QUADRATIC EQUATION Questions in Gujarati

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 - 2(m^2 + 1)x + m^4 + m^2 + 1 = 0$ છે.
તેને $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$,$b = -2(m^2 + 1)$,અને $c = m^4 + m^2 + 1$ મળે છે.
બીજના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -b/a = \frac{2(m^2 + 1)}{2} = m^2 + 1$ ... $(i)$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = c/a = \frac{m^4 + m^2 + 1}{2}$ ... $(ii)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$.
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી કિંમતો મૂકતા:
$\alpha^2 + \beta^2 = (m^2 + 1)^2 - 2 \left( \frac{m^4 + m^2 + 1}{2} \right)$
$\alpha^2 + \beta^2 = (m^4 + 2m^2 + 1) - (m^4 + m^2 + 1)$
$\alpha^2 + \beta^2 = m^4 - m^4 + 2m^2 - m^2 + 1 - 1 = m^2$.

(B) ધારો કે સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $p\alpha$ અને $q\alpha$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $p\alpha + q\alpha = -\frac{b}{a} \implies \alpha(p + q) = -\frac{b}{a} \implies \alpha = -\frac{b}{a(p + q)}$.
બીજનો ગુણાકાર: $(p\alpha)(q\alpha) = \frac{c}{a} \implies pq\alpha^2 = \frac{c}{a}$.
$\alpha$ ની કિંમત ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$pq \left( -\frac{b}{a(p + q)} \right)^2 = \frac{c}{a}$
$pq \left( \frac{b^2}{a^2(p + q)^2} \right) = \frac{c}{a}$
$pqb^2 = ac(p + q)^2$
$pqb^2 - (p + q)^2ac = 0$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,આપણી પાસે $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ છે.
વળી,$\alpha$ અને $\beta$ સમીકરણનું સમાધાન કરતા હોવાથી,$a\alpha^2 + b\alpha + c = 0 \implies a\alpha + b = -\frac{c}{\alpha}$ અને $a\beta + b = -\frac{c}{\beta}$ થાય.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\alpha}{a\beta + b} + \frac{\beta}{a\alpha + b} = \frac{\alpha}{-c/\beta} + \frac{\beta}{-c/\alpha} = -\frac{\alpha\beta}{c} - \frac{\beta\alpha}{c} = -\frac{2\alpha\beta}{c}$.
$\alpha\beta = \frac{c}{a}$ મૂકતા:
$-\frac{2(c/a)}{c} = -\frac{2}{a}$.

