logarithm Questions in Gujarati

(A) આપણને $\log _{10} 2 = 0.3010$ અને $\log _{10} 7 = 0.8451$ આપેલ છે.
આપણે $\log _{10} 2.8$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\log _{10} 2.8 = \log _{10} \left( \frac{28}{10} \right) = \log _{10} \left( \frac{2^2 \times 7}{10} \right)$.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\log(a \times b) = \log a + \log b$,$\log(a/b) = \log a - \log b$,અને $\log(a^n) = n \log a$:
$\log _{10} 2.8 = \log _{10} (2^2) + \log _{10} 7 - \log _{10} 10$.
$= 2 \log _{10} 2 + \log _{10} 7 - 1$.
$= 2(0.3010) + 0.8451 - 1$.
$= 0.6020 + 0.8451 - 1$.
$= 1.4471 - 1 = 0.4471$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\log _{10} 5 + \log _{10}(5x + 1) = \log _{10}(x + 5) + 1$
$\log a + \log b = \log(ab)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{10}[5(5x + 1)] = \log _{10}(x + 5) + \log _{10} 10$ (કારણ કે $\log _{10} 10 = 1$)
$\log _{10}[5(5x + 1)] = \log _{10}[10(x + 5)]$
બંને બાજુથી લઘુગણક દૂર કરતા:
$5(5x + 1) = 10(x + 5)$
$25x + 5 = 10x + 50$
$25x - 10x = 50 - 5$
$15x = 45$
$x = 3$

(A) આપેલ છે કે $\log _{10} 7 = a$.
$\log \left( \frac{x}{y} \right) = \log x - \log y$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{10} \left( \frac{1}{70} \right) = \log _{10} 1 - \log _{10} 70$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\log _{10} 1 = 0$ અને $\log _{10} 70 = \log _{10} (7 \times 10)$:
$= 0 - \log _{10} (7 \times 10)$.
$\log (xy) = \log x + \log y$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= -[\log _{10} 7 + \log _{10} 10]$.
અહીં $\log _{10} 7 = a$ અને $\log _{10} 10 = 1$ હોવાથી:
$= -(a + 1) = -(1 + a)$.

(D) આપેલ છે કે $\log _{a}(a b)=x$.
$\log(mn) = \log m + \log n$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{a} a + \log _{a} b = x$
$\log _{a} a = 1$ હોવાથી,આપણને મળે:
$1 + \log _{a} b = x \Rightarrow \log _{a} b = x - 1$.
હવે,આપણે $\log _{b}(a b)$ શોધવાનું છે:
$\log _{b}(a b) = \log _{b} a + \log _{b} b = \log _{b} a + 1$.
$\log _{b} a = \frac{1}{\log _{a} b}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{x - 1} + 1 = \frac{1 + (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$.

(C) આપણે લઘુગણકનો ગુણધર્મ $\log(a^n) = n \log a$ નો ઉપયોગ કરીશું.
કારણ કે $\sqrt{8} = 8^{1/2}$ છે,તેથી આપણે અંશને $\log(8^{1/2}) = \frac{1}{2} \log 8$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\log \sqrt{8}}{\log 8} = \frac{\frac{1}{2} \log 8}{\log 8} = \frac{1}{2}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $\log _{x} y=100$ અને $\log _{2} x=10$ છે.
લોગેરિધમના આધાર પરિવર્તનના નિયમ મુજબ,$\log _{a} b \times \log _{b} c = \log _{a} c.$
આપેલ બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા:
$\log _{2} x \times \log _{x} y = 10 \times 100$
$\log _{2} y = 1000$
લોગેરિધમની વ્યાખ્યા મુજબ,જો $\log _{a} b = c$ હોય,તો $b = a^{c}$ થાય.
તેથી,$y = 2^{1000}$ મળે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $16$ ને $2$ ના ઘાત તરીકે લખી શકાય છે,એટલે કે $16 = 2^4$.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log_{b} (a^n) = n \log_{b} a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{2} 16 = \log _{2} (2^4)$
$= 4 \log _{2} 2$
કારણ કે $\log _{b} b = 1$,તેથી $\log _{2} 2 = 1$.
તેથી,$4 \times 1 = 4$.

(C) $2^{64}$ માં અંકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાનો સામાન્ય લઘુગણક (આધાર $10$) લઈએ છીએ.
ધારો કે $x = 2^{64}$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા,આપણને $\log_{10} x = \log_{10} (2^{64})$ મળે છે.
$\log(a^b) = b \log a$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\log_{10} x = 64 \times \log_{10} 2$ થાય.
આપેલ છે કે $\log_{10} 2 = 0.3010$,તેથી $\log_{10} x = 64 \times 0.3010 = 19.264$.
કોઈપણ સંખ્યા $x$ માં અંકોની સંખ્યા $\lfloor \log_{10} x \rfloor + 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lfloor \cdot \rfloor$ એ પૂર્ણાંક ભાગ (લઘુગણકનો લાક્ષણિક અંશ) દર્શાવે છે.
અહીં,લાક્ષણિક અંશ $19$ છે.
તેથી,અંકોની સંખ્યા $= 19 + 1 = 20$ થાય.

