Mix Examples - Polynomials Questions in Hindi

(A) दिया गया समीकरण: $x^{2}+kx+6=(x+2)(x+3)$ है।
सबसे पहले,समीकरण के दाईं ओर का विस्तार करें:
$(x+2)(x+3) = x(x+3) + 2(x+3)$
$= x^{2} + 3x + 2x + 6$
$= x^{2} + 5x + 6$.
अब,इसकी तुलना समीकरण के बाईं ओर से करें: $x^{2}+kx+6 = x^{2}+5x+6$.
दोनों पक्षों में $x$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $k = 5$ प्राप्त होता है।

(B) बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चरों के घातांक हमेशा पूर्ण संख्या (अऋण पूर्णांक) होते हैं।
$(A)$ $\frac{x^{2}}{2}-\frac{2}{x^{2}} = \frac{1}{2}x^{2} - 2x^{-2}$. यहाँ घातांक $-2$ एक पूर्ण संख्या नहीं है,इसलिए यह बहुपद नहीं है।
$(B)$ $x^{2}+\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{x}} = x^{2} + 3x^{\frac{1}{6}}$. यहाँ घातांक $\frac{1}{6}$ एक पूर्ण संख्या नहीं है। यदि प्रश्न में टाइपिंग त्रुटि है और इसे $x^2+3x$ माना जाए,तो यह बहुपद होगा। दिए गए विकल्पों में $(B)$ को ही बहुपद के रूप में लक्षित किया गया है।

(C) $\sqrt{2}$ एक अचर बहुपद है।
एक अचर बहुपद की घात हमेशा $0$ होती है।
हम $\sqrt{2}$ को $\sqrt{2} \cdot x^0$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ चर $x$ का घातांक $0$ है।
अतः,बहुपद $\sqrt{2}$ की घात $0$ है।
इसलिए,$(c)$ सही उत्तर है।

(D) किसी बहुपद की घात उस बहुपद में चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित की जाती है।
दिया गया बहुपद: $P(x) = 4 x^{4} + 0 x^{3} + 0 x^{5} + 5 x + 7$.
शून्य गुणांक वाले पदों को हटाकर बहुपद को सरल करने पर: $P(x) = 4 x^{4} + 5 x + 7$.
यहाँ $x$ की घातें $4, 1$ और $0$ हैं (क्योंकि $7 = 7 x^{0}$)।
चर $x$ की उच्चतम घात $4$ है।
अतः,दिए गए बहुपद की घात $4$ है।

(A) शून्य बहुपद को $P(x) = 0$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
परिभाषा के अनुसार,एक गैर-शून्य अचर बहुपद की घात $0$ होती है,लेकिन शून्य बहुपद के लिए घात परिभाषित नहीं है क्योंकि चर $x$ की किसी भी घात को $0$ से गुणा करने पर परिणाम $0$ प्राप्त होता है (अर्थात,किसी भी $n \ge 0$ के लिए $0 \cdot x^n = 0$)।
इसलिए,शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं है।
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(B) दिया गया बहुपद $p(x) = x^{2} - 2\sqrt{2}x + 1$ है।
$p(2\sqrt{2})$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद में $x = 2\sqrt{2}$ प्रतिस्थापित करेंगे।
$p(2\sqrt{2}) = (2\sqrt{2})^{2} - 2\sqrt{2}(2\sqrt{2}) + 1$
पदों की गणना करने पर:
$(2\sqrt{2})^{2} = 4 \times 2 = 8$
$2\sqrt{2}(2\sqrt{2}) = 4 \times 2 = 8$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$p(2\sqrt{2}) = 8 - 8 + 1$
$p(2\sqrt{2}) = 1$
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(C) माना कि बहुपद $P(x) = 5x - 4x^2 + 3$ है।
$x = -1$ पर बहुपद का मान ज्ञात करने के लिए,व्यंजक में $x$ के स्थान पर $-1$ प्रतिस्थापित करें:
$P(-1) = 5(-1) - 4(-1)^2 + 3$
$P(-1) = -5 - 4(1) + 3$
$P(-1) = -5 - 4 + 3$
$P(-1) = -9 + 3$
$P(-1) = -6$
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(D) दिया गया बहुपद $p(x) = x + 3$ है।
$p(-x)$ ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x$ के स्थान पर $-x$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$p(-x) = -x + 3.$
अब,हम योग $p(x) + p(-x)$ की गणना करते हैं:
$p(x) + p(-x) = (x + 3) + (-x + 3).$
व्यंजक को सरल करने पर:
$p(x) + p(-x) = x + 3 - x + 3 = 6.$
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) शून्य बहुपद $p(x) = 0$ के रूप का एक बहुपद है।
परिभाषा के अनुसार,बहुपद $p(x)$ का शून्यक वह मान $c$ है जिसके लिए $p(c) = 0$ हो।
चूंकि $p(x) = 0$ का मान $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए शून्य होता है,इसलिए प्रत्येक वास्तविक संख्या शून्य बहुपद का एक शून्यक है।
अतः,विकल्प $(B)$ सही उत्तर है।

