QUADRATIC EQUATION Questions in Gujarati

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ છે જ્યાં $a < 0, b > 0, c > 0$ છે.
સમીકરણને $-1$ વડે ગુણતા,$-ax^2 - bx - c = 0$ મળે,જ્યાં સહગુણકો $A = -a > 0, B = -b < 0, C = -c < 0$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{C}{A} = \frac{-c}{-a} = \frac{c}{a}$ થાય. અહીં $c > 0$ અને $a < 0$ હોવાથી,ગુણાકાર $\alpha \beta < 0$ છે,જે દર્શાવે છે કે બીજ વિરુદ્ધ ચિહ્નના છે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{B}{A} = -\frac{-b}{-a} = -\frac{b}{a}$ થાય. અહીં $b > 0$ અને $a < 0$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{b}{a} < 0$ છે,તેથી $\alpha + \beta = -(\text{ઋણ કિંમત}) > 0$ થાય.
બીજનો સરવાળો ધન છે અને ગુણાકાર ઋણ છે,તેથી જે બીજનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય મોટું હોય તે ધન હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $\alpha < \beta$,તેથી $\alpha$ એ ઋણ બીજ છે અને $\beta$ એ ધન બીજ છે.
સરવાળો $\alpha + \beta > 0$ હોવાથી,$|\beta| > |\alpha|$ થાય,એટલે કે ધન બીજ $\beta$ નું મૂલ્ય ઋણ બીજ $\alpha$ ના મૂલ્ય કરતા મોટું છે.
આમ,$\alpha < 0 < |\alpha| < \beta$ સાચો વિકલ્પ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^3 + qx - r = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = 0$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = q$
$\alpha \beta \gamma = r$
આપણે એવું સમીકરણ શોધવાનું છે જેના બીજ $y_1 = \beta \gamma + \frac{1}{\alpha}$,$y_2 = \gamma \alpha + \frac{1}{\beta}$,અને $y_3 = \alpha \beta + \frac{1}{\gamma}$ હોય.
$\alpha \beta \gamma = r$ હોવાથી,$\beta \gamma = \frac{r}{\alpha}$,$\gamma \alpha = \frac{r}{\beta}$,અને $\alpha \beta = \frac{r}{\gamma}$ થાય.
તેથી,બીજ $y_1 = \frac{r}{\alpha} + \frac{1}{\alpha} = \frac{r+1}{\alpha}$,$y_2 = \frac{r+1}{\beta}$,અને $y_3 = \frac{r+1}{\gamma}$ છે.
ધારો કે $y = \frac{r+1}{x}$,તો $x = \frac{r+1}{y}$.
મૂળ સમીકરણમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા:
$(\frac{r+1}{y})^3 + q(\frac{r+1}{y}) - r = 0$
$\frac{(r+1)^3}{y^3} + \frac{q(r+1)}{y} - r = 0$
$y^3$ વડે ગુણતા:
$(r+1)^3 + q(r+1)y^2 - ry^3 = 0$
$ry^3 - q(r+1)y^2 - (r+1)^3 = 0$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $rx^3 - q(r+1)x^2 - (r+1)^3 = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^2 - 3x + a$. કારણ કે $\alpha < 1 < \beta$ છે,તેથી $x = 1$ આગળ દ્વિઘાત વિધેયનું મૂલ્ય ઋણ હોવું જોઈએ કારણ કે પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે.
$f(1) < 0$
$1^2 - 3(1) + a < 0$
$1 - 3 + a < 0$
$-2 + a < 0$
$a < 2$
આમ,$a \in (-\infty, 2)$.
નોંધ: જ્યારે દ્વિઘાત સમીકરણનો અગ્ર સહગુણક ધન હોય ત્યારે $Af(1) < 0$ શરત સંતોષાય ત્યારે $D > 0$ ની શરત આપોઆપ સંતોષાય છે,કારણ કે $f(1) < 0$ નો અર્થ છે કે વિધેય ઋણ મૂલ્યો ધારણ કરે છે,જેનો અર્થ છે કે તે $x$-અક્ષને બે ભિન્ન બિંદુઓ પર છેદે છે.

(A) ધારો કે સમીકરણ $x^3 + 3x^2 - 1 = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta,$ અને $\gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma = -(\frac{-1}{1}) = 1$ થાય.
તેથી,$\alpha \beta = \frac{1}{\gamma}$.
ધારો કે $y = \alpha \beta = \frac{1}{\gamma}$,જેનો અર્થ છે કે $\gamma = \frac{1}{y}$.
ચૂકવણી $\gamma$ એ મૂળ સમીકરણ $x^3 + 3x^2 - 1 = 0$ નું બીજ હોવાથી,આપણે $x = \gamma = \frac{1}{y}$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(\frac{1}{y})^3 + 3(\frac{1}{y})^2 - 1 = 0$.
આખા સમીકરણને $y^3$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$1 + 3y - y^3 = 0$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y^3 - 3y - 1 = 0$ મળે છે.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,જરૂરી સમીકરણ $x^3 - 3x - 1 = 0$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - r^2(r + 1)x + r^5 = 0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha_r$ અને $\beta_r$ છે. બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha_r + \beta_r = r^2(r + 1) = r^3 + r^2$ અને $\alpha_r \beta_r = r^5$ મળે.
અહીં $r^5 = r^2 \cdot r^3$ હોવાથી,બીજ $\alpha_r = r^2$ અને $\beta_r = r^3$ થાય (જ્યાં $\alpha_r < \beta_r$ આપેલ છે).
આપણે $S = \sum_{r=1}^n (3\alpha_r + 2\beta_r) = 3\sum_{r=1}^n r^2 + 2\sum_{r=1}^n r^3$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{r=1}^n r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{r=1}^n r^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{n^2(n+1)^2}{2}$.
$\frac{n(n+1)}{2}$ સામાન્ય લેતા,$S = \frac{n(n+1)}{2} [ (2n+1) + n(n+1) ] = \frac{n(n+1)}{2} [ 2n + 1 + n^2 + n ] = \frac{n(n+1)}{2} (n^2 + 3n + 1)$ મળે.

(A) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3 - 2x^2 + 3x - 2 = 0$ છે.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = 1$ એ એક બીજ છે કારણ કે $1 - 2 + 3 - 2 = 0$ થાય છે.
બહુપદીને $(x - 1)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x - 1)(x^2 - x + 2) = 0$ મળે છે.
ધારો કે $\alpha = 1$. તો $\beta$ અને $\gamma$ એ $x^2 - x + 2 = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,$\beta + \gamma = 1$ અને $\beta\gamma = 2$ મળે છે.
આપણે $S = \frac{\alpha\beta}{\alpha + \beta} + \frac{\alpha\gamma}{\alpha + \gamma} + \frac{\beta\gamma}{\beta + \gamma}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha = 1$ મૂકતા: $S = \frac{\beta}{1 + \beta} + \frac{\gamma}{1 + \gamma} + \frac{\beta\gamma}{\beta + \gamma}$.
$\beta + \gamma = 1$ હોવાથી,છેલ્લું પદ $\frac{2}{1} = 2$ થશે.
પ્રથમ બે પદો માટે: $\frac{\beta(1 + \gamma) + \gamma(1 + \beta)}{(1 + \beta)(1 + \gamma)} = \frac{\beta + \beta\gamma + \gamma + \beta\gamma}{1 + \beta + \gamma + \beta\gamma} = \frac{(\beta + \gamma) + 2\beta\gamma}{1 + (\beta + \gamma) + \beta\gamma}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1 + 2(2)}{1 + 1 + 2} = \frac{5}{4}$.
આમ,$S = \frac{5}{4} + 2 = \frac{5 + 8}{4} = \frac{13}{4}$.

