પૂર્ણાંકો $\{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1\}$ છે.
$(5, \infty)$ અંતરાલમાં આવતા પૂર્ણાંકો $\{6, 7, 8, \dots\}$ છે.
આમ,ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત $\alpha = -6$ મળે છે.
વિકલ્પોમાં $\alpha = -6$ મૂકતા:
$(D)$ $(-6)^2 + 5(-6) - 6 = 36 - 30 - 6 = 0$.
તેથી,$\alpha = -6$ એ વિકલ્પ $(D)$ નું સમાધાન કરે છે.

(B) આપેલ છે કે $\alpha^3 + \beta^3 = -p$ અને $\alpha \beta = q$.
ધારો કે જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $x_1 = \frac{\alpha^2}{\beta}$ અને $x_2 = \frac{\beta^2}{\alpha}$ છે.
બીજનો સરવાળો $x_1 + x_2 = \frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha} = \frac{\alpha^3 + \beta^3}{\alpha \beta} = \frac{-p}{q}$ થાય.
બીજનો ગુણાકાર $x_1 \times x_2 = \frac{\alpha^2}{\beta} \times \frac{\beta^2}{\alpha} = \alpha \beta = q$ થાય.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - (\frac{-p}{q})x + q = 0$ મળે.
$x^2 + \frac{p}{q}x + q = 0$.
$q$ વડે ગુણતા,આપણને $qx^2 + px + q^2 = 0$ મળે છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $(K - 2)x^2 + 8x + K + 4 = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવા માટે,વિવેચક $D > 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(K - 2)(K + 4) > 0$
$64 - 4(K^2 + 2K - 8) > 0$
$16 - (K^2 + 2K - 8) > 0$
$-K^2 - 2K + 24 > 0 \Rightarrow K^2 + 2K - 24 < 0$
$(K + 6)(K - 4) < 0 \Rightarrow -6 < K < 4$.
બીજ ઋણ હોવા માટે,બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{K + 4}{K - 2} > 0$ અને બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{8}{K - 2} < 0$ હોવો જોઈએ.
$\frac{K + 4}{K - 2} > 0$ પરથી,આપણને $K < -4$ અથવા $K > 2$ મળે છે.
$-\frac{8}{K - 2} < 0$ પરથી,આપણને $\frac{8}{K - 2} > 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $K > 2$.
શરતો $-6 < K < 4$ અને $K > 2$ ને જોડતા,આપણને $2 < K < 4$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $K = 3$ આ શરતનું પાલન કરે છે.

