QUADRATIC EQUATION Questions in Hindi

(A) दिया गया समीकरण: $a(x^2 + 1) - (a^2 + 1)x = 0$
पदों का विस्तार करने पर: $ax^2 + a - a^2x - x = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $ax^2 - a^2x - x + a = 0$
पदों का समूह बनाने पर: $ax(x - a) - 1(x - a) = 0$
$(x - a)$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $(ax - 1)(x - a) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$ax - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{a}$
$x - a = 0 \implies x = a$
अतः,मूल $a$ और $\frac{1}{a}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण: ${x^4} - 8{x^2} - 9 = 0$
मान लीजिए ${x^2} = y$ है। तब समीकरण ${y^2} - 8y - 9 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: ${y^2} - 9y + y - 9 = 0$
$y(y - 9) + 1(y - 9) = 0$
$(y + 1)(y - 9) = 0$
अतः,$y = -1$ या $y = 9$ है।
${x^2} = y$ वापस प्रतिस्थापित करने पर:
स्थिति $1$: ${x^2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$।
स्थिति $2$: ${x^2} = -1 \Rightarrow x = \pm \sqrt{-1} = \pm i$।
इस प्रकार,मूल $\pm 3, \pm i$ हैं।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण: $ix^2 - 4x - 4i = 0$
पूरे समीकरण को $i$ से विभाजित करने पर (या $-i$ से गुणा करने पर):
$x^2 - (4/i)x - 4 = 0$
चूंकि $1/i = -i$,इसलिए:
$x^2 + 4ix - 4 = 0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$x^2 + 2ix + 2ix + (2i)^2 = 0$
$(x + 2i)^2 = 0$
अतः,मूल $x = -2i, -2i$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $x^{2/3} + x^{1/3} - 2 = 0$
मान लीजिए $a = x^{1/3}$। तब समीकरण $a$ के रूप में एक द्विघात समीकरण बन जाता है:
$a^2 + a - 2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$a^2 + 2a - a - 2 = 0$
$a(a + 2) - 1(a + 2) = 0$
$(a - 1)(a + 2) = 0$
अतः,$a = 1$ या $a = -2$ है।
अब,$a = x^{1/3}$ वापस रखने पर:
स्थिति $1$: $x^{1/3} = 1 \implies x = 1^3 = 1$
स्थिति $2$: $x^{1/3} = -2 \implies x = (-2)^3 = -8$
इस प्रकार,मूल $1, -8$ हैं।

(B) दिया गया है $x = 2 + 2^{2/3} + 2^{1/3}$.
दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर,हमें $x - 2 = 2^{2/3} + 2^{1/3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घन करने पर,हम सर्वसमिका $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$ का उपयोग करते हैं।
$(x - 2)^3 = (2^{2/3})^3 + (2^{1/3})^3 + 3(2^{2/3})(2^{1/3})(2^{2/3} + 2^{1/3})$.
$(x - 2)^3 = 2^2 + 2^1 + 3(2^1)(x - 2)$.
$x^3 - 3(x^2)(2) + 3(x)(2^2) - 2^3 = 4 + 2 + 6(x - 2)$.
$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 6 + 6x - 12$.
$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 6x - 6$.
$x^3 - 6x^2 + 6x$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^3 - 6x^2 + 6x = 8 - 12 + 6 = 2$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $8\sec^2 \theta - 6\sec \theta + 1 = 0$ है।
माना $x = \sec \theta$. तो समीकरण $8x^2 - 6x + 1 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $8x^2 - 4x - 2x + 1 = 0$.
$4x(2x - 1) - 1(2x - 1) = 0$.
$(4x - 1)(2x - 1) = 0$.
इससे $x = \frac{1}{4}$ या $x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अर्थात,$\sec \theta = \frac{1}{4}$ या $\sec \theta = \frac{1}{2}$.
हालाँकि,$\theta$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए,$\sec \theta$ का परिसर $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ होता है।
चूंकि $\frac{1}{4}$ और $\frac{1}{2}$ दोनों $(-1, 1)$ अंतराल में स्थित हैं,इसलिए $\theta$ का कोई भी वास्तविक मान इन समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,मूलों की संख्या $0$ है।

(D) दिया गया समीकरण $\sqrt{3x + 1} + 1 = \sqrt{x}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{3x + 1} = \sqrt{x} - 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\sqrt{3x + 1})^2 = (\sqrt{x} - 1)^2$
$3x + 1 = x + 1 - 2\sqrt{x}$.
समीकरण को सरल करने पर:
$2x = -2\sqrt{x}$
$x = -\sqrt{x}$.
पुनः वर्ग करने पर:
$x^2 = x$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$,जिससे $x = 0$ या $x = 1$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ की जाँच करने पर: $\sqrt{3(0) + 1} + 1 = 1 + 1 = 2$,जबकि $\sqrt{0} = 0$ है। चूँकि $2 \neq 0$,इसलिए $x = 0$ हल नहीं है।
$x = 1$ की जाँच करने पर: $\sqrt{3(1) + 1} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3$,जबकि $\sqrt{1} = 1$ है। चूँकि $3 \neq 1$,इसलिए $x = 1$ हल नहीं है।
अतः,दिए गए समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(B) माना कि अभीष्ट संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,संख्या अपने धनात्मक वर्गमूल से $12$ अधिक है,इसलिए हमें समीकरण प्राप्त होता है:
$x = \sqrt{x} + 12$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x - 12 = \sqrt{x}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x - 12)^2 = x$
$x^2 - 24x + 144 = x$
$x^2 - 25x + 144 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x - 16)(x - 9) = 0$
इससे $x = 16$ या $x = 9$ प्राप्त होता है।
मानों की जाँच करने पर:
यदि $x = 16$ है,तो $\sqrt{16} = 4$। $16 - 4 = 12$। (यह शर्त को पूरा करता है)।
यदि $x = 9$ है,तो $\sqrt{9} = 3$। $9 - 3 = 6 \neq 12$। (यह शर्त को पूरा नहीं करता है)।
अतः,सही संख्या $16$ है।

