Mix Examples - Polynomials Questions in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^{2}+kx+6=(x+2)(x+3)$.
સૌ પ્રથમ,સમીકરણની જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરો:
$(x+2)(x+3) = x(x+3) + 2(x+3)$
$= x^{2} + 3x + 2x + 6$
$= x^{2} + 5x + 6$.
હવે,આને સમીકરણની ડાબી બાજુ સાથે સરખાવો: $x^{2}+kx+6 = x^{2}+5x+6$.
બંને બાજુ $x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $k = 5$ મળે છે.

(B) બહુપદી એ એક એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલના ઘાતાંક હંમેશા પૂર્ણ સંખ્યા (અન-ઋણ પૂર્ણાંક) હોય છે.
$(A)$ $\frac{x^{2}}{2}-\frac{2}{x^{2}} = \frac{1}{2}x^{2} - 2x^{-2}$. અહીં ઘાતાંક $-2$ એ પૂર્ણ સંખ્યા નથી,તેથી આ બહુપદી નથી.
$(B)$ $x^{2}+\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{x}} = x^{2} + 3x^{\frac{1}{6}}$. અહીં ઘાતાંક $\frac{1}{6}$ એ પૂર્ણ સંખ્યા નથી. જો પ્રશ્નમાં ટાઈપિંગ ભૂલ હોય અને તે $x^2+3x$ હોય,તો તે બહુપદી ગણાય. આપેલા વિકલ્પોમાં $(B)$ ને બહુપદી તરીકે દર્શાવવાનો પ્રયાસ થયો છે.

(C) $\sqrt{2}$ એ અચળ બહુપદી છે.
અચળ બહુપદીની ઘાત હંમેશા $0$ હોય છે.
આપણે $\sqrt{2}$ ને $\sqrt{2} \cdot x^0$ તરીકે લખી શકીએ છીએ,જ્યાં ચલ $x$ નો ઘાતાંક $0$ છે.
તેથી,બહુપદી $\sqrt{2}$ ની ઘાત $0$ છે.
આમ,$(c)$ સાચો જવાબ છે.

(D) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી: $P(x) = 4 x^{4} + 0 x^{3} + 0 x^{5} + 5 x + 7$.
શૂન્ય સહગુણક વાળા પદોને દૂર કરીને બહુપદીને સરળ બનાવતા: $P(x) = 4 x^{4} + 5 x + 7$.
અહીં $x$ ની ઘાત $4, 1$ અને $0$ છે (કારણ કે $7 = 7 x^{0}$).
ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $4$ છે.
તેથી,આપેલ બહુપદીની ઘાત $4$ છે.

(A) શૂન્ય બહુપદીને $P(x) = 0$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,શૂન્યતર અચળ બહુપદીની ઘાત $0$ હોય છે,પરંતુ શૂન્ય બહુપદી માટે ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી કારણ કે ચલ $x$ ની કોઈપણ ઘાતને $0$ વડે ગુણતા પરિણામ $0$ મળે છે (એટલે કે,કોઈપણ $n \ge 0$ માટે $0 \cdot x^n = 0$).
તેથી,શૂન્ય બહુપદીની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.
આથી,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(B) આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{2} - 2\sqrt{2}x + 1$ છે.
$p(2\sqrt{2})$ શોધવા માટે,આપણે બહુપદીમાં $x = 2\sqrt{2}$ મૂકીશું.
$p(2\sqrt{2}) = (2\sqrt{2})^{2} - 2\sqrt{2}(2\sqrt{2}) + 1$
પદોની ગણતરી કરતા:
$(2\sqrt{2})^{2} = 4 \times 2 = 8$
$2\sqrt{2}(2\sqrt{2}) = 4 \times 2 = 8$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$p(2\sqrt{2}) = 8 - 8 + 1$
$p(2\sqrt{2}) = 1$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(C) ધારો કે બહુપદી $P(x) = 5x - 4x^2 + 3$ છે.
$x = -1$ આગળ બહુપદીની કિંમત શોધવા માટે,પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $-1$ મૂકો:
$P(-1) = 5(-1) - 4(-1)^2 + 3$
$P(-1) = -5 - 4(1) + 3$
$P(-1) = -5 - 4 + 3$
$P(-1) = -9 + 3$
$P(-1) = -6$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(D) આપેલ બહુપદી $p(x) = x + 3$ છે.
$p(-x)$ શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $-x$ મૂકીશું:
$p(-x) = -x + 3.$
હવે,આપણે સરવાળો $p(x) + p(-x)$ ગણીએ:
$p(x) + p(-x) = (x + 3) + (-x + 3).$
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$p(x) + p(-x) = x + 3 - x + 3 = 6.$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) શૂન્ય બહુપદી એ $p(x) = 0$ સ્વરૂપની બહુપદી છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય એ એવી કિંમત $c$ છે કે જેથી $p(c) = 0$ થાય.
અહીં $p(x) = 0$ એ $x$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે સાચું છે,તેથી દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા એ શૂન્ય બહુપદીનું શૂન્ય છે.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો જવાબ છે.