(C) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બે બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ થાય.
બીજના વર્ગોનો સરવાળો $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\alpha^2 + \beta^2 = (-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a}) = \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} = \frac{b^2 - 2ac}{a^2}$ મળે.
આપેલ શરત મુજબ,બીજનો સરવાળો એ તેમના વર્ગોના સરવાળા જેટલો છે,તેથી $\alpha + \beta = \alpha^2 + \beta^2$.
પદ મૂકતા,$-\frac{b}{a} = \frac{b^2 - 2ac}{a^2}$.
બંને બાજુ $a^2$ વડે ગુણતા,$-ab = b^2 - 2ac$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$2ac = b^2 + ab$,જેનું સાદું રૂપ $2ac = b(a + b)$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{\alpha}{x - \alpha} + \frac{\beta}{x - \beta} = 1$
$(x - \alpha)(x - \beta)$ વડે ગુણતા:
$\alpha(x - \beta) + \beta(x - \alpha) = (x - \alpha)(x - \beta)$
$\alpha x - \alpha \beta + \beta x - \alpha \beta = x^2 - \alpha x - \beta x + \alpha \beta$
$(\alpha + \beta)x - 2\alpha \beta = x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta$
દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$x^2 - 2(\alpha + \beta)x + 3\alpha \beta = 0$
ધારો કે બીજ $k$ અને $-k$ છે. દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $-b/a$ થાય છે.
બીજનો સરવાળો: $k + (-k) = 0$
સમીકરણ પરથી,બીજનો સરવાળો $2(\alpha + \beta)$ છે.
તેથી,$2(\alpha + \beta) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha + \beta = 0$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 2x + 3 = 0$ છે.
આ સમીકરણ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = 2$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = 3$ છે.
આપણે એવું સમીકરણ શોધવાનું છે જેના બીજ $\frac{1}{\alpha^2}$ અને $\frac{1}{\beta^2}$ હોય.
નવા બીજનો સરવાળો $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2^2 - 2(3)}{3^2} = \frac{4 - 6}{9} = -\frac{2}{9}$.
નવા બીજનો ગુણાકાર $\frac{1}{\alpha^2} \cdot \frac{1}{\beta^2} = \frac{1}{(\alpha\beta)^2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$ થાય.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
$x^2 - (-\frac{2}{9})x + \frac{1}{9} = 0$.
$9$ વડે ગુણતા,આપણને $9x^2 + 2x + 1 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha, \beta$ એ $x^2 + px + 1 = 0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha + \beta = -p$ અને $\alpha \beta = 1$ થાય.
આપેલ છે કે $\gamma, \delta$ એ $x^2 + qx + 1 = 0$ ના બીજ છે,તેથી $\gamma + \delta = -q$ અને $\gamma \delta = 1$ થાય.
પદ $(\alpha - \gamma)(\beta - \gamma)(\alpha + \delta)(\beta + \delta)$ ધ્યાનમાં લો.
પ્રથમ ભાગનું વિસ્તરણ કરતા: $(\alpha - \gamma)(\beta - \gamma) = \alpha \beta - \gamma(\alpha + \beta) + \gamma^2 = 1 + p\gamma + \gamma^2$.
કારણ કે $\gamma$ એ $x^2 + qx + 1 = 0$ નું બીજ છે,તેથી $\gamma^2 + q\gamma + 1 = 0$,એટલે કે $\gamma^2 + 1 = -q\gamma$.
આમ,$1 + p\gamma + \gamma^2 = -q\gamma + p\gamma = \gamma(p - q)$.
તે જ રીતે,બીજા ભાગનું વિસ્તરણ કરતા: $(\alpha + \delta)(\beta + \delta) = \alpha \beta + \delta(\alpha + \beta) + \delta^2 = 1 - p\delta + \delta^2$.
કારણ કે $\delta$ એ $x^2 + qx + 1 = 0$ નું બીજ છે,તેથી $\delta^2 + q\delta + 1 = 0$,એટલે કે $\delta^2 + 1 = -q\delta$.
આમ,$1 - p\delta + \delta^2 = -q\delta - p\delta = -\delta(p + q)$.
આ પરિણામોનો ગુણાકાર કરતા: $\gamma(p - q) \cdot [-\delta(p + q)] = -\gamma \delta (p^2 - q^2) = -1 \cdot (p^2 - q^2) = q^2 - p^2$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha, \beta$ એ $x^2 - px + q = 0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha + \beta = p$ અને $\alpha\beta = q$.
આપેલ છે કે $\alpha', \beta'$ એ $x^2 - p'x + q' = 0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha' + \beta' = p'$ અને $\alpha'\beta' = q'$.
આપણે પદાવલિ $E = (\alpha - \alpha')^2 + (\beta - \alpha')^2 + (\alpha - \beta')^2 + (\beta - \beta')^2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $E = (\alpha^2 - 2\alpha\alpha' + \alpha'^2) + (\beta^2 - 2\beta\alpha' + \alpha'^2) + (\alpha^2 - 2\alpha\beta' + \beta'^2) + (\beta^2 - 2\beta\beta' + \beta'^2)$.
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા: $E = 2(\alpha^2 + \beta^2) + 2(\alpha'^2 + \beta'^2) - 2\alpha'(\alpha + \beta) - 2\beta'(\alpha + \beta)$.
નિત્યસમ $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 2[(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta] + 2[(\alpha' + \beta')^2 - 2\alpha'\beta'] - 2(\alpha' + \beta')(\alpha + \beta)$.
કિંમતો મૂકતા: $E = 2[p^2 - 2q] + 2[p'^2 - 2q'] - 2(p')(p)$.
$E = 2\{p^2 - 2q + p'^2 - 2q' - pp'\}$.

(A) ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\alpha^2$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \alpha^2 = -\frac{b}{a}$ $(i)$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = \frac{c}{a}$ $(ii)$ છે.
સમીકરણ $(i)$ ની બંને બાજુ ઘન કરતા:
$(\alpha + \alpha^2)^3 = (-\frac{b}{a})^3$
$\alpha^3 + (\alpha^2)^3 + 3\alpha \cdot \alpha^2(\alpha + \alpha^2) = -\frac{b^3}{a^3}$
સમીકરણમાં $\alpha^3 = \frac{c}{a}$ અને $\alpha + \alpha^2 = -\frac{b}{a}$ મૂકતા:
$\frac{c}{a} + (\frac{c}{a})^2 + 3(\frac{c}{a})(-\frac{b}{a}) = -\frac{b^3}{a^3}$
$\frac{c}{a} + \frac{c^2}{a^2} - \frac{3bc}{a^2} = -\frac{b^3}{a^3}$
આખા સમીકરણને $a^3$ વડે ગુણતા:
$a^2c + ac^2 - 3abc = -b^3$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$b^3 + a^2c + ac^2 = 3abc$.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજનો સમાંતર મધ્યક $(A.M.)$ $A = \frac{\alpha + \beta}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha + \beta = 2A$.
બીજનો ગુણોત્તર મધ્યક $(G.M.)$ $G = \sqrt{\alpha \beta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha \beta = G^2$.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})t + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $t^2 - (2A)t + G^2 = 0$ અથવા $t^2 - 2At + G^2 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $(x - a)(x - b) = c$ ના બીજ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - (a + b)x + ab = c$ મળે,અથવા $x^2 - (a + b)x + (ab - c) = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = a + b$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = ab - c$ થાય.
આપણે $(x - \alpha)(x - \beta) + c = 0$ સમીકરણના બીજ શોધવાના છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta + c = 0$ મળે.
$\alpha + \beta = a + b$ અને $\alpha \beta = ab - c$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 - (a + b)x + (ab - c) + c = 0$
$x^2 - (a + b)x + ab = 0$
આ સમીકરણ $(x - a)(x - b) = 0$ ને સમાન છે.
તેથી,સમીકરણના બીજ $a$ અને $b$ છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - px + 8 = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = p$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = 8$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે બીજનો તફાવત $|\alpha - \beta| = 2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $(\alpha - \beta)^2 = 4$.
નિત્યસમ $(\alpha + \beta)^2 - (\alpha - \beta)^2 = 4\alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીતી કિંમતો મૂકીએ:
$p^2 - 2^2 = 4(8)$
$p^2 - 4 = 32$
$p^2 = 36$
$p = \pm 6$.

