QUADRATIC EQUATION Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha + \beta = -b/a$ અને $\alpha\beta = c/a$ મળે.
ધારો કે નવા બીજ $\alpha' = 2 + \alpha$ અને $\beta' = 2 + \beta$ છે.
નવા બીજનો સરવાળો $\alpha' + \beta' = (2 + \alpha) + (2 + \beta) = 4 + (\alpha + \beta) = 4 - b/a = (4a - b)/a$ થાય.
નવા બીજનો ગુણાકાર $\alpha'\beta' = (2 + \alpha)(2 + \beta) = 4 + 2(\alpha + \beta) + \alpha\beta = 4 + 2(-b/a) + c/a = (4a - 2b + c)/a$ થાય.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - ((4a - b)/a)x + (4a - 2b + c)/a = 0$.
આખા સમીકરણને $a$ વડે ગુણતા,આપણને $ax^2 - (4a - b)x + (4a - 2b + c) = 0$ મળે.
જેનું સાદું રૂપ $ax^2 + x(b - 4a) + 4a - 2b + c = 0$ થાય છે.

(C) ધારો કે $x^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta$ છે અને $x^2 + qx + r = 0$ ના બીજ $\alpha', \beta'$ છે.
તેથી,$\alpha + \beta = -b$,$\alpha\beta = c$,$\alpha' + \beta' = -q$,અને $\alpha'\beta' = r$ થાય.
આપેલ છે કે બીજનો ગુણોત્તર સમાન છે,એટલે કે $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha'}{\beta'}$.
યોગ-વિયોગના નિયમ (componendo and dividendo) મુજબ,$\frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta} = \frac{\alpha' + \beta'}{\alpha' - \beta'}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{(\alpha + \beta)^2}{(\alpha - \beta)^2} = \frac{(\alpha' + \beta')^2}{(\alpha' - \beta')^2}$.
કારણ કે $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$,તેથી $\frac{b^2}{b^2 - 4c} = \frac{q^2}{q^2 - 4r}$ મળે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $b^2(q^2 - 4r) = q^2(b^2 - 4c)$ મળે.
$b^2q^2 - 4b^2r = q^2b^2 - 4cq^2$.
$-4b^2r = -4cq^2$,જેનું સાદું રૂપ $b^2r = cq^2$ થાય છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - x - k = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\alpha^2$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \alpha^2 = 1$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = -k$ થાય.
આપણી પાસે $\alpha^2 + \alpha = 1$ છે. બંને બાજુ ઘન લેતા,$(\alpha^2 + \alpha)^3 = 1^3$.
વિસ્તરણ કરતા,$(\alpha^2)^3 + \alpha^3 + 3(\alpha^2)(\alpha)(\alpha^2 + \alpha) = 1$ મળે.
$\alpha^3 = -k$ અને $\alpha^2 + \alpha = 1$ મૂકતા:
$(-k)^2 + (-k) + 3(-k)(1) = 1$.
$k^2 - k - 3k = 1$.
$k^2 - 4k - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$k = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$ મળે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ ${x^2} + px + q = 0$ ના સહગુણકો $p$ અને $q$ વાસ્તવિક હોવાથી,સંકર બીજો હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
આપેલ છે કે $3 + 4i$ એક બીજ છે,તેથી તેનું અનુબદ્ધ $3 - 4i$ પણ સમીકરણનું બીજ હશે.
દ્વિઘાત સમીકરણ ${x^2} + px + q = 0$ માટે,બીજોનો સરવાળો $-p$ થાય છે અને બીજોનો ગુણાકાર $q$ થાય છે.
બીજોનો સરવાળો $= (3 + 4i) + (3 - 4i) = 6$.
તેથી,$-p = 6$,જેનો અર્થ છે કે $p = -6$.
બીજોનો ગુણાકાર $= (3 + 4i)(3 - 4i) = {3^2} - {(4i)^2} = 9 - 16({i^2}) = 9 - 16(-1) = 9 + 16 = 25$.
તેથી,$q = 25$.
આમ,$p = -6$ અને $q = 25$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,આપણી પાસે $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બીજનો સરવાળો તેમના વ્યસ્તના વર્ગોના સરવાળા જેટલો છે:
$\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$
$\alpha + \beta = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2}$
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ મૂકતા:
$-\frac{b}{a} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$
$-\frac{b}{a} = \frac{(-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a})}{(\frac{c}{a})^2}$
$-\frac{b}{a} = \frac{\frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a}}{\frac{c^2}{a^2}}$
બંને બાજુ $\frac{c^2}{a^2}$ વડે ગુણતા:
$-\frac{b}{a} \cdot \frac{c^2}{a^2} = \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a}$
$-\frac{bc^2}{a^3} = \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a}$
આખા સમીકરણને $\frac{c}{a}$ વડે ભાગતા (ધારી લો કે $c \neq 0$):
$-\frac{bc}{a^2} = \frac{b^2}{ac} - 2$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{b^2}{ac} + \frac{bc}{a^2} = 2$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 6x + a = 0$ છે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -(-6)/1 = 6$ થાય.
આપણને સંબંધ $3\alpha + 2\beta = 16$ આપેલ છે.
આને $2(\alpha + \beta) + \alpha = 16$ તરીકે લખી શકાય.
$\alpha + \beta = 6$ ની કિંમત મૂકતા:
$2(6) + \alpha = 16$
$12 + \alpha = 16$
$\alpha = 4$.
$\alpha$ એ સમીકરણનું બીજ હોવાથી,તે $x^2 - 6x + a = 0$ નું સમાધાન કરશે:
$(4)^2 - 6(4) + a = 0$
$16 - 24 + a = 0$
$-8 + a = 0$
$a = 8$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $lx^2 + mx + n = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -m/l$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = n/l$ છે.
આપણે એવું સમીકરણ શોધવાનું છે જેના બીજ $S_1 = \alpha^3\beta$ અને $S_2 = \alpha\beta^3$ હોય.
નવા બીજનો સરવાળો $S_1 + S_2 = \alpha\beta(\alpha^2 + \beta^2) = \alpha\beta((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta)$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $S_1 + S_2 = (n/l)((-m/l)^2 - 2(n/l)) = (n/l)((m^2/l^2) - (2n/l)) = (n/l)((m^2 - 2nl)/l^2) = (n(m^2 - 2nl))/l^3$.
નવા બીજનો ગુણાકાર $S_1 \cdot S_2 = (\alpha^3\beta)(\alpha\beta^3) = \alpha^4\beta^4 = (\alpha\beta)^4 = (n/l)^4 = n^4/l^4$ થાય.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (S_1 + S_2)x + (S_1 \cdot S_2) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - [n(m^2 - 2nl)/l^3]x + (n^4/l^4) = 0$.
$l^4$ વડે ગુણતા,આપણને $l^4x^2 - nl(m^2 - 2nl)x + n^4 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે બીજનો તફાવત $\alpha - \beta = 1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -b/a$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = c/a$ થાય છે.
આપેલ સમીકરણ માટે,$\alpha + \beta = -p$ અને $\alpha\beta = q$ છે.
નિત્યસમ $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીતી કિંમતો મૂકીએ:
$(1)^2 = (-p)^2 - 4(q)$.
$1 = p^2 - 4q$.
તેથી,$p^2 = 4q + 1$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $(5 + \sqrt{2})x^2 - (4 + \sqrt{5})x + 8 + 2\sqrt{5} = 0$ છે.
ધારો કે બીજ $x_1$ અને $x_2$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ, બીજનો સરવાળો $x_1 + x_2 = \frac{4 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}$ થાય.
બીજનો ગુણાકાર $x_1 x_2 = \frac{8 + 2\sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}} = \frac{2(4 + \sqrt{5})}{5 + \sqrt{2}} = 2(x_1 + x_2)$ થાય.
બે સંખ્યાઓ $x_1$ અને $x_2$ નો હરાત્મક મધ્યક $(HM)$ શોધવાનું સૂત્ર $HM = \frac{2x_1 x_2}{x_1 + x_2}$ છે.
આ સૂત્રમાં $x_1 x_2 = 2(x_1 + x_2)$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $HM = \frac{2 \cdot 2(x_1 + x_2)}{x_1 + x_2} = 4$ મળે છે.

