Mix Examples - Polynomials Questions in Hindi

(A) माना $f(x) = x^{3}-6x^{2}+11x-6$ एक दिया गया बहुपद है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,हम अचर पद $-6$ के गुणनखंडों की जाँच करते हैं,जो $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ हैं।
$x = 1$ के लिए,$f(1) = (1)^{3}-6(1)^{2}+11(1)-6 = 1-6+11-6 = 0$. अतः,$(x-1)$ एक गुणनखंड है।
$x = 2$ के लिए,$f(2) = (2)^{3}-6(2)^{2}+11(2)-6 = 8-24+22-6 = 0$. अतः,$(x-2)$ एक गुणनखंड है।
$x = 3$ के लिए,$f(3) = (3)^{3}-6(3)^{2}+11(3)-6 = 27-54+33-6 = 0$. अतः,$(x-3)$ एक गुणनखंड है।
चूँकि बहुपद की घात $3$ है,इसलिए इसके अधिकतम $3$ रैखिक गुणनखंड हो सकते हैं।
अतः,$x^{3}-6x^{2}+11x-6$ के गुणनखंड $(x-1)(x-2)(x-3)$ हैं।

(B) माना $f(x) = x^{3} + x^{2} - 4x - 4$.
हम पदों को समूहित करके गुणनखंड कर सकते हैं:
$f(x) = (x^{3} + x^{2}) - (4x + 4)$
प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर:
$f(x) = x^{2}(x + 1) - 4(x + 1)$
अब,$(x + 1)$ को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लेने पर:
$f(x) = (x + 1)(x^{2} - 4)$
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करके,हम $x^{2} - 4$ का गुणनखंड $(x - 2)(x + 2)$ कर सकते हैं:
$f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 2)$
अतः,गुणनखंड $(x - 2)(x + 1)(x + 2)$ हैं।

(D) माना $f(x) = 3x^{3}-x^{2}-3x+1$ एक दिया गया बहुपद है।
हम पदों का समूह बनाकर इसका गुणनखंड कर सकते हैं:
$f(x) = (3x^{3}-3x) - (x^{2}-1)$
$f(x) = 3x(x^{2}-1) - 1(x^{2}-1)$
$f(x) = (3x-1)(x^{2}-1)$
चूंकि $x^{2}-1$ दो वर्गों का अंतर है,हम इसे $(x-1)(x+1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$f(x) = (3x-1)(x-1)(x+1)$।

(D) $103^{3}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम इसे $(100 + 3)^{3}$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 100$ और $b = 3$ है:
$(100 + 3)^{3} = (100)^{3} + (3)^{3} + 3(100)(3)(100 + 3)$
$= 1000000 + 27 + 900(103)$
$= 1000000 + 27 + 92700$
$= 1092727$

(A) हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$101 \times 102 = (100 + 1)(100 + 2)$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x = 100$,$a = 1$,और $b = 2$ है:
$(100 + 1)(100 + 2) = (100)^2 + (1 + 2)(100) + (1)(2)$
$= 10000 + (3)(100) + 2$
$= 10000 + 300 + 2$
$= 10302$

(B) हम $999$ को $(1000 - 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = 1000$ और $b = 1$ है:
$(999)^{2} = (1000 - 1)^{2}$
$= (1000)^{2} - 2 \times (1000) \times (1) + (1)^{2}$
$= 1000000 - 2000 + 1$
$= 998000 + 1$
$= 998001$

(A) हमारे पास व्यंजक $4 x^{2}+20 x+25$ है।
इसे $a^{2}+2 a b+b^{2}$ के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$4 x^{2}+20 x+25 = (2 x)^{2}+2(2 x)(5)+(5)^{2}$
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 2x$ और $b = 5$ है,हमें प्राप्त होता है:
$(2 x+5)^{2}$
अतः,इसके गुणनखंड $(2 x+5)(2 x+5)$ हैं।

(N/A) हमारे पास व्यंजक $9 y^{2}-66 y z+121 z^{2}$ है।
इसे सर्वसमिका $a^{2}-2 a b+b^{2} = (a-b)^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$9 y^{2}-66 y z+121 z^{2} = (3 y)^{2} - 2(3 y)(11 z) + (11 z)^{2}$.
इसकी तुलना सर्वसमिका $(a-b)^{2} = a^{2}-2 a b+b^{2}$ से करने पर,जहाँ $a = 3 y$ और $b = 11 z$ है।
अतः,$9 y^{2}-66 y z+121 z^{2} = (3 y - 11 z)^{2}$.
इसे $(3 y - 11 z)(3 y - 11 z)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

