Mix Examples - Polynomials Questions in Hindi

(7) बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए,पहले व्यंजक को सरल कीजिए:
$y^{3}(1-y^{4}) = y^{3} - y^{3+4} = y^{3} - y^{7}$.
बहुपद की घात को व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
व्यंजक $y^{3} - y^{7}$ में,$y$ की घातें $3$ और $7$ हैं।
उच्चतम घात $7$ है।
अतः,बहुपद की घात $7$ है।

(N/A) $(i)$ बहुपद की घात बहुपद में चर की उच्चतम घात होती है। दिए गए बहुपद $\frac{1}{5}x^{3} + \frac{2}{5}x + \frac{1}{5} - \frac{7}{2}x^{2} - x^{6}$ में,$x$ की उच्चतम घात $6$ है। अतः,बहुपद की घात $6$ है।
$(ii)$ $x^{3}$ वाला पद $\frac{x^{3}}{5}$ है,जिसे $\frac{1}{5}x^{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए,$x^{3}$ का गुणांक $\frac{1}{5}$ है।
$(iii)$ $x^{6}$ वाला पद $-x^{6}$ है,जो $-1 \cdot x^{6}$ है। इसलिए,$x^{6}$ का गुणांक $-1$ है।
$(iv)$ अचर पद वह पद है जिसमें $x$ नहीं होता है। विस्तारित रूप $\frac{1}{5}x^{3} - \frac{7}{2}x^{2} + \frac{2}{5}x + \frac{1}{5}$ में,अचर पद $\frac{1}{5}$ है।

(N/A) $(i)$ दिया गया बहुपद $\frac{\pi}{6} x + 1 \cdot x^{2} - 1$ है। इसे मानक रूप से तुलना करने पर,$x^{2}$ का गुणांक $1$ है।
$(ii)$ दिए गए बहुपद $3x - 5$ को $0 \cdot x^{2} + 3x - 5$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,इस बहुपद में $x^{2}$ का गुणांक $0$ है।

(N/A) $(i)$ दिए गए बहुपद का विस्तार इस प्रकार किया जा सकता है:
$(x-1)(3 x-4) = 3 x^{2} - 4 x - 3 x + 4$
$= 3 x^{2} - 7 x + 4$
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c$ से तुलना करने पर,$x^{2}$ का गुणांक $3$ है।
$(ii)$ दिए गए बहुपद का विस्तार इस प्रकार किया जा सकता है:
$(2 x-5)(2 x^{2}-3 x+1) = 2 x(2 x^{2}-3 x+1) - 5(2 x^{2}-3 x+1)$
$= 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x - 10 x^{2} + 15 x - 5$
$= 4 x^{3} - 16 x^{2} + 17 x - 5$
इसे मानक रूप से तुलना करने पर,$x^{2}$ का गुणांक $-16$ है।

(D) $n$ घात वाले बहुपद को व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।
दिए गए बहुपद $p(x) = 2 - x^{2} + x^{3}$ के लिए,चर $x$ की उच्चतम घात $3$ है।
$3$ घात वाले बहुपद को त्रिघात बहुपद कहा जाता है।
अतः,$2 - x^{2} + x^{3}$ एक त्रिघात बहुपद है।

(D) $3$ घात वाले बहुपद को त्रिघात बहुपद कहा जाता है।
चूंकि बहुपद $3x^3$ की घात $3$ है,इसलिए यह एक त्रिघात बहुपद है।

(B) $1$ घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहा जाता है।
व्यंजक $5t - \sqrt{7}$ में,चर $t$ की घात $1$ है।
चूंकि चर की अधिकतम घात $1$ है,इसलिए $5t - \sqrt{7}$ एक रैखिक बहुपद है।

