QUADRATIC EQUATION Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $k = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $k(x^2 + x + 1) = x^2 - x + 1$.
$kx^2 + kx + k = x^2 - x + 1$.
$(k - 1)x^2 + (k + 1)x + (k - 1) = 0$.
કારણ કે $x$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે,તેથી વિવેચક $D$ એ $0$ કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
$D = (k + 1)^2 - 4(k - 1)(k - 1) \ge 0$.
$(k + 1)^2 - 4(k - 1)^2 \ge 0$.
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$((k + 1) - 2(k - 1))((k + 1) + 2(k - 1)) \ge 0$.
$(k + 1 - 2k + 2)(k + 1 + 2k - 2) \ge 0$.
$(-k + 3)(3k - 1) \ge 0$.
$-1$ વડે ગુણતા અસમતાની નિશાની બદલાશે:
$(k - 3)(3k - 1) \le 0$.
અહીં બીજ $k = 3$ અને $k = \frac{1}{3}$ છે.
આમ,અસમતા $\frac{1}{3} \le k \le 3$ માટે સાચી છે.

(A) ધારો કે $f(x) = (x - a)(x - c) + 2(x - b)(x - d)$.
આપણે આપેલા બિંદુઓ $a, b, c, d$ પર વિધેયની કિંમત તપાસીએ:
$f(a) = (a - a)(a - c) + 2(a - b)(a - d) = 0 + 2(a - b)(a - d)$. અહીં $a < b$ અને $a < d$ હોવાથી,$(a - b)$ ઋણ છે અને $(a - d)$ ઋણ છે,તેથી $f(a) > 0$.
$f(b) = (b - a)(b - c) + 2(b - b)(b - d) = (b - a)(b - c) + 0$. અહીં $b > a$ અને $b < c$ હોવાથી,$(b - a) > 0$ અને $(b - c) < 0$,તેથી $f(b) < 0$.
$f(c) = (c - a)(c - c) + 2(c - b)(c - d) = 0 + 2(c - b)(c - d)$. અહીં $c > b$ અને $c < d$ હોવાથી,$(c - b) > 0$ અને $(c - d) < 0$,તેથી $f(c) < 0$.
$f(d) = (d - a)(d - c) + 2(d - b)(d - d) = (d - a)(d - c) + 0$. અહીં $d > a$ અને $d > c$ હોવાથી,$(d - a) > 0$ અને $(d - c) > 0$,તેથી $f(d) > 0$.
$f(x)$ એ દ્વિઘાત બહુપદી હોવાથી તે સતત છે. $f(b) < 0$ અને $f(a) > 0$ હોવાથી,$(a, b)$ ની વચ્ચે એક બીજ મળે છે. $f(c) < 0$ અને $f(d) > 0$ હોવાથી,$(c, d)$ ની વચ્ચે એક બીજ મળે છે.
આમ,દ્વિઘાત સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $qx^2 + px + q = 0$ છે. કારણ કે તેના બીજ સંકર છે,તેથી વિવેચક $D_1 < 0$ થાય.
$D_1 = p^2 - 4(q)(q) = p^2 - 4q^2 < 0$,જેનો અર્થ છે કે $p^2 < 4q^2$.
હવે,બીજું સમીકરણ $x^2 - 4qx + p^2 = 0$ ધ્યાનમાં લો. આ સમીકરણનો વિવેચક $D_2$ નીચે મુજબ છે:
$D_2 = (-4q)^2 - 4(1)(p^2) = 16q^2 - 4p^2$.
આને $D_2 = 4(4q^2 - p^2)$ તરીકે લખી શકાય.
કારણ કે $p^2 < 4q^2$,તેથી $4q^2 - p^2 > 0$ થાય.
આમ,$D_2 > 0$.
બીજા સમીકરણનો વિવેચક ધન હોવાથી,તેના બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન (અસમાન) છે.

(D) કોઈપણ દ્વિઘાત પદાવલિ $Ax^2 + Bx + C$ એ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે ધન રહે તે માટે બે શરતોનું પાલન થવું જરૂરી છે:
$1$. $x^2$ નો સહગુણક ધન હોવો જોઈએ,એટલે કે $A > 0$.
$2$. વિવેચક $D = B^2 - 4AC$ ઋણ હોવો જોઈએ,એટલે કે $D < 0$.
આપેલ પદાવલિ $(a^2 - 1)x^2 + 2(a - 1)x + 2 > 0$ માટે:
શરત $1$: $a^2 - 1 > 0 \implies a^2 > 1 \implies a > 1$ અથવા $a < -1$.
શરત $2$: $D = [2(a - 1)]^2 - 4(a^2 - 1)(2) < 0$.
$4(a - 1)^2 - 8(a^2 - 1) < 0$.
$4$ વડે ભાગતા: $(a - 1)^2 - 2(a^2 - 1) < 0$.
$(a^2 - 2a + 1) - 2a^2 + 2 < 0$.
$-a^2 - 2a + 3 < 0$.
$-1$ વડે ગુણતા (અસમતા બદલાશે): $a^2 + 2a - 3 > 0$.
$(a + 3)(a - 1) > 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી પડે જ્યારે $a > 1$ અથવા $a < -3$ હોય.
શરત $1$ ($a > 1$ અથવા $a < -1$) અને શરત $2$ ($a > 1$ અથવા $a < -3$) નો છેદ લેતા:
સામાન્ય કિંમતો $a > 1$ અથવા $a < -3$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^2 - bx}{ax - c} = \frac{m - 1}{m + 1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(m + 1)(x^2 - bx) = (m - 1)(ax - c)$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(m + 1)x^2 - (m + 1)bx = (m - 1)ax - (m - 1)c$.
તેને પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$(m + 1)x^2 - [b(m + 1) + a(m - 1)]x + c(m - 1) = 0$.
$x$ ના સહગુણકનું વિસ્તરણ કરતા: $b(m + 1) + a(m - 1) = bm + b + am - a = m(a + b) - (a - b)$.
આમ,સમીકરણ $(m + 1)x^2 - [m(a + b) - (a - b)]x + c(m - 1) = 0$ બને છે.
બીજ સમાન અને વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી,તેમનો સરવાળો શૂન્ય થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $-B/A$ થાય છે.
બીજનો સરવાળો શૂન્ય લેતા: $m(a + b) - (a - b) = 0$.
તેથી,$m(a + b) = a - b$,જેનો અર્થ છે કે $m = \frac{a - b}{a + b}$.

(B) ખોટું સમીકરણ $x^2 + 17x + q = 0$ લેવામાં આવ્યું હતું.
આપેલ છે કે આ ખોટા સમીકરણના બીજ $-2$ અને $-15$ છે,તેથી આપણે બીજના ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $q$ ની કિંમત શોધી શકીએ છીએ: $q = (-2) \times (-15) = 30$.
હવે,$q = 30$ અને $x$ નો સાચો સહગુણક $(13)$ મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 + 13x + 30 = 0$.
બીજ શોધવા માટે,દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડો: $x^2 + 10x + 3x + 30 = 0$.
$x(x + 10) + 3(x + 10) = 0$.
$(x + 3)(x + 10) = 0$.
આમ,બીજ $x = -3$ અને $x = -10$ છે.