हम बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ का उपयोग करेंगे,जहाँ $a = \left(2x + \frac{1}{3}\right)$ और $b = \left(x - \frac{1}{2}\right)$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \left[\left(2x + \frac{1}{3}\right) + \left(x - \frac{1}{2}\right)\right] \left[\left(2x + \frac{1}{3}\right) - \left(x - \frac{1}{2}\right)\right]$
कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करने पर:
$= \left(2x + x + \frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) \left(2x - x + \frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right)$
$= \left(3x + \frac{2-3}{6}\right) \left(x + \frac{2+3}{6}\right)$
$= \left(3x - \frac{1}{6}\right) \left(x + \frac{5}{6}\right)$

(N/A) द्विघात व्यंजक $9 x^{2}-12 x+3$ का गुणनखंडन करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,हम ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करते हैं जिनका गुणनफल $9 \times 3 = 27$ हो और जिनका योग $-12$ हो।
ये दो संख्याएँ $-9$ और $-3$ हैं।
अब,मध्य पद $-12 x$ को $-9 x - 3 x$ के रूप में फिर से लिखें:
$9 x^{2}-9 x-3 x+3$
पदों के समूह बनाएँ:
$=9 x(x-1)-3(x-1)$
उभयनिष्ठ द्विपद $(x-1)$ को बाहर निकालें:
$=(9 x-3)(x-1)$
अंत में,पहले द्विपद से उभयनिष्ठ अचर $3$ को बाहर निकालें:
$=3(3 x-1)(x-1)$

(A) हमारे पास व्यंजक $9x^{2}-12x+4$ है।
इसे $a^{2}-2ab+b^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ $a=3x$ और $b=2$ है।
$9x^{2}-12x+4 = (3x)^{2} - 2(3x)(2) + (2)^{2}$.
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2}-2ab+b^{2} = (a-b)^{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(3x-2)^{2} = (3x-2)(3x-2)$.

(A) व्यंजक $(4a - b + 2c)^2$ का विस्तार करने के लिए,हम सर्वसमिका का उपयोग करते हैं:
$(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$
यहाँ,$x = 4a$,$y = -b$,और $z = 2c$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(4a - b + 2c)^2 = (4a)^2 + (-b)^2 + (2c)^2 + 2(4a)(-b) + 2(-b)(2c) + 2(2c)(4a)$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$= 16a^2 + b^2 + 4c^2 - 8ab - 4bc + 16ac$

(A) $(3a - 5b - c)^2$ का विस्तार करने के लिए,हम सर्वसमिका का उपयोग करते हैं:
$(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$
यहाँ,$x = 3a$,$y = -5b$,और $z = -c$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3a - 5b - c)^2 = (3a)^2 + (-5b)^2 + (-c)^2 + 2(3a)(-5b) + 2(-5b)(-c) + 2(-c)(3a)$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$= 9a^2 + 25b^2 + c^2 - 30ab + 10bc - 6ca$

(A) हम बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$.
यहाँ,$a = -x$,$b = 2y$,और $c = -3z$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-x+2y-3z)^{2} = (-x)^{2} + (2y)^{2} + (-3z)^{2} + 2(-x)(2y) + 2(2y)(-3z) + 2(-3z)(-x)$
$= x^{2} + 4y^{2} + 9z^{2} - 4xy - 12yz + 6xz$.

(A) हमारे पास व्यंजक है: $9 x^{2}+4 y^{2}+16 z^{2}+12 x y-16 y z-24 x z$.
इसे सर्वसमिका $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a = (a+b+c)^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a = 3x$,$b = 2y$,और $c = -4z$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$9 x^{2}+4 y^{2}+16 z^{2}+12 x y-16 y z-24 x z = (3 x)^{2}+(2 y)^{2}+(-4 z)^{2}+2(3 x)(2 y)+2(2 y)(-4 z)+2(-4 z)(3 x)$.
सर्वसमिका $(a+b+c)^{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(3 x+2 y-4 z)^{2}$.
अतः,गुणनखंडित रूप $(3 x+2 y-4 z)(3 x+2 y-4 z)$ है।

(N/A) दी गई व्यंजक $25 x^{2}+16 y^{2}+4 z^{2}-40 x y+16 y z-20 x z$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ का उपयोग करेंगे।
दी गई व्यंजक की तुलना सर्वसमिका से करने पर,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$=(-5 x)^{2}+(4 y)^{2}+(2 z)^{2}+2(-5 x)(4 y)+2(4 y)(2 z)+2(2 z)(-5 x)$.
यहाँ,$a = -5x$,$b = 4y$,और $c = 2z$ है।
अतः,व्यंजक का सरलीकृत रूप $(-5 x+4 y+2 z)^{2}$ या $(5 x-4 y-2 z)^{2}$ है।