(A) ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\alpha + 1$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + (\alpha + 1) = 2\alpha + 1 = b$ થાય.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha(\alpha + 1) = c$ થાય.
આપણે વિવેચક $D = b^2 - 4c$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$b$ અને $c$ ની કિંમતો મૂકતા:
$b^2 - 4c = (2\alpha + 1)^2 - 4(\alpha(\alpha + 1))$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$b^2 - 4c = (4\alpha^2 + 4\alpha + 1) - (4\alpha^2 + 4\alpha)$
સાદુરૂપ આપતા:
$b^2 - 4c = 4\alpha^2 + 4\alpha + 1 - 4\alpha^2 - 4\alpha = 1$.
તેથી,$b^2 - 4c = 1$ થાય.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -\frac{B}{A}$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = \frac{C}{A}$
આપણે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ: $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta)$.
કિંમતો મૂકતા:
$\alpha^3 + \beta^3 = \left(-\frac{B}{A}\right)^3 - 3\left(\frac{C}{A}\right)\left(-\frac{B}{A}\right)$
$= -\frac{B^3}{A^3} + \frac{3BC}{A^2}$
છેદ સમાન કરતા $(A^3)$:
$= \frac{-B^3 + 3ABC}{A^3} = \frac{3ABC - B^3}{A^3}$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ ${x^2} - (1 + {n^2})x + \frac{1}{2}(1 + {n^2} + {n^4}) = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -b/a$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = c/a$ થાય.
અહીં,$\alpha + \beta = 1 + {n^2}$ અને $\alpha \beta = \frac{1}{2}(1 + {n^2} + {n^4})$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ${\alpha ^2} + {\beta ^2} = {(\alpha + \beta )^2} - 2\alpha \beta$.
કિંમતો મૂકતા:
${\alpha ^2} + {\beta ^2} = {(1 + {n^2})^2} - 2 \times \frac{1}{2}(1 + {n^2} + {n^4})$
${\alpha ^2} + {\beta ^2} = (1 + {n^4} + 2{n^2}) - (1 + {n^2} + {n^4})$
${\alpha ^2} + {\beta ^2} = 1 + {n^4} + 2{n^2} - 1 - {n^2} - {n^4}$
${\alpha ^2} + {\beta ^2} = {n^2}$.