(B) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $n\alpha$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + n\alpha = -\frac{b}{a} \implies \alpha(n + 1) = -\frac{b}{a} \implies \alpha = -\frac{b}{a(n + 1)}$ ... $(i)$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot n\alpha = \frac{c}{a} \implies n\alpha^2 = \frac{c}{a} \implies \alpha^2 = \frac{c}{na}$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ માંથી $\alpha$ ની કિંમત સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$\left(-\frac{b}{a(n + 1)}\right)^2 = \frac{c}{na}$
$\frac{b^2}{a^2(n + 1)^2} = \frac{c}{na}$
બંને બાજુ $a^2(n + 1)^2$ વડે ગુણતા:
$b^2 = \frac{c \cdot a^2(n + 1)^2}{na}$
$b^2 = \frac{ac(n + 1)^2}{n}$
$n{b^2} = ac{(n + 1)^2}$.

(B) ધારો કે બે બીજ $\alpha$ અને $\alpha^n$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \alpha^n = -\frac{b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \alpha^n = \alpha^{n+1} = \frac{c}{a}$ થાય.
બીજના ગુણાકાર પરથી,આપણને $\alpha = (\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}}$ મળે છે.
આ કિંમતને બીજના સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}} + ((\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}})^n = -\frac{b}{a}$
$(\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}} + (\frac{c}{a})^{\frac{n}{n+1}} = -\frac{b}{a}$
બંને બાજુ $a$ વડે ગુણતા:
$a(\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}} + a(\frac{c}{a})^{\frac{n}{n+1}} = -b$
$a^{1 - \frac{1}{n+1}} c^{\frac{1}{n+1}} + a^{1 - \frac{n}{n+1}} c^{\frac{n}{n+1}} = -b$
$a^{\frac{n}{n+1}} c^{\frac{1}{n+1}} + a^{\frac{1}{n+1}} c^{\frac{n}{n+1}} = -b$
$(a^n c)^{\frac{1}{n+1}} + (a c^n)^{\frac{1}{n+1}} = -b$.

(A) આપેલ છે કે $\sin \alpha$ અને $\cos \alpha$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\sin \alpha + \cos \alpha = -\frac{b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{c}{a}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ છે.
આને $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 2\sin \alpha \cos \alpha = 1$ તરીકે લખી શકાય.
બીજના સરવાળા અને ગુણાકારની કિંમતો મૂકતા:
$(-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a}) = 1$
$\frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} = 1$
બંને બાજુ $a^2$ વડે ગુણતા:
$b^2 - 2ac = a^2$
પદોને ગોઠવતા,આપણને $a^2 - b^2 + 2ac = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x) = x^2 - 2kx + k^2 + k - 5 = 0$ છે.
બંને બીજ $5$ કરતા નાના હોય તે માટે ત્રણ શરતોનું પાલન થવું જોઈએ:
$1$. વિવેચક $D \ge 0$: $D = (-2k)^2 - 4(1)(k^2 + k - 5) = 4k^2 - 4k^2 - 4k + 20 = 20 - 4k$. તેથી $20 - 4k \ge 0$,એટલે કે $k \le 5$.
$2$. શિરોબિંદુનું સ્થાન: શિરોબિંદુનો $x$-યામ $-b/(2a) = 2k/2 = k$ એ $5$ કરતા નાનો હોવો જોઈએ,તેથી $k < 5$.
$3$. $x = 5$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય: પરવલય ઉપરની તરફ ખુલે છે,તેથી $f(5) > 0$. આમ,$5^2 - 2k(5) + k^2 + k - 5 > 0$,જેનું સાદું રૂપ $k^2 - 9k + 20 > 0$ થાય છે. અવયવ પાડતા $(k - 4)(k - 5) > 0$ મળે,જેનો અર્થ $k < 4$ અથવા $k > 5$ થાય.
બધી શરતોને જોડતા: $(k \le 5) \cap (k < 5) \cap (k < 4 \text{ અથવા } k > 5)$,આપણને $k < 4$ મળે છે. તેથી $k \in (- \infty, 4)$.

(D) ધારો કે $x^2 - bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે, અને $x^2 - cx + b = 0$ ના બીજ $\alpha'$ અને $\beta'$ છે.
આપેલ છે કે બીજનો તફાવત સમાન છે, તેથી $|\alpha - \beta| = |\alpha' - \beta'|$.
પ્રથમ સમીકરણ માટે, બીજનો તફાવત $\alpha - \beta = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} = \sqrt{b^2 - 4c}$ છે.
બીજા સમીકરણ માટે, બીજનો તફાવત $\alpha' - \beta' = \sqrt{(\alpha' + \beta')^2 - 4\alpha'\beta'} = \sqrt{c^2 - 4b}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $b^2 - 4c = c^2 - 4b$.
પદોને ગોઠવતા: $b^2 - c^2 = 4c - 4b$.
ડાબી બાજુના અવયવ પાડતા: $(b + c)(b - c) = -4(b - c)$.
જો $b \neq c$ હોય, તો $(b - c)$ વડે ભાગતા આપણને $b + c = -4$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ ${x^2} - 3kx + 2{e^{2\log k}} - 1 = 0$ છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,${e^{2\log k}} = {e^{\log {k^2}}} = {k^2}$.
તેથી,સમીકરણ ${x^2} - 3kx + 2{k^2} - 1 = 0$ બને છે.
બીજનો ગુણાકાર $7$ હોવાથી,$2{k^2} - 1 = 7$,જેનો અર્થ છે $2{k^2} = 8$,તેથી ${k^2} = 4$,એટલે કે $k = \pm 2$.
મૂળ સમીકરણમાં $\log k$ હોવાથી,$k$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $k = 2$.
બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac \ge 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$D = (-3k)^2 - 4(1)(2{k^2} - 1) = 9{k^2} - 8{k^2} + 4 = {k^2} + 4$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $k$ માટે ${k^2} + 4 > 0$ હોવાથી,$k = 2$ માટે બીજ વાસ્તવિક છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $a(b - c)x^2 + b(c - a)x + c(a - b) = 0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપણને $\alpha = 1$ આપેલ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ ના બીજનો ગુણાકાર $\frac{C}{A}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = a(b - c)$,$B = b(c - a)$,અને $C = c(a - b)$ છે.
તેથી,$\alpha \cdot \beta = \frac{c(a - b)}{a(b - c)}$.
કારણ કે $\alpha = 1$,તેથી $1 \cdot \beta = \frac{c(a - b)}{a(b - c)}$.
આમ,$\beta = \frac{c(a - b)}{a(b - c)}$.

