Textbook - Polynomials Questions in Hindi

(A) बहुपद की घात को बहुपद में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिए गए बहुपद $x^{5}-x^{4}+3$ में,चर $x$ की घातें $5$,$4$ और $0$ हैं (क्योंकि $3 = 3x^{0}$)।
इनमें सबसे बड़ी घात $5$ है।
अतः,बहुपद की घात $5$ है।

(B) किसी बहुपद की घात उस बहुपद में चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित की जाती है।
दिए गए बहुपद $2 - y^{2} - y^{3} + 2y^{8}$ में,चर $y$ की घातें $0, 2, 3$ और $8$ हैं।
इनमें सबसे बड़ी घात $8$ है।
अतः,बहुपद की घात $8$ है।

(C) दिया गया बहुपद एक अचर बहुपद $2$ है।
किसी भी शून्येतर अचर बहुपद को $a x^{0}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $a$ एक शून्येतर अचर है।
अतः,$2$ को $2 x^{0}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ चर $x$ का घातांक $0$ है।
इसलिए,अचर बहुपद $2$ की घात $0$ है।

(A) दिया गया व्यंजक $4 x^{2}-3 x+7$ है।
इस व्यंजक में,चर $x$ है।
पदों $4 x^{2}$,$-3 x^{1}$ और $7 x^{0}$ में $x$ के घातांक क्रमशः $2, 1$ और $0$ हैं।
चूंकि चर $x$ के सभी घातांक ऋणोत्तर पूर्णांक (पूर्ण संख्याएँ) हैं,इसलिए व्यंजक $4 x^{2}-3 x+7$ एक चर वाला बहुपद है।

(A) $(i)$ व्यंजक $2+x^2+x$ में,$x^2$ वाला पद $1x^2$ है।
अतः,$x^2$ का गुणांक $1$ है।
$(ii)$ व्यंजक $2-x^2+x^3$ में,$x^2$ वाला पद $-1x^2$ है।
अतः,$x^2$ का गुणांक $-1$ है।

(N/A) बहुपद की घात,बहुपद में चर की उच्चतम घात होती है।
द्विपद वह बहुपद है जिसमें दो पद होते हैं। इसलिए,$35$ घात वाले द्विपद को $x^{35} + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
एकपदी वह बहुपद है जिसमें केवल एक पद होता है। इसलिए,$100$ घात वाले एकपदी को $x^{100}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) बहुपद की घात बहुपद में चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित की जाती है।
$(i)$ बहुपद $5x^3 + 4x^2 + 7x$ के लिए:
यहाँ चर $x$ है। $x$ की घातें $3, 2$ और $1$ हैं। उच्चतम घात $3$ है। अतः,इस बहुपद की घात $3$ है।
$(ii)$ बहुपद $4 - y^2$ के लिए:
यहाँ चर $y$ है। $y$ की घात $2$ है। अतः,इस बहुपद की घात $2$ है।

(N/A) $(i)$ $x^{2}+x$
चूंकि $x^{2}+x$ की घात $2$ है,इसलिए यह एक द्विघात बहुपद है।
$(ii)$ $x-x^{3}$
चूंकि $x-x^{3}$ की घात $3$ है,इसलिए यह एक त्रिघात बहुपद है।
$(iii)$ $y+y^{2}+4$
चूंकि $y+y^{2}+4$ की घात $2$ है,इसलिए यह एक द्विघात बहुपद है।

(9) दिया गया बहुपद $p(x) = 5x^2 - 3x + 7$ है।
$x = 1$ पर बहुपद का मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x$ के स्थान पर $1$ प्रतिस्थापित करेंगे:
$p(1) = 5(1)^2 - 3(1) + 7$
$p(1) = 5(1) - 3 + 7$
$p(1) = 5 - 3 + 7$
$p(1) = 2 + 7$
$p(1) = 9$
अतः,$x = 1$ पर बहुपद का मान $9$ है।