(N/A) दी गई व्यंजक $16 x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}-16 x y-12 y z+24 x z$ है।
हम इस व्यंजक को सर्वसमिका $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a$ का उपयोग करके लिख सकते हैं।
यहाँ,हम पदों का अवलोकन करते हैं:
$16 x^{2} = (4 x)^{2}$
$4 y^{2} = (-2 y)^{2}$
$9 z^{2} = (3 z)^{2}$
अब,मध्य पदों की जाँच करने पर:
$2(4 x)(-2 y) = -16 x y$
$2(-2 y)(3 z) = -12 y z$
$2(3 z)(4 x) = 24 x z$
अतः,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$(4 x)^{2}+(-2 y)^{2}+(3 z)^{2}+2(4 x)(-2 y)+2(-2 y)(3 z)+2(3 z)(4 x)$
सर्वसमिका लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(4 x-2 y+3 z)^{2}$
इसलिए,गुणनखंडित रूप $(4 x-2 y+3 z)(4 x-2 y+3 z)$ है।

(B) हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका:
$(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)$
दिया गया है कि $a+b+c = 9$ और $ab+bc+ca = 26$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(9)^{2} = (a^{2}+b^{2}+c^{2}) + 2(26)$
$81 = (a^{2}+b^{2}+c^{2}) + 52$
दोनों पक्षों से $52$ घटाने पर:
$a^{2}+b^{2}+c^{2} = 81 - 52$
$a^{2}+b^{2}+c^{2} = 29$

(A) व्यंजक $(3a - 2b)^3$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं:
$(x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)$
यहाँ,$x = 3a$ और $y = 2b$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$(3a - 2b)^3 = (3a)^3 - (2b)^3 - 3(3a)(2b)(3a - 2b)$
घनों की गणना करने पर:
$(3a)^3 = 27a^3$
$(2b)^3 = 8b^3$
अब,व्यंजक को सरल करने पर:
$= 27a^3 - 8b^3 - 18ab(3a - 2b)$
$-18ab$ को कोष्ठक के अंदर गुणा करने पर:
$= 27a^3 - 8b^3 - (18ab \times 3a) + (18ab \times 2b)$
$= 27a^3 - 8b^3 - 54a^2b + 36ab^2$

हम बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b)$.
यहाँ,$a = \frac{1}{x}$ और $b = \frac{y}{3}$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{1}{x} + \frac{y}{3}\right)^{3} = \left(\frac{1}{x}\right)^{3} + \left(\frac{y}{3}\right)^{3} + 3 \left(\frac{1}{x}\right) \left(\frac{y}{3}\right) \left(\frac{1}{x} + \frac{y}{3}\right)$
$= \frac{1}{x^{3}} + \frac{y^{3}}{27} + \frac{y}{x} \left(\frac{1}{x} + \frac{y}{3}\right)$
$= \frac{1}{x^{3}} + \frac{y^{3}}{27} + \frac{y}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{3x}$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{x^{3}} + \frac{y}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{3x} + \frac{y^{3}}{27}$.

(D) हम बीजीय सर्वसमिका $(a-b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a-b)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 4$ और $b = \frac{1}{3x}$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(4-\frac{1}{3 x}\right)^{3} = (4)^{3} - \left(\frac{1}{3 x}\right)^{3} - 3(4)\left(\frac{1}{3 x}\right)\left(4-\frac{1}{3 x}\right)$
$= 64 - \frac{1}{27 x^{3}} - \frac{12}{3 x}\left(4-\frac{1}{3 x}\right)$
$= 64 - \frac{1}{27 x^{3}} - \frac{4}{x}\left(4-\frac{1}{3 x}\right)$
$= 64 - \frac{1}{27 x^{3}} - \frac{16}{x} + \frac{4}{3 x^{2}}$

(A) दी गई व्यंजक $1-64 a^{3}-12 a+48 a^{2}$ है।
हम इस व्यंजक को $1^{3}-(4 a)^{3}-3(1)(4 a)(1-4 a)$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह बीजीय सर्वसमिका $(x-y)^{3} = x^{3}-y^{3}-3xy(x-y)$ के अनुरूप है,जहाँ $x=1$ और $y=4a$ है।
अतः,व्यंजक का सरलीकृत रूप $(1-4 a)^{3}$ है।
इस प्रकार,गुणनखंडित रूप $(1-4 a)(1-4 a)(1-4 a)$ है।