(B) આપેલ છે કે $5\cos A + 3 = 0$,તેથી $\cos A = -\frac{3}{5}$.
ત્રિકોણનો ખૂણો $A$ હોવાથી,$\sin A$ ધન હોવું જોઈએ. તેથી,$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - (-\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
તેથી,$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}$.
ધારો કે બીજ $\alpha = \sin A = \frac{4}{5}$ અને $\beta = \tan A = -\frac{4}{3}$ છે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = \frac{4}{5} - \frac{4}{3} = \frac{12 - 20}{15} = -\frac{8}{15}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \beta = (\frac{4}{5})(-\frac{4}{3}) = -\frac{16}{15}$.
દ્વિઘાત સમીકરણનું સૂત્ર $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
$x^2 - (-\frac{8}{15})x + (-\frac{16}{15}) = 0$.
$x^2 + \frac{8}{15}x - \frac{16}{15} = 0$.
$15$ વડે ગુણતા,આપણને $15x^2 + 8x - 16 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\alpha^2$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \alpha^2 = -b/a$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = c/a$
બીજના સરવાળા પરથી,$\alpha^2 + \alpha + b/a = 0$. બંને બાજુ ઘન લેતા અથવા નિત્યસમ $(\alpha^2 + \alpha)^3 = (-b/a)^3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha^6 + \alpha^3 + 3\alpha^3(\alpha^2 + \alpha) = -b^3/a^3$
$\alpha^3 = c/a$ અને $\alpha^2 + \alpha = -b/a$ મુકતા:
$(c/a)^2 + (c/a) + 3(c/a)(-b/a) = -b^3/a^3$
$c^2/a^2 + c/a - 3bc/a^2 = -b^3/a^3$
$a^3$ વડે ગુણતા: $ac^2 + a^2c - 3abc = -b^3$
$b^3 + a^2c + ac^2 = 3abc$.
આ શરત $a(c - b)^3 = c(a - b)^3$ ને સમાન છે.
તેથી,$X = (a - b)^3$.

(D) આપેલ છે કે $8$ અને $2$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ ${x^2} + ax + \beta = 0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,બીજનો સરવાળો $8 + 2 = -a$ થાય,તેથી $a = -10$ મળે.
બીજનો ગુણાકાર $8 \times 2 = \beta$ થાય,તેથી $\beta = 16$ મળે.
આપેલ છે કે $3$ અને $3$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ ${x^2} + \alpha x + b = 0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,બીજનો સરવાળો $3 + 3 = -\alpha$ થાય,તેથી $\alpha = -6$ મળે.
બીજનો ગુણાકાર $3 \times 3 = b$ થાય,તેથી $b = 9$ મળે.
હવે,$a$ અને $b$ ની કિંમતોને સમીકરણ ${x^2} + ax + b = 0$ માં મૂકતા:
${x^2} - 10x + 9 = 0$ મળે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x - 9)(x - 1) = 0$ મળે.
તેથી,બીજ $x = 9$ અને $x = 1$ છે.

(B) પગલું $1$: પ્રથમ અસમતા $5x + 2 < 3x + 8$ ઉકેલો.
$5x - 3x < 8 - 2$
$2x < 6$
$x < 3$.
પગલું $2$: બીજી અસમતા $\frac{x + 2}{x - 1} < 4$ ઉકેલો.
બંને બાજુથી $4$ બાદ કરતા: $\frac{x + 2}{x - 1} - 4 < 0$.
$\frac{x + 2 - 4(x - 1)}{x - 1} < 0$
$\frac{x + 2 - 4x + 4}{x - 1} < 0$
$\frac{-3x + 6}{x - 1} < 0$
$-1$ વડે ગુણતા અને અસમતાની નિશાની બદલતા: $\frac{3x - 6}{x - 1} > 0$.
$\frac{3(x - 2)}{x - 1} > 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 1$ અને $x = 2$ છે. અંતરાલ $(-\infty, 1)$,$(1, 2)$,અને $(2, \infty)$ ચકાસતા,પદ $(-\infty, 1) \cup (2, \infty)$ માં ધન છે.
પગલું $3$: $x < 3$ અને $(-\infty, 1) \cup (2, \infty)$ નો છેદગણ શોધો.
છેદગણ $(-\infty, 1) \cup (2, 3)$ મળે છે.

(C) કારણ કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2 - ax + b = 0$ ના બીજ છે,તેથી તેઓ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$\alpha^2 - a\alpha + b = 0 \implies \alpha^2 = a\alpha - b$
$\beta^2 - a\beta + b = 0 \implies \beta^2 = a\beta - b$
પ્રથમ સમીકરણને $\alpha^{n-1}$ વડે અને બીજાને $\beta^{n-1}$ વડે ગુણતા:
$\alpha^{n+1} = a\alpha^n - b\alpha^{n-1}$
$\beta^{n+1} = a\beta^n - b\beta^{n-1}$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\alpha^{n+1} + \beta^{n+1} = a(\alpha^n + \beta^n) - b(\alpha^{n-1} + \beta^{n-1})$
આપેલ છે કે $V_n = \alpha^n + \beta^n$,તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$V_{n+1} = aV_n - bV_{n-1}$