(D) આપેલ છે કે બહુપદી $P(x) = x^2 + ax + b$ ના અવયવો $(x - a)(x - b)$ છે.
અવયવોનું વિસ્તરણ કરતા: $(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$.
આને $P(x) = x^2 + ax + b$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = -(a + b) \Rightarrow 2a + b = 0$ (સમીકરણ $1$)
$b = ab$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ પરથી,$b(a - 1) = 0$,તેથી $b = 0$ અથવા $a = 1$.
કિસ્સો $1$: જો $b = 0$ હોય,તો સમીકરણ $1$ પરથી,$2a + 0 = 0 \Rightarrow a = 0$. આમ,$P(x) = x^2$. તેથી $P(2) = 2^2 = 4$.
કિસ્સો $2$: જો $a = 1$ હોય,તો સમીકરણ $1$ પરથી,$2(1) + b = 0 \Rightarrow b = -2$. આમ,$P(x) = x^2 + x - 2$. તેથી $P(2) = 2^2 + 2 - 2 = 4$.
બંને કિસ્સાઓમાં,$P(2) = 4$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\ln(\ln x) = \log_x e$
ગુણધર્મ $\log_x e = \frac{1}{\ln x}$ નો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણ $\ln(\ln x) = \frac{1}{\ln x}$ બને છે.
ધારો કે $\ln x = t$. $\ln x$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $x > 0$ હોવું જોઈએ. $\ln(\ln x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $\ln x > 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $x > 1$. વળી,$\log_x e$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $x > 0$ અને $x \neq 1$ હોવું જોઈએ.
$t = \ln x$ મૂકતા,આપણને $\ln t = \frac{1}{t}$ મળે છે,અથવા $t \ln t = 1$.
ધારો કે $f(t) = t \ln t$. આપણે $t > 0$ માટે $f(t) = 1$ ના ઉકેલોની સંખ્યા શોધવી છે.
$f'(t) = \ln t + 1$. $f'(t) = 0$ લેતા $t = 1/e$ મળે છે.
$t = 1/e$ પર,$f(1/e) = (1/e) \ln(1/e) = -1/e \approx -0.368$.
જેમ $t \to 0^+$,તેમ $f(t) \to 0$. જેમ $t \to \infty$,તેમ $f(t) \to \infty$.
$f(t)$ એ $t > 1/e$ માટે સતત અને વધતું વિધેય હોવાથી,અને $f(1) = 0 < 1$ તથા $f(e) = e > 1$ હોવાથી,'ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ' મુજબ,અંતરાલ $(1, e)$ માં $t$ માટે બરાબર એક ઉકેલ મળે છે.
$t = \ln x$ એ વન-ટુ-વન વિધેય હોવાથી,$x$ માટે બરાબર એક ઉકેલ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{1}{x_1 + x_2 + x_3}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1}{x_1 x_2 x_3} = \frac{1}{x_1 + x_2 + x_3}$ મળે.
તેથી $(x_1 + x_2 + x_3)(x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1) = x_1 x_2 x_3$.
ધારો કે $x_1, x_2, x_3$ એ $t^3 + \alpha t^2 + \beta t + \gamma = 0$ ના બીજ છે,જ્યાં $\alpha = -(x_1+x_2+x_3)$,$\beta = (x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1)$,અને $\gamma = -x_1 x_2 x_3$.
સમીકરણ $(-\alpha)(\beta) = -(-\gamma) \Rightarrow \gamma = \alpha \beta$ બને છે.
તેથી,$t^3 + \alpha t^2 + \beta t + \alpha \beta = 0 \Rightarrow t^2(t + \alpha) + \beta(t + \alpha) = 0 \Rightarrow (t + \alpha)(t^2 + \beta) = 0$.
બીજ $t_1 = -\alpha$,$t_2 = \sqrt{-\beta}$,$t_3 = -\sqrt{-\beta}$ છે.
આમ,$x_1 = -(x_1+x_2+x_3) \Rightarrow x_2 + x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = -x_2$.
હવે,શરત $\frac{1}{x_1^n + x_2^n + x_3^n} = \frac{1}{x_1^n} + \frac{1}{x_2^n} + \frac{1}{x_3^n}$ ચકાસો.
$x_3 = -x_2$ માટે,પદ $\frac{1}{x_1^n + x_2^n + (-x_2)^n} = \frac{1}{x_1^n} + \frac{1}{x_2^n} + \frac{1}{(-x_2)^n}$ બને છે.
જો $n$ એકી સંખ્યા હોય,તો $(-x_2)^n = -x_2^n$,તેથી $\frac{1}{x_1^n + x_2^n - x_2^n} = \frac{1}{x_1^n} + \frac{1}{x_2^n} - \frac{1}{x_2^n} \Rightarrow \frac{1}{x_1^n} = \frac{1}{x_1^n}$,જે સાચું છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^3 - x - 2 = 0$ છે,જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma$ બીજ હોવાથી,$\alpha^3 = \alpha + 2$,$\beta^3 = \beta + 2$,અને $\gamma^3 = \gamma + 2$ થાય.
$\alpha^2$ વડે ગુણતા,$\alpha^5 = \alpha^3 + 2\alpha^2 = (\alpha + 2) + 2\alpha^2 = 2\alpha^2 + \alpha + 2$ મળે.
તે જ રીતે,$\beta^5 = 2\beta^2 + \beta + 2$ અને $\gamma^5 = 2\gamma^2 + \gamma + 2$ થાય.
સરવાળો કરતા,$\sum \alpha^5 = 2\sum \alpha^2 + \sum \alpha + 6$.
સમીકરણ $x^3 + 0x^2 - x - 2 = 0$ પરથી,$\sum \alpha = 0$ અને $\sum \alpha\beta = -1$ મળે.
નિત્યસમ $\sum \alpha^2 = (\sum \alpha)^2 - 2\sum \alpha\beta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sum \alpha^2 = (0)^2 - 2(-1) = 2$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\sum \alpha^5 = 2(2) + 0 + 6 = 4 + 6 = 10$.

(B) ધારો કે $f(t) = t^2 + 5mt - 3m + 1$,જ્યાં $t = \{x\}$ છે. $x \in R$ હોવાથી,$t$ એ $[0, 1)$ અંતરાલની તમામ કિંમતો ધારણ કરે છે.
આપણને આપેલ છે કે તમામ $t \in [0, 1)$ માટે $f(t) < 0$ છે.
$f(t)$ એ $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે જેનો અગ્ર સહગુણક ધન છે,તેથી પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે.
તમામ $t \in [0, 1)$ માટે $f(t) < 0$ સાચું ઠરવા માટે,અંતિમ બિંદુઓ પરની કિંમતો $f(0) \le 0$ અને $f(1) \le 0$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
$t = 0$ માટે: $f(0) = -3m + 1 < 0 \implies 3m > 1 \implies m > 1/3$.
$t = 1$ માટે: $f(1) = 1 + 5m - 3m + 1 = 2m + 2 < 0 \implies 2m < -2 \implies m < -1$.
કોઈપણ $m$ એવી કિંમત નથી જે $m > 1/3$ અને $m < -1$ બંનેનું પાલન કરે,તેથી $m$ ના આવા કોઈ પૂર્ણાંક મૂલ્યો શક્ય નથી.