(C) $1$ घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहा जाता है।
$2$ घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहा जाता है।
$3$ घात वाले बहुपद को त्रिघात बहुपद कहा जाता है।
व्यंजक $4-5 y^{2}$ में,चर $y$ की उच्चतम घात $2$ है।
चूंकि बहुपद की घात $2$ है,इसलिए यह एक द्विघात बहुपद है।

(A) व्यंजक $3$ एक अचर बहुपद है।
इसका कारण यह है कि $3$ को $3x^0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ चर $x$ का घातांक $0$ है।
$0$ घात वाले बहुपद को अचर बहुपद के रूप में परिभाषित किया जाता है।

(B) $1$ घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहा जाता है।
दिया गया बहुपद $p(x) = 2+x$ है।
इस व्यंजक में चर $x$ की उच्चतम घात $1$ है।
अतः,$2+x$ एक रैखिक बहुपद है।

(D) बहुपद का वर्गीकरण उसकी घात के आधार पर किया जाता है,जो व्यंजक में उपस्थित चर की उच्चतम घात होती है।
दिए गए बहुपद $p(y) = y^{3}-y$ के लिए,चर $y$ की उच्चतम घात $3$ है।
$3$ घात वाले बहुपद को त्रिघात बहुपद कहा जाता है।
अतः,$y^{3}-y$ एक त्रिघात बहुपद है।

(C) $1$ घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद,$2$ घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद और $3$ घात वाले बहुपद को त्रिघात बहुपद कहा जाता है।
दिए गए व्यंजक $1+x+x^{2}$ में,चर $x$ की उच्चतम घात $2$ है।
चूंकि बहुपद की घात $2$ है,इसलिए इसे द्विघात बहुपद के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

(QUADRATIC) $2$ घात वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहा जाता है।
चूंकि बहुपद $t^{2}$ की घात $2$ है,इसलिए यह एक द्विघात बहुपद है।

(B) $1$ घात वाले बहुपद को रैखिक बहुपद कहा जाता है।
दिया गया व्यंजक $\sqrt{2} x - 1$ है।
चूंकि चर $x$ की उच्चतम घात $1$ है,इसलिए बहुपद की घात $1$ है।
अतः,$\sqrt{2} x - 1$ एक रैखिक बहुपद है।

(N/A) जिस बहुपद में केवल एक पद होता है उसे एकपदी कहा जाता है,जिस बहुपद में केवल दो पद होते हैं उसे द्विपद कहा जाता है,और जिस बहुपद में केवल तीन पद होते हैं उसे त्रिपद कहा जाता है।
$(i)$ $3x$,$1$ घात वाला एकपदी है।
$(ii)$ $x^{20} - 7$,$20$ घात वाला द्विपद है।
$(iii)$ $5x^2 + 3x - 1$,$2$ घात वाला त्रिपद है।

(B) माना बहुपद $p(x) = 3x^{3} - 4x^{2} + 7x - 5$ है।
$x = 3$ पर बहुपद का मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x$ के स्थान पर $3$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$p(3) = 3(3)^{3} - 4(3)^{2} + 7(3) - 5$
घातों की गणना करने पर:
$p(3) = 3(27) - 4(9) + 21 - 5$
गुणा करने पर:
$p(3) = 81 - 36 + 21 - 5$
जोड़ने और घटाने पर:
$p(3) = 45 + 21 - 5 = 66 - 5 = 61$.
अतः,$x = 3$ पर बहुपद का मान $61$ है।

(C) माना कि बहुपद $p(x) = 3x^{3} - 4x^{2} + 7x - 5$ है।
$x = -3$ पर मान ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद में $x$ के स्थान पर $-3$ प्रतिस्थापित करेंगे:
$p(-3) = 3(-3)^{3} - 4(-3)^{2} + 7(-3) - 5$
घातों की गणना करने पर:
$p(-3) = 3(-27) - 4(9) - 21 - 5$
गुणा करने पर:
$p(-3) = -81 - 36 - 21 - 5$
ऋणात्मक संख्याओं का योग करने पर:
$p(-3) = -143$.