(C) આપેલ છે: $\log 2 = 0.3010$ અને $\log 3 = 0.4771$.
આપણે $\log _{5} 512$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,$512$ ને $2$ ની ઘાત તરીકે દર્શાવો: $512 = 2^9$.
બેઝ બદલવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\log _{b} a = \frac{\log _{10} a}{\log _{10} b}$.
તેથી,$\log _{5} 512 = \log _{5} (2^9) = 9 \log _{5} 2$.
આને $9 \times \frac{\log _{10} 2}{\log _{10} 5}$ તરીકે લખી શકાય.
કારણ કે $\log _{10} 5 = \log _{10} (10/2) = \log _{10} 10 - \log _{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$.
કિંમતો મૂકતા: $\log _{5} 512 = \frac{9 \times 0.3010}{0.6990} = \frac{2.709}{0.699} = 3.8755... \approx 3.876$.

(A) લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$n \log a = \log a^n$ અને $\log a + \log b - \log c = \log \left( \frac{a \times b}{c} \right)$.
આપેલ પદાવલિ: $2 \log _{10} 5 + \log _{10} 8 - \frac{1}{2} \log _{10} 4$
$= \log _{10} (5^2) + \log _{10} 8 - \log _{10} (4^{1/2})$
$= \log _{10} 25 + \log _{10} 8 - \log _{10} 2$
$= \log _{10} \left( \frac{25 \times 8}{2} \right)$
$= \log _{10} (100)$
$= \log _{10} (10^2)$
$= 2 \log _{10} 10 = 2 \times 1 = 2$.

(B) આપેલ છે: $\log 2=x, \log 3=y, \log 7=z$.
આપણે $\log (4 \sqrt[3]{63})$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$
\log (4 \sqrt[3]{63}) = \log (2^2 \cdot (3^2 \cdot 7)^{1/3})
$
લઘુગણકના ગુણધર્મો $\log (ab) = \log a + \log b$ અને $\log (a^n) = n \log a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$
\log (4 \sqrt[3]{63}) = \log (2^2) + \log ((3^2 \cdot 7)^{1/3})
$
$= 2 \log 2 + \frac{1}{3} \log (3^2 \cdot 7)$
$= 2 \log 2 + \frac{1}{3} (\log 3^2 + \log 7)$
$= 2 \log 2 + \frac{1}{3} (2 \log 3 + \log 7)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$= 2x + \frac{1}{3} (2y + z)$
$= 2x + \frac{2}{3} y + \frac{1}{3} z$.

(C) આપેલ છે કે $\log 3 = 0.477$ અને $(1000)^{x} = 3$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા:
$\log_{10}(1000)^{x} = \log_{10} 3$
$\log(a^b) = b \log a$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$x \log_{10}(10^3) = \log_{10} 3$
કારણ કે $\log_{10}(10^3) = 3$:
$3x = \log_{10} 3$
$x = \frac{1}{3} \log_{10} 3$
$\log 3 = 0.477$ ની કિંમત મૂકતા:
$x = \frac{0.477}{3} = 0.159$

(C) આપેલ સમીકરણ $a^{x} = b^{y}$ છે.
બંને બાજુ લઘુગણક (logarithm) લેતા:
$\log(a^{x}) = \log(b^{y})$
લઘુગણકના ઘાત નિયમ $\log(m^{n}) = n \log m$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x \log a = y \log b$
$\frac{\log a}{\log b}$ નો ગુણોત્તર મેળવવા માટે પદોને ગોઠવતા,બંને બાજુને $x \log b$ વડે ભાગતા:
$\frac{\log a}{\log b} = \frac{y}{x}$

(D) આપેલ સમીકરણ: $\log _{4} x+\log _{8} x=5$
બેઝ બદલવાના સૂત્ર $\log _{b} a = \frac{\log a}{\log b}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\log x}{\log 4} + \frac{\log x}{\log 8} = 5$
કારણ કે $4 = 2^2$ અને $8 = 2^3$,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{\log x}{2 \log 2} + \frac{\log x}{3 \log 2} = 5$
$\frac{\log x}{\log 2}$ ને સામાન્ય લેતા:
$\frac{\log x}{\log 2} (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = 5$
$\frac{\log x}{\log 2} (\frac{3+2}{6}) = 5$
$\frac{\log x}{\log 2} (\frac{5}{6}) = 5$
બંને બાજુ $\frac{6}{5}$ વડે ગુણતા:
$\frac{\log x}{\log 2} = 5 \times \frac{6}{5} = 6$
$\log _{b} a = \frac{\log a}{\log b}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\log _{2} x = 6$ મળે છે.
ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$x = 2^6 = 64$

(C) આપેલ સમીકરણ: $\log _{10} 50+\log _{10} 20=x$
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log_b(m) + \log_b(n) = \log_b(m \times n)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{10}(50 \times 20)=x$
$\log _{10}(1000)=x$
કારણ કે $1000 = 10^3$,તેથી:
$\log _{10}(10^3)=x$
ગુણધર્મ $\log_b(b^k) = k$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x=3$