(C) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
તેથી,$\alpha + \beta = -b/a$ અને $\alpha\beta = c/a$.
આપેલ છે કે બીજનો સરવાળો તેમના વ્યસ્તના વર્ગોના સરવાળા જેટલો છે:
$\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$-b/a = \frac{(-b/a)^2 - 2(c/a)}{(c/a)^2} = \frac{b^2/a^2 - 2c/a}{c^2/a^2} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$.
$-b/a = \frac{b^2 - 2ac}{c^2} \implies -bc^2 = ab^2 - 2a^2c$.
ગોઠવતા $2a^2c = ab^2 + bc^2$ મળે છે.
બંને બાજુ $abc$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{2a}{b} = \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે $\frac{c}{a}, \frac{a}{b}, \frac{b}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,તેમના વ્યસ્ત $\frac{a}{c}, \frac{b}{a}, \frac{c}{b}$ એ $H.P.$ માં છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2bx + c = 0$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{2b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a}$ થાય.
આપણે પદાવલિ $\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} + \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
લસાઅ લેતા,$\frac{\sqrt{\alpha}}{\sqrt{\beta}} + \frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha}} = \frac{(\sqrt{\alpha})^2 + (\sqrt{\beta})^2}{\sqrt{\alpha \beta}} = \frac{\alpha + \beta}{\sqrt{\alpha \beta}}$ મળે.
$\alpha + \beta$ અને $\alpha \beta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{-2b/a}{\sqrt{c/a}} = \frac{-2b/a}{\sqrt{c}/\sqrt{a}} = -\frac{2b}{a} \times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}} = -\frac{2b}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}} = -\frac{2b}{\sqrt{ac}}$.

(A) વાસ્તવિક સહગુણકો ધરાવતા દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,સંકર બીજો હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
આપેલ છે કે એક બીજ $\alpha = 7 + 5i$ છે,તેથી બીજું બીજ તેનું અનુબદ્ધ $\beta = 7 - 5i$ હોવું જોઈએ.
દ્વિઘાત સમીકરણનું સૂત્ર: $x^2 - (\alpha + \beta)x + (\alpha \beta) = 0$ છે.
પ્રથમ,બીજનો સરવાળો શોધો: $\alpha + \beta = (7 + 5i) + (7 - 5i) = 14$.
ત્યારબાદ,બીજનો ગુણાકાર શોધો: $\alpha \beta = (7 + 5i)(7 - 5i) = 7^2 - (5i)^2 = 49 - 25i^2 = 49 + 25 = 74$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $x^2 - 14x + 74 = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{1}{x + p} + \frac{1}{x + q} = \frac{1}{r}$ છે.
$r(x+p)(x+q)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે: $r(x+q) + r(x+p) = (x+p)(x+q)$.
$rx + rq + rx + rp = x^2 + px + qx + pq$.
પદોને ગોઠવીને દ્વિઘાત સમીકરણ મેળવતા: $x^2 + x(p + q - 2r) + (pq - pr - qr) = 0$.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $-\alpha$ છે કારણ કે તે માન (magnitude) માં સમાન અને ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ છે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + (-\alpha) = 0$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,બીજનો સરવાળો $-(p + q - 2r) = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $p + q - 2r = 0$,એટલે કે $r = \frac{p + q}{2}$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot (-\alpha) = -\alpha^2$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,બીજનો ગુણાકાર $pq - r(p + q)$ છે.
$r = \frac{p + q}{2}$ ની કિંમત ગુણાકારના પદમાં મૂકતા:
ગુણાકાર $= pq - \frac{p + q}{2}(p + q) = pq - \frac{(p + q)^2}{2} = \frac{2pq - (p^2 + 2pq + q^2)}{2} = \frac{2pq - p^2 - 2pq - q^2}{2} = -\frac{p^2 + q^2}{2}$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ છે.
ધારો કે સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\frac{1}{\alpha}$ છે,કારણ કે તેઓ એકબીજાના વ્યસ્ત છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર એ અચળ પદ અને $x^2$ ના સહગુણકનો ગુણોત્તર છે.
બીજનો ગુણાકાર = $\alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = \frac{c}{a}$.
અહીં $\alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = 1$ હોવાથી,આપણને $1 = \frac{c}{a}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a = c$,અથવા $a - c = 0$.