(B) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ ${x^2} - 30x + p = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને ${\alpha ^2}$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + {\alpha ^2} = 30$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot {\alpha ^2} = {\alpha ^3} = p$
સરવાળાના સમીકરણને ઉકેલતા: ${\alpha ^2} + \alpha - 30 = 0$
$(\alpha + 6)(\alpha - 5) = 0$
આથી $\alpha = -6$ અથવા $\alpha = 5$ મળે છે.
જો $\alpha = -6$ હોય,તો $p = {\alpha ^3} = {(-6)^3} = -216$.
જો $\alpha = 5$ હોય,તો $p = {\alpha ^3} = {(5)^3} = 125$.
આમ,$p$ ની કિંમતો $125$ અને $-216$ છે.

(B) $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,બીજોનો સરવાળો $\alpha + \beta = -b/a$ અને બીજોનો ગુણાકાર $\alpha \beta = c/a$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2 - 3x + 1 = 0$ માટે,$a = 1$,$b = -3$,અને $c = 1$ છે.
તેથી,બીજોનો સરવાળો $\alpha + \beta = -(-3)/1 = 3$ અને બીજોનો ગુણાકાર $\alpha \beta = 1/1 = 1$ થાય.
આપણે બીજોના વર્ગોનો સરવાળો એટલે કે $\alpha^2 + \beta^2$ શોધવાનો છે.
નિત્યસમ $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરીને,કિંમતો મૂકતા:
$\alpha^2 + \beta^2 = (3)^2 - 2(1) = 9 - 2 = 7$.
આમ,બીજોના વર્ગોનો સરવાળો $7$ છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -1$ છે.
આપેલ છે કે તેમના વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{1}{6}$ છે.
વ્યસ્તના સરવાળાનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{1}{6}$.
$\alpha + \beta = -1$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{-1}{\alpha \beta} = \frac{1}{6}$,જે દર્શાવે છે કે $\alpha \beta = -6$.
દ્વિઘાત સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - (-1)x + (-6) = 0$.
તેથી,સમીકરણ $x^2 + x - 6 = 0$ છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ ${x^2} + px + q = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -p$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = q$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,બીજનો સરવાળો તેમના વર્ગોના સરવાળા જેટલો છે:
$\alpha + \beta = {\alpha ^2} + {\beta ^2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે ${\alpha ^2} + {\beta ^2} = {(\alpha + \beta )^2} - 2\alpha \beta$.
બીજના સરવાળા અને ગુણાકારની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$-p = {(-p)^2} - 2q$
$-p = {p^2} - 2q$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
${p^2} + p = 2q$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2 - 3x + 1 = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = 3$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = 1$ થાય.
ધારો કે નવા બીજ $x_1 = \frac{1}{\alpha - 2}$ અને $x_2 = \frac{1}{\beta - 2}$ છે.
નવા બીજનો સરવાળો $S = x_1 + x_2 = \frac{1}{\alpha - 2} + \frac{1}{\beta - 2} = \frac{\beta - 2 + \alpha - 2}{(\alpha - 2)(\beta - 2)} = \frac{(\alpha + \beta) - 4}{\alpha \beta - 2(\alpha + \beta) + 4}$.
કિંમતો મૂકતા: $S = \frac{3 - 4}{1 - 2(3) + 4} = \frac{-1}{1 - 6 + 4} = \frac{-1}{-1} = 1$.
નવા બીજનો ગુણાકાર $P = x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{(\alpha - 2)(\beta - 2)} = \frac{1}{\alpha \beta - 2(\alpha + \beta) + 4}$.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{1}{1 - 2(3) + 4} = \frac{1}{1 - 6 + 4} = \frac{1}{-1} = -1$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - Sx + P = 0$ છે,જે $x^2 - (1)x + (-1) = 0$ એટલે કે $x^2 - x - 1 = 0$ આપે છે.

