Polynomials Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $p(x) = x^{3} - 2ax^{2} + ax - 1$ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x-2)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(2) = 0$ થવું જોઈએ.
બહુપદીમાં $x = 2$ મૂકતા:
$p(2) = (2)^{3} - 2a(2)^{2} + a(2) - 1 = 0$.
$8 - 2a(4) + 2a - 1 = 0$.
$8 - 8a + 2a - 1 = 0$.
$7 - 6a = 0$.
$6a = 7$.
તેથી,$a = \frac{7}{6}$.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3} + a x^{2} - 2 x + a + 4$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x+a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(-a) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -a$ મૂકતા:
$p(-a) = (-a)^{3} + a(-a)^{2} - 2(-a) + a + 4 = 0$
$-a^{3} + a(a^{2}) + 2a + a + 4 = 0$
$-a^{3} + a^{3} + 3a + 4 = 0$
$3a + 4 = 0$
$3a = -4$
$a = -\frac{4}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $(x - 1)$ એ $f(x) = x^{3} - kx^{2} + 11x - 6$ નો અવયવ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x - a)$ એ $f(x)$ નો અવયવ હોય,તો $f(a) = 0$ થાય.
અહીં,$a = 1$ છે,તેથી $f(1) = 0$ થશે.
બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$(1)^{3} - k(1)^{2} + 11(1) - 6 = 0$
$1 - k + 11 - 6 = 0$
$6 - k = 0$
$k = 6$.

(A) ધારો કે બહુપદી $f(x) = 5x^{2} - 4x - 1$ છે.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જ્યારે કોઈ બહુપદી $f(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $f(a)$ મળે છે.
અહીં,ભાજક $(x - 1)$ છે,તેથી $a = 1$ થશે.
બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$f(1) = 5(1)^{2} - 4(1) - 1$
$f(1) = 5(1) - 4 - 1$
$f(1) = 5 - 5 = 0$.
તેથી,શેષ $0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = 2x^{3} + mx^{2} + nx - 14$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x-1)$ એ $f(x)$ નો અવયવ હોય,તો $f(1) = 0$ થાય.
$2(1)^{3} + m(1)^{2} + n(1) - 14 = 0$
$2 + m + n - 14 = 0 \Rightarrow m + n = 12$ $...(1)$
તે જ રીતે,જો $(x+2)$ એ $f(x)$ નો અવયવ હોય,તો $f(-2) = 0$ થાય.
$2(-2)^{3} + m(-2)^{2} + n(-2) - 14 = 0$
$-16 + 4m - 2n - 14 = 0 \Rightarrow 4m - 2n = 30 \Rightarrow 2m - n = 15$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(m + n) + (2m - n) = 12 + 15$
$3m = 27 \Rightarrow m = 9$.
$m = 9$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$9 + n = 12 \Rightarrow n = 3$.
આમ,$m = 9$ અને $n = 3$ મળે છે.

(C) આપેલ બહુપદી $f(x) = 2x^{3} - ax^{2} - (2a - 3)x + 2$ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x + 1)$ એ $f(x)$ નો અવયવ હોય,તો $f(-1) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$f(-1) = 2(-1)^{3} - a(-1)^{2} - (2a - 3)(-1) + 2 = 0$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$2(-1) - a(1) + (2a - 3) + 2 = 0$
$-2 - a + 2a - 3 + 2 = 0$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$a - 3 = 0$
$a = 3$
તેથી,$a$ ની કિંમત $3$ છે.

(A) $4y^{3}-3y^{2}+2y-4$ ને $y+2$ વડે ભાગવા માટે:
$1$. પ્રથમ પદ $4y^{3}$ ને $y$ વડે ભાગતા $4y^{2}$ મળે છે.
$2$. $4y^{2}$ ને $(y+2)$ સાથે ગુણતા $4y^{3}+8y^{2}$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા $-11y^{2}+2y-4$ મળે છે.
$3$. $-11y^{2}$ ને $y$ વડે ભાગતા $-11y$ મળે છે.
$4$. $-11y$ ને $(y+2)$ સાથે ગુણતા $-11y^{2}-22y$ મળે છે. તેને બાદ કરતા $24y-4$ મળે છે.
$5$. $24y$ ને $y$ વડે ભાગતા $24$ મળે છે.
$6$. $24$ ને $(y+2)$ સાથે ગુણતા $24y+48$ મળે છે. તેને બાદ કરતા $-52$ મળે છે.
તેથી,ભાગફળ $4y^{2}-11y+24$ છે અને શેષ $-52$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $16(x-y)^{2}-9(x+y)^{2}$
આ પદાવલિ $a^{2}-b^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a^{2} = 16(x-y)^{2} \implies a = 4(x-y)$ અને $b^{2} = 9(x+y)^{2} \implies b = 3(x+y)$ છે.
નિત્યસમ $a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= [4(x-y)-3(x+y)][4(x-y)+3(x+y)]$
$= (4x-4y-3x-3y)(4x-4y+3x+3y)$
$= (x-7y)(7x-y)$