(B) બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
આપેલ છે કે $p(x) = 2x + 5$,તેથી $2x + 5 = 0$ લેતા.
બંને બાજુથી $5$ બાદ કરતાં,આપણને $2x = -5$ મળે છે.
બંને બાજુને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $x = -\frac{5}{2}$ મળે છે.
તેથી,$-\frac{5}{2}$ એ બહુપદીનું શૂન્ય છે.
આમ,$(b)$ સાચો જવાબ છે.

(C) ધારો કે બહુપદી $p(x) = 2x^2 + 7x - 4$ છે.
શૂન્યો શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ:
$2x^2 + 7x - 4 = 0$
$2x^2 + 8x - x - 4 = 0$
$2x(x + 4) - 1(x + 4) = 0$
$(2x - 1)(x + 4) = 0$
આથી $2x - 1 = 0$ અથવા $x + 4 = 0$ મળે.
તેથી,$x = \frac{1}{2}$ અથવા $x = -4$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\frac{1}{2}$ એ એક શૂન્ય છે.
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(D) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $x + a$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(-a)$ મળે છે.
અહીં,$p(x) = x^{51} + 51$ ને $x + 1$ વડે ભાગવામાં આવે છે.
તેથી,શેષ $p(-1) = (-1)^{51} + 51$ થશે.
કારણ કે $(-1)$ ની એકી ઘાત $-1$ થાય છે,તેથી $p(-1) = -1 + 51 = 50$ મળે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = 2x^2 + kx$.
જો $(x+1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો અવયવ પ્રમેય મુજબ $p(-1) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$p(-1) = 2(-1)^2 + k(-1) = 0$
$2(1) - k = 0$
$2 - k = 0$
$k = 2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x+1)$ એ બહુપદી $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(-1) = 0$ થવું જોઈએ.
$(a)$ ધારો કે $p(x) = x^{3}+x^{2}-x+1$.
$p(-1) = (-1)^{3}+(-1)^{2}-(-1)+1 = -1+1+1+1 = 2 \neq 0$.
તેથી,$(x+1)$ એ અવયવ નથી.
$(b)$ ધારો કે $p(x) = x^{3}+x^{2}+x+1$.
$p(-1) = (-1)^{3}+(-1)^{2}+(-1)+1 = -1+1-1+1 = 0$.
અહીં $p(-1) = 0$ હોવાથી,$(x+1)$ એ અવયવ છે.
$(c)$ ધારો કે $p(x) = x^{4}+x^{3}+x^{2}+1$.
$p(-1) = (-1)^{4}+(-1)^{3}+(-1)^{2}+1 = 1-1+1+1 = 2 \neq 0$.
તેથી,$(x+1)$ એ અવયવ નથી.
$(d)$ ધારો કે $p(x) = x^{4}+3x^{3}+3x^{2}+x+1$.
$p(-1) = (-1)^{4}+3(-1)^{3}+3(-1)^{2}+(-1)+1 = 1-3+3-1+1 = 1 \neq 0$.
તેથી,$(x+1)$ એ અવયવ નથી.
આમ,$(x+1)$ એ $x^{3}+x^{2}+x+1$ નો અવયવ છે. સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $(25 x^{2}-1)+(1+5 x)^{2}$
નિત્યસમ $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $(25 x^{2}-1)$ ને $(5 x)^{2}-1^{2}=(5 x-1)(5 x+1)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(5 x-1)(5 x+1)+(5 x+1)^{2}$
$(5 x+1)$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા:
$(5 x+1) \times [(5 x-1)+(5 x+1)]$
ચોરસ કૌંસની અંદરના પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$(5 x+1) \times (5 x-1+5 x+1) = (5 x+1)(10 x)$
આમ,અવયવો $10 x$ અને $(5 x+1)$ છે.
તેથી,$(c)$ સાચો જવાબ છે.