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 + 7x + c = 0$ છે.
આ સમીકરણ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{7}{2}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{2}$ છે.
આપણને $|\alpha^2 - \beta^2| = \frac{7}{4}$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $(\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = \pm \frac{7}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (-\frac{7}{2})^2 - 4(\frac{c}{2}) = \frac{49}{4} - 2c$.
તેથી,$|\alpha - \beta| = \sqrt{\frac{49 - 8c}{4}} = \frac{\sqrt{49 - 8c}}{2}$.
આ કિંમતોને $(\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = \pm \frac{7}{4}$ માં મૂકતા:
$(-\frac{7}{2}) \cdot (\pm \frac{\sqrt{49 - 8c}}{2}) = \pm \frac{7}{4}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{7}{4} \sqrt{49 - 8c} = \frac{7}{4}$ મળે છે.
તેથી,$\sqrt{49 - 8c} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$49 - 8c = 1$,જે આપણને $8c = 48$ આપે છે,તેથી $c = 6$.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ ${x^2} + (2 + \lambda )x - \frac{1}{2}(1 + \lambda ) = 0$ ના બીજો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજોનો સરવાળો $\alpha + \beta = -(2 + \lambda)$ અને બીજોનો ગુણાકાર $\alpha \beta = -\frac{1}{2}(1 + \lambda)$ થાય.
આપણે બીજોના વર્ગોનો સરવાળો $S = {\alpha ^2} + {\beta ^2}$ ન્યૂનતમ કરવો છે.
નિત્યસમ ${\alpha ^2} + {\beta ^2} = {(\alpha + \beta )^2} - 2\alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = {\left[ { - (2 + \lambda )} \right]^2} - 2\left[ { - \frac{1}{2}(1 + \lambda )} \right]$
$S = {(2 + \lambda )^2} + (1 + \lambda ) = {\lambda ^2} + 4\lambda + 4 + 1 + \lambda = {\lambda ^2} + 5\lambda + 5$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$S$ નું $\lambda$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dS}{d\lambda} = 2\lambda + 5 = 0$,તેથી $\lambda = -5/2$ મળે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ ${x^2} - |x| - 6 = 0$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $x \ge 0$ હોય,તો $|x| = x$ થાય. સમીકરણ ${x^2} - x - 6 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 3)(x + 2) = 0$.
આથી $x = 3$ અથવા $x = -2$ મળે. આપણે $x \ge 0$ ધાર્યું હોવાથી,$x = 3$ સ્વીકાર્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $x < 0$ હોય,તો $|x| = -x$ થાય. સમીકરણ ${x^2} - (-x) - 6 = 0$ એટલે કે ${x^2} + x - 6 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x + 3)(x - 2) = 0$.
આથી $x = -3$ અથવા $x = 2$ મળે. આપણે $x < 0$ ધાર્યું હોવાથી,$x = -3$ સ્વીકાર્ય છે.
આમ,સમીકરણના વાસ્તવિક બીજ $3$ અને $-3$ છે.
તમામ વાસ્તવિક બીજનો ગુણાકાર $3 \times (-3) = -9$ થાય.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 + px + 3 = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\alpha^2$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \alpha^2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{3} = 1$ થાય.
આનો અર્થ એ થાય કે $\alpha^3 = 1$,તેથી $\alpha = 1, \omega, \text{ અથવા } \omega^2$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
જો $\alpha = 1$ હોય,તો બીજનો સરવાળો $\alpha + \alpha^2 = 1 + 1 = 2 = -\frac{p}{3}$ થાય,જે $p = -6$ આપે છે. આ શરત $p > 0$ નો વિરોધાભાસ કરે છે.
જો $\alpha = \omega$ અથવા $\alpha = \omega^2$ હોય,તો બીજનો સરવાળો $\alpha + \alpha^2 = \omega + \omega^2 = -1$ થાય.
બીજના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\alpha + \alpha^2 = -\frac{p}{3}$,આપણને $-1 = -\frac{p}{3}$ મળે છે.
તેથી,$p = 3$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ ${x^2} + px + q = 0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha + \beta = -p$ અને $\alpha \beta = q$ થાય.
આપેલ છે કે $\alpha + h$ અને $\beta + h$ એ ${x^2} + rx + s = 0$ ના બીજ છે,તેથી $(\alpha + h) + (\beta + h) = -r$ અને $(\alpha + h)(\beta + h) = s$ થાય.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી: $(\alpha + \beta) + 2h = -r \Rightarrow -p + 2h = -r \Rightarrow h = \frac{p - r}{2} \dots (i)$.
બીજા સમીકરણ પરથી: $\alpha \beta + h(\alpha + \beta) + h^2 = s$.
$\alpha + \beta$,$\alpha \beta$ અને $h$ ની કિંમતો મૂકતા: $q + h(-p) + h^2 = s$.
$q + \left( \frac{p - r}{2} \right)(-p) + \left( \frac{p - r}{2} \right)^2 = s$.
$q - \frac{p^2 - pr}{2} + \frac{p^2 + r^2 - 2pr}{4} = s$.
$4$ વડે ગુણતા: $4q - 2p^2 + 2pr + p^2 + r^2 - 2pr = 4s$.
$4q - p^2 + r^2 = 4s \Rightarrow r^2 - 4s = p^2 - 4q$.

(D) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એ ${x^2} - 3x + 1 = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો પરથી,બીજનો સરવાળો $a + b = 3$ અને બીજનો ગુણાકાર $ab = 1$ થાય.
સમીકરણ ${x^2} + px + q = 0$ ના બીજ $(a - 2)$ અને $(b - 2)$ છે.
બીજનો સરવાળો: $(a - 2) + (b - 2) = -p$
$(a + b) - 4 = -p$
$3 - 4 = -p \Rightarrow -1 = -p \Rightarrow p = 1$.
બીજનો ગુણાકાર: $(a - 2)(b - 2) = q$
$ab - 2(a + b) + 4 = q$
$1 - 2(3) + 4 = q$
$1 - 6 + 4 = q \Rightarrow q = -1$.
આમ,$(p, q) = (1, -1)$.
આ જોડી વિકલ્પો $A, B,$ અથવા $C$ માં આપેલી ન હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $2\alpha$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + 2\alpha = 3\alpha = -\frac{3a - 1}{a^2 - 5a + 3} = \frac{1 - 3a}{a^2 - 5a + 3}$ થાય.
તેથી,$\alpha = \frac{1 - 3a}{3(a^2 - 5a + 3)}$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot 2\alpha = 2\alpha^2 = \frac{2}{a^2 - 5a + 3}$ થાય.
$\alpha$ ની કિંમત ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 \left[ \frac{1 - 3a}{3(a^2 - 5a + 3)} \right]^2 = \frac{2}{a^2 - 5a + 3}$.
$2 \cdot \frac{(1 - 3a)^2}{9(a^2 - 5a + 3)^2} = \frac{2}{a^2 - 5a + 3}$.
બંને બાજુથી $2$ અને $(a^2 - 5a + 3)$ નો એક અવયવ દૂર કરતા:
$\frac{(1 - 3a)^2}{9(a^2 - 5a + 3)} = 1$.
$(1 - 3a)^2 = 9(a^2 - 5a + 3)$.
$1 - 6a + 9a^2 = 9a^2 - 45a + 27$.
$-6a + 45a = 27 - 1$.
$39a = 26$.
$a = \frac{26}{39} = \frac{2}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $b^2 = ac$.
સમીકરણ $ax^2 + 2bx + c = 0$ ને $ax^2 + 2\sqrt{ac}x + c = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આને $(\sqrt{a}x + \sqrt{c})^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય,જેનું પુનરાવર્તિત બીજ $x = -\sqrt{\frac{c}{a}}$ મળે છે.
આ સામાન્ય બીજ હોવાથી,તે બીજા સમીકરણ $dx^2 + 2ex + f = 0$ નું પણ સમાધાન કરશે.
$x = -\sqrt{\frac{c}{a}}$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$d(-\sqrt{\frac{c}{a}})^2 + 2e(-\sqrt{\frac{c}{a}}) + f = 0$
$d(\frac{c}{a}) - 2e\sqrt{\frac{c}{a}} + f = 0$
આખા સમીકરણને $c$ વડે ભાગતા:
$\frac{d}{a} - 2e\frac{1}{\sqrt{ac}} + \frac{f}{c} = 0$
$b = \sqrt{ac}$ હોવાથી,આપણને મળે:
$\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = \frac{2e}{b}$.
આ શરત દર્શાવે છે કે $\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.