(B) આપેલ પદાવલિ: $4 x^{2}+12 x y+9 y^{2}-8 x-12 y$
પ્રથમ,નોંધો કે પ્રથમ ત્રણ પદો એક પૂર્ણવર્ગ બનાવે છે:
$4 x^{2}+12 x y+9 y^{2} = (2 x)^{2} + 2(2 x)(3 y) + (3 y)^{2} = (2 x+3 y)^{2}$
ત્યારબાદ,બાકીના બે પદોમાંથી $-4$ સામાન્ય કાઢતા:
$-8 x-12 y = -4(2 x+3 y)$
આ બંનેને જોડતા,આપણને મળે છે:
$(2 x+3 y)^{2} - 4(2 x+3 y)$
હવે,સામાન્ય પદ $(2 x+3 y)$ ને સામાન્ય લેતા:
$(2 x+3 y)(2 x+3 y-4)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $16 x^{2}-72 x y+81 y^{2}-12 x+27 y$
અહીં પ્રથમ ત્રણ પદો એક પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ બનાવે છે: $(4 x)^{2}-2(4 x)(9 y)+(9 y)^{2} = (4 x-9 y)^{2}$
હવે,બાકીના બે પદોમાંથી $-3$ સામાન્ય લેતા: $-12 x+27 y = -3(4 x-9 y)$
આ બંનેને જોડતા આપણને મળે છે: $(4 x-9 y)^{2}-3(4 x-9 y)$
$(4 x-9 y)$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા: $(4 x-9 y)(4 x-9 y-3)$

(B) આપેલ પદાવલિ $(a+b)^{2}-14 c(a+b)+49 c^{2}$ છે.
આ પદાવલિ $x^{2}-2xy+y^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $x = (a+b)$ અને $y = 7c$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x^{2}-2xy+y^{2} = (x-y)^{2}$ થાય.
$x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(a+b)^{2}-2(a+b)(7c)+(7c)^{2} = (a+b-7c)^{2}$.

(C) આપેલ પદાવલિ $81 x^{2} y^{2}+108 x y z+36 z^{2}$ છે.
આપણે આ પદાવલિને નિત્યસમ $(a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ છીએ.
અહીં,$a^{2} = (9 x y)^{2}$ અને $b^{2} = (6 z)^{2}$ છે.
તેથી,$a = 9 x y$ અને $b = 6 z$ થાય.
હવે,મધ્યમ પદ તપાસીએ: $2ab = 2(9 x y)(6 z) = 108 x y z$.
આમ,પદાવલિ નિત્યસમ સાથે બંધબેસતી હોવાથી,આપણને મળે છે:
$81 x^{2} y^{2}+108 x y z+36 z^{2} = (9 x y+6 z)^{2}$.

(A) આપેલ પદાવલિ $(a-b+c)^{2}+(b-c+a)^{2}+2(a-b+c)(b+c-a)$ છે.
આ પદાવલિ $x^{2} + y^{2} + 2xy$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $x = (a-b+c)$ અને $y = (a+b-c)$ લેતા.
અહીં $(b+c-a)$ એ $(a+b-c)$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા,પદાવલિ $(x+y)^{2}$ બને છે.
તેથી,$((a-b+c) + (a+b-c))^{2} = (2a)^{2} = 4a^{2}$ થાય.

(B) આપેલ પદાવલિ $9(3 x+5 y)^{2}-12(3 x+5 y)(2 x+3 y)+4(2 x+3 y)^{2}$ છે.
આ પદાવલિ $a^{2}-2ab+b^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 3(3 x+5 y)$ અને $b = 2(2 x+3 y)$ છે.
આપણે પદાવલિને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$[3(3 x+5 y)]^{2}-2[3(3 x+5 y)][2(2 x+3 y)]+[2(2 x+3 y)]^{2}$.
નિત્યસમ $(a-b)^{2} = a^{2}-2ab+b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$[3(3 x+5 y)-2(2 x+3 y)]^{2}$.
હવે,કૌંસની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$= (9 x+15 y-4 x-6 y)^{2}$.
$= (5 x+9 y)^{2}$.