(A) माना कि बहुपद $p(x) = x + 2$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $x = a$ बहुपद का शून्यक है,हम $p(a)$ का मान ज्ञात करते हैं। यदि $p(a) = 0$ है,तो $a$ एक शून्यक है।
$x = 2$ के लिए:
$p(2) = 2 + 2 = 4$.
चूंकि $p(2) \neq 0$,इसलिए $2$ बहुपद का शून्यक नहीं है।
$x = -2$ के लिए:
$p(-2) = -2 + 2 = 0$.
चूंकि $p(-2) = 0$,इसलिए $-2$ बहुपद का शून्यक है।
अतः,$-2$ बहुपद $x + 2$ का शून्यक है,लेकिन $2$ नहीं है।

(B) बहुपद $p(x)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद को शून्य के बराबर रखते हैं:
$p(x) = 0$
$2x + 1 = 0$
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$2x = -1$
दोनों पक्षों को $2$ से भाग देने पर:
$x = -\frac{1}{2}$
अतः,$-\frac{1}{2}$ बहुपद $p(x) = 2x + 1$ का शून्यक है।

(A) माना $p(x) = x^{2} - 2x$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $2$ एक शून्यक है,हम $p(2)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(2) = (2)^{2} - 2(2) = 4 - 4 = 0$ है।
चूँकि $p(2) = 0$ है,इसलिए $2$ बहुपद का एक शून्यक है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $0$ एक शून्यक है,हम $p(0)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(0) = (0)^{2} - 2(0) = 0 - 0 = 0$ है।
चूँकि $p(0) = 0$ है,इसलिए $0$ बहुपद का एक शून्यक है।
अतः,$2$ और $0$ दोनों बहुपद $x^{2} - 2x$ के शून्यक हैं।

(A) माना कि बहुपद $p(x) = 5x - 4x^2 + 3$ है।
$x = 0$ पर बहुपद का मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $x$ के स्थान पर $0$ प्रतिस्थापित करेंगे।
$p(0) = 5(0) - 4(0)^2 + 3$
$p(0) = 0 - 4(0) + 3$
$p(0) = 0 - 0 + 3$
$p(0) = 3$
अतः,$x = 0$ पर बहुपद का मान $3$ है।

(N/A) दिया गया बहुपद: $p(y) = y^{2} - y + 1$.
$p(0)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $y = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(0) = (0)^{2} - (0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$.
$p(1)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $y = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1) = (1)^{2} - (1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$.
$p(2)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $y = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(2) = (2)^{2} - (2) + 1 = 4 - 2 + 1 = 3$.

(N/A) दिया गया बहुपद: $p(t) = 2 + t + 2t^2 - t^3$.
$p(0)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $t = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(0) = 2 + (0) + 2(0)^2 - (0)^3 = 2 + 0 + 0 - 0 = 2$.
$p(1)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $t = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1) = 2 + (1) + 2(1)^2 - (1)^3 = 2 + 1 + 2(1) - 1 = 2 + 1 + 2 - 1 = 4$.
$p(2)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $t = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(2) = 2 + (2) + 2(2)^2 - (2)^3 = 2 + 2 + 2(4) - 8 = 2 + 2 + 8 - 8 = 4$.

दिया गया बहुपद $p(x) = x^{3}$ है।
$p(0)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(0) = (0)^{3} = 0$.
$p(1)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1) = (1)^{3} = 1$.
$p(2)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(2) = (2)^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$.

(N/A) दिया गया बहुपद $p(x) = (x - 1)(x + 1)$ है।
$p(0)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(0) = (0 - 1)(0 + 1) = (-1)(1) = -1$.
$p(1)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(1) = (1 - 1)(1 + 1) = (0)(2) = 0$.
$p(2)$ ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(2) = (2 - 1)(2 + 1) = (1)(3) = 3$.