(D) ધારો કે સામાન્ય બીજ $\alpha$ છે. $\alpha$ બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે,તેથી:
$\alpha^2 - 3\alpha + a = 0$ $(i)$
$\alpha^2 + a\alpha - 3 = 0$ $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ માંથી બાદ કરતા:
$(\alpha^2 - 3\alpha + a) - (\alpha^2 + a\alpha - 3) = 0$
$-3\alpha - a\alpha + a + 3 = 0$
$-\alpha(a + 3) + (a + 3) = 0$
$(a + 3)(1 - \alpha) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $a = -3$ અથવા $\alpha = 1$.
જો $a = -3$ હોય,તો સમીકરણો $x^2 - 3x - 3 = 0$ અને $x^2 - 3x - 3 = 0$ બને છે,જે સમાન છે. સામાન્ય રીતે,આપણે $\alpha = 1$ લઈએ છીએ.
$\alpha = 1$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$1^2 - 3(1) + a = 0$
$1 - 3 + a = 0$
$-2 + a = 0$
$a = 2$.

(A) ધારો કે $f(x) = {x^4} - (p - 3){x^3} - (3p - 5){x^2} + (2p - 7)x + 6$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x + 1)$ એ $f(x)$ નો અવયવ હોય,તો $f(-1) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$(-1)^4 - (p - 3)(-1)^3 - (3p - 5)(-1)^2 + (2p - 7)(-1) + 6 = 0$
$1 - (p - 3)(-1) - (3p - 5)(1) - (2p - 7) + 6 = 0$
$1 + (p - 3) - (3p - 5) - 2p + 7 + 6 = 0$
$1 + p - 3 - 3p + 5 - 2p + 7 + 6 = 0$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$(1 - 3 + 5 + 7 + 6) + (p - 3p - 2p) = 0$
$16 - 4p = 0$
$4p = 16$
$p = 4$.

(C) બહુપદીના સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી, સંકર બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે. તેથી, જો $3 + i\sqrt{6}$ એક બીજ હોય, તો $3 - i\sqrt{6}$ પણ બીજ હશે.
આ બીજને અનુરૂપ દ્વિઘાત અવયવ $(x - (3 + i\sqrt{6}))(x - (3 - i\sqrt{6})) = (x - 3)^2 - (i\sqrt{6})^2 = x^2 - 6x + 15$ છે.
મૂળ સમીકરણ $4x^4 - 24x^3 + 57x^2 + 18x - 45 = 0$ ને $(x^2 - 6x + 15)$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે:
$4x^4 - 24x^3 + 57x^2 + 18x - 45 = (x^2 - 6x + 15)(4x^2 - 3) = 0$.
બીજા અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા, $4x^2 - 3 = 0$, તેથી $x^2 = \frac{3}{4}$, જેનો અર્થ છે કે $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ, બીજ $3 \pm i\sqrt{6}$ અને $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = 2x^2 - 2(2a + 1)x + a(a + 1)$.
એક બીજ $a$ કરતા નાનું અને બીજું બીજ $a$ કરતા મોટું હોય તે માટે,$x = a$ આગળ વિધેયની કિંમત ઋણ હોવી જોઈએ,એટલે કે $f(a) < 0$.
વિધેયમાં $x = a$ મૂકતા:
$f(a) = 2(a)^2 - 2(2a + 1)(a) + a(a + 1)$
$f(a) = 2a^2 - 4a^2 - 2a + a^2 + a$
$f(a) = -a^2 - a$
$f(a) < 0$ લેતા:
$-a^2 - a < 0$
$a^2 + a > 0$
$a(a + 1) > 0$
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી પડે જ્યારે $a > 0$ અથવા $a < -1$ હોય.
અહીં વિવેચક $D = 4(2a + 1)^2 - 8a(a + 1) = 8(a^2 + a + 1/2) = 8((a + 1/2)^2 + 1/4) > 0$ હોવાથી,બીજ હંમેશા વાસ્તવિક રહેશે. તેથી,$f(a) < 0$ ની શરત પૂરતી છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ એ $a^2x^2 + bx + c = 0$ નું બીજ છે,તેથી $a^2\alpha^2 + b\alpha + c = 0$,જેનો અર્થ છે કે $b\alpha + c = -a^2\alpha^2$.
આપેલ છે કે $\beta$ એ $a^2x^2 - bx - c = 0$ નું બીજ છે,તેથી $a^2\beta^2 - b\beta - c = 0$,જેનો અર્થ છે કે $b\beta + c = a^2\beta^2$.
ધારો કે $f(x) = a^2x^2 + 2bx + 2c$. આપણે $\alpha$ અને $\beta$ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(\alpha) = a^2\alpha^2 + 2(b\alpha + c) = a^2\alpha^2 + 2(-a^2\alpha^2) = -a^2\alpha^2$. કારણ કે $a \ne 0$ અને $\alpha > 0$,તેથી $f(\alpha) < 0$.
$f(\beta) = a^2\beta^2 + 2(b\beta + c) = a^2\beta^2 + 2(a^2\beta^2) = 3a^2\beta^2$. કારણ કે $a \ne 0$ અને $\beta > 0$,તેથી $f(\beta) > 0$.
કારણ કે $f(\alpha) < 0$ અને $f(\beta) > 0$ છે,તેથી 'ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ' મુજબ,$f(x) = 0$ નું એક બીજ $\gamma$ એવું અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $\alpha < \gamma < \beta$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
ત્રિઘાત સમીકરણ $Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0$ માટે વિએટાના સૂત્રો મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta + \gamma = -a$
બબ્બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha\beta\gamma = -c$
આપણે $\alpha^{-1} + \beta^{-1} + \gamma^{-1}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha^{-1} + \beta^{-1} + \gamma^{-1} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}$
$= \frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}$
વિએટાના સૂત્રો પરથી કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{b}{-c} = -\frac{b}{c}$.