(A) આપેલ પદાવલિ $a^2 + 2ab + b^2$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = (2x + 3y)$ અને $b = (2x - 3y)$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$[(2x + 3y) + (2x - 3y)]^2$
હવે,કૌંસની અંદરના પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$(2x + 3y + 2x - 3y)^2$
$= (4x)^2$
$= 16x^2$

(C) આપેલ પદાવલિ: $45 a^{3} b + 5 a b^{3} - 30 a^{2} b^{2}$
પગલું $1$: દરેક પદમાંથી સામાન્ય અવયવ $5 a b$ બહાર કાઢો:
$= 5 a b(9 a^{2} + b^{2} - 6 a b)$
પગલું $2$: કૌંસની અંદરના પદોને ફરીથી ગોઠવો:
$= 5 a b(9 a^{2} - 6 a b + b^{2})$
પગલું $3$: આ પદાવલિને $(x - y)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$ સ્વરૂપના પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી તરીકે ઓળખો,જ્યાં $x = 3 a$ અને $y = b$ છે:
$= 5 a b((3 a)^{2} - 2(3 a)(b) + (b)^{2})$
પગલું $4$: નિત્યસમનો ઉપયોગ કરો:
$= 5 a b(3 a - b)^{2}$

(C) ધારો કે $x = a-b$,$y = b-c$,અને $z = c-a$.
તેથી,$x+y+z = (a-b) + (b-c) + (c-a) = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ મુજબ: જો $x+y+z = 0$ હોય,તો $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ થાય.
$x, y,$ અને $z$ ની કિંમતો પાછી મૂકતા:
$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $a^{2}+\frac{1}{a^{2}}+3-2 a-\frac{2}{a}$
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$= (a^{2}+\frac{1}{a^{2}}+2) - 2a - \frac{2}{a} + 1$
$= (a+\frac{1}{a})^{2} - 2(a+\frac{1}{a}) + 1$
ધારો કે $x = a+\frac{1}{a}$. તો પદાવલિ નીચે મુજબ બનશે:
$= x^{2} - 2x + 1$
આ $(x-1)^{2}$ સ્વરૂપનો પૂર્ણવર્ગ છે:
$= (x-1)^{2}$
$x = a+\frac{1}{a}$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$= (a+\frac{1}{a}-1)^{2}$
$= (a+\frac{1}{a}-1)(a+\frac{1}{a}-1)$

(A) આપેલ છે કે,$x+\frac{1}{x}=2.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2} = (2)^{2}$
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2(x)\left(\frac{1}{x}\right) = 4$
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 = 4$
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 2$
હવે,ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\left(x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} = (2)^{2}$
$x^{4} + \frac{1}{x^{4}} + 2(x^{2})\left(\frac{1}{x^{2}}\right) = 4$
$x^{4} + \frac{1}{x^{4}} + 2 = 4$
$x^{4} + \frac{1}{x^{4}} = 2.$

(B) આપેલ છે કે $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 6.$
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b)$ છે.
ધારો કે $a = \frac{x}{y}$ અને $b = \frac{y}{x}.$
તેથી,$\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right)^{3} = \frac{x^{3}}{y^{3}} + \frac{y^{3}}{x^{3}} + 3\left(\frac{x}{y}\right)\left(\frac{y}{x}\right)\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right).$
કારણ કે $\left(\frac{x}{y}\right)\left(\frac{y}{x}\right) = 1,$ તેથી સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$(6)^{3} = \frac{x^{3}}{y^{3}} + \frac{y^{3}}{x^{3}} + 3(1)(6).$
$216 = \frac{x^{3}}{y^{3}} + \frac{y^{3}}{x^{3}} + 18.$
$\frac{x^{3}}{y^{3}} + \frac{y^{3}}{x^{3}} = 216 - 18 = 198.$