(B) આપેલ દ્વિઘાત વિધેય $f(x) = ax^2 + 2bx + c$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $f(x) = 0$ ના બીજ કાલ્પનિક છે,જેનો અર્થ છે કે વિવેચક $D = (2b)^2 - 4ac < 0$,એટલે કે $4b^2 - 4ac < 0$,જેનું સાદું રૂપ $b^2 < ac$ થાય છે.
આપણને એ પણ આપેલ છે કે $4a + 4b + c < 0$. નોંધો કે $f(2) = a(2)^2 + 2b(2) + c = 4a + 4b + c$. તેથી,$f(2) < 0$.
કારણ કે $f(x)$ ના બીજ કાલ્પનિક છે,પરવલય $y = f(x)$ એ $x$-અક્ષને છેદતું નથી. આનો અર્થ એ છે કે $f(x)$ હંમેશા ધન (જો $a > 0$ હોય) અથવા હંમેશા ઋણ (જો $a < 0$ હોય) છે.
જો $a > 0$ હોય,તો તમામ $x$ માટે $f(x) > 0$ થાય,જે $f(2) < 0$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે. તેથી,$a < 0$ હોવું જ જોઈએ.
કારણ કે $a < 0$ છે અને $f(x)$ હંમેશા ઋણ છે,તેથી આખો પરવલય $x$-અક્ષની નીચે આવેલો છે. $y$-અંતઃખંડ $f(0) = c$ છે. આખો આલેખ $x$-અક્ષની નીચે હોવાથી,$y$-અંતઃખંડ ઋણ હોવો જોઈએ. તેથી,$c < 0$.

(A) ધારો કે $f(x) = x^2 - (2a + 3)x + a^2 + 3a$. બંને બીજ $(0, 4)$ માં હોય તે માટે નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. વિવેચક $D \ge 0$: $D = (2a + 3)^2 - 4(a^2 + 3a) = 9$. જે હંમેશા $0$ કરતા મોટું છે.
$2$. $0 < \text{શિરોબિંદુ} < 4$: $0 < \frac{2a + 3}{2} < 4 \implies -1.5 < a < 2.5$.
$3$. $f(0) > 0$: $a(a + 3) > 0 \implies a \in (-\infty, -3) \cup (0, \infty)$.
$4$. $f(4) > 0$: $a^2 - 5a + 4 > 0 \implies a \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$.
બધી શરતોનો છેદ લેતા: $a \in (0, 1)$.
આ અંતરાલમાં કોઈ પૂર્ણાંક સંખ્યા નથી. તેથી,પૂર્ણાંક કિંમતોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજ $x_1 = \alpha - \beta$ અને $x_2 = \gamma - \delta$ છે.
બીજનો તફાવત $|x_1 - x_2| = |(\alpha - \beta) - (\gamma - \delta)| = |\alpha - \beta - \gamma + \delta| = \frac{\sqrt{D_1}}{|a|}$ થાય,જ્યાં $D_1 = b^2 - 4ac$.
સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,બીજ $y_1 = \alpha + \delta$ અને $y_2 = \beta + \gamma$ છે.
બીજનો તફાવત $|y_1 - y_2| = |(\alpha + \delta) - (\beta + \gamma)| = |\alpha - \beta + \delta - \gamma| = \frac{\sqrt{D_2}}{|A|}$ થાય,જ્યાં $D_2 = B^2 - 4AC$.
અહીં $|\alpha - \beta - \gamma + \delta| = |\alpha - \beta + \delta - \gamma|$ હોવાથી,બીજનો તફાવત સમાન છે.
તેથી,$\frac{\sqrt{D_1}}{|a|} = \frac{\sqrt{D_2}}{|A|}$.
આથી,$\left| \frac{a}{A} \right| = \sqrt{\frac{D_1}{D_2}}$ મળે છે.

(D) વિધેય $y = |f(|x|)|$ એ $5$ બિંદુઓ પર વિકલનીય ન હોય જો દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - x + k - 2 = 0$ ના બે ભિન્ન ધન બીજ હોય.
બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવા માટે,વિવેચક $D > 0$:
$D = (-1)^2 - 4(1)(k - 2) > 0$
$1 - 4k + 8 > 0$
$9 - 4k > 0 \Rightarrow k < 9/4$.
બીજ ધન હોવા માટે,બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta > 0$ અને બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta > 0$ હોવો જોઈએ:
ગુણાકાર $\alpha\beta = k - 2 > 0 \Rightarrow k > 2$.
સરવાળો $\alpha + \beta = 1 > 0$ (જે હંમેશા સત્ય છે).
આ શરતોને જોડતા,આપણને $2 < k < 9/4$ મળે છે.
આમ,$k$ ના મૂલ્યોનો ગણ $(2, 9/4)$ છે.

(C) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + (2 - \tan \theta)x - (1 + \tan \theta) = 0$ ના પૂર્ણાંક બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,આપણી પાસે છે:
$\alpha + \beta = \tan \theta - 2$ $(1)$
$\alpha \beta = -\tan \theta - 1$ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે:
$\alpha + \beta + \alpha \beta = -3$
અવયવ પાડવા માટે બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા:
$\alpha \beta + \alpha + \beta + 1 = -3 + 1$
$(\alpha + 1)(\beta + 1) = -2$
$\alpha$ અને $\beta$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$(\alpha + 1)$ અને $(\beta + 1)$ એ $-2$ ના પૂર્ણાંક અવયવો હોવા જોઈએ. $(\alpha + 1, \beta + 1)$ માટે શક્ય જોડીઓ $(-1, 2), (2, -1), (1, -2), (-2, 1)$ છે.
કિસ્સો $1$: $\alpha + 1 = -1$ અને $\beta + 1 = 2 \Rightarrow \alpha = -2, \beta = 1$. તેથી $\tan \theta = \alpha + \beta + 2 = -2 + 1 + 2 = 1$.
કિસ્સો $2$: $\alpha + 1 = 1$ અને $\beta + 1 = -2 \Rightarrow \alpha = 0, \beta = -3$. તેથી $\tan \theta = \alpha + \beta + 2 = 0 - 3 + 2 = -1$.
$(0, 2\pi)$ માં $\tan \theta = 1$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.
$(0, 2\pi)$ માં $\tan \theta = -1$ માટે,$\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
$\theta$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = \frac{16\pi}{4} = 4\pi$ છે.
આમ,$k = 4$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^2 + 5}{2} = x - 2\cos(ax + b)$.
પદોને ગોઠવતા: $2\cos(ax + b) = x - \frac{x^2 + 5}{2}$.
$-1/2$ વડે ગુણતા: $-\cos(ax + b) = \frac{x^2 + 5}{4} - \frac{x}{2} = \frac{x^2 - 2x + 5}{4}$.
આનું સાદું રૂપ: $-\cos(ax + b) = \frac{(x - 1)^2}{4} + 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-\cos(ax + b)$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે.
તેમજ,જમણી બાજુ માટે,$(x - 1)^2 \ge 0$ હોવાથી,$\frac{(x - 1)^2}{4} + 1 \ge 1$ થાય.
સમીકરણનો ઉકેલ મળે તે માટે બંને બાજુ $1$ હોવી જોઈએ.
તેથી,$\frac{(x - 1)^2}{4} + 1 = 1 \Rightarrow x = 1$.
અને $-\cos(a(1) + b) = 1 \Rightarrow \cos(a + b) = -1$.
તેથી,$a + b = (2k + 1)\pi$,જ્યાં $k \in I$. $k=0$ માટે,$a + b = \pi$.

(C) ધારો કે $a^2(a + p) = b^2(b + p) = c^2(c + p) = k$.
આનો અર્થ એ છે કે $a, b, c$ એ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^2(x + p) = k$ ના બીજ છે,જેને $x^3 + px^2 - k = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
$Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0$ સ્વરૂપના ત્રિઘાત સમીકરણ માટે,બબ્બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો $\frac{C}{A}$ દ્વારા મળે છે.
સમીકરણ $x^3 + px^2 + 0x - k = 0$ માં,$A = 1, B = p, C = 0, D = -k$ છે.
તેથી,$bc + ca + ab = \frac{C}{A} = \frac{0}{1} = 0$.