(A) यह सत्यापित करने के लिए कि क्या $x = -\frac{1}{3}$ बहुपद $p(x) = 3x + 1$ का एक शून्यक है,हम $x = -\frac{1}{3}$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करते हैं।
$p\left(-\frac{1}{3}\right) = 3\left(-\frac{1}{3}\right) + 1$
$p\left(-\frac{1}{3}\right) = -1 + 1$
$p\left(-\frac{1}{3}\right) = 0$
चूंकि $x = -\frac{1}{3}$ पर बहुपद का मान $0$ है,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $x = -\frac{1}{3}$ दिए गए बहुपद का एक शून्यक है।

(B) यह जाँचने के लिए कि क्या $x = \frac{4}{5}$ बहुपद $p(x) = 5x - \pi$ का एक शून्यक है,हम बहुपद में $x = \frac{4}{5}$ प्रतिस्थापित करते हैं।
$p\left(\frac{4}{5}\right) = 5\left(\frac{4}{5}\right) - \pi$
$p\left(\frac{4}{5}\right) = 4 - \pi$
चूँकि $4 - \pi \neq 0$,इसलिए $x = \frac{4}{5}$ पर बहुपद का मान शून्य नहीं है।
अतः,$x = \frac{4}{5}$ दिए गए बहुपद $p(x) = 5x - \pi$ का शून्यक नहीं है।

(A) यह सत्यापित करने के लिए कि क्या $x = 1$ और $x = -1$ बहुपद $p(x) = x^{2} - 1$ के शून्यक हैं,हम इन मानों पर बहुपद का मान ज्ञात करते हैं।
$x = 1$ के लिए:
$p(1) = (1)^{2} - 1 = 1 - 1 = 0$
$x = -1$ के लिए:
$p(-1) = (-1)^{2} - 1 = 1 - 1 = 0$
चूंकि $p(1) = 0$ और $p(-1) = 0$ है,इसलिए $x = 1$ और $x = -1$ दिए गए बहुपद $p(x) = x^{2} - 1$ के शून्यक हैं।

(N/A) यदि $x = -1$ और $x = 2$ बहुपद $p(x) = (x + 1)(x - 2)$ के शून्यक हैं,तो $p(-1)$ और $p(2)$ का मान $0$ होना चाहिए।
सबसे पहले,$x = -1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-1) = (-1 + 1)(-1 - 2) = (0)(-3) = 0$।
इसके बाद,$x = 2$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर:
$p(2) = (2 + 1)(2 - 2) = (3)(0) = 0$।
चूंकि $p(-1) = 0$ और $p(2) = 0$ दोनों ही सत्य हैं,इसलिए यह सत्यापित होता है कि $x = -1$ और $x = 2$ दिए गए बहुपद के शून्यक हैं।

(A) यह सत्यापित करने के लिए कि क्या $x = 0$ बहुपद $p(x) = x^{2}$ का एक शून्यक है,हमें $p(0)$ का मान ज्ञात करना होगा।
बहुपद में $x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(0) = (0)^{2} = 0$.
चूँकि $p(0) = 0$ है,इसलिए $x = 0$ दिए गए बहुपद $p(x) = x^{2}$ का एक शून्यक है।

(A) यह सत्यापित करने के लिए कि क्या $x = -\frac{m}{l}$ बहुपद $p(x) = lx + m$ का एक शून्यक है,हम $x$ का मान बहुपद में प्रतिस्थापित करते हैं।
$p\left(-\frac{m}{l}\right) = l\left(-\frac{m}{l}\right) + m$
$p\left(-\frac{m}{l}\right) = -m + m$
$p\left(-\frac{m}{l}\right) = 0$
चूंकि $x = -\frac{m}{l}$ पर बहुपद का मान $0$ है,इसलिए यह पुष्टि होती है कि $x = -\frac{m}{l}$ दिए गए बहुपद का एक शून्यक है।

(N/A) यह जाँचने के लिए कि क्या दिए गए मान बहुपद $p(x) = 3x^2 - 1$ के शून्यक हैं,हम $x$ के मानों को बहुपद में प्रतिस्थापित करेंगे। यदि परिणाम $0$ आता है,तो वह मान बहुपद का शून्यक है।
चरण $1$: $x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए जाँच:
$p\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 3\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 - 1$
$= 3\left(\frac{1}{3}\right) - 1$
$= 1 - 1 = 0$
चूँकि $p\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 0$ है,इसलिए $x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ बहुपद का शून्यक है।
चरण $2$: $x = \frac{2}{\sqrt{3}}$ के लिए जाँच:
$p\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = 3\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 - 1$
$= 3\left(\frac{4}{3}\right) - 1$
$= 4 - 1 = 3$
चूँकि $p\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \neq 0$ है,इसलिए $x = \frac{2}{\sqrt{3}}$ बहुपद का शून्यक नहीं है।