(B) दिया गया समीकरण $3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$ है, जिसे $(3^x)^2 - 10(3^x) + 9 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $a = 3^x$ है। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:
$a^2 - 10a + 9 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(a - 9)(a - 1) = 0$
इससे $a = 9$ और $a = 1$ प्राप्त होते हैं।
अब, $a = 3^x$ वापस रखने पर:
$a = 9$ के लिए: $3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x = 2$.
$a = 1$ के लिए: $3^x = 1 \Rightarrow 3^x = 3^0 \Rightarrow x = 0$.
अतः, समीकरण के मूल $x = 0$ और $x = 2$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: ${x^{2/3}} - 7{x^{1/3}} + 10 = 0$ है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: ${({x^{1/3}})^2} - 7({x^{1/3}}) + 10 = 0$।
माना $a = {x^{1/3}}$। समीकरण में $a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: ${a^2} - 7a + 10 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(a - 5)(a - 2) = 0$।
इससे हमें मूल प्राप्त होते हैं: $a = 5$ या $a = 2$।
चूंकि $a = {x^{1/3}}$,इसलिए $x = {a^3}$ होगा।
$a = 5$ के लिए,$x = {5^3} = 125$।
$a = 2$ के लिए,$x = {2^3} = 8$।
अतः,हल समुच्चय ${125, 8}$ है।

(C) दिए गए समीकरण ${x^2} + {y^2} = 25$ और $xy = 12$ हैं।
दूसरे समीकरण से,हमें $y = \frac{12}{x}$ प्राप्त होता है।
इस मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: ${x^2} + {\left( \frac{12}{x} \right)^2} = 25$।
इसे सरल करने पर ${x^2} + \frac{144}{x^2} = 25$ प्राप्त होता है।
${x^2}$ से गुणा करने पर,${x^4} + 144 = 25{x^2}$ मिलता है,जिसे ${x^4} - 25{x^2} + 144 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $u = {x^2}$,तो ${u^2} - 25u + 144 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(u - 16)(u - 9) = 0$।
अतः,${x^2} = 16$ या ${x^2} = 9$।
वर्गमूल लेने पर,हमें $x = \pm 4$ या $x = \pm 3$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$x$ के संभावित मान $\{3, 4, -3, -4\}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $x^{\log_x(1 - x)^2} = 9$ है।
लघुगणक के गुणधर्म $a^{\log_a(M)} = M$ का उपयोग करने पर,समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आता है:
$(1 - x)^2 = 9$।
वर्ग का विस्तार करने पर:
$1 - 2x + x^2 = 9$।
द्विघात समीकरण बनाने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - 2x - 8 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x - 4)(x + 2) = 0$।
इससे संभावित हल $x = 4$ और $x = -2$ प्राप्त होते हैं।
अब,हमें मूल लघुगणकीय पद $\log_x(1 - x)^2$ में इन हलों की वैधता की जांच करनी होगी। लघुगणक का आधार $x$ को $x > 0$ और $x \neq 1$ की शर्त को पूरा करना चाहिए।
$x = 4$ के लिए: आधार $4$ है,जो मान्य है ($4 > 0$ और $4 \neq 1$)।
$x = -2$ के लिए: आधार $-2$ है,जो अमान्य है क्योंकि लघुगणक का आधार हमेशा धनात्मक होना चाहिए।
अतः,केवल सही हल $x = 4$ है।

(A) यदि परिमेय गुणांकों वाले द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ (जहाँ $a, b, c$ पूर्णांक हैं,जो परिमेय संख्याएँ हैं) का एक मूल $\alpha + \sqrt{\beta}$ के रूप में हो (जहाँ $\sqrt{\beta}$ अपरिमेय है),तो दूसरा मूल अनिवार्य रूप से इसका संयुग्मी $\alpha - \sqrt{\beta}$ होगा।
यहाँ दिया गया एक मूल $3 + \sqrt{5}$ है,इसलिए दूसरा मूल $3 - \sqrt{5}$ होगा।

(D) दिया गया समीकरण: $|x|^2 - 3|x| + 2 = 0$.
माना $|x| = t$ है। चूँकि $|x| \ge 0$,इसलिए $t \ge 0$ होगा।
समीकरण $t^2 - 3t + 2 = 0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 1)(t - 2) = 0$.
इससे $t = 1$ या $t = 2$ प्राप्त होता है।
स्थिति $I$: $|x| = 1 \Rightarrow x = 1, -1$.
स्थिति $II$: $|x| = 2 \Rightarrow x = 2, -2$.
अतः,वास्तविक हल $x \in \{1, -1, 2, -2\}$ हैं।
वास्तविक हलों की कुल संख्या $4$ है।