(A) ધારો કે $f(x) = \frac{3}{x - a^3} + \frac{5}{x - a^5} + \frac{7}{x - a^7}$.
આપેલ છે કે $a > 1$,તેથી $a^3 < a^5 < a^7$ થાય.
જ્યારે $x \to (a^3)^+$,ત્યારે $f(x) \to +\infty$. જ્યારે $x \to (a^5)^-$,ત્યારે $f(x) \to -\infty$. તેથી,$(a^3, a^5)$ ની વચ્ચે એક બીજ મળે છે.
જ્યારે $x \to (a^5)^+$,ત્યારે $f(x) \to +\infty$. જ્યારે $x \to (a^7)^-$,ત્યારે $f(x) \to -\infty$. તેથી,$(a^5, a^7)$ ની વચ્ચે બીજું બીજ મળે છે.
કારણ કે $a > 1$,અંતરાલ $(a^3, a^5)$ અને $(a^5, a^7)$ માંની તમામ કિંમતો ધન છે.
તેથી,સમીકરણના બે વાસ્તવિક અને ધન બીજ છે.

(B) આલેખ પરથી,પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે,તેથી $a > 0$ છે.
શિરોબિંદુ $x = -\frac{b}{2a}$ પર છે,જે $y$-અક્ષની ડાબી બાજુએ છે,તેથી $-\frac{b}{2a} < 0$. $a > 0$ હોવાથી,આપણને $b > 0$ મળે છે.
$y$-અંત:ખંડ $c$ છે,અને આલેખ $x$-અક્ષની નીચે $y$-અક્ષને છેદે છે,તેથી $c < 0$ છે.
આલેખ $x$-અક્ષને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે,તેથી વિવેચક $D = b^2 - 4ac > 0$ છે.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$A$: $abc = (+)(+)(-) = - < 0$. આ સાચું છે.
$B$: $ac^2bD = (+)(+)(+)(+) = + > 0$. તેથી,$ac^2bD < 0$ ખોટું છે.
$C$: $\frac{a^2c}{b^2D} = \frac{(+)(+)(-)}{(+)(+)} = - < 0$. આ સાચું છે.
$D$: $bD = (+)(+) = + > 0$. આ સાચું છે.
તેથી,ખોટું વિધાન $B$ છે.

(B) આપેલ છે કે $P(x) = x^3 - ax^2 + bx + c$ ના પૂર્ણાંક બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
તેથી,$P(x) = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$.
$P(6) = 3$ આપેલ હોવાથી,$(6 - \alpha)(6 - \beta)(6 - \gamma) = 3$.
$\alpha, \beta, \gamma$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$(6 - \alpha), (6 - \beta),$ અને $(6 - \gamma)$ એ $3$ ના પૂર્ણાંક અવયવો હોવા જોઈએ.
$3$ ના અવયવો $\{1, -1, 3, -3\}$ છે.
ધારો કે $x_1 = 6 - \alpha, x_2 = 6 - \beta, x_3 = 6 - \gamma$. તો $x_1 x_2 x_3 = 3$.
વળી,$a = \alpha + \beta + \gamma = (6 - x_1) + (6 - x_2) + (6 - x_3) = 18 - (x_1 + x_2 + x_3)$.
$(x_1, x_2, x_3)$ માટે શક્ય સમૂહો જેનો ગુણાકાર $3$ થાય:
$1)$ $(1, 1, 3) \Rightarrow x_1 + x_2 + x_3 = 5 \Rightarrow a = 18 - 5 = 13$.
$2)$ $(1, -1, -3) \Rightarrow x_1 + x_2 + x_3 = -3 \Rightarrow a = 18 - (-3) = 21$.
$3)$ $(-1, -1, 3) \Rightarrow x_1 + x_2 + x_3 = 1 \Rightarrow a = 18 - 1 = 17$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$a$ ની કિંમત $15$ હોઈ શકે નહીં.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + (k + 1)x + \lambda = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\alpha^2$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = \lambda$ થાય.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \alpha^2 = -(k + 1)$ થાય.
સરવાળાના સમીકરણનો ઘન લેતા: $(\alpha + \alpha^2)^3 = (-(k + 1))^3$.
$\alpha^3 + (\alpha^2)^3 + 3\alpha \cdot \alpha^2(\alpha + \alpha^2) = -(k + 1)^3$.
$\alpha^3 = \lambda$ અને $\alpha + \alpha^2 = -(k + 1)$ મૂકતા:
$\lambda + \lambda^2 + 3\lambda(-(k + 1)) = -(k + 1)^3$.
$\lambda^2 + \lambda - 3\lambda(k + 1) = -(k + 1)^3$.
બીજ એકબીજાના વર્ગ હોય તે માટેના કિસ્સાઓ:
$1$. જો $\alpha = 0$,તો $\lambda = 0$. સમીકરણ $x^2 + (k + 1)x = 0$ બને. બીજ $0, -(k+1)$ છે. $0^2 = -(k+1)$ માટે $k = -1$.
$2$. જો $\alpha = 1$,તો $\lambda = 1$. સમીકરણ $x^2 + (k + 1)x + 1 = 0$ બને. બીજ $1, 1$ છે. સરવાળો $1+1 = -(k+1) \implies k = -3$.
$3$. જો $\alpha = \omega$ (એકમનું ઘનમૂળ),તો $\alpha^2 = \omega^2$. સમીકરણ $x^2 + x + 1 = 0$ છે. $x^2 + (k+1)x + \lambda = 0$ સાથે સરખાવતા,$k+1 = 1 \implies k = 0$ અને $\lambda = 1$.
$k$ ના શક્ય મૂલ્યો $-1, -3, 0$ છે.
આ મૂલ્યોનો સરવાળો $(-1) + (-3) + 0 = -4$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણો $2ax^2 - 3bx + 4c = 0$ અને $3x^2 - 4x + 5 = 0$ છે.
બીજા સમીકરણ $3x^2 - 4x + 5 = 0$ માટે વિવેચક $D = (-4)^2 - 4(3)(5) = 16 - 60 = -44 < 0$ હોવાથી,તેના બીજ કાલ્પનિક છે.
જો બે દ્વિઘાત સમીકરણોનું એક સામાન્ય બીજ હોય અને સહગુણકો વાસ્તવિક હોય,અને એક સમીકરણના બીજ કાલ્પનિક હોય,તો બંને સમીકરણોના બીજ સમાન જ હોય.
તેથી,સહગુણકોનો ગુણોત્તર સમાન થાય:
$\frac{2a}{3} = \frac{-3b}{-4} = \frac{4c}{5} = k$
$\frac{2a}{3} = \frac{3b}{4} = \frac{4c}{5} = k$
આથી,$a = \frac{3k}{2}$,$b = \frac{4k}{3}$,અને $c = \frac{5k}{4}$ મળે.
હવે,$\frac{a + b}{c}$ ની કિંમત શોધીએ:
$\frac{a + b}{c} = \frac{\frac{3k}{2} + \frac{4k}{3}}{\frac{5k}{4}} = \frac{\frac{9k + 8k}{6}}{\frac{5k}{4}} = \frac{17k}{6} \times \frac{4}{5k} = \frac{17 \times 2}{3 \times 5} = \frac{34}{15}$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha + \beta = 3$ અને $|\alpha - \beta| = 4$.
બીજા સમીકરણનો વર્ગ કરતા,આપણને $(\alpha - \beta)^2 = 16$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$ છે.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $16 = (3)^2 - 4\alpha\beta$.
$16 = 9 - 4\alpha\beta$.
$4\alpha\beta = 9 - 16 = -7$.
તેથી,$\alpha\beta = -\frac{7}{4}$.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - 3x - \frac{7}{4} = 0$.
આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા,આપણને $4x^2 - 12x - 7 = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ નિત્યસમ $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$ છે.
આને $\frac{1}{2}(a + b + c)[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2] = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
કારણ કે $a, b, c$ ભિન્ન છે,તેથી $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \neq 0$,તેથી $a + b + c = 0$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,જો આપણે $x = 1$ મૂકીએ,તો આપણને $a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$ મળે છે.
કારણ કે $a + b + c = 0$,તેથી $x = 1$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta = c/a$ થાય.
કારણ કે $\alpha = 1$,તેથી બીજું બીજ $\beta = c/a$ છે.