(B) बहुपद $p(x)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
दिया गया है $p(x) = 2x + 5$,इसलिए $2x + 5 = 0$ रखने पर।
दोनों पक्षों से $5$ घटाने पर,हमें $2x = -5$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $x = -\frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$-\frac{5}{2}$ बहुपद का शून्यक है।
इसलिए,$(b)$ सही उत्तर है।

(C) माना बहुपद $p(x) = 2x^2 + 7x - 4$ है।
शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं:
$2x^2 + 7x - 4 = 0$
$2x^2 + 8x - x - 4 = 0$
$2x(x + 4) - 1(x + 4) = 0$
$(2x - 1)(x + 4) = 0$
इससे हमें $2x - 1 = 0$ या $x + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \frac{1}{2}$ या $x = -4$ है।
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,$\frac{1}{2}$ एक शून्यक है।
इसलिए,विकल्प $(c)$ सही है।

(D) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $x + a$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(-a)$ होता है।
यहाँ,$p(x) = x^{51} + 51$ को $x + 1$ से विभाजित किया गया है।
इसलिए,शेषफल $p(-1) = (-1)^{51} + 51$ होगा।
चूंकि $(-1)$ की विषम घात $-1$ होती है,इसलिए $p(-1) = -1 + 51 = 50$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना $p(x) = 2x^2 + kx$ है।
यदि $(x+1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो गुणनखंड प्रमेय के अनुसार $p(-1) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-1) = 2(-1)^2 + k(-1) = 0$
$2(1) - k = 0$
$2 - k = 0$
$k = 2$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x+1)$ किसी बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(-1) = 0$ होना चाहिए।
$(a)$ मान लीजिए $p(x) = x^{3}+x^{2}-x+1$.
$p(-1) = (-1)^{3}+(-1)^{2}-(-1)+1 = -1+1+1+1 = 2 \neq 0$.
अतः,$(x+1)$ गुणनखंड नहीं है।
$(b)$ मान लीजिए $p(x) = x^{3}+x^{2}+x+1$.
$p(-1) = (-1)^{3}+(-1)^{2}+(-1)+1 = -1+1-1+1 = 0$.
यहाँ $p(-1) = 0$ है,इसलिए $(x+1)$ एक गुणनखंड है।
$(c)$ मान लीजिए $p(x) = x^{4}+x^{3}+x^{2}+1$.
$p(-1) = (-1)^{4}+(-1)^{3}+(-1)^{2}+1 = 1-1+1+1 = 2 \neq 0$.
अतः,$(x+1)$ गुणनखंड नहीं है।
$(d)$ मान लीजिए $p(x) = x^{4}+3x^{3}+3x^{2}+x+1$.
$p(-1) = (-1)^{4}+3(-1)^{3}+3(-1)^{2}+(-1)+1 = 1-3+3-1+1 = 1 \neq 0$.
अतः,$(x+1)$ गुणनखंड नहीं है।
अतः,$(x+1)$ बहुपद $x^{3}+x^{2}+x+1$ का एक गुणनखंड है। सही विकल्प $(b)$ है।

(C) दिया गया व्यंजक: $(25 x^{2}-1)+(1+5 x)^{2}$
सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ का उपयोग करते हुए,हम $(25 x^{2}-1)$ को $(5 x)^{2}-1^{2}=(5 x-1)(5 x+1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(5 x-1)(5 x+1)+(5 x+1)^{2}$
$(5 x+1)$ को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लेने पर:
$(5 x+1) \times [(5 x-1)+(5 x+1)]$
बड़े कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करने पर:
$(5 x+1) \times (5 x-1+5 x+1) = (5 x+1)(10 x)$
अतः,गुणनखंड $10 x$ और $(5 x+1)$ हैं।
इसलिए,$(c)$ सही उत्तर है।

(D) बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=249$ और $b=248$ है:
$(249)^{2}-(248)^{2}=(249+248)(249-248)$
$= (497)(1)$
$= 497$
अतः,$(d)$ सही उत्तर है.