(D) दिया गया समीकरण: ${e^{\sin x}} - {e^{-\sin x}} - 4 = 0$.
माना ${e^{\sin x}} = y$ है। चूँकि ${e^{\sin x}} > 0$,इसलिए $y > 0$ होगा।
समीकरण $y - \frac{1}{y} - 4 = 0$ बन जाता है।
$y$ से गुणा करने पर,हमें ${y^2} - 4y - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $y > 0$ है और $\sqrt{5} \approx 2.236$ है,इसलिए हमें $y = 2 + \sqrt{5}$ लेना होगा।
अतः,${e^{\sin x}} = 2 + \sqrt{5}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\sin x = \ln(2 + \sqrt{5})$।
चूँकि $\sqrt{5} > 1$ है,इसलिए $2 + \sqrt{5} > 3$ होगा। अतः,$\ln(2 + \sqrt{5}) > \ln(3) > 1$ होगा।
हालाँकि,$\sin x$ का परिसर $[-1, 1]$ होता है।
चूँकि $\ln(2 + \sqrt{5}) > 1$ है,इसलिए $x$ का कोई भी वास्तविक मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,वास्तविक मूलों की संख्या $0$ (कोई नहीं) है।

(B) दिया गया समीकरण $|x^2 + 4x + 3| + 2x + 5 = 0$ है।
स्थिति $I$: $x^2 + 4x + 3 \ge 0$
इसका अर्थ है $(x+1)(x+3) \ge 0$,अतः $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, \infty)$।
समीकरण $x^2 + 4x + 3 + 2x + 5 = 0$ हो जाता है,जो सरल होकर $x^2 + 6x + 8 = 0$ बनता है।
गुणनखंड करने पर $(x+2)(x+4) = 0$ मिलता है,अतः $x = -2$ या $x = -4$।
शर्त की जाँच करने पर: $x = -4$ शर्त $x \in (-\infty, -3]$ को संतुष्ट करता है,लेकिन $x = -2$ शर्त $x \in [-1, \infty)$ को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,$x = -4$ एक मान्य हल है।
स्थिति $II$: $x^2 + 4x + 3 < 0$
इसका अर्थ है $x \in (-3, -1)$।
समीकरण $-(x^2 + 4x + 3) + 2x + 5 = 0$ हो जाता है,जो सरल होकर $-x^2 - 2x + 2 = 0$ या $x^2 + 2x - 2 = 0$ बनता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$।
शर्त की जाँच करने पर: $\sqrt{3} \approx 1.732$।
$x_1 = -1 + 1.732 = 0.732$ (शर्त $x \in (-3, -1)$ को संतुष्ट नहीं करता है)।
$x_2 = -1 - 1.732 = -2.732$ (शर्त $x \in (-3, -1)$ को संतुष्ट करता है)।
अतः,$x = -1 - \sqrt{3}$ एक मान्य हल है।
इस प्रकार,कुल दो वास्तविक हल हैं।

(C) दिया गया समीकरण $(p - q)x^2 + (q - r)x + (r - p) = 0$ है।
यहाँ गुणांकों का योग $(p - q) + (q - r) + (r - p) = p - q + q - r + r - p = 0$ है।
यदि किसी द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के गुणांकों का योग शून्य है,तो $x = 1$ हमेशा एक मूल होता है।
माना मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। हम जानते हैं कि मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ होता है।
यहाँ,$\alpha = 1$,इसलिए $1 \cdot \beta = \frac{r - p}{p - q}$।
अतः,मूल $1$ और $\frac{r - p}{p - q}$ हैं।

(C) दिया गया है कि $4$ समीकरण $x^2 + px + 12 = 0$ का एक मूल है।
समीकरण में $x = 4$ प्रतिस्थापित करने पर: $(4)^2 + p(4) + 12 = 0$.
$16 + 4p + 12 = 0$.
$4p + 28 = 0$.
$4p = -28$,जिससे $p = -7$ प्राप्त होता है।
अब,दूसरा समीकरण $x^2 + px + q = 0$ लें। $p = -7$ रखने पर,हमें $x^2 - 7x + q = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि इस समीकरण के मूल समान हैं,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $D$ शून्य होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac = 0$.
$(-7)^2 - 4(1)(q) = 0$.
$49 - 4q = 0$.
$4q = 49$.
अतः,$q = 49/4$।

(D) दिया गया समीकरण: $x - \frac{2}{x - 1} = 1 - \frac{2}{x - 1}$ है।
समीकरण को परिभाषित होने के लिए,हर (denominator) शून्य नहीं होना चाहिए,इसलिए $x - 1 \neq 0$,जिसका अर्थ है $x \neq 1$।
समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{2}{x - 1}$ जोड़ने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,हमारे पास मूल समीकरण से शर्त $x \neq 1$ है।
चूंकि एकमात्र संभावित समाधान $x = 1$ समीकरण के डोमेन (domain) द्वारा वर्जित है,इसलिए इस समीकरण का कोई मूल नहीं है।