(D) આપેલ અસમતા $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2p(ab + bc + cd) + (b^2 + c^2 + d^2) \le 0$ છે.
આને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકાય:
$(a^2 p^2 - 2abp + b^2) + (b^2 p^2 - 2bpc + c^2) + (c^2 p^2 - 2cpd + d^2) \le 0$.
જેનું સાદું રૂપ:
$(ap - b)^2 + (bp - c)^2 + (cp - d)^2 \le 0$ થાય.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,તેથી આ સરવાળો $0$ કે તેથી ઓછો ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે દરેક પદ $0$ હોય.
તેથી,$ap - b = 0$,$bp - c = 0$,અને $cp - d = 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $p = \frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c}$.
આ ગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ ની વ્યાખ્યા છે,જ્યાં $a, b, c, d$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર $p$ સાથે $G.P.$ માં છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\sin \alpha - 2)x - (1 + \sin \alpha) = 0$ છે.
ધારો કે બીજો $x_1$ અને $x_2$ છે.
બીજોના ગુણધર્મો મુજબ,$x_1 + x_2 = \sin \alpha - 2$ અને $x_1 x_2 = -(1 + \sin \alpha)$ થાય.
બીજોના વર્ગોનો સરવાળો $S = x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $S = (\sin \alpha - 2)^2 - 2(-(1 + \sin \alpha)) = \sin^2 \alpha - 4 \sin \alpha + 4 + 2 + 2 \sin \alpha = \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha + 6$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે તેને $S = (\sin \alpha - 1)^2 + 5$ તરીકે લખી શકીએ.
$\sin \alpha$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,પદ $(\sin \alpha - 1)^2$ ત્યારે ન્યૂનતમ થાય જ્યારે $\sin \alpha = 1$ હોય.
આમ,$\sin \alpha = 1$ એટલે કે $\alpha = \frac{\pi}{2}$ થાય.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $px^2 + qx + r = 0$ છે,જ્યાં $p, q, r \in \mathbb{R}$ અને $r > p > 0.$
કારણ કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ સંકર સંખ્યાઓ છે,તેથી તેઓ એકબીજાના અનુબદ્ધ (conjugate) હશે,એટલે કે $\beta = \bar{\alpha}.$
આનો અર્થ એ થાય કે $|\beta| = |\bar{\alpha}| = |\alpha|.$
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{r}{p}$ થાય.
કારણ કે $\beta = \bar{\alpha},$ તેથી $\alpha \bar{\alpha} = |\alpha|^2 = \frac{r}{p}.$
આપેલ છે કે $r > p > 0,$ તેથી $\frac{r}{p} > 1.$
તેથી,$|\alpha|^2 > 1,$ જેનો અર્થ છે કે $|\alpha| > 1.$
હવે,$|\alpha| + |\beta| = |\alpha| + |\alpha| = 2|\alpha|.$
કારણ કે $|\alpha| > 1,$ તેથી $2|\alpha| > 2.$
આમ,$|\alpha| + |\beta| > 2$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $1$ એ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ નું બીજ છે.
તેથી,$x = 1$ મૂકતા,$a(1)^2 + b(1) + c = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a + b + c = 0$,એટલે કે $c = -(a + b)$.
હવે,વક્ર $y = 4ax^2 + 3bx + 2c$ ધ્યાનમાં લો.
$c = -(a + b)$ ની કિંમત મૂકતા,$y = 4ax^2 + 3bx - 2a - 2b$ મળે.
$x-$અક્ષ પર $y = 0$ હોય,તેથી $4ax^2 + 3bx - 2a - 2b = 0$.
આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે. તેનો વિવેચક $D = (3b)^2 - 4(4a)(-2a-2b) = 9b^2 + 32a^2 + 32ab$ છે.
સામાન્ય કિસ્સાઓમાં,આ સમીકરણના બે ભિન્ન ઉકેલો મળે છે,તેથી વક્ર $x-$અક્ષને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 2x + 2 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = -1 \pm i$ મળે.
ધારો કે $\alpha = -1 + i$ અને $\beta = -1 - i$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં,$\alpha = \sqrt{2} e^{i(3\pi/4)}$ અને $\beta = \sqrt{2} e^{-i(3\pi/4)}$.
તેથી $\alpha^{15} + \beta^{15} = (\sqrt{2})^{15} [e^{i(45\pi/4)} + e^{-i(45\pi/4)}]$.
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આ $2^{7} \cdot \sqrt{2} \cdot 2 \cos(45\pi/4)$ થાય.
કારણ કે $45\pi/4 = 11\pi + \pi/4$,તેથી $\cos(45\pi/4) = \cos(11\pi + \pi/4) = -\cos(\pi/4) = -1/\sqrt{2}$.
આમ,$\alpha^{15} + \beta^{15} = 2^8 \cdot \sqrt{2} \cdot (-1/\sqrt{2}) = -2^8 = -256$.

(A) ધારો કે $f(x) = x^2 - mx + 4.$ બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોય તથા $[1, 5]$ અંતરાલમાં આવેલા હોય તે માટે નીચેની શરતોનું પાલન થવું જોઈએ:
$1$. વિવેચક $D > 0: (-m)^2 - 4(1)(4) > 0 \Rightarrow m^2 - 16 > 0 \Rightarrow m \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty).$
$2$. $f(1) > 0: 1^2 - m(1) + 4 > 0 \Rightarrow 5 - m > 0 \Rightarrow m < 5.$
$3$. $f(5) > 0: 5^2 - m(5) + 4 > 0 \Rightarrow 29 - 5m > 0 \Rightarrow m < 5.8.$
$4$. શિરોબિંદુનું સ્થાન: $1 < \frac{-b}{2a} < 5 \Rightarrow 1 < \frac{m}{2} < 5 \Rightarrow 2 < m < 10.$
આ તમામ શરતોનો છેદ લેતા: $m \in (4, 5).$ તેથી વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ સંમેય હોય તે માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ પૂર્ણવર્ગ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = 6, b = -11, c = \alpha$.
$D = (-11)^2 - 4(6)(\alpha) = 121 - 24\alpha$.
$\alpha$ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$121 - 24\alpha \ge 0$,જેનો અર્થ છે કે $24\alpha \le 121$,તેથી $\alpha \le 5.04$. આમ,$\alpha \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
દરેક કિંમત તપાસતા:
$1$. જો $\alpha = 1, D = 121 - 24 = 97$ (પૂર્ણવર્ગ નથી).
$2$. જો $\alpha = 2, D = 121 - 48 = 73$ (પૂર્ણવર્ગ નથી).
$3$. જો $\alpha = 3, D = 121 - 72 = 49 = 7^2$ (પૂર્ણવર્ગ છે).
$4$. જો $\alpha = 4, D = 121 - 96 = 25 = 5^2$ (પૂર્ણવર્ગ છે).
$5$. જો $\alpha = 5, D = 121 - 120 = 1 = 1^2$ (પૂર્ણવર્ગ છે).
આમ,$\alpha$ ની શક્ય કિંમતો $3, 4, 5$ છે. તેથી,આવી કુલ $3$ કિંમતો મળે.