(A) द्विघात व्यंजक $4 x^{2}+8 x+3$ का गुणनखंडन करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करते हैं।
हमें ऐसी दो संख्याएँ खोजने की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $4 \times 3 = 12$ हो और जिनका योग $8$ हो।
ये दो संख्याएँ $6$ और $2$ हैं,क्योंकि $6 \times 2 = 12$ और $6 + 2 = 8$ होता है।
अब,मध्य पद $8x$ को $6x + 2x$ के रूप में लिखें:
$4 x^{2}+6 x+2 x+3$
पदों का समूह बनाएँ:
$(4 x^{2}+6 x) + (2 x+3)$
प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालें:
$2 x(2 x+3) + 1(2 x+3)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(2 x+3)$ को बाहर निकालने पर:
$(2 x+3)(2 x+1)$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका: $(x+y)^{3} = x^{3}+y^{3}+3xy(x+y)$ होती है।
इस मान को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x+y)^{3}-(x^{3}+y^{3}) = [x^{3}+y^{3}+3xy(x+y)] - (x^{3}+y^{3})$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$= x^{3}+y^{3}+3xy(x+y) - x^{3}-y^{3}$
$= 3xy(x+y)$.
चूंकि व्यंजक का सरलीकरण $3xy(x+y)$ है,इसलिए इसके गुणनखंड $3$,$x$,$y$ और $(x+y)$ हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$3xy$ एक गुणनखंड है।
अतः,$(b)$ सही उत्तर है।

(C) द्विपद विस्तार सूत्र $(a+b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$ का उपयोग करते हुए,हम $(x+3)^{3}$ का विस्तार करते हैं:
$(x+3)^{3} = x^{3} + 3(x^{2})(3) + 3(x)(3^{2}) + 3^{3}$
$= x^{3} + 9x^{2} + 3(x)(9) + 27$
$= x^{3} + 9x^{2} + 27x + 27$
यहाँ $x$ वाला पद $27x$ है। अतः,$x$ का गुणांक $27$ है।
इसलिए,सही विकल्प $(C)$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-1$
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}=-1$
दोनों पक्षों को $xy$ से गुणा करने पर: $x^{2}+y^{2}=-x y$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^{2}+y^{2}+x y=0$
हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका: $x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+y^{2}+x y)$
इस सर्वसमिका में $x^{2}+y^{2}+x y=0$ का मान रखने पर:
$x^{3}-y^{3}=(x-y)(0)$
$x^{3}-y^{3}=0$
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $49 x^{2}-b=\left(7 x+\frac{1}{2}\right)\left(7 x-\frac{1}{2}\right)$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=7x$ और $b=\frac{1}{2}$ है,हमें प्राप्त होता है:
$49 x^{2}-b=(7 x)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$
$49 x^{2}-b=49 x^{2}-\frac{1}{4}$
समीकरण के दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $b=\frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$
दिया गया है कि $a+b+c=0,$
इस मान को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (0)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = 0$
अतः,$a^{3}+b^{3}+c^{3} = 3abc.$
इसलिए,सही विकल्प $(B)$ है।

(B) दी गई व्यंजक $\frac{1}{\sqrt{5}} x^{\frac{1}{2}} + 1$ है।
बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें सभी चरों के घातांक ऋणेतर पूर्णांक (पूर्ण संख्या) होते हैं।
दिए गए व्यंजक में,चर $x$ का घातांक $\frac{1}{2}$ है।
चूंकि $\frac{1}{2}$ एक पूर्ण संख्या नहीं है,इसलिए यह व्यंजक एक बहुपद नहीं है।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
औचित्य के लिए,हम दिए गए व्यंजक को सरल करते हैं:
$\frac{6 \sqrt{x} + x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} = \frac{6 \sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}}$
$= 6 + x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}$
$= 6 + x^1$
$= 6 + x$
चूंकि $6 + x$ एक ऐसा व्यंजक है जिसमें चर $x$ का घातांक एक ऋणेतर पूर्णांक $(1)$ है,यह बहुपद की परिभाषा को संतुष्ट करता है। अतः,यह कथन सत्य है।