(B) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha + \beta = -b/a$ અને $\alpha\beta = c/a$ મળે.
નવા સમીકરણના બીજ $(\alpha - 1)$ અને $(\beta - 1)$ છે.
નવું સમીકરણ $2x^2 + 8x + 2 = 0$ છે,જેને $x^2 + 4x + 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
નવા સમીકરણ માટે,બીજનો સરવાળો $(\alpha - 1) + (\beta - 1) = -4/1 = -4$ થાય.
આમ,$(\alpha + \beta) - 2 = -4$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha + \beta = -2$.
$\alpha + \beta = -b/a$ મૂકતા,આપણને $-b/a = -2$ મળે,તેથી $b = 2a$.
નવા બીજનો ગુણાકાર $(\alpha - 1)(\beta - 1) = 1/1 = 1$ થાય.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$\alpha\beta - (\alpha + \beta) + 1 = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\alpha\beta - (\alpha + \beta) = 0$ થાય.
$\alpha\beta = c/a$ અને $\alpha + \beta = -2$ મૂકતા,$c/a - (-2) = 0$ મળે,તેથી $c/a + 2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $c = -2a$.
જેથી $b = 2a$ અને $c = -2a$ હોવાથી,$b = -c$ સાબિત થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $9x^2 + 6x + 1 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -b/a$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = c/a$ થાય છે.
અહીં,$\alpha + \beta = -6/9 = -2/3$ અને $\alpha\beta = 1/9$ છે.
આપણે એવું સમીકરણ શોધવાનું છે જેના બીજ $1/\alpha$ અને $1/\beta$ હોય.
નવા બીજનો સરવાળો $S = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{-2/3}{1/9} = -6$ થાય.
નવા બીજનો ગુણાકાર $P = \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{1}{1/9} = 9$ થાય.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - Sx + P = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - (-6)x + 9 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + 6x + 9 = 0$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $6x^2 - 6x + 1 = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha + \beta = -(-6)/6 = 1$ અને $\alpha\beta = 1/6$ મળે.
આપેલ પદાવલિ $\frac{1}{2}[a + b\alpha + c\alpha^2 + d\alpha^3] + \frac{1}{2}[a + b\beta + c\beta^2 + d\beta^3]$ છે.
આનું સાદું રૂપ $a + \frac{b}{2}(\alpha + \beta) + \frac{c}{2}(\alpha^2 + \beta^2) + \frac{d}{2}(\alpha^3 + \beta^3)$ થાય.
$\alpha + \beta = 1$ અને $\alpha\beta = 1/6$ મૂકતા:
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 1^2 - 2(1/6) = 1 - 1/3 = 2/3$.
$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = 1^3 - 3(1/6)(1) = 1 - 1/2 = 1/2$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= a + \frac{b}{2}(1) + \frac{c}{2}(2/3) + \frac{d}{2}(1/2) = a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3} + \frac{d}{4}$.

(A) આપેલ છે કે $\tan \alpha$ અને $\tan \beta$ એ $x^2 - px + q = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો પરથી,આપણી પાસે છે:
$\tan \alpha + \tan \beta = p$ $(i)$
$\tan \alpha \tan \beta = q$ $(ii)$
સરવાળા માટેના ટેન્જન્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{p}{1 - q}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2(\alpha + \beta) = \frac{\tan^2(\alpha + \beta)}{1 + \tan^2(\alpha + \beta)}$.
$\tan(\alpha + \beta)$ નું મૂલ્ય મૂકતા:
$\sin^2(\alpha + \beta) = \frac{(\frac{p}{1 - q})^2}{1 + (\frac{p}{1 - q})^2} = \frac{\frac{p^2}{(1 - q)^2}}{\frac{(1 - q)^2 + p^2}{(1 - q)^2}} = \frac{p^2}{p^2 + (1 - q)^2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x - m}{mx + 1} = \frac{x + n}{nx + 1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(x - m)(nx + 1) = (x + n)(mx + 1)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $nx^2 + x - mnx - m = mx^2 + x + mnx + n$.
પદોને ગોઠવતા: $(n - m)x^2 - 2mnx - (m + n) = 0$.
$-1$ વડે ગુણતા: $(m - n)x^2 + 2mnx + (m + n) = 0$.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\frac{1}{\alpha}$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ થાય છે.
તેથી,$\alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = \frac{m + n}{m - n}$.
$1 = \frac{m + n}{m - n}$.
$m - n = m + n$.
$-n = n$,જેનો અર્થ છે કે $2n = 0$,તેથી $n = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 5x + 16 = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે,તેથી:
$\alpha + \beta = 5$ અને $\alpha \beta = 16$.
સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ $\alpha^2 + \beta^2$ અને $\frac{\alpha \beta}{2}$ છે.
પ્રથમ,બીજનો સરવાળો શોધીએ:
$(\alpha^2 + \beta^2) + \frac{\alpha \beta}{2} = -p$
અહીં $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = 5^2 - 2(16) = 25 - 32 = -7$,
તેથી,$-7 + \frac{16}{2} = -p \Rightarrow -7 + 8 = -p \Rightarrow 1 = -p \Rightarrow p = -1$.
હવે,બીજનો ગુણાકાર શોધીએ:
$(\alpha^2 + \beta^2) \cdot \frac{\alpha \beta}{2} = q$
$(-7) \cdot \frac{16}{2} = q \Rightarrow -7 \cdot 8 = q \Rightarrow q = -56$.
આમ,$p = -1$ અને $q = -56$ મળે છે.

(B) ધારો કે $\alpha$ એ $x^2 - x + k = 0$ નું એક બીજ છે. તો $2\alpha$ એ $x^2 - x + 3k = 0$ નું એક બીજ છે.
આ બીજને સંબંધિત સમીકરણોમાં મૂકતા:
$1) \alpha^2 - \alpha + k = 0$
$2) (2\alpha)^2 - (2\alpha) + 3k = 0 \Rightarrow 4\alpha^2 - 2\alpha + 3k = 0$
સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $2\alpha^2 - 2\alpha + 2k = 0$.
આને સમીકરણ $(2)$ માંથી બાદ કરતા:
$(4\alpha^2 - 2\alpha + 3k) - (2\alpha^2 - 2\alpha + 2k) = 0 - 0$
$2\alpha^2 + k = 0 \Rightarrow \alpha^2 = -k/2$.
$\alpha^2 = -k/2$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$-k/2 - \alpha + k = 0 \Rightarrow \alpha = k/2$.
હવે,$\alpha^2 = (k/2)^2$ હોવાથી,$-k/2 = k^2/4$ મળે.
$k^2/4 + k/2 = 0 \Rightarrow k^2 + 2k = 0$.
$k(k + 2) = 0$,તેથી $k = 0$ અથવા $k = -2$.
$k=0$ લેવાથી બીજ શૂન્ય મળે છે,તેથી યોગ્ય કિંમત $k = -2$ છે.