(B) ધારો કે $\log _{3 / 2} 3.375 = x$.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,આને $(3 / 2)^x = 3.375$ તરીકે લખી શકાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $3 / 2 = 1.5$.
હવે,$1.5^3 = 1.5 \times 1.5 \times 1.5 = 2.25 \times 1.5 = 3.375$ ની ગણતરી કરો.
તેથી,$(1.5)^x = (1.5)^3$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $x = \log_{2a} a$,$y = \log_{3a} 2a$ અને $z = \log_{4a} 3a$.
બેઝ બદલવાના નિયમ $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{\ln a}{\ln 2a}$,$y = \frac{\ln 2a}{\ln 3a}$,$z = \frac{\ln 3a}{\ln 4a}$.
હવે,$yz = \left(\frac{\ln 2a}{\ln 3a}\right) \left(\frac{\ln 3a}{\ln 4a}\right) = \frac{\ln 2a}{\ln 4a} = \log_{4a} 2a$.
ત્યારબાદ,$xyz = \left(\frac{\ln a}{\ln 2a}\right) \left(\frac{\ln 2a}{\ln 3a}\right) \left(\frac{\ln 3a}{\ln 4a}\right) = \frac{\ln a}{\ln 4a} = \log_{4a} a$.
આ કિંમતોને $yz(2-x) = 2yz - xyz$ માં મૂકતા:
$2(\log_{4a} 2a) - \log_{4a} a = \log_{4a} (2a)^2 - \log_{4a} a = \log_{4a} \left(\frac{4a^2}{a}\right) = \log_{4a} 4a = 1$.

(D) ધારો કે દરેક ગુણોત્તર એક અચળાંક $k$ બરાબર છે.
તેથી,$\log x = k(l+m-2n)$,$\log y = k(m+n-2l)$,અને $\log z = k(n+l-2m)$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\log x + \log y + \log z = k(l+m-2n + m+n-2l + n+l-2m)$
$\log(xyz) = k(2l - 2l + 2m - 2m + 2n - 2n) = k(0) = 0$.
કારણ કે $\log(xyz) = 0$,તેથી $xyz = e^0 = 1$ મળે.
આમ,$x^2 y^2 z^2 = (xyz)^2 = 1^2 = 1$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\log \left(\frac{x+y}{5}\right) = \frac{1}{2}(\log x + \log y)$.
$\log a + \log b = \log(ab)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $\log \left(\frac{x+y}{5}\right) = \frac{1}{2} \log(xy)$.
$n \log a = \log(a^n)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $\log \left(\frac{x+y}{5}\right) = \log((xy)^{1/2})$.
બંને બાજુથી લઘુગણક દૂર કરતા: $\frac{x+y}{5} = \sqrt{xy}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\left(\frac{x+y}{5}\right)^2 = xy \Rightarrow \frac{x^2 + 2xy + y^2}{25} = xy$.
$25$ વડે ગુણતા: $x^2 + 2xy + y^2 = 25xy$.
બંને બાજુથી $2xy$ બાદ કરતા: $x^2 + y^2 = 23xy$.
બંને બાજુ $xy$ વડે ભાગતા: $\frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} = 23$.
આમ,$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 23$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\log (x+y) = \log \left( \frac{3x - 3y}{2} \right)$.
બંને બાજુથી લઘુગણક દૂર કરતા: $x + y = \frac{3x - 3y}{2}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2x + 2y = 3x - 3y$.
$x$ અને $y$ માટે પદોને ગોઠવતા: $2y + 3y = 3x - 2x$.
આનું સાદું રૂપ: $5y = x$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{x}{y} = 5$.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log a - \log b = \log \left( \frac{a}{b} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા: $\log x - \log y = \log \left( \frac{x}{y} \right)$.
$\frac{x}{y} = 5$ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે: $\log x - \log y = \log 5$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\log _{2} x+\log _{4} x+\log _{16} x=\frac{21}{4}$
બેઝ બદલવાના સૂત્ર $\log _{a^n} x = \frac{1}{n} \log _{a} x$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદોને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$\log _{4} x = \log _{2^2} x = \frac{1}{2} \log _{2} x$
$\log _{16} x = \log _{2^4} x = \frac{1}{4} \log _{2} x$
આ કિંમતોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\log _{2} x + \frac{1}{2} \log _{2} x + \frac{1}{4} \log _{2} x = \frac{21}{4}$
$\log _{2} x$ ને સામાન્ય લેતા:
$\log _{2} x \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = \frac{21}{4}$
$\log _{2} x \left(\frac{4+2+1}{4}\right) = \frac{21}{4}$
$\log _{2} x \left(\frac{7}{4}\right) = \frac{21}{4}$
$\log _{2} x = \frac{21}{4} \times \frac{4}{7} = 3$
લોગરીધમિક સ્વરૂપને ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$x = 2^3 = 8$

(A) અમે $n \log a = \log a^n$ અને $\log(a/b) = \log a - \log b$ ના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય અવયવોમાં દર્શાવો:
$7 \log \left(\frac{2^4}{3 \times 5}\right) + 5 \log \left(\frac{5^2}{2^3 \times 3}\right) + 3 \log \left(\frac{3^4}{2^4 \times 5}\right)$
$= 7(4 \log 2 - \log 3 - \log 5) + 5(2 \log 5 - 3 \log 2 - \log 3) + 3(4 \log 3 - 4 \log 2 - \log 5)$
$= (28 \log 2 - 7 \log 3 - 7 \log 5) + (10 \log 5 - 15 \log 2 - 5 \log 3) + (12 \log 3 - 12 \log 2 - 3 \log 5)$
હવે,પદોને $\log 2, \log 3,$ અને $\log 5$ મુજબ જૂથબદ્ધ કરો:
$\log 2: 28 - 15 - 12 = 1$
$\log 3: -7 - 5 + 12 = 0$
$\log 5: -7 + 10 - 3 = 0$
પરિણામ $= 1 \log 2 + 0 \log 3 + 0 \log 5 = \log 2$.