(D) ધારો કે $f(x) = (c - 5)x^2 - 2cx + (c - 4)$.
એક બીજ $(0, 2)$ માં અને બીજું $(2, 3)$ માં હોય તે માટે,$f(2)$ નું ચિહ્ન અગ્ર સહગુણક $(c - 5)$ થી વિરુદ્ધ હોવું જોઈએ.
કિસ્સો $I$: જો $c - 5 > 0$ (એટલે કે $c > 5$),તો $f(2) < 0$.
$f(2) = (c - 5)(2)^2 - 2c(2) + (c - 4) = 4c - 20 - 4c + c - 4 = c - 24$.
તેથી,$c - 24 < 0 \Rightarrow c < 24$.
વધુમાં,બીજ આપેલા અંતરાલમાં રહે તે માટે $f(0) > 0$ અને $f(3) > 0$ હોવું જરૂરી છે.
$f(0) = c - 4 > 0 \Rightarrow c > 4$.
$f(3) = (c - 5)(9) - 6c + (c - 4) = 9c - 45 - 6c + c - 4 = 4c - 49 > 0 \Rightarrow c > 12.25$.
$c > 5$,$c < 24$,$c > 4$,અને $c > 12.25$ ને જોડતા,આપણને $c \in (12.25, 24)$ મળે છે.
$c$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો ${13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}$ છે.
ઘટકોની સંખ્યા = $11$.
કિસ્સો $II$: જો $c - 5 < 0$ (એટલે કે $c < 5$),તો $f(2) > 0$.
$c - 24 > 0 \Rightarrow c > 24$,જે $c < 5$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે. તેથી,અહીં કોઈ ઉકેલ નથી.
આમ,$S = {13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}$,અને ઘટકોની સંખ્યા $11$ છે.

(D) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + (3 - \lambda)x + (2 - \lambda) = 0$ ના બીજો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજોના વર્ગોનો સરવાળો $S = \alpha^2 + \beta^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નિત્યસમ $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha + \beta = -(3 - \lambda) = \lambda - 3$
$\alpha\beta = 2 - \lambda$
આ કિંમતોને $S$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$S = (\lambda - 3)^2 - 2(2 - \lambda)$
$S = \lambda^2 - 6\lambda + 9 - 4 + 2\lambda$
$S = \lambda^2 - 4\lambda + 5$
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$S = (\lambda^2 - 4\lambda + 4) + 1 = (\lambda - 2)^2 + 1$
જ્યારે $(\lambda - 2)^2 = 0$ થાય,ત્યારે $S$ ની કિંમત ન્યૂનતમ મળે છે,જે $\lambda = 2$ માટે શક્ય છે.