(B) આપેલ છે કે પ્રથમ બીજ $\alpha = 2 - \sqrt{3}$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના સહગુણકો સંમેય હોવાથી,અસંમેય બીજો હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
તેથી,બીજું બીજ $\beta = 2 + \sqrt{3}$ થશે.
બીજોનો સરવાળો $\alpha + \beta = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$ થાય.
બીજોનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 - (\text{બીજોનો સરવાળો})x + (\text{બીજોનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - 4x + 1 = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta$ એ $Ax^2 + Bx + C = 0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,$\alpha + \beta = -\frac{B}{A}$ અને $\alpha\beta = \frac{C}{A}$ થાય.
આપેલ છે કે $\alpha^2, \beta^2$ એ $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,$\alpha^2 + \beta^2 = -p$ અને $\alpha^2\beta^2 = q$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\alpha^2 + \beta^2 = (-\frac{B}{A})^2 - 2(\frac{C}{A}) = \frac{B^2}{A^2} - \frac{2C}{A} = \frac{B^2 - 2AC}{A^2}$.
કારણ કે $\alpha^2 + \beta^2 = -p$,તેથી $-p = \frac{B^2 - 2AC}{A^2}$,જેનો અર્થ છે કે $p = \frac{2AC - B^2}{A^2}$.

(A) આપેલ એક બીજ $\alpha = \frac{1}{2 + \sqrt{5}}$ છે.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\alpha = \frac{1(2 - \sqrt{5})}{(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})} = \frac{2 - \sqrt{5}}{4 - 5} = \frac{2 - \sqrt{5}}{-1} = \sqrt{5} - 2$.
દ્વિઘાત સમીકરણના સહગુણકો સંમેય હોવાથી,બીજું બીજ $\beta$ એ $\alpha$ ની અનુબદ્ધ કરણી હશે,એટલે કે $\beta = -\sqrt{5} - 2$.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = (\sqrt{5} - 2) + (-\sqrt{5} - 2) = -4$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = (\sqrt{5} - 2)(-\sqrt{5} - 2) = -(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = -(5 - 4) = -1$.
દ્વિઘાત સમીકરણનું સૂત્ર $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - (-4)x + (-1) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + 4x - 1 = 0$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2 + x + 1 = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,$\alpha + \beta = -1$ અને $\alpha \beta = 1$ થાય.
હવે,$\frac{\alpha}{\beta}$ અને $\frac{\beta}{\alpha}$ એ $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ છે.
બીજનો સરવાળો $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = -p$ દ્વારા મળે છે.
સરવાળાનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = -p$.
નિત્યસમ $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{\alpha \beta} = -p$.
$\alpha + \beta = -1$ અને $\alpha \beta = 1$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{(-1)^2 - 2(1)}{1} = -p$.
$\frac{1 - 2}{1} = -p$.
$-1 = -p$,જેનો અર્થ છે કે $p = 1$.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + ax + b = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -a$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = b$ થાય છે.
આપણે ઘનના સરવાળા માટેના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ: $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)$.
આને બીજના સરવાળા અને ગુણાકારના સ્વરૂપમાં આ રીતે લખી શકાય: $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)[(\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta]$.
$\alpha + \beta = -a$ અને $\alpha\beta = b$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\alpha^3 + \beta^3 = (-a)[(-a)^2 - 3(b)]$
$= (-a)(a^2 - 3b)$
$= -a^3 + 3ab$.

(C) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -p$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = q$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,બીજનો સરવાળો તેમના તફાવત કરતા ત્રણ ગણો છે: $\alpha + \beta = 3(\alpha - \beta) = -p$.
આથી $\alpha - \beta = -p/3$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$.
કિંમતો મૂકતા,$(-p/3)^2 = (-p)^2 - 4q$ મળે.
$p^2/9 = p^2 - 4q$.
$4q = p^2 - p^2/9$.
$4q = 8p^2/9$.
$36q = 8p^2$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $2p^2 = 9q$ મળે છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ સમાન હોય ત્યારે વિવેચક $D = 0$ થાય.
અહીં,$a = 1$,$b = 2m$,અને $c = m^2 - 2m + 6$ છે.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $(2m)^2 - 4(1)(m^2 - 2m + 6) = 0$.
$4m^2 - 4m^2 + 8m - 24 = 0$.
$8m - 24 = 0$.
$8m = 24$.
$m = 3$.

(B) $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો બીજ એકબીજાના વ્યસ્ત હોય,તો તેમનો ગુણાકાર $1$ થાય છે.
આપેલ સમીકરણ $(2k + 1)x^2 - (7k + 3)x + k + 2 = 0$ માં,$a = 2k + 1$ અને $c = k + 2$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે બીજ એકબીજાના વ્યસ્ત છે,તેથી $\frac{c}{a} = 1$.
તેથી,$\frac{k + 2}{2k + 1} = 1$.
બંને બાજુ $(2k + 1)$ વડે ગુણતા,આપણને $k + 2 = 2k + 1$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$2 - 1 = 2k - k$,જેનો અર્થ છે કે $k = 1$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $l$ અને $2l$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
બીજનો સરવાળો: $l + 2l = -\frac{b}{a} \Rightarrow 3l = -\frac{b}{a} \Rightarrow l = -\frac{b}{3a}$.....$(i)$
બીજનો ગુણાકાર: $l \cdot 2l = \frac{c}{a} \Rightarrow 2l^2 = \frac{c}{a}$.....$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$2\left(-\frac{b}{3a}\right)^2 = \frac{c}{a}$
$2\left(\frac{b^2}{9a^2}\right) = \frac{c}{a}$
$\frac{2b^2}{9a^2} = \frac{c}{a}$
$2b^2 = 9ac$.