(C) આપેલ છે કે $x+y+z=0.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(x+y+z)^{2}=0^{2}$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+zx)=0$ મળે છે.
તેથી,$x^{2}+y^{2}+z^{2}=-2(xy+yz+zx).$
આપણે કૌંસની અંદરના પદને $x(y+z)+yz$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
કારણ કે $x+y+z=0$ છે,તેથી $y+z=-x$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $x^{2}+y^{2}+z^{2}=-2(x(-x)+yz) = -2(-x^{2}+yz) = 2(x^{2}-yz)$ મળે છે.
આમ,$\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x^{2}-yz} = \frac{2(x^{2}-yz)}{x^{2}-yz} = 2$ થાય.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $(x+\frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(x+\frac{1}{x})$.
આપેલ છે કે $x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 52$.
ધારો કે $y = x + \frac{1}{x}$. આ કિંમત નિત્યસમમાં મૂકતા:
$y^{3} = 52 + 3y$
$y^{3} - 3y - 52 = 0$.
$y$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $52$ ના અવયવો ચકાસીએ. જો $y = 4$ લઈએ તો:
$4^{3} - 3(4) - 52 = 64 - 12 - 52 = 0$.
આમ,$y = 4$ એ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી $x + \frac{1}{x}$ ની કિંમત $4$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $256 x^{4}+160 x^{2} y^{2}+25 y^{4}$ છે.
આને $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે.
$256 x^{4}+160 x^{2} y^{2}+25 y^{4} = (16 x^{2})^{2} + 2(16 x^{2})(5 y^{2}) + (5 y^{2})^{2}$.
આનું સાદું રૂપ $(16 x^{2} + 5 y^{2})^{2}$ થાય છે.
હવે,$x=3$ અને $y=4$ ની કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$(16(3)^{2} + 5(4)^{2})^{2} = (16 \times 9 + 5 \times 16)^{2}$.
$= (144 + 80)^{2} = (224)^{2}$.
$(224)^{2} = 50176$.

(D) આપેલ છે કે $x+\frac{1}{x}=2$.
$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$a=x$ અને $b=\frac{1}{x}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(x+\frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(x)(\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x})$.
કારણ કે $x+\frac{1}{x}=2$,તેથી:
$2^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(1)(2)$.
$8 = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 6$.
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 8 - 6 = 2$.
વૈકલ્પિક રીતે,જો $x+\frac{1}{x}=2$ હોય,તો $x=1$ એ એકમાત્ર વાસ્તવિક ઉકેલ છે. $x=1$ ને $x^{3}+\frac{1}{x^{3}}$ માં મૂકતા $1^{3} + \frac{1}{1^{3}} = 1+1 = 2$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=5$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2} = 5^{2}$
$x + 2\left(\sqrt{x}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) + \frac{1}{x} = 25$
$x + 2 + \frac{1}{x} = 25$
$x + \frac{1}{x} = 23$
હવે,ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\left(x + \frac{1}{x}\right)^{2} = 23^{2}$
$x^{2} + 2(x)\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{1}{x^{2}} = 529$
$x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} = 529$
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 529 - 2 = 527$

(D) આપેલ છે કે $x+\frac{1}{x}=3.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}=3^{2}.$
$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2=9 \Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7.$
હવે,સમીકરણ $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7$ ની બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને મળે $\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)^{3}=7^{3}.$
નિત્યસમ $(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,
$x^{6}+\frac{1}{x^{6}}+3\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)=343.$
$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=7$ ની કિંમત મૂકતા,
$x^{6}+\frac{1}{x^{6}}+3(7)=343.$
$x^{6}+\frac{1}{x^{6}}+21=343.$
$x^{6}+\frac{1}{x^{6}}=343-21=322.$

(B) આપેલ પદાવલિ $a^{2} + \frac{1}{4} + a$ છે.
આપણે આ પદાવલિને $a^{2} + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ બીજગણિતીય નિત્યસમ $x^{2} + 2xy + y^{2} = (x + y)^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $x = a$ અને $y = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$a^{2} + a + \frac{1}{4} = (a + \frac{1}{2})^{2}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $a+b+c=0.$
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca).$
અહીં $a+b+c=0$ હોવાથી,જમણી બાજુ $0$ થશે,તેથી $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc.$
હવે,પદાવલિ $\frac{a^{2}}{bc} + \frac{b^{2}}{ca} + \frac{c^{2}}{ab}$ ધ્યાનમાં લો.
લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(LCM)$ $abc$ લેતા,આપણને મળે: $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}.$
$a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે: $\frac{3abc}{abc} = 3.$