(C) આપેલ અસમતા: $\frac{2x}{2x^2 + 5x + 2} > \frac{1}{x + 1}$
છેદના અવયવ પાડતા: $\frac{2x}{(2x + 1)(x + 2)} > \frac{1}{x + 1}$
અસમતાને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{2x}{(2x + 1)(x + 2)} - \frac{1}{x + 1} > 0$
સામાન્ય છેદ લેતા: $\frac{2x(x + 1) - (2x + 1)(x + 2)}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} > 0$
અંશનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2x^2 + 2x - (2x^2 + 5x + 2)}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} > 0$
પરિણામ: $\frac{-3x - 2}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} > 0$
$-1$ વડે ગુણતા અને અસમતાની નિશાની બદલતા: $\frac{3x + 2}{(2x + 1)(x + 2)(x + 1)} < 0$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ (નિર્ણાયક બિંદુઓ) $x = -2, -1, -\frac{2}{3}, -\frac{1}{2}$ છે.
અંતરાલો તપાસતા,અસમતા $x \in (-2, -1) \cup (-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2})$ માટે સાચી છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત અસમતા $ax^2 - 2x + 4 > 0$ છે,જ્યાં $a < 0$ છે.
સંગત સમીકરણ $ax^2 - 2x + 4 = 0$ ના બીજ શોધવા માટે,આપણે દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$b = -2$ અને $c = 4$ છે,તેથી $x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(a)(4)}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16a}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4a}}{a}$.
કારણ કે $a < 0$ છે,તેથી પરવલય $y = ax^2 - 2x + 4$ નીચેની તરફ ખુલે છે.
અસમતા $ax^2 - 2x + 4 > 0$ બંને બીજની વચ્ચે સાચી ઠરે છે.
તેથી,ઉકેલ $\frac{1 - \sqrt{1 - 4a}}{a} < x < \frac{1 + \sqrt{1 - 4a}}{a}$ છે.

(A) ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણના બીજ $3\alpha, 2\alpha, \beta$ છે.
ત્રિઘાત સમીકરણ $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ ના બીજના ગુણધર્મો મુજબ:
$1$. બીજનો સરવાળો: $3\alpha + 2\alpha + \beta = -(-9)/1 = 9 \implies 5\alpha + \beta = 9 \implies \beta = 9 - 5\alpha$ $(i)$.
$2$. બબ્બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો: $(3\alpha)(2\alpha) + (2\alpha)(\beta) + (3\alpha)(\beta) = 14 \implies 6\alpha^2 + 5\alpha\beta = 14$ $(ii)$.
$3$. બીજનો ગુણાકાર: $(3\alpha)(2\alpha)(\beta) = -24/1 = -24 \implies 6\alpha^2\beta = -24 \implies \alpha^2\beta = -4$ $(iii)$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $\beta = 9 - 5\alpha$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$6\alpha^2 + 5\alpha(9 - 5\alpha) = 14$
$6\alpha^2 + 45\alpha - 25\alpha^2 = 14$
$-19\alpha^2 + 45\alpha - 14 = 0 \implies 19\alpha^2 - 45\alpha + 14 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(19\alpha - 7)(\alpha - 2) = 0$.
તેથી,$\alpha = 2$ અથવા $\alpha = 7/19$.
જો $\alpha = 2$ હોય,તો $\beta = 9 - 5(2) = -1$. સમીકરણ $(iii)$ માં ચકાસતા: $(2)^2(-1) = -4$,જે સાચું છે.
આમ,બીજ $3(2), 2(2), -1$ એટલે કે $6, 4, -1$ મળે છે.

(C) ધારો કે $y = \frac{3x^2 + 9x + 17}{3x^2 + 9x + 7}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $y(3x^2 + 9x + 7) = 3x^2 + 9x + 17$.
$3x^2(y - 1) + 9x(y - 1) + 7y - 17 = 0$.
કારણ કે $x$ વાસ્તવિક છે,વિવેચક $D$ એ $0$ કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ $(D \geq 0)$.
$D = [9(y - 1)]^2 - 4(3)(y - 1)(7y - 17) \geq 0$.
$81(y - 1)^2 - 12(y - 1)(7y - 17) \geq 0$.
$3(y - 1)$ વડે ભાગતા: $27(y - 1) - 4(7y - 17) \geq 0$.
$27y - 27 - 28y + 68 \geq 0$.
$-y + 41 \geq 0 \Rightarrow y \leq 41$.
આમ,$y$ ની મહત્તમ કિંમત $41$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ છે.
આને $(x - m)^2 - 1 = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
અવયવ પાડતા,આપણને $(x - m - 1)(x - m + 1) = 0$ મળે છે.
આમ,બીજ $x_1 = m - 1$ અને $x_2 = m + 1$ છે.
આપણને આપેલ છે કે બંને બીજ $-2 < x < 4$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
નાના બીજ $x_1 = m - 1$ માટે,$m - 1 > -2$,જેનો અર્થ છે કે $m > -1$.
મોટા બીજ $x_2 = m + 1$ માટે,$m + 1 < 4$,જેનો અર્થ છે કે $m < 3$.
આ અસમતાઓ ભેગી કરતા,આપણને $-1 < m < 3$ મળે છે.
તેથી,$m$ ની કિંમતો $(-1, 3)$ અંતરાલમાં આવે છે.

(C) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2 + ax + 1 = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,$\alpha + \beta = -a$ અને $\alpha \beta = 1$ થાય.
બીજ વચ્ચેનો તફાવત $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $|\alpha - \beta| = \sqrt{(-a)^2 - 4(1)} = \sqrt{a^2 - 4}$ મળે છે.
આપેલ શરત મુજબ,$|\alpha - \beta| < \sqrt{5}$ છે.
તેથી,$\sqrt{a^2 - 4} < \sqrt{5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2 - 4 < 5$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $a^2 < 9$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $|a| < 3$,એટલે કે $-3 < a < 3$.
આમ,$a$ ની શક્ય કિંમતોનો ગણ $a \in (-3, 3)$ છે.

(D) ધારો કે સામાન્ય બીજ $\alpha$ છે. પ્રથમ સમીકરણ $x^2 - 6x + a = 0$ નું બીજું બીજ $4\beta$ છે અને બીજા સમીકરણ $x^2 - cx + 6 = 0$ નું બીજું બીજ $3\beta$ છે,જ્યાં $\beta$ એક પૂર્ણાંક છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી:
પ્રથમ સમીકરણ માટે: $\alpha + 4\beta = 6$ અને $\alpha(4\beta) = a$.
બીજા સમીકરણ માટે: $\alpha + 3\beta = c$ અને $\alpha(3\beta) = 6$.
બીજા સમીકરણ પરથી,આપણને $3\alpha\beta = 6$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha\beta = 2$.
કારણ કે $\alpha$ અને $\beta$ પૂર્ણાંકો છે,તેથી $(\alpha, \beta)$ માટે શક્ય જોડીઓ $(1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1)$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $\alpha = 2$ અને $\beta = 1$ હોય,તો $\alpha + 4\beta = 2 + 4(1) = 6$. આ પ્રથમ સમીકરણની બીજના સરવાળાની શરતનું પાલન કરે છે.
કિસ્સો $2$: જો $\alpha = 1$ અને $\beta = 2$ હોય,તો $\alpha + 4\beta = 1 + 4(2) = 9 \neq 6$.
આમ,સામાન્ય બીજ $\alpha = 2$ છે.