(A) ધારો કે $r$ એ $G.P.$ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે. તેથી $\beta = \alpha r, \gamma = \alpha r^2, \delta = \alpha r^3$.
બીજના સરવાળા અને ગુણાકારના સૂત્ર મુજબ:
$\alpha + \beta = 1 \Rightarrow \alpha(1 + r) = 1$ $(i)$
$\alpha \beta = p \Rightarrow \alpha^2 r = p$ $(ii)$
$\gamma + \delta = 4 \Rightarrow \alpha r^2(1 + r) = 4$ $(iii)$
$\gamma \delta = q \Rightarrow \alpha^2 r^5 = q$ $(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને $r^2 = 4$ મળે છે,તેથી $r = \pm 2$.
જો $r = 2$ લઈએ,તો $\alpha(1+2) = 1 \Rightarrow \alpha = 1/3$ (જે પૂર્ણાંક નથી).
જો $r = -2$ લઈએ,તો $\alpha(1-2) = 1 \Rightarrow -\alpha = 1 \Rightarrow \alpha = -1$.
હવે $\alpha = -1$ અને $r = -2$ ને $(ii)$ અને $(iv)$ માં મૂકતા:
$p = (-1)^2(-2) = -2$.
$q = (-1)^2(-2)^5 = -32$.
આમ,$(p, q) = (-2, -32)$.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજનો $A.M.$ $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{8}{5}$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha + \beta = \frac{16}{5}$ $(i)$.
તેમના વ્યસ્તનો $A.M.$ $\frac{\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}}{2} = \frac{8}{7}$ આપેલ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{\alpha + \beta}{2\alpha\beta} = \frac{8}{7}$ મળે છે.
$(i)$ માંથી $\alpha + \beta$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{16/5}{2\alpha\beta} = \frac{8}{7}$ મળે.
$\frac{8}{5\alpha\beta} = \frac{8}{7} \Rightarrow 5\alpha\beta = 7 \Rightarrow \alpha\beta = \frac{7}{5}$ $(ii)$.
દ્વિઘાત સમીકરણનું સૂત્ર $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x^2 - (\frac{16}{5})x + \frac{7}{5} = 0$ મળે.
$5$ વડે ગુણતા,$5x^2 - 16x + 7 = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ ${x^2} - ax + b = 0$ ના સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી, તેના સંકર બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
આપેલ છે કે $1 - i$ એક બીજ છે, તેથી તેનું અનુબદ્ધ $1 + i$ પણ સમીકરણનું બીજ હોવું જોઈએ.
દ્વિઘાત સમીકરણ ${x^2} - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ માટે:
બીજનો સરવાળો $= (1 - i) + (1 + i) = 2$.
બીજનો ગુણાકાર $= (1 - i)(1 + i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2$.
આ સમીકરણને ${x^2} - ax + b = 0$ સાથે સરખાવતા, આપણને $a = 2$ અને $b = 2$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $3$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ ${x^2} + kx - 24 = 0$ નું એક બીજ છે.
સમીકરણમાં $x = 3$ મૂકતા:
${3^2} + k(3) - 24 = 0$
$9 + 3k - 24 = 0$
$3k - 15 = 0$
$3k = 15$
$k = 5$
હવે,આપણે ચકાસીએ કે $k = 5$ હોય ત્યારે $x = 3$ કયા સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
વિકલ્પ $(c)$ માટે: ${x^2} - kx + 6 = 0$
$x = 3$ અને $k = 5$ મૂકતા:
${3^2} - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$
પરિણામ $0$ મળતું હોવાથી,$3$ એ ${x^2} - kx + 6 = 0$ સમીકરણનું બીજ છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha^2 - 5\alpha + 3 = 0$ $(i)$ અને $\beta^2 - 5\beta + 3 = 0$ $(ii)$.
આનો અર્થ એ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 5x + 3 = 0$ નાં બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = 5$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = 3$ થાય.
આપણે એવું સમીકરણ શોધવાનું છે જેના બીજ $p = \alpha/\beta$ અને $q = \beta/\alpha$ હોય.
નવા બીજનો સરવાળો $p + q = \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}$ થાય.
કારણ કે $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 5^2 - 2(3) = 25 - 6 = 19$,તેથી $p + q = \frac{19}{3}$ મળે.
નવા બીજનો ગુણાકાર $pq = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{\beta}{\alpha} = 1$ થાય.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (p + q)x + pq = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - \frac{19}{3}x + 1 = 0$ મળે છે.
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $3x^2 - 19x + 3 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\alpha_1, \beta_1$ એ સમીકરણ $x^2 + ax + b = 0$ ના બીજ છે. બીજોનો તફાવત $|\alpha_1 - \beta_1| = \sqrt{a^2 - 4b}$ છે.
ધારો કે $\alpha_2, \beta_2$ એ સમીકરણ $x^2 + bx + a = 0$ ના બીજ છે. બીજોનો તફાવત $|\alpha_2 - \beta_2| = \sqrt{b^2 - 4a}$ છે.
આપેલ છે કે તફાવત સમાન છે,તેથી $\sqrt{a^2 - 4b} = \sqrt{b^2 - 4a}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $a^2 - 4b = b^2 - 4a$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$a^2 - b^2 + 4a - 4b = 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા,$(a - b)(a + b) + 4(a - b) = 0$ મળે છે.
કારણ કે $a \neq b$,આપણે $(a - b)$ વડે ભાગી શકીએ છીએ,જે $(a + b) + 4 = 0$ અથવા $a + b + 4 = 0$ આપે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: ${t^2}{x^2} + |x| + 9 = 0$.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $t$ માટે,પદ ${t^2}{x^2} \ge 0$ અને $|x| \ge 0$ થાય.
તેથી,પદાવલિ ${t^2}{x^2} + |x| + 9$ ની કિંમત $x$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત માટે ઓછામાં ઓછી $9$ થાય.
કારણ કે ${t^2}{x^2} + |x| + 9 \ge 9$,તેથી આ પદાવલિ ક્યારેય $0$ થઈ શકે નહીં.
આમ,સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.
પરિણામે,વાસ્તવિક બીજનો ગુણાકાર અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $12x^2 - mx + 5 = 0$ ના બીજ $2k$ અને $3k$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $2k + 3k = \frac{m}{12} \Rightarrow 5k = \frac{m}{12} \Rightarrow m = 60k$ ... $(i)$
બીજનો ગુણાકાર: $(2k)(3k) = \frac{5}{12} \Rightarrow 6k^2 = \frac{5}{12} \Rightarrow k^2 = \frac{5}{72} \Rightarrow k = \sqrt{\frac{5}{72}} = \frac{\sqrt{5}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{12}$.
સમીકરણ $(i)$ માં $k$ ની કિંમત મૂકતા:
$m = 60 \times \frac{\sqrt{10}}{12} = 5\sqrt{10}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ ${x^2} + px + q = 0$ ના સહગુણકો સંમેય હોવાથી,જો એક બીજ $2 + \sqrt{3}$ હોય,તો બીજું બીજ તેની અનુબદ્ધ કરણી $2 - \sqrt{3}$ થાય.
બીજનો સરવાળો $= (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$.
સમીકરણ મુજબ,બીજનો સરવાળો $-p$ છે.
તેથી,$-p = 4$,જેનો અર્થ છે કે $p = -4$.
બીજનો ગુણાકાર $= (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
સમીકરણ મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $q$ છે.
તેથી,$q = 1$.
આમ,$p$ અને $q$ ની કિંમતો $(p, q) = (-4, 1)$ છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $3\alpha$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + 3\alpha = -\frac{b}{a} \Rightarrow 4\alpha = -\frac{b}{a} \Rightarrow \alpha = -\frac{b}{4a}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot 3\alpha = \frac{c}{a} \Rightarrow 3\alpha^2 = \frac{c}{a}$.
$\alpha$ ની કિંમત ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$3\left(-\frac{b}{4a}\right)^2 = \frac{c}{a}$
$3\left(\frac{b^2}{16a^2}\right) = \frac{c}{a}$
$3b^2 = 16ac$.