(A) $x^3+y^3+z^3-3xyz$ માટેનું બીજગણિતીય નિત્યસમ નીચે મુજબ છે:
$x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$.
તેથી,$x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx)$.
આ કિંમતને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)[(x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx) - (xy+yz+zx)]$
$x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)[(x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx)]$
આપેલ છે કે $x+y+z=9$ અને $xy+yz+zx=23$:
$= 9 \times [9^2 - 3(23)]$
$= 9 \times [81 - 69]$
$= 9 \times 12 = 108$

(D) આપેલ પદાવલિ $x^{4}+2+\frac{1}{x^{4}}$ છે.
આને $(x^{2})^{2} + 2(x^{2})(\frac{1}{x^{2}}) + (\frac{1}{x^{2}})^{2}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = x^{2}$ અને $b = \frac{1}{x^{2}}$ છે.
તેથી,પદાવલિ $(x^{2} + \frac{1}{x^{2}})^{2}$ બને છે.
આપેલ છે કે $x = \sqrt{3}$,તેથી $x^{2} = 3$ અને $\frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{3}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $(3 + \frac{1}{3})^{2}$ મળે છે.
$= (\frac{9+1}{3})^{2} = (\frac{10}{3})^{2}$.
$= \frac{100}{9}$.

(B) આપેલ સમીકરણો $x+\frac{1}{y}=1$ અને $y+\frac{1}{z}=1$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$x=1-\frac{1}{y}=\frac{y-1}{y}.$
તેથી,$\frac{1}{x}=\frac{y}{y-1}.$
બીજા સમીકરણ પરથી,$\frac{1}{z}=1-y.$
આમ,$z=\frac{1}{1-y}.$
હવે,આ કિંમતોને $z+\frac{1}{x}$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$z+\frac{1}{x} = \frac{1}{1-y} + \frac{y}{y-1}$
$= \frac{1}{1-y} - \frac{y}{1-y}$
$= \frac{1-y}{1-y} = 1.$

(C) આપેલ પદાવલિ: $(a+b)^{2}-2(a^{2}-b^{2})+(a-b)^{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a^{2}-b^{2}) = (a+b)(a-b)$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$(a+b)^{2}-2(a+b)(a-b)+(a-b)^{2}$
આ પદાવલિ $x^{2}-2xy+y^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $x = (a+b)$ અને $y = (a-b)$ છે.
નિત્યસમ $(x-y)^{2} = x^{2}-2xy+y^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\{(a+b)-(a-b)\}^{2}$
$= (a+b-a+b)^{2}$
$= (2b)^{2}$
$= 4b^{2}$

(C) ધારો કે $f(x) = x^3 - 2x^2 + px - q$ અને ભાજક $g(x) = x^2 - 2x - 3$ છે.
પ્રથમ,ભાજકના અવયવો પાડો: $x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$.
બહુપદીનો ભાગાકાર કરતા: $x^3 - 2x^2 + px - q = x(x^2 - 2x - 3) + (px + 3x - q) = x(x^2 - 2x - 3) + (p+3)x - q$.
આમ,શેષ $(p+3)x - q$ મળે છે.
આપેલ છે કે શેષ $(x-6)$ છે,તેથી સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$(p+3)x - q = 1x - 6$.
$x$ ના સહગુણક અને અચળ પદની સરખામણી કરતા:
$p + 3 = 1 \Rightarrow p = -2$.
$-q = -6 \Rightarrow q = 6$.
તેથી,$p = -2$ અને $q = 6$ મળે છે.

(A) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $f(x)$ ને $(ax - b)$ જેવા સુરેખ ભાજક વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ મેળવવા માટે ભાજકને શૂન્ય સાથે સરખાવીને $x$ ની કિંમત શોધવી પડે.
ભાજકને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$ax - b = 0$
$ax = b$
$x = \frac{b}{a}$
તેથી,શેષ $f\left(\frac{b}{a}\right)$ મળે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $x^{3/2} - x y^{1/2} + x^{1/2} y - y^{3/2}$
પદોના સમૂહ બનાવીને અવયવ પાડો:
$= x(x^{1/2} - y^{1/2}) + y(x^{1/2} - y^{1/2})$
$(x^{1/2} - y^{1/2})$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા:
$= (x + y)(x^{1/2} - y^{1/2})$
હવે,આ પદાવલિને $(x^{1/2} - y^{1/2})$ વડે ભાગતા:
$\frac{(x + y)(x^{1/2} - y^{1/2})}{x^{1/2} - y^{1/2}} = x + y$
તેથી,ભાગફળ $x + y$ મળે છે.