(D) બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=249$ અને $b=248$ છે:
$(249)^{2}-(248)^{2}=(249+248)(249-248)$
$= (497)(1)$
$= 497$
આમ,$(d)$ સાચો જવાબ છે.

(A) દ્વિઘાત પદાવલિ $4 x^{2}+8 x+3$ નું અવયવીકરણ કરવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જેનો ગુણાકાર $4 \times 3 = 12$ થાય અને જેનો સરવાળો $8$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $6$ અને $2$ છે,કારણ કે $6 \times 2 = 12$ અને $6 + 2 = 8$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $8x$ ને $6x + 2x$ તરીકે લખો:
$4 x^{2}+6 x+2 x+3$
પદોના જૂથ બનાવો:
$(4 x^{2}+6 x) + (2 x+3)$
દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢો:
$2 x(2 x+3) + 1(2 x+3)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(2 x+3)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$(2 x+3)(2 x+1)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ: $(x+y)^{3} = x^{3}+y^{3}+3xy(x+y)$.
આ કિંમત આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$(x+y)^{3}-(x^{3}+y^{3}) = [x^{3}+y^{3}+3xy(x+y)] - (x^{3}+y^{3})$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$= x^{3}+y^{3}+3xy(x+y) - x^{3}-y^{3}$
$= 3xy(x+y)$.
આમ,પદાવલિનું સાદું રૂપ $3xy(x+y)$ મળે છે,તેથી તેના અવયવો $3$,$x$,$y$ અને $(x+y)$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$3xy$ એ એક અવયવ છે.
તેથી,$(b)$ સાચો જવાબ છે.

(C) દ્વિપદી વિસ્તરણના સૂત્ર $(a+b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $(x+3)^{3}$ નું વિસ્તરણ કરીએ:
$(x+3)^{3} = x^{3} + 3(x^{2})(3) + 3(x)(3^{2}) + 3^{3}$
$= x^{3} + 9x^{2} + 3(x)(9) + 27$
$= x^{3} + 9x^{2} + 27x + 27$
અહીં $x$ વાળું પદ $27x$ છે. તેથી,$x$ નો સહગુણક $27$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-1$
લસાઅ લેતા,આપણને મળે: $\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}=-1$
બંને બાજુ $xy$ વડે ગુણતા: $x^{2}+y^{2}=-x y$
પદોને ગોઠવતા: $x^{2}+y^{2}+x y=0$
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+y^{2}+x y)$
આ નિત્યસમમાં $x^{2}+y^{2}+x y=0$ ની કિંમત મૂકતા:
$x^{3}-y^{3}=(x-y)(0)$
$x^{3}-y^{3}=0$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $49 x^{2}-b=\left(7 x+\frac{1}{2}\right)\left(7 x-\frac{1}{2}\right)$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=7x$ અને $b=\frac{1}{2}$ છે,આપણને મળે છે:
$49 x^{2}-b=(7 x)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$
$49 x^{2}-b=49 x^{2}-\frac{1}{4}$
સમીકરણની બંને બાજુઓની સરખામણી કરતા,આપણને $b=\frac{1}{4}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$
અહીં આપેલ છે કે $a+b+c=0,$
આ કિંમતને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (0)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$
$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = 0$
તેથી,$a^{3}+b^{3}+c^{3} = 3abc.$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $\frac{1}{\sqrt{5}} x^{\frac{1}{2}} + 1$ છે.
બહુપદી એ એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં તમામ ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યા) હોય છે.
આપેલ પદાવલિમાં,ચલ $x$ નો ઘાતાંક $\frac{1}{2}$ છે.
$\frac{1}{2}$ એ પૂર્ણ સંખ્યા ન હોવાથી,આ પદાવલિ બહુપદી નથી.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(TRUE) આ વિધાન સત્ય છે.
સમર્થન માટે,આપણે આપેલ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપીએ:
$\frac{6 \sqrt{x} + x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} = \frac{6 \sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}}$
$= 6 + x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}$
$= 6 + x^1$
$= 6 + x$
અહીં $6 + x$ એ એવી પદાવલિ છે જેમાં ચલ $x$ નો ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક $(1)$ છે,જે બહુપદીની વ્યાખ્યાનું પાલન કરે છે. તેથી,આ વિધાન સત્ય છે.