(B) ધારો કે $y = \log_{a} x + \log_{x} a$.
અહીં $x \geq a > 0$ અને $a \neq 1$ હોવાથી,આપણે $\log_{x} a = \frac{1}{\log_{a} x}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી શકીએ.
ધારો કે $u = \log_{a} x$. $x \geq a$ હોવાથી,$u = \log_{a} x \geq \log_{a} a = 1$ થાય.
હવે પદાવલિ $f(u) = u + \frac{1}{u}$ બને છે,જ્યાં $u \geq 1$.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતા મુજબ,$u > 0$ માટે,$u + \frac{1}{u} \geq 2\sqrt{u \cdot \frac{1}{u}} = 2$.
સમાનતા ત્યારે મળે છે જ્યારે $u = \frac{1}{u}$,એટલે કે $u^2 = 1$. $u \geq 1$ હોવાથી,$u = 1$ મળે.
$u = 1$ મૂકતા,$\log_{a} x = 1$ એટલે કે $x = a$ મળે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે.

(A) ધારો કે $\frac{\log x}{b-c} = \frac{\log y}{c-a} = \frac{\log z}{a-b} = k$.
તેથી,$\log x = k(b-c)$,$\log y = k(c-a)$,અને $\log z = k(a-b)$.
આનો સરવાળો કરતા: $\log x + \log y + \log z = k(b-c + c-a + a-b) = k(0) = 0$.
કારણ કે $\log(xyz) = 0$,તેથી $xyz = 10^0 = 1$.
આગળ,$a \log x + b \log y + c \log z = k[a(b-c) + b(c-a) + c(a-b)] = k(ab - ac + bc - ba + ca - cb) = k(0) = 0$.
આમ,$\log(x^a \cdot y^b \cdot z^c) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x^a \cdot y^b \cdot z^c = 1$.
અંતે,$(b+c) \log x + (c+a) \log y + (a+b) \log z = k[(b+c)(b-c) + (c+a)(c-a) + (a+b)(a-b)] = k(b^2 - c^2 + c^2 - a^2 + a^2 - b^2) = k(0) = 0$.
આમ,$\log(x^{b+c} \cdot y^{c+a} \cdot z^{a+b}) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x^{b+c} \cdot y^{c+a} \cdot z^{a+b} = 1$.
તેથી,$xyz = x^a \cdot y^b \cdot z^c = x^{b+c} \cdot y^{c+a} \cdot z^{a+b} = 1$.

(C) ધારો કે $E = x^{\log y - \log z} \cdot y^{\log z - \log x} \cdot z^{\log x - \log y}$.
બંને બાજુ લઘુગણક (logarithm) લેતા:
$\log E = (\log y - \log z) \log x + (\log z - \log x) \log y + (\log x - \log y) \log z$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\log E = (\log y \cdot \log x - \log z \cdot \log x) + (\log z \cdot \log y - \log x \cdot \log y) + (\log x \cdot \log z - \log y \cdot \log z)$.
સમાન પદો ઉડાડતા:
$\log E = \log y \log x - \log z \log x + \log z \log y - \log x \log y + \log x \log z - \log y \log z = 0$.
તેથી,$\log E = 0$ હોવાથી $E = 10^0 = 1$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\log _{10}\left[98+\sqrt{x^{2}-12 x+36}\right]=2$
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,જો $\log_{b}(a) = c$ હોય,તો $a = b^c$ થાય. આનો ઉપયોગ કરતા:
$98+\sqrt{x^{2}-12 x+36} = 10^2$
$98+\sqrt{(x-6)^2} = 100$
$\sqrt{(x-6)^2} = 100 - 98$
$|x-6| = 2$
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $x-6 = 2 \Rightarrow x = 8$
કિસ્સો $2$: $x-6 = -2 \Rightarrow x = 4$
આમ,$x$ ની કિંમતો $4$ અને $8$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x=\log _{a} b c$,બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા $x+1=\log _{a} b c + 1 = \log _{a} b c + \log _{a} a = \log _{a} (a b c)$ મળે.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{1}{x+1} = \log _{a b c} a$ મળે.
તે જ રીતે,$\frac{1}{y+1} = \log _{a b c} b$ અને $\frac{1}{z+1} = \log _{a b c} c$ મળે.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $\frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} + \frac{1}{z+1} = \log _{a b c} a + \log _{a b c} b + \log _{a b c} c = \log _{a b c} (a b c) = 1$.
હવે,$\frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} + \frac{1}{z+1} = 1$ નો અર્થ છે કે $(y+1)(z+1) + (x+1)(z+1) + (x+1)(y+1) = (x+1)(y+1)(z+1)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $(yz+y+z+1) + (xz+x+z+1) + (xy+x+y+1) = xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1$.
સાદુરૂપ આપતા: $xy + yz + zx + 2(x+y+z) + 3 = xyz + xy + yz + zx + x + y + z + 1$.
બંને બાજુથી $xy + yz + zx + x + y + z + 1$ બાદ કરતા $x+y+z+2 = xyz$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $a^{x}=b^{y}=c^{z}=d^{w}$.
ધારો કે $a^{x}=b^{y}=c^{z}=d^{w}=k$.
તેથી $b=k^{1/y}, c=k^{1/z}, d=k^{1/w}$ અને $a=k^{1/x}$ મળે.
આપણે $\log _{a}(b c d)$ શોધવાનું છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log _{a}(M N P) = \log _{a} M + \log _{a} N + \log _{a} P$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{a}(b c d) = \log _{a} b + \log _{a} c + \log _{a} d$.
અહીં $b=a^{x/y}, c=a^{x/z}, d=a^{x/w}$ હોવાથી,આ કિંમતો મૂકતા:
$\log _{a}(b c d) = \log _{a}(a^{x/y}) + \log _{a}(a^{x/z}) + \log _{a}(a^{x/w})$.
$\log _{a}(a^{n}) = n$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{a}(b c d) = \frac{x}{y} + \frac{x}{z} + \frac{x}{w} = x\left(\frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{w}\right)$.