(D) दिया गया समीकरण: $x + \frac{1}{x} = 2$ (जहाँ $x \neq 0$ है)।
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$x^2 + 1 = 2x$
पदों को व्यवस्थित करके मानक द्विघात समीकरण प्राप्त करने पर:
$x^2 - 2x + 1 = 0$
यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है,जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(x - 1)^2 = 0$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x - 1 = 0$
$x = 1$
अतः,$x = 1$ हल है,जो विकल्पों $A, B,$ या $C$ में नहीं दिया गया है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए, मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $2x^2 + 6x + (\alpha^2 + 1) = 0$ की तुलना मानक रूप से करने पर, हमें $a = 2$ और $c = \alpha^2 + 1$ प्राप्त होता है।
मूलों का गुणनफल $\frac{\alpha^2 + 1}{2}$ है।
प्रश्न के अनुसार, मूलों का गुणनफल $-\alpha$ है।
इसलिए, $\frac{\alpha^2 + 1}{2} = -\alpha$ है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर, हमें $\alpha^2 + 1 = -2\alpha$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर, हमें $\alpha^2 + 2\alpha + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है: $(\alpha + 1)^2 = 0$।
$\alpha$ के लिए हल करने पर, हमें $\alpha = -1$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sqrt {3x^2 - 7x - 30} + \sqrt {2x^2 - 7x - 5} = x + 5$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sqrt {3x^2 - 7x - 30} = (x + 5) - \sqrt {2x^2 - 7x - 5}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$3x^2 - 7x - 30 = (x + 5)^2 + (2x^2 - 7x - 5) - 2(x + 5)\sqrt {2x^2 - 7x - 5}$
$3x^2 - 7x - 30 = 3x^2 + 3x + 20 - 2(x + 5)\sqrt {2x^2 - 7x - 5}$
$-10x - 50 = -2(x + 5)\sqrt {2x^2 - 7x - 5}$
$5(x + 5) = (x + 5)\sqrt {2x^2 - 7x - 5}$
स्थिति $1$: $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$. मूल समीकरण में जाँच करने पर, यह हल मान्य नहीं है।
स्थिति $2$: $5 = \sqrt {2x^2 - 7x - 5}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $25 = 2x^2 - 7x - 5$
$2x^2 - 7x - 30 = 0$
$(2x + 5)(x - 6) = 0$
$x = 6$ या $x = -2.5$. $x = 6$ को मूल समीकरण में रखने पर: $\sqrt{36} + \sqrt{25} = 11$, जो सत्य है।
अतः, $x = 6$।

(B) माना कि $x = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots \infty}}$.
चूंकि यह व्यंजक अनंत है,हम पुनरावृत्त भाग को $x$ के रूप में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$x = 2 + \frac{1}{x}$.
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 = 2x + 1$ प्राप्त होता है,जो द्विघात समीकरण $x^2 - 2x - 1 = 0$ में बदल जाता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = 1, b = -2, c = -1$ है:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
चूंकि व्यंजक $2 + \frac{1}{2 + \dots}$ धनात्मक होना चाहिए और $2$ से बड़ा होना चाहिए,इसलिए हम $1 - \sqrt{2}$ (जो ऋणात्मक है) को अस्वीकार करते हैं।
अतः,सही उत्तर $1 + \sqrt{2}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: ${2^{x + 2}} \cdot {3^{3x/(x - 1)}} = {3^2}$
दोनों पक्षों में $\log$ लेने पर:
$(x + 2)\log 2 + \frac{{3x}}{{x - 1}}\log 3 = 2\log 3$
$(x + 2)\log 2 = 2\log 3 - \frac{{3x}}{{x - 1}}\log 3$
$(x + 2)\log 2 = \log 3 \left( {2 - \frac{{3x}}{{x - 1}}} \right)$
$(x + 2)\log 2 = \log 3 \left( {\frac{{2x - 2 - 3x}}{{x - 1}}} \right)$
$(x + 2)\log 2 = \log 3 \left( {\frac{{ - x - 2}}{{x - 1}}} \right)$
$(x + 2)\log 2 = - \log 3 \left( {\frac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)$
$(x + 2) \left[ {\log 2 + \frac{{\log 3}}{{x - 1}}} \right] = 0$
स्थिति $1$: $x + 2 = 0 \implies x = -2$
स्थिति $2$: $\log 2 + \frac{{\log 3}}{{x - 1}} = 0$
$\frac{{\log 3}}{{x - 1}} = - \log 2$
$x - 1 = - \frac{{\log 3}}{{\log 2}}$
$x = 1 - \frac{{\log 3}}{{\log 2}}$
अतः,मूल $-2$ और $1 - \frac{{\log 3}}{{\log 2}}$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ है।
इस समीकरण के मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
मान लीजिए $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ है।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha^{19}$ और $\beta^7$ हैं।
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\alpha^{19} = \omega^{19} = (\omega^3)^6 \cdot \omega = 1^6 \cdot \omega = \omega$ है।
इसी प्रकार,$\beta^7 = (\omega^2)^7 = \omega^{14} = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$ है।
नए समीकरण के मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
अतः,अभीष्ट समीकरण मूल समीकरण के समान ही होगा: $x^2 + x + 1 = 0$।