(A) બહુપદી એ એક એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોય છે.
પદાવલિ $8$ ને $8 \times x^0$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $x$ એ ચલ છે અને $0$ એ અનૃણ પૂર્ણાંક છે.
ચલનો ઘાતાંક $0$ હોવાથી,જે એક અનૃણ પૂર્ણાંક છે,તેથી $8$ એ બહુપદી છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,તેને અચળ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $\sqrt{3} x^{2}-2 x$ છે.
આ પદાવલિમાં,ચલ $x$ છે.
પદ $\sqrt{3} x^{2}$ અને $-2 x$ માં ચલ $x$ ના ઘાતાંક અનુક્રમે $2$ અને $1$ છે.
અહીં $2$ અને $1$ બંને પૂર્ણ સંખ્યાઓ હોવાથી,આ પદાવલિ બહુપદી હોવાની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,$\sqrt{3} x^{2}-2 x$ એ બહુપદી છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $1-\sqrt{5x} = 1-\sqrt{5} \cdot x^{\frac{1}{2}}$ છે.
બહુપદી એ એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં તમામ ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યા) હોવા જોઈએ.
પદ $\sqrt{5} \cdot x^{\frac{1}{2}}$ માં,ચલ $x$ નો ઘાતાંક $\frac{1}{2}$ છે,જે પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
તેથી,આપેલ પદાવલિ બહુપદી નથી.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{1}{5 x^{-2}}+5 x+7$
ઘાતાંકના નિયમ $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$\frac{1}{5} x^{2}+5 x+7$
આ પદાવલિમાં,ચલ $x$ ના ઘાતાંકો $2$,$1$,અને $0$ છે (કારણ કે $7 = 7x^0$ થાય).
બધા જ ઘાતાંકો અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યાઓ) હોવાથી,આપેલ પદાવલિ એક બહુપદી છે.

(N/A) સૌ પ્રથમ,અંશનું વિસ્તરણ કરો: $(x-2)(x-4) = x^2 - 4x - 2x + 8 = x^2 - 6x + 8$.
હવે,દરેક પદને $x$ વડે ભાગો: $\frac{x^2 - 6x + 8}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{6x}{x} + \frac{8}{x} = x - 6 + 8x^{-1}$.
બહુપદી એ એક એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યા) હોવા જોઈએ.
પદાવલિ $x - 6 + 8x^{-1}$ માં,ત્રીજા પદ $8x^{-1}$ નો ઘાતાંક $-1$ છે,જે પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
તેથી,આપેલી પદાવલિ બહુપદી નથી.

(N/A) બહુપદી એ એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યાઓ) હોય છે.
આપેલ પદાવલિ $\frac{1}{x+1} = (x+1)^{-1}$ છે.
આ પદાવલિમાં,ચલ $x$ નો ઘાતાંક $-1$ છે,જે પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
તેથી,આપેલ બીજગણિતીય પદાવલિ બહુપદી નથી.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{1}{7} a^{3}-\frac{2}{\sqrt{3}} a^{2}+4 a-7$ છે.
બહુપદી એ એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યાઓ) હોય છે.
આપેલ પદાવલિમાં,ચલ $a$ ના ઘાતાંક $3$,$2$ અને $1$ (પદ $4a$ માટે) છે,અને અચળ પદ $-7$ ને $-7a^0$ તરીકે લખી શકાય છે.
અહીં તમામ ઘાતાંક $(3, 2, 1, 0)$ પૂર્ણ સંખ્યાઓ હોવાથી,આ પદાવલિ એક બહુપદી છે.

(N/A) $\frac{1}{2x} = \frac{1}{2} x^{-1}$
અહીં,ચલ $x$ નો ઘાતાંક $-1$ છે,જે પૂર્ણ સંખ્યા નથી.
બહુપદી એટલે એવી બીજગણિતીય પદાવલિ કે જેમાં તમામ ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યા) હોય.
અહીં $-1$ એ પૂર્ણ સંખ્યા ન હોવાથી,આ બીજગણિતીય પદાવલિ બહુપદી નથી.

(B) આપેલ વિધાન $False$ (ખોટું) છે.
દ્વિપદીની વ્યાખ્યા એવી બહુપદી તરીકે કરવામાં આવે છે જેમાં બરાબર $2$ પદ હોય છે. જો બહુપદીમાં $2$ કરતા ઓછા પદ હોય,તો તેને એકપદી કહેવાય છે,અને જો તેમાં $2$ કરતા વધારે પદ હોય,તો તેને ત્રિપદી અથવા સામાન્ય બહુપદી કહેવાય છે. તેથી,દ્વિપદીમાં 'વધુમાં વધુ' બે પદ ન હોઈ શકે; તેમાં બરાબર $2$ પદ હોવા જ જોઈએ.