(A) दी गई व्यंजक $8 p^{3}+\frac{12}{5} p^{2}+\frac{6}{25} p+\frac{1}{125}$ है।
हम इस व्यंजक को बीजीय सर्वसमिका $(a+b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यहाँ,$a = 2p$ और $b = \frac{1}{5}$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2p)^{3} + 3(2p)^{2}(\frac{1}{5}) + 3(2p)(\frac{1}{5})^{2} + (\frac{1}{5})^{3}$
$= 8p^{3} + 3(4p^{2})(\frac{1}{5}) + 3(2p)(\frac{1}{25}) + \frac{1}{125}$
$= 8p^{3} + \frac{12}{5}p^{2} + \frac{6}{25}p + \frac{1}{125}$.
अतः,यह व्यंजक $(2p + \frac{1}{5})^{3}$ के बराबर है,जिसे $(2p + \frac{1}{5})(2p + \frac{1}{5})(2p + \frac{1}{5})$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(N/A) दिया गया व्यंजक $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ के रूप में है,जहाँ $a = \frac{x}{2}$ और $b = 2y$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{x}{2}+2 y\right)\left\{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}-\left(\frac{x}{2}\right)(2 y)+(2 y)^{2}\right\} = \left(\frac{x}{2}\right)^{3}+(2 y)^{3}$
$= \frac{x^3}{8} + 8y^3$

$(X^6-1)$ हम बीजीय सर्वसमिका $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) = a^{3}-b^{3}$ का उपयोग करेंगे।
दी गई व्यंजक: $(x^{2}-1)(x^{4}+x^{2}+1)$
व्यंजक को इस प्रकार पुनः लिखें: $(x^{2}-1)((x^{2})^{2} + (x^{2})(1) + (1)^{2})$
यहाँ,$a = x^{2}$ और $b = 1$ है।
सर्वसमिका लागू करने पर: $(x^{2})^{3} - (1)^{3}$
$= x^{6} - 1$

(A) हमारे पास है,
$1+64 x^{3} = (1)^{3} + (4 x)^{3}$
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 1$ और $b = 4x$ है:
$= (1 + 4x)((1)^{2} - (1)(4x) + (4x)^{2})$
$= (1 + 4x)(1 - 4x + 16x^{2})$
$= (1 + 4x)(16x^{2} - 4x + 1)$

(A) हम बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})$.
दी गई व्यंजक: $a^{3} - 2\sqrt{2}b^{3}$.
व्यंजक को इस प्रकार लिखें: $a^{3} - (\sqrt{2}b)^{3}$.
सर्वसमिका लागू करने पर जहाँ $x = a$ और $y = \sqrt{2}b$ है:
$= (a - \sqrt{2}b)((a)^{2} + (a)(\sqrt{2}b) + (\sqrt{2}b)^{2})$.
$= (a - \sqrt{2}b)(a^{2} + \sqrt{2}ab + 2b^{2})$.

(D) हम बीजगणितीय सर्वसमिका: $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca) = a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$ का उपयोग करते हैं।
दी गई व्यंजक: $(2x - y + 3z)((2x)^{2} + (-y)^{2} + (3z)^{2} - (2x)(-y) - (-y)(3z) - (3z)(2x))$.
यहाँ,$a = 2x$,$b = -y$,और $c = 3z$ है।
सर्वसमिका लागू करने पर:
$= (2x)^{3} + (-y)^{3} + (3z)^{3} - 3(2x)(-y)(3z)$
$= 8x^{3} - y^{3} + 27z^{3} - 3(2x)(-y)(3z)$
$= 8x^{3} - y^{3} + 27z^{3} + 18xyz$.

(A) हम बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)$.
दिया गया व्यंजक: $a^{3}-8b^{3}-64c^{3}-24abc$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $a^{3}+(-2b)^{3}+(-4c)^{3}-3(a)(-2b)(-4c)$.
यहाँ,$x=a$,$y=-2b$,और $z=-4c$ है।
सर्वसमिका लागू करने पर:
$= (a-2b-4c)((a)^{2}+(-2b)^{2}+(-4c)^{2}-(a)(-2b)-(-2b)(-4c)-(-4c)(a))$
$= (a-2b-4c)(a^{2}+4b^{2}+16c^{2}+2ab-8bc+4ca)$.