(D) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે: $\alpha + \beta = 2$ અને $\alpha^3 + \beta^3 = 98$.
આપણે જાણીએ છીએ કે: $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)[(\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta]$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $98 = 2[2^2 - 3\alpha\beta]$.
$49 = 4 - 3\alpha\beta$.
$3\alpha\beta = 4 - 49 = -45$.
$\alpha\beta = -15$.
દ્વિઘાત સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - 2x - 15 = 0$.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો અને ગુણાકાર નીચે મુજબ છે:
$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
આપણે $\alpha\beta^2 + \alpha^2\beta + \alpha\beta$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પદાવલિમાંથી $\alpha\beta$ સામાન્ય લેતા:
$\alpha\beta^2 + \alpha^2\beta + \alpha\beta = \alpha\beta(\beta + \alpha + 1)$.
$(\alpha + \beta)$ અને $(\alpha\beta)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$= \left(\frac{c}{a}\right) \left(-\frac{b}{a} + 1\right)$
$= \left(\frac{c}{a}\right) \left(\frac{a - b}{a}\right)$
$= \frac{c(a - b)}{a^2}$.

(C) $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $mx^2 + 6x + (2m - 1) = 0$ માં,$a = m$,$b = 6$,અને $c = 2m - 1$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $-1$ છે.
તેથી,$\frac{2m - 1}{m} = -1$.
બંને બાજુ $m$ વડે ગુણતા,આપણને $2m - 1 = -m$ મળે છે.
બંને બાજુ $m$ ઉમેરતા,આપણને $3m - 1 = 0$ મળે છે.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,આપણને $3m = 1$ મળે છે.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $m = \frac{1}{3}$ મળે છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + ax + b = 0$ છે જેના બીજ $p$ અને $q$ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,બીજનો સરવાળો $p + q = -a$ અને બીજનો ગુણાકાર $pq = b$ થાય.
આપણે એવું સમીકરણ શોધવાનું છે જેના બીજ $\alpha = p^2q$ અને $\beta = pq^2$ હોય.
નવા બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = p^2q + pq^2 = pq(p + q)$ થાય.
જાણીતી કિંમતો મૂકતા,$\alpha + \beta = (b)(-a) = -ab$ મળે.
નવા બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta = (p^2q)(pq^2) = p^3q^3 = (pq)^3$ થાય.
જાણીતી કિંમત મૂકતા,$\alpha \cdot \beta = b^3$ મળે.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$x^2 - (-ab)x + b^3 = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + abx + b^3 = 0$ થાય છે.

(A) ધારો કે બીજ $\alpha = \frac{1}{3 + \sqrt{2}}$ અને $\beta = \frac{1}{3 - \sqrt{2}}$ છે.
બીજનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\alpha = \frac{3 - \sqrt{2}}{(3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2})} = \frac{3 - \sqrt{2}}{9 - 2} = \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$
$\beta = \frac{3 + \sqrt{2}}{(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2})} = \frac{3 + \sqrt{2}}{9 - 2} = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}$
બીજનો સરવાળો $(\alpha + \beta) = \frac{3 - \sqrt{2} + 3 + \sqrt{2}}{7} = \frac{6}{7}$
બીજનો ગુણાકાર $(\alpha \beta) = \frac{(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2})}{7 \times 7} = \frac{9 - 2}{49} = \frac{7}{49} = \frac{1}{7}$
દ્વિઘાત સમીકરણનું સૂત્ર $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
$x^2 - \frac{6}{7}x + \frac{1}{7} = 0$
$7$ વડે ગુણતા,આપણને $7x^2 - 6x + 1 = 0$ મળે છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 4x + 1 = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -(-4)/1 = 4$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = 1/1 = 1$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta)$ નો ઉપયોગ કરતા,
કિંમતો મુકતા: $\alpha^3 + \beta^3 = (4)^3 - 3(1)(4)$.
$\alpha^3 + \beta^3 = 64 - 12 = 52$.