(C) दिए गए समीकरण के लिए क्रांतिक बिंदु $x = 2$ और $x = 3$ हैं।
स्थिति $1$: यदि $x < 2$ है,तो $|x - 2| = -(x - 2)$ और $|x - 3| = -(x - 3)$ होगा।
समीकरण $-(x - 2) - (x - 3) = 7$ बन जाता है,जो सरल होकर $-x + 2 - x + 3 = 7$ यानी $-2x + 5 = 7$ हो जाता है।
$-2x = 2$,अतः $x = -1$। चूंकि $-1 < 2$,यह एक मान्य हल है।
स्थिति $2$: यदि $2 \le x < 3$ है,तो $|x - 2| = x - 2$ और $|x - 3| = -(x - 3)$ होगा।
समीकरण $(x - 2) - (x - 3) = 7$ बन जाता है,जो सरल होकर $x - 2 - x + 3 = 7$ यानी $1 = 7$ हो जाता है।
यह एक विरोधाभास है,इसलिए इस अंतराल में कोई हल नहीं है।
स्थिति $3$: यदि $x \ge 3$ है,तो $|x - 2| = x - 2$ और $|x - 3| = x - 3$ होगा।
समीकरण $(x - 2) + (x - 3) = 7$ बन जाता है,जो सरल होकर $2x - 5 = 7$ यानी $2x = 12$ हो जाता है।
अतः,$x = 6$। चूंकि $6 \ge 3$,यह एक मान्य हल है।
इसलिए,हल $x = 6$ या $x = -1$ हैं।

(D) $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का द्विघात समीकरण अधिकतम दो भिन्न मूल रख सकता है,जब तक कि वह एक सर्वसमिका (identity) न हो।
यदि किसी समीकरण के दो से अधिक भिन्न मूल हैं,तो उसे यह शर्त पूरी करनी होगी कि उसके सभी गुणांक शून्य हों।
अतः,समीकरण के तीन भिन्न मूल ${x_1}, {x_2}, {x_3}$ होने के लिए,इसे एक सर्वसमिका होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $a = 0, b = 0$ और $c = 0$।

(D) दिया गया समीकरण: $|x|^2 - 7|x| + 12 = 0$.
माना $|x| = t$,जहाँ $t \ge 0$.
समीकरण $t^2 - 7t + 12 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 4)(t - 3) = 0$.
इससे $t$ के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: $t = 4$ या $t = 3$.
$|x| = t$ वापस रखने पर:
स्थिति $1$: $|x| = 4 \implies x = 4$ या $x = -4$.
स्थिति $2$: $|x| = 3 \implies x = 3$ या $x = -3$.
अतः,मूल $x \in \{4, -4, 3, -3\}$ हैं।
मूलों की कुल संख्या $4$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{\log 5 + \log (x^2 + 1)}{\log (x - 2)} = 2$.
लघुगणकीय पदों के परिभाषित होने के लिए,$x - 2 > 0$ और $x - 2 \neq 1$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x > 2$ और $x \neq 3$.
$\log a + \log b = \log (ab)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,समीकरण $\log (5(x^2 + 1)) = 2 \log (x - 2)$ हो जाता है।
$n \log a = \log (a^n)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें $\log (5x^2 + 5) = \log ((x - 2)^2)$ प्राप्त होता है।
तर्कों की तुलना करने पर: $5x^2 + 5 = x^2 - 4x + 4$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $4x^2 + 4x + 1 = 0$.
यह एक पूर्ण वर्ग है: $(2x + 1)^2 = 0$,जिससे $x = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,डोमेन की शर्त के अनुसार $x > 2$ होना आवश्यक है। चूँकि $x = -\frac{1}{2}$ शर्त $x > 2$ को संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए कोई वैध हल नहीं है।
अतः,हलों की संख्या $0$ है।

(A) दिया गया है $x = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}.$
वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर: $7 + 4\sqrt{3} = 4 + 3 + 2(2)(\sqrt{3}) = (2 + \sqrt{3})^2.$
अतः,$x = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}.$
अब,$\frac{1}{x}$ ज्ञात करें:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}.$
अंत में,$x + \frac{1}{x}$ की गणना करें:
$x + \frac{1}{x} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4.$

(D) माना $t = \log_2 x$ है। तब समीकरण $t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}$ हो जाता है।
$3t$ से गुणा करने पर,हमें $3t^2 - 10t + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3t^2 - 9t - t + 3 = 0 \Rightarrow 3t(t - 3) - 1(t - 3) = 0$।
इससे $(3t - 1)(t - 3) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $t = 3$ या $t = 1/3$ है।
चूंकि $x \neq y$ है,हम $\log_2 x = 3$ और $\log_2 y = 1/3$ निर्धारित करते हैं (या इसके विपरीत)।
अतः,$x = 2^3 = 8$ और $y = 2^{1/3} = \sqrt[3]{2}$ है।
इसलिए,$x + y = 8 + \sqrt[3]{2}$।

(C) दिया गया व्यंजक $x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}$ है।
चूंकि व्यंजक अनंत तक दोहराया जाता है,हम इसे $x = \sqrt{2 + x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x^2 = 2 + x$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें द्विघात समीकरण $x^2 - x - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x - 2)(x + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे मूल $x = 2$ और $x = -1$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि एक धनात्मक संख्या का वर्गमूल हमेशा धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $x$ का मान $-1$ नहीं हो सकता है।
अतः,$x$ का मान $2$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $4^x - 3^{x - 1/2} = 3^{x + 1/2} - 2^{2x - 1}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$2^{2x} + 2^{2x - 1} = 3^{x + 1/2} + 3^{x - 1/2}$
$2^{2x}(1 + 1/2) = 3^{x - 1/2}(3 + 1)$
$2^{2x} \cdot (3/2) = 3^{x - 1/2} \cdot 4$
$2^{2x} \cdot 3 \cdot 2^{-1} = 3^{x - 1/2} \cdot 2^2$
$2^{2x - 1} \cdot 3 = 3^{x - 1/2} \cdot 2^2$
$2^{2x - 3} = 3^{x - 1/2 - 1} = 3^{x - 3/2}$
दोनों पक्षों का लघुगणक (log) लेने पर:
$(2x - 3) \log 2 = (x - 3/2) \log 3$
$2x \log 2 - 3 \log 2 = x \log 3 - (3/2) \log 3$
$x(2 \log 2 - \log 3) = 3 \log 2 - (3/2) \log 3$
$x \log(4/3) = \log(2^3) - \log(3^{3/2})$
$x \log(4/3) = \log(8 / (3\sqrt{3}))$
चूंकि $8 / (3\sqrt{3}) = (4/3)^{3/2}$,इसलिए:
$x \log(4/3) = (3/2) \log(4/3)$
अतः,$x = 3/2$.