(D) दिया गया बहुपद $p(x) = x^2 - 4x + 3$ है।
सबसे पहले,$p(2)$ का मान ज्ञात करें:
$p(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
इसके बाद,$p(-1)$ का मान ज्ञात करें:
$p(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$.
फिर,$p\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात करें:
$p\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{2}\right) + 3 = \frac{1}{4} - 2 + 3 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$.
अंत में,व्यंजक $p(2) - p(-1) + p\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान निकालें:
$= -1 - 8 + \frac{5}{4} = -9 + \frac{5}{4} = \frac{-36 + 5}{4} = \frac{-31}{4}$.

दिया गया बहुपद $p(x) = 10x - 4x^{2} - 3$ है।
$(i)$ $p(0)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(0) = 10(0) - 4(0)^{2} - 3 = 0 - 0 - 3 = -3$.
$(ii)$ $p(1)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1) = 10(1) - 4(1)^{2} - 3 = 10 - 4 - 3 = 3$.
$(iii)$ $p(-2)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x = -2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-2) = 10(-2) - 4(-2)^{2} - 3 = -20 - 4(4) - 3 = -20 - 16 - 3 = -39$.

(N/A) दिया गया बहुपद $p(y) = (y+2)(y-2)$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को $p(y) = y^2 - 4$ के रूप में सरल कर सकते हैं।
चरण $1$: $p(0)$ ज्ञात कीजिए।
$p(0) = (0)^2 - 4 = 0 - 4 = -4$.
चरण $2$: $p(1)$ ज्ञात कीजिए।
$p(1) = (1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.
चरण $3$: $p(-2)$ ज्ञात कीजिए।
$p(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.

(B) एक बहुपद $p(x)$ का शून्यक वह संख्या $c$ है जिसके लिए $p(c) = 0$ होता है।
माना $p(x) = x - 3$ है।
यह जाँचने के लिए कि $-3$ एक शून्यक है या नहीं,हम $p(-3)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(-3) = -3 - 3 = -6$ है।
चूँकि $p(-3) = -6 \neq 0$ है,इसलिए $-3$ बहुपद $x - 3$ का शून्यक नहीं है।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।

(A) किसी बहुपद $p(x)$ का शून्यक वह संख्या $c$ है जिसके लिए $p(c) = 0$ हो।
माना $p(x) = 3x + 1$ है।
सत्यापित करने के लिए,$x = -\frac{1}{3}$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें:
$p\left(-\frac{1}{3}\right) = 3\left(-\frac{1}{3}\right) + 1$
$p\left(-\frac{1}{3}\right) = -1 + 1 = 0$ है।
चूंकि $p\left(-\frac{1}{3}\right) = 0$ है,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $-\frac{1}{3}$ बहुपद $3x + 1$ का एक शून्यक है। अतः,दिया गया कथन सत्य है।

(FALSE) एक बहुपद $p(y)$ का शून्यक वह मान $c$ है जिसके लिए $p(c) = 0$ हो।
माना $p(y) = 4 - 5y$.
बहुपद में $y = -\frac{4}{5}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p\left(-\frac{4}{5}\right) = 4 - 5\left(-\frac{4}{5}\right)$
$p\left(-\frac{4}{5}\right) = 4 + 4 = 8$.
चूंकि $p\left(-\frac{4}{5}\right) \neq 0$,इसलिए दिया गया कथन असत्य है।
अतः,$-\frac{4}{5}$,$4 - 5y$ का शून्यक नहीं है।

(TRUE) किसी बहुपद $p(t)$ का शून्यक एक ऐसी संख्या $c$ है जिसके लिए $p(c) = 0$ हो।
माना $p(t) = t^{2} - 2t$.
$t = 0$ के लिए:
$p(0) = (0)^{2} - 2(0) = 0 - 0 = 0$.
$t = 2$ के लिए:
$p(2) = (2)^{2} - 2(2) = 4 - 4 = 0$.
चूंकि $p(0) = 0$ और $p(2) = 0$ है,इसलिए दिया गया कथन सत्य है। अतः,$0$ और $2$ बहुपद $t^{2} - 2t$ के शून्यक हैं।