(A) बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चरों के घातांक ऋणेतर पूर्णांक (non-negative integers) होते हैं।
व्यंजक $8$ को $8 \times x^0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $x$ एक चर है और $0$ एक ऋणेतर पूर्णांक है।
चूँकि चर का घातांक $0$ है,जो कि एक ऋणेतर पूर्णांक है,इसलिए $8$ एक बहुपद है।
विशेष रूप से,इसे एक अचर बहुपद (constant polynomial) कहा जाता है।

(A) दिया गया व्यंजक $\sqrt{3} x^{2}-2 x$ है।
इस व्यंजक में,चर $x$ है।
पदों $\sqrt{3} x^{2}$ और $-2 x$ में चर $x$ के घातांक क्रमशः $2$ और $1$ हैं।
चूंकि $2$ और $1$ दोनों पूर्ण संख्याएँ हैं,इसलिए यह व्यंजक बहुपद होने की शर्त को पूरा करता है।
अतः,$\sqrt{3} x^{2}-2 x$ एक बहुपद है।

(B) दिया गया व्यंजक $1-\sqrt{5x} = 1-\sqrt{5} \cdot x^{\frac{1}{2}}$ है।
बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें सभी चरों के घातांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक (पूर्ण संख्या) होने चाहिए।
पद $\sqrt{5} \cdot x^{\frac{1}{2}}$ में,चर $x$ का घातांक $\frac{1}{2}$ है,जो एक पूर्ण संख्या नहीं है।
अतः,दिया गया व्यंजक एक बहुपद नहीं है।

(A) दिया गया व्यंजक: $\frac{1}{5 x^{-2}}+5 x+7$
घातांक के नियम $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{1}{5} x^{2}+5 x+7$
इस व्यंजक में,चर $x$ के घातांक $2$,$1$,और $0$ हैं (क्योंकि $7 = 7x^0$ होता है)।
चूंकि चर $x$ के सभी घातांक ऋणेतर पूर्णांक (पूर्ण संख्याएँ) हैं,इसलिए दिया गया व्यंजक एक बहुपद है।

(N/A) सबसे पहले,अंश का विस्तार करें: $(x-2)(x-4) = x^2 - 4x - 2x + 8 = x^2 - 6x + 8$.
अब,प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें: $\frac{x^2 - 6x + 8}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{6x}{x} + \frac{8}{x} = x - 6 + 8x^{-1}$.
बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चरों के घातांक ऋणेतर पूर्णांक (पूर्ण संख्या) होने चाहिए।
व्यंजक $x - 6 + 8x^{-1}$ में,तीसरे पद $8x^{-1}$ का घातांक $-1$ है,जो कि एक पूर्ण संख्या नहीं है।
अतः,दिया गया व्यंजक एक बहुपद नहीं है।

(N/A) बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चर के घातांक ऋणेतर पूर्णांक (पूर्ण संख्याएँ) होते हैं।
दिया गया व्यंजक $\frac{1}{x+1} = (x+1)^{-1}$ है।
इस व्यंजक में,चर $x$ का घातांक $-1$ है,जो कि एक पूर्ण संख्या नहीं है।
अतः,दिया गया बीजीय व्यंजक एक बहुपद नहीं है।

(A) दिया गया व्यंजक $\frac{1}{7} a^{3}-\frac{2}{\sqrt{3}} a^{2}+4 a-7$ है।
बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चरों के घातांक अऋण पूर्णांक (पूर्ण संख्याएँ) होते हैं।
दिए गए व्यंजक में,चर $a$ के घातांक $3$,$2$ और $1$ (पद $4a$ के लिए) हैं,और अचर पद $-7$ को $-7a^0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि सभी घातांक $(3, 2, 1, 0)$ पूर्ण संख्याएँ हैं,इसलिए यह व्यंजक एक बहुपद है।

(N/A) $\frac{1}{2x} = \frac{1}{2} x^{-1}$
यहाँ,चर $x$ का घातांक $-1$ है,जो कि एक पूर्ण संख्या नहीं है।
बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें सभी चरों के घातांक ऋणेतर पूर्णांक (पूर्ण संख्या) होते हैं।
चूँकि $-1$ एक पूर्ण संख्या नहीं है,इसलिए यह बीजीय व्यंजक एक बहुपद नहीं है।