(B) ધારો કે $t = \sqrt{\log_3(x) - 1}$. વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,$\log_3(x) - 1 \ge 0$,તેથી $\log_3(x) \ge 1$,જેનો અર્થ છે $x \ge 3$. ઉપરાંત,$t \ge 0$.
તેથી $\log_3(x) = t^2 + 1$.
અસમતા આ મુજબ બનશે: $t + \frac{\frac{1}{2} \cdot 3 \log_3(x)}{-1} + 2 > 0$.
$\log_3(x) = t^2 + 1$ મૂકતા:
$t - \frac{3}{2}(t^2 + 1) + 2 > 0$
$t - \frac{3}{2}t^2 - \frac{3}{2} + 2 > 0$
$t - \frac{3}{2}t^2 + \frac{1}{2} > 0$
$-2$ વડે ગુણતા: $3t^2 - 2t - 1 < 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(3t + 1)(t - 1) < 0$.
આ અસમતા $-\frac{1}{3} < t < 1$ માટે સાચી છે. $t \ge 0$ હોવાથી,આપણને $0 \le t < 1$ મળે છે.
$t = \sqrt{\log_3(x) - 1}$ પાછું મૂકતા:
$0 \le \sqrt{\log_3(x) - 1} < 1$
$0 \le \log_3(x) - 1 < 1$
$1 \le \log_3(x) < 2$
$3^1 \le x < 3^2$
$3 \le x < 9$.
આ શરતનું પાલન કરતા પૂર્ણાંકો $3, 4, 5, 6, 7, 8$ છે. આમ,કુલ $6$ પૂર્ણાંકો છે.

(A) સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે અનન્ય ઉકેલ હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક,જેને $\Delta$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે શૂન્યતર હોવો જોઈએ $(\Delta \neq 0)$.
સહગુણક શ્રેણિક નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & \alpha \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયક $\Delta$ ની ગણતરી કરતા:
$\Delta = 1((-1)(-1) - (3)(\alpha)) - 1((5)(-1) - (2)(\alpha)) + 1((5)(3) - (2)(-1))$
$\Delta = 1(1 - 3\alpha) - 1(-5 - 2\alpha) + 1(15 + 2)$
$\Delta = 1 - 3\alpha + 5 + 2\alpha + 17$
$\Delta = 23 - \alpha$
અનન્ય ઉકેલ માટે,$\Delta \neq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $23 - \alpha \neq 0$,અથવા $\alpha \neq 23$.
આ શરત માત્ર $\alpha$ પર આધાર રાખે છે અને $\beta$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી અનન્ય ઉકેલનું અસ્તિત્વ માત્ર $\alpha$ પર આધાર રાખે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^4 + x^3 = 2(x^2 + 3ax + 2a^2)$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $x^4 + x^3 - 2x^2 - 6ax - 4a^2 = 0$ મળે છે.
આના અવયવો પાડતા $(x^2 + 2x + 2a)(x^2 - x - 2a) = 0$ મળે છે.
સમીકરણને ચાર વાસ્તવિક ઉકેલો મળે તે માટે,બંને દ્વિઘાત અવયવોના વિવેચક શૂન્ય અથવા શૂન્યથી મોટા હોવા જોઈએ.
$x^2 + 2x + 2a = 0$ માટે,વિવેચક $D_1 = 2^2 - 4(1)(2a) = 4 - 8a \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $a \leq \frac{1}{2}$.
$x^2 - x - 2a = 0$ માટે,વિવેચક $D_2 = (-1)^2 - 4(1)(-2a) = 1 + 8a \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $a \geq -\frac{1}{8}$.
આ શરતોને જોડતા,$a$ માટેનો ગણ $[ - \frac{1}{8}, \frac{1}{2} ]$ મળે છે.

(C) સમીકરણ $x_1 + x_2 = 100$ છે,જ્યાં $x_1, x_2 \in \mathbb{N}$.
કુલ પ્રાકૃતિક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n-1}{k-1} = \binom{100-1}{2-1} = \binom{99}{1} = 99$ છે.
આપણે એવા કિસ્સાઓ બાદ કરવાના છે જ્યાં $x_1$ અથવા $x_2$ એ $5$ ના ગુણક હોય.
જો $x_1$ એ $5$ નો ગુણક હોય,તો $x_1 \in \{5, 10, 15, \dots, 95\}$. આવા $19$ મૂલ્યો છે.
જો $x_1 = 5k$ હોય,તો $5k + x_2 = 100 \implies x_2 = 100 - 5k = 5(20-k)$.
$x_2$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવી જોઈએ,તેથી $20-k \ge 1 \implies k \le 19$. આમ,$19$ ઉકેલો છે જ્યાં $x_1$ એ $5$ નો ગુણક છે.
તે જ રીતે,$19$ ઉકેલો છે જ્યાં $x_2$ એ $5$ નો ગુણક છે.
જો $x_1$ અને $x_2$ બંને $5$ ના ગુણક હોય,તો $x_1 = 5k$ અને $x_2 = 5m$,તેથી $5k + 5m = 100 \implies k + m = 20$.
$k+m=20$ માટે પ્રાકૃતિક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{20-1}{2-1} = 19$ છે.
Inclusion-Exclusion ના સિદ્ધાંત મુજબ,ઓછામાં ઓછું એક $5$ નો ગુણક હોય તેવા ઉકેલોની સંખ્યા $19 + 19 - 19 = 19$ છે.
તેથી,જે ઉકેલોમાં કોઈ પણ $5$ નો ગુણક ન હોય તેની સંખ્યા $99 - 19 = 80$ છે.