(A) ધારો કે $f(x) = 4x^3 - ax^2 + bx - 4$.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જ્યારે $f(x)$ ને $(x - c)$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $f(c)$ મળે છે.
ભાજક $(x - 2)$ માટે,શેષ $f(2) = 20$ છે:
$4(2)^3 - a(2)^2 + b(2) - 4 = 20$
$4(8) - 4a + 2b - 4 = 20$
$32 - 4a + 2b - 4 = 20$
$28 - 4a + 2b = 20$
$2b - 4a = -8$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $b - 2a = -4$ અથવા $2a - b = 4$ મળે છે ... $(1)$
ભાજક $(x + 1)$ માટે,શેષ $f(-1) = -13$ છે:
$4(-1)^3 - a(-1)^2 + b(-1) - 4 = -13$
$4(-1) - a(1) - b - 4 = -13$
$-4 - a - b - 4 = -13$
$-a - b - 8 = -13$
$-a - b = -5$ અથવા $a + b = 5$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(2a - b) + (a + b) = 4 + 5$
$3a = 9 \Rightarrow a = 3$
સમીકરણ $(2)$ માં $a = 3$ મૂકતા:
$3 + b = 5 \Rightarrow b = 2$
આમ,$a = 3$ અને $b = 2$ મળે છે.

(A) શેષ પ્રમેય મુજબ,આપણી પાસે $f(3) = 7$ અને $f(-6) = 22$ છે.
ભાજક $(x-3)(x+6)$ એ દ્વિઘાત બહુપદી હોવાથી,શેષ $ax + b$ સ્વરૂપમાં હશે.
તેથી,$f(x) = (x-3)(x+6)Q(x) + (ax + b).$
$x = 3$ મૂકતા: $f(3) = 3a + b = 7$ (સમીકરણ $1$).
$x = -6$ મૂકતા: $f(-6) = -6a + b = 22$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા: $(3a + b) - (-6a + b) = 7 - 22.$
$9a = -15 \implies a = -\frac{15}{9} = -\frac{5}{3}.$
$a = -\frac{5}{3}$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $3(-\frac{5}{3}) + b = 7 \implies -5 + b = 7 \implies b = 12.$
તેથી,શેષ $-\frac{5}{3}x + 12$ છે.

(C) આપેલ છે કે $(x-1)$ એ બહુપદી $P(x) = Ax^3 + Bx^2 - 36x + 22$ નો અવયવ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,$P(1) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x=1$ મૂકતા:
$A(1)^3 + B(1)^2 - 36(1) + 22 = 0$
$A + B - 36 + 22 = 0$
$A + B = 14$ --- (સમીકરણ $1$)
બીજી શરત મુજબ: $2^B = 64^A$.
$64 = 2^6$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$2^B = (2^6)^A$
$2^B = 2^{6A}$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$B = 6A$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$A + 6A = 14$
$7A = 14$
$A = 2$
હવે,સમીકરણ $2$ નો ઉપયોગ કરીને $B$ શોધો:
$B = 6(2) = 12$
તેથી,$A=2$ અને $B=12$.

(B) ધારો કે $S = \frac{1}{2+x_{1}} + \frac{1}{2+x_{2}} + \frac{1}{2+x_{3}}$.
આપેલ છે કે $x_{1} x_{2} x_{3} = 16 + 4(x_{1} + x_{2} + x_{3})$.
પદાવલિ $P = (2+x_{1})(2+x_{2})(2+x_{3}) = 8 + 4(x_{1} + x_{2} + x_{3}) + 2(x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{3}x_{1}) + x_{1}x_{2}x_{3}$ લો.
$x_{1}x_{2}x_{3} = 16 + 4(x_{1} + x_{2} + x_{3})$ મૂકતા,આપણને $P = 8 + 4(x_{1} + x_{2} + x_{3}) + 2(x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{3}x_{1}) + 16 + 4(x_{1} + x_{2} + x_{3}) = 24 + 8(x_{1} + x_{2} + x_{3}) + 2(x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{3}x_{1})$ મળે છે.
સરવાળા $S$ નો અંશ $(2+x_{2})(2+x_{3}) + (2+x_{1})(2+x_{3}) + (2+x_{1})(2+x_{2}) = 12 + 4(x_{1} + x_{2} + x_{3}) + (x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{3}x_{1})$ છે.
સંબંધ $x_{1}x_{2}x_{3} = 16 + 4(x_{1} + x_{2} + x_{3})$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સાબિત કરી શકીએ છીએ કે $S = \frac{1}{2}$.