(B) दिया गया कथन $False$ (असत्य) है।
द्विपद को एक ऐसे बहुपद के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें ठीक $2$ पद होते हैं। यदि किसी बहुपद में $2$ से कम पद हैं,तो वह एकपदी है,और यदि उसमें $2$ से अधिक पद हैं,तो वह त्रिपद या सामान्य बहुपद है। इसलिए,एक द्विपद में 'अधिकतम' दो पद नहीं हो सकते; इसमें ठीक $2$ पद होने चाहिए।

(FALSE) एक बहुपद एकपदी,द्विपद,त्रिपद हो सकता है या इसमें पदों की कोई भी परिमित संख्या हो सकती है।
उदाहरण के लिए,$x^{4} + x^{3} + x^{2} + 1$ एक बहुपद है,लेकिन यह द्विपद नहीं है क्योंकि इसमें चार पद हैं।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(A) यह कथन सत्य है।
द्विपद एक ऐसा बहुपद है जिसमें ठीक दो पद होते हैं।
बहुपद की घात व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात होती है।
द्विपद की घात पर कोई प्रतिबंध नहीं है,सिवाय इसके कि यह एक ऋणोत्तर पूर्णांक होनी चाहिए।
उदाहरण के लिए,व्यंजक $x^{5} + 2$ एक द्विपद है क्योंकि इसमें दो पद हैं और इसकी घात $5$ है।

(FALSE) दिया गया कथन असत्य है।
औचित्य: किसी बहुपद $p(x)$ का शून्यक वह मान $k$ है जिसके लिए $p(k) = 0$ होता है। उदाहरण के लिए,बहुपद $p(x) = x - 2$ पर विचार करें। $p(x) = 0$ रखने पर,हमें $x - 2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 2$। यहाँ,$2$ बहुपद का शून्यक है,जो $0$ नहीं है। अतः,किसी बहुपद का शून्यक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है,न कि केवल $0$।

(B) दिया गया कथन असत्य है।
औचित्य: एक बहुपद के एक से अधिक शून्यक हो सकते हैं। किसी बहुपद के शून्यकों की संख्या उसकी घात पर निर्भर करती है। बीजगणित के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$n$ घात वाले बहुपद के अधिकतम $n$ वास्तविक शून्यक हो सकते हैं। उदाहरण के लिए,एक द्विघात बहुपद $(\text{degree} = 2)$ के अधिकतम $2$ शून्यक हो सकते हैं,और एक त्रिघात बहुपद $(\text{degree} = 3)$ के अधिकतम $3$ शून्यक हो सकते हैं।

(FALSE) दिया गया कथन असत्य है।
औचित्य: बहुपद की घात बहुपद में चर की उच्चतम घात होती है।
दो बहुपद $P(x) = -x^{5} + 3x^{2} + 4$ और $Q(x) = x^{5} + x^{4} + 2x^{3} + 3$ पर विचार कीजिए।
इन दोनों बहुपदों की घात $5$ है।
अब,इनका योग ज्ञात कीजिए: $P(x) + Q(x) = (-x^{5} + 3x^{2} + 4) + (x^{5} + x^{4} + 2x^{3} + 3) = x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + 7$.
परिणामी बहुपद की घात $4$ है,जो कि $5$ नहीं है। अतः,यह कथन असत्य है।

(B) एक बहुपद $p(x)$,$g(x)$ का गुणज तभी होता है जब $g(x)$,$p(x)$ को पूर्णतः विभाजित करे,जिसका अर्थ है कि शेषफल $0$ होना चाहिए।
जब $p(x)$ को $g(x) = 2 - 3x$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हम $g(x) = 0$ रखते हैं:
$2 - 3x = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$.
अब,हम $p\left(\frac{2}{3}\right)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^{3} - \left(\frac{2}{3}\right) + 1$
$= \frac{8}{27} - \frac{2}{3} + 1$
$= \frac{8 - 18 + 27}{27} = \frac{17}{27}$.
चूंकि शेषफल $\frac{17}{27} \neq 0$ है,इसलिए $p(x)$,$g(x)$ का गुणज नहीं है।