(A) લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log_b(x/y) = \log_b x - \log_b y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log_{10}(1/2) = \log_{10} 1 - \log_{10} 2$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\log_{10} 1 = 0$ અને $\log_{10} 2 = 0.3010$ છે,
તેથી,$\log_{10}(1/2) = 0 - 0.3010 = -0.3010$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\log _{2}\left(3^{2 x-2}+7\right)=2+\log _{2}\left(3^{x-1}+1\right)$
ગુણધર્મ $2 = \log _{2} 4$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{2}\left(3^{2 x-2}+7\right)=\log _{2} 4+\log _{2}\left(3^{x-1}+1\right)$
$\log _{2}\left(3^{2 x-2}+7\right)=\log _{2}\left[4\left(3^{x-1}+1\right)\right]$
બંને બાજુથી લઘુગણક દૂર કરતા:
$3^{2 x-2}+7=4\left(3^{x-1}+1\right)$
ધારો કે $t = 3^{x-1}$. તેથી $3^{2x-2} = (3^{x-1})^2 = t^2$.
સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $t^2 + 7 = 4(t + 1)$
$t^2 + 7 = 4t + 4$
$t^2 - 4t + 3 = 0$
$(t - 1)(t - 3) = 0$
તેથી,$t = 1$ અથવા $t = 3$.
કિસ્સો $1$: $t = 1 \Rightarrow 3^{x-1} = 1 = 3^0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.
કિસ્સો $2$: $t = 3 \Rightarrow 3^{x-1} = 3^1 \Rightarrow x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2$.
આમ,$x = 1$ અથવા $x = 2$.

(C) ધારો કે $\log _{a} b = \log _{b} c = \log _{c} a = k$.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ:
$b = a^k$,$c = b^k$,અને $a = c^k$.
કિંમતો મૂકતા:
$c = (a^k)^k = a^{k^2}$.
કારણ કે $a = c^k$,આપણે સમીકરણમાં $a$ ની કિંમત મૂકીએ:
$c = (c^k)^{k^2} = c^{k^3}$.
$c > 0$ અને $c \neq 1$ માટે,આનો અર્થ એ થાય કે $k^3 = 1$,તેથી $k = 1$.
જો $k = 1$ હોય,તો $\log _{a} b = 1 \Rightarrow a = b$,$\log _{b} c = 1 \Rightarrow b = c$,અને $\log _{c} a = 1 \Rightarrow c = a$.
તેથી,$a = b = c$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{\log _{x} 10}=\frac{2}{\log _{a} 10}-2$
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\frac{1}{\log _{b} a} = \log _{a} b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{10} x = 2 \log _{10} a - 2$
$\log _{10} x = 2 (\log _{10} a - 1)$
અહીં $1 = \log _{10} 10$ હોવાથી:
$\log _{10} x = 2 (\log _{10} a - \log _{10} 10)$
ભાગાકારના નિયમ $\log m - \log n = \log (m/n)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{10} x = 2 \log _{10} (a/10)$
ઘાતના નિયમ $n \log m = \log (m^n)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{10} x = \log _{10} (a/10)^2$
$\log _{10} x = \log _{10} (a^2 / 100)$
તેથી,$x = a^2 / 100$.

(B) આપેલ પદાવલિ $\frac{1}{\log _{c+a} b}+\frac{1}{\log _{c-a} b}$ છે.
લઘુગણકના આધાર પરિવર્તનના નિયમ $\frac{1}{\log _{x} y} = \log _{y} x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદાવલિને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$\log _{b}(c+a) + \log _{b}(c-a)$.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log _{m} n + \log _{m} p = \log _{m} (n \cdot p)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{b}((c+a)(c-a)) = \log _{b}(c^{2}-a^{2})$.
આપેલ છે કે $a^{2}+b^{2}=c^{2}$,તેથી $c^{2}-a^{2}=b^{2}$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\log _{b}(b^{2}) = 2 \log _{b} b = 2(1) = 2$.