(C) આપેલ છે કે દ્વિઘાત સમીકરણ $bx^2 + cx + a = 0$ ના બીજ કાલ્પનિક છે,તેથી તેનો વિવેચક શૂન્ય કરતા નાનો હોવો જોઈએ.
તેથી,$D = c^2 - 4ab < 0$,જેનો અર્થ છે કે $c^2 < 4ab$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $-c^2 > -4ab$ મળે છે.
હવે,પદાવલિ $E = 3b^2x^2 + 6bcx + 2c^2$ ને ધ્યાનમાં લો.
આપણે તેને $E = 3(b^2x^2 + 2bcx + c^2) - c^2$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
આનું સાદું રૂપ $E = 3(bx + c)^2 - c^2$ થાય છે.
કારણ કે $x$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે $(bx + c)^2 \geq 0$ છે,તેથી $3(bx + c)^2 \geq 0$ થાય.
તેથી,$E = 3(bx + c)^2 - c^2 \geq -c^2$.
આપણે સાબિત કર્યું છે કે $-c^2 > -4ab$,તેથી $E > -4ab$ થાય.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ છે.
સચિને અચળ પદ $(c)$ લખવામાં ભૂલ કરી છે, તેથી બીજનો સરવાળો સાચો છે.
બીજનો સરવાળો $= 4 + 3 = 7$.
આમ, $-b/a = 7$.
રાહુલે $x$ ના સહગુણક $(b)$ લખવામાં ભૂલ કરી છે, તેથી બીજનો ગુણાકાર સાચો છે.
બીજનો ગુણાકાર $= 3 \times 2 = 6$.
આમ, $c/a = 6$.
સાચું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા, આપણને $x^2 - 7x + 6 = 0$ મળે છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 - 6x - x + 6 = 0$
$x(x - 6) - 1(x - 6) = 0$
$(x - 6)(x - 1) = 0$.
તેથી, સાચા બીજ $6$ અને $1$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $e^{\sin x} - e^{-\sin x} - 4 = 0$ છે.
ધારો કે $e^{\sin x} = t$. કારણ કે $\sin x \in [-1, 1]$,તેથી $t \in [e^{-1}, e^1]$,એટલે કે $t \in [1/e, e]$.
સમીકરણ $t - \frac{1}{t} - 4 = 0$ બને છે.
$t$ વડે ગુણતા,આપણને $t^2 - 4t - 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: $t = 2 - \sqrt{5}$. $\sqrt{5} \approx 2.236$ હોવાથી,$2 - \sqrt{5} < 0$. પરંતુ $e^{\sin x}$ હંમેશા ધન હોવું જોઈએ,તેથી આ ઉકેલ શક્ય નથી.
કિસ્સો $2$: $t = 2 + \sqrt{5}$. $\sqrt{5} \approx 2.236$ હોવાથી,$t \approx 4.236$. $e \approx 2.718$ હોવાથી,$t > e$. જોકે $e^{\sin x}$ ની મહત્તમ કિંમત $e^1 = e \approx 2.718$ છે. $4.236 > 2.718$ હોવાથી,$e^{\sin x} = 2 + \sqrt{5}$ થાય તેવો કોઈ વાસ્તવિક $x$ શક્ય નથી.
તેથી,આપેલ સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(D) ધારો કે $f(x) = 2x^2 + 3x + k$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને બે ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ હોવા માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac > 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = 2, b = 3, c = k$.
$D = 3^2 - 4(2)(k) = 9 - 8k$.
ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ માટે,$9 - 8k > 0 \Rightarrow k < 9/8$.
જોકે,દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 + 3x + k = 0$ ના બીજ $x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8k}}{4}$ દ્વારા મળે છે.
આ બીજ $[0, 1]$ અંતરાલમાં હોવા માટે,$0 \le \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 8k}}{4} \le 1$ હોવું જોઈએ.
$x$ વાસ્તવિક હોવા માટે,$9 - 8k \ge 0$. જો આપણે બીજ $x = \frac{-3 + \sqrt{9 - 8k}}{4}$ લઈએ,તો તે $\ge 0$ હોવા માટે,$\sqrt{9 - 8k} \ge 3$ જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે $9 - 8k \ge 9$,એટલે કે $k \le 0$.
જો $k \le 0$ હોય,તો બીજું બીજ $x = \frac{-3 - \sqrt{9 - 8k}}{4}$ એ $-3/4$ થી નાનું હશે,જે $[0, 1]$ અંતરાલની બહાર છે.
આમ,બંને બીજ એકસાથે $[0, 1]$ માં હોવા અશક્ય છે.
તેથી,આવી કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $k$ અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 2x + 3 = 0$ છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8$ ગણતા.
અહીં $D < 0$ હોવાથી,સમીકરણના બીજ કાલ્પનિક છે.
જો બે દ્વિઘાત સમીકરણોનું એક બીજ સામાન્ય હોય અને સહગુણકો વાસ્તવિક હોય,તો કાલ્પનિક બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
તેથી,જો એક બીજ સામાન્ય હોય,તો બંને બીજ સમાન જ હોય.
બે સમીકરણો $a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0$ અને $a_2x^2 + b_2x + c_2 = 0$ ના બીજ સમાન હોય,તો તેમના સહગુણકોનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:
$\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{3} = k$.
આનો અર્થ એ છે કે $a = k, b = 2k, c = 3k$.
આમ,ગુણોત્તર $a:b:c = k:2k:3k = 1:2:3$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ $-3(x - [x])^2 + 2(x - [x]) + a^2 = 0$ છે.
ધારો કે $t = x - [x] = \{x\}$,જ્યાં $0 \leq t < 1$.
સમીકરણ $-3t^2 + 2t + a^2 = 0$ અથવા $3t^2 - 2t - a^2 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(3)(-a^2)}}{2(3)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12a^2}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 3a^2}}{3}$.
કારણ કે $t = \{x\}$,આપણે $0 \leq t < 1$ હોવું જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $t = \frac{1 + \sqrt{1 + 3a^2}}{3}$. $t < 1$ માટે,$\frac{1 + \sqrt{1 + 3a^2}}{3} < 1 \Rightarrow \sqrt{1 + 3a^2} < 2 \Rightarrow 1 + 3a^2 < 4 \Rightarrow 3a^2 < 3 \Rightarrow a^2 < 1 \Rightarrow a \in (-1, 1)$.
કિસ્સો $2$: $t = \frac{1 - \sqrt{1 + 3a^2}}{3}$. કારણ કે $\sqrt{1 + 3a^2} \geq 1$,તેથી $t \leq 0$. $t$ એ માન્ય અપૂર્ણાંક ભાગ હોવા માટે,$t$ શૂન્ય હોવો જોઈએ (જેનો અર્થ છે કે $x$ પૂર્ણાંક છે). જો $t=0$,તો $a^2=0$,એટલે કે $a=0$. જો $a=0$ હોય,તો પૂર્ણાંક ઉકેલ મળે છે. પૂર્ણાંક ઉકેલ ન મળે તે માટે આપણે $a=0$ ને બાકાત રાખવું પડે.
આમ,$a \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $px^2 + qx + r = 0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha + \beta = -\frac{q}{p}$ અને $\alpha\beta = \frac{r}{p}$ થાય.
$p, q, r$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$2q = p + r$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = 4$,તેથી $\alpha + \beta = 4\alpha\beta$ થાય.
બીજના સરવાળા અને ગુણાકારની કિંમતો મૂકતા: $-\frac{q}{p} = 4(\frac{r}{p}) \Rightarrow q = -4r$.
$q = -4r$ ને સમાંતર શ્રેણીની શરત $2q = p + r$ માં મૂકતા: $2(-4r) = p + r \Rightarrow -8r = p + r \Rightarrow p = -9r$.
હવે,$\alpha + \beta = -\frac{q}{p} = -\frac{-4r}{-9r} = -\frac{4}{9}$ અને $\alpha\beta = \frac{r}{p} = \frac{r}{-9r} = -\frac{1}{9}$ થાય.
નિત્યસમ $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\alpha - \beta)^2 = (-\frac{4}{9})^2 - 4(-\frac{1}{9}) = \frac{16}{81} + \frac{4}{9} = \frac{16 + 36}{81} = \frac{52}{81}$.
તેથી,$|\alpha - \beta| = \sqrt{\frac{52}{81}} = \frac{\sqrt{4 \times 13}}{9} = \frac{2\sqrt{13}}{9}$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 6x - 2 = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha + \beta = 6$ અને $\alpha \beta = -2$ મળે.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,તેઓ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$\alpha^2 - 6\alpha - 2 = 0 \implies \alpha^2 - 2 = 6\alpha$
$\beta^2 - 6\beta - 2 = 0 \implies \beta^2 - 2 = 6\beta$
આપણને $a_n = \alpha^n - \beta^n$ આપેલ છે. આપણે $\frac{a_{10} - 2a_8}{2a_9}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$a_n$ નું પદ મૂકતા:
$\frac{a_{10} - 2a_8}{2a_9} = \frac{(\alpha^{10} - \beta^{10}) - 2(\alpha^8 - \beta^8)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$= \frac{\alpha^8(\alpha^2 - 2) - \beta^8(\beta^2 - 2)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$\alpha^2 - 2 = 6\alpha$ અને $\beta^2 - 2 = 6\beta$ સંબંધોનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\alpha^8(6\alpha) - \beta^8(6\beta)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$= \frac{6\alpha^9 - 6\beta^9}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$= \frac{6(\alpha^9 - \beta^9)}{2(\alpha^9 - \beta^9)} = \frac{6}{2} = 3$.