(B) ધારો કે બે અંકની સંખ્યા $10x + y$ છે,જ્યાં $x$ દશકનો અંક છે અને $y$ એકમનો અંક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સંખ્યા તેના અંકોના સરવાળા કરતાં ચાર ગણી છે:
$10x + y = 4(x + y)$
$10x + y = 4x + 4y$
$6x = 3y$
$y = 2x$ (સમીકરણ $1$)
વળી,સંખ્યા તેના અંકોના ગુણાકાર કરતાં ત્રણ ગણી છે:
$10x + y = 3xy$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માં $y = 2x$ મૂકતા:
$10x + 2x = 3x(2x)$
$12x = 6x^2$
બે અંકની સંખ્યા માટે $x$ શૂન્ય હોઈ શકે નહીં,તેથી $6x$ વડે ભાગતા:
$x = 2$
હવે,સમીકરણ $1$ નો ઉપયોગ કરીને $y$ શોધો:
$y = 2(2) = 4$
તેથી,તે સંખ્યા $10(2) + 4 = 24$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 - 35x + 2 = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{2}{2} = 1$ થાય.
$\alpha$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે: $2\alpha^2 - 35\alpha + 2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $2\alpha^2 - 35\alpha = -2$.
$\alpha$ વડે ભાગતા ($\alpha \neq 0$ ધારીને),આપણને $2\alpha - 35 = -\frac{2}{\alpha}$ મળે.
તે જ રીતે,$\beta$ માટે,$2\beta - 35 = -\frac{2}{\beta}$ મળે.
હવે,આ કિંમતોને $(2\alpha - 35)^3 \cdot (2\beta - 35)^3$ માં મૂકતા:
$(2\alpha - 35)^3 \cdot (2\beta - 35)^3 = \left(-\frac{2}{\alpha}\right)^3 \cdot \left(-\frac{2}{\beta}\right)^3$.
$= \left(-\frac{8}{\alpha^3}\right) \cdot \left(-\frac{8}{\beta^3}\right) = \frac{64}{(\alpha \beta)^3}$.
કારણ કે $\alpha \beta = 1$,તેથી અભિવ્યક્તિની કિંમત $\frac{64}{(1)^3} = 64$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 + x + 1 = 0$ છે.
અહીં $\alpha$ અને $\alpha^2$ બીજ હોવાથી,$\alpha + \alpha^2 = -1$ અને $\alpha^3 = 1$ થાય.
આપણે $\alpha^{31}$ અને $\alpha^{62}$ બીજ ધરાવતું સમીકરણ શોધવાનું છે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha^{31} + \alpha^{62} = \alpha^{31}(1 + \alpha^{31}) = (\alpha^3)^{10} \cdot \alpha (1 + (\alpha^3)^{10} \cdot \alpha) = \alpha(1 + \alpha) = \alpha + \alpha^2 = -1$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha^{31} \cdot \alpha^{62} = \alpha^{93} = (\alpha^3)^{31} = 1^{31} = 1$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - (-1)x + 1 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + x + 1 = 0$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$\alpha$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ $\omega$ હોવાથી,$\alpha^{31} = \omega^{31} = \omega$ અને $\alpha^{62} = \omega^{62} = \omega^2$ થાય. તેથી $\omega$ અને $\omega^2$ બીજ ધરાવતું સમીકરણ $x^2 + x + 1 = 0$ છે.

(B) આપેલ છે કે $p$ અને $q$ એ સમીકરણ $3x^2 = 5x + 2$ નું સમાધાન કરે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 - 5x - 2 = 0$ મળે છે.
કારણ કે $p$ અને $q$ એ આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે અને $p \neq q$ છે,તેથી આપણે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
બીજનો ગુણાકાર $pq$ એ સૂત્ર $c/a$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 3$,$b = -5$,અને $c = -2$ છે.
તેથી,$pq = -2/3$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2 + bx - c = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,આપણી પાસે છે:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -b \implies b = -(\alpha + \beta)$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = -c \implies c = -\alpha \beta$
આપણે એવું સમીકરણ શોધવાનું છે જેના બીજ $b$ અને $c$ હોય.
નવા બીજનો સરવાળો: $b + c = -(\alpha + \beta) - \alpha \beta = -[(\alpha + \beta) + \alpha \beta]$
નવા બીજનો ગુણાકાર: $bc = [ -(\alpha + \beta) ] \times [ -\alpha \beta ] = (\alpha + \beta)(\alpha \beta)$
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - (-[(\alpha + \beta) + \alpha \beta])x + (\alpha + \beta)(\alpha \beta) = 0$
$x^2 + [(\alpha + \beta) + \alpha \beta]x + \alpha \beta(\alpha + \beta) = 0$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha + \beta = -b/a$ અને $\alpha \beta = c/a$.
પદાવલિ $(1 + \alpha + \alpha^2)(1 + \beta + \beta^2)$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$= 1 + (\alpha + \beta) + (\alpha^2 + \beta^2) + \alpha \beta + \alpha \beta (\alpha + \beta) + \alpha^2 \beta^2$
$= 1 + (\alpha + \beta) + ((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta) + \alpha \beta + \alpha \beta (\alpha + \beta) + (\alpha \beta)^2$
$= 1 + (\alpha + \beta) + (\alpha + \beta)^2 - \alpha \beta + \alpha \beta (\alpha + \beta) + (\alpha \beta)^2$
કિંમતો મૂકતા:
$= 1 - \frac{b}{a} + \frac{b^2}{a^2} - \frac{c}{a} + \left(\frac{c}{a}\right)\left(-\frac{b}{a}\right) + \frac{c^2}{a^2}$
$= \frac{a^2 - ab + b^2 - ac - bc + c^2}{a^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca}{a^2}$
$= \frac{1}{2a^2} [(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]$
કારણ કે $a, b, c$ ભિન્ન છે,તેથી વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા ધન હોય છે. આમ,આ પદાવલિ હંમેશા ધન છે.