(TRUE) एक बहुपद $p(y)$ का शून्यक वह संख्या $c$ है जिसके लिए $p(c) = 0$ होता है।
माना $p(y) = y^{2} + y - 6$ है।
बहुपद में $y = -3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-3) = (-3)^{2} + (-3) - 6$
$p(-3) = 9 - 3 - 6$
$p(-3) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p(-3) = 0$ है,इसलिए यह सत्य है कि $-3$,बहुपद $y^{2} + y - 6$ का एक शून्यक है।

(D) बहुपद $p(x)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
दिया गया है $p(x) = x - 4$।
बहुपद को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 4 = 0$
समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर:
$x = 4$
अतः,बहुपद $p(x) = x - 4$ का शून्यक $4$ है।

(A) बहुपद $g(x) = 3 - 6x$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $g(x) = 0$ रखते हैं।
$3 - 6x = 0$
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर:
$-6x = -3$
दोनों पक्षों को $-6$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{-3}{-6}$
भिन्न को सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{1}{2}$
अतः,बहुपद $g(x) = 3 - 6x$ का शून्यक $\frac{1}{2}$ है।

(B) बहुपद $q(x) = 2x - 7$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद को शून्य के बराबर रखते हैं:
$q(x) = 0$
$2x - 7 = 0$
दोनों पक्षों में $7$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x = 7$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{7}{2}$
अतः,बहुपद $q(x) = 2x - 7$ का शून्यक $\frac{7}{2}$ है।

(C) बहुपद $h(y) = 2y$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद को शून्य के बराबर रखते हैं।
$h(y) = 0$
$2y = 0$
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = 0$
अतः,$0$ बहुपद $h(y) = 2y$ का शून्यक है।

(D) बहुपद $p(x)$ के शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
दिया गया है $p(x) = (x-2)^{2} - (x+2)^{2}$।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = (x-2)$ और $b = (x+2)$ है:
$p(x) = [(x-2) - (x+2)] \cdot [(x-2) + (x+2)] = 0$
$p(x) = (x - 2 - x - 2) \cdot (x - 2 + x + 2) = 0$
$p(x) = (-4) \cdot (2x) = 0$
$-8x = 0$
$x = 0$
अतः,बहुपद का शून्यक $0$ है।

(N/A) $x^{4}+1$ को $x+1$ से विभाजित करने के लिए,हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करते हैं:
भाजक $x+1$ है और भाज्य $x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+0x+1$ है।
$1$. भाज्य के पहले पद $(x^{4})$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $x^{3}$ प्राप्त होता है।
$2$. $x^{3}(x+1) = x^{4}+x^{3}$ का गुणा करें और भाज्य से घटाएं: $(x^{4}+0x^{3}) - (x^{4}+x^{3}) = -x^{3}$।
$3$. अगले पद $(0x^{2})$ को नीचे उतारने पर $-x^{3}+0x^{2}$ प्राप्त होता है।
$4$. $-x^{3}$ को $x$ से विभाजित करने पर $-x^{2}$ प्राप्त होता है। $-x^{2}(x+1) = -x^{3}-x^{2}$ का गुणा करें और घटाएं: $(-x^{3}+0x^{2}) - (-x^{3}-x^{2}) = x^{2}$।
$5$. $0x$ को नीचे उतारने पर $x^{2}+0x$ प्राप्त होता है। $x^{2}$ को $x$ से विभाजित करने पर $x$ प्राप्त होता है। $x(x+1) = x^{2}+x$ का गुणा करें और घटाएं: $(x^{2}+0x) - (x^{2}+x) = -x$।
$6$. $1$ को नीचे उतारने पर $-x+1$ प्राप्त होता है। $-x$ को $x$ से विभाजित करने पर $-1$ प्राप्त होता है। $-1(x+1) = -x-1$ का गुणा करें और घटाएं: $(-x+1) - (-x-1) = 2$।
अतः,भागफल $x^{3}-x^{2}+x-1$ है और शेषफल $2$ है।