(A) हम बीजीय सर्वसमिका $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3xyz = (x + y + z)(x^{2} + y^{2} + z^{2} - xy - yz - zx)$ का उपयोग करेंगे।
दी गई व्यंजक: $2 \sqrt{2} a^{3} + 8 b^{3} - 27 c^{3} + 18 \sqrt{2} a b c$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(\sqrt{2} a)^{3} + (2 b)^{3} + (-3 c)^{3} - 3(\sqrt{2} a)(2 b)(-3 c)$.
यहाँ,$x = \sqrt{2} a$,$y = 2 b$,और $z = -3 c$ है।
सर्वसमिका लागू करने पर:
$= (\sqrt{2} a + 2 b - 3 c)((\sqrt{2} a)^{2} + (2 b)^{2} + (-3 c)^{2} - (\sqrt{2} a)(2 b) - (2 b)(-3 c) - (-3 c)(\sqrt{2} a))$
$= (\sqrt{2} a + 2 b - 3 c)(2 a^{2} + 4 b^{2} + 9 c^{2} - 2 \sqrt{2} a b + 6 b c + 3 \sqrt{2} c a)$.

(C) माना $a = \frac{1}{2}$,$b = \frac{1}{3}$,और $c = -\frac{5}{6}$ है।
सबसे पहले,योग $a + b + c$ ज्ञात कीजिए:
$a + b + c = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{5}{6} = \frac{3 + 2 - 5}{6} = \frac{0}{6} = 0$.
हम जानते हैं कि बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार: यदि $a + b + c = 0$ है,तो $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$ होता है।
इस सर्वसमिका को दिए गए व्यंजक पर लागू करने पर:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^{3} + \left(-\frac{5}{6}\right)^{3} = 3 \times \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{3}\right) \times \left(-\frac{5}{6}\right)$.
$= 3 \times \frac{1}{6} \times \left(-\frac{5}{6}\right) = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{5}{6}\right) = -\frac{5}{12}$.

(D) हमारे पास व्यंजक है: $(0.2)^{3} - (0.3)^{3} + (0.1)^{3}$।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(0.2)^{3} + (-0.3)^{3} + (0.1)^{3}$।
माना $a = 0.2$,$b = -0.3$ और $c = 0.1$ है।
अब,$a + b + c$ का योग ज्ञात कीजिए:
$a + b + c = 0.2 + (-0.3) + 0.1 = 0.3 - 0.3 = 0$।
हम जानते हैं कि सर्वसमिका के अनुसार: यदि $a + b + c = 0$ है,तो $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$ होता है।
$a$,$b$ और $c$ के मान रखने पर:
$a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3(0.2)(-0.3)(0.1)$।
गुणनफल ज्ञात करने पर:
$3 \times 0.2 = 0.6$
$0.6 \times (-0.3) = -0.18$
$-0.18 \times 0.1 = -0.018$।
अतः,$(0.2)^{3} - (0.3)^{3} + (0.1)^{3} = -0.018$।

(D) माना कि $a = x-2y$,$b = 2y-3z$,और $c = 3z-x$ है।
तब,$a+b+c = (x-2y) + (2y-3z) + (3z-x) = 0$ है।
हम जानते हैं कि यदि $a+b+c = 0$ हो,तो $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ होता है।
$a, b,$ और $c$ के मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x-2y)^3 + (2y-3z)^3 + (3z-x)^3 = 3(x-2y)(2y-3z)(3z-x)$.

(B) दिया गया व्यंजक: $x^{3}+y^{3}-12xy+64$ है।
हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$ होती है।
यहाँ,मान लीजिए $a=x$,$b=y$,और $c=4$ है।
तब व्यंजक $x^{3}+y^{3}+4^{3}-3(x)(y)(4) = x^{3}+y^{3}+64-12xy$ हो जाता है।
सर्वसमिका में $a+b+c = x+y+4$ प्रतिस्थापित करने पर:
चूँकि $x+y = -4$ है,इसलिए $x+y+4 = -4+4 = 0$ होगा।
अतः,$x^{3}+y^{3}-12xy+64 = (0)(x^{2}+y^{2}+16-xy-4y-4x) = 0$।