(D) આપણને નિત્યસમ આપેલ છે: $a^{3}-b^{3}=(a-b)^{3}+3ab(a-b)$.
આપેલ કિંમતો $a^{3}-b^{3}=91$ અને $a-b=1$ ને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$91 = (1)^{3} + 3ab(1)$.
$91 = 1 + 3ab$.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા:
$91 - 1 = 3ab$.
$90 = 3ab$.
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા:
$ab = \frac{90}{3} = 30$.

(C) અહીં આપણને સમીકરણો $a-b=1$ અને $ab=6$ આપેલા છે.
આપણે ઘનનો તફાવત શોધવા માટેના બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીશું: $a^3-b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$.
આ નિત્યસમમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$a^3-b^3 = (1)^3 + 3(6)(1)$.
પરિણામની ગણતરી કરતા:
$a^3-b^3 = 1 + 18 = 19$.
તેથી,$(a^3-b^3)$ ની કિંમત $19$ છે.

(A) આપેલ છે કે $a = \frac{1}{a-5}$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $a(a-5) = 1$ મળે છે,જે $a^2 - 5a - 1 = 0$ માં પરિણમે છે.
આખા સમીકરણને $a$ વડે ભાગતા (કારણ કે $a > 0$,તેથી $a \neq 0$),આપણને $a - 5 - \frac{1}{a} = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a - \frac{1}{a} = 5$.
આપણે $a + \frac{1}{a}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $(a + \frac{1}{a})^2 = (a - \frac{1}{a})^2 + 4$ છે.
$a - \frac{1}{a} = 5$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $(a + \frac{1}{a})^2 = 5^2 + 4 = 25 + 4 = 29$ મળે છે.
કારણ કે $a > 0$,તેથી $a + \frac{1}{a}$ ધન હોવું જોઈએ.
તેથી,$a + \frac{1}{a} = \sqrt{29}$.

(D) આપેલ પદાવલિ $y^{3}-y$ છે.
આપણે આ પદાવલિના અવયવ પાડી શકીએ છીએ:
$y^{3}-y = y(y^{2}-1)$
તફાવતના વર્ગના સૂત્ર $a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$y^{3}-y = y(y-1)(y+1)$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$(y-1) \cdot y \cdot (y+1)$
આ પદાવલિ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર દર્શાવે છે.
કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓમાં,ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા $2$ નો ગુણક હોય છે અને બરાબર એક સંખ્યા $3$ નો ગુણક હોય છે.
જેથી $2$ અને $3$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $2 \times 3 = 6$ એ કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગુણાકારને ભાગી શકે છે.
તેથી,$(y^{3}-y)$ હંમેશા $6$ નો ગુણક છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2 a p q = (p + q)^2 - (p - q)^2$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(p + q)^2 - (p - q)^2 = 4 p q$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકીએ:
$2 a p q = 4 p q$
બંને બાજુને $2 p q$ વડે ભાગતા (ધારો કે $p, q \neq 0$):
$a = \frac{4 p q}{2 p q}$
$a = 2$

(A) આપેલ પદાવલિ 
$\left(\frac{x^{2}-x-6}{x^{2}+x-12}\right) \div \left(\frac{x^{2}+5x+6}{x^{2}+7x+12}\right)$ 
ને ઉકેલવા માટે, આપણે ભાગાકારને ગુણાકારમાં ફેરવીશું અને બીજા અપૂર્ણાંકનો વ્યસ્ત લઈશું:
$\frac{x^{2}-x-6}{x^{2}+x-12} \times \frac{x^{2}+7x+12}{x^{2}+5x+6}$
હવે, દરેક દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવો પાડો:
$x^{2}-x-6 = (x-3)(x+2)$
$x^{2}+x-12 = (x+4)(x-3)$
$x^{2}+7x+12 = (x+4)(x+3)$
$x^{2}+5x+6 = (x+3)(x+2)$
આ અવયવોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(x-3)(x+2)}{(x+4)(x-3)} \times \frac{(x+4)(x+3)}{(x+3)(x+2)}$
અંશ અને છેદમાં સમાન પદોને ઉડાડતા:
$\frac{{(x-3)}(x+2)}{(x+4){(x-3)}} \times \frac{(x+4){(x+3)}}{{(x+3)}(x+2)}$
$\frac{{(x+2)}}{{(x+4)}} \times \frac{{(x+4)}}{{(x+2)}} = 1$
અંતે જવાબ: $1$, જ્યાં $x \neq 3, -2, -3, -4$