(A) ધારો કે $x = (875)^{10}$.
આપણે $875 = 87.5 \times 10$ લખી શકીએ.
તેથી,$x = (87.5 \times 10)^{10}$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા:
$\log_{10} x = \log_{10} (87.5 \times 10)^{10} = 10 \times \log_{10} (87.5 \times 10)$.
$\log(ab) = \log a + \log b$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log_{10} x = 10 \times (\log_{10} 87.5 + \log_{10} 10)$.
આપેલ છે કે $\log_{10} 87.5 = 1.9421$ અને $\log_{10} 10 = 1$:
$\log_{10} x = 10 \times (1.9421 + 1) = 10 \times 2.9421 = 29.421$.
$\log_{10} x$ નો પૂર્ણાંશ ભાગ (characteristic) $29$ છે. $x$ માં અંકોની સંખ્યા $= \text{characteristic} + 1$ દ્વારા મળે છે.
અંકોની સંખ્યા $= 29 + 1 = 30$.

(B) ધારો કે $x = (0.0432)^{10}$.
બંને બાજુ $\log_{10}$ લેતા:
$\log_{10} x = 10 \log_{10} (0.0432) = 10 \log_{10} (432 \times 10^{-4})$
$= 10 [\log_{10} (2^4 \times 3^3) - 4]$
$= 10 [4 \log_{10} 2 + 3 \log_{10} 3 - 4]$
$= 10 [4(0.3010) + 3(0.4771) - 4]$
$= 10 [1.2040 + 1.4313 - 4]$
$= 10 [2.6353 - 4] = 10 [-1.3647] = -13.647$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $-13.647 = -14 + 0.353 = \bar{14}.353$.
અહીં પૂર્ણાંશ (characteristic) $-14$ છે. દશાંશ ચિહ્ન પછી અને પ્રથમ સાર્થક અંક પહેલાં આવતા શૂન્યોની સંખ્યા $|\text{characteristic}| - 1 = 14 - 1 = 13$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $(4.2)^{x} = 100$ અને $(0.42)^{y} = 100$.
$(4.2)^{x} = 100$ પરથી,આપણને મળે $4.2 = 100^{1/x} = (10^2)^{1/x} = 10^{2/x}$.
$(0.42)^{y} = 100$ પરથી,આપણને મળે $0.42 = 100^{1/y} = (10^2)^{1/y} = 10^{2/y}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $4.2 / 0.42 = 10$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે $10^{2/x} / 10^{2/y} = 10^1$.
ઘાતાંકના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$10^{(2/x - 2/y)} = 10^1$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,$2/x - 2/y = 1$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ અને $\log_{a^{1/n}} b = n \log_a b$ થાય.
પ્રથમ,પદોનું સાદું રૂપ આપીએ:
$\log_9 11 = \log_{3^2} 11 = \frac{1}{2} \log_3 11$.
$\log_{\sqrt{5}} 13 = \log_{5^{1/2}} 13 = 2 \log_5 13$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\frac{1}{2} \log_3 11}{\log_5 13} - \frac{\log_3 11}{2 \log_5 13} = \frac{1}{2} \frac{\log_3 11}{\log_5 13} - \frac{1}{2} \frac{\log_3 11}{\log_5 13} = 0$.

(D) ધારો કે $\frac{\log x}{2} = \frac{\log y}{3} = \frac{\log z}{5} = k$.
તેથી,$\log x = 2k$,$\log y = 3k$,અને $\log z = 5k$ થાય.
આપણે $x$ ના પદમાં $yz$ શોધવાનું છે. $\log(yz) = \log y + \log z$ ધ્યાનમાં લો.
કિંમતો મૂકતા,$\log(yz) = 3k + 5k = 8k$ મળે.
ચૂકી $\log x = 2k$ છે,તેથી આપણે $8k = 4(2k) = 4 \log x = \log(x^4)$ લખી શકીએ.
તેથી,$\log(yz) = \log(x^4)$,જેનો અર્થ છે કે $yz = x^4$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $4^{x} + 2^{2x-1} = 3^{x+\frac{1}{2}} + 3^{x-\frac{1}{2}}$
કારણ કે $2^{2x-1} = \frac{2^{2x}}{2} = \frac{4^{x}}{2}$,ડાબી બાજુને આ રીતે લખી શકાય:
$4^{x} + \frac{4^{x}}{2} = 4^{x}(1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} \cdot 4^{x}$
જમણી બાજુ માટે:
$3^{x+\frac{1}{2}} + 3^{x-\frac{1}{2}} = 3^{x} \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 3^{x} \cdot 3^{-\frac{1}{2}} = 3^{x}(\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}) = 3^{x}(\frac{3+1}{\sqrt{3}}) = 3^{x} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}$
બંને બાજુ સરખાવતા:
$\frac{3}{2} \cdot 4^{x} = 3^{x} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}$
$\frac{4^{x}}{3^{x}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3\sqrt{3}}$
કારણ કે $3\sqrt{3} = 3^{1} \cdot 3^{1/2} = 3^{3/2}$ અને $8 = 2^{3}$,તેથી:
$(\frac{4}{3})^{x} = \frac{2^{3}}{3^{3/2}} = \frac{(2^{2})^{3/2}}{3^{3/2}} = (\frac{4}{3})^{3/2}$
ઘાતાંકની સરખામણી કરતા,$x = 3/2$.