(B) यदि $x = \frac{1}{2}$ बहुपद $p(x) = 2x + 1$ का एक शून्यक है,तो $p(\frac{1}{2})$ का मान $0$ होना चाहिए।
बहुपद में $x = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$p(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2}) + 1$
$p(\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2$
चूँकि $p(\frac{1}{2}) = 2 \neq 0$ है,इसलिए $x = \frac{1}{2}$ दिए गए बहुपद का शून्यक नहीं है।

(B) बहुपद $p(x)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
दिया गया है $p(x) = x + 5$।
$p(x) = 0$ रखने पर,हमें $x + 5 = 0$ प्राप्त होता है।
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए,दोनों पक्षों से $5$ घटाने पर: $x = -5$।
अतः,बहुपद $p(x) = x + 5$ का शून्यक $-5$ है।

(C) बहुपद $p(x) = x - 5$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम बहुपद को शून्य के बराबर रखते हैं।
$p(x) = 0$
$x - 5 = 0$
दोनों पक्षों में $5$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 5$
अतः,बहुपद $p(x) = x - 5$ का शून्यक $5$ है।

(D) बहुपद $p(x)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
दिया गया है $p(x) = 2x + 5$।
बहुपद को शून्य के बराबर रखने पर:
$2x + 5 = 0$
दोनों पक्षों से $5$ घटाने पर:
$2x = -5$
दोनों पक्षों को $2$ से भाग देने पर:
$x = \frac{-5}{2}$
अतः,बहुपद $p(x) = 2x + 5$ का शून्यक $\frac{-5}{2}$ है।

(A) बहुपद $p(x) = 3x - 2$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$3x - 2 = 0$
दोनों पक्षों में $2$ जोड़ने पर,हमें $3x = 2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $x = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,बहुपद $p(x) = 3x - 2$ का शून्यक $\frac{2}{3}$ है।

(B) बहुपद $p(x) = 3x$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$3x = 0$
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{0}{3}$
$x = 0$
अतः,बहुपद $p(x) = 3x$ का शून्यक $0$ है।

(C) बहुपद $p(x)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
दिया गया है कि $p(x) = ax$ और $a \neq 0$ है।
बहुपद को शून्य के बराबर रखने पर: $ax = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a \neq 0$ है,इसलिए हम दोनों पक्षों को $a$ से विभाजित कर सकते हैं: $x = 0/a$।
अतः,$x = 0$।
इस प्रकार,बहुपद $p(x) = ax$ का शून्यक $0$ है।

(A) बहुपद $p(x) = cx + d$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $p(x) = 0$ रखते हैं।
$cx + d = 0$
दोनों पक्षों से $d$ घटाने पर:
$cx = -d$
दोनों पक्षों को $c$ से विभाजित करने पर (क्योंकि $c \neq 0$):
$x = -\frac{d}{c}$
अतः,बहुपद $p(x) = cx + d$ का शून्यक $-\frac{d}{c}$ है।