(C) આ સમીકરણ $f(x)^{g(x)} = 1$ સ્વરૂપનું છે. આ ત્રણ કિસ્સાઓમાં સાચું પડે છે:
કિસ્સો $1$: આધાર $1$ હોય. $x^2 - 5x + 5 = 1 \Rightarrow x^2 - 5x + 4 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-4) = 0$. તેથી,$x = 1, 4$.
કિસ્સો $2$: આધાર $-1$ હોય અને ઘાતાંક બેકી પૂર્ણાંક હોય. $x^2 - 5x + 5 = -1 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) = 0$. તેથી,$x = 2, 3$. ઘાતાંક $g(x) = x^2 + 4x - 60$ તપાસતા: $x=2$ માટે,$g(2) = 4 + 8 - 60 = -48$ (બેકી). $x=3$ માટે,$g(3) = 9 + 12 - 60 = -39$ (એકી). તેથી,$x=3$ અસ્વીકાર્ય છે.
કિસ્સો $3$: ઘાતાંક $0$ હોય અને આધાર શૂન્ય ન હોય. $x^2 + 4x - 60 = 0 \Rightarrow (x+10)(x-6) = 0$. તેથી,$x = -10, 6$. આધાર $f(x) = x^2 - 5x + 5$ તપાસતા: $x=-10$ માટે,$f(-10) = 155 \neq 0$. $x=6$ માટે,$f(6) = 11 \neq 0$. બંને માન્ય છે.
$x$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યોનો ગણ ${1, 4, 2, -10, 6}$ છે.
સરવાળો $1 + 4 + 2 - 10 + 6 = 3$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ $\sum_{r=1}^{n} (x + r - 1)(x + r) = 10n$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum_{r=1}^{n} (x^2 + (2r - 1)x + r^2 - r) = 10n$.
$r$ પર સરવાળો કરતા: $nx^2 + x \sum_{r=1}^{n} (2r - 1) + \sum_{r=1}^{n} (r^2 - r) = 10n$.
સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\sum_{r=1}^{n} (2r - 1) = n^2$ અને $\sum_{r=1}^{n} (r^2 - r) = \frac{(n-1)n(n+1)}{3}$.
તેથી,$nx^2 + n^2x + \frac{n(n^2 - 1)}{3} = 10n$.
$n$ વડે ભાગતા $(n \neq 0)$: $x^2 + nx + \frac{n^2 - 1}{3} = 10$.
$x^2 + nx + \frac{n^2 - 31}{3} = 0$.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\alpha + 1$ છે. બીજનો સરવાળો: $2\alpha + 1 = -n \Rightarrow \alpha = \frac{-(n+1)}{2}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha(\alpha + 1) = \frac{n^2 - 31}{3}$.
$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $\left(\frac{-(n+1)}{2}\right) \left(\frac{-(n+1)}{2} + 1\right) = \frac{n^2 - 31}{3}$.
$\left(\frac{-(n+1)}{2}\right) \left(\frac{1-n}{2}\right) = \frac{n^2 - 31}{3} \Rightarrow \frac{n^2 - 1}{4} = \frac{n^2 - 31}{3}$.
$3n^2 - 3 = 4n^2 - 124 \Rightarrow n^2 = 121 \Rightarrow n = 11$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $|x^2 - x - 6| = x + 2$.
કિસ્સો $I$: $x^2 - x - 6 < 0$.
$(x - 3)(x + 2) < 0$,જેનો અર્થ છે $-2 < x < 3$.
આ કિસ્સામાં,સમીકરણ $-(x^2 - x - 6) = x + 2$ બને છે.
$-x^2 + x + 6 = x + 2 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
કારણ કે $-2 < x < 3$,તેથી માત્ર $x = 2$ એ માન્ય ઉકેલ છે.
કિસ્સો $II$: $x^2 - x - 6 \ge 0$.
$(x - 3)(x + 2) \ge 0$,જેનો અર્થ છે $x \le -2$ અથવા $x \ge 3$.
આ કિસ્સામાં,સમીકરણ $x^2 - x - 6 = x + 2$ બને છે.
$x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow (x - 4)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 4$ અથવા $x = -2$.
બંને કિંમતો શરત $x \le -2$ અથવા $x \ge 3$ નું પાલન કરે છે.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,ઉકેલો $x = -2, 2, 4$ છે.