(B) ધારો કે $2^x = t$. કારણ કે $x > 0$,તેથી $t > 1$ મળે. સમીકરણ $t^2 - (k + 2)t + 2k = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(t - k)(t - 2) = 0$.
તેથી,બીજ $t_1 = k$ અને $t_2 = 2$ મળે છે.
મૂળ સમીકરણને બરાબર એક ધન બીજ મળે તે માટે $t$ ના બીજનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. એક બીજ $t_2 = 2$ એ $1$ કરતા મોટું છે,જે $x = \log_2(2) = 1$ આપે છે,જે ધન બીજ છે.
$2$. સમીકરણને માત્ર એક જ ધન બીજ મળે તે માટે,બીજું બીજ $t_1 = k$ એવું હોવું જોઈએ કે જેથી $x$ ધન ન મળે. $t = 2^x$ હોવાથી,$t > 0$ જરૂરી છે. જો $t_1 = k \le 1$ હોય,તો $x = \log_2(k) \le 0$ મળે.
$3$. જો $k = 2$ હોય,તો બીજ $t = 2, 2$ મળે. તેથી $x = 1$ (માત્ર એક જ ભિન્ન ધન બીજ). આમ $k=2$ ઉકેલ છે.
$4$. જો $k \le 1$ હોય,તો બીજ $t_1 \le 1$ અને $t_2 = 2$ મળે. $t_1 \le 1$ થી $x \le 0$ મળે અને $t_2 = 2$ થી $x = 1$ મળે. આ શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,$k$ ના મૂલ્યોનો ગણ $(-\infty, 1] \cup \{2\}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $xyz = 2^5 \times 3^2 \times 5^2$ છે.
આપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યાના ઉકેલો $(x, y, z)$ શોધવાના છે.
ધારો કે $x = 2^{a_1} 3^{b_1} 5^{c_1}$,$y = 2^{a_2} 3^{b_2} 5^{c_2}$,અને $z = 2^{a_3} 3^{b_3} 5^{c_3}$,જ્યાં $a_i, b_i, c_i \ge 0$.
અવિભાજ્ય અવયવોના ઘાતાંકો માટે આપણી પાસે નીચે મુજબના સમીકરણો છે:
$a_1 + a_2 + a_3 = 5$
$b_1 + b_2 + b_3 = 2$
$c_1 + c_2 + c_3 = 2$
'સ્ટાર્સ એન્ડ બાર્સ' સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x_1 + x_2 + \dots + x_k = n$ માટે ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+k-1}{k-1}$ છે.
$a_i$ માટે: $\binom{5+3-1}{3-1} = \binom{7}{2} = 21$.
$b_i$ માટે: $\binom{2+3-1}{3-1} = \binom{4}{2} = 6$.
$c_i$ માટે: $\binom{2+3-1}{3-1} = \binom{4}{2} = 6$.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $21 \times 6 \times 6 = 756$ થાય.

(A) ધારો કે $y = \sec^{-1}x$. અસમતા $(y - 4)(y - 1)(y - 2) \ge 0$ બને છે.
$\sec^{-1}x$ નો પ્રદેશ $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ હોવાથી,તેનો વિસ્તાર $[0, \pi/2) \cup (\pi/2, \pi]$ છે.
નોંધો કે $y = \sec^{-1}x$ નો અર્થ છે $y \in [0, \pi]$ અને $y \neq \pi/2$.
$y \le \pi \approx 3.14$ હોવાથી,પદ $(y - 4)$ હંમેશા ઋણ છે કારણ કે $y < 4$.
અસમતાને $(y - 4)$ વડે ભાગતા,અસમતાની નિશાની બદલાય છે: $(y - 1)(y - 2) \le 0$.
આ $y \in [1, 2]$ માટે સાચું છે.
$y = \sec^{-1}x$ હોવાથી,$1 \le \sec^{-1}x \le 2$ મળે.
બધા પદોનો સેકન્ટ લેતા,$\sec 1 \le x \le \sec 2$ મળે છે.
આમ,ઉકેલ ગણ $[\sec 1, \sec 2]$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = |x + |2x - 1|| - |x - |2x - 1||$.
આપણે વિધેય $f(x)$ નું વિવિધ કિસ્સાઓમાં વિશ્લેષણ કરી શકીએ:
કિસ્સો $1$: $x \ge 1$. તો $|2x-1| = 2x-1$. તેથી $f(x) = |x + 2x - 1| - |x - (2x - 1)| = |3x - 1| - |-x + 1| = (3x - 1) - (x - 1) = 2x$.
કિસ્સો $2$: $1/2 \le x < 1$. તો $|2x-1| = 2x-1$. તેથી $f(x) = |x + 2x - 1| - |x - (2x - 1)| = |3x - 1| - |-x + 1| = (3x - 1) - (-x + 1) = 4x - 2$.
કિસ્સો $3$: $0 \le x < 1/2$. તો $|2x-1| = 1 - 2x$. તેથી $f(x) = |x + 1 - 2x| - |x - (1 - 2x)| = |1 - x| - |3x - 1| = (1 - x) - (1 - 3x) = 2x$.
કિસ્સો $4$: $x < 0$. તો $|2x-1| = 1 - 2x$. તેથી $f(x) = |x + 1 - 2x| - |x - (1 - 2x)| = |1 - x| - |3x - 1| = (1 - x) - (1 - 3x) = 2x$.
આમ,$f(x) = 2x$ જ્યારે $x < 1/2$,$f(x) = 4x - 2$ જ્યારે $1/2 \le x < 1$,અને $f(x) = 2x$ જ્યારે $x \ge 1$.
આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે કોઈ પણ $K$ માટે ત્રણ ઉકેલો મળતા નથી. તેથી,આવા ધન પૂર્ણાંક મૂલ્યોની સંખ્યા $0$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$xy = \frac{1}{9}$
$x(y + 1) = \frac{7}{9}$
$y(x + 1) = \frac{5}{18}$
આપણે $(x + 1)(y + 1)$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x + 1)(y + 1) = xy + x + y + 1$
આપેલ સમીકરણો પરથી:
$x(y + 1) = xy + x = \frac{7}{9}$
$y(x + 1) = yx + y = \frac{5}{18}$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(xy + x) + (yx + y) = \frac{7}{9} + \frac{5}{18}$
$2xy + x + y = \frac{14}{18} + \frac{5}{18} = \frac{19}{18}$
અહીં $xy = \frac{1}{9}$ હોવાથી,$2(\frac{1}{9}) + x + y = \frac{19}{18}$
$\frac{2}{9} + x + y = \frac{19}{18}$
$x + y = \frac{19}{18} - \frac{4}{18} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}$
હવે,$(x + 1)(y + 1) = xy + (x + y) + 1$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(x + 1)(y + 1) = \frac{1}{9} + \frac{5}{6} + 1$
$= \frac{2}{18} + \frac{15}{18} + \frac{18}{18} = \frac{35}{18}$

(B) ધારો કે $\alpha$ એ બંને સમીકરણોનું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2 + p\alpha + 2q = 0$ અને $\alpha^2 + q\alpha + 2p = 0$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા:
$(\alpha^2 + p\alpha + 2q) - (\alpha^2 + q\alpha + 2p) = 0$
$\alpha(p - q) - 2(p - q) = 0$
$(p - q)(\alpha - 2) = 0$
આપેલ છે કે $p \ne q$,તેથી $\alpha - 2 = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 2$.
$\alpha = 2$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2)^2 + p(2) + 2q = 0$
$4 + 2p + 2q = 0$
$2(p + q) = -4$
$p + q = -2$

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - \sqrt{2}x + 1 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4}}{2} = \frac{\sqrt{2} \pm i\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \pm i\frac{1}{\sqrt{2}}$.
આ બીજને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં $\alpha = \cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}) = e^{i\pi/4}$ અને $\beta = \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}) = e^{-i\pi/4}$ તરીકે લખી શકાય.
હવે,આપણે $\alpha^{50} + \beta^{50}$ શોધવાનું છે.
$\alpha^{50} = (e^{i\pi/4})^{50} = e^{i50\pi/4} = e^{i25\pi/2} = e^{i\pi/2} = i$.
$\beta^{50} = (e^{-i\pi/4})^{50} = e^{-i50\pi/4} = e^{-i25\pi/2} = e^{-i\pi/2} = -i$.
તેથી,$\alpha^{50} + \beta^{50} = i + (-i) = 0$.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$ થાય.
$a$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{2b}{a} = 1 + \frac{c}{a}$ ... $(i)$.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = 15$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b}{a} = -15$.
સમીકરણ $(i)$ માં $\frac{b}{a} = -15$ મૂકતા:
$2(-15) = 1 + \frac{c}{a} \Rightarrow -30 = 1 + \frac{c}{a} \Rightarrow \frac{c}{a} = -31$.
કારણ કે $\alpha\beta = \frac{c}{a}$,તેથી $\alpha\beta = -31$ થાય.