(N/A) हम विभाजन की प्रक्रिया को निम्नलिखित चरणों द्वारा पूरा करते हैं:
चरण $1$: हम भाज्य $x + 3x^2 - 1$ और भाजक $1 + x$ को मानक रूप में लिखते हैं,अर्थात पदों को उनकी घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं। अतः,भाज्य $3x^2 + x - 1$ है और भाजक $x + 1$ है।
चरण $2$: हम भाज्य के पहले पद को भाजक के पहले पद से विभाजित करते हैं,अर्थात $3x^2$ को $x$ से विभाजित करने पर $3x$ प्राप्त होता है। यह हमें भागफल का पहला पद देता है।
चरण $3$: हम भाजक को भागफल के पहले पद से गुणा करते हैं और इस गुणनफल को भाज्य से घटाते हैं,अर्थात $x + 1$ को $3x$ से गुणा करते हैं और $3x^2 + 3x$ को भाज्य $3x^2 + x - 1$ से घटाते हैं। इससे हमें शेषफल $-2x - 1$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: हम शेषफल $-2x - 1$ को नए भाज्य के रूप में लेते हैं। भाजक वही रहता है। हम भागफल का अगला पद प्राप्त करने के लिए चरण $2$ को दोहराते हैं,अर्थात नए भाज्य के पहले पद $-2x$ को भाजक के पहले पद $x$ से विभाजित करते हैं और $-2$ प्राप्त करते हैं। अतः,$-2$ भागफल का दूसरा पद है।
चरण $5$: हम भाजक को भागफल के दूसरे पद से गुणा करते हैं और गुणनफल को भाज्य से घटाते हैं। अर्थात,$x + 1$ को $-2$ से गुणा करते हैं और गुणनफल $-2x - 2$ को भाज्य $-2x - 1$ से घटाते हैं। इससे हमें शेषफल $1$ प्राप्त होता है।
चरण $6$: अतः,भागफल $3x - 2$ है और शेषफल $1$ है।
सत्यापन: $3x^2 + x - 1 = (x + 1)(3x - 2) + 1$.

(D) बहुपद $p(x) = 3x^{4} - 4x^{3} - 3x - 1$ को $x - 1$ से विभाजित करने के लिए,हम लंबी विभाजन विधि का उपयोग करते हैं:
$1$. भाज्य के पहले पद $(3x^{4})$ को भाजक के पहले पद $(x)$ से विभाजित करने पर $3x^{3}$ प्राप्त होता है।
$2$. $3x^{3}$ को $(x - 1)$ से गुणा करने पर $3x^{4} - 3x^{3}$ प्राप्त होता है। इसे भाज्य से घटाने पर $-x^{3} - 3x - 1$ प्राप्त होता है।
$3$. $-x^{3}$ को $x$ से विभाजित करने पर $-x^{2}$ प्राप्त होता है। $-x^{2}$ को $(x - 1)$ से गुणा करने पर $-x^{3} + x^{2}$ प्राप्त होता है। घटाने पर $-x^{2} - 3x - 1$ प्राप्त होता है।
$4$. $-x^{2}$ को $x$ से विभाजित करने पर $-x$ प्राप्त होता है। $-x$ को $(x - 1)$ से गुणा करने पर $-x^{2} + x$ प्राप्त होता है। घटाने पर $-4x - 1$ प्राप्त होता है।
$5$. $-4x$ को $x$ से विभाजित करने पर $-4$ प्राप्त होता है। $-4$ को $(x - 1)$ से गुणा करने पर $-4x + 4$ प्राप्त होता है। घटाने पर $-5$ प्राप्त होता है।
भागफल $3x^{3} - x^{2} - x - 4$ है और शेषफल $-5$ है।
वैकल्पिक रूप से,शेषफल प्रमेय का उपयोग करते हुए,$x - 1$ का शून्यक $1$ है। $p(x)$ में $x = 1$ रखने पर:
$p(1) = 3(1)^{4} - 4(1)^{3} - 3(1) - 1$
$p(1) = 3 - 4 - 3 - 1 = -5$.
अतः,शेषफल $-5$ है।

(A) जब $p(x) = x^3 + 1$ को $x + 1$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हम शेषफल प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,भाजक $x + 1$ है,जिसे $x - (-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$a = -1$ है।
अब,हम $p(-1)$ की गणना करते हैं:
$p(-1) = (-1)^3 + 1$
$p(-1) = -1 + 1$
$p(-1) = 0$
अतः,प्राप्त शेषफल $0$ है।