(FALSE) બહુપદી એકપદી,દ્વિપદી,ત્રિપદી હોઈ શકે છે અથવા તેમાં પદોની સંખ્યા નિશ્ચિત હોઈ શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$x^{4} + x^{3} + x^{2} + 1$ એ એક બહુપદી છે,પરંતુ તે દ્વિપદી નથી કારણ કે તેમાં ચાર પદો છે.
તેથી,આપેલ વિધાન અસત્ય છે.

(A) આ વિધાન ખરું છે.
દ્વિપદી એટલે એવી બહુપદી જેમાં બરાબર બે પદ હોય.
બહુપદીની ઘાત એટલે તેમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
દ્વિપદીની ઘાત પર કોઈ પ્રતિબંધ નથી,સિવાય કે તે અનૃણ પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ.
ઉદાહરણ તરીકે,પદાવલિ $x^{5} + 2$ એ એક દ્વિપદી છે કારણ કે તેમાં બે પદ છે અને તેની ઘાત $5$ છે.

(FALSE) આપેલ વિધાન ખોટું છે.
સમર્થન: બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય એ એવી કિંમત $k$ છે કે જેના માટે $p(k) = 0$ થાય. ઉદાહરણ તરીકે,બહુપદી $p(x) = x - 2$ લો. $p(x) = 0$ લેતા,આપણને $x - 2 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$. અહીં,$2$ એ બહુપદીનું શૂન્ય છે,જે $0$ નથી. તેથી,બહુપદીનું શૂન્ય કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે,માત્ર $0$ જ હોય તે જરૂરી નથી.

(B) આપેલ વિધાન અસત્ય છે.
સમર્થન: બહુપદીને એકથી વધુ શૂન્ય હોઈ શકે છે. બહુપદીના શૂન્યોની સંખ્યા તેની ઘાત પર આધાર રાખે છે. બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$n$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને વધુમાં વધુ $n$ વાસ્તવિક શૂન્યો હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે,દ્વિઘાત બહુપદી $(\text{degree} = 2)$ ને વધુમાં વધુ $2$ શૂન્યો હોઈ શકે છે,અને ત્રિઘાત બહુપદી $(\text{degree} = 3)$ ને વધુમાં વધુ $3$ શૂન્યો હોઈ શકે છે.

(FALSE) આપેલ વિધાન ખોટું છે.
સમર્થન: બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
ધારો કે બે બહુપદીઓ $P(x) = -x^{5} + 3x^{2} + 4$ અને $Q(x) = x^{5} + x^{4} + 2x^{3} + 3$ છે.
આ બંને બહુપદીઓની ઘાત $5$ છે.
હવે,તેમનો સરવાળો કરીએ: $P(x) + Q(x) = (-x^{5} + 3x^{2} + 4) + (x^{5} + x^{4} + 2x^{3} + 3) = x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + 7$.
પરિણામી બહુપદીની ઘાત $4$ છે,જે $5$ નથી. તેથી,આ વિધાન ખોટું છે.

(B) બહુપદી $p(x)$ એ $g(x)$ નો અવયવી ત્યારે જ કહેવાય જો $g(x)$ એ $p(x)$ ને નિઃશેષ ભાગે,જેનો અર્થ છે કે શેષ $0$ હોવી જોઈએ.
જ્યારે $p(x)$ ને $g(x) = 2 - 3x$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે,આપણે $g(x) = 0$ લઈએ છીએ:
$2 - 3x = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$.
હવે,આપણે $p\left(\frac{2}{3}\right)$ ની કિંમત શોધીએ:
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^{3} - \left(\frac{2}{3}\right) + 1$
$= \frac{8}{27} - \frac{2}{3} + 1$
$= \frac{8 - 18 + 27}{27} = \frac{17}{27}$.
અહીં શેષ $\frac{17}{27} \neq 0$ હોવાથી,$p(x)$ એ $g(x)$ નો અવયવી નથી.