(D) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $81x^2 + kx + 256 = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\alpha^3$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \alpha^3 = \frac{256}{81}$ થાય.
આથી $\alpha^4 = \frac{256}{81}$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\alpha = \pm \frac{4}{3}$ મળે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \alpha^3 = -\frac{k}{81}$ થાય.
કિસ્સો $1$: જો $\alpha = \frac{4}{3}$ હોય,તો $\frac{4}{3} + (\frac{4}{3})^3 = -\frac{k}{81} \implies \frac{4}{3} + \frac{64}{27} = -\frac{k}{81} \implies \frac{36 + 64}{27} = -\frac{k}{81} \implies \frac{100}{27} = -\frac{k}{81} \implies k = -300$.
કિસ્સો $2$: જો $\alpha = -\frac{4}{3}$ હોય,તો $-\frac{4}{3} - \frac{64}{27} = -\frac{k}{81} \implies -\frac{100}{27} = -\frac{k}{81} \implies k = 300$.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,સાચો જવાબ $-300$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 \sin \theta - x(\sin \theta \cos \theta + 1) + \cos \theta = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{(\sin \theta \cos \theta + 1) \pm \sqrt{(\sin \theta \cos \theta + 1)^2 - 4 \sin \theta \cos \theta}}{2 \sin \theta}$
અહીં $(\sin \theta \cos \theta + 1)^2 - 4 \sin \theta \cos \theta = (\sin \theta \cos \theta - 1)^2$ હોવાથી:
$x = \frac{(\sin \theta \cos \theta + 1) \pm (\sin \theta \cos \theta - 1)}{2 \sin \theta}$
ધન ચિહ્ન લેતા: $x = \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{2 \sin \theta} = \cos \theta$.
ઋણ ચિહ્ન લેતા: $x = \frac{2}{2 \sin \theta} = \csc \theta$.
$0 < \theta < 45^\circ$ હોવાથી,$\cos \theta < \csc \theta$ થાય. તેથી,$\alpha = \cos \theta$ અને $\beta = \csc \theta$.
સરવાળો $\sum_{n=0}^\infty \alpha^n + \sum_{n=0}^\infty (-\frac{1}{\beta})^n = \sum_{n=0}^\infty (\cos \theta)^n + \sum_{n=0}^\infty (-\sin \theta)^n$ થશે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સૂત્ર $\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
સરવાળો $= \frac{1}{1 - \cos \theta} + \frac{1}{1 + \sin \theta}$.

(B) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda = \frac{\alpha}{\beta}$,શરત $\lambda + \frac{1}{\lambda} = 1$ નો અર્થ છે $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = 1$.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = 1$,અથવા $\alpha^2 + \beta^2 = \alpha\beta$ મળે.
બંને બાજુ $\alpha\beta$ ઉમેરતા,આપણને $\alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2 = 3\alpha\beta$ મળે,જેનો અર્થ છે $(\alpha + \beta)^2 = 3\alpha\beta$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $3m^2x^2 + m(m - 4)x + 2 = 0$ પરથી,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{m(m - 4)}{3m^2} = -\frac{m - 4}{3m}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{2}{3m^2}$ છે.
આ કિંમતોને $(\alpha + \beta)^2 = 3\alpha\beta$ માં મૂકતા:
$\left(-\frac{m - 4}{3m}\right)^2 = 3 \left(\frac{2}{3m^2}\right)$
$\frac{(m - 4)^2}{9m^2} = \frac{2}{m^2}$
$(m - 4)^2 = 18$
$m^2 - 8m + 16 = 18$
$m^2 - 8m - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$m = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{8 \pm 6\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 3\sqrt{2}$.
તેથી $m$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $4 - 3\sqrt{2}$ છે.