(B) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ $g(x) = x + 1$ दिया गया है,इसलिए $x$ का मान ज्ञात करने के लिए $g(x) = 0$ रखने पर:
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.
अब,$p(x)$ में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-1) = (-1)^{3} - 2(-1)^{2} - 4(-1) - 1$
$p(-1) = -1 - 2(1) + 4 - 1$
$p(-1) = -1 - 2 + 4 - 1$
$p(-1) = -4 + 4 = 0$.
अतः,शेषफल $0$ है।

(C) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ $g(x) = x - 3$ दिया गया है,इसलिए $x$ का मान ज्ञात करने के लिए $g(x) = 0$ रखने पर:
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.
अब,$p(x)$ में $x = 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(3) = (3)^{3} - 3(3)^{2} + 4(3) + 50$
$p(3) = 27 - 3(9) + 12 + 50$
$p(3) = 27 - 27 + 12 + 50$
$p(3) = 0 + 62 = 62$.
अतः,शेषफल $62$ है।

(A) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि बहुपद $p(x)$ को $(ax - b)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p\left(\frac{b}{a}\right)$ होता है।
यहाँ $g(x) = 2x - 1$ दिया गया है,इसलिए $g(x) = 0$ रखने पर:
$2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.
अब,$p(x)$ में $x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$p\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 12\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 14\left(\frac{1}{2}\right) - 3$.
$p\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{8}\right) - 12\left(\frac{1}{4}\right) + 7 - 3$.
$p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - 3 + 7 - 3$.
$p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.
अतः,शेषफल $\frac{3}{2}$ है।

(A) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि बहुपद $p(x)$ को $g(x) = ax + b$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(-b/a)$ होता है।
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए $g(x) = 0$ रखें:
$1 - \frac{3}{2}x = 0$
$\frac{3}{2}x = 1$
$x = \frac{2}{3}$
अब,$p(x)$ में $x = \frac{2}{3}$ रखें:
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^{3} - 6\left(\frac{2}{3}\right)^{2} + 2\left(\frac{2}{3}\right) - 4$
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} - 6\left(\frac{4}{9}\right) + \frac{4}{3} - 4$
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} - \frac{24}{9} + \frac{4}{3} - 4$
इन्हें जोड़ने के लिए,उभयनिष्ठ हर $27$ लें:
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} - \frac{72}{27} + \frac{36}{27} - \frac{108}{27}$
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8 - 72 + 36 - 108}{27}$
$p\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{-136}{27}$

(N/A) एक बहुपद $p(x)$,$g(x)$ का गुणज तब होता है यदि $g(x)$,$p(x)$ को पूरी तरह विभाजित करे,जिसका अर्थ है कि शेषफल $0$ होना चाहिए।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि $g(x) = x - 2$ है,तो $x - 2 = 0$ रखने पर $x = 2$ प्राप्त होता है।
अब,$p(2)$ का मान ज्ञात करके शेषफल की गणना करते हैं:
$p(2) = (2)^{3} - 5(2)^{2} + 4(2) - 3$
$p(2) = 8 - 5(4) + 8 - 3$
$p(2) = 8 - 20 + 8 - 3$
$p(2) = -7$
चूंकि शेषफल $-7$ है,जो $0$ के बराबर नहीं है,इसलिए $p(x)$,$g(x)$ का गुणज नहीं है।