(B) ધારો કે $x^2 + ax + b = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. તેથી,$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = a^2 - 4b$.
ધારો કે $x^2 + bx + a = 0$ ના બીજ $\alpha'$ અને $\beta'$ છે. તેથી,$(\alpha' - \beta')^2 = (\alpha' + \beta')^2 - 4\alpha'\beta' = b^2 - 4a$.
આપેલ છે કે બીજ વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે,તેથી $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha' - \beta')^2$.
તેથી,$a^2 - 4b = b^2 - 4a$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $a^2 - b^2 = 4b - 4a$ મળે છે.
$(a - b)(a + b) = -4(a - b)$.
કારણ કે $a \ne b$,આપણે બંને બાજુ $(a - b)$ વડે ભાગી શકીએ છીએ,જે આપણને $a + b = -4$ આપે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 6a$.
બધા $x \in [1, 2]$ માટે $f(x) \leqslant 0$ સાચું હોય તે માટે,અંતિમ બિંદુઓ પર વિધેયના મૂલ્યો $f(1) \leqslant 0$ અને $f(2) \leqslant 0$ હોવા જોઈએ.
પગલું $1$: $f(1) \leqslant 0$ ઉકેલો.
$f(1) = 1 - 2a + a^2 - 6a = a^2 - 8a + 1 \leqslant 0$.
$a^2 - 8a + 1 = 0$ ના બીજ $a = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4}}{2} = 4 \pm \sqrt{15}$ છે.
તેથી,$a \in [4 - \sqrt{15}, 4 + \sqrt{15}]$ ... $(i)$.
પગલું $2$: $f(2) \leqslant 0$ ઉકેલો.
$f(2) = 4 - 4a + a^2 - 6a = a^2 - 10a + 4 \leqslant 0$.
$a^2 - 10a + 4 = 0$ ના બીજ $a = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 16}}{2} = 5 \pm \sqrt{21}$ છે.
તેથી,$a \in [5 - \sqrt{21}, 5 + \sqrt{21}]$ ... $(ii)$.
પગલું $3$: $(i)$ અને $(ii)$ નો છેદગણ શોધો.
$5 - \sqrt{21} \approx 0.42$ અને $4 - \sqrt{15} \approx 0.13$ હોવાથી,નીચેની સીમા $5 - \sqrt{21}$ છે.
$4 + \sqrt{15} \approx 7.87$ અને $5 + \sqrt{21} \approx 9.58$ હોવાથી,ઉપરની સીમા $4 + \sqrt{15}$ છે.
તેથી,$a \in [5 - \sqrt{21}, 4 + \sqrt{15}]$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2 + \alpha x + \beta = 0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -\alpha \implies 2\alpha + \beta = 0$ .......$(1)$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = \beta \implies \beta(\alpha - 1) = 0$ .......$(2)$
$(2)$ પરથી,કાં તો $\beta = 0$ અથવા $\alpha = 1$.
કિસ્સો $I$: જો $\beta = 0$,તો $(1)$ પરથી,$2\alpha = 0 \implies \alpha = 0$. પરંતુ પ્રશ્નમાં $\alpha \neq \beta$ આપેલ છે,તેથી આ શક્ય નથી.
કિસ્સો $II$: જો $\alpha = 1$,તો $(1)$ પરથી,$2(1) + \beta = 0 \implies \beta = -2$. અહીં $\alpha \neq \beta$ શરત સંતોષાય છે.
હવે $\alpha = 1$ અને $\beta = -2$ ને અસમતા $| |y - (-2)| - 1 | < 1$ માં મૂકતા:
$| |y + 2| - 1 | < 1$
$-1 < |y + 2| - 1 < 1$
$0 < |y + 2| < 2$
આનો અર્થ એ છે કે $|y + 2| < 2$ અને $|y + 2| \neq 0$.
$-2 < y + 2 < 2$ અને $y + 2 \neq 0$.
$-4 < y < 0$ અને $y \neq -2$.
આમ,$y \in (-4, -2) \cup (-2, 0)$.

(A) ધારો કે $f(x) = (p - 5)x^2 - 2px + (p - 4)$.
બીજ ધન હોય,એક $2$ થી નાનું અને બીજું $2$ અને $3$ ની વચ્ચે હોય તે માટે પરવલય ઉપરની તરફ ખુલવો જોઈએ,તેથી $p - 5 > 0 \Rightarrow p > 5$.
આપેલ શરતો મુજબ,$f(0) > 0$,$f(2) < 0$,અને $f(3) > 0$ હોવું જોઈએ.
$1$) $f(0) = p - 4 > 0 \Rightarrow p > 4$.
$2$) $f(2) = (p - 5)(4) - 2p(2) + (p - 4) = 4p - 20 - 4p + p - 4 = p - 24 < 0 \Rightarrow p < 24$.
$3$) $f(3) = (p - 5)(9) - 2p(3) + (p - 4) = 9p - 45 - 6p + p - 4 = 4p - 49 > 0 \Rightarrow p > \frac{49}{4}$.
$p > 5$,$p > 4$,$p < 24$,અને $p > \frac{49}{4}$ ને જોડતા,આપણને અંતરાલ $\left( \frac{49}{4}, 24 \right)$ મળે છે.

(B) ધારો કે $S = a + b + c + d + e$. આપેલ સમીકરણોને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$S + a = 6$
$S + b = 12$
$S + c = 24$
$S + d = 48$
$S + e = 96$
આ પાંચેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$5S + (a + b + c + d + e) = 6 + 12 + 24 + 48 + 96$
$5S + S = 186$
$6S = 186$
$S = 31$
હવે,$S = 31$ ને ત્રીજા સમીકરણ $S + c = 24$ માં મૂકતા:
$31 + c = 24$
$c = 24 - 31 = -7$
તેથી,$|c| = |-7| = 7$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^3 + 8x + 1 = 0$ છે,જ્યાં $a, b, c$ બીજ હોવાથી $x^3 = -(8x + 1)$ થાય.
તેથી,$8x + 1 = -x^3$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{bc}{(-b^3)(-c^3)} + \frac{ac}{(-a^3)(-c^3)} + \frac{ab}{(-a^3)(-b^3)}$
$= \frac{bc}{b^3c^3} + \frac{ac}{a^3c^3} + \frac{ab}{a^3b^3}$
$= \frac{1}{b^2c^2} + \frac{1}{a^2c^2} + \frac{1}{a^2b^2}$
$= \frac{a^2 + b^2 + c^2}{a^2b^2c^2}$
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ $x^3 + 0x^2 + 8x + 1 = 0$ માટે:
બીજનો સરવાળો $\Sigma a = a + b + c = 0$.
બબ્બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો $\Sigma ab = ab + bc + ca = 8$.
બીજનો ગુણાકાર $abc = -1$.
હવે,$a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) = 0^2 - 2(8) = -16$.
વળી,$(abc)^2 = (-1)^2 = 1$.
તેથી,કિંમત $\frac{-16}{1} = -16$ થાય.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 2ax + (a^2 - 4) = 0$ છે.
આને $x^2 - 2ax + (a-2)(a+2) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,આપણને $(x - (a-2))(x - (a+2)) = 0$ મળે છે.
આમ,બીજ $x_1 = a-2$ અને $x_2 = a+2$ છે.
અહીં $a-2 < a+2$ હોવાથી,નાનું બીજ $a-2$ અને મોટું બીજ $a+2$ છે.
આપણને શરતો આપેલી છે: $a-2 < 1$ અને $a+2 > 6$.
$a-2 < 1$ પરથી,આપણને $a < 3$ મળે છે.
$a+2 > 6$ પરથી,આપણને $a > 4$ મળે છે.
કોઈપણ $a$ ની કિંમત $a < 3$ અને $a > 4$ બંને શરતોનું એકસાથે પાલન કરતી નથી,તેથી $a$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) ત્રિઘાત બહુપદી $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ કોઈ શિરોલંબ રેખા $x = k$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત હોય તે માટે,ત્રિઘાત પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $a = 0$.
જો $a = 0$ હોય,તો સમીકરણ $y = bx^2 + cx + d$ બને છે,જે એક પરવલય છે.
પરવલય $y = bx^2 + cx + d$ એ શિરોલંબ રેખા $x = -\frac{c}{2b}$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત હોય છે.
આપેલ છે કે આલેખ $x = k$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી $k = -\frac{c}{2b}$.
આને ફરીથી ગોઠવતા $k + \frac{c}{2b} = 0$ મળે છે.
કારણ કે $a = 0$ છે,આપણે $a + \frac{c}{2b} + k = 0$ લખી શકીએ છીએ.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 2x + 4 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$ મળે.
બીજને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં લખતા: $\alpha = 1 + i\sqrt{3} = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$ અને $\beta = 1 - i\sqrt{3} = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3} \right)$.
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,$\alpha^n = 2^n \left( \cos \frac{n\pi}{3} + i \sin \frac{n\pi}{3} \right)$ અને $\beta^n = 2^n \left( \cos \frac{n\pi}{3} - i \sin \frac{n\pi}{3} \right)$.
બંનેનો સરવાળો કરતા,$\alpha^n + \beta^n = 2^n \left( \cos \frac{n\pi}{3} + i \sin \frac{n\pi}{3} + \cos \frac{n\pi}{3} - i \sin \frac{n\pi}{3} \right)$.
$\alpha^n + \beta^n = 2^n \left( 2 \cos \frac{n\pi}{3} \right) = 2^{n+1} \cos \frac{n\pi}{3}$.