(C) કોઈપણ દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^2 + bx + c$ તમામ $x \in R$ માટે હંમેશા ધન રહે તે માટે બે શરતો સંતોષાવી જોઈએ: $a > 0$ અને $D < 0$.
$1$. શરત $a > 0$:
$(1 + 2m) > 0 \Rightarrow 2m > -1 \Rightarrow m > -\frac{1}{2}$.
$2$. શરત $D < 0$:
$D = [-2(1 + 3m)]^2 - 4(1 + 2m)(4(1 + m)) < 0$
$4(1 + 3m)^2 - 16(1 + 2m)(1 + m) < 0$
$(1 + 6m + 9m^2) - 4(1 + 3m + 2m^2) < 0$
$1 + 6m + 9m^2 - 4 - 12m - 8m^2 < 0$
$m^2 - 6m - 3 < 0$.
$m^2 - 6m - 3 = 0$ ના ઉકેલ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $m = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{48}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{3}$.
અહીં $\sqrt{12} \approx 3.46$ હોવાથી,બીજ $3 - 3.46 = -0.46$ અને $3 + 3.46 = 6.46$ મળે.
તેથી,$3 - 2\sqrt{3} < m < 3 + 2\sqrt{3}$.
$m > -0.5$ સાથે સરખાવતા,અંતરાલ $(-0.46, 6.46)$ મળે.
$m$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ છે.
આમ,કુલ $7$ મૂલ્યો મળે છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 2x + 2 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$ મળે છે.
ધારો કે $\alpha = 1 + i$ અને $\beta = 1 - i$.
હવે,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1 + i}{1 - i} = \frac{(1 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{2i}{2} = i$.
વૈકલ્પિક રીતે,જો આપણે $\alpha = 1 - i$ અને $\beta = 1 + i$ લઈએ,તો $\frac{\alpha}{\beta} = -i$ મળે.
આપણને $(\frac{\alpha}{\beta})^n = 1$ જોઈએ છે. જો $\frac{\alpha}{\beta} = i$ હોય,તો $i^n = 1$,જે માટે ન્યૂનતમ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n = 4$ મળે છે.
જો $\frac{\alpha}{\beta} = -i$ હોય,તો $(-i)^n = 1$,જે માટે પણ ન્યૂનતમ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n = 4$ મળે છે.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $4$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $|\sqrt{x} - 2| + \sqrt{x}(\sqrt{x} - 4) + 2 = 0$.
ધારો કે $t = \sqrt{x}$,જ્યાં $t > 0$. સમીકરણ $|t - 2| + t(t - 4) + 2 = 0$ બને છે.
$|t - 2| + t^2 - 4t + 2 = 0$.
આપણે $t^2 - 4t + 2$ ને $(t^2 - 4t + 4) - 2 = (t - 2)^2 - 2$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$|t - 2| + (t - 2)^2 - 2 = 0$.
ધારો કે $u = |t - 2|$. કારણ કે $u^2 = |t - 2|^2 = (t - 2)^2$,સમીકરણ $u + u^2 - 2 = 0$ બને છે.
$u^2 + u - 2 = 0$.
$(u + 2)(u - 1) = 0$.
આનાથી $u = -2$ અથવા $u = 1$ મળે છે.
કારણ કે $u = |t - 2| \ge 0$,$u = -2$ શક્ય નથી.
તેથી,$|t - 2| = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $t - 2 = 1$ અથવા $t - 2 = -1$.
$t = 3$ અથવા $t = 1$.
કારણ કે $t = \sqrt{x}$,આપણને $\sqrt{x} = 3 \implies x = 9$ અને $\sqrt{x} = 1 \implies x = 1$ મળે છે.
બંને કિંમતો $x > 0$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
ઉકેલોનો સરવાળો $9 + 1 = 10$ થાય છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ ન હોય તે માટે વિવેચક $D$ શૂન્ય કરતા નાનો $(D < 0)$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = (1 + m^2)$,$b = -2(1 + 3m)$,અને $c = (1 + 8m)$ છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = [-2(1 + 3m)]^2 - 4(1 + m^2)(1 + 8m)$.
$D = 4(1 + 9m^2 + 6m) - 4(1 + 8m + m^2 + 8m^3)$.
$D = 4(1 + 9m^2 + 6m - 1 - 8m - m^2 - 8m^3)$.
$D = 4(-8m^3 + 8m^2 - 2m) = -8m(4m^2 - 4m + 1) = -8m(2m - 1)^2$.
વાસ્તવિક બીજ ન હોવા માટે,$-8m(2m - 1)^2 < 0$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $(2m - 1)^2$ હંમેશા અ-ઋણ છે,તેથી પદાવલિ ઋણ થાય તે માટે $m > 0$ અને $m \neq 1/2$ હોવું જરૂરી છે.
આમ,$m > 0$ હોય તેવા અનંત પૂર્ણાંક મૂલ્યો શક્ય છે.