(B) एक बहुपद $p(x)$,$g(x)$ का गुणज तब होता है यदि $g(x)$,$p(x)$ को पूर्णतः विभाजित करे,जिसका अर्थ है कि शेषफल $0$ होना चाहिए।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि हम $p(x)$ को $g(x) = 2x + 1$ से विभाजित करते हैं,तो $x$ का मान ज्ञात करने के लिए $g(x) = 0$ रखते हैं:
$2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$.
अब,$p(-\frac{1}{2})$ की गणना करते हैं:
$p(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{2})^3 - 11(-\frac{1}{2})^2 - 4(-\frac{1}{2}) + 5$
$= 2(-\frac{1}{8}) - 11(\frac{1}{4}) + 2 + 5$
$= -\frac{1}{4} - \frac{11}{4} + 7$
$= \frac{-1 - 11 + 28}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
चूँकि शेषफल $4$ है,जो $0$ के बराबर नहीं है,इसलिए $p(x)$,$g(x)$ का गुणज नहीं है।

(N/A) माना $p(x) = 69 + 11x - x^2 + x^3$ और $g(x) = x + 3$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $g(a) = 0$ होने पर $p(a) = 0$ हो,तो $g(x)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है।
$g(x) = x + 3 = 0$ रखने पर,हमें $x = -3$ प्राप्त होता है।
अब,$p(-3)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(-3) = 69 + 11(-3) - (-3)^2 + (-3)^3$
$p(-3) = 69 - 33 - 9 - 27$
$p(-3) = 69 - 69 = 0$.
चूंकि $p(-3) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार $x + 3$,$69 + 11x - x^2 + x^3$ का एक गुणनखंड है।

(N/A) माना $p(x) = 2x^3 - 9x^2 + x + 12$ और $g(x) = 2x - 3$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $g(x)$ का शून्यक $x = a$ है और $p(a) = 0$ है,तो $g(x)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
$g(x) = 0$ रखने पर,$2x - 3 = 0$,जिससे $x = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$p\left(\frac{3}{2}\right)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p\left(\frac{3}{2}\right) = 2\left(\frac{3}{2}\right)^3 - 9\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right) + 12$
$= 2\left(\frac{27}{8}\right) - 9\left(\frac{9}{4}\right) + \frac{3}{2} + 12$
$= \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + \frac{6}{4} + \frac{48}{4}$
$= \frac{27 - 81 + 6 + 48}{4} = \frac{81 - 81}{4} = \frac{0}{4} = 0$.
चूंकि $p\left(\frac{3}{2}\right) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार $2x - 3$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।

(A) हम जानते हैं कि यदि $(x-a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(a) = 0$ होगा।
$(i)$ मान लीजिए $p(x) = 3x^2 + 6x - 24$ है।
यदि $(x-2)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(2)$ का मान $0$ होना चाहिए।
$p(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 24 = 3(4) + 12 - 24 = 12 + 12 - 24 = 0$।
चूंकि $p(2) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x-2)$,$3x^2 + 6x - 24$ का एक गुणनखंड है।
$(ii)$ मान लीजिए $p(x) = 4x^2 + x - 2$ है।
यदि $(x-2)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(2)$ का मान $0$ होना चाहिए।
$p(2) = 4(2)^2 + 2 - 2 = 4(4) + 0 = 16$।
चूंकि $p(2)
eq 0$ है,इसलिए $(x-2)$,$4x^2 + x - 2$ का गुणनखंड नहीं है।

(N/A) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x-a)$ एक बहुपद $f(x)$ का गुणनखंड है,तो $f(a) = 0$ होता है।
बहुपद $f(p) = p^{10}-1$ के लिए,हम $p=1$ प्रतिस्थापित करके गुणनखंड $(p-1)$ की जाँच करते हैं:
$f(1) = (1)^{10} - 1 = 1 - 1 = 0$.
चूँकि शेषफल $0$ है,इसलिए $(p-1)$,$p^{10}-1$ का एक गुणनखंड है।
बहुपद $g(p) = p^{11}-1$ के लिए,हम $p=1$ प्रतिस्थापित करके गुणनखंड $(p-1)$ की जाँच करते हैं:
$g(1) = (1)^{11} - 1 = 1 - 1 = 0$.
चूँकि शेषफल $0$ है,इसलिए $(p-1)$,$p^{11}-1$ का एक गुणनखंड है।
अतः,यह सिद्ध होता है कि $(p-1)$,$p^{10}-1$ और $p^{11}-1$ दोनों का एक गुणनखंड है।