(B) આપેલ સમીકરણ $3x^2 - 20x + 17 = 0$ છે.
જે સમીકરણના બીજ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજના વ્યસ્ત હોય તે મેળવવા માટે,આપણે $x$ ની જગ્યાએ $\frac{1}{x}$ મૂકીએ છીએ.
આપેલ સમીકરણમાં $\frac{1}{x}$ મૂકતા:
$3(\frac{1}{x})^2 - 20(\frac{1}{x}) + 17 = 0$
$\frac{3}{x^2} - \frac{20}{x} + 17 = 0$
આખા સમીકરણને $x^2$ વડે ગુણતા:
$3 - 20x + 17x^2 = 0$
પદોને ગોઠવતા,આપણને $17x^2 - 20x + 3 = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 2x + 4 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a}$ થાય.
અહીં,$\alpha + \beta = -\frac{2}{1} = -2$ અને $\alpha \beta = \frac{4}{1} = 4$ છે.
આપણે $\frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\beta^3}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\beta^3} = \frac{\alpha^3 + \beta^3}{(\alpha \beta)^3}$.
નિત્યસમ $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta(\alpha + \beta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\alpha^3 + \beta^3}{(\alpha \beta)^3} = \frac{(\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta(\alpha + \beta)}{(\alpha \beta)^3}$.
કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{(-2)^3 - 3(4)(-2)}{(4)^3} = \frac{-8 + 24}{64} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$.