(A) माना कि $p(x) = x^4+x^3-2x^2+x+1$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x-a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,भाजक $x-1$ है,इसलिए $a = 1$ है।
अब,$p(1)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(1) = (1)^4 + (1)^3 - 2(1)^2 + 1 + 1$
$p(1) = 1 + 1 - 2(1) + 1 + 1$
$p(1) = 1 + 1 - 2 + 1 + 1$
$p(1) = 2$।
अतः,शेषफल $2$ है।

(A) यह जाँचने के लिए कि क्या $q(t)$,$2t + 1$ का एक गुणज है,हमें यह निर्धारित करना होगा कि क्या $2t + 1$,$q(t)$ का एक गुणनखंड है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$2t + 1$,$q(t)$ का एक गुणनखंड है यदि $q(-\frac{1}{2}) = 0$ हो।
$2t + 1 = 0$ रखने पर,हमें $t = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,बहुपद $q(t)$ में $t = -\frac{1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$q(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{2})^3 + 4(-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) - 1$
$q(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{8}) + 4(\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} - 1$
$q(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} - 1 = 0$.
चूँकि शेषफल $0$ है,इसलिए $2t + 1$,$q(t)$ का एक गुणनखंड है।
अतः,$q(t)$,$2t + 1$ का एक गुणज है।

(A) माना $p(x) = x^{3}+3x^{2}+3x+1$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,जब किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,भाजक $x + 1$ है,जिसे $x - (-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$a = -1$ है।
शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $p(-1)$ की गणना करते हैं:
$p(-1) = (-1)^{3} + 3(-1)^{2} + 3(-1) + 1$
$p(-1) = -1 + 3(1) - 3 + 1$
$p(-1) = -1 + 3 - 3 + 1$
$p(-1) = 0$.
अतः,अभीष्ट शेषफल $0$ है।

(B) शेषफल प्रमेय के अनुसार,यदि किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,$p(x) = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1$ और भाजक $x - \frac{1}{2}$ है।
भाजक को शून्य के बराबर रखने पर,$x - \frac{1}{2} = 0$,जिसका अर्थ है $x = \frac{1}{2}$।
शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $p\left(\frac{1}{2}\right)$ की गणना करते हैं:
$p\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + 3\left(\frac{1}{2}\right)^{2} + 3\left(\frac{1}{2}\right) + 1$
$= \frac{1}{8} + 3\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{3}{2} + 1$
$= \frac{1}{8} + \frac{3}{4} + \frac{3}{2} + 1$
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $8$ लेने पर:
$= \frac{1 + 6 + 12 + 8}{8} = \frac{27}{8}$।
अतः,अभीष्ट शेषफल $\frac{27}{8}$ है।

(C) माना $p(x) = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,जब किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,हम $x$ से विभाजित कर रहे हैं,जो $(x - 0)$ के बराबर है। अतः,$a = 0$ है।
शेषफल ज्ञात करने के लिए,हम $p(0)$ की गणना करते हैं:
$p(0) = (0)^{3} + 3(0)^{2} + 3(0) + 1$
$p(0) = 0 + 0 + 0 + 1 = 1$।
अतः,शेषफल $1$ है।

(A) माना $p(x) = x^{3}+3x^{2}+3x+1$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,जब किसी बहुपद $p(x)$ को $(x-a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
यहाँ,भाजक $x+\pi$ है,जिसे $x-(-\pi)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,हमें $p(-\pi)$ ज्ञात करना है।
$p(x)$ में $x = -\pi$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-\pi) = (-\pi)^{3} + 3(-\pi)^{2} + 3(-\pi) + 1$
$p(-\pi) = -\pi^{3} + 3\pi^{2} - 3\pi + 1$
इस प्रकार,अभीष्ट शेषफल $-\pi^{3}+3\pi^{2}-3\pi+1$ है।