(A) ધારો કે બીજ $x_1 = \frac{\alpha}{\alpha - 1}$ અને $x_2 = \frac{\alpha + 1}{\alpha}$ છે.
બીજનો સરવાળો: $x_1 + x_2 = \frac{\alpha}{\alpha - 1} + \frac{\alpha + 1}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \alpha^2 - 1}{\alpha(\alpha - 1)} = \frac{2\alpha^2 - 1}{\alpha^2 - \alpha} = -\frac{b}{a}$.
બીજનો ગુણાકાર: $x_1 x_2 = \frac{\alpha}{\alpha - 1} \cdot \frac{\alpha + 1}{\alpha} = \frac{\alpha + 1}{\alpha - 1} = \frac{c}{a}$.
$\frac{\alpha + 1}{\alpha - 1} = \frac{c}{a}$ પરથી,યોગ-વિયોગ પ્રમાણ (componendo and dividendo) લેતા: $\frac{(\alpha + 1) + (\alpha - 1)}{(\alpha + 1) - (\alpha - 1)} = \frac{c + a}{c - a} \Rightarrow \alpha = \frac{c + a}{c - a}$.
વળી,$\alpha - 1 = \frac{2a}{c - a}$.
આ કિંમતોને બીજના સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે કે $(a + b + c)^2 = b^2 - 4ac$.

(B) ધારો કે સમીકરણ $ax^2 + 2bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે,જેથી $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{m}{n}$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{2b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ છે.
સંબંધ $\frac{(\alpha + \beta)^2}{\alpha\beta} = \frac{(\frac{m}{n} + 1)^2}{\frac{m}{n}} = \frac{(m+n)^2}{mn}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{(-2b/a)^2}{c/a} = \frac{4b^2/a^2}{c/a} = \frac{4b^2}{ac} = \frac{(m+n)^2}{mn}$ મળે છે.
આમ,$\frac{b^2}{ac} = \frac{(m+n)^2}{4mn}$.
તે જ રીતે,સમીકરણ $px^2 + 2qx + r = 0$ માટે,જો બીજનો ગુણોત્તર $\frac{m}{n}$ હોય,તો $\frac{q^2}{pr} = \frac{(m+n)^2}{4mn}$ મળે.
બંને પદોને સરખાવતા,આપણને $\frac{b^2}{ac} = \frac{q^2}{pr}$ મળે છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + bx - c = 0$ છે,જ્યાં $b, c > 0$ છે.
ધારો કે સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -b$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = -c$ થાય.
અહીં $b > 0$ હોવાથી,$\alpha + \beta = -b < 0$ થશે.
અહીં $c > 0$ હોવાથી,$\alpha \beta = -c < 0$ થશે.
જો બીજનો ગુણાકાર $(\alpha \beta)$ ઋણ હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે એક બીજ ધન અને બીજું બીજ ઋણ હોવું જોઈએ.
તેથી,બીજ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ ${x^2} - (p + 1)x + pq = 0$ છે.
અહીં $p$ અને $q$ એ સમીકરણના બીજ હોવાથી,આપણે બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો સરવાળો એ $x$ ના સહગુણકનો વિરોધી અને ${x^2}$ ના સહગુણકનો ગુણોત્તર છે.
તેથી,$p + q = -(-(p + 1)) / 1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $p + q = p + 1$ મળે છે.
બંને બાજુથી $p$ બાદ કરતા,આપણને $q = 1$ મળે છે.

(C) સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D_1 = b^2 - 4ac$ છે. બીજનો તફાવત $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = \left( -\frac{b}{a} \right)^2 - 4\left( \frac{c}{a} \right) = \frac{b^2 - 4ac}{a^2}$ દ્વારા મળે છે.
સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,બીજ $\alpha - k$ અને $\beta - k$ છે. આ બીજનો તફાવત $(\alpha - k) - (\beta - k) = \alpha - \beta$ થાય છે. તેથી,બીજના તફાવતનો વર્ગ $(\alpha - \beta)^2$ છે.
બીજા સમીકરણના સહગુણકોનો ઉપયોગ કરીને,બીજના તફાવતનો વર્ગ $\frac{B^2 - 4AC}{A^2}$ મળે છે.
$(\alpha - \beta)^2$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા,આપણને $\frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{B^2 - 4AC}{A^2}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{B^2 - 4AC}{b^2 - 4ac} = \frac{A^2}{a^2} = \left( \frac{A}{a} \right)^2$ મળે છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $p + q = -p$ અને બીજનો ગુણાકાર $pq = q$ થાય છે.
બીજના ગુણાકારના સમીકરણ પરથી: $pq - q = 0 \Rightarrow q(p - 1) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $q = 0$ અથવા $p = 1$.
કિસ્સો $1$: જો $q = 0$ હોય,તો બીજના સરવાળાનું સમીકરણ $p + q = -p$ એ $p + 0 = -p$ બને છે,જેનો અર્થ છે $2p = 0$,તેથી $p = 0$. આમ,$(p, q) = (0, 0)$.
કિસ્સો $2$: જો $p = 1$ હોય,તો બીજના સરવાળાનું સમીકરણ $p + q = -p$ એ $1 + q = -1$ બને છે,જેનો અર્થ છે $q = -2$. આમ,$(p, q) = (1, -2)$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચી જોડી $p = 1, q = -2$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ix^2 - 2(i + 1)x + (2 - i) = 0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપણને આપેલ છે કે $\beta = 2 - i$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ થાય છે.
અહીં,$a = i$ અને $c = 2 - i$ છે.
તેથી,$\alpha \cdot (2 - i) = \frac{2 - i}{i}$.
બંને બાજુ $(2 - i)$ વડે ભાગતા,આપણને $\alpha = \frac{1}{i}$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{1}{i} = -i$,તેથી બીજું બીજ $\alpha = -i$ છે.