(C) આપેલ પદાવલિ $\frac{\log(49 \cdot 7^{1/2}) + \log(25 \cdot 5^{1/2}) - \log(4 \cdot 2^{1/2})}{\log 17.5}$ છે.
અહીં $49 = 7^2$,$25 = 5^2$,અને $4 = 2^2$ હોવાથી:
$\log(7^2 \cdot 7^{1/2}) = \log(7^{5/2}) = \frac{5}{2} \log 7$.
$\log(5^2 \cdot 5^{1/2}) = \log(5^{5/2}) = \frac{5}{2} \log 5$.
$\log(2^2 \cdot 2^{1/2}) = \log(2^{5/2}) = \frac{5}{2} \log 2$.
અંશમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{5}{2} \log 7 + \frac{5}{2} \log 5 - \frac{5}{2} \log 2 = \frac{5}{2} (\log 7 + \log 5 - \log 2)$.
લઘુગણકના નિયમો $\log a + \log b = \log(ab)$ અને $\log a - \log b = \log(a/b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log 7 + \log 5 - \log 2 = \log(\frac{7 \cdot 5}{2}) = \log(\frac{35}{2}) = \log 17.5$.
તેથી,પદાવલિનું મૂલ્ય:
$\frac{\frac{5}{2} \log 17.5}{\log 17.5} = \frac{5}{2}$.

(B) આપેલ પદાવલિ લઘુગણકીય પદોનો ગુણાકાર છે: $\log _{10} \tan 40^{\circ} \cdot \log _{10} \tan 41^{\circ} \cdots \log _{10} \tan 50^{\circ}$.
આ શ્રેણીમાં,$\log _{10} \tan 45^{\circ}$ પદનો સમાવેશ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 45^{\circ} = 1$.
તેથી,$\log _{10} \tan 45^{\circ} = \log _{10} 1 = 0$.
ગુણાકારમાં એક અવયવ $0$ હોવાથી,સમગ્ર ગુણાકાર $0$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $\log _{8} p = 2.5 = \frac{5}{2}$.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,$p = 8^{5/2}$.
કારણ કે $8 = 2^3$,તેથી $p = (2^3)^{5/2} = 2^{15/2}$.
આપેલ છે કે $\log _{2} q = 5$,તેથી $q = 2^5$.
આપણે $p$ ને $q$ ના પદમાં દર્શાવવા માટે $2^5 = q$ ને $p$ ના સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$p = 2^{15/2} = (2^5)^{3/2} = q^{3/2}$.
કારણ કે $q^{3/2} = q^1 \cdot q^{1/2} = q\sqrt{q}$,તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે: $y = \frac{1}{a^{1-\log _{a} x}} \implies \log _{a} y = \frac{1}{1-\log _{a} x}$.
તે જ રીતે,$z = \frac{1}{a^{1-\log _{a} y}} \implies \log _{a} z = \frac{1}{1-\log _{a} y}$.
$\log _{a} y$ ની કિંમત $\log _{a} z$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\log _{a} z = \frac{1}{1 - \frac{1}{1-\log _{a} x}} = \frac{1}{\frac{1-\log _{a} x - 1}{1-\log _{a} x}} = \frac{1-\log _{a} x}{-\log _{a} x}$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$-\log _{a} z = \frac{1-\log _{a} x}{\log _{a} x} = \frac{1}{\log _{a} x} - 1$.
તેથી,$\frac{1}{\log _{a} x} = 1 - \log _{a} z$.
આનો અર્થ એ છે કે $\log _{a} x = \frac{1}{1 - \log _{a} z}$.
આપેલ છે કે $x = a^{k}$,તેથી $\log _{a} x = k$.
આમ,$k = \frac{1}{1 - \log _{a} z}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\log _{e} 2 \cdot \log _{b} 625 = \log _{10} 16 \cdot \log _{e} 10$
આપણે જાણીએ છીએ કે $625 = 5^4$ અને $16 = 2^4$. આ કિંમતો મૂકતા:
$\log _{e} 2 \cdot \log _{b} (5^4) = \log _{10} (2^4) \cdot \log _{e} 10$
$\log(a^n) = n \log a$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{e} 2 \cdot 4 \log _{b} 5 = 4 \log _{10} 2 \cdot \log _{e} 10$
બેઝ બદલવાના સૂત્ર $\log _{10} 2 = \frac{\log _{e} 2}{\log _{e} 10}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log _{e} 2 \cdot 4 \log _{b} 5 = 4 \cdot \left( \frac{\log _{e} 2}{\log _{e} 10} \right) \cdot \log _{e} 10$
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા:
$\log _{e} 2 \cdot 4 \log _{b} 5 = 4 \log _{e} 2$
બંને બાજુને $4 \log _{e} 2$ વડે ભાગતા (ધારી લો કે $\log _{e} 2 \neq 0$):
$\log _{b} 5 = 1$
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,$b^1 = 5$,તેથી $b = 5$.