(YES) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $g(x)$ નું શૂન્ય $a$ હોય અને $p(a) = 0$ થાય,તો $g(x)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
પ્રથમ,$g(x)$ નું શૂન્ય શોધો:
$g(x) = \frac{x}{3} - \frac{1}{4} = 0$
$\frac{x}{3} = \frac{1}{4}$
$x = \frac{3}{4}$
હવે,$p\left(\frac{3}{4}\right)$ ની કિંમત શોધો:
$p\left(\frac{3}{4}\right) = 8\left(\frac{3}{4}\right)^3 - 6\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 4\left(\frac{3}{4}\right) + 3$
$= 8 \times \frac{27}{64} - 6 \times \frac{9}{16} - 3 + 3$
$= \frac{27}{8} - \frac{54}{16} - 3 + 3$
$= \frac{27}{8} - \frac{27}{8} - 3 + 3 = 0$
અહીં $p\left(\frac{3}{4}\right) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ $g(x)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3} - ax^{2} + 2x + a - 1$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x - a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(a) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = a$ મૂકતા:
$p(a) = (a)^{3} - a(a)^{2} + 2(a) + a - 1 = 0$.
$a^{3} - a^{3} + 2a + a - 1 = 0$.
$3a - 1 = 0$.
$3a = 1$.
તેથી,$a = 1/3$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)$.
જો $x+y+z = 0$ હોય,તો $x^{3}+y^{3}+z^{3} = 3xyz$ થાય.
આપણે $48^{3}-30^{3}-18^{3}$ ની કિંમત શોધવાની છે,જેને $48^{3}+(-30)^{3}+(-18)^{3}$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $x = 48$,$y = -30$,અને $z = -18$.
સરવાળો તપાસો: $x+y+z = 48 + (-30) + (-18) = 48 - 48 = 0$.
કારણ કે સરવાળો $0$ છે,આપણે $x^{3}+y^{3}+z^{3} = 3xyz$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
તેથી,$48^{3}+(-30)^{3}+(-18)^{3} = 3 \times 48 \times (-30) \times (-18)$.
ગુણાકાર કરતા: $3 \times 48 = 144$,અને $(-30) \times (-18) = 540$.
$144 \times 540 = 77760$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$.
જો $a+b+c = 0$ હોય,તો $a^{3}+b^{3}+c^{3} = 3abc$ થાય.
ધારો કે $a = (x-y)$,$b = (y-z)$,અને $c = (z-x)$.
હવે,તેમનો સરવાળો $a+b+c = (x-y) + (y-z) + (z-x) = x - x + y - y + z - z = 0$ મળે છે.
અહીં સરવાળો $0$ હોવાથી,આપણે $a^{3}+b^{3}+c^{3} = 3abc$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરી શકીએ.
તેથી,$(x-y)^{3}+(y-z)^{3}+(z-x)^{3} = 3(x-y)(y-z)(z-x)$.

(A) આપેલ પદાવલિ $x^{2}+x+1$ છે.
આ પદાવલિમાં માત્ર એક જ ચલ $x$ નો ઉપયોગ થયો છે.
તેથી,આ એક ચલવાળી બહુપદી છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $y^{3}-5y$ છે.
આ પદાવલિમાં માત્ર એક જ ચલ $y$ રહેલો છે.
તેથી,આ એક ચલવાળી બહુપદી છે.

(N/A) પદાવલિ $x y + y z + z x$ માં ત્રણ અલગ-અલગ ચલ $x$,$y$ અને $z$ નો સમાવેશ થાય છે. તેથી,આ ત્રણ ચલવાળી બહુપદી છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $x^{2}-2xy+y^{2}+1$ છે.
આ પદાવલિમાં $x$ અને $y$ એમ બે ચલ રહેલા છે.
તેથી,આ બે ચલવાળી બહુપદી છે.

(1) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $2x - 1$ માં,ચલ $x$ છે.
પદ $2x$ ને $2x^1$ તરીકે લખી શકાય છે.
અહીં ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $1$ હોવાથી,બહુપદી $2x - 1$ ની ઘાત $1$ છે.

(0) આપેલ પદ $-10$ છે.
$-10$ ને $-10 \times x^0$ તરીકે લખી શકાય છે.
અહીં ચલ $x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવાથી,શૂન્યતર અચળ બહુપદીની ઘાત $0$ થાય છે.

(B) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $x^{3}-9x+3x^{5}$ માં,$x$ ની ઘાત $3$,$1$ અને $5$ છે.
આ ઘાતાંકોમાં સૌથી મોટી ઘાત $5$ છે.
તેથી,બહુપદી $x^{3}-9x+3x^{5}$ ની ઘાત $5$ છે.