(A) $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો બીજ એકબીજાના વ્યસ્ત હોય,તો તેમનો ગુણાકાર $1$ થાય છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $1/\alpha$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 5$,$b = -7$,અને $c = k$ છે.
તેથી,$\alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = \frac{k}{5}$.
$1 = \frac{k}{5}$.
બંને બાજુ $5$ વડે ગુણતા,આપણને $k = 5$ મળે છે.

(B) $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -b/a$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = c/a$ થાય છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2 - 7x + 6 = 0$ માં,$a = 1$,$b = -7$,અને $c = 6$ છે.
તેથી,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -(-7)/1 = 7$ થાય.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = 6/1 = 6$ થાય.
આપણે $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
લસાઅ લેતા,$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{7}{6}$ મળે છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 2x + 4 = 0$ છે.
આ સમીકરણ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = 2$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = 4$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha$ અને $\beta$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી $\alpha^2 = 2\alpha - 4$ અને $\beta^2 = 2\beta - 4$.
પુનરાવર્તિત સંબંધ $S_n = \alpha^n + \beta^n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $S_n - 2S_{n-1} + 4S_{n-2} = 0$ મળે છે.
$n=1$ માટે,$S_1 = \alpha + \beta = 2$.
$n=2$ માટે,$S_2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = (2)^2 - 2(4) = 4 - 8 = -4$.
$n=3$ માટે,$S_3 = 2S_2 - 4S_1 = 2(-4) - 4(2) = -8 - 8 = -16$.
$n=4$ માટે,$S_4 = 2S_3 - 4S_2 = 2(-16) - 4(-4) = -32 + 16 = -16$.
$n=5$ માટે,$S_5 = 2S_4 - 4S_3 = 2(-16) - 4(-16) = -32 + 64 = 32$.
આમ,$\alpha^5 + \beta^5 = 32$.

(A) આપેલ સમીકરણો $a(p + q)^2 + 2bpq + c = 0$ અને $a(p + r)^2 + 2bpr + c = 0$ છે.
આ સમીકરણો સૂચવે છે કે $q$ અને $r$ એ $x$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ $a(p + x)^2 + 2bpx + c = 0$ ના બીજ છે.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $a(p^2 + 2px + x^2) + 2bpx + c = 0$.
$ax^2 + 2apx + ap^2 + 2bpx + c = 0$.
$x$ ના પદોને ગોઠવતા: $ax^2 + 2x(ap + bp) + (ap^2 + c) = 0$.
$ax^2 + 2px(a + b) + (ap^2 + c) = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\frac{C}{A}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = a$,$B = 2p(a + b)$,અને $C = ap^2 + c$ છે.
તેથી,બીજનો ગુણાકાર $qr = \frac{ap^2 + c}{a} = p^2 + \frac{c}{a}$ થાય.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $(a + b - 2c)x^2 - (2a - b - c)x + (a - 2b + c) = 0$ છે.
ધારો કે સહગુણકો $A = (a + b - 2c)$,$B = -(2a - b - c)$,અને $C = (a - 2b + c)$ છે.
સહગુણકોનો સરવાળો ગણતા: $A + B + C = (a + b - 2c) - (2a - b - c) + (a - 2b + c) = a + b - 2c - 2a + b + c + a - 2b + c = (a - 2a + a) + (b + b - 2b) + (-2c + c + c) = 0 + 0 + 0 = 0$.
સહગુણકોનો સરવાળો $0$ હોવાથી,સમીકરણનું એક બીજ $x = 1$ થાય.
ધારો કે બીજું બીજ $\alpha$ છે. બીજનો ગુણાકાર $\frac{C}{A} = \frac{a - 2b + c}{a + b - 2c}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી $1 \cdot \alpha = \frac{a - 2b + c}{a + b - 2c}$,એટલે કે બીજ $1$ અને $\frac{a - 2b + c}{a + b - 2c}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,કોઈ પણ વિકલ્પ $A$,$B$ કે $C$ પરિણામ સાથે મેળ ખાતા નથી. તેથી,સાચો જવાબ $D$ છે.