(C) दिया गया व्यंजक $x^{3}-8 y^{3}-36 x y-216$ है।
हम इसे $x^{3} + (-2y)^{3} + (-6)^{3} - 3(x)(-2y)(-6)$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह बीजीय सर्वसमिका $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a+b+c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$ के रूप में है,जहाँ $a=x$,$b=-2y$,और $c=-6$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(x - 2y - 6)(x^{2} + 4y^{2} + 36 + 2xy - 12y + 6x)$।
चूँकि हमें $x = 2y + 6$ दिया गया है,इसलिए $x - 2y - 6 = 0$ होगा।
अतः,पूरा व्यंजक $0 \times (x^{2} + 4y^{2} + 36 + 2xy - 12y + 6x) = 0$ हो जाएगा।

(A) आयत का क्षेत्रफल बहुपद $4 a^{2}+4 a-3$ द्वारा दिया गया है।
लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करके द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करेंगे।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग $+4$ हो और जिनका गुणनफल $4 \times (-3) = -12$ हो।
ये दो संख्याएँ $+6$ और $-2$ हैं,क्योंकि $6 + (-2) = 4$ और $6 \times (-2) = -12$ होता है।
मध्य पद $4 a$ को $6 a - 2 a$ के रूप में विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4 a^{2} + 6 a - 2 a - 3$
पदों का समूह बनाने पर:
$= 2 a(2 a + 3) - 1(2 a + 3)$
उभयनिष्ठ द्विपद $(2 a + 3)$ को बाहर निकालने पर:
$= (2 a - 1)(2 a + 3)$
चूंकि आयत का क्षेत्रफल $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$ के रूप में परिभाषित है,इसलिए विमाओं के लिए संभावित व्यंजक हैं:
लंबाई $= (2 a - 1)$ और चौड़ाई $= (2 a + 3)$ या लंबाई $= (2 a + 3)$ और चौड़ाई $= (2 a - 1)$।

(A) हम बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $x^{3}+y^{3} = (x+y)^{3} - 3xy(x+y)$.
दिया गया है कि $x+y = 12$ और $xy = 27$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{3}+y^{3} = (12)^{3} - 3(27)(12)$.
गणना को सरल बनाने के लिए $12$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$x^{3}+y^{3} = 12(12^{2} - 3 \times 27)$.
$x^{3}+y^{3} = 12(144 - 81)$.
$x^{3}+y^{3} = 12(63)$.
$x^{3}+y^{3} = 756$.

(B) माना $p(z) = az^{3} + 4z^{2} + 3z - 4$ और $q(z) = z^{3} - 4z + a$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,जब किसी बहुपद $f(z)$ को $(z - c)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $f(c)$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों बहुपदों को $z - 3$ से विभाजित करने पर समान शेषफल प्राप्त होता है,इसलिए $p(3) = q(3)$ होगा।
सबसे पहले,$p(3)$ की गणना करते हैं:
$p(3) = a(3)^{3} + 4(3)^{2} + 3(3) - 4$
$p(3) = 27a + 36 + 9 - 4 = 27a + 41$.
अब,$q(3)$ की गणना करते हैं:
$q(3) = (3)^{3} - 4(3) + a$
$q(3) = 27 - 12 + a = 15 + a$.
दोनों शेषफलों को बराबर रखने पर:
$27a + 41 = 15 + a$
$27a - a = 15 - 41$
$26a = -26$
$a = -1$.
अतः,$a$ का मान $-1$ है।

(C) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - c)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(c)$ होता है।
दिया गया है कि $p(x) = x^{4} - 2x^{3} + 3x^{2} - ax + 3a - 7$ को $x + 1$ से विभाजित करने पर शेषफल $p(-1) = 19$ प्राप्त होता है।
$p(x)$ में $x = -1$ रखने पर:
$p(-1) = (-1)^{4} - 2(-1)^{3} + 3(-1)^{2} - a(-1) + 3a - 7 = 19$
$1 - 2(-1) + 3(1) + a + 3a - 7 = 19$
$1 + 2 + 3 + 4a - 7 = 19$
$4a - 1 = 19$
$4a = 20$
$a = 5$
अब,जब $p(x)$ को $x + 2$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(-2)$ होगा,जहाँ $a = 5$ है:
$p(x) = x^{4} - 2x^{3} + 3x^{2} - 5x + 3(5) - 7 = x^{4} - 2x^{3} + 3x^{2} - 5x + 8$
$p(-2) = (-2)^{4} - 2(-2)^{3} + 3(-2)^{2} - 5(-2) + 8$
$p(-2) = 16 - 2(-8) + 3(4) + 10 + 8$
$p(-2) = 16 + 16 + 12 + 10 + 8 = 62$.