(A) माना $f(x) = e^x - x - 1$ है।
मूल ज्ञात करने के लिए,हम फलन $f(x)$ का विश्लेषण करते हैं।
इसका अवकलज $f'(x) = e^x - 1$ है।
$f'(x) = 0$ रखने पर $e^x = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 0$ है।
$x = 0$ पर,$f(0) = e^0 - 0 - 1 = 1 - 1 = 0$ है।
चूंकि $x < 0$ के लिए $f'(x) < 0$ और $x > 0$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ का $x = 0$ पर न्यूनतम मान है।
न्यूनतम मान $0$ होने के कारण,$f(x)$ का ग्राफ $x$-अक्ष को केवल $x = 0$ पर स्पर्श करता है।
अतः,समीकरण का केवल एक वास्तविक मूल $x = 0$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{4x - 1}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1})^2 = (\sqrt{4x - 1})^2$
$(x + 1) + (x - 1) - 2\sqrt{(x + 1)(x - 1)} = 4x - 1$
$2x - 2\sqrt{x^2 - 1} = 4x - 1$
$-2\sqrt{x^2 - 1} = 2x - 1$
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(-2\sqrt{x^2 - 1})^2 = (2x - 1)^2$
$4(x^2 - 1) = 4x^2 - 4x + 1$
$4x^2 - 4 = 4x^2 - 4x + 1$
$-4 = -4x + 1$
$4x = 5$
$x = 5/4$
मूल समीकरण में हल की जाँच करने पर:
बायां पक्ष: $\sqrt{5/4 + 1} - \sqrt{5/4 - 1} = \sqrt{9/4} - \sqrt{1/4} = 3/2 - 1/2 = 2/2 = 1$
दायां पक्ष: $\sqrt{4(5/4) - 1} = \sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2$
चूंकि $1 \neq 2$,इसलिए $x = 5/4$ एक बाह्य हल है।
अतः,समीकरण का कोई हल नहीं है।

(B) दिया गया समीकरण: $\log_e x + \log_e(1 + x) = 0$
लघुगणक के गुणधर्म $\log_e a + \log_e b = \log_e(ab)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\log_e(x(1 + x)) = 0$
प्राकृतिक लघुगणक की परिभाषा के अनुसार,यदि $\log_e y = 0$ है,तो $y = e^0 = 1$ होता है।
इसलिए,$x(1 + x) = 1$
$x^2 + x = 1$
$x^2 + x - 1 = 0$
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(C) दिया गया व्यंजक $x = \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots \infty}}}$ है।
चूंकि व्यंजक अनंत तक दोहराया जाता है,हम इसे $x = \sqrt{6 + x}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x^2 = 6 + x$ प्राप्त होता है,जहाँ $x > 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर द्विघात समीकरण $x^2 - x - 6 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 3)(x + 2) = 0$।
इससे $x = 3$ या $x = -2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ धनात्मक होना चाहिए (क्योंकि यह एक वर्गमूल है),हम $x = -2$ को छोड़ देते हैं।
अतः,$x = 3$।

(D) दिया गया समीकरण: ${x^2} + 5|x| + 4 = 0$.
चूंकि ${x^2} = |x|^2$,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं: $|x|^2 + 5|x| + 4 = 0$.
माना $|x| = t$,जहाँ $t \ge 0$ है। समीकरण इस प्रकार हो जाता है: ${t^2} + 5t + 4 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t + 1)(t + 4) = 0$.
इससे हमें $t = -1$ या $t = -4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|x| = t$ और किसी वास्तविक संख्या का निरपेक्ष मान हमेशा गैर-ऋणात्मक $(|x| \ge 0)$ होना चाहिए,इसलिए $t = -1$ और $t = -4$ संभव नहीं हैं।
अतः,$x$ का कोई भी वास्तविक मान नहीं है जो इस समीकरण को संतुष्ट करे।
इस प्रकार,समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(A) दिया गया समीकरण: $\log_{4}\{\log_{2}(\sqrt{x+8} - \sqrt{x})\} = 0$
लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\log_{b}(a) = c \Rightarrow a = b^{c}$:
$\log_{2}(\sqrt{x+8} - \sqrt{x}) = 4^{0} = 1$
पुनः लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करने पर:
$\sqrt{x+8} - \sqrt{x} = 2^{1} = 2$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\sqrt{x+8} = 2 + \sqrt{x}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x + 8 = (2 + \sqrt{x})^{2}$
$x + 8 = 4 + x + 4\sqrt{x}$
दोनों पक्षों से $x$ और $4$ घटाने पर:
$4 = 4\sqrt{x}$
$1 = \sqrt{x}$
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x = 1$
सत्यापन: $x=1$ के लिए,$\sqrt{1+8} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$। अतः $\log_{2}(2) = 1$,और $\log_{4}(1) = 0$। अतः मूल $x=1$ सही है।