(A) यदि $x^{3}-2 m x^{2}+16$,$x+2$ से विभाज्य है,तो गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$x+2$,$p(x) = x^{3}-2 m x^{2}+16$ का एक गुणनखंड है।
$x+2$ के गुणनखंड होने के लिए,$p(-2) = 0$ होना चाहिए।
बहुपद में $x = -2$ रखने पर:
$p(-2) = (-2)^{3} - 2m(-2)^{2} + 16$
$p(-2) = -8 - 2m(4) + 16$
$p(-2) = -8 - 8m + 16$
$p(-2) = 8 - 8m$
$p(-2) = 0$ रखने पर:
$8 - 8m = 0$
$8m = 8$
$m = 1$
अतः,$m = 1$ के लिए,बहुपद $x+2$ से विभाज्य है।

(A) माना $p(x) = x^{5}-4a^{2}x^{3}+2x+2a+3$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x+2a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(-2a) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -2a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-2a) = (-2a)^{5} - 4a^{2}(-2a)^{3} + 2(-2a) + 2a + 3$
$p(-2a) = -32a^{5} - 4a^{2}(-8a^{3}) - 4a + 2a + 3$
$p(-2a) = -32a^{5} + 32a^{5} - 2a + 3$
$p(-2a) = -2a + 3$
चूँकि $p(-2a) = 0$,इसलिए:
$-2a + 3 = 0$
$2a = 3$
$a = \frac{3}{2}$

(B) माना $p(x) = 8x^4 + 4x^3 - 16x^2 + 10x + m$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(2x - 1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(\frac{1}{2}) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$8(\frac{1}{2})^4 + 4(\frac{1}{2})^3 - 16(\frac{1}{2})^2 + 10(\frac{1}{2}) + m = 0$
$8(\frac{1}{16}) + 4(\frac{1}{8}) - 16(\frac{1}{4}) + 5 + m = 0$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 4 + 5 + m = 0$
$1 - 4 + 5 + m = 0$
$2 + m = 0$
अतः,$m = -2$ प्राप्त होता है।

(C) माना $p(x) = ax^3 + x^2 - 2x + 4a - 9$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x+1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(-1) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a(-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) + 4a - 9 = 0$
व्यंजक को सरल करने पर:
$-a + 1 + 2 + 4a - 9 = 0$
समान पदों को जोड़ने पर:
$3a - 6 = 0$
$a$ का मान ज्ञात करने पर:
$3a = 6$
$a = 2$

(A) द्विघात व्यंजक $x^{2}+9x+18$ का गुणनखंड करने के लिए,हमें दो ऐसी संख्याएँ $p$ और $q$ ज्ञात करनी होंगी जिनका योग $p+q = 9$ और गुणनफल $pq = 18$ हो।
$18$ के गुणनखंडों को देखने पर,हम पाते हैं कि $6+3 = 9$ और $6 \times 3 = 18$ है।
अब,हम मध्य पद $9x$ को $6x + 3x$ के रूप में विभाजित करते हैं:
$x^{2}+9x+18 = x^{2}+6x+3x+18$
इसके बाद,हम पदों के समूह बनाते हैं और उभयनिष्ठ (common) पदों को बाहर निकालते हैं:
$= x(x+6) + 3(x+6)$
अंत में,$(x+6)$ को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लेने पर:
$= (x+6)(x+3)$