(B) અહીં સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,જો $1 + i$ એક બીજ હોય,તો તેની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $1 - i$ પણ બીજ હોવું જોઈએ.
ધારો કે બીજ $\alpha = 1 + i$ અને $\beta = 1 - i$ છે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = (1 + i) + (1 - i) = 2$ થાય.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = (1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણનું સૂત્ર $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - 2x + 2 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x_1$ અને $x_2$ છે.
સમાંતર મધ્યક $\frac{x_1 + x_2}{2} = 9$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $x_1 + x_2 = 18$.
સમગુણોત્તર મધ્યક $\sqrt{x_1 x_2} = 4$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $x_1 x_2 = 4^2 = 16$.
દ્વિઘાત સમીકરણ જેના બીજ $x_1$ અને $x_2$ હોય તેનું સૂત્ર: $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - 18x + 16 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $6x^2 - 5x + 1 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -b/a$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = c/a$ થાય.
અહીં,$\alpha + \beta = -(-5)/6 = 5/6$ અને $\alpha \beta = 1/6$ છે.
આપણે નિત્યસમ $\tan^{-1} \alpha + \tan^{-1} \beta = \tan^{-1} \left( \frac{\alpha + \beta}{1 - \alpha \beta} \right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
કિંમતો મૂકતા: $\tan^{-1} \left( \frac{5/6}{1 - 1/6} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{5/6}{5/6} \right) = \tan^{-1}(1)$.
કારણ કે $\tan^{-1}(1) = \pi / 4$,તેથી અંતિમ કિંમત $\pi / 4$ છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - px + q = 0$ છે.
ધારો કે $a$ અને $b$ એ સમીકરણના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $a + b = -(\text{x નો સહગુણક}) / (\text{x}^2 \text{ નો સહગુણક}) = -(-p) / 1 = p$.
બીજનો ગુણાકાર: $ab = (\text{અચળ પદ}) / (\text{x}^2 \text{ નો સહગુણક}) = q / 1 = q$.
હવે,આપણે $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$.
$(a + b)$ અને $(ab)$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{p}{q}$ મળે છે.

(D) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\alpha^2$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = q$
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \alpha^2 = -p$
હવે,સરવાળાના સમીકરણની બંને બાજુ ઘન લેતા: $(\alpha + \alpha^2)^3 = (-p)^3$
નિત્યસમ $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha^3 + (\alpha^2)^3 + 3\alpha \cdot \alpha^2(\alpha + \alpha^2) = -p^3$
સમીકરણમાં $\alpha^3 = q$ અને $\alpha + \alpha^2 = -p$ મૂકતા:
$q + q^2 + 3q(-p) = -p^3$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$p^3 + q^2 + q - 3pq = 0$
$p^3 + q^2 + q(1 - 3p) = 0$

(A) આપેલ છે કે,$3$ એ સમીકરણ ${x^2} + ax + 3 = 0$ નું એક બીજ છે.
સમીકરણમાં $x = 3$ મૂકતા: ${3^2} + a(3) + 3 = 0$.
$9 + 3a + 3 = 0$ એટલે કે $3a = -12$,તેથી $a = -4$.
હવે,સમીકરણ ${x^2} + ax + b = 0$ ધ્યાનમાં લો. $a = -4$ મૂકતા,આપણને ${x^2} - 4x + b = 0$ મળે છે.
ધારો કે આ સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $3\alpha$ છે (કારણ કે એક બીજ બીજા બીજ કરતાં ત્રણ ગણું છે).
બીજના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$\alpha + 3\alpha = -(-4)/1 = 4$.
$4\alpha = 4$,જે આપે છે $\alpha = 1$.
તેથી બીજ $1$ અને $3(1) = 3$ છે.
બીજના ગુણાકારના સૂત્ર મુજબ,$\alpha \cdot 3\alpha = b/1$.
$1 \cdot 3 = b$,તેથી $b = 3$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha + \beta$,$\alpha^2 + \beta^2$,અને $\alpha^3 + \beta^3$ એ $G.P.$ માં છે.
તેથી,$(\alpha^2 + \beta^2)^2 = (\alpha + \beta)(\alpha^3 + \beta^3)$.
સંબંધો $\alpha + \beta = -b/a$ અને $\alpha\beta = c/a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha^2 + \beta^2 = (b^2 - 2ac)/a^2$.
$\alpha^3 + \beta^3 = (-b^3 + 3abc)/a^3$.
આ કિંમતોને $G.P.$ ની શરતમાં મૂકતા:
$((b^2 - 2ac)/a^2)^2 = (-b/a)((-b^3 + 3abc)/a^3)$.
$b^4 + 4a^2c^2 - 4ab^2c = b^4 - 3ab^2c$.
$4a^2c^2 - ab^2c = 0$.
$ac(4ac - b^2) = 0$.
અહીં $a \neq 0$ હોવાથી,$c(4ac - b^2) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $c\Delta = 0$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 - (p + 1)x + (p - 1) = 0$ છે.
ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = \frac{p + 1}{2}$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = \frac{p - 1}{2}$
આપેલ શરત: $\alpha - \beta = \alpha \beta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha \beta)^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$.
કિંમતો મૂકતા: $(\frac{p + 1}{2})^2 - 4(\frac{p - 1}{2}) = (\frac{p - 1}{2})^2$.
$\frac{(p + 1)^2}{4} - 2(p - 1) = \frac{(p - 1)^2}{4}$.
$4$ વડે ગુણતા: $(p + 1)^2 - 8(p - 1) = (p - 1)^2$.
$p^2 + 2p + 1 - 8p + 8 = p^2 - 2p + 1$.
$-6p + 9 = -2p + 1$.
$8 = 4p$.
$p = 2$.