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{(a^{2}+b^{2})(a-b)-(a-b)^{3}}{a^{2}b-ab^{2}}$
અંશમાંથી $(a-b)$ અને છેદમાંથી $ab$ સામાન્ય લેતા:
$= \frac{(a-b)[(a^{2}+b^{2})-(a-b)^{2}]}{ab(a-b)}$
અંશ અને છેદમાંથી $(a-b)$ ને દૂર કરતા:
$= \frac{(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-2ab+b^{2})}{ab}$
અંશનું સાદું રૂપ આપતા:
$= \frac{a^{2}+b^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}}{ab}$
$= \frac{2ab}{ab}$
$= 2$

(B) આપેલ છે કે $(x+\frac{1}{x})=5.$
પ્રથમ,બંને બાજુ વર્ગ કરીને $(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})$ શોધો:
$(x+\frac{1}{x})^{2} = 5^{2}$
$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2 = 25$
$x^{2}+\frac{1}{x^{2}} = 23.$
ત્યારબાદ,બંને બાજુ ઘન કરીને $(x^{3}+\frac{1}{x^{3}})$ શોધો:
$(x+\frac{1}{x})^{3} = 5^{3}$
$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3(x+\frac{1}{x}) = 125$
$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3(5) = 125$
$x^{3}+\frac{1}{x^{3}} = 125-15 = 110.$
હવે,બંને પરિણામોનો ગુણાકાર કરો:
$(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}) = 23 \times 110$
$x^{5}+\frac{1}{x}+x+\frac{1}{x^{5}} = 2530$
$(x^{5}+\frac{1}{x^{5}}) + (x+\frac{1}{x}) = 2530$
$(x^{5}+\frac{1}{x^{5}}) + 5 = 2530$
$x^{5}+\frac{1}{x^{5}} = 2530-5 = 2525.$

(D) આપેલ સમીકરણ: $2x + \frac{1}{2x} = 2$.
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $2x$ વડે ગુણતા: $4x^2 + 1 = 4x$.
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ મેળવતા: $4x^2 - 4x + 1 = 0$.
આ એક પૂર્ણવર્ગ ત્રિપદી છે: $(2x - 1)^2 = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $2x - 1 = 0$,તેથી $x = \frac{1}{2}$ મળે.
હવે,$\sqrt{2(\frac{1}{x})^4 + (\frac{1}{x})^5}$ પદમાં $x = \frac{1}{2}$ મૂકતા.
અહીં $\frac{1}{x} = 2$ હોવાથી,પદ $\sqrt{2(2)^4 + (2)^5}$ બને છે.
ઘાતની ગણતરી કરતા: $2^4 = 16$ અને $2^5 = 32$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{2(16) + 32} = \sqrt{32 + 32} = \sqrt{64}$.
અંતિમ કિંમત $8$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $x+y+z=0.$
આપણે $E = \frac{x^{2}}{3yz} + \frac{y^{2}}{3xz} + \frac{z^{2}}{3xy}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
છેદ $3yz, 3xz,$ અને $3xy$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $3xyz$ છે.
તેથી,$E = \frac{x^{2}(x) + y^{2}(y) + z^{2}(z)}{3xyz} = \frac{x^{3} + y^{3} + z^{3}}{3xyz}.$
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $x+y+z=0$ હોય,તો નિત્યસમ મુજબ $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3xyz$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \frac{3xyz}{3xyz} = 1.$
નોંધ: આપેલ વિકલ્પો અને પદાવલિના બંધારણ મુજબ,પરિણામ $1$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $x = \sqrt[3]{x^{2} + 11} - 2$.
બંને બાજુ $2$ ઉમેરતા: $x + 2 = \sqrt[3]{x^{2} + 11}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા: $(x + 2)^{3} = x^{2} + 11$.
ડાબી બાજુને $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$x^{3} + 2^{3} + 3(x)(2)(x + 2) = x^{2} + 11$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$x^{3} + 8 + 6x(x + 2) = x^{2} + 11$.
$x^{3} + 8 + 6x^{2} + 12x = x^{2} + 11$.
$(x^{3} + 5x^{2} + 12x)$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$x^{3} + 6x^{2} - x^{2} + 12x = 11 - 8$.
$x^{3} + 5x^{2} + 12x = 3$.
આમ,કિંમત $3$ છે.