(A) माना $f(x) = p x^{2} + 5 x + r$.
चूँकि $(x-2)$,$f(x)$ का एक गुणनखंड है,गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$f(2) = 0$.
$p(2)^{2} + 5(2) + r = 0$
$4p + 10 + r = 0$
$4p + r = -10$ --- $(1)$
चूँकि $(x - \frac{1}{2})$,$f(x)$ का एक गुणनखंड है,गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$f(\frac{1}{2}) = 0$.
$p(\frac{1}{2})^{2} + 5(\frac{1}{2}) + r = 0$
$\frac{1}{4}p + \frac{5}{2} + r = 0$
पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$p + 10 + 4r = 0$
$p + 4r = -10$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,चूँकि दोनों $-10$ के बराबर हैं:
$4p + r = p + 4r$
$4p - p = 4r - r$
$3p = 3r$
$p = r$
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(N/A) माना $p(x) = 2x^4 - 5x^3 + 2x^2 - x + 2$ और $g(x) = x^2 - 3x + 2$ है।
सबसे पहले,भाजक $g(x)$ का गुणनखंड कीजिए:
$g(x) = x^2 - 3x + 2 = x^2 - x - 2x + 2 = x(x - 1) - 2(x - 1) = (x - 1)(x - 2)$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(x)$,$g(x)$ से विभाज्य है,तो इसे $(x - 1)$ और $(x - 2)$ दोनों से विभाज्य होना चाहिए।
$(x - 1)$ के लिए जाँच करें:
$p(1) = 2(1)^4 - 5(1)^3 + 2(1)^2 - 1 + 2 = 2 - 5 + 2 - 1 + 2 = 0$.
चूँकि $p(1) = 0$ है,इसलिए $(x - 1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
$(x - 2)$ के लिए जाँच करें:
$p(2) = 2(2)^4 - 5(2)^3 + 2(2)^2 - 2 + 2 = 2(16) - 5(8) + 2(4) - 2 + 2 = 32 - 40 + 8 = 0$.
चूँकि $p(2) = 0$ है,इसलिए $(x - 2)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
चूँकि $(x - 1)$ और $(x - 2)$ दोनों $p(x)$ के गुणनखंड हैं,इसलिए उनका गुणनफल $(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2$ भी $p(x)$ का एक गुणनखंड होगा।
अतः,$2x^4 - 5x^3 + 2x^2 - x + 2$,$x^2 - 3x + 2$ से विभाज्य है।

(A) यहाँ हम बीजीय सर्वसमिका $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ का उपयोग करेंगे।
माना $a = (2x - 5y)$ और $b = (2x + 5y)$ है।
अतः,$a - b = (2x - 5y) - (2x + 5y) = 2x - 5y - 2x - 5y = -10y$ है।
अब,$a^{2} + ab + b^{2}$ की गणना करते हैं:
$a^{2} = (2x - 5y)^{2} = 4x^{2} + 25y^{2} - 20xy$
$b^{2} = (2x + 5y)^{2} = 4x^{2} + 25y^{2} + 20xy$
$ab = (2x - 5y)(2x + 5y) = 4x^{2} - 25y^{2}$
इनका योग करने पर: $(4x^{2} + 25y^{2} - 20xy) + (4x^{2} - 25y^{2}) + (4x^{2} + 25y^{2} + 20xy) = 12x^{2} + 25y^{2}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$(a - b)$ और $(a^{2} + ab + b^{2})$ का गुणा करने पर:
$(-10y)(12x^{2} + 25y^{2}) = -120x^{2}y - 250y^{3}$ प्राप्त होता है।

(D) हमारे पास व्यंजक है: $(-z+x-2 y)(x^{2}+4 y^{2}+z^{2}+2 x y+x z-2 y z)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(x-2 y-z)(x^{2}+(-2 y)^{2}+(-z)^{2}-(x)(-2 y)-(-2 y)(-z)-(x)(-z))$.
यह व्यंजक $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$ के रूप में है,जहाँ $a=x$,$b=-2 y$,और $c=-z$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca) = a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$ का उपयोग करते हुए,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$= (x)^{3} + (-2 y)^{3} + (-z)^{3} - 3(x)(-2 y)(-z)$.
$= x^{3} - 8 y^{3} - z^{3} - 6 x y z$.