(C) ધારો કે $u = x - 1$. વર્ગમૂળમાં $x - 1$ હોવાથી,$u \geq 0$ હોવું જોઈએ.
સમીકરણ $\sqrt{u + 4 - 4\sqrt{u}} + \sqrt{u + 9 - 6\sqrt{u}} = 1$ બને છે.
આનું સાદું રૂપ $\sqrt{(\sqrt{u} - 2)^2} + \sqrt{(\sqrt{u} - 3)^2} = 1$ થાય,એટલે કે $|\sqrt{u} - 2| + |\sqrt{u} - 3| = 1$.
ધારો કે $y = \sqrt{u}$. તો $|y - 2| + |y - 3| = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|y - a| + |y - b| = |b - a|$ ત્યારે જ શક્ય છે જો $y$ એ $a$ અને $b$ ની વચ્ચે (સહિત) હોય.
અહીં,$|y - 2| + |y - 3| = |3 - 2| = 1$.
તેથી,$2 \leq y \leq 3$.
$y = \sqrt{u}$ પાછું મૂકતા,$2 \leq \sqrt{u} \leq 3$.
અસમતાનો વર્ગ કરતા,$4 \leq u \leq 9$.
$u = x - 1$ હોવાથી,$4 \leq x - 1 \leq 9$,જેનો અર્થ છે કે $5 \leq x \leq 10$.
આમ,ઉકેલ $x \in [5, 10]$ છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - \alpha x + \alpha + 1 = 0$ ના બીજ પૂર્ણાંક હોય તે માટે તેનો વિવેચક $D$ પૂર્ણવર્ગ હોવો જોઈએ.
$D = \alpha^2 - 4(1)(\alpha + 1) = \alpha^2 - 4\alpha - 4$.
ધારો કે $D = k^2$,જ્યાં $k$ એક અનૃણ પૂર્ણાંક છે.
$\alpha^2 - 4\alpha - 4 = k^2$
$(\alpha^2 - 4\alpha + 4) - 8 = k^2$
$(\alpha - 2)^2 - k^2 = 8$
$(\alpha - 2 - k)(\alpha - 2 + k) = 8$.
$8$ એ બે પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હોવાથી,આપણે $8$ ના અવયવો વિચારીએ: $(1, 8), (2, 4), (-1, -8), (-2, -4)$.
કિસ્સો $1$: $\alpha - 2 - k = 2$ અને $\alpha - 2 + k = 4$. બંનેનો સરવાળો કરતા $2(\alpha - 2) = 6 \Rightarrow \alpha - 2 = 3 \Rightarrow \alpha = 5$.
કિસ્સો $2$: $\alpha - 2 - k = -4$ અને $\alpha - 2 + k = -2$. બંનેનો સરવાળો કરતા $2(\alpha - 2) = -6 \Rightarrow \alpha - 2 = -3 \Rightarrow \alpha = -1$.
આમ,$\alpha$ ના ભિન્ન પૂર્ણાંક મૂલ્યો $5$ અને $-1$ છે.
તેથી,આ મૂલ્યોનો સરવાળો $5 + (-1) = 4$ થાય છે.

(B) ધારો કે $P(x) = x^3 - 2x^2 + 4x + 5074$. કારણ કે $r_1, r_2, r_3$ એ $P(x) = 0$ ના બીજ છે,આપણે બહુપદીને આ રીતે લખી શકીએ:
$P(x) = (x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)$
આપણે $(r_1 + 2)(r_2 + 2)(r_3 + 2)$ નું મૂલ્ય શોધવા માંગીએ છીએ.
નોંધો કે $P(-2) = (-2 - r_1)(-2 - r_2)(-2 - r_3) = (-1)^3 (2 + r_1)(2 + r_2)(2 + r_3) = -(r_1 + 2)(r_2 + 2)(r_3 + 2)$.
હવે,આપેલ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને $P(-2)$ ની ગણતરી કરો:
$P(-2) = (-2)^3 - 2(-2)^2 + 4(-2) + 5074$
$P(-2) = -8 - 8 - 8 + 5074 = 5050$.
આમ,$5050 = -(r_1 + 2)(r_2 + 2)(r_3 + 2)$,
તેથી,$(r_1 + 2)(r_2 + 2)(r_3 + 2) = -5050$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $(x - a)(x - 10) + 1 = 0$ છે.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$x^{2} - (10 + a)x + 10a + 1 = 0$ મળે છે.
બીજ પૂર્ણાંક હોવા માટે,વિવેચક $D$ પૂર્ણવર્ગ હોવો જોઈએ.
$D = b^{2} - 4ac = (10 + a)^{2} - 4(10a + 1)$.
$D = 100 + 20a + a^{2} - 40a - 4$.
$D = a^{2} - 20a + 96$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$D = (a - 10)^{2} - 4$.
ધારો કે $D = k^{2}$ જ્યાં $k \ge 0$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
તેથી $k^{2} = (a - 10)^{2} - 4$,જે સૂચવે છે કે $(a - 10)^{2} - k^{2} = 4$.
$(a - 10 - k)(a - 10 + k) = 4$.
આ બે અવયવો વચ્ચેનો તફાવત $2k$ (બેકી સંખ્યા) હોવાથી,બંને અવયવો બેકી હોવા જોઈએ.
$4$ ના શક્ય અવયવોની જોડી $(2, 2)$ અથવા $(-2, -2)$ છે.
કિસ્સો $1$: $a - 10 - k = 2$ અને $a - 10 + k = 2$.
સરવાળો કરતા,$2(a - 10) = 4 \Rightarrow a - 10 = 2 \Rightarrow a = 12$.
કિસ્સો $2$: $a - 10 - k = -2$ અને $a - 10 + k = -2$.
સરવાળો કરતા,$2(a - 10) = -4 \Rightarrow a - 10 = -2 \Rightarrow a = 8$.
આમ,$a$ ની પૂર્ણાંક કિંમતો $8$ અને $12$ છે.