(A) આપેલ છે કે $p$ અને $q$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 - 5x - 2 = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,બીજનો સરવાળો $p + q = -(-5)/3 = 5/3$ અને બીજનો ગુણાકાર $pq = -2/3$ છે.
આપણે એવું સમીકરણ શોધવાનું છે જેના બીજ $\alpha = 3p - 2q$ અને $\beta = 3q - 2p$ હોય.
બીજનો સરવાળો $(\alpha + \beta) = (3p - 2q) + (3q - 2p) = p + q = 5/3$.
બીજનો ગુણાકાર $(\alpha \beta) = (3p - 2q)(3q - 2p) = 9pq - 6p^2 - 6q^2 + 4pq = 13pq - 6(p^2 + q^2)$.
કારણ કે $p^2 + q^2 = (p + q)^2 - 2pq = (5/3)^2 - 2(-2/3) = 25/9 + 4/3 = 37/9$.
બીજનો ગુણાકાર $= 13(-2/3) - 6(37/9) = -26/3 - 74/3 = -100/3$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
$x^2 - (5/3)x - 100/3 = 0$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $3x^2 - 5x - 100 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $x = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots \infty}}}$ છે.
આ પદાવલિ અનંત હોવાથી,આપણે અંદરના ભાગને $x$ વડે બદલી શકીએ છીએ,તેથી $x = \sqrt{1 + x}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $x^2 = 1 + x$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - x - 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1, b = -1, c = -1$ છે,આપણને મળે છે:
$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
$x$ એ ધન સરવાળાનું વર્ગમૂળ દર્શાવતું હોવાથી,$x$ ની કિંમત $0$ કરતા મોટી હોવી જોઈએ.
તેથી,આપણે ઋણ ઉકેલ $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ ને અવગણીએ છીએ કારણ કે તે $0$ કરતા નાનો છે.
આમ,$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $|x^2| + |x| - 6 = 0$.
કારણ કે $|x^2| = |x|^2$,સમીકરણને $|x|^2 + |x| - 6 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
ધારો કે $|x| = t$,જ્યાં $t \ge 0$.
સમીકરણ $t^2 + t - 6 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t + 3)(t - 2) = 0$.
આથી $t = -3$ અથવા $t = 2$ મળે છે.
કારણ કે $t = |x| \ge 0$,આપણે $t = -3$ ને સ્વીકારી શકતા નથી.
તેથી,$|x| = 2$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$ અથવા $x = -2$.
બીજ $2$ અને $-2$ છે.
બીજનો સરવાળો $2 + (-2) = 0$ થાય છે.

(C) સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે પ્રમાણિત દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ છે.
ચાલો વિકલ્પ $(c)$ તપાસીએ: $\frac{2c}{-b \mp \sqrt{b^2 - 4ac}}$.
અંશ અને છેદને $(-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac})$ વડે ગુણીને છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{2c(-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac})}{(-b \mp \sqrt{b^2 - 4ac})(-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac})} = \frac{2c(-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac})}{b^2 - (b^2 - 4ac)} = \frac{2c(-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac})}{4ac} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
આમ,વિકલ્પ $(c)$ એ પ્રમાણિત દ્વિઘાત સૂત્રને સમાન છે.

(C) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $2x^2 + 3x + 5\lambda = 0$ અને $x^2 + 2x + 3\lambda = 0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$2\alpha^2 + 3\alpha + 5\lambda = 0$ --- $(1)$
અને $\alpha^2 + 2\alpha + 3\lambda = 0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $2\alpha^2 + 4\alpha + 6\lambda = 0$ --- $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(2\alpha^2 + 4\alpha + 6\lambda) - (2\alpha^2 + 3\alpha + 5\lambda) = 0$
$\alpha + \lambda = 0 \implies \alpha = -\lambda$
$\alpha = -\lambda$ ને સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$(-\lambda)^2 + 2(-\lambda) + 3\lambda = 0$
$\lambda^2 - 2\lambda + 3\lambda = 0$
$\lambda^2 + \lambda = 0$
$\lambda(\lambda + 1) = 0$
તેથી,$\lambda = 0$ અથવા $\lambda = -1$.

(A) સમીકરણ $x^2 + \lambda x + \mu = 0$ ના બીજ સમાન હોવા માટે,વિવેચક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $D = \lambda^2 - 4\mu = 0$,જે સૂચવે છે કે $\lambda^2 = 4\mu$.
આપેલ છે કે $x = 2$ એ સમીકરણ $x^2 + \lambda x - 12 = 0$ નું એક બીજ છે,તેથી આપણે સમીકરણમાં $x = 2$ મૂકીએ:
$2^2 + \lambda(2) - 12 = 0$
$4 + 2\lambda - 12 = 0$
$2\lambda - 8 = 0$
$2\lambda = 8$
$\lambda = 4$
હવે,$\lambda = 4$ ને સંબંધ $\lambda^2 = 4\mu$ માં મૂકતા:
$4^2 = 4\mu$
$16 = 4\mu$
$\mu = 4$
તેથી,$(\lambda, \mu) = (4, 4)$.