(D) दिया गया समीकरण $|x - 2| = x^2$ है।
स्थिति $1$: यदि $x - 2 \ge 0$ (अर्थात $x \ge 2$),तो $x - 2 = x^2$,जिसका अर्थ है $x^2 - x + 2 = 0$। विविक्तकर $D = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 < 0$ है। अतः,इस स्थिति में कोई वास्तविक मूल नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $x - 2 < 0$ (अर्थात $x < 2$),तो $-(x - 2) = x^2$,जिसका अर्थ है $2 - x = x^2$,या $x^2 + x - 2 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 2x - x - 2 = 0 \Rightarrow x(x + 2) - 1(x + 2) = 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 2) = 0$।
इससे $x = 1$ या $x = -2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1 < 2$ और $-2 < 2$ दोनों ही स्थिति का पालन करते हैं,इसलिए दोनों मान्य हल हैं।
अतः,हलों का समुच्चय $\{1, -2\}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\log_4(x - 1) = \log_2(x - 3)$
सबसे पहले,डोमेन निर्धारित करें: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ और $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$. अतः,$x > 3$.
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{a^n}(b) = \frac{1}{n}\log_a(b)$ का उपयोग करने पर,$\log_4(x - 1) = \frac{1}{2}\log_2(x - 1)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{2}\log_2(x - 1) = \log_2(x - 3)$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$\log_2(x - 1) = 2\log_2(x - 3) = \log_2((x - 3)^2)$.
तर्कों की तुलना करने पर: $x - 1 = (x - 3)^2$.
$x - 1 = x^2 - 6x + 9$.
$x^2 - 7x + 10 = 0$.
$(x - 5)(x - 2) = 0$.
इससे $x = 5$ या $x = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि डोमेन की शर्त $x > 3$ है,इसलिए $x = 2$ एक अमान्य हल है।
अतः,केवल एक ही हल $x = 5$ है।
इसलिए,हलों की संख्या $1$ है।

(A) माना $y = |x - 2|$ है। चूँकि $|x - 2| \ge 0$,इसलिए $y \ge 0$ होगा।
समीकरण $y^2 + y - 6 = 0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(y + 3)(y - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $y = -3$ या $y = 2$ मिलता है।
चूँकि $y \ge 0$ है,इसलिए हम $y = -3$ को छोड़ देंगे। अतः,$y = 2$ है।
मान वापस रखने पर,$|x - 2| = 2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $x - 2 = 2$ या $x - 2 = -2$ है।
इन्हें हल करने पर,$x = 4$ या $x = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $0$ और $4$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{p + q - x}{r} + \frac{q + r - x}{p} + \frac{r + p - x}{q} + \frac{3x}{p + q + r} = 0$
अंश को समायोजित करने के लिए पहले तीन पदों में $1$ जोड़ने पर:
$(\frac{p + q - x}{r} + 1) + (\frac{q + r - x}{p} + 1) + (\frac{r + p - x}{q} + 1) + \frac{3x}{p + q + r} - 3 = 0$
$\frac{p + q + r - x}{r} + \frac{p + q + r - x}{p} + \frac{p + q + r - x}{q} + \frac{3x - 3(p + q + r)}{p + q + r} = 0$
$(p + q + r - x) (\frac{1}{r} + \frac{1}{p} + \frac{1}{q}) - \frac{3(p + q + r - x)}{p + q + r} = 0$
$(p + q + r - x) [\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} - \frac{3}{p + q + r}] = 0$
इसका अर्थ है कि या तो $(p + q + r - x) = 0$ है या कोष्ठक वाला पद शून्य है।
अतः,$x = p + q + r$.

(A) दिया गया समीकरण: ${x^2} - 5|x| + 6 = 0$.
चूंकि ${x^2} = |x|^2$,हम समीकरण को $|x|^2 - 5|x| + 6 = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $|x| = t$,जहाँ $t \ge 0$ है। समीकरण $t^2 - 5t + 6 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 2)(t - 3) = 0$.
इससे $t = 2$ या $t = 3$ प्राप्त होता है।
$|x| = t$ वापस रखने पर:
स्थिति $1$: $|x| = 2 \implies x = 2, -2$.
स्थिति $2$: $|x| = 3 \implies x = 3, -3$.
अतः,हल $x \in \{2, -2, 3, -3\}$ हैं।
हलों की कुल संख्या $4$ है।

(C) द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,यदि मूल समान हैं,तो विविक्तकर (discriminant) $D = B^2 - 4AC = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$A = ({m^2} + 1)$,$B = 2am$,और $C = ({a^2} - {b^2})$ है।
$D = 0$ रखने पर:
$(2am)^2 - 4({m^2} + 1)({a^2} - {b^2}) = 0$
$4a^2m^2 - 4({m^2}a^2 - {m^2}b^2 + a^2 - b^2) = 0$
$4$ से भाग देने पर:
$a^2m^2 - (a^2m^2 - m^2b^2 + a^2 - b^2) = 0$
$a^2m^2 - a^2m^2 + m^2b^2 - a^2 + b^2 = 0$
$m^2b^2 + b^2 - a^2 = 0$
$b^2(m^2 + 1) - a^2 = 0$
अतः,${a^2} - {b^2}({m^2} + 1) = 0$ प्राप्त होता है।