(C) ધારો કે $x = 5^{\sqrt{\log _{5} 7}}$ અને $y = 7^{\sqrt{\log _{7} 5}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a^{\log_{a} b} = b$.
પદ $y = 7^{\sqrt{\log _{7} 5}}$ ને ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $\log_{7} 5 = \frac{1}{\log_{5} 7}$,આપણે લખી શકીએ:
$y = 7^{\sqrt{\frac{1}{\log_{5} 7}}} = 7^{\frac{1}{\sqrt{\log_{5} 7}}}$.
ગુણધર્મ $a^{\log_{a} b} = b$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે જાણીએ છીએ કે $7 = 5^{\log_{5} 7}$.
આ કિંમત $y$ માં મૂકતા:
$y = (5^{\log_{5} 7})^{\frac{1}{\sqrt{\log_{5} 7}}} = 5^{\log_{5} 7 \cdot \frac{1}{\sqrt{\log_{5} 7}}} = 5^{\sqrt{\log_{5} 7}}$.
આમ,$x = y$,જેનો અર્થ છે કે $x - y = 0$.

(D) લઘુગણકના ઘાત નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$n \log _{b} a = \log _{b} (a^n)$.
આપેલ પદાવલિ પર આ નિયમ લાગુ પાડતા:
$2 \log _{3} 7 = \log _{3} (7^2) = \log _{3} 49$
$7 \log _{3} 2 = \log _{3} (2^7) = \log _{3} 128$
તેથી,પદાવલિ $\log _{3} 49 - \log _{3} 128$ બને છે.
ભાગાકારના નિયમ મુજબ,$\log _{b} x - \log _{b} y = \log _{b} (x/y)$:
$\log _{3} (49/128)$.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ આ પરિણામ સાથે મેળ ખાતું નથી. જો પ્રશ્ન $\log _{3} 7^2 - \log _{3} 49$ હોત,તો જવાબ $0$ આવત. આપેલ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\log _{30} 3 = a$ અને $\log _{30} 5 = b.$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\log _{30} 15 = \log _{30} (3 \times 5) = \log _{30} 3 + \log _{30} 5 = a + b.$
વળી,$\log _{30} 15 = \log _{30} \left(\frac{30}{2}\right) = \log _{30} 30 - \log _{30} 2 = 1 - \log _{30} 2.$
$\log _{30} 15$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$a + b = 1 - \log _{30} 2 \Rightarrow \log _{30} 2 = 1 - a - b.$
હવે,$\log _{30} 8 = \log _{30} (2^3) = 3 \log _{30} 2.$
$\log _{30} 2$ ની કિંમત મૂકતા:
$\log _{30} 8 = 3(1 - a - b).$

(B) આપેલ છે કે $0 < a < 1$ અને $0 < x < 1$.
જ્યારે આધાર $a$ એ $0$ અને $1$ ની વચ્ચે હોય,ત્યારે લઘુગણકીય વિધેય $f(x) = \log_{a} x$ એ ઘટતું વિધેય છે.
અસમતા $x < a$ આપેલ છે,તેથી આધાર $a$ (જ્યાં $0 < a < 1$) સાથે લઘુગણક લેતા અસમતાની નિશાની બદલાઈ જશે.
તેથી,$\log_{a} x > \log_{a} a$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\log_{a} a = 1$,તેથી $\log_{a} x > 1$ મળે છે.

(C) ધારો કે $\log _{5} 2$ એક સંમેય સંખ્યા છે,તેથી $\log _{5} 2 = \frac{p}{q}$,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,આનો અર્થ એ થાય કે $2 = 5^{p/q}$.
બંને બાજુ $q$ ઘાત લેતા,આપણને $2^q = 5^p$ મળે છે.
કારણ કે $2^q$ એક બેકી સંખ્યા છે (જ્યારે $q \geq 1$) અને $5^p$ એક એકી સંખ્યા છે,આ વિરોધાભાસ પેદા કરે છે.
તેથી,$\log _{5} 2$ સંમેય છે તેવી ધારણા ખોટી છે.
આમ,$\log _{5} 2$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $\log _{5}\left(1+\frac{1}{5}\right)+\log _{5}\left(1+\frac{1}{6}\right)+\log _{5}\left(1+\frac{1}{7}\right)+\cdots+\log _{5} \left(1+\frac{1}{624}\right)$ છે.
લઘુગુણકની અંદરના દરેક પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\log _{5} \left(\frac{6}{5}\right)+\log _{5} \left(\frac{7}{6}\right)+\log _{5} \left(\frac{8}{7}\right)+\cdots+\log _{5} \left(\frac{625}{624}\right)$.
ગુણધર્મ $\log_{b}(x) + \log_{b}(y) = \log_{b}(xy)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદોને ભેગા કરી શકીએ છીએ:
$\log _{5} \left(\frac{6}{5} \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{8}{7} \cdot \cdots \cdot \frac{625}{624}\right)$.
અહીં પદો ટેલિસ્કોપિંગ રીતે ઉડી જાય છે:
$\log _{5} \left(\frac{625}{5}\right)$.
ભાગાકાર કરતા: $\frac{625}{5} = 125$.
તેથી,પદાવલિ $\log _{5}(125)$ બને છે.
કારણ કે $125 = 5^3$,તેથી $\log _{5}(5^3) = 3 \log _{5}(5) = 3(1) = 3$.