(B) माना $p(x) = x^{3}+3x^{2}+3x+1$ है।
जब $p(x)$ को $5+2x$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल ज्ञात करने के लिए हम शेषफल प्रमेय का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,भाजक $5+2x$ का शून्य ज्ञात कीजिए:
$5+2x = 0 \implies 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2}$.
अब,$p(-\frac{5}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए:
$p(-\frac{5}{2}) = (-\frac{5}{2})^{3} + 3(-\frac{5}{2})^{2} + 3(-\frac{5}{2}) + 1$
$= -\frac{125}{8} + 3(\frac{25}{4}) - \frac{15}{2} + 1$
$= -\frac{125}{8} + \frac{75}{4} - \frac{15}{2} + 1$
$= \frac{-125 + 150 - 60 + 8}{8}$
$= \frac{-27}{8}$.
अतः,अभीष्ट शेषफल $-\frac{27}{8}$ है।

(C) माना कि बहुपद $p(x) = x^{3} - ax^{2} + 6x - a$ है।
शेषफल प्रमेय के अनुसार,जब किसी बहुपद $p(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $p(a)$ होता है।
भाजक $(x - a)$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए,हम $x - a = 0$ रखते हैं,जिससे $x = a$ प्राप्त होता है।
अब,बहुपद $p(x)$ में $x = a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(a) = (a)^{3} - a(a)^{2} + 6(a) - a$
$p(a) = a^{3} - a^{3} + 6a - a$
$p(a) = 0 + 5a$
$p(a) = 5a$
अतः,शेषफल $5a$ है।

(B) माना $p(x) = 3x^3 + 7x$ है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $(7+3x)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,हम $(7+3x)$ का शून्यक ज्ञात करते हैं:
$7 + 3x = 0 \implies 3x = -7 \implies x = -\frac{7}{3}$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(7+3x)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड तभी होगा यदि $p(-\frac{7}{3}) = 0$ हो।
अब,$p(-\frac{7}{3})$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(-\frac{7}{3}) = 3(-\frac{7}{3})^3 + 7(-\frac{7}{3})$
$= 3(-\frac{343}{27}) + (-\frac{49}{3})$
$= -\frac{343}{9} - \frac{49}{3}$
$= \frac{-343 - 147}{9} = -\frac{490}{9}$.
चूँकि $p(-\frac{7}{3}) = -\frac{490}{9} \neq 0$ है,इसलिए शेषफल $0$ नहीं है।
अतः,$(7+3x)$,$3x^3+7x$ का गुणनखंड नहीं है।

(N/A) $x+2$ का शून्यक $-2$ है। मान लीजिए $p(x) = x^{3}+3x^{2}+5x+6$ और $s(x) = 2x+4$ है।
$p(x)$ के लिए:
$p(-2) = (-2)^{3} + 3(-2)^{2} + 5(-2) + 6$
$p(-2) = -8 + 3(4) - 10 + 6$
$p(-2) = -8 + 12 - 10 + 6 = 0$.
चूँकि $p(-2) = 0$ है,गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$x+2$,$x^{3}+3x^{2}+5x+6$ का एक गुणनखंड है।
$s(x)$ के लिए:
$s(-2) = 2(-2) + 4$
$s(-2) = -4 + 4 = 0$.
चूँकि $s(-2) = 0$ है,$x+2$,$2x+4$ का एक गुणनखंड है। वैकल्पिक रूप से,$2x+4 = 2(x+2)$ है,जिससे स्पष्ट होता है कि $x+2$ इसका एक गुणनखंड है।

(B) माना $p(x) = 4x^{3} + 3x^{2} - 4x + k$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x-1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(1) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = 1$ रखने पर:
$p(1) = 4(1)^{3} + 3(1)^{2} - 4(1) + k = 0$
$4(1) + 3(1) - 4 + k = 0$
$4 + 3 - 4 + k = 0$
$3 + k = 0$
अतः,$k = -3$।