(B) $P(x) = 0$ और $Q(x) = 0$ के मूलों पर विचार करें।
$P(x) = ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर $D_1 = b^2 - 4ac$ है।
$Q(x) = -ax^2 + dx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर $D_2 = d^2 - 4(-a)(c) = d^2 + 4ac$ है।
यदि चारों मूल काल्पनिक होते,तो $D_1 < 0$ और $D_2 < 0$ दोनों सत्य होने चाहिए।
इन असमिकाओं को जोड़ने पर: $(b^2 - 4ac) + (d^2 + 4ac) < 0$,जो सरल होकर $b^2 + d^2 < 0$ हो जाता है।
चूंकि $b^2$ और $d^2$ ऋणेतर हैं,$b^2 + d^2 < 0$ असंभव है जब तक कि $b=0$ और $d=0$ न हो।
यदि $b=0$ और $d=0$ है,तो $P(x) = ax^2 + c = 0$ और $Q(x) = -ax^2 + c = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $x^2 = -c/a$ और $x^2 = c/a$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि $ac \neq 0$ है,$c/a$ या $-c/a$ में से एक धनात्मक होना चाहिए,जो कम से कम दो वास्तविक मूलों को सुनिश्चित करता है।
अतः,सभी स्थितियों में,$P(x) \cdot Q(x) = 0$ के कम से कम दो वास्तविक मूल होते हैं।

(C) दिया गया समीकरण $(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0$ है।
पदों का विस्तार करने पर,हमें $(x^2 - (a+b)x + ab) + (x^2 - (b+c)x + bc) + (x^2 - (c+a)x + ca) = 0$ प्राप्त होता है।
समान पदों को जोड़ने पर,हमें $3x^2 - 2(a+b+c)x + (ab + bc + ca) = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = B^2 - 4AC$ होता है।
यहाँ,$D = [-2(a+b+c)]^2 - 4(3)(ab + bc + ca) = 4(a+b+c)^2 - 12(ab + bc + ca)$ है।
$D = 4[a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca - 3ab - 3bc - 3ca] = 4[a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca]$ है।
इसे $D = 2[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि वर्गों का योग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $D \ge 0$ है।
अतः,मूल हमेशा वास्तविक होते हैं।

(B) माना कि द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $-\alpha$ हैं क्योंकि वे परिमाण में समान लेकिन चिह्न में विपरीत हैं।
किसी भी द्विघात समीकरण के लिए,मूलों का योग $-\frac{b}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 2$,$b = 3(\lambda - 2)$,और $c = \lambda + 4$ है।
इसलिए,मूलों का योग $\alpha + (-\alpha) = -\frac{3(\lambda - 2)}{2}$ है।
$0 = -\frac{3(\lambda - 2)}{2}$।
दोनों पक्षों को $-2/3$ से गुणा करने पर,हमें $0 = \lambda - 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = 2$।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $({p^2} + {q^2}){x^2} - 2q(p + r)x + ({q^2} + {r^2}) = 0$ है।
चूंकि मूल वास्तविक और समान हैं,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 0$ होगा।
यहाँ,$a = ({p^2} + {q^2})$,$b = -2q(p + r)$,और $c = ({q^2} + {r^2})$ है।
इन मानों को $D = 0$ में रखने पर:
$[-2q(p + r)]^2 - 4({p^2} + {q^2})({q^2} + {r^2}) = 0$
$4q^2(p + r)^2 - 4({p^2}q^2 + p^2r^2 + q^4 + q^2r^2) = 0$
$4$ से भाग देने पर:
$q^2(p^2 + r^2 + 2pr) - (p^2q^2 + p^2r^2 + q^4 + q^2r^2) = 0$
$p^2q^2 + q^2r^2 + 2pq^2r - p^2q^2 - p^2r^2 - q^4 - q^2r^2 = 0$
व्यंजक को सरल करने पर:
$2pq^2r - p^2r^2 - q^4 = 0$
$-(q^4 - 2pq^2r + p^2r^2) = 0$
$-(q^2 - pr)^2 = 0$
$(q^2 - pr)^2 = 0$
इससे $q^2 = pr$ प्राप्त होता है।
अतः,$p, q, r$ $G.P.$ (गुणोत्तर श्रेणी) में हैं।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $4ax^2 + 3bx + 2c = 0$ है।
मूलों के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D = B^2 - 4AC$ का मान $\ge 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$A = 4a$,$B = 3b$,और $C = 2c$ है।
$D = (3b)^2 - 4(4a)(2c) = 9b^2 - 32ac$.
दिया गया है कि $a + b + c = 0$,इसलिए $b = -(a + c)$ है।
$b$ का मान विविक्तकर के समीकरण में रखने पर:
$D = 9(-(a + c))^2 - 32ac = 9(a^2 + 2ac + c^2) - 32ac$.
$D = 9a^2 + 18ac + 9c^2 - 32ac = 9a^2 - 14ac + 9c^2$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $D = 9(a^2 - \frac{14}{9}ac + c^2) = 9((a - \frac{7}{9}c)^2 + c^2(1 - \frac{49}{81})) = 9((a - \frac{7}{9}c)^2 + \frac{32}{81}c^2)$.
चूंकि $(a - \frac{7}{9}c)^2 \ge 0$ और $\frac{32}{81}c^2 \ge 0$ है,इसलिए विविक्तकर $D$ हमेशा $\ge 0$ रहेगा।
अतः,मूल वास्तविक हैं।