(N/A) दिया गया है कि $a, b, c$ शून्येतर हैं और $a+b+c=0$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$.
चूंकि $a+b+c=0$,इसलिए दाईं ओर का मान $0$ हो जाता है,जिससे $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = 0$,जिसका अर्थ है कि $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$.
अब,व्यंजक $\frac{a^{2}}{bc} + \frac{b^{2}}{ca} + \frac{c^{2}}{ab}$ पर विचार करें।
हर $bc, ca, ab$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $abc$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{a^{2}(a) + b^{2}(b) + c^{2}(c)}{abc} = \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}$.
$a^{3}+b^{3}+c^{3} = 3abc$ का मान व्यंजक में रखने पर:
$\frac{3abc}{abc} = 3$.
अतः,व्यंजक का मान $3$ है।

(N/A) हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका:
$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
$= (a+b+c)[a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)]$
दिया गया है कि $a+b+c=5$ और $ab+bc+ca=10$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= 5[a^2+b^2+c^2-10]$
अब,सर्वसमिका $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ का उपयोग करके $a^2+b^2+c^2$ ज्ञात करते हैं:
$(5)^2 = a^2+b^2+c^2+2(10)$
$25 = a^2+b^2+c^2+20$
$a^2+b^2+c^2 = 25-20 = 5$
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$a^3+b^3+c^3-3abc = 5(5-10) = 5(-5) = -25$.
अतः,यह सिद्ध हुआ।

(N/A) हम जानते हैं कि $(a+b+c)^3$ का विस्तार इस प्रकार है:
$(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)$
वैकल्पिक रूप से,हम इसे चरण-दर-चरण विस्तारित कर सकते हैं:
$(a+b+c)^3 = [(a+b)+c]^3$
$= (a+b)^3 + 3(a+b)^2c + 3(a+b)c^2 + c^3$
$= (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + 3(a^2 + 2ab + b^2)c + 3ac^2 + 3bc^2 + c^3$
$= a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 3a^2c + 6abc + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2$
अब,दोनों पक्षों से $(a^3 + b^3 + c^3)$ घटाने पर:
$(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3a^2b + 3ab^2 + 3a^2c + 6abc + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2$
दाहिनी ओर से $3$ कॉमन लेने पर:
$= 3[a^2b + ab^2 + a^2c + 2abc + b^2c + ac^2 + bc^2]$
इन पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 3(a+b)(b+c)(c+a)$
अतः,यह सिद्ध होता है कि $(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a+b)(b+c)(c+a)$.

(A) दिया गया व्यंजक $\pi x^{2}-\sqrt{3} x+11$ है।
$1$. बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चर के घातांक सदैव पूर्ण संख्या (अऋण पूर्णांक) होते हैं।
$2$. व्यंजक $\pi x^{2}-\sqrt{3} x+11$ में,चर $x$ के घातांक $2$,$1$ और $0$ हैं (क्योंकि $11 = 11x^{0}$)।
$3$. चूँकि सभी घातांक पूर्ण संख्याएँ हैं,इसलिए यह व्यंजक एक बहुपद है।
$4$. चूँकि इस व्यंजक में केवल एक ही चर $x$ है,इसलिए यह एक चर वाला बहुपद है।

(D) दिया गया व्यंजक $x^{2} + x - 3 + \frac{4}{x}$ है।
हम पद $\frac{4}{x}$ को $4x^{-1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,व्यंजक $x^{2} + x - 3 + 4x^{-1}$ हो जाता है।
बहुपद की परिभाषा के अनुसार,बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चरों के घातांक ऋणेतर पूर्णांक (non-negative integer) होते हैं।
इस व्यंजक में,पद $4x^{-1}$ में $x$ का घातांक $-1$ है,जो कि एक ऋणात्मक पूर्णांक है।
इसलिए,दिया गया व्यंजक एक बहुपद नहीं है।

(D) दिया गया व्यंजक $5 x^{2}-7 x+3 \sqrt{x}$ है।
यह निर्धारित करने के लिए कि कोई व्यंजक बहुपद है या नहीं,चर का घातांक एक ऋणेतर पूर्णांक (non-negative integer) होना चाहिए।
दिए गए व्यंजक में,पद $3 \sqrt{x}$ को $3 x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$x$ का घातांक $\frac{1}{2}$ है,जो एक ऋणेतर पूर्णांक नहीं है।
इसलिए,$5 x^{2}-7 x+3 \sqrt{x}$ एक बहुपद नहीं है।

(N/A) दिया गया व्यंजक $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$ एक बहुपद है क्योंकि इसके प्रत्येक पद में चर का घातांक एक ऋणेतर पूर्णांक (पूर्ण संख्या) है।
हालाँकि,इस व्यंजक में तीन अलग-अलग चर $x$,$y$ और $z$ शामिल हैं।
इसलिए,यह एक बहुपद तो है,लेकिन यह एक चर वाला बहुपद नहीं है।