(YES) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $g(x)$ का शून्यक $a$ है और $p(a) = 0$ है,तो $g(x)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
सबसे पहले,$g(x)$ का शून्यक ज्ञात करें:
$g(x) = \frac{x}{3} - \frac{1}{4} = 0$
$\frac{x}{3} = \frac{1}{4}$
$x = \frac{3}{4}$
अब,$p\left(\frac{3}{4}\right)$ का मान ज्ञात करें:
$p\left(\frac{3}{4}\right) = 8\left(\frac{3}{4}\right)^3 - 6\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 4\left(\frac{3}{4}\right) + 3$
$= 8 \times \frac{27}{64} - 6 \times \frac{9}{16} - 3 + 3$
$= \frac{27}{8} - \frac{54}{16} - 3 + 3$
$= \frac{27}{8} - \frac{27}{8} - 3 + 3 = 0$
चूँकि $p\left(\frac{3}{4}\right) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार $g(x)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।

(A) माना $p(x) = x^{3} - ax^{2} + 2x + a - 1$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x - a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(a) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(a) = (a)^{3} - a(a)^{2} + 2(a) + a - 1 = 0$.
$a^{3} - a^{3} + 2a + a - 1 = 0$.
$3a - 1 = 0$.
$3a = 1$.
अतः,$a = 1/3$.

(B) हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका: $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)$ होती है।
यदि $x+y+z = 0$ है,तो $x^{3}+y^{3}+z^{3} = 3xyz$ होता है।
हमें $48^{3}-30^{3}-18^{3}$ का मान ज्ञात करना है,जिसे $48^{3}+(-30)^{3}+(-18)^{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $x = 48$,$y = -30$,और $z = -18$ है।
योग की जाँच करें: $x+y+z = 48 + (-30) + (-18) = 48 - 48 = 0$ है।
चूंकि योग $0$ है,हम सर्वसमिका $x^{3}+y^{3}+z^{3} = 3xyz$ का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,$48^{3}+(-30)^{3}+(-18)^{3} = 3 \times 48 \times (-30) \times (-18)$ होगा।
गुणनफल की गणना करने पर: $3 \times 48 = 144$,और $(-30) \times (-18) = 540$ है।
$144 \times 540 = 77760$।

(D) हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$ होती है।
यदि $a+b+c = 0$ हो,तो $a^{3}+b^{3}+c^{3} = 3abc$ होता है।
माना $a = (x-y)$,$b = (y-z)$,और $c = (z-x)$ है।
अब,इनका योग $a+b+c = (x-y) + (y-z) + (z-x) = x - x + y - y + z - z = 0$ है।
चूंकि योग $0$ है,इसलिए हम सर्वसमिका $a^{3}+b^{3}+c^{3} = 3abc$ का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,$(x-y)^{3}+(y-z)^{3}+(z-x)^{3} = 3(x-y)(y-z)(z-x)$।

(A) दिया गया व्यंजक $x^{2}+x+1$ है।
इस व्यंजक में केवल एक ही चर $x$ मौजूद है।
चूंकि इसमें केवल एक ही चर का उपयोग किया गया है,इसलिए यह एक चर वाला बहुपद है।

(A) दिया गया व्यंजक $y^{3}-5y$ है।
इस व्यंजक में केवल एक ही चर $y$ उपस्थित है।
चूंकि इसमें केवल एक ही चर का उपयोग किया गया है,इसलिए यह एक चर वाला बहुपद है।

(N/A) व्यंजक $x y + y z + z x$ में तीन अलग-अलग चर $x$,$y$ और $z$ शामिल हैं। अतः,यह तीन चरों वाला एक बहुपद है।

(B) दिया गया व्यंजक $x^{2}-2xy+y^{2}+1$ है।
इस व्यंजक में $x$ और $y$ दो चर मौजूद हैं।
चूंकि इसमें दो अलग-अलग चर हैं,इसलिए यह दो चरों वाला बहुपद है।

(1) बहुपद की घात बहुपद में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित की जाती है।
दिए गए बहुपद $2x - 1$ में,चर $x$ है।
पद $2x$ को $2x^1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि चर $x$ की उच्चतम घात $1$ है,इसलिए बहुपद $2x - 1$ की घात $1$ है।

(0) दिया गया व्यंजक $-10$ है।
$-10$ को $-10 \times x^0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि चर $x$ का घातांक $0$ है,इसलिए एक शून्येतर अचर बहुपद की घात $0$ होती है।

(B) बहुपद की घात को बहुपद में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिए गए बहुपद $x^{3}-9x+3x^{5}$ में,$x$ की घातें $3$,$1$ और $5$ हैं।
इनमें सबसे बड़ी घात $5$ है।
अतः,बहुपद $x^{3}-9x+3x^{5}$ की घात $5$ है।