(N/A) हल $1:$ (मध्य पद को विभाजित करने की विधि)
हमें दो ऐसी संख्याएँ $p$ और $q$ ज्ञात करनी हैं कि $p + q = 17$ और $pq = 6 \times 5 = 30$ हो।
$30$ के गुणनखंड $(1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6)$ हैं।
इनमें से,$2 + 15 = 17$ होता है।
अतः,$6x^2 + 17x + 5 = 6x^2 + 2x + 15x + 5$
$= 2x(3x + 1) + 5(3x + 1)$
$= (3x + 1)(2x + 5)$.
हल $2:$ (गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करके)
माना $p(x) = 6x^2 + 17x + 5 = 6(x^2 + \frac{17}{6}x + \frac{5}{6})$ है।
माना $a$ और $b$ द्विघात व्यंजक के शून्यक हैं। तब $ab = \frac{5}{6}$ होगा।
संभावित परिमेय मूल $\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{2}, \pm 1$ हैं।
$p(-\frac{1}{3}) = 6(-\frac{1}{3})^2 + 17(-\frac{1}{3}) + 5 = 6(\frac{1}{9}) - \frac{17}{3} + 5 = \frac{2}{3} - \frac{17}{3} + \frac{15}{3} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$(x + \frac{1}{3})$ एक गुणनखंड है।
$p(-\frac{5}{2}) = 6(-\frac{5}{2})^2 + 17(-\frac{5}{2}) + 5 = 6(\frac{25}{4}) - \frac{85}{2} + 5 = \frac{75}{2} - \frac{85}{2} + \frac{10}{2} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$(x + \frac{5}{2})$ एक गुणनखंड है।
इसलिए,$6x^2 + 17x + 5 = 6(x + \frac{1}{3})(x + \frac{5}{2}) = 6(\frac{3x+1}{3})(\frac{2x+5}{2}) = (3x + 1)(2x + 5)$.

(N/A) माना $p(y) = y^2 - 5y + 6$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(y - a)$,$p(y)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(a) = 0$ होगा।
हम अचर पद $6$ के गुणनखंडों को देखते हैं,जो $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ हैं।
$y = 2$ के लिए जाँच करने पर: $p(2) = (2)^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$ है।
चूँकि $p(2) = 0$ है,इसलिए $(y - 2)$,$p(y)$ का एक गुणनखंड है।
$y = 3$ के लिए जाँच करने पर: $p(3) = (3)^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$ है।
चूँकि $p(3) = 0$ है,इसलिए $(y - 3)$,$p(y)$ का एक गुणनखंड है।
अतः,$y^2 - 5y + 6$ का गुणनखंड $(y - 2)(y - 3)$ है।

(N/A) माना $p(x) = x^{3}-23 x^{2}+142 x-120$ है।
हम अचर पद $-120$ के गुणनखंडों को देखते हैं। इनमें से कुछ $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6, \pm 8, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm 20, \pm 24, \pm 30, \pm 60$ हैं।
प्रयत्न करने पर,हम पाते हैं कि $p(1) = 1^{3} - 23(1)^{2} + 142(1) - 120 = 1 - 23 + 142 - 120 = 0$ है। इसलिए,$(x-1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अब,हम बहुपद को पुनः लिखते हैं:
$x^{3}-23 x^{2}+142 x-120 = x^{3}-x^{2}-22 x^{2}+22 x+120 x-120$
$= x^{2}(x-1) - 22x(x-1) + 120(x-1)$
$= (x-1)(x^{2}-22x+120)$.
अगले चरण में,हम द्विघात बहुपद $x^{2}-22x+120$ का मध्य पद विभाजित करके गुणनखंड करते हैं:
$x^{2}-22x+120 = x^{2}-12x-10x+120$
$= x(x-12) - 10(x-12)$
$= (x-12)(x-10)$.
अतः,पूर्ण गुणनखंड $x^{3}-23 x^{2}+142 x-120 = (x-1)(x-10)(x-12)$ है।

(A) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x - a)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड होता है यदि $p(a) = 0$ हो।
यहाँ,भाजक $(x + 1)$ है,जिसे $(x - (-1))$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,हम $a = -1$ लेते हैं।
माना $p(x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$.
अब,$p(-1)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(-1) = (-1)^{3} + (-1)^{2} + (-1) + 1$
$p(-1) = -1 + 1 - 1 + 1$
$p(-1) = 0$
चूँकि शेषफल $p(-1) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x + 1)$ बहुपद $x^{3} + x^{2} + x + 1$ का एक गुणनखंड है।