(N/A) द्विघात व्यंजक $6x^{2} + 7x - 3$ का गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करते हैं।
हमें दो ऐसी संख्याएँ $p$ और $q$ ज्ञात करनी हैं जिनका योग $p + q = 7$ ($x$ का गुणांक) हो और गुणनफल $p \times q = 6 \times (-3) = -18$ ($x^{2}$ के गुणांक और अचर पद का गुणनफल) हो।
स्पष्ट है कि,$9 + (-2) = 7$ और $9 \times (-2) = -18$ होता है।
अब,मध्य पद $7x$ को $9x - 2x$ के रूप में लिखने पर:
$6x^{2} + 9x - 2x - 3$
उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालने के लिए पदों को समूह में व्यवस्थित करने पर:
$= 3x(2x + 3) - 1(2x + 3)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(2x + 3)$ को कॉमन लेने पर:
$= (2x + 3)(3x - 1)$

(A) द्विघात बहुपद $2 x^{2}-7 x-15$ का गुणनखंड करने के लिए,हम दो ऐसी संख्याएँ $p$ और $q$ ढूँढते हैं जिनका योग $x$ का गुणांक यानी $-7$ हो और जिनका गुणनफल $x^{2}$ के गुणांक और अचर पद का गुणनफल यानी $2 \times (-15) = -30$ हो।
हमें $p+q = -7$ और $p q = -30$ चाहिए।
$-30$ के गुणनखंडों की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि $-10$ और $3$ इन शर्तों को पूरा करते हैं: $(-10) + 3 = -7$ और $(-10) \times 3 = -30$।
अब,मध्य पद $-7 x$ को $-10 x + 3 x$ के रूप में विभाजित करें:
$2 x^{2}-7 x-15 = 2 x^{2}-10 x+3 x-15$
समूह बनाकर गुणनखंड करें:
$= 2 x(x-5) + 3(x-5)$
$(x-5)$ को उभयनिष्ठ (common) गुणनखंड के रूप में लेने पर:
$= (x-5)(2 x+3)$

(B) $84 - 2r - 2r^2$ का गुणनखंड करने के लिए,पहले पदों को $r$ की घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें:
$-2r^2 - 2r + 84$
उभयनिष्ठ पद $-2$ को बाहर निकालें:
$-2(r^2 + r - 42)$
अब,द्विघात व्यंजक $r^2 + r - 42$ का गुणनखंड करें। हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $-42$ हो और योग $1$ हो:
ये संख्याएँ $7$ और $-6$ हैं।
अतः,$r^2 + 7r - 6r - 42 = r(r + 7) - 6(r + 7) = (r - 6)(r + 7)$।
इस प्रकार,अंतिम गुणनखंडित रूप है:
$-2(r - 6)(r + 7)$

(D) माना $f(x) = 2x^{3}-3x^{2}-17x+30$ एक दिया गया बहुपद है।
मानों का परीक्षण करने पर,हम पाते हैं $f(2) = 2(8) - 3(4) - 17(2) + 30 = 16 - 12 - 34 + 30 = 0$. अतः,$(x-2)$ एक गुणनखंड है।
$f(-3) = 2(-27) - 3(9) - 17(-3) + 30 = -54 - 27 + 51 + 30 = 0$ का परीक्षण करने पर। अतः,$(x+3)$ एक गुणनखंड है।
चूंकि $(x-2)$ और $(x+3)$ गुणनखंड हैं,इसलिए उनका गुणनफल $(x-2)(x+3) = x^{2}+x-6$ भी एक गुणनखंड है।
$2x^{3}-3x^{2}-17x+30$ को $(x^{2}+x-6)$ से विभाजित करने पर:
$2x^{3}-3x^{2}-17x+30 = (x^{2}+x-6)(2x-5)$.
$(x^{2}+x-6)$ का गुणनखंड $(x-2)(x+3)$ करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x^{3}-3x^{2}-17x+30 = (x-2)(x+3)(2x-5)$.