(C) આપેલ છે કે $p, q \in Q$ અને $2 - \sqrt{3}$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ નું એક બીજ છે.
સહગુણકો સંમેય હોવાથી,અસંમેય બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
તેથી,બીજું બીજ $2 + \sqrt{3}$ થશે.
બીજનો સરવાળો $= (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$.
સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ પરથી,બીજનો સરવાળો $-p$ થાય છે.
તેથી,$-p = 4 \implies p = -4$.
બીજનો ગુણાકાર $= (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ પરથી,બીજનો ગુણાકાર $q$ થાય છે.
તેથી,$q = 1$.
હવે,$p = -4$ અને $q = 1$ મૂકીને વિકલ્પો તપાસતા:
$p^2 - 4q - 12 = (-4)^2 - 4(1) - 12 = 16 - 4 - 12 = 0$.
આમ,$p^2 - 4q - 12 = 0$ એ સાચો સંબંધ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + x \sin \theta - 2 \sin \theta = 0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\sin \theta$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = -2 \sin \theta$ થાય.
આપણે પદાવલિ $E = \frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{(\alpha^{-12} + \beta^{-12})(\alpha - \beta)^{24}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
છેદનું સાદું રૂપ આપતા: $\alpha^{-12} + \beta^{-12} = \frac{1}{\alpha^{12}} + \frac{1}{\beta^{12}} = \frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{(\alpha \beta)^{12}}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $E = \frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{\left(\frac{\alpha^{12} + \beta^{12}}{(\alpha \beta)^{12}}\right)(\alpha - \beta)^{24}} = \frac{(\alpha \beta)^{12}}{(\alpha - \beta)^{24}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta$,તેથી $(\alpha - \beta)^{24} = ((\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta)^{12}$.
તેથી,$E = \left[ \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2 - 4 \alpha \beta} \right]^{12}$.
$\alpha + \beta$ અને $\alpha \beta$ ની કિંમતો મૂકતા: $E = \left[ \frac{-2 \sin \theta}{(-\sin \theta)^2 - 4(-2 \sin \theta)} \right]^{12} = \left[ \frac{-2 \sin \theta}{\sin^2 \theta + 8 \sin \theta} \right]^{12}$.
$\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી,$\sin \theta \neq 0$,તેથી આપણે $\sin \theta$ ને છેદ ઉડાડી શકીએ: $E = \left( \frac{-2}{\sin \theta + 8} \right)^{12} = \frac{2^{12}}{(\sin \theta + 8)^{12}}$.

(B) આપેલ અસમતા: $2^{\sqrt{\sin^2 x - 2\sin x + 5}} \cdot 4^{-\sin^2 y} \leq 1$
અસમતાને આ રીતે ફરીથી લખતા: $2^{\sqrt{(\sin x - 1)^2 + 4}} \leq 4^{\sin^2 y}$
$4 = 2^2$ હોવાથી,આપણને મળે છે: $2^{\sqrt{(\sin x - 1)^2 + 4}} \leq 2^{2\sin^2 y}$
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા: $\sqrt{(\sin x - 1)^2 + 4} \leq 2\sin^2 y$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\sin x - 1)^2 \geq 0$,તેથી $\sqrt{(\sin x - 1)^2 + 4} \geq \sqrt{4} = 2$.
વળી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 y \leq 1$,તેથી $2\sin^2 y \leq 2$.
અસમતા $2 \leq \text{LHS} \leq \text{RHS} \leq 2$ સાચી ઠરવા માટે,બંને બાજુઓ $2$ ને સમાન હોવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = 1$ અને $\sin^2 y = 1 \Rightarrow |\sin y| = 1$.
આમ,$\sin x = 1$ અને $|\sin y| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\sin x = |\sin y|$.

(D) ધારો કે $2^x = t$. કારણ કે $2^x > 0$,તેથી $t > 0$ હોવું જોઈએ.
સમીકરણ $5 + |t - 1| = t(t - 2) = t^2 - 2t$ બને છે.
ગોઠવતા,આપણને $|t - 1| = t^2 - 2t - 5$ મળે છે.
ધારો કે $g(t) = |t - 1|$ અને $f(t) = t^2 - 2t - 5$.
આપણે $t > 0$ હોય તેવા છેદબિંદુઓ શોધીએ છીએ.
કિસ્સો $1$: $t \ge 1$,તો $t - 1 = t^2 - 2t - 5 \Rightarrow t^2 - 3t - 4 = 0 \Rightarrow (t - 4)(t + 1) = 0$. $t > 0$ હોવાથી,$t = 4$. આનાથી $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $0 < t < 1$,તો $-(t - 1) = t^2 - 2t - 5 \Rightarrow -t + 1 = t^2 - 2t - 5 \Rightarrow t^2 - t - 6 = 0 \Rightarrow (t - 3)(t + 2) = 0$. $t = 3$ કે $t = -2$ માંથી કોઈ પણ અંતરાલ $(0, 1)$ માં નથી.
આમ,માત્ર $1$ વાસ્તવિક ઉકેલ છે.